Cinematicaugs/didattica/ingegneria/... · 2016-03-07 · La descrizione del moto presuppone la...
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CinematicaStudio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentementedalle cause (=> forze) che determinano le variazioni dello stato di moto(=> accelerazioni = variazione di velocità)
Cinematica “scalare”:- studia il moto unidimensionale- necessita di quantità “scalari”, esprimibili cioè da un’ unica funzionedel tempo
U.Gasparini, Fisica I 1
Cinematica “vettoriale”:- studia il moto in due o più dimensioni- necessita di “quantità vettoriali”
- Punto materiale( astrazione) : oggetto privo di dimensioni(concretamente: oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle delle regioni di spazio in cui si muove o, meglio,rispetto alle dimensioni tipiche entro cui variano apprezzabilmentele quantità che ne determinano il moto )
Punto materiale, sistema di riferimento
U.Gasparini, Fisica I 2
La descrizione del moto presuppone la definizione di un “sistema di coordinate”:
- scelta di un punto arbitrario dello spazio detto “origine”- scelta di un sistema di “assi coordinati”lungo i quali misurarele distanze e/o rispetto ai quali misurare le posizioni angolari
“traiettoria”
0 x(to) x(t1) x(t3) x(t2) x(t4)….. x
Origine
Moto unidimensionale
U.Gasparini, Fisica I 3
x(t) (“diagramma orario”)
tt0 t1 t2 t3 t4
x0=x(t0)x1
x3
x2
x4
Grafico della legge del moto:
• “Coordinata curvilinea” s(t) :
– spazio percorso al tempo t lungo la “ traiettoria”
luogo geometrico dei punti dellospazio occupati dal punto materialedurante il moto
P
P(t)s(t)
Coordinata curvilinea e velocità scalare media
U.Gasparini, Fisica I4
Pos(t)
Velocità scalare mediatra due istanti t1 e t2=t1+∆t
s(t)
t
“legge del moto”
t1 t2
s(t1)
s(t2)
∆t∆s
t
s
t
tsttsvm ∆
∆=∆
−∆+= )()( 11
s(t)
α (t)v(t) = tan(α(t))
dt
tds
t
tsttstv
t
)()()(lim)(
0=
∆−∆+=
→∆(dimensione : [v] = m/s) :
Velocità scalare istantaneaE’ la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilinea s(t):
U.Gasparini, Fisica I
t
Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene perintegrazione:
ds = v(t) dt
∫+=t
t
dttvtsts0
')'()()( 0
∫∫ =−==∆t
t
s
s
dttvtstsdss00
')'()()( 0
t
∆ t
∑=
∆+=2
00 )()()(
ii ttvtsts
to t1 t2
v(t)
v(t)
∑ ∆+=5
)()()( ttvtsts
Integrazione della velocità
U.Gasparini, Fisica I t
v(t)
to t
∫+=t
t
dttvtsts0
')'()()( 0
tto t1 t2 t3 t4 t5
∑=
∆+=0
0 )()()(i
i ttvtsts
Accelerazione scalare media :
t
v
t
tvttvam ∆
∆=∆
−∆+= )()( 11
Accelerazione scalare istantanea :
2
2
0
)()()()()(lim)(
dt
tsd
dt
tds
dt
d
dt
tdv
t
tvttvta
t≡
==∆
−∆+=→∆
Accelerazione
(dimensione : [a] = m/s2)
U.Gasparini, Fisica I 7
Nota la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene perintegrazione:
dv = a(t) dt ∫∫ =−==∆t
t
v
v
dttatvtvdvv00
')'()()( 0
∫+=t
t
dttatvtv0
')'()()( 0
t0
accelerazione costante: a(t) = a
t
a(t)
a
velocità: )(')'()()( 000
0
ttavdttatvtvt
t
−+=+= ∫
Moto rettilineo uniformemente accelerato
U.Gasparini, Fisica I
t
v(t)
v0 β tanβ = a
t0
0t
posizione:
s0
αtanα(t0) = v0
t
s(t)
[ ] =−++=+= ∫∫ ')'(')'()()(00
0000 dtttavsdttvtstst
t
t
t
20000 )(
2
1)( ttattvs −+−+=
moto uniformemente accelerato[ nel caso
moto accelerato,con accelerazioneNON uniforme(nel caso mostratoa cresce linearmentecon il tempo)
a=costantea≠costante
Esempi: moto uniformemente e moto NON uniformemente accelerato
ktta =)(
0
0 ')'()( dttavtvt
t
+= ∫=
U.Gasparini, Fisica I
[ nel caso mostrato,a e’ negativa:il moto e’decelerato(il corpo frenain manierauniforme) ]
20
0
0 2
1'' ktvdtktv
t
+=+= ∫
300
0
200
0
0
6
1
']2/'[
')'()(
kttvx
dtktvx
dttvxtx
t
t
t
++=
++
=+=
∫
∫=
Accelerazione e velocita’ in funzione della posizione
Vi sono situazioni fisiche nelle quali e’ nota l’accelerazione in funzione della
posizione a(x).
