I . 1

CAPITOLO I

INTRODUZIONE ALLA FISICA DEI MATERIALI SEMICONDUTTORI

1.1 - Richiami di fisica atomica.

L’Elettronica studia i dispositivi, i circuiti ed i sistemi nei quali la presenza ed il

movimento degli elettroni gioca un ruolo fondamentale. Allo scopo di comprendere alcuni dei

fenomeni su cui è basato il funzionamento dei dispositivi elettronici, quali l’emissione di

elettroni dalla materia e la conduzione elettronica nei metalli e nei semiconduttori, è

necessario richiamare alcuni concetti di fisica atomica.

Il primo modello dell’atomo fu proposto nel 1911 da Ernest Rutherford, il quale ipotizzò

che l’atomo più semplice, quello dell’idrogeno, elettricamente neutro, fosse formato da un

nucleo carico positivamente (protone), dove è concentrata la quasi totalità della massa

dell’atomo, attorno al quale ruotasse in un’orbita circolare un elettrone carico negativamente.

Con riferimento alla meccanica classica, la stabilità del modello ipotizzato per l’atomo

di idrogeno si poteva ottenere dall’equilibrio di due forze eguali e contrarie: la forza di

attrazione coulombiana tra l’elettrone (carica –e) ed il nucleo (carica +e), esattamente

equilibrata dalla forza centrifuga dell’elettrone ruotante attorno al nucleo.

Indicando con e la carica dell’elettrone e quindi anche del nucleo, con r il raggio

dell’orbita circolare, con εo la costante dielettrica del vuoto, me la massa dell’elettrone e v

la sua velocità, dall’equilibrio delle due forze si ottiene:

(1.a) ( ) ( ).centrifforzarvm

.coulomb.attrazdiforzar4

e 2e

2o

2=

επ

In questo modello, coerentemente con quanto ipotizzato, l’energia totale dell’elettrone ET è

data dalla somma della sua energia cinetica (1/2 me v 2) e della sua energia potenziale.

Quest’ultima è data dal valore del potenziale sferico indotto a distanza r dalla carica del

nucleo +e, moltiplicata per la carica dell’elettrone, avendo preso come riferimento del

potenziale un valore nullo quando l’elettrone è a distanza infinita dal proprio nucleo. In tal

caso si ha:

(1.b) ( )r4

ee

r4e

Eo

2

opot επεπ

−=−⋅=

(Febbraio 2009)

I . 2

Pertanto l’energia totale dell’elettrone vale:

r4

evm

21

Eo

22

eT επ−=

Utilizzando l’espressione di v 2 ricavabile dalla equazione (1.a) e sostituendola nella

precedente, si ottiene l’energia totale dell’elettrone in funzione del raggio dell’orbita circolare

dell’elettrone per l’atomo di idrogeno secondo il modello di Rutherford:

(1.c) r8

eE

o

2

T επ−=

La rappresentazione grafica di questa relazione è riportata in figura; in tratteggio è riportato

l’andamento dell’energia potenziale in funzione del raggio dell’orbita; quest’ultima fornisce

anche il raggio dell’orbita più esterna che può

occupare un elettrone nel caso in cui tutta la

sua energia totale eguaglia la sua energia

potenziale (noto anche come imbuto di

energia potenziale, ottenibile con la rotazione

del diagramma di figura attorno all’asse delle

ordinate).

Il modello di Rutherford contraddice però

uno dei risultati della legge fondamentale

dell’elettromagnetismo, che stabilisce che una

carica in moto circolare irradia energia ad una

frequenza correlata alla lunghezza dell’orbita

circolare. Se però l’elettrone irradia energia, la perde a scapito della sua energia totale, che

quindi diminuisce. Si riduce di conseguenza il raggio dell’orbita, comportando una variazione

della frequenza della radiazione emessa: così procedendo, l’elettrone finirebbe per cadere

sul proprio nucleo.

Al contrario, gli esperimenti eseguiti in laboratorio osservando le righe delle radiazioni

emesse da un gas rarefatto di soli atomi di idrogeno eccitati da una scarica elettrica, dicono

che le righe di emissione sono sempre alla stessa frequenza (o lunghezza d’onda – si ricordi

che f⋅⋅⋅⋅λλλλ = c velocità della luce).

EP

ET

E r

I . 3

Questa osservazione fu recepita da Niels Bohr nel 1913, che ipotizzò per il modello

dell’atomo di idrogeno proposto da Rutherford i ben noti tre postulati:

a) che l'elettrone si possa muovere in orbite circolari di raggi ben precisi, alle quali

vengono associati valori discreti di energia; quando l’elettrone si trova in una di queste

orbite, non irradia. I valori di energia permessi prendono il nome di livelli energetici o stati

stazionari (si osservi che spesso nella materia trattata, come anche in vari testi

sull'argomento, si parla di livello di un atomo al posto della dizione più corretta di livello di

energia di un elettrone dell'atomo).

b) che l'elettrone possa irradiare (od assorbire) energia soltanto nella transizione da

un'orbita ad un'altra, cioè passando da uno stato energetico più alto (più basso) ad uno più

basso (più alto). La frequenza della radiazione emessa è legata alla differenza di energia

degli stati energetici E2 ed E1 interessati dalla transizione (con E2 maggiore di E1), dalla

relazione:

(1.d) h

EEf 12 −

=

avendo indicato con h la costante di Planck (6,62 ⋅ 10-34 J ⋅ s, oppure 3,48 ⋅ 10-15 eV ⋅ s).

c) che i raggi delle orbite degli stati stazionari debbano soddisfare la condizione che il

momento della quantità di moto dell’elettrone sia un multiplo intero di h/2π, cioè

(1.e) π2hn

rvme = , con n = 1,2,3…

Con questi postulati è possibile ricavare i raggi delle varie orbite e le energie relative

per l'elettrone dell'atomo di idrogeno; i valori di energia così ottenuti vengono indicati, come

sopra si è detto, con il nome di livelli energetici stazionari o stati energetici stazionari.

Elevando al quadrato entrambi i membri della (1.e) e sostituendovi l’espressione di v 2

ricavabile dalla (1.a), si ottiene l’insieme discreto dei raggi delle orbite circolari permesse

all’elettrone dell’atomo di idrogeno:

(1.f) π

ε2

e

o22

nem

hnr =

Per ricavare l’insieme discreto dei valori delle energie totali dell’elettrone è sufficiente

sostituire l’espressione appena trovata nella (1.c). Si ha così:

I . 4

(1.g) o

22

4e

nhn8

emE

ε−=

Dando all’intero n i valori 1, 2, 3...., si ottengono i vari valori dell’energia totale

dell’elettrone dell’atomo di idrogeno, cioè l’insieme discreto degli stati energetici stazionari

permessi. Da questi valori, è possibile prevedere teoricamente tutti i salti Em - En consentiti

e quindi i valori delle frequenze delle radiazioni emesse, ricavabili dalla (1.d) ed osservabili in

laboratorio eccitando un insieme di atomi di idrogeno; tale verifica sperimentale, possibile in

laboratorio tramite uno spettroscopio, ha giustificato i postulati di Bohr.

Normalmente l’elettrone tende ad occupare lo stato energetico a valore di energia più

basso, anche chiamato stato fondamentale; nel caso dell’atomo di idrogeno ciò corrisponde

alla coppia di valori delle (1.f) e (1.g) per n=1, che forniscono rispettivamente E1= - 13,58eV

ed r1 = 0,529 Å. Allorché si fornisce all’elettrone energia dall’esterno, questo va ad occupare

stati energetici a valori di energia più alti e con orbite di raggio crescente, diventando così

sempre più lascamente legato al proprio nucleo. Viene definito potenziale di ionizzazione

l’energia che è necessario impartire all’elettrone affinché esso si stacchi dal proprio nucleo.

