capitolo5

Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 5 14 Nov. 08 79

EFFLUSSO DA LUCI

5.1 Introduzione

Il moto di un fluido che fuoriesce da una luce influenzato dalle forze di gravit ed inerzialiessendo trascurabili gli sforzi tangenziali dovuti alla viscosit in mancanza di un contorno fisso(responsabile della fomazione di un gradiente di velocit in una corrente e quindi della presenza disforzi tangenziali secondo l equazione 1.4). Di conseguenza il moto viene studiato come moto difluido perfetto ed incomprimibile. La forma del getto che fuoriesce da una luce (fig. 5.1) dipendesia dalle forze inerziali e di gravit che dalle dimensioni e dallo spessore della luce stessa. Le forzeinerziali pari al prodotto massa per accelerazione rappresentano l inerzia di un corpo in

movimento. Dimensionalmente sono pari a: ma = L3 V/T = L2 V L/T = L2 V2 essendo L una

lunghezza di riferimento.

mh

mh

0

10

1

a a

In assenza delle forze di gravit il getto assume la configurazione 0 (figura 5.1). Infatti trascurandole forze dissipative allo sbocco le particelle si muovono di moto rettilineo uniforme essendo le forzeagenti sulle stesse nulle. All aumentare della forza di gravit il getto tende verso la configurazione1 (figura 5.1). Le linee di corrente in corrispondenza della luce tendono a essere pi fitte e rettilineequando la luce stretta (figura 5.2a) e con curvature e meno fitte quando la luce ampia (figura5.2b). La luce a intesa stretta quando il rapporto tra l apertura a ed il carico idraulico hM rispettoalla mezzeria della luce prossimo al valore zero (a/hm 0) ed ampia quando tale rapporto non trascurabile (a/hm > 0.2). Un basso valore di tale rapporto comporta una variazione di carico


idraulico nell apertura trascurabile per cui la velocit pu essere assunta costante e le linee dicorrente diventano fitte e rettilinee. Un alto valore del rapporto invece comporta variazioni sensibilidi carico idraulico nell apertura per cui la velocit varia significativamente nella sezione di efflussoe quindi anche il rapporto puntuale tra le forze inerziali e gravitazionali per cui le linee di correntesono meno fitte e con curvatura pi accentuata. Il getto immediatamente dopo lo sbocco tender adassumere la configurazione 0 nel primo caso e la configurazione 1 nel secondo caso (figura 5.1).

La forma del getto inoltre influenzata dallo spessore della parete da cui il fluido effluisce. Inparticolare si dice efflusso in parete sottile quando lo spessore della parete piccolo rispetto allapertura a della luce e meglio ancora se con i bordi di forma tagliente (figura 5.3a). In questo caso lefflusso a valle della luce, caratterizzato da un fenomeno di contrazione di vena con la formazionedi una sezione di vena contratta in cui le linee di corrente se la luce stretta stretta sono rettilinee ela distribuzione delle pressioni idrostatica. In caso di parete non sottile si ha l efflusso in paretegrossa in cui la vena dopo la sezione di vena contratta si adagia sulla parete (figura 5.3b). Percontinuit si crea un moto secondario di ricircolo che comporta una dissipazione localizzata dienergia con conseguente modifica del campo di moto ed attenuazione del fenomeno di venacontratta. Il fenomeno di vena contratta si spiega applicando la seconda equazione di Eulero (eq.4.5b) in prossimit dello spigolo del bordo di uscita:

n

p

+ n

h

= - r

V2 (4.5b)

Nel caso in cui la vena segua il bordo facendo una curva a spigolo vivo il raggio di curvatura r tende

a zero e questo comporterebbe una pressione tendente a - infinito (h rimane pressoch costante) ilche fisicamente assurdo.


La contrazione della vena stata studiata teoricamente da Von Mises in assenza di gravit per unmoto bidimensionale (ovvero uniforme nella direzione perpendicolare al piano del disegno) per idiversi casi rappresentati nella figura 5.4 e riportati in tabella 5.1. Il coefficiente di contrazione CC il rapporto tra l area della sezione di vena contratta e l area della luce.La luce in parete da cui vi efflusso denominata a battente quando l efflusso avviene attraversoun apertura e la quota del carico idraulico che vi insiste pi alta della sua estremit superiore ed denominata a stramazzo quando l efflusso avviene sopra l apertura.

Tabella 5.1 Valori del coefficiente di contrazione per differenti valori del rapporto a/b e di

a/b = 45 =90 = 135 =1800.0 0.746 0.611 0.537 0.50.1 0.747 0.612 0.546 0.5130.2 0.747 0.616 0.555 0.5280.3 0.748 0.622 0.659 0.5440.4 0.749 0.633 0.580 0.5640.5 0.752 0.644 0.599 0.5860.6 0.758 0.662 0.620 0.6130.8 0.789 0.722 0.698 0.6910.9 1.0 1.0 1.0 1.0

La luce in parete da cui vi efflusso denominata a battente quando l efflusso avviene attraversoun apertura e la quota del carico idraulico che vi insiste pi alta della sua estremit superiore ed denominata a stramazzo quando il battente nullo.

