CARTILLA DE MATEMATICA INGRESO 2020 teoria2 - frt.utn.edu.ar … · &5,7(5,2 '( ',9,6,%,/,'$' 6l ho...

MatemáticaSeminario de Ingreso 2020

Ing. SAAVEDRA, Raúl COORDINADOR ÁREA MATEMÁTICA

UTN – FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN

ÍN D I C E

SÍMBOLOS y ALFABETO GRIEGO Pág. I

UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS Pág. 1

Conjuntos. Definición. Operaciones.

Números Naturales y Enteros. Propiedades.

Números Racionales. Propiedades.

Números Irracionales. Propiedades. Notación científica.

Números Reales. Estructura algebraica.

Números complejos. Estructura algebraica.

UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Pág. 19

Clasificación de las expresiones algebraicas.

Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio.

Operaciones entre polinomios.

Regla de Ruffini y Teorema del Resto.

Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra.

Factoreo.

Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificación.

UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Pág. 35

Figuras planas. Conceptos básicos.

Polígonos. Conceptos y clasificación.

Calculo del perímetro y el área de un polígono.

Ángulos. Conceptos y clasificación. Sistemas de medición.

Triángulos. Clasificación y propiedades. Mediatriz, bisectriz, altura y mediana.

Cuadriláteros. Clasificación y propiedades.

Circunferencia. Conceptos generales. Tangentes y secantes.

Perímetro, área y longitud de los triángulos, cuadriláteros y circunferencia.

Cuerpos geométricos. Clasificación. Calculo del volumen.

Razones trigonométricas.

Resolución de Triángulos Rectángulos.

Circunferencia trigonométrica.

Relación entre ángulos de distintos cuadrantes.

Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno.

UNIDAD 4: ECUACIONES Pág. 53

Ecuación. Conceptos generales. Clasificación.

Ecuaciones lineales. Conceptos generales. Aplicaciones.

Ecuaciones cuadráticas. Conceptos generales.

Distintas formas de resolver y expresar a la ecuación cuadrática.

Naturaleza de las raíces. El discriminante.

Aplicaciones de la ecuación cuadrática.

Ecuaciones racionales. Conceptos generales.

Ecuaciones Irracionales. Conceptos generales.

Inecuaciones. Conceptos generales. Resolución de inecuaciones lineales,

fraccionarias y con valor absoluto. Aplicaciones.

UNIDAD 5: FUNCIONES Pág. 75

Función. Conceptos Generales.

Dominio, rango y grafica de las funciones.

Clasificacion de las funciones.

Funciones polinomicas. Clasificacion.

Función Afín.

Distintas formas de expresar la ecuación de la recta.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Función Cuadrática. Conceptos generales.

Función Racional Fraccionaria. Función Irracional. Conceptos generales.

BIBLIOGRAFÍA Pág. 102

Matemática

Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT I

Símbolos Matemáticos

Alfabeto Griego alfa beta gamma delta

épsilon lambda mu rho

pi sigma psi omega

= igual a ∧ y

≠ no es igual a ∨ o, en sentido inclusivo

≅ aproximado a ∨ o, en sentido exclusivo

< menor que implica (condición necesaria)

≮ no es menor que Implica doblemente (condición necesaria y

suficiente)

> mayor que ∴ Por lo tanto; en consecuencia

≯ no es mayor que / Tal que

≤ menor o igual que ∃ Existe

≥ mayor o igual que ∀ Para todo

± mas o menos ∈ Pertenece

∞ Infinito ⊆ Incluido en

∝ proporcional a ⊂ Incluido estrictamente en

// paralelo a ⊇ Incluye a

⊥ perpendicular a ⊃ Incluye estrictamente a

∡ ángulo ∪ Unión o junta

⊾ ángulo recto ∩ Intersección o reunión

Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS

Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 1

INTRODUCCIÓN

Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el término “conjunto”,

seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada.

En matemática esta expresión no está para nada alejada de lo que entiendes por un conjunto, la

diferencia radica en que los conjuntos que trataremos son aquellos que están formados por

números. Los números son elementos fundamentales en el estudio de la matemática, ya que gracias

a ellos se pueden precisar o determinar exactamente respuestas a algunas de las preguntas del ser

humano, es por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos en esta unidad,

agruparlos. Conjuntos

Ideas, Conceptos y Definiciones

La idea de conjunto es muy intuitiva y en su definición más primaria podemos afirmar que

Un conjunto es una colección de objetos que llamaremos elementos Vamos a usar letras

mayúsculas para denotar conjuntos y letras minúsculas para denotar elementos. Así, A es

un conjunto y x un elemento.

La definición de conjunto no hace ningún tipo de alusión con respecto a los elementos del

conjunto. En particular, no determina si el conjunto tiene una cantidad finita de elementos,

infinita, si los elementos guardan alguna relación entre sí (es decir, si son clasificables), etc.

Notación de Conjuntos

A los conjuntos los denotaremos entre llaves, así, por

ejemplo, el conjunto

A = {1, 2, , , }

es un conjunto cuyos elementos parecen no guardar

relación alguna.

En cambio, el conjunto

B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}

es el conjunto de números naturales pares.

Cuando los elementos que componen un conjunto guardan una cierta relación entre sí,

podremos describir a un conjunto por comprensión.

De esta manera, el conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} puede ser descripto como

B = {x, tal que x es un natural par}

Cuando un conjunto está dado por la totalidad de sus elementos, se dice que el conjunto

está definido por extensión.



Cuando lo que define al conjunto es la cualidad de sus elementos decimos que el conjunto

está definido por comprensión.

En lo que sigue veremos relaciones entre elementos y conjuntos y entre conjuntos. Es

necesario que nos vayamos familiarizando con la notación conjustista, ya que toda la

matemática moderna está basada en estas ideas.

Aplica lo aprendido

Escribir por compresión los siguientes conjuntos:

a) A = {2, 4, 8, 16, 32, ...} b) B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Pertenencia e Inclusión

Cuando un elemento x cualesquiera está dentro de un conjunto A decimos que

x pertenece a A y lo denotamos

𝒙 ∈ 𝑨

Cuando dados dos conjuntos, A y B en el que todos los elementos de A están también en

B decimos que A esta incluido en B y se denota

𝑨 ⊂ 𝑩

En términos simbólicos, decimos

𝑨 ⊂ 𝑩 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑨 → 𝒙 ∈ 𝑩

Como los conjuntos pueden contener elementos de naturaleza arbitraria, nada impide

que un conjunto tenga por elementos a otros conjuntos. Veamos el ejemplo siguiente. Sea

B el conjunto

𝐵 = {{1, 2}; {𝑎, 𝑏, 𝑐}; 1; 2}

Notemos que algunas relciones de pertenencia e inclusión son:

1 ∈ 𝐵

2 ∈ 𝐵

{1, 2} ∈ 𝐵

{1, 2} ⊂ 𝐵

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∉ 𝐵

{𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ 𝐵

Denotamos como 𝝓 al conjunto que no tiene elemento. Y lo denominamos conjunto

vacío.



Unión e Intersección de Conjuntos

La unión e intersección entre conjunto son operaciones:

Esto significa que, a cada par de conjuntos, A y B unir A con B da como resultado un

nuevo conjunto que se obtiene a partir de ambos. Lo mismo ocurre con la intersección.

Unión

Dados dos conjuntos, A y B definimos como unión de A y B al conjunto denotado por A [ B

y es el conjunto formado por todos los elementos de A y los elementos de B, sin repeticiones.

Claro que existe una manera más formal de escribirla, pero escribámosla después de un

ejemplo.

Consideremos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 5, 7}. Entonces

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}

notemos que el 3 que pertenece a los dos conjuntos no lo repetimos.

Esto significa que los elementos que componen A B son aquellos que están en A o están

en B.

La definición es, entonces,

𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ↔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐 𝒙 ∈ 𝑩

Intersección

La intersección de dos conjuntos es el conjunto que obtiene con los elementos que son

comunes a ambos conjuntos. Esto es, si A y B son conjuntos, la intersección entre A y B, la

denotamos A B y se define a través de

𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 ↔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∈ 𝑩

El diagrama de Venn mostrado en la figura ilustra la unión e

intersección de dos conjuntos.

En lo que sigue nos abocaremos a estudiar conjuntos numéricos, es decir, conjuntos cuyos

elementos son números.



NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son los que comúnmente usamos

para contar, se representan por el símbolo N. Sus elementos

son:

N = {1, 2, 3, 4, . . .1}

Este conjunto es “cerrado” para la suma y la multiplicación, es

decir: para todo par de números en N, su suma y su multiplicación

también es un número natural.

Este conjunto NO es “cerrado” para la resta y la división, ya que:

para todo par de números en N, su resta y división NO es

necesariamente un número natural.

Los números naturales están ordenados.

Se los representa en la recta numérica.

Si al conjunto de los números naturales le

agregamos el 0 (cero), obtenemos el conjunto

de los Números Cardinales; este se representa

por el símbolo N0, y sus elementos son:

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .1} = N {0}

NÚMEROS ENTEROS

Es el conjunto formado por los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo.

𝑍 = {−∞, … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . +∞}

= 𝑍 ∩ {0} ∩ 𝑁

= 𝑍 ∩ 𝑁

Los números naturales tambien sirven para ordenar. Por ejemplo, decimos martes es el segundo dia de la semana; 5 es el quinto número natural, etc.

Observa que …

1 + 5 = 6 N

4 x 7 = 28 N

2 – 2 = 0 N

3 – 8 = – 5 N



A diferencia de los números Naturales, este conjunto si es

“cerrado” para la suma, la resta y la multiplicación; es decir:

para todo par de números enteros, su suma, multiplicación

y diferencia es siempre un número entero.

Este conjunto no es cerrado para la división, ya que una

división entre dos números enteros no es necesariamente

otro número entero.

Ejemplos:

– 2 Z implica – (– 2 ) = 2 Z

3, – 7 Z implica 3 + (– 7 ) = – 4 Z

3, – 7 Z implica 3 – (– 7 ) = 10 Z

3, – 7 Z implica 3 x (– 7 ) = – 21 Z

Su representación gráfica es,

Ejemplo: Ayer amaneció con una temperatura de 3 °C bajo cero; hoy la temperatura

aumento 5 °C. ¿Cuál es la temperatura de hoy?

Solución

Piensa …

¿Cuántos enteros existen entre 3 y 11?, ¿y entre – 4 y 5?

¿Qué podrías afirmar sobre la cantidad de enteros que existen entre dos

enteros dados?

¿Cuántos enteros hay entre dos cualesquiera?

Se dice que un número a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que: a + b = 0 b es también conocido como − a.

Para cualquier número x existe un único que cumple que: x + (ese único) = x a ese número lo conocemos como neutro aditivo, (o también conocido como 0).



NÚMEROS RACIONALES

Al conjunto de los números racionales lo representamos por:

/ , , 0p

p q qq

Q Z

Se cumple que, para cada par de números racionales, la suma, resta, multiplicación y

división (excepto por cero), es siempre un número de Q, a este tipo de conjuntos se les

conoce como CUERPO.

Piensa …

¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?,

y ¿mayor o igual que todos los demás?

¿Qué podrías afirmar sobre la cantidad de racionales que existen entre

dos de ellos?

¿Cuántos racionales hay entre dos cualesquiera?

Los números racionales pueden expresarse de diferentes formas.

Ejemplo: expresa de diferentes formas el número cinco cuartos.

Solución

5 5 15 1251,25 1,250...

4 4 12 100DECIMAL

FRACCIONARIA

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Sean a, b Z con b 0, si dividimos a en b,

entonces existen q y r también enteros tales

que:

a = b . q + r

El resto de dividir dos números enteros puede ser

distinto de cero.

Ejemplo: divide 7 en 2.

7 2

1 3

7 2.3 1

.

a b

r q

a b q r

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD

Si el resto de la división es, r = 0

resulta a = b . q

se dice entonces que, b divide a, o que a

es múltiplo de b, o que a es divisible por b.

Observa que…

8 4

0 2 8 4 . 2 0

de modo que 4 divide a 8, o también, 8 es

divisible por 4.



Forma DECIMAL

Toda fracción tiene su representación como número decimal, para obtenerlo basta dividir

el numerador con el denominador.

Ejemplo: 9

2,25 :4

2 2 5,N decimal

Parte Parte

Entera Decimal

Un número Q puede tener tres tipos diferentes de expresiones decimales:

Decimal finita: 0,4; 0,324; 84,0021

Decimal periódica pura: 0,555. . . = 0, 5⏜ 7,202020. . . = 7, 20

Decimal periódica mixta: 0,1555. . . = 0,1 5⏜ − 5,251313. . . = −5,25 13

°

Forma FRACCIONARIA

Vimos que todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte

decimal puede tener un número finito o infinito de cifras periódicas, puras o mixtas.

Ahora, es posible convertir ese decimal en fracción. Para ello usaremos la siguiente regla:

anota el n° hasta donde se produce la periodicidad las cifras no periódicas de la expresión

tantos 9 como cifras periódicas y tantos 0 como cifras no periódicasN

Ejemplo: pasar a fracción los siguientes decimales, 𝑎) 6,3333. . . 𝑏) 23,3 5⏜ 𝑐) 0,03 51

Solución

Aplicamos la regla de conversión para dar respuesta a lo solicitado.

𝑎) 6,3333. . . = 6, 3⏜ =63 − 6

9=

57

9=

19

3

𝑏) 23,3 5⏜ =2335 − 233

90=

2102

90=

1051

45

𝑐) 0,03 51 =351 − 3

9900=

348

9900=

29

825

Parte No Periódica

Parte Periódica

Parte Entera

Parte Decimal



NÚMEROS IRRACIONALES

Es el conjunto de todos los números que no pertenecen al mundo de los racionales, es decir

no se pueden escribir como fracción ya que tienen infinitos decimales sin ninguna relación.

Una forma de enunciar sus elementos es:

/a a I Q

Algunos elementos de este conjunto son: , , 2e , etc . . .