Poiché in realtà nella trattazione che segue saremo interessati soprattutto alle

differenze di energia tra i vari livelli energetici occupabili dagli elettroni, normalmente si pone

eguale a 0 l’energia del livello più basso e cioè quello dello stato fondamentale.

I metodi utilizzati per far variare l’energia degli elettroni di un atomo comprendono le

collisioni con altre particelle (trasferimento di energia cinetica), gli urti con le pareti del

contenitore e l’interazione con fotoni (quanti elementari di energia luminosa hf ), che può

dar luogo o all’assorbimento di fotoni con conseguente eccitazione degli elettroni o alla

emissione di radiazione da parte degli elettroni con diseccitazione degli stessi.

Esercizio: Determinare i valori dei raggi delle orbite per n=1, 2, 3, i corrispondenti valori

delle energie totali dell’elettrone dell’atomo di idrogeno e le frequenze delle

transizioni E3 – E2, E3 – E1, E2 – E1.

Esercizio: Calcolare la lunghezza d’onda in micron delle radiazioni emesse nelle transizioni

tra E2 ed E1 con valori pari a 1, 1,5 e 2 eV.

I . 5

1.2 - Dai livelli energetici alle bande di energia

La teoria di Bohr, che si è utilizzata per ricavare i raggi delle varie orbite e le energie

relative per l’elettrone nell’atomo di idrogeno, non è in grado di spiegare i fenomeni

riguardanti atomi con più di un elettrone. Tale problema viene affrontato con l'ausilio della

meccanica quantistica che, oltre a confermare i risultati ottenuti con il modello atomico di

Bohr per l'idrogeno, è in grado di fornire i livelli energetici per sistemi più complessi ed in tal

senso gli stati energetici vengono individuati per mezzo di una quaterna di numeri quantici

(n, l, m, s) che sono stati introdotti nel Corso di Chimica di base.

Un risultato fondamentale della meccanica quantistica afferma che quando si

costituisce un sistema formato da due atomi identici (ad esempio una molecola biatomica),

per ogni livello energetico dell'atomo isolato si vengono a creare due livelli del sistema

complessivo, le cui energie sono prossime a quelle del livello dell'atomo isolato; la

separazione fra le energie dei due livelli cresce con il diminuire della distanza fra i due atomi.

Per chiarire questo fenomeno, consideriamo una situazione analoga presa in prestito

dall’analisi delle reti elettriche: se supponiamo di avvicinare ad un circuito risonante "LC"

senza perdite, in assenza quindi di dissipazioni di energia e caratterizzato da una frequenza

di risonanza f0 (vedi fig. 1), un secondo circuito identico al primo, creando così un

coefficiente di mutua induzione M fra le due bobine, vediamo che il sistema presenta due

frequenze di risonanza ( f1 ed f2 ), una un pò più alta ed una un pò più bassa del valore

originario f0. L'analogia fra i due casi è tra le frequenze di oscillazione del sistema dei due

risuonatori ed i valori di energia dei livelli occupati da elettroni nel sistema formato dai due

atomi.

C C

M

L L

Fig. 1

2 risuonatori elementari accoppiati:

f1 = f0 / (1 – k)1/2

f2 = f0 / (1 + k)1/2

dove M = k L con 0 ≤ k ≤ 1

C L

risuonatore elementare:

f0 = 1 / (2π(LC)1/2)

I . 6

Se estendiamo il ragionamento fatto a sistemi con più atomi, è possibile intuire che nel

caso dei solidi, dove il numero di atomi che si influenzano reciprocamente è grandissimo e

dato che il numero di stati energetici è uguale alla somma degli stati degli atomi singoli, ogni

livello degli atomi (supposti tutti identici) costituenti il sistema darà luogo ad un numero così

grande di livelli di energia molto vicini tra loro ed a quello originario da poter considerare

praticamente continuo l'insieme di tali livelli; un insieme di questo tipo prende il nome di

banda di energia.

In un solido omogeneo, perfettamente regolare, senza impurità e costituito da un

proprio reticolo cristallino (struttura che ripete infinite volte la struttura di una cella

elementare), si indica con il nome di banda di valenza l'ultima banda occupata dagli

elettroni; la successiva banda, la banda di conduzione, è normalmente vuota. Prende il

nome di banda interdetta, così definita perché "proibita" agli elettroni, l'insieme dei valori di

energia compresi tra l'estremo inferiore della banda di conduzione (EC) e l'estremo superiore

della banda di valenza (EV).

Per chiarire quanto definito, in fig. 2

viene indicata una rappresentazione tipica

delle bande di energia per un solido, avendo

riportato nell’asse x delle ascisse una

qualsiasi direzione del reticolo cristallino e

nell’asse E delle ordinate l’energia totale E

degli elettroni. Gli elettroni degli atomi che

costituiscono un solido, sono distribuiti nelle

bande permesse, riempiendo in esse gli stati

energetici ad energia più bassa (quindi gli

stati disponibili nella banda di valenza); in

accordo al principio di esclusione di Pauli, un

qualsiasi stato non può essere occupato nello stesso istante da più di un elettrone.

Per i nostri scopi possiamo classificare i materiali solidi in tre gruppi, conduttori, isolanti

e semiconduttori, a seconda della dislocazione relativa tra le bande di valenza e di

conduzione. In fig. 3 vengono rappresentate nei tre casi le distribuzioni delle bande suddette.

In fig. 3.a) è indicato il caso dei conduttori, per i quali la banda di conduzione è parzialmente

sovrapposta a quella di valenza. E' noto che il processo di conduzione elettrica in un solido

consiste in un moto di elettroni orientato nella direzione in cui viene applicato un campo

elettrico dall’esterno. In termini di energia ciò significa che un materiale può condurre se gli

elettroni della banda di valenza possono, acquistando energia dal campo, occupare degli

Fig. 2

banda di valenza

banda interdetta

banda di conduzione

EC

EV

E

x

I . 7

stati energetici liberi. Nei conduttori, data la sovrapposizione delle bande, gli elettroni di

valenza, anche sotto l'azione di un debole campo elettrico, hanno la possibilità di occupare

un gran numero di stati liberi della banda di conduzione e quindi in tali materiali il fenomeno

della conduzione non solo è possibile, ma richiede dall'esterno una quantità minima di

energia.

Molto differente è la situazione degli isolanti: in questo caso, come è indicato

schematicamente in fig. 3.b), gli elettroni di valenza, fortemente legati al loro nucleo,

riempiono totalmente la banda di valenza e non possono occupare, a causa del valore

notevole della banda interdetta, gli stati liberi della banda di conduzione, tranne che non

venga loro impartita dall'esterno una energia molto elevata (ad esempio, nel caso della

rottura degli isolanti). Quindi in condizioni normali nei materiali isolanti il processo di

conduzione è impossibile.

Il caso intermedio è rappresentato dai materiali semiconduttori, che hanno la

distribuzione delle bande del tipo indicato in fig. 3.c), con valori della banda interdetta EG

(detta anche banda “proibita” in quanto impedita agli elettroni, dato che non vi sono stati

energetici occupabili), pari ad EC - EV, dell'ordine dell'elettron-volt (si ricordi che

1 eV = 1,6x10-19 Joule è l'energia che un elettrone acquista attraversando una zona con una

differenza di potenziale accelerante di 1 Volt). Gli elementi semiconduttori sono in genere

appartenenti al IV gruppo del sistema periodico ed i legami covalenti fra atomi vicini sono

modestamente forti; anche composti III-V hanno comportamento simile, come il GaAs

(arseniuro di gallio) o il InP (fosfuro di indio).