Ca

C

O

O

b0 av c

C

=180

a

C0.5 a

cc

=450.764 a

a v a

=90

C

C0.611 a

=135

0.537 a


5.2 Luci a battente

5.2.1 Luce di fondo

Una luce di area A ricavata sul fondo sottile di un recipiente contenente liquido di quota costantehO (figura 5.5). La luce distante dalle pareti di apertura stretta in modo che nella sezione CC siformi una sezione di vena contratta con le linee di corrente al di sotto di essa parallele (nel caso diapertura troppo grande o vicina alle pareti le linee di corrente non son parallele per cui la vena nonpresenta una contrazione uniforme). Nella sezione CC la pressione nulla perch essendo le linee dicorrente parallele e la coordinata h costante (eq. 4.10) la pressione ha il valore di quella esternaovvero la pressione atmosferica pA = 0.

1

pA

dcC

O

hh 0

v0

vc

A

C

pA

O

v0

Assumendo come quota di riferimento dell energia la sezione CC nella stessa si ha solo l energiacinetica. Con riferimento alla figura 5.5 si applica il teorema di Bernoulli tra il pelo libero e lasezione CC, essendo VC la velocit in sezione contratta e la velocit di arrivo VO trascurabile:

h1 = VC2/2g

da cui

VC = (2g h1)1/2 (5.1)

L equazione 5.1 la ben nota formulazione della velocit torricelliana. In realt c una piccoladissipazione di energia per cui la velocit secondo l espressione 5.1 viene ridotta tramite uncoefficiente:


VC = 0.96 (2g h1)1/2 (5.2)

Essendo dC = h1 - hO la distanza verticale tra la luce e la sezione CC la 5.2 diventa:

VC = (2g hO)1/2 (5.3)

Indicata con AC = CC A l area della sezione di vena contratta, la portata, utilizzando la 5.3, :

Q = VC AC = AC (2g hO)1/2

Q = CC A (2g hO)1/2 (5.4)

Il valore del coefficiente di contrazione si desume dalla tabella 5.1 essendo = 90 ed a/b 0 (perb si intende la larghezza della base del recipiente): CC = 0.611.

5.2.2 Luce in parete verticale

Una luce di area A praticata su di una parete verticale. Nel caso di luce stretta (a/hm 0)il getto orizzontale per cui si ha una sezione CC di vena contratta (figura 5.6) in cui in tutti i punti si hapressione nulla e velocit uniforme ed il valore della coordinata verticale h assunta costante e pariad hm poich varia di poco.

mh

C

C

Definito hm il carico medio corrispondente alla mezzeria, l applicazione del teorema di Bernoullitra il pelo libero e la sezione di vena contratta CC comporta ancora la velocit torricelliana:


VC = (2g hm)1/2 (5.5)e la portata vale:

Q = CC A (2g hm)1/2 (5.6)

In questo caso si assume CC = 0.611 tramite la tabella 5.1, essendo, con riferimento alla figura 5.4,

= 90 ed a/b 0 (per b si intende hm).Nel caso di luce ampia l espressione per la portata data dalla 5.6 non valida. La vena a causadella gravit si inflette (figura 5.7) ed anche se si riesce a definire una sezione di vena contrattaquasi orizzontale il valore della coordinata h dei punti che le appartengono non pu pi essereapprossimato con un valore unico come nel caso precedente perch la differenza tra gli stessi non pi trascurabile.

h2

1h

In caso di luce rettangolare di ampiezza a = h2 - h1 e larga b nella direzione normale al piano deldisegno (figura 5.7) per il calcolo della portata effluente si procede nel seguente modo: si divide lampiezza a in tratti elementari dh per ciascuno dei quali si assume sia valida la velocit torricellianaV = (2g h)1/2. Si assume ora (ipotesi di Poleni, 1717) di considerare ogni singolo tratto elementaredh come una luce stretta a se stante ed indipendente dalle altre adiacenti per cui la venacorrispondente ad ogni tratto elementare dia luogo ad una contrazione con asse orizzontale (velocitcostante e di direzione normale alla luce). L ipotesi di Poleni equivale a non considerare la forza digravit per cui il getto esce orizzontale. La portata corrispondente ad un singolo tratto elementare dh:

dQ = CC b dh (2g h)1/2 (5.7)


La portata totale effluente dalla luce uguale all insieme delle portate per ogni singolo trattoverticale elementare:

Q = 2h

1hC dh2ghbC (5.8)

Per l ipotesi di Poleni il coefficiente di contrazione CC lo stesso per ogni tratto elementare epermette l integrazione della 5.8:

Q = )h(h2gbC32 3/2

13/22C (5.9)

Nonostante l approssimazione in contrasto con la gravit con cui stata ottenuta, l espressione

5.9 permette una stima sufficientemente esatta della portata effluente da un luce ampia in una pareteverticale con CC = 0.61.

5.2.3 Paratoia sollevata a battente

La vena che defluisce sotto una paratoia sollevata a battente sul fondo di una luce a subisce una

contrazione di vena con CC pari a quello del getto effluente senza peso riportato in Tabella 5.1 per

= 90 (si pu facilmente osservare che la linea di fondo un asse di simmetria orizzontale del gettoeffluente da una luce in una parete in assenza di gravit).

