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Controllo di Azionamenti Elettrici

Lezione n°3Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione

Facoltà di IngegneriaUniversità degli Studi di Palermo

Caratteristiche e predisposizionedei regolatori PID

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IntroduzioneI regolatori ad azione Proporzionale, Integrale e Derivativa (regolatori PID) sono i regolatori lineari

maggiormente utilizzati in ambito industriale. Infatti, nel controllo di molti processi industriali, a fronte di

notevoli variazioni delle caratteristiche dinamiche dei sistemi controllati, risulta economicamente

conveniente che gli apparati di controllo siano unificati. Più precisamente, la tendenza in atto è quella di fare

in modo di disporre di apparati di controllo standard, ma provvisti di dispositivi di correzione con parametri

regolabili entro certi limiti, in modo tale da potere essere adattati al particolare sistema di regolazione in cui

vengono inseriti. Quindi, nell’ambito dei sistemi di regolazione, l’apparato controllante viene di solito

realizzato a struttura fissa e a parametri aggiustabili. In tale situazione il compito del progettista consiste

nell’assegnare i valori dei parametri, nel loro campo di escursione, in modo tale che siano soddisfatte le

specifiche di progetto; l’operazione a seguito della quale vengono fissati i valori dei predetti parametri prende

il nome di predisposizione dei regolatori.

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Caratteristiche dei regolatori PID1. Il loro impiego consente di controllare in modo soddisfacente un’ampia

gamma di processi

2. Sono sviluppate semplici regole per la loro taratura automatica,applicabili con buoni risultati anche nel caso in cui non sia disponibile un modello matematico preciso del sistema da controllare

3. Per la loro semplicità i regolatori PID possono essere realizzati con le tecnologie più varie: elettroniche analogiche e digitali, meccaniche, pneumatiche, idrauliche, etc.

4. Rendono possibile la realizzazione di schemi di controllo complessi in tempi brevi e con costi contenuti

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Caratteristiche dei regolatori PID (2)

sistema controllato

trasduttore di misura

y

-

m u e + regolatore attuatore

r

ym

d

La variabile di controllo m viene generata dalla somma di tre contributiun primo contributo proporzionale all’errore e tra il segnale di riferimento r e la variabile

d’uscita y (o una sua misura ym) del sistema controllato;

un secondo contributo proporzionale all’integrale dell’errore e (e quindi al suo valore

medio), in modo che l’errore a regime si possa annullare a fronte di segnali di riferimento o

disturbi additivi costanti;

un terzo contributo proporzionale alla derivata dell’errore e, in grado di fornire un’azione

anticipativa sull’andamento dell’errore stesso

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Parametri dei regolatori PID

sistemacontrollato

trasduttore di misura

y

-

m u e + regolatore attuatore

r

ym

d

sTsTsTTK

sKsKsKsK

sKK)s(G

I

IDIP

IPDD

IPPID

122 ++=++=++=

KP prende il nome di coefficiente dell’azione proporzionale

KI e KD prendono il nome, rispettivamente, di coefficiente dell’azione integrale e coefficiente dell’azione derivativa

banda proporzionale: PB=100/KP.

tempo integrale: TI = KP/KI

tempo derivativo: TD = KD/KP

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Tipi di regolatori

regolatore proporzionale (P):

regolatore integrale (I):

regolatore proporzionale-integrale (PI):

regolatore proporzionale-derivativo (PD):

regolatore proporzionale-integrale-derivativo (PID):

PP K)s(G =

sTK)s(GI

PI

=

+=

sTK)s(G

IPPI

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( )sTK)s(G DPPD 1+=

++= sT

sTK)s(G D

IPPID

11

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Caratteristiche dell’azione proporzionale

Per avere un errore a regime basso è necessario occorre un guadagno

d’anello elevato, occorre che sia elevato il coefficiente dell’azione

proporzionale (KP)

Possibili problemi riguardanti la stabilità del sistema a catena chiusa

Vantaggio dovuto al fatto che un valore elevato del coefficiente

dell’azione proporzionale riduce gli effetti delle variazioni

parametriche e dei disturbi

Dal punto di vista dinamico l’azione proporzionale produce un

aumento della banda passante, quindi una migliore prontezza di

risposta, ma allo stesso tempo riduce i margini di stabilità.

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Caratteristiche dell’azione integrale

La funzione principale dell’azione integrale è quella di annullare

l’errore a regime in presenza di disturbi costanti sulla variabile

d’uscita.

Dal punto di vista dinamico l’azione integrale porta ad un

peggioramento dei margini di stabilità in quanto introduce nella

funzione di trasferimento a catena aperta un ritardo di fase pari a π/2.