Conduttore Isolante Semiconduttore a) b) c)

Fig. 3

EV EC

E

x

EC

EV

E

x

E

EC

EV

x

EG EG

I . 8

A temperatura maggiore dello zero assoluto, l'agitazione termica degli atomi può

produrre la rottura di qualche legame; ciò corrisponde, dal punto di vista energetico, alla

cessione di una quantità di energia pari o maggiore di EG a qualche elettrone che si trovi

nella banda di valenza che, così, "salta" nella banda di conduzione. A tale fenomeno è

essenzialmente legato il processo di conduzione nei materiali semiconduttori; in essi quindi

la conducibilità, come vedremo in seguito, viene fortemente influenzata dalla temperatura e,

in generale, dall'assorbimento di energia di qualsiasi tipo dall'esterno. Poiché l’altezza della

banda interdetta dipende dalla distanza interatomica, che intuitivamente varia con la

temperatura, ne consegue che anche la EG è funzione di T e diminuisce al crescere di T.

Esprimendo la temperatura T in gradi Kelvin, per i tre semiconduttori più comuni, germanio,

silicio ed arseniuro di gallio, i valori della banda interdeta EG, espressi in eV, valgono

rispettivamente:

( ) T10x7,3785,0TE 4

G−−= per il Ge

( )636T

T10x73,417,1TE

24

G +−=

−

per il Si

( )204T

T10x4,552,1TE

24

G +−=

−

per il GaAs

1.3 - I semiconduttori intrinseci e la concentrazione intrinseca

Abbiamo visto che, quando l'altezza

EC - EV della banda "proibita" (banda

compresa tra i livelli EC ed EV nel diagramma

di energia degli elettroni di fig. 4) non è

troppo grande rispetto al termine kT (*), un

certo numero di elettroni verrà a trovarsi nella

banda di conduzione, avendo ricevuto

dall'agitazione termica l'energia necessaria a

compiere il “salto”.

Questi elettroni, promossi nella banda

di conduzione, possono adesso muoversi (*) La costante di Boltzmann k vale 1,38 x 10-23 J/K pari ad 8,6 x 10-5 eV/K; il termine kT,

che a temperatura ambiente vale 0,026 eV, dà una misura dell'energia media di agitazione termica.

E

Fig. 4

EC

EV

x

I . 9

(acquistare cioè energia cinetica) sotto l'azione di un campo elettrico; il materiale presenterà

dunque una certa conduttività elettrica, intermedia fra quella elevata di un conduttore

metallico e quella quasi nulla di un buon isolante. Dal processo che è responsabile della

presenza di questi elettroni, si desume che la conduttività di un materiale semiconduttore

sarà funzione della temperatura.

I materiali semiconduttori più comuni, come già detto, sono rappresentati dal

germanio, dal silicio e dall’arseniuro di gallio, per i quali EC - EV vale rispettivamente

0,67 eV, 1,11 eV e 1,43 eV a temperatura ambiente.

In realtà la conduzione della corrente elettrica nei semiconduttori non è dovuta

solamente agli elettroni presenti nella banda di conduzione. Ognuno di essi, infatti, ha

lasciato libero un "posto" (un livello energetico) nella banda di valenza, che in tal modo non

risulta più completamente occupata. E' possibile quindi agli elettroni dei livelli inferiori della

banda di valenza, occupare questi stati resi liberi, acquistando l'energia necessaria

(infinitesima) sotto l'azione del campo elettrico applicato. Questa conduzione, dovuta al moto

degli elettroni (cariche negative) nella banda di valenza, può considerarsi dovuta al moto dei

"posti liberi", assimilati a cariche positive mobili. Il concetto di lacuna mobile così introdotto,

dotata di una carica +e e massa dell'ordine di quella dell'elettrone, è utilissimo e

universalmente adottato. Il concetto può essere chiarito intuitivamente pensando al moto di

una bolla di aria entro un liquido: quando la bolla sale verso Ia superficie, è in realtà il liquido

che scende attorno ad essa; tuttavia è più facile considerare la bolla che sale come una

specie di massecola negativa che tende verso la posizione di minima energia potenziale (la

superficie del liquido) ed analogamente verso il livello EV per la lacuna.

Nel caso finora considerato di un cristallo semiconduttore perfettamente ordinato dal

punto di vista cristallografico ed omogeneo, privo cioè di elementi estranei (semiconduttore

intrinseco), il numero delle cariche "n" (elettroni) è sempre eguale al numero delle cariche

"p" (lacune), dato che per ogni elettrone che si rende libero nella banda di conduzione per

effetto della temperatura, si sarà creata una lacuna in banda di valenza, cioè queste cariche

vengono create a coppie.

Un primo passo nello studio dei materiali semiconduttori consiste nel determinare, per

data temperatura T, quanti elettroni (eguali ad altrettante lacune e quindi n = p) vi saranno

per unità di volume del semiconduttore. E' chiaro che il problema è di natura statistica: in

condizioni di equilibrio si avranno continuamente rotture e ricostituzioni di legami covalenti,

con conseguente bilanciamento dei due processi di generazione e di ricombinazione di

coppie lacuna-elettrone; si tratta di determinare dei valori medi. Il problema della

distribuzione degli elettroni fra i livelli energetici esistenti nei solidi è risolto dalla statistica di

I . 10

Fermi-Dirac, il cui risultato, per quanto riguarda questa trattazione, è rappresentato dalla

funzione di distribuzione di Fermi-Dirac:

(2.a)

kT)EE( F

e1

1)E(F

−

+

= ,

Questa funzione dà la probabilità (0 ≤ F ≤ 1)

che un livello avente energia E sia occupato

da un elettrone alla temperatura T. Si vede

subito che F(EF) = 1/2 ; e quindi il livello di

Fermi EF si può definire come quel livello di

energia che ha il 50% di probabilità di

essere occupato da un elettrone. La

funzione F(E), rappresentata nella fig. 5 per

quattro valori diversi della temperatura T, è

antisimmetrica rispetto al punto (EF , 0,5)

come si può verificare immediatamente.

Esercizio: Determinare i valori di E per cui F(E) vale 0,1 e 0,9 rispettivamente; si esprima

E - EF in unità kT per i due casi. (E - EF = ± 2,2 kT)

Supponendo noto, per il momento, il valore di EF, e data la temperatura, sarà

determinata F(E). Per ottenere il numero effettivo di elettroni per cm3, presenti in media

nell'intorno di una certa ordinata (energia) nel diagramma delle bande (fig. 4), occorre

moltiplicare il numero di livelli energetici (per cm3) esistenti nell'intorno di quella energia per

la funzione F(E); ciò in base alla definizione di probabilità. Le densità dei livelli nell'intorno di

EC e di EV, indicate con NC ed NV (cm-3) sono date per il germanio e per il silicio nella tabella

I; esse sono funzioni della temperatura, e risultano proporzionali a T3/2.

Indicando con n e p le concentrazioni di elettroni liberi e di lacune libere (espresse in

cm-3), si avrà per un semiconduttore intrinseco, in base a quanto detto:

(2.b) n = NC F(EC) = p = NV [1 - F(EV)]

dato che la probabilità di trovare una lacuna a un certo livello è pari alla probabilità che il

livello non sia occupato da un elettrone.