2vy2

1v1ca C = y

a

0v

h0

2gv0

2

L applicazione del teorema di Bernoulli tra una sezione del moto indisturbata della corrente dimonte e la sezione di vena contratta con riferimento alla figura 5.8 comporta:

hO + VO2/2g = CC a + VC2 (5.10)

Per la continuit vale:


VO hO = VC CC a

da cui si esplicita VO:VO = VC (CC a/hO)

che sostituito nella 5.10 comporta:

hO + 2gV

haC 2C

2

O

C

= CC a + 2g

V2C (5.11)

scambiando di membro alcuni termini nella 5.11 si ottiene:

hO - CC a = 2gV2C

-

2gV

haC 2C

2

O

C

=

2gV2C

2O

22C

haC

-1

da cui si ha:

hO - CC a = 2gV2C ( )( )

2O

COCO

haChaCh + (5.12)

Dividendo ambo i membri della 5.12 per hO - CC a ed esplicitando hO a primo membro si ottiene:

hO = 2gV2C ( )

O

CO

haCh +

da cui estraendo la radice quadrata ed esplicitando VC a primo membro si ottiene:

VC =

O

C

haC1

1

+Ohg2

La portata per unit di larghezza quindi:

q = CC a VC = CC a

O

C

haC1

1

+Ohg2 (5.13)

introducendo il coefficiente di portata cq:

cq = CC

O

C

haC1

1

+(5.14)


il coefficiente di portata cq minore del coefficiente di contrazione e sostituendolo nella (5.13) siottiene:

q = cq a Ohg2 (5.15)L espressione (5.15) dipende dal coefficiente di portata cq, dalla luce a e dal carico idraulico hO. Asua volta il coefficiente di portata cq dipende dal coefficiente di contrazione CC, dalla luce a e dalcarico idraulico hO. Il valore di cq graficato in funzione del rapporto hO/a nella figura 5.9 in cuicompare il caso dell efflusso rigurgitato. In quest ultimo caso la vena che defluisce sotto battente,si immerge in una corrente con conseguente dissipazione di energia localizzata e l espressione 5.10non pi valida se non sostituendo CC a con y2 ed aggiungendo a secondo membro un termine chetenga conto delle perdita di energia localizzata.

120.0

liberarigurgitata

0 4 8

0.28

64

0.4 2

0.6

h /a0 16

10 y /a2

qC luce luce

Fermo restando la validit dell intero procedimento si ha un cambiamento dell espressione delcoefficiente di portata che graficata in figura 5.9 in funzione del rapporto y2/a. Il coefficiente diportata cq inferiore a parit di altre condizioni nel caso di luce rigurgitata a causa della minordifferenza di carico (hO y2 invece di hO a CC) e della dissipazione di energia localizzata allosbocco:

hO + VO2/2g = y2 + E + V22/2g

Nel caso di efflusso da parete inclinata di un angolo rispetto all orizzontale (figura 5.10) il valoredel coefficiente di portata graficato in funzione del rapporto a/hO e di secondo i dati

sperimentali di Gentilini (1941) e riportati da Ghetti (1983) in figura 5.11.Analogamente per il deflusso da paratoia a settore (figura 5.12) sono disponibili i valori delcoefficiente di portata in funzione del rapporto a/hO e di secondo i dati sperimentali di Gentilini

(1941) e riportati da Ghetti (1983) in figura 5.13.I dati sperimentali di Gentilini (1941) non coincidono completamente con i diagrammi dellHydraulic Design Criteria editi dall US Army Engineering Corps basati sulle esperienze


sperimentali di altri autori oltre che su quelle di Gentilini. Questi diagrammi non coprono per tuttii possibili casi e sono inoltre di pi difficile applicazione.

ha0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5a/h 0

0.8

0.7

0.6

0.5

Cq =152030405060708090

ah0

R

0.8

0.7

0.6

0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

a/h 0

Cq =152030405060708090

Nel caso di paratoia a settore rigurgitata da valle (figura 5.14) si utilizza la seguente relazione (USArmy Corps of Engineers):

q = cq y2 )y/2gV(hg2 22OO + (5.16)


Il valore del coefficiente di portata graficato in figura 5.15 in funzione del rapporto a/y2.

0.03 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0

40

30

20

1087654

3

2

1

y / a2

C q

h0a

e

y2

v02g

2

Nel caso di paratoie poste sulla sommit di uno sfioratore le relazioni di deflusso cambiano. Per unaparatoia rettangolare (figura 5.16) il rapporto tra la portata sfiorata in presenza di paratoia Q equella sfiorata in assenza di paratoia QS (paragrafo 5.4) :

3/2O

3/21

3/22

S hhh

QQ

= (5.17)

h0h1

a

h2

Nel caso di paratoia a settore (figura 5.17) si utilizza la seguente relazione:


q = cq a 2hg2 (5.18)

essendo h2 la quota del serbatoio di monte rispetto alla mezzeria della luce della paratoia. Ilcoefficiente cq viene stimato in base al grafico in figura 5.18 in base al valore del rapporto X/hO.

-Y/h0

X/h0

e

h2h0

X/h =0.00

q

0.1


invece di hO) e si ha una perdita di energia localizzata dovuta all immissione della venastramazzante in una corrente, il che comporta una portata effluente minore rispetto al primo caso.

h0h1

5.3.1. Stramazzo Bazin o Poleni

La luce rettangolare e si hanno i due casi illustrati alla figura 5.20 per cui le pareti coincidono conquelle del canale di arrivo (luce larga b) o sono ristrette rispetto a quest ultime (luce larga l).

