• Characterizing Bisimulations Categorie, processi, linguaggi: Algebra e logica al servizio dell’informatica

Paolo Bottoni

Anna Labella

Automi e stati

Un automa è descritto da:

Stati STransizioni, cioè mosse elementari da un alfabeto A che sono “accettate” per passare da uno stato all’altro.

Partiamo dagli automi

Partiamo dagli automi

Un automa è un sottomonoide del monoide SS

Per ogni a in A, fa: S S

Un omomorfismo tra monoidi non corrisponde affatto ad un Omomorfismo tra automi

Dato un monoide M, questo è il monoide associato ad un automa

Si tratta di una somiglianza “occasionale”, non è “naturale”

Le categorie

Sono di particolare importanza le strutture “libere”, cioè quelle che non godono di più proprietà di quelle loro richieste

La struttura algebrica di categoria tiene conto dei morfismi, oltre che degli oggetti.

•Canonicità: si pone un problema e gli si dà una soluzioneunica a meno di isomorfismi

•Naturalità: le buone costruzioni devono essere invarianti per trasformazioni

Torniamo agli automi

Un automa è un insieme di stati “arricchito” sul monoide dei linguaggi P(A*).

Un morfismo tra automi è indotto da un “cambiamento di base” tra i rispettivi monoidi di linguaggi.

s s’ww’

A* B*

P(B*)P(A*)

AutBAutA

Alcune proprietà

Vale l’assiomatizzazione per le espressioni regolari (Salomaa, Kozen), in particolare la distributività: a (b+c) = ab + ac

Adesso tutto funziona perfettamente: le operazioni tra i linguaggi si “sollevano” ad operazioni tra automi

In particolare somma e concatenazione

Il caso non deterministico [Milner]nel calcolo paralleloNon sappiamo più nulla sugli stati, ma possiamo fare “esperimenti” per scoprire il comportamento di un processo

I processi come scatole nere

a

cb

?=

a a

cb

Osservatori ed esperimenti

Gli osservatori sono processi noti il cui comportamento viene forzato a coincidere con quello di una scatola nera:

a a a

cb b

||

Urrah!

a a a

cb b

||

Boh!

Osservatori ed esperimenti

Gli osservatori sono processi noti il cui comportamento viene forzato a coincidere con quello di una scatola nera:

Ciò non può succedere nell’altro caso

a a

cb b

||

Urrah!

Quindi a (b+c) ≠ ab + ac

Osservatori ed esperimenti

Gli alberi

Si possono pensare alberi generalizzati ad altri tipi di semireticoli L (o anche strutture molto più generali) (Walters-Kasangian)Con morfismi le simulazioni

a

cb c bb

a a

b c

I morfismi tra alberi

Le simulazioni possono essere non strette e quindi non rispettare il nondeterminismo

Questo è un esempio di monomorfismo non stretto

a

cb

a a

b c

Proprietà universale

Gli alberi finiti sul monoide libero sono la struttura libera come categoria con somma e con prodotto semidistributivo

Se gli alberi regolari vengono considerati come espressioni regolari generalizzate, hanno un’assiomatizzazione finita (DN-L)

Generalizzazione dei linguaggi

Caratterizzazione delle bisimulazioni (D. Gorla)

Alberi con simulazioni

Proposizione 1

Gli alberi con le simulazioni formano una categoria coerente.Cioè possiamo definire nell’insieme parzialmente ordinato dei sottoggetti di un oggetto tutti gli operatori positivi:

intersezione congiunzioneunione disgiunzione

immagine quantificatore esistenziale

che soddisfano opportune condizioni di coerenza (un’altra forma della naturalità)

Alberi con simulazioni strette

Proposition 2

Gli alberi con le simulazioni strette formano una categoria di Heyting (cioè. un “logos” [Freyd] ). Cioè possiamo definire nell’insieme parzialmente ordinato dei sottoggetti di un oggetto tutti gli operatori positivi e negativi:

implicazionenegazione

quantificatore universale

Associare un linguaggio logico ad una categoria

•Possiamo definire operatori positivi e negativi per tutte le formule,

•I negativi si comporteranno bene soltanto sulle formule “strette”.