Fig. 5

EF E 0

0,5

1

F(E) To = 0 °K

T1 T2

T3

To< T1< T2< T3

I . 11

In realtà, i valori di NC e di NV assunti nel ricavare la (2.b) rappresentano dei valori

medi e la trattazione seguita è molto approssimata, se non errata, poiché non si è tenuto

conto, tra l’altro, del principio di esclusione di Pauli (uno stato energetico può essere

occupato ad un dato istante da un solo elettrone).

Un procedimento, più soddisfacente dal punto di vista matematico, per arrivare allo

stesso risultato deve tener conto che la funzione densità dei livelli energetici N(E) è una

funzione dell’energia E e pertanto la concentrazione di elettroni complessivamente presenti

nella banda di conduzione si ottiene attraverso l’integrazione, estesa a tutta l’altezza della

banda stessa, del prodotto della funzione N(E) per la funzione di Fermi F(E); cioè si ha:

∫=Ctop

C

E

EdEEFENn )()(

avendo indicato con ECtop il valore massimo di energia della banda di conduzione.

La funzione N(E) nella banda di conduzione è data da AC (E – EC)1/2, dove AC è una

costante che vale ( ) 323*24 hmeπ . Potendosi assumere che normalmente nei

semiconduttori intrinseci è E – EF >> kT, la F(E) si può approssimare in:

kT)EE( F

e)E(F−

−=

Quindi si ha:

( )∫−

−−=

Ctop

C

FE

E

kTEE

CC dEeEEAn)(

2/1

Sommando e sottraendo nell’esponente della F(E) la quantità EC e mettendo in evidenza la

quantità (kT)3/2, si ottiene:

( ) ∫

−

−=

−−

−−Ctop

C

FCCE

E

CkTEE

kTEE

cC kT

EEdee

kTEE

kTAn)()(2/1

2/3

Introducendo una nuova variabile definita come (E - EC)/kT = x, l’integrale diventa:

( ) ∫ −−

−=

'FC x

0

x2/1kT)EE(

2/3C dxexekTAn

I . 12

con l’estremo x’ che si può assumere ∞ , dato che ECtop - EC >> kT ; in questo caso il valore dell’integrale è noto e pari a 2π . L’espressione trovata è identica alla (2.b) se si assume

per NC il valore ( ) 2kTA 2/3C π . Dal punto di vista grafico lo sviluppo dell’integrale è dato

da quanto rappresentato in fig. 6.

Prima di procedere oltre si noti che, analogamente a quanto sopra visto nel caso in cui

E – EF >> kT , è possibile ottenere una espressione semplificata della F(E) valida quando si

ha EF – E >> kT :

kT)EE( F

e1)E(F−

−−=

Ciò risulta immediatamente dallo sviluppo in serie della funzione F(E) (binomio di Newton

troncato). La (2.b) dà, con queste approssimazioni:

(3) ikT

)EE(

VkT

)EE(

C neNeNVFFC

==−

−−

−

dato che nel semiconduttore intrinseco è n = p = ni , avendo indicato con quest’ultimo

simbolo la concentrazione di elettroni o delle lacune nel semiconduttore intrinseco; di

conseguenza si trova immediatamente che la concentrazione intrinseca ni vale:

kT2E

VCi

G

eNNn−

=

Fig. 6

EV E 0

1

N(E), F(E)

EF EC

F(E) N(E)

0,5

I . 13

Inoltre dalle (3) si ricava facilmente la posizione del livello di Fermi nel semiconduttore

intrinseco, che vale:

(4) iE=++

=C

VVCF N

Nln

2kT

2EE

E

Nella (4) si è indicato con Ei il livello di Fermi per un semiconduttore intrinseco; esso è

al centro della banda interdetta se NC = NV. Poiché NC ed NV sono dello stesso ordine di

grandezza, in pratica Ei dista da (EC + EV)/2 di una quantità molto piccola, dell’ordine di kT/2

(a temperatura ambiente, kT = 0,026 eV, mentre EC - EV è 1,1eV per il silicio). Ciò giustifica,

fra l’altro, le approssimazioni fatte sopra per F(E) in vicinanza di EC ed EV. In sintesi, noto il

materiale semiconduttore e la temperatura T a cui esso si trova, si conosce la

concentrazione intrinseca ni.

Esercizio: Con i valori di NC ed NV dati nella tabella I, calcolare il numero dei portatori liberi

intrinseci ni = n = p per il silicio a temperatura ambiente.

Il fenomeno della creazione di portatori mobili in un cristallo si può descrivere da un

altro punto di vista, riferendosi alla struttura del reticolo cristallino, che per il silicio è quella

della cella tetraedrica, tipica del diamante. La fig. 7.a) dà una rappresentazione piana del

reticolo per il caso del silicio puro.

I quattro elettroni di valenza di ciascun atomo di silicio formano “legami covalenti” con

elettroni di altri quattro atomi; in queste condizioni tutti gli elettroni sono legati ai rispettivi

Si Si Si

Si Si Si

Si Si Si

Si+ Si Si

Si Si Si

Si Si Si

e-

a) b) Fig. 7

I . 14

atomi e non si hanno portatori mobili che possano condurre corrente elettrica. La fig. 7.b)

rappresenta il caso in cui si è creata una coppia elettrone-lacuna con la rottura di un legame:

il posto lasciato libero dall’elettrone (adesso mobile) può venir preso da un elettrone di un

atomo confinante praticamente senza spesa di energia: la lacuna, anche in questa

rappresentazione, è equivalente a una carica positiva mobile.

Occorre a questo punto sottolineare che, a temperatura ambiente, i valori delle

concentrazioni intrinseche (cioè n = p = ni ) sia nel silicio (circa 1010 cm-3), sia nel germanio

(circa 1013 cm-3), sia ancora nell’arseniuro di gallio (circa 107 cm-3) sono di molti ordini di

grandezza inferiori alle concentrazioni di elettroni liberi nei metalli (circa 1022 cm-3) e pertanto

è intuibile che la conducibilità dei semiconduttori intrinseci risulti molto bassa.

1.4 - I semiconduttori drogati e le concentrazioni maggioritarie e minoritarie

Un metodo molto efficace per aumentare la concentrazione di cariche mobili nei

semiconduttori consiste nell'introduzione di alcune particolari impurità nel reticolo cristallino

del materiale semiconduttore. Consideriamo il caso (fig. 8) di una impurità costituita da un

atomo di un elemento che abbia cinque elettroni di valenza (appartenente quindi al V gruppo

del sistema periodico, ad esempio: fosforo o arsenico),

inserito sostituzionalmente nella struttura cubica del

silicio. Quattro elettroni di questo atomo impurità saturano

altrettanti legami covalenti con il silicio, mentre il quinto

elettrone non può costituire legame covalente con

nessuno degli atomi confinanti, tutti tetravalenti: esso

risulta perciò molto meno legato all’atomo di fosforo cui

apparteneva. Mentre per staccare un elettrone da

un'atomo di silicio occorre un’energia di 1,1 eV (EC - EV

della trattazione precedente), per liberare l’elettrone “in

piu” del fosforo basterà molto meno, circa 0,05 eV.

