Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de...
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Capítulo 33: Circuitos AC
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Capítulo 33: Circuitos AC
Representaremos un generador AC en un circuito usando
cosB NA B NBAΦ = ⋅ = θA
Bθ
Pero θ=ωt, por lo tanto
cosB NBA tΦ = ωLa EMF inducida es:
( )sinBd NBA tdtΦ
=− =− −ω ωE
max max
sin
sin ,
NBA t
t NBA
= ω ω
= ω = ω
E
E E E
max sin t= ωE E
+ −
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
max0 , sinV IR IR t= = − ∴ = = ω∑ E E E
maxmaxsin sinI t I t
R= ω = ωE
maxmaxI R
=Edonde es la corriente máxima.
NOTA: La corriente y el voltaje están en fase, según ilustrado en la figura.
Promedio RMS (“root-mean-squared”)
2 2 2 2max max max
2max
1sin , sin
212rms
I I t I I t I
I I I
= ω = ω =
= = Similar para el voltaje.
max sin t= ωE E
+
+
−
−
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
max0 sinq q
V tC C
= − = ∴ = = ω∑ E E E
max sinq C t= ωE
( )max maxcos cosdq
I C t C tdt
= = ω ω = ω ωE E
max max maxcos ,I I t donde I C= ω = ω E
Usando la identidad cos(ωt)=sin(ωt+90°), tenemos:
( )max sin 90I I t= ω +NOTA: La corriente está adelantada por 90 grados con respecto al voltaje (o el voltaje está atrasado por 90 grados respecto a la corriente).
Vimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual al voltaje en ésta dividida por la resistencia, esto es, I = V/R (Ley de Ohm). Tratando de usar esta idea escribimos la corriente Imax de la siguiente manera:
max maxmax max 1
C
I CX
C
= ω = =
ω
E EE
1CX C=
ωLa cantidad XC dada por
se conoce como reactancia capacitiva y sus unidades son omios.
max sin t= ωE EAplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
+ −
+ −
max0 sindI dI
V L L tdt dt
⎛ ⎞⎟⎜= + − = ∴ = = ω⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑ E E E
max
max max
max
sin
cossin
cos
dI t dtL
tI t dt
L L
I tL
= ω
− ω⎛ ⎞⎟⎜= ω = ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ω
= − ωω
∫
E
E E
E
( )
Usando la identidad -cos(ωt)=sin(ωt-90°), tenemos:
maxmax maxsin 90I I t donde I
L= ω − =
ωE
NOTA: La corriente está atrasada por 90 grados con respecto al voltaje (o el voltaje está adelantado por 90 grados respecto a la corriente).
Podemos escribir Imax en forma de la ley de Ohm definiendo una nueva cantidad XL llamada reactancia inductiva:
max maxmax
L
IL X
= =ωE E
La cantidad XL dada porLX L= ω
es la reactancia inductiva y sus unidades son omios.
+
+ +− −
−
I aumentando
max sin t= ωE E
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
( ) 0dI q
V IR Ldt C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + − + − + − =⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ E
La ecuación a resolver es:
max sin ,dI q dqL IR t donde Idt C dt
+ + = ω =E
La solución es:
( )max sinI I t= ω −φdonde
tan L CX XR−
φ =
( )max max
max 22L C
IZR X X
= =+ −
E E
( )22L CZ R X X= + −La cantidad
es la impedancia del circuito. En términos de la impedancia, la corriente está dada por:
( )max sinI tZ
= ω −φE
Podemos expresar estos resultados usando un diagrama de fasores, ilustrado en la siguiente figura.