Riduzione della banda passante.

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Caratteristiche dell’azione derivativa

Migliora i margini di stabilità in quanto introduce un anticipo di fase

pari a π/2.

Introduce un’azione di controllo proporzionale alla variazione

dell’errore, fornendo, quindi, una correzione che anticipa l’andamento

dell’errore nel tempo.

Svantaggio legato all’aumento della banda passante che porta ad

amplificare i segnali con contenuto armonico a frequenze elevate

come ad esempio il rumore sovrapposto al segnale utile

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Caratteristiche dell’azione derivativa (2)non è fisicamente realizzabile in quanto la risposta in frequenza ad essa associata ha

modulo crescente al crescere della frequenza

nella pratica i regolatori PID sono caratterizzati da un’azione derivativa definita dalla

seguente funzione di trasferimento:

dove N è un parametro il cui valore viene posto pari a 10 ÷ 100 in modo tale che il

polo di valore –N/TD, introdotto in per ottenere la fisica realizzabilità, si collochi al di

fuori della banda di frequenze di interesse per il progetto del sistema di controllo.

sovente l'azione derivativa viene imposta soltanto sulla variabile d'uscita y secondo lo

schema riportato in figura.

NTsTsK

)s(D)s(D)s(D

D

DP

D

N 1

+==

y

-

e + P

r G(s)

I

D

+

+

-

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Il fenomeno del wind-upFenomeno dovuto alla presenza combinata dell’azione integrale e della saturazione dell’attuatore

sistema controllato

trasduttore di misura

y

-

m u e + regolatore attuatore

r

ym

d

>≤

−<−=

M,M

M

MM

u)t(uuuu(t)),t(u

u)t(u,u)t(m

Quando l’errore cambia segno, prima che l’attuatore ritorni in zona lineare, si deve attendere la scarica dell’azione integrale

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Uno schema anti-wind-up

r

L’attuatore torna a funzionare in zona lineare non appena l’errore cambia segno

Il rientro in zona lineare è istantaneo

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Taratura dei regolatoriSi considerano processi caratterizzati da una dinamica lenta, cioè da una risposta al gradino essenzialmente non oscillante e da una funzione di trasferimento avente uno o due poli stabili ed eventualmente un ritardo di tempo

Regole di Ziegler e Nichols: la taratura viene effettuata a partire da una parziale conoscenza della funzione di trasferimento del processo G(s), ottenibile con semplici esperimenti effettuati sul processo stesso

Esperimenti in anello chiuso: si controlla il processo mediante un regolatore proporzionale

Esperimenti in anello aperto in anello aperto: si impongono opportuni ingressi al sistema controllato

seTs

K)s(G 1

τ−

+=

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Taratura dei regolatori (2)Il metodo classico di taratura in anello chiuso consiste nel considerare soltanto un’azione di

controllo di tipo proporzionale e nel modificare la sensibilità dell’azione proporzionale Kp

fino a quando il sistema reazionato viene portato ai limiti di stabilità, cioè quando, a fronte di

variazioni a gradino imposte al segnale di riferimento r, l’uscita y del sistema si porta in

oscillazione permanente di periodo T*. Il corrispondente guadagno proporzionale prende il

nome di guadagno critico e in base al suo valore e a quello assunto dal periodo T* i parametri

del regolatore vengono tarati in modo da assumere i valori riportati nella seguente tabella

pK IT DT

* 5.0 pK

*pK 45.0 * 8.0 T

* 6.0 pK * 5.0 T * 125.0 TPID

----PI

--------P

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Taratura dei regolatori (3)

Svantaggi delle regole di Ziegler e Nichols :

nel caso in cui il processo sia costituito da impianti particolarmente delicati, quali

ad esempio reattori chimici, non è pensabile portare il sistema ai limiti di

stabilità;

per sistemi descritti da una funzione di trasferimento G(s) del primo ordine senza

ritardo non è possibile portare il sistema in oscillazione permanente agendo

unicamente sul guadagno del regolatore;

il margine di fase che spesso si ottiene usando le regole su esposte risulta

insoddisfacente; ciò porta ad una risposta indiciale che presenta andamento

oscillante con notevole sovraelongazione.