Ciò darà la possibilità ad un portatore libero

(l'elettrone in questo caso) di muoversi, potendo così partecipare al processo di conduzione;

l’atomo di fosforo, privato del quinto elettrone, cioè ionizzato, è invece una carica immobile

(anche detta carica fissa) perché legata al reticolo cristallino. In un semiconduttore che

contenga impurità di questo tipo (atomi donatori), a temperatura ambiente si ha un eccesso

di portatori (mobili) negativi, e si dice che il semiconduttore è di tipo “n”. I portatori

P Si Si

Si Si Si

Si Si Si

Fig. 8

I . 15

maggiormente presenti, in questo caso elettroni, vengono chiamati portatori maggioritari e la

loro concentrazione è indicata con nn, mentre la concentrazione della carica mobile

maggioritaria è -qnn ; le lacune vengono chiamate portatori minoritari e la loro

concentrazione indicata con pn. Analogamente la concentrazione della carica mobile

minoritaria sarà data da qpn. Quindi il pedice applicato alle concentrazioni identifica il tipo di

semiconduttore.

La fig. 9 rappresenta invece il caso dell’inserimento di un atomo impurità costituito da

un elemento appartenente al III gruppo (trivalente, ad esempio: boro o indio) situato

sostituzionalmente nel reticolo cristallino del silicio. Con

una spesa totale di energia molto bassa, ancora

dell’ordine di 0,05 eV, è possibile strappare un elettrone

da uno dei legami silicio-silicio e utilizzarlo per

completare il legame mancante dell’atomo di boro,

ricostituendo così attorno ad esso la simmetria del

reticolo. Adesso l’atomo di boro (ionizzato) è una carica

fissa negativa e la mancanza di un elettrone venutasi a

creare nel reticolo del silicio genera una lacuna mobile,

disponibile per il processo di conduzione. Un

semiconduttore ricco di impurità di questo tipo (atomi

accettori) mostra, a temperatura ambiente, un eccesso di portatori (mobili) positivi e si

chiama semiconduttore di tipo “p”. Analogamente a quanto visto sopra, i portatori

maggiormente presenti, in questo caso lacune, vengono chiamati portatori maggioritari e la

loro concentrazione viene indicata con pp, mentre la concentrazione della carica

maggioritaria mobile sarà qpp; in questo tipo di semiconduttori gli elettroni vengono chiamati

portatori minoritari e la loro concentrazione viene indicata con np, mentre la concentrazione

della carica minoritaria mobile sarà -qnp. Anche qui il pedice applicato alle concentrazioni

identifica il tipo di semiconduttore.

Nella rappresentazione del silicio a mezzo delle bande di energia, la presenza delle

impurità (che sono in percentuale minima rispetto agli atomi costituenti il reticolo, dell’ordine

di 1 per ogni milione di atomi di silicio) determina la creazione di livelli energetici localizzati

spazialmente che cadono entro la banda proibita del semiconduttore.

B Si Si

Si Si Si

Si Si Si

Fig. 9

I . 16

Precisamente, per quanto si è detto sopra, i “livelli donatori” (ED in fig. 10.a), generati

dalla presenza nel reticolo di elementi del V gruppo, si troveranno molto vicini (circa 0,05 eV

al di sotto) al margine inferiore della banda di conduzione EC, mentre i ”livelli accettori” (EA

in fig. 10.b), generati dalla presenza di elementi del III gruppo, si troveranno circa 0,05 eV al

di sopra del margine superiore della banda di valenza EV. E' facile prevedere che a

temperature non troppo basse, la maggior parte degli elettroni degli atomi donatori riceverà

dalla agitazione termica l'energia necessaria per portarsi nella banda di conduzione:

similmente, la maggior parte degli atomi accettori catturerà elettroni, cioè “cederà lacune”

alla banda di valenza. L’effetto del “drogaggio” (presenza di impurità) sulla distribuzione degli

elettroni consiste nello spostare, per il semiconduttore drogato, la posizione del livello di

Fermi EF, che non coinciderà più con il valore intrinseco Ei. La posizione del livello si

avvicinerà a EC o a EV a seconda che prevalga l'effetto degli atomi donatori o degli atomi

accettori. Per vedere ciò, richiamiamo le espressioni date dalle (3) ed utilizziamo le formule

approssimate per la funzione di Fermi F(E); si ha:

(5) kT)EE(

C

FC

eNn−

−= kT

)EE(

V

VF

eNp−

−=

Dato che le funzioni che forniscono la distribuzione della densità degli stati energetici

nelle bande di conduzione e di valenza non variano con il drogaggio, il metodo utilizzato per

arrivare alle (5) resta comunque valido. Ma poiché il drogaggio altera le concentrazioni n e p,

l’unica quantità che varia con il drogaggio non può che essere la posizione del livello di

Fermi EF. Si noti altresì che, facendo il prodotto membro a membro delle (5), si ottiene:

E

a) b) Fig. 10

EC

EV

x

Ei

ED

E

EC

EV

x

Ei

EA

≅ 0,05 eV

≅ 0,05 eV

I . 17

(6) kTE

32i

kT)EE(

VC

GVC

eTneNNpn−

−−

∩==

Si osservi che, per un semiconduttore drogato, p sarà in generale diverso da n; ma la

(6) mostra che il prodotto delle due concentrazioni rimane costante al variare della

concentrazione delle impurità e pari al quadrato della concentrazione intrinseca; cioè il

prodotto pn dipende soltanto dal materiale e dalla temperatura. Questa è una relazione

fondamentale (costanza del prodotto pn in equilibrio, anche detta “legge di azione di

massa”) cui nel seguito si farà più volte riferimento. E’ appena il caso di sottolineare che la

variazione dominante di ni2 con T è attraverso la funzione esponenziale piuttosto che

attraverso T 3.

1.5 - La legge di azione di massa.

Richiamando quanto sinora spiegato, sono state introdotte, con differenti significati e

ruoli, le concentrazioni dei portatori mobili, le concentrazioni delle cariche fisse e delle

cariche mobili, e le concentrazioni dei portatori maggioritari e minoritari. Facciamo vedere

che la costanza del prodotto pn in condizioni di equilibrio in un semiconduttore drogato può

essere dimostrata per altra via. Riassumendo gli effetti dovuti alla presenza di impurità nei

materiali semiconduttori, si può affermare che:

- Il piccolo numero di cariche libere presenti in un cm3 di semiconduttore intrinseco porta

alla necessità di considerare la possibilità di introdurre piccole concentrazioni di

impurità prescelte che siano in grado di modificare drasticamente la disponibilità di

portatori liberi nei semiconduttori (nel silicio ni vale circa 1010 cm-3, vi sono circa 1022

atomi di silicio in un cm3, la concentrazione di impurità introdotte è normalmente di 1

per 106 di atomi di silicio, il numero di elettroni liberi nel semiconduttore drogato sarà

dell’ordine di 1016 cm-3, dato che ogni atomo donatore genera un elettrone libero).

- I due tipi di impurità esaminati sono normalmente costituiti sia da atomi di elementi del

V gruppo e vengono indicati come atomi donatori, dato che danno luogo ad elettroni

liberi, già a temperatura ambiente, nella misura di 1 elettrone per ogni atomo donatore,

sia da atomi accettori che generano lacune nella stessa misura e che sono costituiti

da elementi del III gruppo.

La presenza di portatori liberi nei semiconduttori in condizioni di equilibrio è dovuta a due

effetti:

I . 18

a) creazione di coppie elettrone-lacuna per effetto della generazione termica;

b) ionizzazione di impurità immesse all’interno del reticolo cristallino.

Sappiamo inoltre che, anche se i due effetti sono sempre presenti, il processo a) richiede,

affinché avvenga, una quantità di energia maggiore di quella richiesta normalmente dal

processo b). Immaginiamo inoltre di essere in condizioni di equilibrio termico definito

come segue:

1) La temperatura è uniforme in ogni punto del cristallo semiconduttore e non varia nel

tempo (regime stazionario).