NÚMEROS REALES

Es el conjunto que resulta de la unión de todos los conjuntos que hemos visto, pero como

te habrás dado cuenta, en los números racionales están ya incluidos los naturales y los

enteros, entonces podemos decir que:

𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰

Ver diagrama de Venn del conjunto de los números R.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ℝ = ℚ ∪ 𝕀

Observa que . . .

Entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales no existe

ningún elemento en común. Además, NO es un cuerpo, ya que sus elementos

al sumarse, restarse, multiplicarse, o dividirse dan por resultado un número

racional, como, por ejemplo; 21

2 , y 1 no es un número irracional.

N Z Q I

R



El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada

número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta

representa un único número real. A esta recta la llamamos recta real.

No siempre somos capaces de representar exactamente un número real, sin embargo,

siempre es posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión

decimal.

Ejemplo: representa los siguientes números reales

71,5 6 3

2 en la recta real.

Propiedades

Al combinar los números reales utilizando las operaciones de suma y multiplicación,

tenemos:

PROPIEDAD EJEMPLO

a b b a 7 + 3 = 3 + 7

. .a b b a 4 . 5 = 5 . 4

( ) ( )a b c a b c (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)

( . ). .( . )a b c a b c (8 . 2) . 3 = 8 . (2 . 3)

.( )a b c ab ac ( ).b c a ab ac

2 . (1 + 4) = 2 . 1 + 2 . 4 (1 + 4) . 2 = 2 . 1 + 2 . 4

( 1). a a (– 1) . 3 = – 3

( )a a – (– 5) = 5

( ). .( ) ( )a b a b ab (– 4). 3 = 4. (– 3) = – (4. 3)

( ).( )a b ab (– 2) . (– 8) = 2 . 8

( )a b a b – (7 + 3) = – 7 – 3

( )a b b a – (8 – 5) = 5 – 8

Observa que...

No existe un número real que sea

mayor o igual a todos los demás, ni

uno que sea menor o igual que todos

los demás.

Además, entre dos números reales

cualesquiera existen infinitos números

racionales, e infinitos números

irracionales.

-… -3 -2 -1 0 1 2 3 4…

73 1,5 6

2



Orden operatorio

Cuando trabajes con ejercicios de operaciones combinadas, es decir ejercicios que

contengan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente

que existen prioridades en el desarrollo de éstas, esto es, hay operaciones que deben

realizarse antes que otras para obtener el resultado correcto. Este orden es el siguiente:

1. Potencias (y raíces)

2. Multiplicaciones y divisiones

3. Sumas y restas.

La presencia de paréntesis dentro de algún ejercicio, nos indicará que debemos realizar

primero las operaciones que están dentro de él.

Ejemplo: 6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2

Solución

Primero debemos resolver el paréntesis (la potencia, luego la

multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y

la división 26 ÷ 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas.

Entonces se vería algo así:

6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 4· 3) – 26 ÷ 2

= 6 + 4 · (14 − 12) – 26 ÷ 2

= 6 + 4 · (2) – 26 ÷ 2

= 6 + 8 – 26 ÷ 2

= 6 + 8 – 13

= 14 – 13

= 1



INTERVALOS Hemos visto el conjunto de los números reales R, lo podemos representar en una recta

numérica. Por lo tanto, cada segmento de esta recta representa un subconjunto de R,

cada uno de estos subconjuntos se denomina Intervalo. Existen distintos tipos de intervalos.

Observa la siguiente tabla:

INTERVALO GRÁFICA

Intervalo abierto

(a, b) = { x R / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = { x R / a x b}

Intervalos semiabiertos

(a, b] = { x R / a < x b}

[a, b) = { x R / a x < b}

Intervalos infinitos

[a, ) = { x R / x a}

(a, ) = { x R / x > a}

(- , a] = { x R / x a}

(- , a) = { x R / x < a}

(- , ) = R

0 a b

0 a b

0 a

0 a

0 a

0

0 a b

0 a b

0 a



VALOR ABSOLUTO

Para cualquier número real a, el valor absoluto de a, denotado por |a|, es:

0

0

a si aa

a si a

Ejemplo:

a) |3| = 3 b) |- 3| = - (-3) = 3 c) |2 - | = - (2 - ) = - 2

Distancia entre puntos en la recta real

Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta real es:

d(a, b) = |b – a|

Ejemplo: la distancia entre los números – 8 y 2 es:

D(-8, 2) = |- 8 – 2|= |-10|= 10

Gráficamente

POTENCIACIÓN

Definición

. . . ... .na a a a a a Z y n N

a: base n: exponente

Propiedades

Sean a, b R – {0} y n, m Z, entonces:

PROPIEDAD EJEMPLO

.m n m na a a 3 2 3 2 52 . 2 2 2

:m n m na a a 5 2 5 2 36 : 6 6 6

( . ) .n n na b a b 2 2 2(3 . 4) 3 . 4

( : ) :n n na b a b 3 3 3(3 : 2) 3 : 2

.nm m na a 23 3.2 62 2 2

0 1a 05 1

1a a 18 8

1nn

aa

22

14

4

0 2 - 8

10



RADICACIÓN

Definición

n a b tal que bn = a

n Z a, b R

a: radicando n: índice de la raíz

La radicación de números entero no siempre es un entero.

Propiedades

Sean a, b R y n, m N, entonces:

PROPIEDAD EJEMPLO

. .n n na b a b 3 33 ( 8).27 8 . 27 ( 2).3 6

: :n n na b a b 4 4 4 381:16 81: 16

2

.m m nn a a 3 6729 729 3

mn m na a 4

3 4 33 3

1 1a

a

1 1

55

1nn

aa

22

1 13

93

mn mna a

23 234 4

Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y mismo radicando.

Signos de la radicación

i. N° positivo = N° positivo

ii. N° negativo = N° negativo

iii. N° positivo = N° positivo

iv. N° negativo =

impar

impar

par

par R

R

3

3

4

27 3

8 2

16 2

9



Operaciones

a) Suma o resta: solo puede efectuarse cuando los

radicales son semejantes.

Ejemplo: 3 33 8 2 11 2a a a a a

b) Producto o cociente: primero hay que reducirlo a

índice común.

Ejemplo: 6 3 23.a b a b

c) Racionalización de denominador: se multiplica y

divide por una expresión adecuada, de manera

que permita suprimir los radicales del denominador.

Ejemplo:

1 1

.a b a b

a ba b a b a b

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Definición

N = a, bcd… x 10n

a: parte entera (solo una cifra, entre 1 y 9)

bcd… : parte decimal

10n: potencia entera de base 10

Evita cometer el siguiente

error:

a b a b

Ejemplo:

?

?

?

¡ !

9 16 9 16

25 3 4

5 7

lo cual es INCORRECTO

Si n es positivo, entonces N es grande.

Si n es negativo, entonces N es chico.



Operaciones

a) Para las sumas y restas hay que preparar los sumandos de modo que tengan todos

la misma potencia de base 10 y así poder sacar factor común.

Ejemplo: 9 12 9 9 95,83.10 6,932.10 5,83.10 6932.10 6937,83.10

b) Para productos y cocientes, se multiplican (dividen) las mantisas entre si y las

potencias de base 10 se suman (restan). Ejemplo:

Ejemplo: 4 7 117,25.10 2,20.10 15,95.10

PRODUCTOS NOTABLES

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

CUBO DE UN BINOMIO

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

DIFERENCIA DE CUADRADOS

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)



LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL

Definición

nblog a = n b = a con a, b > 0 y b 1

a, es el argumento del logaritmo

b, es la base del logaritmo

n, valor del logaritmo.

Propiedades

Nombre En símbolos

Logaritmo de un producto b b blog (x .y) = log x + log y

Logaritmo de un cociente b b blog (x :y) = log x - log y

Logaritmo de una potencia

nb blog x = n . log x

Cambio de base. b

log xlog x = a > 0 y a 1

log ba

a

Logaritmo en base a de a. log a = 1a

Logaritmo de uno. log 1 = 0a

Si la base es el número neperiano “e”, entonces:

ln x = loge x logaritmo natural o neperiano



Unidad imaginaria

2j = -1 j = -1

j0 = 1 j3 = - j j1 = j

j4 = 1 j2 = -1 j5 = j

vemos que cuando el exponente es 4,

n

En general, cuando n 4, hacemos:

44 4 . . 1.qn q r q r r r rj j j j j j j j

Ejemplo: calcula j69

n = 69 69 : 4 = 17

y sobra 1 r = 1 j69 = j1 = j

NÚMEROS COMPLEJOS

Definición

A los números complejos podemos escribirlos en su forma binómica como: Z = a + bj.

Siendo a y b números reales y “j” el operador imaginario. A este conjunto se los representa

con C.

Decimos también que “a” es la parte o componente real y “b” es la parte o componente

imaginaria.

Operaciones

OPERACIÓN EJEMPLO PASOS A SEGUIR

Suma

Z + Z 1 2

(1 2 ) (2 4 )1 2 (1 2) (2 4)

3 6

Z Z j j

j

j

Se agrupan las componentes reales e

imaginarias entre si y luego se realiza la suma.

Resta

Z - Z1 2

- (5 3 ) - (2 4 )1 2 (5 - 2) (3 - 4)

3

Z Z j j

j

j

Se agrupan las componentes reales e

imaginarias entre si y luego se realiza la resta.

Producto

Z . Z 1 2

. (2 3 ) . (1 4 )1 22 2 .1 2. 4 3.1 3.4

(2 - 12) (8 3)

-10 11

Z Z j j

j j j

j

j

Se realiza la multiplicación de los paréntesis

como de costumbre, es decir, término a

término. Al final agrupas componentes reales

por un lado e imaginarias por otro y efectúas las

operaciones de sumas o restas que hayan

quedado entre ellas.

Cociente

Z : Z1 2

22

2 3 1 - 2 1 2 1 2 1 - 2

2 4 3 6 , 1

21 2 2 4

2 6( 1)

1 4( 1)

8 1 -

5 5

:

2 65

j jZ Z

j j

j j jj

j j j

j

j

j

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del

complejo divisor. Realizamos los productos en

numerador y denominador, tal como se explicó

anteriormente. Notarás que el denominador se

reduce a un número real (siempre). Distribuye

respecto al denominador común para visualizar

mejor las componentes del complejo.



Propiedades

Sea Z = a + bj un número complejo

PROPIEDAD EN SÍMBOLOS EJEMPLO

Conjugado de Z. Z a bj 2 3 2 3Sea Z j Z j

Opuesto de Z. Z a bj 2 3 2 3Sea Z j Z j

Producto de un Z por su conjugado.

2 2.Z Z a b 2 22 3 . 2 3 4 9 13Sea Z j Z Z

Suma de un Z con su conjugado.

2Z Z a 2 3 2.2 4Sea Z j Z Z

Resta de un Z con su conjugado.

2Z Z bj 2 3 2.3 6Sea Z j Z Z j j

Módulo de Z 2 2Z a b 2 22 3 2 3 13Sea Z j Z

Dirección de Z b

arctga

3

2 3 56,32

Sea Z j arctg

Representación gráfica

El conjunto numérico visto en esta unidad, queda definitivamente en este orden:

Imaginarios

Irracionales

FraccionariosN° Complejos

Reales NaturalesRacionales

Enteros 0

Enteros Negativos

Eje Real

Eje Imaginario

Zde conjugado

bj - a Z

bj a Z

Zde opuesto

bj - a- Z-

| Z |

El módulo de un número

complejo es el módulo

del vector determinado

por el origen de

coordenadas y el punto

Z(a, b) llamado afijo del

complejo Z.

Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS


EXPRESIONES ALGEBRAICAS. EL LENGUAJE ALGEBRAICO

El Álgebra es la rama de la Matemática que se basa en el empleo de números y letras para

representar relaciones aritméticas.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Una expresión algebraica es la combinación de números y letras relacionados mediante

operaciones aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades

matemáticas.

Recuerda que…

Las expresiones algebraicas, o lenguaje algebraico, se utilizan para expresar

una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas.

En la siguiente tabla se recogen algunos ejemplos de traducción de expresiones en el lenguaje

verbal al algebraico:

Si mi edad es x

El doble de mi edad es 2 x

La edad que tendré dentro de 5 años será x + 5

Si el número de mi casa es y Los números de las casas que están a la

derecha y la izquierda de la mía son

y + 2

y - 2

Si tengo z docenas de huevos

La mitad del número de docenas de huevos

que tengo será z/2

El número de huevos que tengo será 12 z

Si mi hermano mayor tiene x

años y yo tengo y años de

edad

El cantidad de años que me lleva mi hermano

será x – y

Si tengo un cuadrado de lado L Su área vendrá dada por L2



Ejemplo: Expresa algebraicamente el área de un rectángulo de lados a y b.

Solución

Planteamos la situación:

xÁrea = lado lado

A a b

Si a = 6 cm y b = 4 cm, el área es 6 × 4 = 24 cm2.

Observa que hemos generalizado la expresión del cálculo del área de un rectángulo mediante

letras. Cada letra representa un lado.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Valor numérico de una expresión algebraica es el

resultado que se obtiene cuando se sustituyen las letras de

la expresión por números.

Ejemplos:

1. Si x = 2, el valor numérico de 23 2 :x x es

23 2 2 2 12 4 8

2. Si el lado (L) de un cuadrado es 3 cm, su área será:

23 3 9A L L cm

3. Si x = – 2, el valor numérico de 222 : 2 2 2 . 4 8x es

CONCEPTOS BÁSICOS

Término

Es cada sumando, o cada parte, en una expresión algebraica, separada por + o −.

Nota. Expresiones algebraicas que constan de un solo término se llaman monomios, con dos términos se llaman binomios, etc.

Coeficiente

Cada término consta de: un factor numérico y un factor literal. El factor numérico de un término se denomina coeficiente numérico o simplemente coeficiente.

Términos semejantes Son los términos que tienen el mismo factor literal (se diferencian sólo en su coeficiente numérico).