Nel secondo caso la vena subisce una contrazione laterale. Lo stramazzo in parete sottile ed illustrato in figura 5.21a. La curvatura delle linee di corrente non permette l applicazione delteorema di Bernoulli per l intera sezione e si utilizza il procedimento approssimato del Poleni (eq.5.8), ovvero considerando la luce costituita da una serie di tratti elementari con velocit torricellianae con coefficiente di contrazione costante:

Q = oh

0C dh2ghbC (5.19)

Integrando il secondo membro della 5.19 si ottiene:


Q = 2/3OC h2gbC32 (5.20)

Sostituendo CC = 0.61 ed adottando cq = 2/3 CC = 0.41 la 5.20 diventa:

Q = 0.41 b 2/3Oh2g = 1.81 b hO3/2 (5.21)Lespressione della portata Q secondo la 5.21 pu essere ottenuta direttamente dal eq. (5.9) con h1= 0 e h2 = hO. Per tener conto della contrazione laterale si ha:

Q = 2/3OOC h2g)0.2h-(LC32 (5.22)

Qh1 h1gh

Q

0h

g 1

In figura 5.21a a valle dello stramazzo si ha una la formazione di un gradino che pu esserespiegato applicando il teorema della quantit di moto nella direzione x al volume di controllo infigura 5.21b, assumendo per semplicit la portata entrante normale ad x:

Sg S1 = Q V1 (5.23)

essendo Sg = b 0.5 hg2 ed S1 = b 0.5 h12 le spinte sulle sezioni g ed 1 per cui la 5.23 diventa:

0.5 b (hg2 h12) = Q V1 (5.24)

Dalla (5.24) si evince che per bilanciare il termine Q V1 a secondo membro deve essere hg > h1.Se la profondit della corrente a valle dello stramazzo raggiunge una quota superiore al petto dellostramazzo di 2/3 hO questi viene rigurgitato perch come spiegato nel capitolo dell idraulica deicanali a pelo libero, la vena stramazzante viene influenzata dalla corrente di valle. In questo caso laportata viene calcolata mediante un bilancio di energia tra la sezione di monte indisturbata, ovveroal di fuori del profilo di chiamata, e la sezione della corrente a valle dello stramazzo dove si siaraggiunto il completo mescolamento. L unica incognita in questo bilancio di energia il valore


della portata, oltre che la dissipazione di energia, essendo note le profondit delle sezioni di monte edi valle. Altrimenti sono disponibili i grafici illustrati nei paragrafi seguenti.

5.3.2 Stramazzi in parete sottile di altri tipi

Per lo stramazzo di forma trapezioidale in figura 5.22 (stramazzo Cipolletti):

Q = 2/3OOC h2gbC32 (5.25)

Essendo bO la larghezza al fondo dello stramazzo.

h 0

b 0

b

4

1

1

p

0h

0

bl

Per lo stramazzo triangolare in figura 5.23 con angolo al vertice si ha:

Q = 5/2OC h2gC2

tan158 (5.26)

Tale relazione, ottenibile analiticamente con il procedimento del Poleni valida per hO 0.06 m ed

p > 0.1 m. Il valore del coefficiente di contrazione nel caso di angolo al vertice rettangolare ( =90) viene stimato mediante il grafico in figura 5.24.Per angolo al vertice di forma generica si pu utilizzare la seguente relazione:

Q = 0.552 cq hO3/2 (5.27)

Il valore del coefficiente di portata da utilizzare nellespressione (5.27) riportato in figura 5.25. Unequazione alternativa proposta dall USBR (1997) e valida fino ad = 150 ((Martinez et al, 2005):


Q = 25

O k)(h2gcq2

tan158

+ (5.28)

cq = 0.6072 0.000874 + 6.1 106 2 (5.29)

k = 4.42 0.1035 + 1.005. 10-3 2 3.24 10-63 (5.30)

essendo k un fattore di correzione per tener conto degli effetti di tensione superficiale e viscosit

(0.005 k 0.009).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0h /p0

Cc

0.2 0.4 0.6 0.82.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

h0

Cq

9060

45

20

Lo stramazzo triangolare viene utilizzato per misurare portate caratterizzate da valori molto bassiperch ad una piccola variazione di portata corrisponde una sensibile variazione del carico idraulicohO che insiste sullo stramazzo. Per misurare piccole portate si pu utilizzare anche uno stramazzorettangolare con una sezione contratta molto stretta (fig. 5.26). La portata in questo caso vale(Aydin et al., 2002):

Q = 23 /Oh2gbcq32 (5.31)

con

cq = 0.562 + 11.354/Re0.5 (5.32)

La relazione (5.32) valida per 1.07 hO/b 55.8, 0.0167 b/B 0.25, 0.135 hO/p 6.7, 2163 Re 42572 e per 12.74 We 328.9 (essendo We = (2ghO/T)0.5 il numero di Weber e T la tensionesuperficiale che per lacqua vale 0.746 Pa).


0h

b

B

p

Nel caso in cui occorre misurare con precisione valori della portata sia piccoli che elevati si utilizzauno stramazzo composto costituito da uno stramazzo rettangolare in parete sottile sul cui petto vieneintagliato uno stramazzo triangolare con angolo al vertice di 90 (figure 5.27 e 5.28). Questo tipo distramazzo utilizzato per la misura in continuo della portata in un torrente in ambiente alpino in cuila portata mediamente bassa salvo aumentare rapidamente durante un evento di piena. Conriferimento alla figura 5.26 la relazione che lega la portata al carico idraulico per h1 > h :

Q = 1.521.721 h2gL41.00.042h2g1924.0 + (5.33)

Questa relazione stata ottenuta da un numero di prove di laboratorio non sufficiente percomprendere il possibile campo di variabilit della lunghezza dello stramazzo L e dei carichi

idraulici h1 ed h2 per cui valida per 0 L l.2 m ed h1 1 m.