2) Non vi sono campi elettrici, o magnetici, o radiazioni elettromagnetiche che dall’esterno

interagiscono con il cristallo.

3) Il moto di elettroni e lacune presenti è completamente casuale e le concentrazioni di

questi sono costanti e determinate statisticamente.

Si consideri a questo punto un semiconduttore di tipo n (analogo procedimento si

potrebbe fare partendo da un semiconduttore di tipo p) drogato sia con impurità del V

gruppo, la cui concentrazione indichiamo con ND, sia con impurità del III gruppo, la cui

concentrazione indichiamo con NA, ma con ND > NA, cioè in questo caso prevale il drogaggio

di tipo n. Supponiamo poi di essere a temperatura ambiente e che a questa temperatura

tutte le impurità di tipo ND siano ionizzate. Osserviamo, come chiarito in fig. 11, che una

parte di elettroni derivanti dalle impurità ND (in numero pari ad NA), una volta resi liberi in

banda di conduzione, impegnerà gli NA stati energetici disponibili. I rimanenti elettroni

saranno pari a ND - NA. Per effetto della generazione termica vi sarà inoltre una creazione di

coppie elettrone-lacuna la cui concentrazione indichiamo con nth. Quindi le concentrazioni

dei portatori saranno:

(7) nn = ND - NA + nth e pn = nth

Il processo di generazione termica è il processo

con cui un elettrone passa dalla banda di valenza alla

banda di conduzione, mentre il processo di

ricombinazione è il processo inverso, in quanto

l’elettrone libero, nel suo moto del tutto casuale, può

trovarsi in prossimità di una lacuna e può occupare

questo legame: in questo caso scompare una coppia

Ei

E

EC

EV

x

ED

EA

Fig. 11

I . 19

elettrone-lacuna. In condizioni di equilibrio termico i due processi si devono bilanciare, cioè

la rapidità di creazione di coppie deve essere pari alla rapidità di scomparsa: tante coppie si

generano nell’unità di tempo per effetto della generazione termica ed altrettante scompaiono

nell’unità di tempo per effetto della ricombinazione. Se così non fosse, la concentrazione

degli elettroni liberi n aumenterebbe sempre o diminuirebbe sempre ed il sistema non

sarebbe mai in equilibrio (n e p costanti nel tempo, ad una data temperatura, anche se vi

sarà un continuo ricambio fra i portatori presenti).

La generazione termica, indicata con Gth (cm-3 s-1), è determinata dall’entità

dell’energia termica disponibile e dalla energia richiesta per la creazione di una coppia

elettrone-lacuna, pari a EG = EC – EV. Quindi Gth è una funzione di T e di EG e non dipende

dalle concentrazioni delle cariche libere presenti, né dalla concentrazione delle impurità

droganti.

La ricombinazione R (cm-3 s-1) dipende invece da quanto frequentemente un elettrone

della banda di conduzione incontra una lacuna della banda di valenza. La velocità con cui le

coppie elettrone-lacuna si ricombinano sarà proporzionale alle concentrazioni p ed n; tanto

più numerosi sono gli elettroni liberi, tanto più velocemente una lacuna incontrerà un

elettrone. La funzione di ricombinazione R è anche funzione di EG e di T, che determina la

velocità con cui si muovono i portatori liberi. Quindi potremo porre:

R = r nn pn

ove r è una funzione di EG e di T. Poiché in equilibrio, come si è detto sopra, deve essere

Gth = R, segue che nel nostro caso è Gth = r nn pn , e pertanto si ha:

r

Gpn th

nn =

Il secondo termine è soltanto funzione di EG e di T e quindi si è dimostrato che in uno

stesso semiconduttore, per esempio silicio, in condizioni di equilibrio e sempre alla stessa

temperatura T, il prodotto delle concentrazioni degli elettroni e delle lacune è costante e non

dipende dall’entità dei drogaggi. In particolare il valore della costante deve valere anche nel

caso in cui il semiconduttore non sia drogato, cioè sia intrinseco. Pertanto si ha:

(8) 2iii

th npnr

G==

I . 20

Sostituendo questo valore di rGth nella precedente, si ottiene la relazione già chiamata

"legge di azione di massa":

(9) nn pn = ni2

Utilizzando per la concentrazione minoritaria pn l'espressione ni nn 2 , e sostituendo questa

nelle (7), si ha:

n

2i

ADn n

nNNn +−=

n

2i

n n

np =

Risolvendo la prima per nn, e scartando la soluzione con il segno meno per evidenti ragioni,

si ottiene:

( ) 2

i

2ADAD

n n4

NN

2

NNn +

−+

−=

quindi se ND - NA è molto maggiore di 2ni, le concentrazioni di elettroni e lacune per un

semiconduttore di tipo “n” valgono:

(10) nn = ND - NA ( )AD

2i

n NN

np

−=

Ovviamente, se si fosse avuto NA > ND le concentrazioni dei portatori liberi per un

semiconduttore in questo caso di tipo “p” sarebbero state:

(11) pp = NA – ND ( )DA

2i

p NN

nn

−=

Si ricordi che questo risultato è stato ottenuto partendo dall’ipotesi che tutte le impurità

immesse nel reticolo fossero ionizzate.

La legge di azione di massa, espressa dalla (9), esprime la proprietà che al crescere del

drogaggio ND cresce la concentrazione dei portatori maggioritari e diminuisce quella dei

portatori minoritari. Esprime altresì la proprietà che un semiconduttore, inizialmente di tipo p

con un drogaggio NA, può essere convertito in un semiconduttore di tipo n aggiungendo una

concentrazione di ND maggiore di quella NA. Un caso molto interessante si ha allorché nel

semiconduttore si verifichi la condizione NA = ND ; in tal caso il semiconduttore si dice

I . 21

compensato e dal punto di vista delle concentrazioni dei portatori liberi è identico ad un

semiconduttore intrinseco.

1.6 - Nuove espressioni di n e di p in funzione di ni, Ei ed EF.

Il risultato espresso dalla legge di azione di massa (9) permette di esprimere sia p che

n in funzione di ni, di Ei e di EF. Infatti si ha:

(12) kT)EE(

i

kT)EE(

V

kT2)EE(

VCi

ii

iF

VF

VC

en

eN

eNNn

pn

nppn

n−

−−

−−

====

dove si è fatto uso della definizione di Ei data dalla formula (4). Analogamente si ricava per

la concentrazione delle lacune:

(13) kT)EE(

i

Fi

enp−

=

In un semiconduttore di tipo n l'eccesso di elettroni fornito dagli atomi donatori porta a una

diminuzione del numero delle lacune rispetto al caso intrinseco, in base alla (9), avendosi

n > ni e, per la (12), EF > Ei. Viceversa avviene nel caso di drogaggio di tipo "p".

Esercizio: Per un semiconduttore drogato con 1017 atomi di impurità per cm3 calcolare la

distanza media tra due impurità. (d = 2,16 x 10-6 cm =216 Å)

Indichiamo con NA ed ND le concentrazioni (cm-3) delle impurità accettori e donatori.

