Clase 13 - Régimen transitorio - Circuitos RLC -Corriente Alterna

Prof. Juan Mauricio Matera

17 de mayo de 2019

Repaso

I Las Leyes de Kirchhoff siguen siendo aplicables a circuitoseléctricos fuera del régimen estacionario

I Cuando presentan valores no despreciables de capacidad yautoinducción en sus ramas, las ecuaciones que vinculantensiones y corrientes ya no son algebráicas, sino ecuacionesdiferenciales.

I Vimos los ejemplos de los circuitos RC y RL, que resultangobernados por la ecuación diferencial lineal ordinaria depriemer orden

dfdt = flim

τ− f (t)

τ

cuya solución es de la forma f (t) = flim + (f0 − flim)e−t/τ

dfdt = flim

τ− f (t)

τ⇒ f (t) = flim + (f0 − flim)e−t/τ

I τ define una escala de tiempos.I En circuitos RC serie,

I τ = RCI f = VC

I Si t � τ , decimos que estamos en el régimen estacionario:las derivadas se anulan yI iC = 0 en todos los capacitores (se comportan como un

interruptor abierto).I Si t � τ ,

I VC ≈ V0: el capacitor se comporta como un cable (si estabainicialmente descargado) o como una FEM, si tenía una cargainicial.

I Entre estos dos régimenes decimos que el circuito atraviesa unrégimen transitorio.

dfdt = flim

τ− f (t)

τ⇒ f (t) = flim + (f0 − flim)e−t/τ

I τ define una escala de tiempos.I En circuitos RC serie,

I τ = RCI f = VC

I Si t � τ , decimos que estamos en el régimen estacionario:las derivadas se anulan yI iC = 0 en todos los capacitores (se comportan como un

interruptor abierto).I Si t � τ ,

I VC ≈ V0: el capacitor se comporta como un cable (si estabainicialmente descargado) o como una FEM, si tenía una cargainicial.

I Entre estos dos régimenes decimos que el circuito atraviesa unrégimen transitorio.

Circuitos no tan simples, tratamiento general

Tratamiento general

I Remplazando i → iL + iCy despejando iL de lasegunda ecuación,

iL = E − VC − (R + RC )iCR = 0

Remplazando en VL,

VL = LR

(dVCdt + (R + RC )C d2VC

dt2

)I Remplazando en la primera malla,

d2VCdt2 +2

τ

dVCdt +ω2(VC−VC ,lim) = 0

I conω2 = ( R+RL

R+RC1

LC ),VC ,lim = RL

R+RLE y

τ =2LC(R+RC )

L+(R(RC +RL)+RLRC )C

d2VCdt2 +2

τ

dVCdt +ω2(VC−VC ,lim) = 0

I Si el interruptor está abierto,R →∞, E → 0 y el circuito sereduce a un RLC serie.

I En este caso, la ecuación diferencialtoma la misma forma, pero con losparámetrosI ω2 = 1

LC ,I VC ,lim = 0 yI τ = 2L

RL+RC

. . . sin embargo, el transitorio puede presentar oscilaciones:

La ecuación diferencial lineal de segundo orden

d2f (t)dt2 + 2τ df (t)

dt + ω2(f (t)− flim) = 0

Reordenando la ecuación, y considerando el caso en que f (t) es laposición de una partícula

d2x(t)dt2 = −ω2(x(t)− xlim)− 2

τ

dx(t)dt

identificamos la forma de la Segunda Ley de Newton para unapartícula sujeta a

1. Una fuerza elástica.2. Una fuerza de arrastre.

I Si ω2 → 0, las soluciones son de la formax(t) = x0 +

∫ t0 v0e−t′/τdt ′ (como en un transitorio).

I Si τ →∞, las soluciones son de la formax(t) = xmax cos(ωt + φ0) + xlim (como en un osciladorarmónico).

d2x(t)dt2 = −ω2(x(t)− xlim)− 2

τ

dx(t)dt

. . . volviendo al circuito,

Observamos que al cambiar la posición de la llave, siτω = 2

√L/C

(RL+RC ) > 1, la tensión en C ( y la corriente en L) sufrenoscilaciones amortiguadas con una frecuencia ω ≈ 1√

LC

. . . volviendo al circuito,

Observamos que al cambiar la posición de la llave, siτω = 2

√L/C

(RL+RC ) > 1, la tensión en C ( y la corriente en L) sufrenoscilaciones amortiguadas con una frecuencia ω ≈ 1√

LC

I La amortiguación puede eliminarse si la llave se cierra y sevuelve a abrir con una frecuencia cercana a 1

2πLC .I Este es el comportamiento típico de los circuitos RLC , que son

la base de los osciladores eléctricos.

Corriente Alterna

En un circuito de corriente alterna, las baterías son remplazadas porfuentes de tensión alterna

En una fuente de tensiónalterna la diferencia depotencial entre sus bornes esde la forma

V (t) =√2Vef cos(2πft + φ)

dondeI Vef es el valor eficaz de

la tensión en la fuente,I f es la frecuencia yI φ es un ángulo de fase

inicial.I Si en el circuito tenemos una única fuente de tensión alterna,

podemos elegir siempre φ = 0.