h

hh 21L/2

90 L/2

Fig. 5.27

Fig. 5.28Un altro stramazzo composto il dispositivo in figura 5.29 e la relazione che lega la portata alle

caratteristiche geometriche ed al carico idraulico per 2 150 (Martinez et al, 2005):

Q = ( )( ) ( )

+ 251

251

25 /O

2/O

/O

1 hh2

tanhhh2

tan2gcq158 (5.34)

con


2

tanhh/

2

tan

2

tancqhh/

2

tancq

cq2

/

O

1

2/

O

1

+

+

=

111

111

251

2

251

1

(5.35)

con cq1 e cq2 i coefficienti di portata relativi agli stramazzi triangolari in parete sottile di angoli 1ed 2 calcolati tramite lequazione (5.32).

h1

2O

Fig. 5.295.3.3 Stramazzo in parete sottile rigurgitato

Uno stramazzo viene teoricamente rigurgitato, ovvero la portata dipende oltre che dalle condizionidi monte anche da quelle di valle, quando la quota del pelo libero di valle superiore a 2/3 delcarico hO della corrente indisturbata in corrispondenza del petto dello stramazzo (spiegazione indettaglio al capitolo 11)

.

In questo caso (figura 5.30) la portata sfiorante Q viene stimata mediante quella in condizioni liberenon rigurgitate QS tramite il grafico in figura 5.31. Dal grafico in figura 5.31 si evince che lostramazzo viene rigurgitato per quote del pelo libero di valle inferiori a quella teorica di 2/3 hO acausa della presenza di curvature come spiegato in maggior dettaglio nel capitolo dell idraulica deicanali a pelo libero.

h

p

0 h2


5.3.4 Stramazzo in parete grossa

Lo stramazzo in parete grossa o ad soglia larga uno stramazzo in cui la vena non si contrae benssi adagia sullo stramazzo con linee di corrente rettilinee almeno in un breve tratto iniziale tale dagarantire il passaggio attraverso la sezione critica (capitolo 12). Immediatamente a valledellimboccatura dello stramazzo si ha una perdita di energia localizzata dovuta alla formazione diuna corrente di ricircolo (figura 5.32).

0.1

0.0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

QsQ

h 0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0h 2 n

h 0h 2

Q = portate in condizioni non rigurgitatesQ = portata in condizioni rigurgitate

n = esponente del carico idraulico dellacorrispondente relazione di deflusso

h 0h 2 n

stramazzo triangolarecon angolo di 90

Q vs

h0h2 n

stramazzo triangolare

Q vs

h0h2 n

stramazzo di altra geometriain parete sottile

Q vs

Fig. 5.31

Lo stramazzo si dice in parete grossa quando vengono soddisfatte le seguenti condizioni (Longo ePetti, 2005):

5110 .d

h.

O

Nel caso il rapporto hO/d risulti maggiore di 1.5 la lunghezza della soglia d non sufficiente agarantire la formazione di una sezione a traiettorie rettilinee e parallele ed il coefficiente di portataaumenta perch tende alla configurazione di stramazzo a parete sottile (Longo e Petti, 2005). Nelcaso il rapporto hO/d risulti minore di 0.1 la soglia diventa troppo lunga ed il coefficiente di portataviene a dipendere dalla dissipazione di energia sulla soglia per cui impossibile da utilizzare comemisuratore formandosi inoltre delle ondulazioni (Hager, 1994). Per valori del rapporto hO/dcompresi tra 0.1 e 0.4 il coefficiente di portata rimane costante ed aumenta per valori superiori finoal limite hO/d = 1.5.


Lo stramazzo in parete grossa rientra nel caso pi generale di un gradino o traversa al fondo di uncanale. In questo caso tramite un bilancio di energia tra la sezione di monte indisturbata e la sezionein corrispondenza dello stramazzo, per una luce rettangolare, si ottiene:

Q = 0.385 b 2/3Oh2g (5.36a)

Il coefficiente di portata cq = 0.385 per lo stramazzo in parete grossa inferiore a quello per lostramazzo in parete sottile (cq = 0.41) per la presenza della perdita di energia localizzata. Lespressione (5.36a) si ottiene tramite un bilancio di energia (illustrato pi avanti nel capitolo dellidraulica dei canali a pelo libero) tra una sezione della corrente indisturbata di monte ed una sezionein corrispondenza dello stramazzo. In questo caso si utilizza un bilancio di energia globale perch lacurvatura delle linee di corrente in corrispondenza dello stramazzo in parete grossa menopronunciata rispetto al caso dello stramazzo in parete sottile e l errore commesso nell assumereidrostatica la distribuzione di pressione minore. La relazione (5.36a) valida per il caso dellostramazzo Belangier, ovvero uno stramazzo con il bordo dattacco arrotondato e non a spigolo vivocome nella figura sottostante.

d

hO

p

Nel caso di luce trapezioidale (fig. 5.22) si ha:Q = 0.385/15 (11 bO + 4 b1) 2/3Oh2g (5.36b)

Nel caso di stramazzo rettangolare in parete grossa di larghezza b uguale a quella del canale diarrivo le relazioni che legano la portata al carico idraulico tramite le caratteristiche geometrichesono rispettivamente:


23 /OR h2gbcq3

2Q = (5.37)

con cqR = 0.5 + 0.05 (hO/d)0.2 per 0.1 hO/d 0.4 e

2/3OVRR h2gCbcq385.0=Q (5.38)

per 0.4 < hO/d 1.5 con il cqR che nel caso di imboccatura con bordo a spigolo vivo funzione di

hO/d secondo il grafico in figura 5.33 (per hO/d 0.35 la curva in figura pu essere approssimatacon cqR = 0.7656 + 0.1927 hO/d) e che nel caso di imboccatura con bordo arrotondatodellimboccatura dipende dalla seguente relazione:

3/2

OR h

rd2c1b

rd2c1cq

= (5.39)

essendo c un coefficiente che varia tra 0.003 (soglia in cls molto liscia) e 0.005 (soglia liscia in clsin campo) ed r il raggio di curvatura del bordo allimboccatura.