Per i drogaggi che si usano nella maggior parte dei dispositivi a semiconduttore, EF, pur

discostandosi da Ei, resta relativamente lontano dai margini della zona proibita (e anche dai

livelli accettori e donatori, EA ed ED); d'altra parte solo in questo caso valgono gli sviluppi

precedenti, dato che per F(E) abbiamo usato le espressioni approssimate. Allora il numero di

atomi donatori ionizzati sarà dato da:

[ ] DkT

)EE(

DDD Ne1N)E(F1NFD

≅

−=−

−−

I . 22

Il numero degli atomi accettori ionizzati sarà:

[ ] AkT

)EE(

AAA Ne1N)E(FNAF

≅

−=

−−

Praticamente, sia gli atomi donatori sia quelli accettori saranno completamente

ionizzati. Se sono presenti soltanto atomi donatori, con concentrazione ND>>ni come di solito

avviene, la concentrazione n degli elettroni disponibili è praticamente data da ND; nel caso di

drogaggio con soli atomi accettori, se NA>>ni , è invece p = NA. Il caso di drogaggio

simultaneo p ed n , cioè presenza di NA ed ND nello stesso semiconduttore, merita

un’attenzione particolare, come già detto. Se è ND > NA , il semiconduttore risulta del tipo n ,

con concentrazione di elettroni data approssimativamente da ND – NA. Ciò perché gli atomi

accettori, ionizzandosi, impegnano NA elettroni che quindi non risultano disponibili per la

conduzione (è più probabile che un atomo accettore impegni un elettrone libero anziché

estrarne uno della banda di valenza). Analogamente nel caso NA > ND le lacune

effettivamente disponibili per la conduzione sono p = NA – ND. Come si è già accennato, i

risultati fin qui ottenuti valgono per le concentrazioni di impurità normalmente impiegate.

Al crescere del drogaggio, il livello EF si discosta da Ei tendendo verso uno dei

margini della zona proibita; quando EF dista da EA o da ED di una quantità paragonabile o

minore di kT , l’uso delle formule approssimate non è più giustificato e la trattazione si

complica. In pratica ciò si verifica per drogaggi NA o ND superiori a 1019 cm-3; un

semiconduttore così fortemente drogato si chiama degenere. Per il seguito ci limiteremo

sempre, tranne in casi particolari che saranno evidenziati, all’analisi di dispositivi che

utilizzano semiconduttori non degeneri. E’ bene rendersi conto a questo punto che anche in

questo caso il drogaggio percentuale è molto piccolo: una concentrazione di 1019 atomi di

impurità per cm3 corrisponde per il silicio (densità 2,33 g/cm3, peso atomico 28) a una

concentrazione relativa di:

423

19 10x233,2:28

10x610 −≈

cioè a una purezza del 99,98% in volume.

Esercizio: Per silicio drogato. con 1016 atomi di boro per cm3, determinare la posizione

del livello di Fermi a temperatura ambiente (27 °C) e a 100 °C.

(27 °C : EF = Ei - 0,351 eV ; 100 °C : EF = Ei - 0,285 eV).

I . 23

Qualunque sia il tipo (p o n) di semiconduttore, in equilibrio la densità totale di carica ρ

(Coulomb/cm3) totale deve essere nulla, come è ben noto dall’elettrostatica. Nel calcolare

questa densità bisogna tener conto di tutte le cariche, sia fisse che mobili. Cioè deve essere:

(14) ρ = q (p – n + ND – NA) = 0

da cui:

p – n = NA – ND

In generale, nell’espressione data dalla (14), detta anche legge della neutralità della

carica totale, dovrebbe farsi riferimento, per quanto riguarda la concentrazione delle cariche

fisse, a quella percentuale di impurità che alla data temperatura risultino ionizzate; cioè

l’espressione esatta che tiene conto di una ionizzazione parziale è:

(15) p – n = NA- – ND

+

con:

( )[ ]

+

==−

−

kT)EE(AAAA

FA

e1

1NEFNN ; ( )[ ]

+

=−=−

+

kT)EE(DDDD

DF

e1

1NEF1NN

Una volta noti i valori di EA e di ED ed i drogaggi NA ed ND, sostituendo le espressioni

di NA- e di ND

+ nella (15) e richiamando le (5),

si ottiene un set di 3 equazioni con le quali è

possibile ricavare le concentrazioni dei

portatori n e p e la posizione del livello di

Fermi a qualsiasi temperatura. Ripetiamo, le

formule valgono finché NA ed ND non sono

troppo elevati (< 1019 cm-3).

La fig. 12 mostra l’andamento in

funzione della temperatura del numero di

elettroni mobili per cm3 in un campione di

silicio drogato con 1,2 x 1016 atomi donatori

per cm3. In un vasto campo di temperatura la

concentrazione nn è costante ed è pari a ND. A temperature molto basse la percentuale di

ND

Fig. 12

T (K)

n ( x 1016 cm-3)

n

1

2

0 300 600

ni

I . 24

atomi donatori ionizzati diminuisce, riducendo il valore di nn ; a temperature elevate ni

(funzione rapidamente crescente di T ) diventa dello stesso ordine o maggiore di ND e il

semiconduttore tende a ridiventare intrinseco.

Esercizio: Esprimere le concentrazioni maggioritarie e minoritarie in funzione del

drogaggio, quando non si possono trascurare le concentrazioni minoritarie

rispetto a quelle maggioritarie.

( )

( )p

2i

p2i

2DADAp

n

2i

n2i

2ADADn

p

nn;n4NNNN

21

p

n

np;n4NNNN

21

n

=

+−+−=

=

+−+−=

1.7 - Conduzione nei semiconduttori.

Sinora è stato affrontato il problema delle disponibilità di portatori mobili in un

semiconduttore ed il problema del metodo per far aumentare la loro concentrazione. Adesso

esaminiamo il meccanismo del movimento di tali portatori e cioè il processo di conduzione in

tali materiali. In una barretta di semiconduttore, intrinseco o drogato, con una

concentrazione di cariche uniforme, le cariche libere si muovono di moto disordinato per

effetto dell’agitazione termica subendo di tanto in tanto delle collisioni con gli atomi e gli ioni

del reticolo. In media il moto dovuto all’agitazione termica non produce un netto spostamento

di cariche attraverso una generica sezione in un intervallo di tempo misurabile

macroscopicamente.

Se alla barretta considerata viene applicata una differenza di potenziale tra due

estremità opposte, il campo elettrico così generato aggiunge una componente ordinata al

movimento disordinato delle cariche mobili, che acquistano in queste condizioni una velocità

media nella direzione del campo elettrico. Questa velocità media prende il nome di velocità

di scorrimento (drift), anche chiamata velocità di deriva. In fig. 13 vengono rappresentate

in modo schematico le traiettorie di un elettrone in un semiconduttore in assenza (fig. 13.a)

ed in presenza (fig. 13.b) di campo elettrico applicato. Come si vede dalla figura, le

traiettorie, che in assenza di campo elettrico sono rettilinee, si incurvano allorché

sull’elettrone agisce la forza dovuta al campo elettrico applicato. In questo caso

nell’intervallo di tempo tra collisioni successive l’elettrone viene accelerato, cedendo ad ogni

impatto l’energia acquistata dal campo al reticolo che si riscalda; il trasferimento di energia

I . 25

cinetica provoca un aumento delle ampiezze delle vibrazioni degli atomi. Il valore medio dei

percorsi compiuti dall’elettrone tra due collisioni successive viene indicato col nome di

cammino libero medio.