Fuentes de Tensión Alterna

I AlternadoresI Osciladores electrónicosI Señales alternas (ej: transducción de sonido en corriente)

Valor Eficaz

I El valor medio (temporal) de una tensión alterna es nulo

〈V (t)〉 = 1T

∫ T

0V (t) =

√2Vef

∫ T0 cos(ωt)dt

T

=√2Vef

1− sin(ωT )ωT → 0 .

I Por ese motivo, se prefiere utilizar para su caracterización sudispersión media cuadrática o valor eficaz:

√〈V 2〉 =

√1T

∫ T

0V 2(t)dt = Vef

√∫ T0 2 cos2(ωt)dt

T → Vef

Circuitos de Corriente alterna

I Si en un circuito RLC disponemos una única fuente detensión alterna, veremos que todas las tensiones y corrientesdel circuito oscilan con la misma frecuencia de la fuente.

I Cada elemento del circuito (resistencias, capacitores,inductancias, etc) estarán caracterizados por la relación entrelas Amplitudes y fases relativas de la tensión entre susbornes y la corriente que los atraviesa.

I En general, si los componentes son lineales,i(t) =

√2Vef

Z cos(ωt + φ) dondeI Vef es la amplitud de la tensión entre sus terminalesI Z es la Impedancia: Z = Vef

Iefcon Ief =

√〈i2〉 es la corriente

eficaz.I φ es la diferencia de fase asociada al componente.

Potencia entregada por la fuente

I La potencia instantanea entregada por la fuente vendrá dadapor

P(t) = V (t)i(t) = 2V 2ef

Z cos(ωt) cos(ωt + φ)

I A partir de la identidadcos(a + b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b) podemosdescomponer esta en dos términos

P(t) = Presistiva(t) + Preactiva(t)

donde:I Presistiva(t) = 2V 2

efZ cos2(ωt) cos(φ)

I Preactiva(t) = −2V 2ef

Z cos(ωt) sin(ωt) sin(φ) =V 2

efZω sin(φ) d

dt cos2(ωt)

Presistiva(t) = 2V 2ef

Z cos2(ωt) cos(φ)

I Presistiva es una cantidad positiva, cuyo promedio temporalviene dado por

〈P〉 = 〈Presistiva〉 = V 2ef cos(φ)/Z = Vef Ief cos(φ) .

Nótese la semejanza de esta expresión con aquella para lapotencia disipada en una resistencia en circuitos de corrientecontinua.

Preactiva(t) = −2V 2ef

Z cos(ωt) sin(ωt) sin(φ) = V 2ef

Zω sin(φ) ddt cos2(ωt)

I Por otro lado, por ser una derivada total de una funciónperiódica, Preactiva(t) tiene valor medio nulo: esta potencia dácuenta de una conversión reversible de la energía de la fuenteen energía de los campos que genera el circuito.

Reactancia y resistenciaSi a una fuente de CA V (t) =

√2Vef cos(ωt) se conecta

I una resistencia de valor R,i(t) =

√2Vef cos(ωt)/R

por lo que φ = 0 y Z = R.I un Capacitor de capacidad C , se establecerá una corriente

entre sus placas de

i(t) = C dVdt = −

√2Vef ωC sin(ωt) =

√2Vef ωC cos(ωt + π

2 ) .

Luego, Z = XC con XC = 1ωC la Reactancia capacitiva. En

un capacitor, decimos que la corriente adelanta a la tensiónen un ángulo de φ = π/2.

I una autoinductancia (ideal) de valor L, la corriente serelacionará con la tensión E(t) como

E(t) = L didt = −

√2LωIef sin(ωt+φ) =

√2LωIef cos(ωt+φ+π

2 )

de manera que Z = XL con XL = ωL la reactancia inductiva.En este caso, la tensión adelanta a la corriente φ = π/2.

Factor de potencia

I En la expresión

〈P〉 = Vef Ief cos(φ)

el factor cos(φ) suele llamarsefactor de potencia, y da cuentade cuanta potencia consume uncircuito.

I En un circuito puramente resistivo,R = Z y cos(φ) = 1.

I La presencia de inductores (como motores, o lámparasfluorescentes) en un circuito, reducen el factor de potencia.

I Si para realizar su función, uncircuito consume una potencia P, alser alimentado por una fuente detensión de valor eficaz Vef , lacorriente que atravesará el circuitovendrá dada por Ief = P

Vef cos(φ) .

I Si la fuente de alimentación se conecta al circuito mediante uncable de resistencia R, la potencia disipada en el cable seráPdis = Rcable I2

ef = RcableP2

V 2ef cos2(φ) .

I Por este motivo, la distribución de energía electrica se optimizaI haciendo el factor de potencia tan cercano a 1 como sea posible.I aumentando la diferencia de potencial tanto como sea posible.

Transformadores

I Una ventaja de la corriente alternaes que es fácil aumentar y disminuirla tensión eficaz mediante el uso detransformadores.

I En el primer bobinado, o primariose conecta una fem alterna de valoreficaz V1.

I En el segundo bobinado osecundario, se conecta un circuitode impedancia Z � Mω.

I En estas condiciones, la tensióneficaz inducida en el secundario seráE2 = M

L1E1 = N1

N2E1.

I De esta manera, esposible aumentarla tensión duranteel transporte deenergía, y reducirlapara alimentar lared domiciliaria.