xdv
vdx
xdv
dt
tdx
dx
xdv
dt
txdvxa ===
)(
)()()())(()(
Applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte allafunzione v( x(t) ):
U.Gasparini, Fisica I 10
dvvdxdx
xdvvdxxa ==⇒
)()(
∫∫−==
2
1
2
12
)(21
22
v
v
x
x
vvdvvdxxa
moti la cui legge oraria è una funzione periodica f (t) del tempo:
f t T f t( ) ( )+ =⇒ esiste una costante T tale che : ∀t
“periodo”f t( )
T
f t( )
Moti periodici
tt 0 t T0 +f t( )0
Teorema di Fourier:una qualsiasi funzione periodica è esprimibile come una serie di termini sinusoidali:
[ ]f t a a m t b m tm mm
( ) s i n ( ) c o s ( )= + +=
∞
∑01
ω ω“sviluppo in seriedi Fourier”di f(t)
dove: ω π= 2
T“frequenzafondamentale”
aT
f t m t d tm
T
= ∫2
0
( ) s i n ( )ω bT
f t m t d tm
T
= ∫2
0
( ) c o s ( )ω
aT
f t d tT
0
0
1= ∫ ( ) “valor medio”
“coefficienti di Fourier”:
Moto con legge oraria: x t A t( ) s i n ( )= +ω ϕ
“ampiezza”“pulsazione” “fase iniziale”
Fase iniziale:x t A( ) s i n= =0 ϕ ⇒ ϕ = a r c s i n ( ( ) / )x A0
posizione iniziale
Periodo T:
T = 2πω
x t T A t T x t A t( ) s i n [ ( ) ] ( ) s i n [ ]+ = + + ≡ = +ω ϕ ω ϕ ∀t
⇒ ω πT = 2 ⇒ “Frequenza”: ν ωπ
≡ =1
2T
Moto armonico
U.Gasparini, Fisica I 12
x
A
( )
s i n
0 =ϕ
posizione inizialeT=1 s
[⇒⇒⇒⇒ ωωωω=2ππππ s-1]T=2 s[⇒⇒⇒⇒ ωωωω=π π π π s-1]
A=2 m 0=ϕ
Posizione:A
-A
TT/2t x
0.-A A
spostamentonullo: x=0
velocitàmassima
x t A t( ) s i n= ω
ω ω ω ω A
v td x t
d tA t( )
( )c o s≡ = ω ω
Velocità: spostamentomassimo: x=A
velocitànulla: v=0
Velocità e accelerazione in un moto armonico
U.Gasparini, Fisica I
accelerazione nulla
−−−− ω ω ω ω A
Accelerazione:
ωωωω2222A
−−−− ωωωω2222A
a td v t
d tA t( )
( )s i n≡ = − ω ω2
d x t
d tA t x t
2
22 2( )
s in ( )= − = −ω ω ω
d x t
d tx t
2
22 0
( )( )+ =ω
Equazione differenziale del moto armonico:
accelerazione massima (in modulo):
a = -ω2A
Nella legge oraria: x t A t( ) s in ( )= +ω ϕle costanti di integrazione Ae ϕϕϕϕ sono determinate dalle“condizioni iniziali” (posizione e velocità iniziali del moto).
