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Che cos'è un problema?

Apprendere attraverso giochi e problemi

Risoluzione e formalizzazione

Proposte

Bibliografa

Indice

WorkCatt 2016Mettersi “in gioco” nella risoluzione dei problemi 2 di 51

A. Abbiamo mischiato sabbia e riso e ora dobbiamosepararli. Come possiamo fare?

B. Il biglietto di ingresso a un museo costa 11 euro. Iragazzi al di sotto dei 15 anni pagano però 9 euro, gliiscritti all’università 7 euro e per gli adulti al di sopra dei50 anni c’è uno sconto di 6 euro.

Quanto spende una comitiva formata da 9 persone adultedi cui 3 al di sopra dei 50 anni, 3 ragazzi al di sotto dei 15e 2 universitari? (Gilda Flaccavento Romano, Matematica attiva, Fabbri)



C. Tre porte chiuse.

Dietro a una c’è un’automobile, dietro alle altre due unacapra. Scelgo una delle tre porte, senza aprirla.

Il conduttore dello show (sa dove si trova l’automobile) apreuna delle due porte restanti e in cui c’è la capra.

Mi conviene cambiare porta o mantenere quella sceltainizialmente? (Paradosso di Monty Hall)



Rifettiamo sulle tre situazioni presentate:

sono tre problemi?

Come potremmo defnire un problema?



Alla domanda “che cos'è un problema?” comerisponderebbero:

– i bambini della scuola dell'infanzia?

– gli alunni della primaria?



G. Glaeser (matematico austriaco, 1955):

“Quando una persona si trova di fronte ad unasituazione e il bagaglio delle risposte intuitive o abitualinon gli permette di venirne a capo, tale situazione è unproblema”.

K. Duncker (psicologo tedesco, 1903 – 1940):

“Un problema sorge quando un essere vivente ha unameta, ma non sa come raggiungerla”.



G. Polya (Budapest, 1887 - Palo Alto, 1985) si èoccupato dello studio dei metodi generali che siutilizzano per risolvere problemi:

“Risolvere problemi signifca trovare una strada peruscire da una diffcoltà, una strada per aggirare unostacolo, per raggiungere uno scopo che non siaimmediatamente raggiungibile. Risolvere problemi èun’impresa specifca dell’intelligenza e l’intelligenza èdono specifco del genere umano: si può considerare ilrisolvere problemi come l’attività più caratteristica delgenere umano”.



Bruno D'Amore:

“Ora, per sua natura, un problema non è un algoritmoe la differenza è notevole ed essenziale, un algoritmoconsta di un numero fnito di passi meccanici pereseguire i quali non occorre essere creativi, ma soloapplicare regole; mentre nella risoluzione di problemac’è necessità di almeno un momento creativo,innominabile da un punto di vista algoritmico”.



Aspetti caratterizzanti il problema:

– È una situazione (reale) nuova

– La soluzione non è nota, né immediata

– Richiede creatività

Alla luce di queste “defnizioni” di problema, possiamoriconsiderare le tre situazioni A, B, C?




WorkCatt 2016Mettersi “in gioco” nella risoluzione dei problemi

Se il problema è una situazione non nota, dalla qualeci si deve districare con creatività, ...tutti gli ordini discuola ne sono coinvolti.

La risoluzione di problemi non è un “argomento datrattare”, ma è la mentalità con cui approcciarsi allaMatematica.

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Indicazioni Nazionali – infanzia

I bambini esplorano continuamente la realtà e imparano arifettere sulle proprie esperienze descrivendole,rappresentandole, riorganizzandole con diversi criteri. Pongonocosì le basi per la successiva elaborazione di concetti scientifci ematematici che verranno proposti nella scuola primaria.

Indicazioni Nazionali - primaria

Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione diproblemi, che devono essere intesi come questioni autentiche esignifcative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi acarattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicementericordando una defnizione o una regola.

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Discuto con i bambini sulla loro idea di problema

Chiedo esempi

Li aiuto a rintracciare nei loro esempi la presenza deglielementi caratterizzanti il problema

Li invito a risolvere i problemi che hanno proposto,scambiandosi idee → insegno come ci si approccia alproblema

Propongo loro nuovi problemi e problemi-gioco (possoadattare giochi esistenti)



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Perché il gioco? [Ricchiardi, Coggi]

“[…] Per favorire il successo scolastico non occorreanticipare e incrementare i contenuti da proporre ai bambini.È necessario piuttosto stimolare gradualmente lo sviluppodei piccoli perché le loro strutture cognitive siano in grado dielaborare in maniera signifcativa i contenuti proposti,conservando il piacere di apprendere. Si tratta inoltre difavorire una crescita sana in tutte le dimensioni [...]. Icurricoli ludici, con la mediazione adulta, sembrano essere ipiù adeguati per rispettare queste esigenze. Il gioco è infattiun contesto privilegiato per favorire lo sviluppo progressivodi competenze cognitive e socio-emozionali, indispensabilianche per il successo scolastico.



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I bambini apprendono per imitazione, ascoltando,sperimentando per prove ed errori, rifettendo ecomunicando. Tali azioni si svolgono abitualmente nelgioco. Gioco e apprendimento sono dunque strettamenteconnessi.”