Es lo que hizo en el ejemplo del

área del rectángulo, primero se

asignó valores a las letras (lados

del rectángulo) y finalmente se

realizó el producto entre ellas

para calcular el valor del área.



Ejemplo: sea la expresión 5xy2 − 3xy + 2xy2 – 7

el coeficiente numérico del término 5xy2 es 5

los términos 5xy2 y 2xy2 son términos semejantes. (¿Porqué?)

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Entre las expresiones algebraicas podemos distinguir dos tipos: las RACIONALES y las IRRACIONALES.

Las expresiones algebraicas racionales son aquéllas en las que las operaciones que se realizan con

sus variables son sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potenciación con exponente entero. A

su vez a estas expresiones las podemos subdividir en dos grupos:

1) racionales enteras o polinomios que son las que combinan sus variables con las siguientes

operaciones: suma, resta, multiplicación y potencia con exponente natural o cero.

2) las racionales no enteras o fraccionarias cuyas variables están afectadas por las mismas

operaciones que la anterior solo que el exponente de la potenciación puede ser un número

entero.

Las expresiones algebraicas irracionales son las que combinan sus variables con todas las

operaciones antes mencionadas además de potencias con exponente fraccionario o raíces.

Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en:

Enteras Racionales

Fraccionarias

Irracionales

Expresiones Algebraicas

Ejemplos de expresiones algebraicas:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA TIPO

4 3 23 2 5 8 1x x x x Racional entera (polinomio)

4 2

3

2 24 18

x x xxx

Racional fraccionaria

25 3 32 1x x x

Irracional



POLINOMIOS

DEFINICIÓN

Es una expresión algebraica formada por sumas o restas de monomios no semejantes

llamados términos. Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma:

P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0

Donde

n Z, n ≥ 0 se llama grado del polinomio (es el mayor de los grados de los monomios

que lo forman)

y se escribe n = gr P(x)

ai R se denominan coeficientes del polinomio

an 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente

Los términos del polinomio están ordenados en potencias decrecientes.

El polinomio es completo cuando existen todos los términos.

TIPOS DE POLINOMIOS

Monomios: son los polinomios que tienen un solo término. Ejemplo: P(x) = 3x

Binomios: son los polinomios que tienen 2 términos. Ejemplo: P(x) = 2x2 – 5x

Trinomios: son los que tienen 3 términos. Ejemplo: P(x) = x3 – 3x2 + 1

Constantes: son los que tienen un solo término de grado cero, es de la forma 0( )P x a .

Ejemplo: P(x) = 8

Nulo: es el polinomio de la forma P(x) = 0.

Ejemplo: sea el polinomio P(x) = 2x3 + 4x – 5

Los valores 2, 4 y -5; son los

coeficientes del polinomio.

Los exponentes de las x, en este

caso, son los grados de los términos,

entonces para P(x) los grados son 3,

1 y 0 respectivamente.

El grado del polinomio, es el grado

del término de mayor grado, en

este caso es 3.

FORMAS POLINÓMICA SEGÚN EL GRADO

1. Forma general de un polinomio de 1er Grado

( ) 0P x ax b a

2. Forma general de un polinomio de 2do Grado

2( ) 0P x ax bx c a

3. Forma general de un polinomio de 3er Grado

3 2( ) 0P x ax bx cx d a



El polinomio es ordenado, pero

incompleto, ya que falta el término de

grado 2.

VALOR NUMÉRICO DE P(x)

Es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen las letras de la expresión por números.

Recuerda que en nuestro caso solo tendremos un tipo de letra porque trabajamos con una

sola variable.

Ejemplo: calcula el valor que toma P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 1 cuando x = 1.

Solución

P(1) = (1)4 – 2(1)3 + 5(1) – 1

= 1 – 2.1 + 5.1 – 1

= 1 – 2 + 5 – 1

= 3

OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS

SUMA

Ejemplo: sumar P(x) = 3x2 + 2x + 1 y Q(x) = 4x + 3

Solución

Se puede proceder de la siguiente forma:

(3x2 + 2x + 1) + (4x +3) = 3x2 + (2x + 4x) + (1 + 3)

= 3x2 + (2 + 4)x + (1 + 3)

= 3x2 + 6x + 4

RESTA O SUSTRACCIÓN

Ejemplo: Dados P(x) = 3x8 + x5 - 4x + 2 y

Q(x) = 2x8 - 2x5 + x3 - 2x + 4. Restar P(x) – Q(x).

Solución

Para realizar la resta, definimos el inverso aditivo de Q(x),

como:

– Q(x) = - 2x8 + 2x5 - x3 + 2x – 4

Entonces la diferencia entre P(x) y Q(x) nos quedaría:

P(x) +( - Q(x)) = (3x8 + x5 - 4x + 2) + (- 2x8 + 2x5 - x3 + 2x – 4)

= (3x8 - 2x8) + (x5 + 2x5) – x3 + (- 4x + 2x) + (2 – 4)

= x8 + 3x5 – x3 – 2x – 2

SUMA DE POLINOMIOS

Al sumar dos polinomios en x,

obtenemos un polinomio en el

cual el coeficiente de cada

potencia de x es la suma de los

coeficientes de términos

semejantes.

RESTA DE POLINOMIOS

Una vez que se determina el

polinomio inverso aditivo

(también llamado polinomio

opuesto), la resta se efectúa

como la suma de polinomios.



PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN

Ejemplo: efectúa el producto entre P(x) = 3x2 +2x - 5 y

Q(x) = 2x3 - 6x + 5

Solución

P(x) . Q(x) = (3x2 + 2x - 5) . (2x3 - 6x + 5)

= 6x5 – 18x3 + 15x2 + 4x4 - 12x2 +10x - 10x3 + 30x - 25

= 6x5 + 4x4 – 28x3 + 3x2 + 40x - 25

COCIENTE O DIVISIÓN

Ejemplo: divide P(x) = 3x5 + 2x4 - 5x2 + 2 en Q(x) = 1 + x2 – 2x

Solución

Como el polinomio dividendo P(x) es incompleto,

entonces primero lo completamos; P(x) = 3x5 + 2x4 +

0x3 - 5x2 + 0x + 2

Luego, ordenamos el divisor Q(x) en potencias

decrecientes, resultando: Q(x) = x2 – 2x + 1

Ahora, efectuamos la división P(x) en Q(x)

5 4 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

3 2 0 5 0 2 2 1

3 6 3 3 8 13 13

8 3 5

8 16 8

13 13 0

13 26 13

13 13 2

13 26 13

13 11

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x

Siendo: C(x) = 3x3 + 8x2 + 13x + 13 y R(x) = 13x - 11

Recuerda que debe cumplirse que: P(x) = Q(x).C(x) + R(x)

Hagamos entonces:

Q(x).C(x) = (x2 – 2x +1).(3x3 + 8x2 + 13x + 13)

= 3x5 + 8x4 + 13x3 + 13x2 – 6x4 –16x3 –26x2 –26x + 3x3 + 8x2 +13x + 13

= 3x5 + 2x4 – 5x2 – 13x + 13

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Es el polinomio que resulta de

aplicar la propiedad

distributiva (del producto

respecto de la suma) y sumar.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Por analogía con la división

entera de números, la

división de polinomios se

define así:

Dados dos polinomios P(x) y

Q(x), donde el grado de P(x)

es mayor o igual que el

grado de Q(x), se trata de

determinar otros dos

polinomios C(x) y R(x) tales

que:

P(x) = Q(x).C(x) + R(x)

con la condición de que

Q(x) 0.

IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS

Dos polinomios son iguales

cuando tienen el mismo

grado y los coeficientes de los

términos semejantes son

iguales.



A este resultado le sumamos R(x):

Q(x).C(x) + R(x) = (3x5 + 2x4 – 5x2 – 13x + 13) + (13x – 11)

= 3x5 + 2x4 – 5x2 + 2

Por lo tanto se cumple que: P(x) = (x2 – 2x +1).(3x3 + 8x2 + 13x + 13) + (13x – 11)

Cuando el resto del cociente entre dos números da cero decimos que el numerador es

divisible por el denominador, extendiendo esta definición para polinomios decimos que:

El cociente entre dos polinomios es EXACTO si el resto es cero.

O sea P(x) es divisible por Q(x) solo si P(x) = C(x). Q(x)

REGLA DE RUFFINI

Cuando queremos dividir un polinomio por un binomio de la forma (x – a) donde a es una

constante, podemos usar la regla de Ruffini.

Su algoritmo es el siguiente:

Tomemos por ejemplo un P(x) = bx3 + cx2 + dx + e, al que queremos dividirlo por (x - a).

Aplicamos la regla de Ruffini y hacemos:

1) Completamos y ordenamos en potencias decrecientes al P(x) (si no lo estuviera)

2) Armamos una estructura con solo los coeficientes del P(x). (línea 1)

3) En línea 2, colocamos “a”.

4) En línea 3, inicialmente colocamos “b”.

5) Multiplicamos “b” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “c”.

6) Sumamos “c” con “b.a” para obtener U (línea 3).

7) Multiplicamos “U” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “d”.

8) Sumamos “d” con “U.a” para obtener V (línea 3).

9) Multiplicamos “V” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “e”.

10) Finalmente, sumamos “e” con “V.a” para obtener W (línea 3).

11) Los valores b, U, V son los coeficientes del polinomio C(x) y W es el resto de la división.



3 2( ) ( )

. . .

.

1

2

3

. .

P x bx cx dx e y Q x x a

b c d e

a b a U a

línea

línea

líne

V a

b U V W

U c b a V d U

a

a W e V a

C(x) = bx2 + Ux + V C(x) tiene un grado menor que P(x)

R(x) = W

Ejemplo: Dividir x3 – 8x + 5 por x – 3

Entonces, el dividendo ordenado y completo es: P(x) = x3 + 0x2 - 8x + 5

El divisor: Q(x) = x – 3 donde a = 3

1 0 8 5

3 3 9 3

1 3 1 8

Los valores obtenidos con este procedimiento son los coeficientes de los términos del

polinomio cociente (que es un grado menor que P(x)): C(x) = x2 + 3x + 1

y el resto será: R(x) = 8

CERO DE UN POLINOMIO

Llamamos cero de un polinomio P(x), a un valor de la variable x para el cual P(x) = 0.

Sea el polinomio P(x), se dice que “a” es cero de )x(P ( ) 0P a

Ejemplo: Sea P(x) = 3x3 – 6x2 + 5x – 2, investiga si x = 1 es un cero de P(x).

Entonces, P(1) = 3(1)3 – 6(1)2 + 5(1) – 2

= 3.1 – 6.1 + 5.1 – 2

= 3 – 6 + 5 – 2

= 0

Por lo tanto, x = 1 es cero de P(x).



TEOREMA DEL RESTO

Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x)

particularizado para x = b. Esto es: R = P (b)

Ejemplo: sea P(x) = x3 + 2x2 – 5, queremos determinar el resto de dividir a P(x) por (x + 1).

Aplicando el teorema del resto:

P(– 1) = (– 1)3 + 2(– 1)2 – 5

= – 1 + 2 . 1 – 5

= – 1 + 2 – 5

= – 4 por lo tanto, el resto de la división es – 4.

Verifiquemos este resultado aplicando la regla de Ruffini:

1 2 0 5

1 1 1 1

1 1 1 4

TEOREMA DEL FACTOR

Un polinomio P(x) tiene un factor (x – a) si y solo si P(a) = 0. Es decir, a es un cero de P(x).

Si a es un cero de P(x), entonces P(x) es DIVISIBLE por (x – a).

Si un factor aparece “m” veces, entonces “a” es un cero de multiplicidad m.

Observación

Si (x – a) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x)

tal que

P(x) = (x – a) . C(x)

Ejemplo: El P(x) = 3x3 – 6x2 + 5x – 2 tiene un cero en x = 1. Expresa a P(x) como producto de

factores.

Aplicamos Ruffini para determinar al polinomio C(x) que multiplique al polinomio (x – 1)

dado.

2

3 6 5 2

1 3 3 2

3 3 2 0 ( ) 3 3 2C x x x

Por último, el P(x) factoreado es: P(x) = (x – 1) (3x2 – 3x + 2)

resto



EXTENSIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO

El resto de la división de P(x) en el binomio (ax + b) es: b

R Pa

.

Ejemplo: Halla el cociente y el resto de dividir P(x) = 6x4 + x3 – 19x2 + 14x -15 en (2x – 3)

Solución

Podemos hacerlo por dos formas:

1) hacemos: 2x – 3 = 0 32

x

Luego, el resto será:

4 3 23 3 3 3 3

6. 19. 14. 152 2 2 2 2

81 27 96. 19. 21 15

16 8 4243 27 171

68 8 43

P

2) Por Ruffini

32

3 2

6 1 19 14 15

9 15 6 12

6 10 4 8 3 3

'( ) 6 10 4 8

R

C x x x x

El cociente de la división será: '( )

( )2

C xC x

Es decir: 3 2( ) 3 5 2 4 3C x x x x y R

Según su necesidad, ud elegirá la forma de resolver más conveniente. La

2° brinda más información y también más trabajo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Un polinomio de grado n positivo tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las

complejas.

Una consecuencia de este teorema es que un polinomio de grado n tiene como máximo

n raíces reales. En los polinomios con coeficientes reales, las raíces complejas vienen

siempre de a pares, de allí que un polinomio con coeficientes reales de grado impar

siempre tiene por lo menos un cero real.



FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas.

Factor común.

Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es

igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por

ese factor.

Ejemplo: factorizar P(x) = 6x2y2 - 3x2y + 9xy

Primero sacamos como factor común de cada término a 3xy, entonces,

P(x) = 6x2y2 - 3x2y + 9xy = 3xy. (2xy – x + 3)

Factor común por grupos.

Algunas veces, aunque los términos de un polinomio no tengan un factor común

monomial, es posible agrupar términos de tal manera que cada grupo tenga un factor

común.