Esempi:
i) posizione iniziale: x t X
v t
( )
( ) .
= ≡ ≠= =
0 0
0 00
velocità iniziale nulla: 0. X 0
v 0 0=
x t A X( ) s i n= = =0 0ϕv t A( ) c o s= = =0 0ω ϕ{⇒ ⇒
A X== → =
0
0 2c o s . /ϕ ϕ π
la soluzione particolareche corrisponde alle condizioni iniziali specificate è:
Condizioni iniziali e costanti di integrazione
U.Gasparini, Fisica I
la soluzione particolareche corrisponde alle condizioni iniziali specificate è:
tXtXtx ωπω cos)2/sin()( 00 =+=⇒
⇒ l’ampiezza dell’oscillazione coincide con lo spostamento iniziale dall’origine
t
x t X t( ) c o s= 0 ωX 0
− X 0
varia A
varia ϕϕϕϕ
x t( )
ii) posizione iniziale nulla evelocità iniziale vo > 0:
x t
v t v
( ) .
( ) .
= == ≡ >
0 0
0 00
0. x
v0
ϕω
==
0
0
.
/A v x tv
t( ) s i n= 0
ωω⇒ ⇒
x t A
v t A v
( ) s i n .
( ) c o s
= = == = ≡
0 0
0 0
ϕω ϕ
s i n . c o sϕ ϕω
= → ==
0 1
0A v⇒ ⇒
v 0
ω−
v 0
ω
Condizioni iniziali: esempi
U.Gasparini, Fisica I 15
t
x tv
t( ) s i n= 0
ωω
x t( )
v 0 / ω
− v 0 / ω
⇒ l’oscillazione avviene con ampiezza A = v0 / ωωωω
Moto armonico: proiezione sugli assi ortogonali di un moto circolare uniforme di un punto P in moto su una circonferenza di raggio R
Proiezione su assi ortogonali di un moto circolare uniforme
ϑ(t)
Py
R
ϑ (t) = ω t + ϑ0Moto uniforme:
=≡dt
td )(ϑω costantecon “velocita’ angolare”:
La velocità angolare costante del moto circolare
costituisce la pulsazione ω del moto armonico.
==dt
td )(ϑω
x
x(t) = R cos[ ϑ (t)] == R cos[ ω t + ϑ0] moto armonico
[ ovviamente: anche y(t) = R sin [ ω t + ϑ0] e’ un moto armonico,sfasato di π/2 rispetto a x(t) ]
In generale, una qualsiasi legge oraria x(t) e’ soluzione di un’equazione differenziale in cui compare la accelerazioned x t
dt
2
2
( )
Le condizioni iniziali sulla posizione e la velocità determinano le costanti di integrazione.
Esempio: moto di un grave uniformemente accelerato dalla gravità : d y t
d tg
2
2
( ) = −v t
d y t
d tg d t g t A( )
( )= = − = − +∫⇒
y t v t d t g t A d t( ) ( ) ( )= = − +∫∫⇒
Soluzione generale dell’equazione differenziale del moto
U.Gasparini, Fisica I
y t v t d t g t A d t( ) ( ) ( )= = − +∫∫⇒
soluzione generale:y t g t A t B( ) = − + +1
22
⇒con A,B costanti di integrazione
Condizioni iniziali: y t y
v t v
( )
( )
= ≡= ≡
0
00
0
A v
B y
≡≡
0
0⇒
soluzione particolare:⇒
y t g t v t y( ) = − + +1
22
0 0
t
y t( )
y 0
varia B
varia A
Esempio: moto di un “grave” (=corpo soggetto
all’ accelerazione di gravita’)
200 2
1)( gttvyty −+=
gvt /=
smv
my
/5
3
0
0
==
Condizioni iniziali:
2/8.9 smga −=−≡α
sm
v
/5
tan 0
==α
gtvtv −= 0)(
g
vggvytyy MM 2
1/)(
2
0200
−+=≡