“Nel gioco si possono effettuare osservazioni, formularedomande e possibili soluzioni, pianifcare il controllo delleipotesi, la raccolta dei fatti e l’interpretazione dei datiemersi. Si può avviare, inoltre, al termine dell’attivitàludica, una discussione collettiva sugli esiti dell’esperienzarealizzata, la formulazione di spiegazioni alternative e lamessa in relazione dei risultati.”



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Giochi legati alla costruzione dei primi concettimatematici:

Attività relative a forme spaziali/modelliGiochi di confronto tra grandezzeGiochi di enumerazione

Quali giochi scegliere?Non conta soltanto la scelta del gioco in séma l’uso che ne fa il bambino,grazie alla mediazione dell’adulto.



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Giochi di enumerazione:

conta, gioco dell'oca, scale e serpenti,...



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Giochi relativi a forme spaziali/modelli:

costruzioni/incastri, mistery box, memory (anche daadattare), mosca cieca (da adattare),...



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Giochi di confronto tra grandezze:

compravendita, regina reginella, riempimento-travaso,...



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Dopo l'esperienza di gioco è importante la rilettura delvissuto, in modo verbale e iconico-fgurativo.

In questa fase si insegna a rifettere sulla situazioneproblematica e sulle strategie risolutive.



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Versione A. Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo,nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offreai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramellesenza guardare nel pacco. Oggi è arrivata con un sacchettocontenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto dilimone. Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile chegli capiti al gusto di arancia o di limone? Perché?

Versione C. Immagina di avere davanti a te due sacchetti: nelprimo ci sono 3 caramelle alla menta e 2 all’arancia, nel secondo2 caramelle alla menta e 3 all’arancia. Puoi prendere a occhichiusi una caramella da un solo sacchetto. Da quale sacchettopreferisci pescare? Perché? Ti piacciono di più le caramelle allamenta o all’arancia?

[Zan]22 di 51

2



Classi III Corrette Errate Ambigue MancantiVersione

A27 22 1 0

VersioneC

37 10 3 0

Classi II Corrette Errate Ambigue MancantiVersione

A14 33 3 0

VersioneC

35 11 3 1

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La motivazione può essere sostenuta proponendo,oltre ai giochi, situazioni reali, concrete, che il bambinopuò ricondurre al proprio vissuto.

Così, con l'avanzare dell'età scolare avrannosignifcato anche problemi più “teorici” perché l'alunnosarà entrato nel “mondo della matematica” e, in quelcontesto, darà senso ai problemi proposti.

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Qualche spunto un po' più avanzato (primaria)

- Giochi da tavolo (non legati solamente alla fortuna),che favoriscono l’intuizione delle quantità (giochi con lecarte o in generale con dadi e pedine,...)

- Giochi che sviluppano la capacità di ragionamento,giochi di strategia (Forza 4, Tris, Indovina chi, Indovinachi sono, Scopri l’intruso, Sudoku,...)



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- Giochi che favoriscono l’intuizione spaziale (Tetris,Trova l’ombra dell’oggetto, costruzioni,...)

- Giochi che sviluppano il corretto utilizzo del linguaggio (almeno, al più, nessuno, alcuni, tutti, negazione,…)



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Esempio. Corsa al 7

Si gioca in due. Il primo giocatore può dire 1 oppure 2; ilsecondo giocatore può aggiungere 1 o 2 a quel chedetto il primo giocatore (per esempio, se il primogiocatore ha detto 2, il secondo giocatore può dire 3oppure 4). E così via.

Vince il primo che dice 7.

Proviamo a giocare a coppie e a esprimere alcunerifessioni...



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Quando il “gioco” si fa duro...

Quattro fasi per la risoluzione:A. Comprendere/immaginare la situazioneB. Scoprire legami tra informazioniC. Pensare alla strategia risolutivaD. Controllare il risultato

[Polya]



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A. Comprendere/immaginare la situazione

Mimare, vivere, raffgurare le situazioni problematiche(osservare le rappresentazioni dei bambini per capire seriescono a disegnare gli elementi essenziali e a lasciareda parte le informazioni di contorno).

Evitare la ricerca delle parole-chiave, se non in faseiniziale.



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B. Scoprire legami tra informazioni

Porre domande che guidino gli alunni a mettere inrelazione le informazioni note e mettere a fuoco quantonon si conosce.



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C. Pensare alla strategia risolutiva

Porre l'accento sulla procedura, sul ragionamento.

Evitare di dare importanza alle sole operazioni e ai solirisultati.

Chiedere agli alunni di scrivere in modo sintetico comehanno ragionato.

Dopo aver risolto, ricercare analogie con altre situazioniproblematiche già note.



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D. Controllare il risultato

Abituare gli alunni a rilevare eventuali errori,

a chiedersi quanto il loro risultato sia plausibile.

Non procedere solo per operazioni inverse per ricercareerrori di calcolo, ma pensare alle procedure inverse.



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Nella scelta dei problemi da proporre anzitutto èl'insegnante a mettersi in gioco...