Ejemplo: factorizar P(x) = 3x – 2ab + nx – 2bx + an + 3a Agrupamos así: P(x) = (3x + nx – 2bx) + (– 2ab + an + 3a)

P(x) = x (3 + n – 2b) + a (– 2b + n + 3)

P(x) = (x + a) (3 + n – 2b)

Trinomio cuadrado perfecto.

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son

cuadrados de algún valor y el otro término es el doble producto de las bases de esos

cuadrados.

Ejemplo: P(x) = 25 x2 + 10xy2 + y4 es un trinomio cuadrado perfecto ya que:

25 x2 = (5x)2 y4 = (y2)2 10xy2 = 2 . (5.x).(y2)

Entonces el factoreo del trinomio dado es: P(x) = 25x2 + 10xy2 + y4 = (5x + y2)2



Cuatrinomio cubo perfecto. Todo cuatrinomio de la forma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplo: P(x) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 es un cuatrinomio cubo perfecto porque:

x3 = (x)3 6x2y = 3(x)22y

8y3 = (2y)3 12xy3 = 3(x)(2y)2

El polinomio queda factoreado de la siguiente manera:

P(x) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 = (x + 2y)3

Suma de potencias de igual grado.

En general, la suma de dos potencias de igual grado de exponente impar, es igual al

producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera suma

por la segunda.

Ejemplo: (x3 + a3) = (x + a).(x2 – ax + a2)

Diferencia de potencias de igual grado.

a) Cuando el exponente es par

Sea por ejemplo, factorear la siguiente expresion: x6 – a6

Puede factorearse de la siguientes formas:

i) Haciendo figurar la suma de las bases:

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5

: ( )

( )( )

x y x y x yx y x y x y x y


ii) Haciendo figurar la diferencia de las bases:

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5

: ( )

( )( )



iii) Por último

6 6 3 3 3 3( )( )x y x y x y

b) Cuando el exponente es impar

En general, la diferencia de dos potencias de igual grado de exponente impar, es

igual al producto de la diferencia de las bases por el cociente que resulta de dividir

la primera diferencia por la segunda.



Ejemplo:

Sea por ejemplo, factorear la siguiente expresión: x5 – a5

5 5

5 5 4 3 2 2 3 4

5 5 4 3 2 2 3 4

:

( ): ( )

:

( ) ( )( )

x a es divisible por x a y el cociente exacto es

x a x a x ax a x a x a

Por consiguiente

x a x a x ax a x a x a

Diferencia de cuadrados

Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las

bases de dichos cuadrados.

Ejemplo: 2 2( )( )a b a b a b



EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Expresión algebraica racional no entera o fraccionaria son aquellas expresadas como

cociente de polinomios ( )( )

P xQ x

, siempre que el polinomio denominador no sea un polinomio

constante (ni nulo) o aquéllas en que las variables son bases de potencias de exponente

negativo.

Ejemplos de expresiones fraccionarias son:

3 12 2

7 9 2 6 32

4 4 9 3 1

x yx x

u x y y

Ya que el denominador no puede ser cero las variables de los polinomios denominadores

no pueden tomar los valores que son ceros. Como una expresión racional es un cociente

entre números reales, las propiedades de fracciones también se cumplen en los casos de

las expresiones algebraicas fraccionarias.

OPERACIONES

Producto

Para efectuarlo, usamos la siguiente propiedad de fracciones:

( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )

( )( ) ( )

( )

P x R x P x R xQ x S x Q x S x

P xsi R x S x entonces podemos simplificar y nos queda

Q x

Ejemplo:

2 2

2 2

5 4 12 9 5 (2 3)(2 3)(2 3) (2 1)( 5)4 9 2 11 5

( 5)

x x x x xx x x xx x x

x

(2 3)(2 3)x x

(2 3)(2 3)x x (2 1)( 5)x x 3

52

2 3 3 1(2 3)(2 1) 2 2

para x y

xpara x y

x x



Cociente

Para efectuarlo, usamos la siguiente propiedad de fracciones: ( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )

P x R x P x S xQ x S x Q x R x

Ejemplo:

3 2 4 2 3 2 3 2 4

4 3 2 4 2 4 3 2 4

3 2 3 2 2 4

2 2 4 4 3

2 3 2 3

45 75 3 .5 228 8 2 .7 ( 3).5

2 .3 .5

2 .( 3).5 7

6 (2 .3.5 )

a b a b a b c dc d c d c d a b

a b c d

a bc d

bd a bc d

2 2 3 2 335 (2 .3.5 )ac a bc d

2

635

bdac

Suma y Resta

Se resuelven aplicando las propiedades de las fracciones ya mencionadas cuando vimos los conjuntos numéricos.

( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )

P x R x P x S x P x Q xQ x S x Q x S x

Ejemplo: efectúa 2 2

5 4 23 64 4 4 xx x x

Primero, debemos encontrar el mínimo común múltiplo del denominador.

Este será: mcm = 3 (x + 2)2 (x – 2)

2

2 2

2

2

2

2

2

2

5 4 2 5.3( 2) 4.3( 2) 2.( 2)( 2)( 2) 3( 2)( 2) 3( 2) ( 2)

15( 2) 12( 2) 2.( 4 4)

3( 2) ( 2)

15 30 12 24 2 8 8

3( 2) ( 2)

2 19 2

3( 2) ( 2)

x x xx x xx x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

Si una fracción tiene otra fracción en el numerador o denominador, o en ambos se llama fracción

compuesta, y si no, se denomina fracción simple.

Los métodos que se usan para SIMPLIFICAR expresiones fraccionarias compuestas son los mismos

que se usan en números fraccionarios. La multiplicación del numerador y denominador por el

MCD (mínimo común denominador) es el método más sencillo.



Ejemplo: dada la expresión, llevarla a su forma mas simple o reducida

1 22 1

1 11 2

x xx x

x x

Vemos que se trata de una fracción compuesta. Sacamos MCD en el denominador y en

el numerador.

( 1)( 1) ( 2)( 2)1 2

( 2)( 1)2 11 1 ( 2) ( 1)

1 2 ( 1)( 2)

( 1)( 1) ( 2)( 2)

( 2)

x x x xx xx xx x

x xx x x x

x x x x

x

( 1)x

( 1)x

( 2)x

2 2

2 2

( 2) ( 1)

( 2 1) ( 4 4)2 1

2 1 4 4( 1)

2 3( 1)

2 3

x x

x x x xx x

x x x x

x

x

Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA


Figuras Planas

La geometría plana estudia las figuras planas que tienen únicamente dos dimensiones:

largo y ancho.

Para comprender la geometría plana de manera más clara, es indispensable, comenzar

por la definición de conceptos elementales hasta llegar a nociones más complejas.

CONCEPTOS BÁSICOS

Para el estudio de la geometría, necesitamos conocer el concepto

intuitivo de punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que

proveen el inicio de la geometría.

Punto: es el objeto fundamental en geometría, el punto representa

solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo, ancho y altura nulos. Se representan por

letras mayúsculas.

Recta: tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de

puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede

representar por:

Semirrecta: la definimos como la porción de una recta que tiene principio, pero no tiene

fin.

Segmento de recta: es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos

dónde empieza y donde termina por ende lo podemos medir.

Plano: tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos

dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.



POLÍGONO

Un polígono es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de

recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono

solo se intersectan en sus puntos extremos.

CLASIFICACIÓN

Según el número de lados o ángulos triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.

Polígono Polígono Regular: lados y ángulos iguales.

Según la igualdad de sus lados y ángulos Polígono Irregular: al menos un lado o un

ángulo es distinto.

PARTES DE UN POLÍGONO

Lados: son los segmentos que lo limitan.

Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos.

Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.

Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos.

Ángulo central: es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los

extremos de un lado.

Apotema: es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es

perpendicular a dicho lado.

La cantidad de diagonales de un polígono se calcula como: 3

2

n nNd

n: número

de lados



PERÍMETRO DE UN POLÍGONO: Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono

ÁREA DE UN POLÍGONO: Es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS

Nombre Dibujo Perímetro Área

Triángulo

P = Suma de los lados

P =b c d

b . a2

A =

p p-b p-c p-dA =

p = semiperímetro

Cuadrado

P =4a 2A =a

Rectángulo

2 P = b a A =a . b

Rombo

P =4a D . d2

A =

Paralelogramo

2 P = b c A =a . b

Trapecio

P =B b c d B b .a

2A =

Trapezoide

P =a b c d A = Suma de las áreas de los dos

triángulos

Polígono regular

P .a2

A =



ÁNGULOS

Es una figura formada por dos semirrectas que se interceptan en un punto. Las semirrectas

son los lados del ángulo y el punto de intersección es su vértice.

La amplitud del giro de un ángulo se puede medir, y la unidad que se utiliza para expresarlo

se llama grado.

CLASIFIACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

Nulo (0°)

Agudo (< 90°)

Recto (90°)

Obtuso (> 90°)

Llano (180°)

Giro completo (360°)

Cóncavo (> 180°)

Negativo (< 0°)

SEGÚN SU CARACTERÍSTICA

Ángulos complementarios

+ = 90°

Ángulos suplementarios

+ = 180°

SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos consecutivos

Lado común VB

Ángulos opuestos por el vértice

=



LA MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Existen dos sistemas generalmente usados para medir los ángulos.

SISTEMA SEXAGESIMAL: en éste la unidad es el grado, el cual es igual al ángulo central que

subtiende un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la longitud de la circunferencia. El

grado se subdivide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.

En este sistema, un ángulo cualquiera se especifica

colocando el valor del ángulo y agregando “ ° “ .

Por ejemplo: = 48°; = 14° 25’ 47’’.

En las calculadoras, cuando queremos trabajar en grados

sexagesimales debemos elegir el modo adecuado que,

normalmente se denota por DEG.

SISTEMA CIRCULAR: en este sistema la unidad es el radián. Para trabajar con las

calculadoras, debemos elegir el modo adecuado que, normalmente se denota por RAD.

Radian: Se llama así al ángulo central que abarca un arco de circunferencia cuya longitud

es igual al radio de la misma.

𝒓 = 𝑪𝑨

𝑨𝑩 = 𝑪𝑨

⇒ 𝜶 = 𝟏𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏 → 𝜶 =𝑨𝑩

𝑪𝑨

En este sistema, un ángulo cualquiera se especifica

colocando el valor del ángulo y agregando (o no) la

leyenda rad. Por ejemplo: = 2 rad, o simplemente, = 2.

SISTEMA CENTESIMAL O GRADIANES

Es el resultado de dividir la circunferencia en 400 partes iguales.

En la calculadora lo identificamos como el modo Grad. Grad se puede prestar a confusión

porque el usuario de la calculadora puede pensar que la palabra Grad es por los “grados

sexagesimales”, pero no es así. No vamos a entrar a detallar mucho este sistema métrico,

puesto que la verdad es que los gradianes no se suelen utilizar en la actualidad salvo en

algunos aspectos de la topografía.

EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅 𝟏° =𝝅

𝟏𝟖𝟎𝒓𝒂𝒅 ≃ 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟓𝒓𝒂𝒅 𝟏𝒓𝒂𝒅 =

𝟏𝟖𝟎°𝝅

≃ 𝟓𝟕, 𝟐𝟗°



TRIÁNGULOS

Un triángulo es una superficie plana delimitada por tres segmentos de recta.

Los elementos del triángulo son: tres vértices, tres lados y tres ángulos. La suma de la medida

de los tres ángulos internos es 180°. A cada ángulo interno del triángulo le corresponde un

ángulo exterior. La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de la medida de los

dos ángulos interiores no adyacentes. La suma de la medida de los tres ángulos exteriores

es 360°.

Clasificación

SEGÚN SUS LADOS

Triángulo equilátero: tiene tres lados iguales y

sus ángulos internos miden 60°.

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales; los

ángulos que se oponen a estos también son

iguales.

Triángulo escaleno: todos sus lados son

distintos al igual que todos sus ángulos

internos.

SEGÚN SUS ÁNGULOS

Triángulo Rectángulo: tiene un ángulo interior

recto (90°). A los dos lados que conforman el

ángulo recto se les denomina catetos y al otro

lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es

obtuso (mayor de 90°); los otros dos son

agudos (menor de 90°).

Triángulo acutángulo: sus ángulos interiores

son agudos; el triángulo equilátero es un caso

particular de triángulo acutángulo.



Propiedades de los triángulos

Triángulos Equilátero Isósceles Escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Podemos ver en el esquema las clasificaciones comentadas en el apartado anterior.

Hagamos una interpretación del mismo. Veamos:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, este

triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y diferentes.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada

uno), dos lados iguales, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es

la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la

hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son

diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los

que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.



CUADRILÁTEROS

Definición y clasificación de cuadriláteros

Cuadrilátero. Es cualquier polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican en:

Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos, y solamente dos, lados opuestos paralelos. En

particular un trapecio cuyos lados NO paralelos son iguales recibe el nombre de

trapecio isósceles.

Trapezoide: Cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos.

PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS

PARALELOGRAMOS

Tienen dos pares de lados paralelos

Los ángulos opuestos son iguales y los

consecutivos son suplementarios.

Los lados opuestos son iguales y

paralelos.

Las diagonales determinan el punto

medio de las figuras.

TRAPECIOS

Tienen solo un par de lados paralelos

Tienen un par de lados paralelos

llamados bases.

Los ángulos opuestos de los lados no

paralelos son suplementarios.

TRAPEZOIDE

No tienen lados paralelos

No tienen lados paralelos.

En el caso de los romboides, los lados

consecutivos son iguales y las

diagonales se cortan en un punto

medio.

paralelogramo cuadrado

rombo rectángulo

escaleno

isósceles recto

romboide trapezoide



Perímetro y área de paralelogramos

Perímetro: se define de la misma forma que en cualquier otra figura plana: es la suma de

las longitudes de cada uno de sus lados. Para facilitar su cálculo siempre será bueno que

recuerdes sus propiedades.