Possiamo parlare di computazioni con questo linguaggio

Oggetti TipiSottoggetti FormuleMorfismi Termini

Monomorfismi Deduzioni

Una serie di operatori che si trasformanoin lettere funzionali e predicative del linguaggio

Se L’ è generato da un alfabeto con un elemento speciale †, possiamo: • Cancellare tutte le sue occorrenze come etichetta mediante un operatore del, oppure

• Rimuovere tutti i cammini contenenti † mediante un operatore res

Tree ha un prodotto tensore

Una logica più che coerente

1. Una logica coerente [Johnstone 2002] è un linguaggio tipato con gli operatori positivi, l’uguaglianza ed il sistema deduttivo comprendente le regole ), ), ), ), ) e )

2. Una logica intuizionista del primo ordine [Johnstone 2002] è un linguaggio tipato con tutti gli operatori, l’uguaglianza ed il sistema deduttivo comprendente le regole ), ), ), ), ), ) e ) (in questo caso le regole ) sono regole derivabili)

3. Una logica più che coerente è un linguaggio tipato con tutti gli operatori, l’uguaglianza ed il sistema deduttivo comprendente le regole della logica del primo ordine, eccetto la seconda parte delle regole ) e ).

Teorema

Gli alberi sono un modello di una logica “più che coerente”perché contengono una sottostruttura che è una categoria di Heyting (modello di una logica intuizionista).Anzi contengono una sottostruttura che è un topos.(modello di una logica intuizionista di ordine superiore).

In questi linguaggi possiamo usare gli operatori sopra menzionati, ma anche una famiglia di modalità X : “è deterministicamente vero rispetto ad un tipo X”Tutte le formule che comnciano per X si comporteranno bene nella logica intuizionista

Esempio di formula che non si comporta bene

Questa significa che abbiamo una simulazione del processo X mediante il processo Y più deterministico,

dove due computazioni di X sono simulate da altrettante in Y con la stesse successioni di mosse,

magari dimenticandone qualcuna nella seconda

Un altro esempio

con x di tipo X, y di tipo Y, supponiamola vera una volta interpretata nel contesto Y. Allora ci sarà un mono da Y alla sua interpretazione.

Se togliamo la quantificazione universale, la nuova formula sarà ancora interpretata come sottoggetto di Y, ma, non corrispondendo ad un mono stretto, non ci sarà un mono da Y a questo sottoggetto. Questo fatto falsifica la seconda parte della regola ).

Possiamo parlare di:Cooperative computation through pictures

Dato un alfabeto di immagini elementari V costruiamo un monoide-semireticolo Imediante l’operazione di sovrapposizione

1 2

x1=4, x2=2

x1=5, x2=1 x1=1, x2=5

x1=2, x2=4

x1=3, x2=3

x1=6, x2=0

x1=0, x2=6

x1=8, x2=6

Esempi di sovrapposizione lineare

1 2

0

t

e

0

t

e

0

t

e

0

e

1 &1 2

0

t

e

0 t

1 &2 2

Esempi di sovrapposizione bidimensionale

0

t

e

0 t

1 &3 2

Un gioco basato sul problema dei 4-colori

Ai giocatori (Proponente e Opponente) viene data una collezione di mappe

Trovare una colorazione di una mappa usando al più quattro colori in modo che regioni adiacenti non siano colorate nello stesso modo,

? ?

k1 k2

il Proponente vince se può proporre una regione che l’Opponente non può colorarel’ Opponente vince se riesce a completare la colorazione.

La vittoria dipende dall’indovinare la mappa giusta.

Il proponente sceglie una regione da una mappa (ignota all’Opponente) e lo sfida a colorarla secondo le regole del gioco usando la sovrapposizione; una regione già colorata non può essere cambiata

Dopo che l’Opponente ha colorato, il Proponente sceglie una nuova regione (non necessariamente sulla stessa mappa) ed il gioco prosegue.

Possiamo “filtrare” alberi e linguaggi

Usando formule contenenti i corrispondenti sintattici degli operatori , , res e del

Relazioni con la logica dei fuzzy sets[Novak, Perfilieva, Mockor 1999]

• Classificazione dell’appartenenza

• Classificazione dell’uguaglianza ?

Bibliografia