Figura 5.33 Valore del coefficiente di portata cqR per stramazzo rettangolare in parete grossa in

funzione di hO/d, valido per hO/d/(hO/d + p) 0.35 (Petti e Longo, 2005).


Il coefficiente CVR il coefficiente di correzione per le velocit per lo stramazzo rettangolare, parial rapporto tra il carico totale e quello piezometrico (tende allunit allaumentare del rapporto p/hO)si pu stimare mediante il grafico in figura 5.34.

Figura 5.34 Valori del coefficiente di correzione CV per diversi tipi di sezione in funzione delprodotto cq AC/AO (AC area sezione liquida sulla soglia, AO area sezione liquida a monte con laprofondit ridotta ad hO) (Petti e Longo, 2005).

Per lo stramazzo triangolare la portata vale:

25 /OVTT h2g/52

tanCcq2516Q = (5.40)

con cqT fornito dal grafico in figura 5.35 e CVT coefficiente di correzione delle velocit perstramazzo triangolare che si pu stimare secondo il grafico in figura 5.34.

Per lo stramazzo triangolare troncato (fig. 5.36 ) vale la relazione precedente (5.40) per hO 1.25 hBe la seguente per hO 1.25:

( ) 2350 /BOVR h.h2gCbcq332Q = (5.41)

Per lo stramazzo a sezione trapezia (figura 5.37) si ha la seguente relazione:

CV

cq AC/AO


2523 /OVTT

/OVR1R h2/5g2

tanCcq2516h2/3gC2bcq

32Q += (5.42)

Figura 5.35 Valore del coefficiente di portata cqT per stramazzo triangolare in parete grossa infunzione di hO/d.

hh

b

B

O

Il funzionamento di stramazzi composti in parete grossa stato studiato da Jan e Chang (2005). Pergli stramazzi alle figure 5.38, 5.39, 5.40, 5.41 hanno individuato le relazioni tra portata, caricoidraulico e caratteristiche geometriche.


b1

2_hO

Per lo stramazzo doppio rettangolare (figura 5.38) si ha:

232

231

/OVR2R2

/1VR1R1 h2/3gCbcq3

2h2/3gC2bcq32Q += (5.43)

1h

hb

b1

1

b2

O

con cqR1 ed cqR2 relativi agli stramazzi rettangolari larghi rispettivamente 2b1 e b2 e stimati tramitela figura 5.33 ed CVR1 e CVR2 secondo il grafico in figura 5.34. Per lo stramazzo trapezio-rettangolare (figura 5.39) si ha:

252

231

/1VTT

3/2OVR2R2

/1VR1R1 h2/5g2

tanCcq2516h2/3gCbcq

32h2/3gC2bcq

32Q ++= (5.44)

con cqR1 ed cqR2 relativi agli stramazzi rettangolari larghi rispettivamente 2b1 e b2 e stimati tramitela figura 5.33 ed CVR1, CVR2 e CVT la figura 5.34.Per lo stramazzo triangolo-rettangolare (figura 5.40 ) si ha:

( )3/2BOVT222R3/2OVT11R1 0.5hh2/3gVbcq3

2h2/3gC2bcq32Q += (5.45)


h

2b

1b

1bh1

_

2

Fig 5.39

O

con cqR1 ed cqR2 relativi agli stramazzi rettangolari larghi rispettivamente 2b1 e b2 e stimati tramitela figura 5.33 ed CVR1 e CVR2 secondo il grafico in figura 5.34.

1b

b1 h 1h

2b

Fig 5.40

hB

O

Per lo stramazzo trapezio-triangolare (figura 5.41) si ha:

( ) ( )

( )5/2BOVTT

3/2BOVT222R

3/2BOVT11R1

hh2g/52

tanCcq2516

0.5hh2/3gVbcq32hh2/3gC2bcq

32Q

++=(5.46)

h

b1

b1 2_1

2

b2

Fig 5.41

Bh

O


5.4 Sfioratori di superficie

Lo sfioratore di superficie un organo di scarico delle acque (figura 5.42a,b). Pu essere visto comeuno stramazzo seguito da un profilo rigido di sfioro.