Área: se define como el producto de la base por la altura. La base puede ser cualquiera

de sus lados y la altura será el segmento trazado en forma perpendicular desde el lado

opuesto a la base.

CIRCUNFERENCIA

Circunferencia. Lugar geométrico de todos los puntos en un mismo plano cuya distancia a

un punto fijo se mantiene constante. El punto fijo recibe el nombre de radio.

Círculo. Conjunto de puntos encerrados por la circunferencia.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Cuerda. Segmento de recta que une dos puntos

de la circunferencia (DE).

Diámetro. Roda cuerda que pasa por el centro

de la circunferencia (DA). Es la mayor cuerda.

Radio. Segmento que une el centro de la

circunferencia con cualquiera de sus puntos (CB).

Arco. Porción de la circunferencia (AB).

Longitud de arco. Está determinado por:

L r . con en radianes.



TANGENTES Y SECANTES A UNA CIRCUNFERENCIA

Existen dos rectas especiales de la circunferencia: Las rectas tangente y secante a una

circunferencia.

La secante a una circunferencia es cualquier

recta que la corta en dos puntos.

La tangente a una circunferencia es cualquier

recta que la toca en un punto y sólo uno.

Teoremas relativos a las tangentes

Teorema 1. Toda tangente a una circunferencia es

perpendicular al radio que pasa por el punto de

contacto.

Teorema 2. Una recta es tangente a una

circunferencia si es perpendicular a un radio en su

extremo externo.

Teorema 3. Si una recta es perpendicular a la

tangente en el punto de tangencia, entonces pasa

por el centro de la circunferencia.

Teorema 4. La recta que une el centro

de una circunferencia con un punto

exterior es bisectriz del ángulo que

forman las tangentes trazadas desde

ese punto a la circunferencia.



LONGITUD Y ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES

Nombre Dibujo Longitud Área

Circunferencia

2L R

Arco

L R

en radianes

Círculo

2A R

Sector circular

2

2 2R Long Arco R

A

en radianes

.

Corona circular

2 2A R r



Cuerpos Geométricos Los cuerpos geométricos son figuras geométricas de tres dimensiones (largo, ancho y alto),

que ocupan un lugar en el espacio y en consecuencia tienen un

volumen.

CLASIFICACIÓN

POLIEDROS: Prismas y pirámides

Los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, y el resto de sus caras son

paralelogramos. Las pirámides tienen base y el resto de las caras son triángulos.

CUERPOS REDONDOS

Los cuerpos redondos son cuerpos que tienen superficies curvas.

cara basal

vértice

arista cara lateral

cara basal

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Poliedros

Todas sus caras son

Cuerpos Redondos

Tienen al menos una cara



ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Figura Esquema Área Volumen

Cilindro

Lateral

2Total lateral

A 2 r h

A 2 r h 2 r

2V hr

Esfera

2A 4 r

34V

3r

Cono

2Total LateralA r + r g

2

V3r h

Cubo

2A 6

,

a

a lado de la cara cuadrada

3V a

Prisma

A 2perímetro base h área base V área base h

Pirámide

.A

2perímetro base ap lat

área base

V3

área base h



TRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Consideremos el triángulo ACB rectángulo, la notación de sus partes se realiza de la

siguiente manera:

Los ángulos con letras mayúsculas

Los lados con letras minúsculas correspondientes al lado opuesto.

Uno de los objetivos de la trigonometría es mostrar la dependencia existente entre los lados

y los ángulos de dicho triángulo y para este objeto se emplean las razones trigonométricas,

las que definimos a continuación:

cateto opuesto hipotenusasen A cosec

hipotenusa cateto opuestoa c

Ac a

cateto adyacente hipotenusacos A sec

hipotenusa cateto adyacenteb c

Ac b

cateto opuesto cateto adyacentetg A cotg

cateto adyacente cateto opuestoa b

Ab a

VALORES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Cuando un ángulo hace un recorrido de un giro completo, sus relaciones trigonométricas

van tomando valores diferentes.

1 1 1 cos 1sen A tg A



TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras señala que una relación entre los

lados del triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

2 2 2c a b

ÁNGULO DE DEPRESIÓN – ELEVACIÓN

Los conceptos de ángulos de depresión y de elevación son muy utilizados para resolver

problemas de la vida cotidiana y que involucran triángulos rectángulos.

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razón

trigonométrica

1°

cuadrante

2°

cuadrante

3°

cuadrante

4°

cuadrante

seno

cosecante + + - - coseno

secante + - - + tangente

cotangente + - + -



VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL PRIMER CUADRANTE

0° 30° 45° 60° 90°

seno 0 12 2

2 3

2 1

coseno 1 32

22

12 0

tangente 0 33

1 3

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo

que se verifica para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo.

FÓRMULAS DE LOS RECÍPROCOS

1sen x

cosec x

1cos x

sec x

1tg x

cotg x

1cosec x

sen x

1sec x

cos x

xtg xcotg

1

FÓRMULAS DEL COCIENTE

sen x

= tg x cos x

cos x

cotgxsen x

FÓRMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGÓRICAS

2 2sen x cos x 1 2 2sec x 1 tg x 2 2cosec x 1 cotg x

TEOREMA DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

sen x y = sen x cos y cos x sen y

cos x y = cos x cos y sen x sen y tg x tg y

tg x y = 1 tg x tg y



RAZONES DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Recordemos que dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.

90 90A B B A

sen = cos B = cos 90

cos = sen B = sen 90

A A

A A

RAZONES DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Sean dos ángulos A y B suplementarios (que suman 180°) sus razones trigonométricas seno

y coseno serán:

180 180A B B A

sen = sen B = sen 180

cos = cos B = cos 180

A A

A A



TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Suma ángulos interiores: 180°

TEOREMA DEL SENO

a b c

sen sen β senγ

TEOREMA DEL COSENO

dados lados los entre ocomprendid ángulo

triángulo del lados dos

Datos

2 2 2 a b c 2 b. c. cos

cos c. a. 2 2c 2a2b

cos b. a. 2 2b 2a2c

Área del triángulo

Fórmula de Herón

A p. (p - a) . (p - b) . (p - c)

2

c b ap

La fórmula de Herón, descubierta

por Herón de Alejandría, relaciona

el área de un triángulo en términos de

las longitudes de sus lados a, b y c.

Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES


Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. A esas expresiones se les

llama miembros de la ecuación. El miembro del lado izquierdo de la igualdad se le llama

primer miembro, mientras que el que se encuentra en el lado derecho se llama segundo

miembro.

Segundo miembro

Primermiembro

3 5 8x x

Ejemplos: 3 2 4 1x x 2 5 2z 3

2 4x

CLASIFICACIÓN

Hay dos tipos de ecuaciones con las que comúnmente se trabaja, uno son las llamadas

ecuaciones identidades y ecuaciones condicionales.

2 2 2

Con solo asignar valores a "a" y "b" y efectuar las operac

Identidades son aquellas que resultan válidas para todos los valores

posibles de las letras que contienen.

Ejemplo: 2a b a ab b

Ecuaciones

iones

en cada miembro, se obtinene el mismo resultado; estamos ante

una identidad.

Condicionales son aquellas que están condicionadas

Sin utilizar ningún método de solución, podemos deducir qu

a algún(os) valor(es)

es decir, la igualdad se cumple sólo para ciertos valores de

la variable.

Ejemplo: 2 1x e el

único valor que satisface la igualdad es x = 1, por lo tanto, la

ecuación es condicional.

Importante

Una Identidad es una igualdad algebraica, esto es, una igualdad en la que aparecen

números y letras que siempre se cumple, sean cuales sean los valores de las incógnitas.

Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las

incógnitas y falsa para otros.

Por tanto, la diferencia entre identidad y ecuación es que la identidad siempre es cierta,

mientras que la ecuación no.



TIPOS DE ECUACIONES

SEGÚN SUS SOLUCIONES

Atendiendo al número de soluciones que puede tener una ecuación, pueden darse los

siguientes tipos:

Que no tenga solución: por ejemplo, x + 2 = x + 3. Como puedes observar, es evidente

que no hay ningún valor que sumado a 2 de lo mismo que sumado a 3.

Que tenga una o varias soluciones: por ejemplo, x + 2 = 3. Solo tiene una solución que

es x = 1, ya que es el único número que sumado a 2 nos da 3.

Que tenga infinitas soluciones: en este caso hay que distinguir varios tipos,

Entre identidades: cualquier valor de las incógnitas es solución, por ejemplo:

2x + 2 = 2 (x + 1)

Que no sea una identidad: por ejemplo, x + y = 5. Existen infinitos pares de números

que suman 5. En estos casos se dice que la ecuación es indeterminada.

Otros tipos de ecuaciones: tales como las trigonométricas que pueden tener

infinitas soluciones y no son ecuaciones indeterminadas.

SEGÚN SUS EXPRESIONES

Ecuaciones algebraicas

Polinómica: son aquellas en las que cada uno de sus miembros están formados

por monomios o polinomios; por ejemplo: x2 – x – 1 = 3x – 1.

Si el grado es 1, se dice que es una ecuación de primer grado.

Por ejemplo: 4x – 5 = 3x

Si el grado es 2, se dice que es una ecuación de segundo grado.

Por ejemplo: x2 – 1 = 3x

Racionales: cuando aparece el cociente de polinomios, por ejemplo: 1 41

xx x

Irracionales: cuando las incógnitas forman parte de alguna raíz, por ejemplo:

1 3x x



Ecuaciones trascendentes

Exponenciales: cuando las incógnitas forman parte de algún exponente,

ejemplo: 2x = 8

Logarítmicas: son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada

por un logaritmo, por ejemplo: log 2x = 5

Trigonométricas: son aquellas en las que aparecen una o más relaciones

trigonométricas. En estas, la incógnita es el ángulo común de las relaciones

trigonométricas.

Por ejemplo: 3 sen x = 1



ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las expresiones con

una incógnita de la forma:

0 , 0ax b a

Siendo a, b números reales.

En la ecuación lineal encontramos dos términos:

Término independiente

Término lineal

0ax b

Las siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales:

a) 2 1 3 2x x b) 1 0x c) 1

15

x d) 2 3x y

** cuidado, si bien la ecuación del apartado d) es lineal, tiene dos incógnitas. En

esta parte, nosotros vamos a estudiar las que tienen sola una incógnita.

¿CÓMO SE RESUELVE LA ECUACIÓN LINEAL?

Primero diremos que este tipo de ecuaciones solo tiene una solución.

Para resolver las ecuaciones de este tipo debemos acomodar del lado izquierdo de la

igualdad a los términos en x y del otro lado, los términos independientes. Teniendo en

cuenta:

Si un término esta de un lado de la igualdad, sumando o restando, pasa al otro lado

de la igualdad efectuando la operación contraria.

Cada lado de la igualdad debe quedar reducido a un solo término.

Si un número está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa hacia el otro

dividiendo a todos los términos de ese lado y conservando su signo.

Si un número está dividiendo de un lado de la igualdad pasa hacia el otro

multiplicando a todos los términos de ese lado y conservando su signo.

El resultado de una ecuación debe expresarse de la forma más simplificada

posible.



Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación, 5x – 8 = x + 2

Solución

Pasamos del lado izquierdo los términos en x

y las constantes del otro: 5 2 8x x

Efectuamos las operaciones indicadas 4 10x

Por último, para despejar x vemos que

4 está multiplicando, entonces pasa

Dividiendo al otro lado de la igualdad 10 54 2

x

La solución se puede comprobar reemplazando el valor encontrado en la ecuación

original.

Ejemplo: resuelve, 3 3 1 4 9 5 0x x

Solución

Realizamos las operaciones previas 9 3 36 20 0x x

Términos en x por un lado y constantes por el otro 9 20 3 36x x

Realizando los cálculos en cada lado 11 33x

Finalmente, despejamos x 33

311

x

Verificación

3 3 3 1 4 9 5 3 0

3 9 1 4 9 15 0

3 8 4 6 0

24 24 0

0 0 se verifica



Ejemplo: resuelve, 5 1

13 4

x x

Solución

Realizamos la suma fraccionaria 4 5 3 1

112

x x

Reescribimos la igualdad de manera adecuada 4 5 3 1 1. 12x x

Realizamos las operaciones previas 4 20 3 3 12x x

Términos en x por un lado y constantes por el otro 4 3 12 20 3x x

Realizando los cálculos en cada lado 7 29x

Finalmente, despejamos x 297

x

Verificación

29 295 1

7 7 13 4

29 35 29 77 7 13 4

6 361

21 28168 756

1588

1 1 se verifica

Aplicaciones

En esta parte haremos uso de las ecuaciones lineales para modelar y resolver situaciones

problemáticas de distintas áreas. Para resolver podemos seguir las siguientes pautas:

Lo principal, hacer una lectura de la situación problemática y

entender lo que sucede y se solicita

Hacer una traducción de lo expresado verbalmente al lenguaje

simbólico

Formular un modelo matemático a través de la ecuación

correspondiente

Resolver la ecuación y aplicar criterio para formular la respuesta.

Verificar resultado



Ejemplo: En la utilería de un club se guardan en cajones las

pelotas de distintos deportes. Si juntamos las pelotas de cinco

cajones con dos pelotas sueltas, tenemos el mismo número de

pelotas que si juntamos tres cajones con 20 pelotas sueltas. a)

plantea la ecuación que modela la situación; b) ¿cuántas

pelotas se guardan en cada cajón?.

Solución

1) Determinamos cuántas incógnitas (datos a determinar) tiene el problema.

Observamos que es una sola incógnita, el número de pelotas que hay en cada

cajón. Por tanto:

x = nº de pelotas en cada cajón

2) La condición que nos dan nos dice que el número de pelotas de cinco cajones con

dos de ellas sueltas es igual al número de pelotas de tres cajones con 20 de ellas

sueltas, y su traducción al lenguaje algebraico será la ecuación que modela nuestra

situación problemática:

5x + 2 = 3x + 20

3) Ahora, resolvemos la ecuación planteada: 5x - 3x = 20 – 2 2x = 18 x = 9

Por tanto, la solución es: hay 9 pelotas en cada cajón.