Altezza
U.Gasparini,Fisica I
18
s
gvtM
51.0
/0
==
mgvy
g
28.42/
2200 =+=
Altezza
massima:
Imponendo per il “tempo di caduta” tc :
02
1)( 2
00 ≡−+= CCC gttvyty
022 002 =−− ytvgt CC =
+±= ggyvvtC /2 0
200
s
gygvgvtC
44.1
/2)/(/ 02
00
=++=
Nota: se y0=0→ tc=2v0/g = 2tM
Velocita’ di caduta: [ ] gyvgygvgvgvtv C 02
002
000 2/2)/(/)( +−=++−=
Esempio: moto uniformemente accelerato
Condizioni iniziali:
smv
my
/8
3
0
0
==
myM 30.6=
U.Gasparini, Fisica I
19
stC 95.1=
myM 30.6=
stM 83.0=
Si verifica in presenza di una decelerazionedi tipo “viscoso”,ossia proporzionale alla velocità :
a td v t
d tk v t( )
( )( )= = −
⇒d v t
vk d t
( )= − d v
vk d t
v
v t
0 0∫ ∫= −⇒
τ/00)( tkt evevtv −− ==⇒l n
v
vk t
0
= −⇒
v t( )
Moto smorzato esponenzialmente
U.Gasparini, Fisica I τϑ 0
0000
tanv
kvekvdt
dvt
kt
t
−≡−=−=≡=
−
=
τv t k v e( / )= = −1 0
1 τ ≡ 1 / k “costante di tempo”dello smorzamento
⇒
τ è l’intersezione con l’asse dei tempi della retta tangente alla curva v(t) al tempo t = 0 :
Per t ≈5 τ : v t v e v( ) .= = ≈ ≈−5 0 0 0 6 005
0τ
t
v e0 /
v 0
5τ
ϑ
v t( )
x t x v t d t x v e d t xv
ke
tk t
tk t t
( ) ( )= + = + = −∫ ∫ − −0
0
0 0
0
00
0
x t( )
x
x v k
( )
/
∞ =+
Spazio percorsoin un moto smorzato esponenzialmente:
( )x t xv
ke k t( ) = + − −
00 1
U.Gasparini, Fisica I 21
x0
x v k/+0 0
t
0. x0x v k0 0+ /
v 0
x
Posizione limite, asintoticamente raggiunta a t = ∞
Moto smorzato esponenzialmente:
τ/00)( tkt evevtv −− ==
v0=4 m/sk = 0.2 s-1
ττττ ≡ 1/k = 5 sVelocita’:
Posizione:
U.Gasparini, Fisica I
( )x t xv
ke k t( ) = + − −
00 1
x∝= v0/k = 20 m
x0=0
Posizione:
d v t
d ta k v t
( )( )= −
termine costante (es: g)d v t
a k v td t
( )
( )−=⇒
1
k
d w t
wd t
( )= −⇒
Posto: w t a k v t( ) ( )≡ − → ≡ −dw kdv
a a
l nw
wk t
0
= − w t w e k t( ) = −
0⇒⇒
Moto acceleratoin presenza di un attrito viscoso:
termine di attrito viscoso(proporzionale alla velocità)
v ta
kv
a
ke k t( ) ( )= + − −
0⇒
v ta
k
a
kv e k t( ) ( )= − − −
0⇒a k v t a k v e k t− = − −( ) ( )0⇒
v t( )
v 0
v a k∞ ≡ /
t“velocità limite” : v v t a k
t∞ → ∞
≡ =l im ( ) / (indipendente da v0 )
Esempio: caduta di un grave in presenza di attrito viscoso
)()(
tkvgdt
tdv −=
ktek
gv
k
gtv −−+= )()( 0
v =0 ,
Velocita’ limite: v ∝∝∝∝= g/k= 65m/s=234 km/h
U.Gasparini, Fisica I
( )ktek
gtv −−= 1)(
[ in particolare, per v0=0 :
la velocita’ limite, comunque,non dipende dalla velicita’ iniziale vo ]
v0=0 ,k =0.15 s-1
[esempio: per una gocciolina di pioggia di raggio R= 0,5 mm : ( ) 12 3,0/2
9 −≅= sRk acquaaria ρη
dove η e’ la viscosita’ dell’aria e ρ la densita’ della gocciolina ]