1.0

2.0

3.0

2.5

3.5

4.5

4.0

1.5

0hz

0.12/0.88

0.40/0.88

_

=0.50( )0

zh

1.85x

0h

Scimemi

0.12 h0.88

0

h0 h=0.88h0

2.5 4.03.53.00.0 0.5 1.0 2.01.5

h0h0Creager

=0.47( )xz 1.80

h0x

Fig 5.42a Fig. 5.42b

Il profilo di sfioro della vena stramazzante per lo stramazzo in parete sottile stato studiato daCreager (1917) e da Scimemi (1930) che hanno proposto con riferimento alla figura 5.31( OO h0.88h = ) rispettivamente le seguenti espressioni:

z/0.88 Oh = 0.47 (x/0.88 Oh )1.80

z/0.88 Oh = 0.5 (x/0.88 Oh )1.85

Il carico idraulico di riferimento 0.88 hO per tener conto della contrazione iniziale per cui lasuperficie inferiore della vena si alza di 0.12 hO.Il profilo di sfioro cambia in dipendenza del carico idraulico di monte hO. Se si adotta un paramentouguale ad un profilo di sfioro relativo ad un fissato valore di hO per un carico uguale la vena siadagia sul paramento rimanendo a pressione atmosferica come nel caso in assenza del paramentostesso. Per un carico inferiore la vena si adagia sul paramento andando in pressione perch il profilodi sfioro che le compete in assenza di vincoli inferiore al paramento. Conseguentementeapplicando la conservazione dell energia ad una singola linea di corrente se aumentano la pressionee la coordinata verticale h, l energia cinetica diminuisce e quindi la velocit rispetto al caso diassenza di paramento. Alla diminuzione della velocit corrisponde la diminuzione della portataeffluente rispetto al caso di assenza di paramento. Per un carico superiore la vena stramazzante nondovrebbe toccare il paramento perch il corrispondente profilo di sfioro pi alto.


In realt se non viene rifornita di aria la superficie inferiore del profilo di sfioro le particelle liquideper attrito con l aria la trascinano via creando una depressione. La vena per effetto delladepressione si abbassa andando essa stessa in depressione nella parte inferiore il che comportarispetto al corrispondente profilo di sfioro in assenza di paramento una ugual quota geodetica eduna pressione minore e quindi per la conservazione dell energia una energia cinetica maggiore.All aumento della velocit corrisponde l aumento della portata rispetto al caso di assenza di

paramento. Adottando OO h0.88h = invece di hO il coefficiente di portata da utilizzare nella 5.21,

in assenza di paramento, cq = 0.50. Nel caso di un profilo di sfioro sagomato per hO il coefficientedi portata corrispondente ad un carico idraulico pari a 1.33 hO (per cui si ha un aumento di portatarispetto all assenza di paramento) , cq = 0.52.

5.5 Dispostivi di misura delle portate

Le luci a stramazzo costituiscono degli strumenti di misura indiretti delle portate. Indiretti perch laportata non viene misurata ma viene stimata in base alla formula relativa allo stramazzo adottatomediante misura della quota del pelo libero. Questi deve essere misurato in condizioni indisturbate,ovvero immediatamente al di fuori della zona di chiamata. Il pelo libero viene misurato mediante odun idrometro, ovvero una stecca graduata posta su una parete laterale di monte dello stramazzo, omediante la posizione in verticale di un galleggiante o pi modernamente mediante un sensore adultrasuoni.

Gli stramazzi triangolari per la loro precisione sono utilizzati per misurare valori bassi di portata.Per dispositivi di misura con manutenzione frequente e correnti con trasporto solido trascurabile siutilizzano gli stramazzi rettangolari o trapezioidali in parete sottile. Questi devono essere muniti didispositivi di aerazione per impedire depressioni nella vena stramazzante per le basse portate.Gli stramazzi in parete grossa sono utilizzati nei restanti casi in particolare negli alvei torrentizi.

5.6 Imbocco di un serbatoio

L imbocco di un condotto da un serbatoio pu essere interpretato come un restringimento: la venaeffluente non riesce a rimanere aderente alla parete e si creano delle correnti secondarie di ricircolo(fig. 5.43) con conseguente dissipazione di energia localizzata.


V1V

Fig. 5.43

Il valore della costante k dell equazione 4.37 che esprime la perdita di energia localizzata dipendedal numero di Reynolds e dalla geometria dell imbocco per regimi di moto laminare o ditransizione e solo dalla seconda per regime di moto turbolento. Se l imbocco ben raccordato (fig.5.44) le perdite di energia sono minori perch le correnti di ricircolo hanno estensione minore.

R Fig 5.44

Un valore indicativo di k pu essere ottenuto calcolando la perdita di Borda (eq. 4.37)corrispondente all allargamento della vena (fig. 5.32) ipotizzando appunto che le perdite maggioriabbiano luogo nell allargamento (V1 = V/Cc):

E =2g1 (V1 V)2 = 2g

1 (V/Cc V)2

adottando Cc = 0.611 corrispondente all efflusso libero da luce in parete verticale si ha:

E = 0.42gV2

I risultati sperimentali per un imbocco a spigolo vivo indicano:


E = 0.52gV2 (5.30)

che corrisponde ad Cc = 0.585. In figura 5.45 proposto il grafico per il calcolo del coefficiente krelativamente alla configurazione dell imbocco (per tubo di sezione qualsiasi) illustrata in figura5.46 (Rh il raggio idraulico definito come il rapporto tra l area e perimetro della sezione liquidaed spiegato con maggior dettaglio nel capitolo 7).