4) Finalmente, verificamos el resultado encontrado:

5· 9 + 2 = 3· 9 + 20 45 + 2 = 27 + 20 47 = 47 (correcto)



ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación de segundo grado con una incógnita se expresa de la siguiente forma:

2 0 , 0ax bx c a

Siendo a, b, c números reales.

En la ecuación cuadrática encontramos tres términos:

Término lineal

2

Término Término cuadrático independiente

0ax b x c

Las siguientes son ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

22 0x

2 1 0x

2 10

5x x

2 12 3 0

2x x

SOLUCIONES o RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática la podemos calcular con la aplicación

de la Fórmula de Bhaskara.

2

1,2

2 2

1 2

42

4 42 2

b b acx

a

b b ac b b acx x

a a

Ejemplo: resuelve la ecuación cuadrática 23 4 1 0x x

Se observa que: 3 4 1a b c .

Aplicando Bhaskara:

2 1

1,2

2

4 2 14 4 4.3.1 4 4 6 3

2.3 6 4 21

6

xx

x



NATURALEZA DE LAS RAÍCES

De acuerdo a la fórmula de Bhaskara, es posible que las raíces sean números reales, pero

también podrían complejos. Para saber esa característica de las raíces analizamos

radicando de la expresión de Bhaskara, al cual se lo denomina discriminante.

DISCRIMINANTE

El discriminante de la ecuación cuadrática: 2 0ax bx c es el número:

= b2 − 4ac

Se presentan tres situaciones a analizar:

i. > 0, las dos raíces son números reales distintos.

ii. = 0, las dos raíces son reales e iguales

iii. < 0, las dos raíces son números complejos.

Ejemplo: analiza el discriminante de la ecuación del ejemplo anterior.

Solución

El discriminante será: 2 24 4 4.3.1 16 12 4b ac

Por lo tanto: 4 0 con este resultado aseguramos que las raíces de la ecuación

serán reales y distintas. Además, no necesitamos resolver la

ecuación para saber esta característica.

COMPLETAR CUADRADOS (otra forma de resolver la ecuación cuadrática)

Veamos el método directamente con un ejemplo.

Ejemplo: Sea la ecuación 23 4 1 0x x , resuelve aplicando el método completar

cuadrado.

Solución

23 4 1 0x x

2 4 13 0

3 3x x

Al coeficiente del término lineal, 43

, lo dividimos en dos y a ese resultado lo elevamos al

cuadrado, es decir: 2

4: 2

3

. A este último lo sumamos y restamos en la ecuación (para

no alterar la igualdad).



Quedando:

2 22 4 4 4 1

: 2 : 2 03 3 3 3

x x

2 4 4 4 10

3 9 9 3x x

22 1

03 9

x

22 13 9

x

aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad, tenemos

22 13 3

x

recuerda que: 2x x

2 13 3

x al quitar las barras de valor absoluto queda:

2 13 3

x tenemos dos soluciones

1 2

2 1 2 13 3 3 3

11

3

x x

x x

Ahora hagamos el camino inverso.

Conocidas las raíces de la ecuación, queremos reconstruirla. Entonces sean las raíces x1 y

x2, podemos escribir la ecuación cuadrática en forma factorizada:

1 2 0a x x x x

Para visualizar mejor, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: reconstruye la ecuación cuadrática conocidas sus raíces x1 = 2 y x2 = -1. El

coeficiente del término principal vale 3.

Solución

2 2

3 2 1 0

3 2 0 3 3 6 0

x x

x x x x



RELACIÓN ENTRE RAÍCES Y COEFICIENTES

Sea la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0 y sean 𝑥 𝑦 𝑥 , 𝑠𝑢𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. Entonces:

𝑥 + 𝑥 = −𝑏

𝑎

𝑥 . 𝑥 =𝑐

𝑎

Ejemplo: reconstruye la ecuación cuadrática conocidas sus raíces x1 = 2 y x2 = – 1. El

coeficiente del término principal vale 3.

Solución

𝑥 + 𝑥 = −𝑏

𝑎

𝑥 . 𝑥 =𝑐

𝑎

2 − 1 = −

𝑏

𝑎

2 . (−1) =𝑐

𝑎

→ 1 = −

𝑏

3 𝑏 = −3

−2 =𝑐

3 𝑐 = −6

Luego, la ecuación será:

𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎

Hasta ahora hemos mostrado la ecuación cuadrática completa, es decir, que tiene todos

sus términos. Pero, puede suceder que este en forma incompleta.

FORMAS INCOMPLETAS DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

2 0 , 0 0ax c a y b

Ejemplo: resuelve la ecuación 22 4 0x

Solución

2 21 22 4 2 2 2 2x x x x x

2 0 , 0 0ax bx a y c

Ejemplo: resuelve la ecuación 22 4 0x x

Solución

1 2

2 2 0 2 0 2 0

0 2

x x x x

x x

2 0 , 0 , 0 , 0ax a b c

Ejemplo: resuelve la ecuación 22 0x

Solución

21 20 0x x x



Veamos ahora un ejercicio de aplicación.

Ejemplo: halla dos números naturales consecutivos cuyo producto sea igual al cociente

entre el cuadrado del mayor y 1110

.

Solución

Sean estos números: x y x + 1.

Luego: 21. 1

1110

xx x

22

2 2

2 12

1,2

2

11 10 1

11 11 10 20 10

9 1110

9 ( 9) 4.1.( 10) 9 121 29 10 02.1 2 9 11

12

x x x

x x x x

xx x x

x

los números deben ser naturales, por tanto, x = 10.

Con ello, los números buscados son: 10 y 11.



APLICACIÓN

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 de ancho está rodeado por un camino de

ancho uniforme. a) realiza un esquema de la situación: b) halla el ancho de dicho camino

si se sabe que su área es de 540 m2.

Solución

a)

a = 34 m b = 50 m

el camino que rodea al jardín es de ancho uniforme y

mide e.

b) El área del camino uniforme podemos determinarla de la siguiente manera:

Área camino uniforme = área rectángulo más externo – área del jardín

mino uniforme 2 2caA b e a e ab

2mino uniforme

2

2

2 2 4

4 2

4 168

caA ab be ae e ab

e a b e

e e

Pero resulta que: Área camino uniforme = 540 m2

Entonces: 24 168 540e e

2

2

4 168 540 0

42 135 0

e e

e e

2 1

1,2

2

42 483

42 (42) 4.1.(135) 42 2304 22.1 2 42 48

452

ee

e

** Como el ancho del camino es una longitud, la solución será que el espesor es de 3 m.

a

b

e



ECUACIONES RACIONALES

Son aquellas que tienen la forma ( )

0 ( ) 0( )

P xQ x

Q x .

En donde P y Q son polinomios en la variable x.

Las raíces de estas ecuaciones serán los valores de “x” que anulan el polinomio P y no a Q.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones racionales

a) 1 2

01 1x x

Para resolver debo excluir x = – 1 y x = 1; porque son valores que anulan los

denominadores de las fracciones. Recuerda, para nosotros la división por cero no

está definida. Entonces:

1 20 1

1 11. 1 2 1

01 1

1 2 20

1 1

xx x

x x

x x

x xx x

3 1 0 1

3 1

13

x por ser x

x

x

b) 2

1 20

1x x x

Debemos excluir: x = 0 y x = 1; son los valores que anulan los denominadores.

1 20 0 , 1

1 1

20

1

x xx x x

xx x

2 0

2

x

x



ECUACIONES IRRACIONALES

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la

incógnita bajo el signo radical.

Las siguientes son ecuaciones irracionales: 3 1 2x x 29 2 2x x

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales.

a) 8 2x

Elevamos al cuadrado ambos miembros 2 28 2x

Simplificamos exponente 2 y 8 4x

Resultado de la ecuación 12x

Verificamos el resultado

(12) 8 2

4 2 2 2 se verifica

b) 3 3 1x x

Acomodamos y elevamos al cuadrado 2 2

3 1 3x x

Desarrollamos las operaciones dadas 23 1 6 9x x x

Ordenando un poco 2 9 8 0x x

Resolvemos la ecuación cuadrática 1 28 1x x

Verificamos los resultados 12x

8 3 3(8) 1 8

3 25 8 8 8

Para x

se verifica

1 3 3(1) 1 1

3 4 1 5 1

Para x

no se verifica

Finalmente, la solución de la ecuación es: x = 8.

c) 22 6 9 0x x

2 22 9 2 6x x

2 29 4 24 36x x x

23 24 45 0x x

21 28 15 0 5 3x x x x

Ambos resultados verifican la ecuación de origen, por tanto, son soluciones de la misma.



INECUACIONES

Dentro del mundo de la resolución de problemas te encontrarás en ocasiones en que la

incógnita que deseas encontrar no tiene tantas restricciones que la hacen ser única para

satisfacer alguna ecuación, existen casos en que la solución puede ser el conjunto

completo de los números positivos, por ejemplo, o todos los números mayores que 3, que

por cierto en ambos casos la cantidad de soluciones son infinitas.

Inecuación

Es una desigualdad en donde algunos términos contienen no solo un

coeficiente numérico sino también una letra (variable o incógnita).

En álgebra, algunos problemas originan inecuaciones en lugar de ecuaciones.

En las inecuaciones no se usa el signo “=”, sino, se usa los signos de desigualdad: >, <, o

.

Al resolver una inecuación, encontramos un conjunto solución.

Aquí tenemos un ejemplo de una inecuación:

4x + 7 ≤ 19

Sólo algunos valores de x satisfacen esa inecuación, por ejemplo:

x = 2 ⇒ 15 ≤ 19

x = 3 ⇒ 19 ≤ 19

Pero sí, por ejemplo, x = 5, la desigualdad no se cumple:

x = 5 ⇒ 27 ≤ 19

Comprueben ustedes que si x = 4 tampoco se cumple que 4x + 7 ≤ 19.

Resolver una inecuación quiere decir determinar todos los valores de la variable que hacen

que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una inecuación por

lo general tiene infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos

en la recta de los números reales. La ilustración que sigue muestra cómo una inecuación

difiere de su ecuación correspondiente:

La ecuación 4x + 7 = 19, tiene como solución x = 3 y la gráfica correspondiente



La inecuación 4x + 7 19, tiene soluciones tales que x 3

Su grafica será:

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Antes de comenzar a resolver, veamos algunos axiomas.

1) Tricotomía

Sean a, b R, entre ellos solo cumplen una y solo una de las siguientes afirmaciones:

a > b a = b a > b

2) Transitividad

Sean a, b y c R, tales que a < b < c entonces siempre a < c.

3) Adición

Sean a, b y c R, tales que a < b entonces siempre a + c < b + c.

4) Multiplicación

Sean a, b y c R, tales que a < b y c > 0 entonces siempre

a . c < b . c

Observa que…

Del último axioma se deduce entonces que si a < b y c < 0, entonces

a . c > b . c.

En otras palabras, multiplicar una desigualdad por un número negativo

cambiará la dirección de la desigualdad.



INECUACIONES LINEALES Ejemplo: Resuelve las siguientes inecuaciones lineales: a) 5 7 12x por el axioma 3, sumamos – 7 en ambos miembros

5 7 7 12 7x

5 5x por el axioma 4, multiplicamos por 15

en ambos miembros

1 15 . 5 .

5 5x por el axioma 4, multiplicamos por

15

en ambos miembros

1x solución de la inecuación , 1S

Gráficamente, la solución será:

b) 3 2 7x por el axioma 3, sumamos – 3 en ambos miembros

3 2 3 7 3x

2 4x por el axioma 4, multiplicamos por 12

en ambos miembros

1 12 . 4 .

2 2x

al multiplicar por un valor negativo, se invierte el signo de

desigualdad

2x solución de la inecuación es: 2,S

Gráficamente, la solución será:

-2 0

0 1



INECUACIONES FRACCIONARIAS

Ejemplo: Resuelve las siguientes inecuaciones fraccionarias

a) 1

2x

x

por el axioma 3, sumamos – 2 en ambos miembros

12 2 2

xx

efectuamos las operaciones indicadas

10

xx

por el axioma 4, multiplicamos por – 1 ambos miembros

10

xx

vemos que el cociente entre dos números debe ser negativo,

entonces, deben tener signos contrarios; por ello se presentan

dos posibilidades de solución.

1° posibilidad:

1 0 0

1

x x

x

indica que se realizara “intersección” entre dos intervalos;

De aquí saldrá una solución parcial S1.

1 1, , 0 1, 0S

Gráficamente:

2° posibilidad:

1 0 0

1

x x

x


2 , 1 0,S

Gráficamente:

Finalmente, la solución será: 1 2 1, 0 1, 0S S S

– 1 0

– 1 0

– 1 0



b) 9

3x por el axioma 4, multiplicamos por x; teniendo en cuenta que x

puede ser (+) o (-) pero nunca cero. Se presentan 2 posibilidades:

1° posibilidad:

0 9 3

3

Si x x

x


1 0, , 3 0, 3S

Gráficamente:

2° posibilidad:

0 9 3

3

Si x x

x


2 , 0 3,S

Gráficamente:

Finalmente, la solución será: 1 2 0, 3 0, 3S S S

0 3

0 3

0 3



INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En general, para resolver inecuaciones con valor absoluto usamos la siguiente tabla:

CASO MODELO SOLUCIÓN

1 |a| < b – b < a < b

2 |a| b – b a b

3 |a| > b a < – b o a > b

4 |a| b a – b o a b

Ejemplo: Resuelve la siguientes las inecuaciones con valor absoluto

a) 2 2 2x sumamos 2 en ambos miembros

2 2 2 2 2x realizamos las operaciones

2 4x aplicamos en ambos miembros

2 2x se observa, |x| = 2x

2x usamos el caso 2 de la tabla

2 2x solución de la inecuación dad. 2, 2S

Gráficamente:

b) 4 1x usamos el caso 3 de la tabla

1 4 4 1x o x resolvemos como si fueran dos inecuaciones

“o” indica unión entre dos intervalos

5 3x o x solución de la inecuación dad. , 3 5,S

Gráficamente:

– 2 2

3 5



APLICACIONES

Ejemplo: Lorena tiene 20 años menos que Andrea. Si las edades de ambas, suman menos

de 86 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener Lorena?