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Altri metodi di taratura dei regolatori

Assegnamento dei poli:

nel caso in cui il ritardo apparente di tempo τ del processo sia trascurabile,

ricorrendo ad un controllore PI è possibile assegnare i poli del sistema a

catena chiusa. In particolare, imponendo che il polinomio caratteristico del

sistema a catena chiusa assuma la seguente forma:22 2)( nn sss ωξω ++=Λ

KT

K nP

12 −=

ξω2

12

n

nI T

TT

ωξω −

=

Affinchè i i valori di Kp e TI siano positivi deve essere:

Tn 5.0>ξω

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Altri metodi di taratura dei regolatoriAssegnamento del margine di guadagno

è possibile assegnare il margine di guadagno per il sistema a catena chiusa

avente funzione di trasferimento a catena aperta pari a( ) ( )ωωω jG)j(GjF PID=

il punto A, individuato mediante la procedura di taratura fornita dal metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso precedentemente descritto, deve essere spostato nel punto A1 corrispondente al margine di guadagno Km che si deve imporre

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Altri metodi di taratura dei regolatoriAssegnamento del margine di guadagno (2)

si impone che la pulsazione ωπ in cui il diagramma polare F(jω) di

interseca il semiasse reale negativo coincida con la pulsazione critica

Se si vogliono migliorare le prestazioni statiche del sistema a catena chiusa si deve ricorrere all’azione integrale; inoltre, ipotizzando sempre , è necessario introdurre anche l’azione derivativa in modo tale che lo sfasamento introdotto in corrispondenza a sia nullo. Quindi è necessario che sia verificata la relazione:

**

Tπω 2=

m

*P

P kKK =

*ωωπ =

*ω

01 =+ D*

I* TjTj

ωω

DI TT 4=*

2ω

=IT *21ω

=DT

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Altri metodi di taratura dei regolatoriAssegnamento del margine di fase

nel caso in cui si voglia ottenere un dato margine di fase , si impone che la

pulsazione ωπ in cui il diagramma polare F(jω) di interseca il semiasse reale

negativo coincida con la pulsazione critica*

*

Tπω 2=

mϕ

πϕωω )())j(G)j(Garg( m**PID 1

180−= 1=)j(G)j(G **

PID ωω

il punto A individuato con la procedura di Ziegler e Nichols in anello chiuso viene spostato nel punto A2 corrispondente al margine di fase desiderato

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Altri metodi di taratura dei regolatoriAssegnamento del margine di fase (2)

è necessario ricorrere all’azione derivativa del regolatore PID in modo tale da

poter ottenere l’anticipo di fase necessario in corrispondenza alla pulsazione

critica **

Tπω 2=

0>PK πω −=))j(GKarg( *P

πϕωω 180

11 mD

*

I* )TjTj

arg( =++

1111 =−++ *P

D*

I*P K

)TjTj

(K ωω

( )mI

*D* tan

TT ϕ

ωω =− 1 ( )m

*PP cosKK ϕ=

DI TT 4=

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Altri metodi di taratura dei regolatoriApproccio a modello interno (IMC – Internal Model Control)

d

y

-

e+rG(s)

++

-Gm(s)

+

u

Q(s) F(s)

Gm(s) rappresenta il modello del processo G(s) che si suppone essere asintoticamente stabile

Q(s) viene scelta come un’inversa approssimata di Gm(s), cioè della parte di Gm(s) a fase minima F(s) viene considerata come un filtro del primo ordine con funzione di trasferimento pari a:

fTs)s(F

11

+=

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Altri metodi di taratura dei regolatoriApproccio a modello interno (2)

d

y

-

e+rG(s)

++

-Gm(s)

+

u

Q(s) F(s)

Lo schema di controllo a modello interno equivale ad un classico controllo in retroazione nel quale la funzione di trasferimento del regolatore R(s) assume la forma

K 1 Ts)s(Q +=

)s(G)s(F)s(Q)s(F)s(Q)s(Rm−

=1

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Altri metodi di taratura dei regolatoriApproccio a modello interno (3)

Se si approssima con il suo sviluppo in serie troncato al primo termine

sm e

TsK)s(G

1τ−

+=

se τ−

se s 1 ττ −≅−

si ottiene la seguente funzione di trasferimento R(s) del regolatore

)TsTs)s(R

f++=τ(K

1

Corrisponde ad un regolatore PI avente i seguenti parametri

)T(KTK

fp +

=τ TTi =

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Altri metodi di taratura dei regolatoriApproccio a modello interno (4)

Se si approssima con l’approssimante di Padé

sm e

TsK)s(G

1τ−

+=

se τ−

si ottiene la seguente funzione di trasferimento R(s) del regolatore

Corrisponde ad un regolatore PID avente i seguenti parametri

21

21

τ

ττ

s

se s

+

−≅−

)T(sK

)Ts)(s(

)TsT(sK

)Ts)(s()s(R

fff+

++≅

++

++=

τ

τ

ττ

τ

12

1

2

12

1

)T(K.TK

fp +

+=τ

τ 50 T.Ti += τ 50 T.T.Td +

=ττ

50 50