K

/Rh1

b

1

Fig 5.45

Fig 5.46

Nel caso di imbocco ben raccordato (fig. 5.44) il coefficiente k viene stimato mediante il grafico infigura 5.47).Nonostante la perdita di energia localizzata la presenza di un tubo di imbocco di breve estensione inuna luce su di una parete verticale comporta l aumento della portata derivata rispetto al caso diefflusso libero. Nella sezione 2 (figura 5.48) si ha pressione atmosferica mentre nella sezione 1 divena contratta si ha necessariamente una pressione minore (essendo la velocit superiore).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0K

0.0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24

V

21

Fig 5.47 Fig 5.48r/D


In ipotesi di distribuzione idrostatica delle pressioni rispetto al caso di luce in parete il carico sullaluce aumenta del deficit negativo di pressione e conseguentemente la portata derivata aumenta. Ilbilancio di energia tra il pelo libero e la sezione di sbocco tenendo conto della perdita di energialocalizzata di imbocco :

hm = 2gV2

+ 0.52gV2

= 1.52gV2

da cui:V = 0.82 (2g hm)0.5

Moltiplicando la velocit per l area della luce (o sezione del tubo di imbocco) si ha la portataderivata:

Q = 0.82 A mhg2 (5.31)

Il valore 0.82 superiore al valore Cc posto nella 5.6 che fornisce la portata derivata da una luceverticale. Il valore cq = 0.82 confermato da valori sperimentali con differenze inferiori al 2 % per

hm 10 m.

5.7 Bottiglia di Mariotte

La bottiglia di Mariotte un dispositivo per mantenere costante la pressione in un recipiente o laportata derivata da questi. In figura 5.49 disegnato lo schema della bottiglia un cui esemplare infigura 5.50. La bottiglia di Mariotte consiste in un recipiente chiuso che comunicante conlatmosfera tramite un tubo introdotto al suo interno sulla parte superiore e provvista di un orifiziosulla parte inferiore. Il recipiente parzialmente riempito di acqua. Aprendo lorifizio dopo qualcheistante la portata derivata raggiunge un valore che mantiene costante. Lacqua defluentedallorifizio deve essere continuamente sostituita nel recipiente dallaria che viene aspirata tramite iltubicino superiore. La pressione nel punto B deve essere quella atmosferica per garantire lingressodellaria. La quota energetica in B rimane costante perch la pressione quella atmosferica. Ilbilancio di energia tra il punto B e la sezione di vena contratta, analogo a quello della luce difondo (paragrafo 5.2.1) per cui la velocit dipende dalla quota h2 e rimane costante finch la quotadellacqua nel recipiente rimane superiore ad h2. Se la velocit costante lo anche la portatadefluente dallorifizio. Nel recipiente fintatoch h > h2 la pressione negativa.


Figura 5.50 La bottiglia di Mariotte.

5.8 Equazione di continuit dei serbatoi

Sia V il volume di acqua contenuto in un serbatoio ed Qe e Qu le portate rispettivamente entranti eduscenti (fig. 5.51). Se Qe = Qu il volume V rimane costante nel tempo. Nel caso pi generale Qe Qu ed il volume V invasato nel serbatoio aumenta se Qe > Qu mentre diminuisce se Qe < Qu.


Considerato un tempo infinitamente piccolo dt tale che Qe e Qu siano costanti la variazione divolume invasato dV uguale alla differenza tra il volume entrante e quello uscente:

dV = Qe dt Qu dtda cui dividendo ambo i membri per dt si ottiene:

dtdVQuQe = (5.32)

Lequazione (5.32) chiamata equazione di continuit dei serbatoi.

5.9 Tempo di vuotamento di un serbatoio prismatico.

Posta h la quota generica del pelo libero del serbatoio rispetto alla base di area A dello stesso (fig.5.52), il volume invasato V = A h. Sul fondo del serbatoio posta una luce di area Au da cuidefluisce una portata:

Qu = Cq Au (2g h)1/2

In ipotesi di portata entrante nulla (Qe = 0), sostituendo lespressione di cui sopra nellequazione dicontinuit dei serbatoi (eq. (5.32)) si ha:

dtdhA2ghAucq = (5.33)

separando i termini dipendenti da h e da t si ottiene:

dhh2gAucq

Adt 21

= (5.34)


Posti t1 e t2 due tempi consecutivi (t1 < t2) ed h1 ed h2 le corrispondenti quote del pelo libero (h1 >h2), lintegrazione della (5.34) porge:

=2h

1h

212t

1t

dhh2gAucq

Adt

da cui

=1h

2h

212t

1t

dhh2gAucq

Adt

ed infine

( )1/221/2112 hh2gAucqA2

tt = (5.35)

Per ottenere il tempo vuotamento del serbatoio, si utilizza lequazione (5.35) ponendo t1 = 0, h1 = hO(quota iniziale) e h2 = 0:

1/2OVUOT h2gAucq

A2t = (5.36)

moltiplicando il secondo membro della relazione (5.36) per hO1/2/hO1/2 si ha:

inizialedeflussodiportatainizialex volume2

h2gAucqhA2

tO

OVUOT ==

Nel caso in cui la luce non sia sul fondo ma su di una parete laterale del serbatoio (fig. 5.53), h2 > 0ed per h3 h h2 la relazione di deflusso cambia:

3/2h2gb.Qu 3850=


essendo b la larghezza della luce nel piano perpendicolare al disegno. Lespressione della relazionedi deflusso posta nell equazione di continuit (eq. (5.32)) permette:

dtdhAh2gb385.0 3/2 = (5.37)

separando i termini dipendenti da h e da t si ottiene:

dhh2gb0.385

Adt 23

= (5.38)

Posti t2 e t3 due tempi consecutivi (t2 < t3) ed h2 ed h3 le corrispondenti quote del pelo libero (h2

capitolo5

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