Solución

Edad de Andrea: A = x Edad de Lorena: L = x – 20

El planteo sería: 86A L

20 86

2 106

53

x x

x

x

Por lo tanto, las edades de Andrea y Lorena serían menores que 53 y 33 años.

Por ello, la máxima edad que podría tener Lorena es 32 años.

Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES


FUNCIÓN

Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y rango, de tal manera que a cada

elemento del dominio le corresponda a lo más, un elemento del rango.

Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le

damos un número (Entrada) y esta máquina nos devuelve otro número único (Salida).

Fórmulas, grafica cartesiana, enunciado coloquial y tablas con explicación son

lenguajes diferentes para expresar y estudiar una función. Cada una tiene sus

ventajas y limitaciones. Lo ideal sería obtener las cuatro formas, pero no siempre

es fácil, ni siquiera posible.

Por ejemplo un electrocardiograma muestra la grafica de la variacion del ritmo cardiaco

en el tiempo.

Es posible traducir esta gráfica a una tabla, pero no a una fórmula o expresión.



NOTACIÓN FUNCIONAL

Cuando se refiere a una función f, X se refiere al dominio de la función, Y se refiere al

rango, x ∈ X es un elemento del dominio, f(x) es la imagen que le corresponde al valor x

mediante la función f.

El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función:

Diremos que “y” es la imagen de “x” a través de la función “f”. En símbolos: y f x

DOMINIO

Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente “x”.

En símbolos: Dom f.

RANGO

Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente “y”, es decir

es el conjunto de las imágenes y = f(x). En símbolos: Rgo f.

Una forma representar una función es mediante una en un sistema de ejes coordenados

cartesianos.

Eje de Abscisas: es el eje en donde se representa la variable

independiente. También se lo llama eje X o eje Horizontal.

Eje de Ordenadas: es el eje en donde se representa la

variable dependiente. También se lo llama eje Y o eje

Vertical.



Por ejemplo, la representación de un punto P (x0, y0) en un sistema de ejes coordenados

indica que: la coordenada x0 se ubica sobre el eje de abscisas y la y0 sobre el eje de

ordenadas, la posición de P queda determinada por las estas coordenadas, como muestra

la gráfica.

Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: para

cada valor del dominio le corresponde a lo más un valor del rango.

Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función.

Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Las siguientes son relaciones que no son funciones.

• x2 + y2 = 4, porque cuando graficamos esta relación,

obtenemos una circunferencia. Si “x” es elemento del

dominio, y “y” es elemento del rango, no se cumple que

para todo elemento del dominio haya a lo más un

elemento del rango.

En este caso, para un valor que le damos a x0 la relación

nos devuelve dos: y0 y (− y0 ).

• y2 = x, porque cuando graficamos obtenemos una

parábola horizontal:

Ahora, para x =3, obtenemos dos valores, 3 y 3 .

Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos

el criterio de la recta vertical.



CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una relación, ésta puede ser cortada en

dos puntos, entonces, la relación no es una función.

En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar las gráficas dadas en

dos de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una

función. Porque si fuera una función, para cada valor de x debería existir a lo más un solo

valor de y.

Recuerda que…

No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas

las funciones son relaciones.

Entonces, cuando desees verificar si una relación es o no una

función, la graficaremos y le aplicaremos el criterio de la recta

vertical.

Ejemplo: Las siguientes expresiones son funciones.

a) ( )f x x b) 2( ) 1f x x x

c) 2 2 3

( )4

x xf x

x

d) ( ) 3f x x

e) 2

( )4

f xx

f) 25( ) log 1f x x

g) 3( ) xf x e h) ( ) 2f x sen x

Las funciones se aplican muy frecuentemente en nuestra vida cotidiana.

Por ejemplo, cuando vas a enviar un paquete a través del correo, el importe del envío

depende del peso del paquete. En términos matemáticos decimos que el importe está en

función del peso del paquete. Si I es el importe que debemos pagar por un paquete de

peso p, entonces, I = f (p).



VALOR NUMÉRICO DE UNA FUNCIÓN

Para evaluar el valor que toma la función para un valor x de su dominio, simplemente se

sustituye el valor de x donde aparece la variable en la expresión de la función, luego se

realizan todos los cálculos que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas

es el valor que toma la función en ese punto.

Ejemplo: la función f (x) = 3x evaluada en x = 2 es 32 = 9. Observa que solamente basta

sustituir 3 en lugar de x. Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene

la función en ese punto.

INTERSECCIÓN CON EL EJE X – RAÍZ DE UNA FUNCIÓN

La raíz de una función y = f(x) es un valor x0 que hace que f(x0) = 0. La raíz de la función

también se conoce como «cero» de la función.

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y

Es el valor que se obtiene de “y” cuando x = 0, siempre que x = 0 pertenezca al dominio de

la función. En símbolos: f(0) = cte.



CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIÓN ALGEBRAICA

Las funciones algebraicas son las funciones que pueden obtenerse a partir de operaciones

algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, raíz) entre polinomios.

lg

Polinómicas

Funciones A ebraicas Racionales

Irracionales

Ejemplo: las siguientes son funciones algebraicas

a) ( )f x x b) 2( ) 1f x x x

c) 2 2 3

( )4

x xf x

x

d) ( ) 3f x x

e) 2

( )4

f xx

f) 3( ) 5 6f x x x

FUNCIÓN TRASCENDENTE

Las funciones trascendentes son las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas

y las trigonométricas inversas.

Trigonométricas

Funciones Trascendentes Logarítmicas

Exponenciales

Ejemplo: las siguientes son funciones trascendentes

a) ( ) log 2f x x b) ( )f x senx

c) 2( ) xf x e d) ( ) lnf x x e



FUNCIÓN POLINÓMICA

Una función es polinomial si se puede escribir de la forma:

y = an xn + an−1 xn−1 +··· + a2 x2 + a1 x + a0

donde los coeficientes an, an−1, etc., son números reales y los exponentes n,

n − 1, etc., son números enteros no negativos.

El coeficiente an es el coeficiente principal y n es el grado de la función.

Ejemplo: las siguientes son funciones polinomiales.

Función polinomial Grado Coeficiente principal

y mx b 1 m

2

22x

y x 2 12

3 2 5y x x x 3 1

115 3y x 11 requiere desarrollo

Dominio

Para cualquier función polinomial, el dominio siempre será el conjunto de los números

reales. (Dom f = R)

Rango

No podemos decir lo mismo del rango de las funciones polinomiales. Ya que, por lo general,

el rango de una función polinomial será un subconjunto de los reales. (Rgo f R)



LA FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

FUNCIÓN AFÍN

Es la función polinomial de primer grado, tiene la forma:

y = a0 + a1 x , a0 0

La gráfica de la función afín es una recta.

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE A RECTA

Cuando definimos la ecuación de 1° grado utilizamos la forma: a x + b =0 ,a 0

Si la convertimos en función obtenemos: y = m x + b

De acuerdo a la definición de función polinomial de primer grado, tenemos que:

a0 = b a1 = m

por la tanto, la expresión:

Término independiente

Término lineal

y mx b

Se conoce como ecuación explícita de la recta.

Siendo “b” es la ordenada al origen y “m” es la pendiente de la recta.

ORDENADA AL ORIGEN

Es el valor donde la recta corta al eje Y. se la determina haciendo: f(0) = b.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es el cociente entre la variación de la variable

dependiente (y) y la variación de la variable

independiente (x) de cualquier punto de la misma.

2 1

2 1

variación en yvariación en x

y y ym

x x x

La pendiente m de la recta nos dice cuánto

debemos subir (en la dirección del eje Y) por cada

unidad que avancemos hacia la derecha (en la

dirección del eje X). En otras palabras, la pendiente

es una razón de cambio.



La interpretación geométrica de la pendiente, es que, es la inclinación o dirección de la

recta.

El valor de la pendiente determina que una función afín sea CRECIENTE, CONSTANTE o

DECRECIENTE.

A las funciones afines que pasan por el origen de coordenadas (0, 0), se las llama

FUNCIONES LINEALES.

Ejemplo: David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta

$125. Escribe una función que le ayude a calcular el importe “y” al comprar “x” litros de

pintura.

Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función.

Solución

Sabemos que cada litro cuesta $125.

Si compra “x” litros, el importe “y” será de 125· x pesos.

La función es, entonces: y =125· x

En esta función b = 0, y m =125, el precio de cada litro de pintura.

La interpretación de la pendiente, es que: nos indica el precio unitario de pintura, “Un litro

de pintura cuesta $125”.

m > 0 m < 0 m = 0



REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN AFÍN

Para graficar una función afín, consideramos la ecuación explicita de la recta, y mx b

primero marcamos la ordenada al origen (b) y a partir de ella representamos la pendiente

de la recta (m).

Ejemplo: traza la gráfica de la recta, 1

23

y x

Procedemos de la manera indicada.

1) Ubicamos la ordenada al origen, en este caso b = 2.

2) A partir de esta, trazamos la pendiente. En nuestro caso, esta vale 13

; entonces, desde

la posición de b, me desplazo 3 unidades (variación en X) y de allí me elevo una unidad

(variación en Y). Como la pendiente de la recta es positiva, me elevo una unidad; de

lo contrario, si esta fuera negativa, hubiera descendido una unidad.



RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.

𝑟 ∥ 𝑟 ⇔ 𝑚 = 𝑚

Ejemplo: halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y es paralela a y = 5x +

1.

Solución

La ecuación de la recta buscada será: y = m x + b

Como esta es paralela a la recta dada, deberán

tener igual pendiente, entonces: m = 5

Como la recta pasa por el punto (2, 1), las

coordenadas de este verifican la ecuación de la

recta:

1 5 . 2 9b b

Finalmente, la recta buscada será: 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟗

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es – 1.

1 2 1 2. 1r r m m

Ejemplo: halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (– 1, 3) y es perpendicular a

y = – 2x + 4.

Solución

La ecuación de la recta buscada será: y = m x + b

Como esta es perpendicular a la recta dada, su

pendiente será: 1

. ( 2) 12

m m

Como la recta pasa por el punto (– 1, 3), las coordenadas

de este verifican la ecuación de la recta:

1 73 . ( 1)

2 2b b

Finalmente, la recta buscada será: 𝒚 =𝟏

𝟐𝒙 +

𝟕

𝟐



OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA o FORMA

IMPLÍCITA

0Ax By C

La pendiente de la recta está dada

por

Am

B

ECUACIÓN CANÓNICA o SEGMENTARIA

1x ya b

Los denominadores “a” y “b”

representan a la abscisa y a la

ordenada al origen.

ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE

1 1y y a x x

Es necesario conocer la pendiente

de la recta y un punto de paso de la

misma, P(x1, y1).

ECUACIÓN QUE PASA POR DOS PUNTOS

2 11 1

2 1

y yy y x x

x x

En esta tenemos dos puntos de paso

de la recta, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se

toma a cualquiera de ellos como

punto de paso; la pendiente se

calcula como

2 1

2 1

y yx x

Ejemplo: Sea la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (– 1, 3). Exprésala en sus distintas

formas.

Solución

a) Recta que pasa por dos puntos: 2 11 1

2 1

y yy y x x

x x

3 2 1 1 1 1 52 1 2 1 2

1 1 2 2 2 2 2y x y x y x y x

b) Forma general de la recta o implícita

Partiendo de: 1 52 2

y x 5

2 5 02

xy x y



c) Forma canónica o segmentaria

Partiendo de: 1 52 2

y x 5 2 2 5 2

152 2 5 5 2 2 5 52

x x x yy y

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Tiene la siguiente estructura:

ax by c

dx ey f

Cada ecuación representa una recta, resolver el sistema implica encontrar la intersección

de ambas rectas (conjunto solución).

CLASIFICACIÓN

determinados: tienen única solución

compatibles

indeterminados: tienen infinitas solucionesSistemas de Ecuaciones Lineales

incompatibles: no tienen solución

RESOLUCIÓN GRÁFICA

Sistema determinado Sistema indeterminado Sistema incompatible



Ejemplo: resuelve gráficamente el siguiente sistema 1

2 3 12

x y

x y

Solución

Graficando las rectas encontramos que

el sistema tiene solución porque existe

una intersección entre las rectas que

conforman el sistema.

En este caso, la solución es:

x0 = 3 y0 = 4

que corresponden a las coordenadas

del punto P, el sistema es compatible

determinado (única solución).

RESOLUCIÓN ANALÍTICA

Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos. La

utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.

Método de sustitución

Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego

reemplazarla en la otra ecuación.

Ejemplo: resuelve el sistema 1

2 3 12

x y

x y

Solución

1 1

2 3 12 2

1 : 1

2 : 2 3 1 12

5 3 12

5 15 3

x y

x y

de y x

en x x

x

x x

Luego, y será:

1 : 3 1 2en y y

** Resultado que se verifica con lo obtenido gráficamente en el ejemplo anterior.



Método de igualación

Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma variable y luego igualar las

ecuaciones obtenidas.


2 3 12

x y

x y

Solución

1 1

2 3 12 2

1 : 1 3

12 22 : y

3igualanado las ecuaciones obtenidas (para y):

12 21

33 3 12 2

5 15 3

x y

x y

de y x

xen

xx

x x

x x

Luego, y será:

3 : 3 1 2en y y

Método de reducción por sumas o restas

Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones

multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema

equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones.