...proponiamo alcuni problemi e per ciascunomettiamo in luce la caratteristica distintiva.


Proposte

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...

Nonno Castoro ha bisogno di alcuni ramoscelli daaggiungere ai suoi 10 per costruire la sua tana.Complessivamente gliene servono 20. Quanti ne devetrovare ancora?


Proposte

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Proposte

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Le parole chiave possono confondere

Nonno Castoro ha bisogno di alcuni ramoscelli daaggiungere ai suoi 10 per costruire la sua tana.Complessivamente gliene servono 20. Quanti ne devetrovare ancora?

...

DATI4 = numero quaderni acquistati3 = numero penne acquistate2 = numero di oggetti regalati

INCOGNITAoggetti posseduti = ?


Proposte

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Testi diversi per problemi diversi con gli stessi dati

DATI4 = numero quaderni acquistati3 = numero penne acquistate2 = numero di oggetti regalati

INCOGNITAoggetti posseduti = ?


Proposte

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...

La nonna acquista un televisore da 350 euro e la paga in10 rate (dello stesso importo). A quanto ammonta ognirata?

SVOLGIMENTOValore di ogni rata = costo TV : numero rate = 350 : 10= 3,5 euro


Proposte

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Caccia all'errore

La nonna acquista un televisore da 350 euro e la paga in10 rate (dello stesso importo). A quanto ammonta ognirata?

SVOLGIMENTOValore di ogni rata = costo TV : numero rate = 350 : 10= 3,5 euro

Controllo di plausibilità: è possibile che pagando 10 volte3,5 euro si possa coprire il costo di un televisore?


Proposte

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...

Oggi è il penultimo giorno del mese di maggio ed èsabato. In che data sarà di nuovo un sabato? In chedata cadrà il prossimo mercoledì?


Proposte

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Non solo numeri

Oggi è il penultimo giorno del mese di maggio ed èsabato. In che data sarà di nuovo un sabato? In chedata cadrà il prossimo mercoledì?


Proposte

42 di 51

...

Carlo va in cartoleria con 10 euro. I quaderni costano2 euro ognuno, le matite 1 euro ognuna, le penne 3euro ognuna. Spendendo tutto ciò che ha, che cosapuò comprare Carlo?


Proposte

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Tante soluzioni

Carlo va in cartoleria con 10 euro. I quaderni costano2 euro ognuno, le matite 1 euro ognuna, le penne 3euro ognuna. Spendendo tutto ciò che ha, che cosapuò comprare Carlo?


Proposte

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...

Una nave si trova in mare, è partita da Venezia caricadi 200 barili, si dirige verso Genova, l’albero maestro èrotto, i passeggeri sono 12, il vento soffa in direzioneNord-Nord-Est, l’orologio segna le 3 del pomeriggio, èmaggio. Trovare l’età del capitano della nave.


Proposte

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Nessuna soluzione

Una nave si trova in mare, è partita da Venezia caricadi 200 barili, si dirige verso Genova, l’albero maestro èrotto, i passeggeri sono 12, il vento soffa in direzioneNord-Nord-Est, l’orologio segna le 3 del pomeriggio, èmaggio. Trovare l’età del capitano della nave.


Proposte

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E il problema di Monty Hall?


C. Tre porte chiuse.

Dietro a una c’è un’automobile, dietro alle altre due unacapra. Scelgo una delle tre porte, senza aprirla.

Il conduttore dello show (sa dove si trova l’automobile) apreuna delle due porte restanti e in cui c’è la capra.

Mi conviene cambiare porta o mantenere quella sceltainizialmente? (Paradosso di Monty Hall)

E il problema di Monty Hall?


- Supponiamo di non cambiare la prima scelta.

Allora la probabilità di vittoria è 1/3 (1 auto su untotale di 3 possibilità)

- Supponiamo di cambiare la prima scelta.

Allora si vince se la scelta iniziale è ricaduta su unaporta che nasconde una capra, quindi la probabilità divittoria è 2/3 (2 capre su 3 porte)

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B. D’Amore, I. Marazzani, Problemi e laboratori. Metodologie per l’apprendimento dellamatematica, Pitagora, 2011.

G. Faccio, S. Vallortigara, B. Pea, Il problem solving. Le storie del maestro Sergio. Volume perinsegnanti, Vannini Editrice, 2009.

M. Todeschini, I.C. Mammarella, D. Lucangeli, E. Pellizzari, Imparo a risolvere problemi diGeometria. Potenziamento del problem solving geometrico per il secondo ciclo della scuolaprimaria e per la scuola secondaria di primo grado, Erickson 2015.

MIUR, Indicazioni Nazionali per il curricolo della scuola dell'infanzia e del primo ciclo di istruzione,2012.

G. Polya, Come risolvere i problemi di matematica, Feltrinelli, 1945.

P. Ricchiardi, C. Coggi, Gioco e potenziamento cognitivo nell’infanzia. Comprensione, memoria,ragionamento, capacità critica e creatività, Erickson, 2011.

R. Zan, Problemi e convinzioni, Pitagora Editrice Bologna, 1998.

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