LV
CVRV
L CV V−
RV
E
Tratamos los voltajes como si fuesen vectores. La magnitud de cada vector es
,max max ,max max
,max max max max
,
,
R R L L L
C C C
V V I R V V I X
V V I X I Z
= = = =
= = = =E E
I
De la figura (b) tenemos
( )( )
( )
( )
22 2max ,max ,max ,max
22 2 2max max
2 2max max
max maxmax 2 2
L C R
L C
L C
L C
V V V
I X X I R
I X X R
IZX X R
= − +
= − +
= − +
= =− +
E
E
E E
Del dibujo tenemos:( ),max ,max max
,max max
tan
tan
L C L C
R
L C
V V I X X
V I R
X XR
− −φ = =
−φ =
EL CV V−
RV
Considera el siguiente circuito donde R=30 Ω, L=60 mH y C=10 µF.El voltaje máximo del generador es 170 voltios y su frecuencia angular es 1000 rad/seg. Calcula (a) la impedancia del circuito, (b) la corriente RMS, (c) la constante de fase del circuito. ¿Cómo está el voltaje, atrasado o adelantado relativo a la corriente?
Resonancia
Si la frecuencia del generador es tal que XL=XC, entonces la constante de fase φ es cero y decimos que el circuito está en resonancia. Observamos lo siguiente:
1. La corriente y el voltaje están en fase.
2. La impedancia tiene su valor más pequeño:
( ) ( )2 22 2 0L CZ R X X R R= + − = + =
3. La corriente Imax (y la RMS) tiene su valor más grande:
rmsrmsó I
R⎛ ⎞⎟⎜ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Emax maxmaxI Z R
= =E E
Frecuencia de Resonancia
Calculamos la frecuencia de resonancia a partir de la condición XL=XC.
00
20
0
1
1
1
L CX X
LC
LC
LC
=
ω =ω
ω =
ω =
¿En el ejemplo anterior, cuál es la frecuencia de resonancia? ¿Cuál es el valor de la corriente RMS si el circuito estuviese en resonancia?
Potencia en Circuitos AC
La potencia instantánea del generador es:
( ) ( )( )( )
max max
max max
sin sin
sin sin
P I t I t
I t t
= = ω ω −φ
= ω ω −φ
E E
E
Usar la identidad: ( )sin sin cos cos sint t tω −φ = ω φ− ω φ
2max max
1sin22
cos sin sin sin cost
P I t t tω
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= φ ω − φ ω ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠E
Potencia en Circuitos AC - continuaciónLa potencia promedio es:
2max max
012
max max max max
1cos sin sin sin2
2
1 1 1cos cos
2 2 2cosrms rms
P I t t
I I
I
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= φ ω − φ ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= φ = φ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠
= φ
E
E E
E
Usando
2,rmsrms rms rms rms
RP I I R P I R
Z Z⎛ ⎞⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠E
E
cosRZ
φ = tenemos:
El Transformador IdealB
p p
Bs s
pB s
p s
ss p
p
dV N
dtd
V Ndt
Vd Vdt N N
NV V
N
φ= = −
φ= −
φ= − = −
=
E
Por conservación de energía tenemos:p
p p s s s ps
NI V IV I I
N= ∴ =
3
100
4 10
p
p
I A
V v
=
= × 52.4 10 240
30
?
s
línea
s
V v kV
R
I
= × =
= Ω
=
Calcular corriente Is:
3
5
4 10100
2.4 10
1.67
p p s s
ps p
s
s
I V I V
V vI I A
V v
I A
=
⎛ ⎞ ×⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ×⎝ ⎠=
La potencia suplida por la planta es:
( )( )3100 4 10
400,000 400
planta p pP I V A v
W kW
= = ×
= =
La potencia perdida en la línea usando el transformador es:
( ) ( )22 1.67 30 83.3
83.3% 100% 100%
400,000
0.02%
línea s
línea
planta
P I R A W
WPde pérdida
P W
= = Ω =
= × = ×
=
La potencia suplida si no se usa transformador:
En ese caso la corriente que pasa por la línea es 100 A.
( ) ( )22 100 30 300,000 300
300,000% 100% 100%
400,000
75%
línea
línea
planta
P I R A W kW
WPde pérdida
P W
= = Ω = =
= × = ×
=