2 3 12

x y

x y

Solución

1 1

2 3 12 2

vamos a igualar los coeficientes de x en ambas ecuaciones

1 " 2 " y 2 "por 1" :

2 2 2

2 3 12

:

5 10 2

x y

x y

multiplico la por la

x y

x y

Ahora sumamos las ecuaciones miembro a miembro

y y

Luego, x la obtenemos reemplazando en cualquiera de (1) o (2): x = 3



Método del determinante

Se calcula el determinante del sistema, luego se arman y calculan los determinantes

de las variables:

. . Determinante del sistemaax by c a b

a e d bdx ey f d e

. .c b

c e f bf exx

. .a c

a f d cd fyy

compatible - indeterminado: infinitas soluciones

= 0

incompatible: sin solución

0 compatible - determinado única solución


2 3 12

x y

x y

Solución

1 11 . 3 2.1 3 2 5

2 3

Como 0, el sistema tiene solución única.

1 1

12 3 3 12 153

5 5 5x

x

1 1

12 22 12 102

5 5 5y

y

Por lo tanto: x = 3 y = 2



LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

En la unidad 3 estudiamos las ecuaciones cuadráticas. Ahora vamos a estudiar la función

cuadrática, pero considerándola como un caso particular de la función polinomial.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función polinomial de grado dos:

y = a2 x2 + a1 x + a0 ,a2 0

a esta expresión también se la conoce como función cuadrática.

Su representación gráfica es una PARÁBOLA.

Cuando definimos la ecuación cuadrática utilizamos la forma: a x2 + b x + c =0 , a 0

Si la convertimos en función obtenemos: y = a x2 + b x + c

De acuerdo a la definición de función polinomial de segundo grado, tenemos que:

a0 = c a1 = b a2 =a

por la tanto, la expresión:

Término Lineal

2

Término Términocuadrática independiente

y a x b x c

Se conoce como ecuación general de la parábola.

Los nombres de cada término son importantes, porque la mayor parte de las explicaciones

está basada en estos términos y conceptos.

En matemática, como en cualquier otro lenguaje, las reglas y los nombres de cada una de

sus partes es muy importante.

Ejemplo: Indica el término cuadrático, lineal e independiente de cada una de las

siguientes funciones cuadráticas.

Función Término

2y a x b x c cuadrático lineal independiente

22y x 22 x 0 0

2 15 12

2y x x 25 x 12 x 1

2

2

1005x

y x 2

5x

x 100

2 3 5y x x 23 x x 10



FORMA INCOMPLETA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

1) Funciones de la forma: 2y a x

2) Funciones de la forma: 2y x c

RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Son válidos los criterios usados en la Unidad 2 para determinar los ceros de un polinomio, es

decir, la función cuadrática (de grados dos) tiene a lo sumo dos raíces.

Las raíces se determinan resolviendo la ecuación de 2° grado asociada a f(x), esto es f(x) =

0, entonces:

2 0 ec. de 2° gradoax bx c

Para hallar sus soluciones, aplicamos la fórmula de Bhaskara:

2 2 2

1,2 1 24 4 4

2 2 2b b ac b b ac b b ac

x x xa a a

La interpretación geométrica de las raíces de la función cuadrática,

es la intersección de la gráfica de f con el eje X.

0 la parábola es "cóncava hacia arriba"

0 la parábola es "cóncava hacia abajo"

0 1 la parábola se "ensancha"

1 la parábola se "contrae"

a

a

a

a

0 la parábola se desplaza hacia arriba

0 la parábola se desplaza hacia abajo

c

c



POSICIONES RELATIVAS RESPECTO DEL EJE DE LAS ABSCISAS (EJE X)

Es importante saber la naturaleza de las raíces porque ello nos dirá si la gráfica de la función

cuadrática intersecta o no al eje X. Para ello, basta analizar un parámetro de la fórmula de

Bhaskara, el discriminante.

DISCRIMINANTE

El discriminante de la ecuación cuadrática: 2 0ax bx c es el

número:

= b2 − 4ac

Esto nos origina tres casos para las raíces de una ecuación cuadrática:

i. > 0, las dos raíces son números reales distintos.

ii. = 0, las dos raíces son reales e iguales

iii. < 0, las dos raíces son números complejos.

Veamos gráficamente la interpretación de lo expresado:

El discriminante nos ayuda a conocer la naturaleza de las raíces de una ecuación

cuadrática sin necesidad de resolverla. Basta con conocer el signo del discriminante para

conocer el tipo de raíces que tiene la ecuación cuadrática que estamos estudiando.

DOMINIO

Como la función es polinómica o polinomial, entonces, su dominio es el conjunto de los

reales: Dom f = R

Hay intersección con el eje X.

1 2x x ambas reales.

Hay intersección con el eje X.

1 2x x ambas reales.

No hay intersección con el eje X.

2 1x x son complejas conjugadas.



RANGO

El rango de la función cuadrática resultara ser un subconjunto del conjunto de los números

reales. El mismo dependerá de si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Veamos:

Cóncava hacia arriba (a > 0): ,Rgo f k

Cóncava hacia abajo (a < 0): ,Rgo f k

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Para realizar la gráfica de la función cuadrática (parábola) 2( )f x ax bx c , debemos

calcular los elementos relevantes de la parábola y luego representarlos. Estos son:

a) Raíces (o ceros)

Son los puntos de intersección de la gráfica con el eje X, vale decir cuando f(x) = 0.

2 0 ec. de 2° gradoax bx c

Para hallar sus soluciones, aplicamos la fórmula de Bhaskara:

2 2 2

1,2 1 24 4 4

2 2 2b b ac b b ac b b ac

x x xa a a

b) Vértice de la parábola

El vértice de la parábola es un punto que representa el máximo o mínimo valor que toma

la función cuadrática según sea cóncava hacia abajo o hacia arriba (a > 0 o a < 0).

Se representa como: ,V h k

La coordenada h se calcula: 2b

ha

La coordenada k: 2k f h a h b h c

c) Ordenada al origen

Este parámetro representa la intersección con el eje Y, corresponde al valor de “c”.

Lo determinamos haciendo: f(0) = c.



Ejemplo: representa gráficamente la función 2( ) 2 3f x x x , luego indica concavidad,

dominio y rango de f.

Solución

Observamos que: a = 1 b = 2 c = – 3

Las raíces serán:

12

1,2

2

2 41

22 2 4 1 3 2 4 12 2 42 1 2 2

2 43

2

x

x

x

Las coordenadas del vértice sean:

La coordenada h se calcula: 2

12.1

h

La coordenada k: 21 1 2 1 3 1 2 3 4k f

Por lo tanto, el vértice será: 1, 4V

La ordenada al origen será: 0 3f

Finalmente, la gráfica de f será:

La parábola es “cóncava hacia arriba” ya que a > 0 (a = 1).

Dominio: Dom f R

Rango: 4,Rgo f



FORMA CANÓNICA DE LA PARÁBOLA

Hasta ahora hemos trabajado con la forma general de la parábola (función cuadrática).

Recordemos su expresión:

2 0y ax bx c a

La forma canónica se la obtiene luego de completar cuadrado en la expresión anterior.

Obteniendo:

2

2 2

2 4

y ax bx c

b ba x c

a a

Expresamos h y k como: 2

2 4b b

h k ca a

Finalmente,

2y a x h k Ecuación Canónica de la Parábola

FORMA FACTORIZADA DE LA PARÁBOLA

Partiendo de la forma general de la parábola (función cuadrática):

2 0y ax bx c a

y conocidas sus raíces 1 2x y x , la expresión de la forma factorizada de la parábola será:

1 2y a x x x x Ecuación Factorizada de la Parábola

Ejemplo: Sea la función cuadrática 23 2 1y x x , determina las formas canónica y

factorizada de la parábola.

Solución

Las raíces son:

12

1,2

2

2 4 16 32 2 4 1 3 2 4 12 2 4

2 3 6 62 4

16

x

x

x

Las coordenadas del vértice sean:

La coordenada h se calcula: 2 1

2. 3 3h



La coordenada k: 2

1 1 1 1 2 43 2 1 1

3 3 3 3 3 3k f

Por lo tanto, el vértice será: 1 4

,3 3

V

Finalmente:

Forma factorizada: 13 1

3y x x

Forma canónica: 2

1 43

3 3y x

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MÁXIMOS – MÍNIMOS – CRECIMIENTO y DECRECIMIENTO

Veamos directamente un ejemplo de aplicación para aclarar estos conceptos.

Ejemplo: una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 24

m/s. La altura (h, en metros) alcanzada por la pelota en función del tiempo (t, en segundos)

está dada por la expresión:

2( ) 3 24h t t t

Realizando la gráfica, y analizando la trayectoria que describe la pelota, podemos concluir:

el dominio más adecuado para la función,

según la interpretación del problema, es el

conjunto de los reales positivos, es decir: Dom

h = [0, 8].

En este caso, el tiempo pertenece al dominio,

por eso que más allá de los 8 s no tiene sentido

analizar a la pelota.

La altura máxima alcanzada es de 48 m.

Alcanza la altura máxima a los 4 s de haber

sido lanzada.

El intervalo de tiempo en el cual la pelota asciende (desde que es lanzada hasta el

momento en que alcanza su altura máxima) es (0, 4); intervalo de crecimiento.

El intervalo de tiempo en el cual pelota desciende (desde que alcanza la altura máxima

hasta que vuelve a tocar el suelo) es (4, 8); intervalo de decrecimiento.

En general, dada una función cuadrática 2 0y ax bx c a

Se verifica que:

1) Si a > 0, la función:

Alcanza un mínimo en el vértice de la

parábola

Decrece en el intervalo (– , h)

Crece en el intervalo (h, )



2) Si a < 0, la función:

Alcanza un máximo en el vértice de la

parábola

Crece en el intervalo (– , h)

Decrece en el intervalo (h, )

Ejemplo: Encuentra dos números tales que su suma sea 10 y su producto sea máximo.

Solución

Si consideramos solamente números enteros, tenemos un número infinito de pares de

números que suman 10.

Por ejemplo, 12 y − 2 son uno de esos pares.

Si x es uno de los dos números, el otro será 10 − x, porque al sumarlos obtenemos 10:

x + (10 − x) = 10

El problema exige que el producto de los dos números sea máximo.

Para esto, vamos a definir la función: f(x) = x (10 − x) = 10 x − x2

Ahora el problema se convierte en encontrar el vértice de esta función cuadrática, porque

en él está el valor de x que hace que f tenga su máximo valor. O sea, vamos a calcular las

coordenadas h y k del vértice. Veamos:

, : 1 10 0

105 (5) 25

2.( 1)

Se observa en f que a b c

h k f

Por lo tanto: si x = 5, entonces, 10 − x también vale 5.

Así que los dos números que sumados dan 10 y dan producto máximo son 5 y 5.



FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS

Este tipo de función responde a la forma ( )

( )( )

P xf x

Q x , donde P y Q son polinomios.

DOMINIO

El dominio de una función racional es el conjunto de números reales excepto aquellos

valores de x que anula el denominador.

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y

La cual existe si x = 0 pertenece al dominio de la función. Cumplido lo anterior, la

intersección con el eje Y sería el punto (0, f(0)).

INTERSECCIÓN CON EL EJE X (raíces o ceros de la función)

Se obtienen haciendo f(x) = 0. Son los valores de x que pertenecen al dominio de f y que

anulan la función, es decir al polinomio numerador.

Ejemplo: Para las siguientes funciones, determina dominio e intersección con los ejes.

a) 3

( )2

xf x

x

2Dom f R

Intersección con el eje Y

La condición es que x = 0 pertenezca al dominio de f. Vemos que es así, por lo tanto:

0 3 3(0)

0 2 2f

30,

2P

Intersección con el eje X

La condición es que y = 0, luego:

30 , 2

23 0 3

xx

xx x

3, 0Q

Gráficamente

Calculo de las asíntotas

Asíntota vertical (AV): son los valores de x que hacen cero al denominador, pero “no” al numerador (simultáneamente). En nuestro ejercicio, es x = 2. Decimos entonces: la recta x = 2 es asíntota vertical.

Asíntota horizontal (AH): Sea 𝑓(𝑥) =⋯

⋯ una

función racionale fraccionaria. Entonces si: grado(Pnum) < grado(Pden): la recta y = 0 es AH grado(Pnum) = grado(Pden): la recta 𝒚 =

𝒂𝟎

𝒃𝟎 es AH

En nuestro caso, y = 1 es asíntota horizontal. grado(Pnum) > grado(Pden): no hay AH



b) 2

5( )

9

xf x

x

2 29 0 9 3 3, 3x x x Dom f R



2

0 5 5(0)

9(0) 9f

50,

9P



2

50 , 3

95 0

5

xx

xx

x

5, 0Q

c) 3

4

8( )

1

xf x

x

Dom f R ** es así ya que el denominador no se anula nunca.



3

4

(0) 8(0) 2

(0) 1f

0, 8P



3

4

3

3

80

18 0

8 2

x

xx

x x

2, 0Q

** USA GEOGEBRA Y VERIFICA TUS RESULTADOS **

Matemática BIBLIOGRAFÍA


B I B L I O G R A F Í A

SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD UTN – FRT. Argentina 2014

CURSO INTRODUCTORIO – MATEMÁTICAS UTN – FRT. Argentina 1999

MATEMATICA 3 – ACTIVA Arroyo, Bernio, D’albano. Editorial Puerto de Palos S.A. (1° ed. 2003). Argentina 2010.

MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z

EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 EGB 3 – Editorial Estrada. Argentina

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Sullivan, M. Pearson – Prentice Hall. 7° Edición. México 2006

MATEMÁTICA – POLIMODAL Altman, Comparatore, Kurzrok. Edit Longseller CÁLCULO DE LEITHOLD L. Leithold – 7° Edicion (español). Mexico 1994.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Frank Ayres Jr. - Serie de Compendios Schaum -

Editorial McGraw-Hill.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Stewart, J.- International Thomson Editores.

CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA Swokowski, E.- Grupo Editorial Iberoamericana.

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