Per determinare in modo semplice la velocità media di scorrimento v, è possibile fare il

seguente ragionamento: il valore della velocità di una carica mobile nell’istante generico t

scelto nell’intervallo di tempo fra collisioni successive vale:

(16) v(t) = v(0) + at

dove v(0) è la velocità iniziale subito dopo la collisione ed a è l’accelerazione. Assumendo

che la direzione in cui parte l'elettrone sia indipendente dal campo applicato, e quindi

orientata in modo del tutto casuale entro l’angolo solido 4π, possiamo ritenere che v(0) sia in

media eguale a zero. Esprimendo nella (16) l’accelerazione a in funzione della forza agente

sulla carica mobile, si ottiene per la velocità media di scorrimento l’equazione

(17) )2(2

*mqEtvv

v cfinaleiniziale =

+=

ove si è indicato con tc il tempo libero medio tra collisioni successive e con m* la massa

effettiva della carica (*).

(*) La massa effettiva o efficace m* (in genere leggermente minore della massa dell’elettrone

libero) è quella quantità che sostituisce nei cristalli la massa della carica nel vuoto per tener conto degli effetti della presenza del reticolo sulla accelerazione della carica stessa.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

E

a) b) Fig. 13

I . 26

Sperimentalmente si è visto che per campi elettrici non eccessivamente elevati (< 2 kV/cm per il silicio) la velocità media è direttamente proporzionale al campo E. Il fattore

di proporzionalità viene indicato con µ, [cm2 / volt · sec] e prende il nome di mobilità che

resta definita come la velocità media di scorrimento che una carica mobile assume sotto un

campo elettrico unitario. Per campi elettrici molto intensi i risultati sperimentali mostrano un effetto di saturazione della velocità v in funzione di E e ciò comporta una dipendenza di µ

da E; trascurando questa ipotesi, dalla definizione di µ e dalla (17), si ottiene per la mobilità

l’espressione:

(18) µ = q tc / (2m*)

Si osservi però che una trattazione rigorosa fatta in base alla meccanica quantistica dà

per la mobilità un'espressione simile a quella ricavata ma senza il coefficiente 2 a

denominatore.

Le collisioni che le cariche libere subiscono in un semiconduttore sono di due tipi: le

collisioni con gli atomi del reticolo e quelle con le cariche fisse (atomi di impurità ionizzati);

questi due fenomeni influenzano fortemente il tempo libero medio tc e quindi la mobilità. Le

analisi teoriche e gli studi sperimentali effettuati mostrano una dipendenza della mobilità

dalla concentrazione delle impurità e dalla temperatura.

Con riferimento alle collisioni con il reticolo, queste aumentano di frequenza con

l’aumentare di T poiché le oscillazioni degli atomi del reticolo crescono di ampiezza

all’aumentare di T. Pertanto la mobilità per queste collisioni diminuisce al crescere di T con

la legge T - n con n che varia tra 1,5 e 2,5. Lo scattering dovuto invece alle collisioni con le

impurità ionizzate decresce con T in quanto all’aumentare di T cresce la velocità di

agitazione degli elettroni e le traiettorie vengono influenzate meno dalla presenza del campo

elettrico sferico che nasce attorno alle impurità ionizzate; in questo caso la mobilità cresce

con T. La mobilità è anche influenzata dalla presenza di difetti reticolari o dalla presenza di

impurità non desiderate nel senso che la mobilità si riduce.

Se più effetti agiscono simultaneamente sul movimento degli elettroni o delle lacune, la

mobilità complessiva di questi si compone come le resistenze in parallelo, cioè:

1/µtot = 1/µ1 + 1/µ2 + …

La meccanica quantistica mostra che m* dipende dalla struttura delle bande di energia. Per gli scopi della materia trattata si tenga presente che m* è differente per elettroni e lacune e ciò spiega la differenza tra i valori di NC ed NV che dipendono anche da m*.

I . 27

Fig. 14

I risultati relativi all’influenza della variazione della concentrazione delle impurità

droganti (la concentrazione totale CT) sulla mobilità degli elettroni e delle lacune nel silicio a

temperatura ambiente vengono riportati nei diagrammi di fig. 14, ove si nota che le mobilità,

per entrambi i portatori e per data temperatura, decrescono sempre all'aumentare di CT.

Si osservi che sull'asse delle ascisse è riportata la concentrazione totale CT = ND + NA

delle impurità presenti nel semiconduttore, dato che la traiettoria di una carica mobile che

passi in prossimità di un atomo ionizzato viene modificata sia nel caso di ioni positivi che

negativi. Ciò deve far riflettere sul fatto che le mobilità di un semiconduttore parzialmente

compensato possano risultare nettamente inferiori a quelle di un semiconduttore non

compensato con eguale concentrazione netta di cariche libere.

I . 28

Esercizio: Determinare per il silicio intrinseco il tempo libero medio degli elettroni e delle

lacune a temperatura ambiente (si supponga me* = m*lac = m ).

(0,815 ·10-12 sec ; 0,281·10-12 sec)

1.8 – Corrente di drift o di deriva.

Esaminiamo adesso il processo di conduzione (che è analogo a quello che avviene nei

conduttori) nel caso di una barretta di semiconduttore omogeneo di tipo n, alla quale venga

applicata una differenza di potenziale tra due

estremità opposte (fig. 15). Si prevede

intuitivamente che la conducibilità elettrica

macroscopica del semiconduttore sarà funzione

della concentrazione delle cariche libere e della

loro mobilità. Per trovare tale relazione

consideriamo un parallelepipedo elementare

della barretta in esame (fig. 16), percorso dalla

densità di corrente J (A/cm2) quando il campo elettrico applicato E è nella direzione dell'asse

x. Consideriamo due sezioni A e B normali ad x

e di area S, distanti di una quantità

numericamente pari alla velocità media di

scorrimento degli elettroni v. Se la

concentrazione degli elettroni è n, osserviamo

che, a regime, nell’elemento di volume

compreso tra le sezioni A e B il numero di

elettroni non cambia, se entro il volume considerato non vi sono fenomeni di generazione o

di ricombinazione di cariche. Il meccanismo della conduzione comporta che un elettrone che

attraversa la sezione A venga rimpiazzato da un elettrone entrante dalla sezione B . Quindi

entro il volume considerato vi sono S n v elettroni; dato che tutti gli elettroni si muovono nella

direzione x con una velocità media di scorrimento pari a v, ogni secondo tutti quelli presenti

nel volume considerato vengono rimpiazzati da nuovi elettroni in pari numero. Pertanto in un

secondo attraverso la sezione A transitano S n v elettroni e la densità di corrente J con i

versi indicati in figura e con q > 0 vale:

Jn = - n q v

n

Fig. 15

J J

A B

e e

v

E

Fig. 16

S

x

I . 29

Essendo v = - µn E , si ottiene:

(19) Jn = q n µn E

Analogamente per le lacune, si ha:

(20) Jp = q p µp E

In generale, in presenza di ambedue i tipi di portatori mobili, la densità di corrente totale di

scorrimento sarà data dalla somma dei due contributi e cioè:

(21) J = Jn + Jp = q E( n µn + p µp )

da cui la conducibilità σ [S/cm] per un semiconduttore drogato, per confronto con la legge

di Ohm per i conduttori massicci J = σ E, vale:

(22) σ = q ( p µp + n µn )

mentre, nel caso del semiconduttore intrinseco, essendo p = n = ni, è:

(23) σi = q ni ( µp + µn )

Esercizio: Calcolare la velocità di scorrimento degli elettroni corrispondente a una

densità di corrente 1 mA per cm2, rispettivamente per alluminio e per silicio

intrinseco a temperatura ambiente.

(3,47 10-8 cm/s; 3,18 105 cm/s)

Come è stato discusso nel paragrafo precedente, la concentrazione ni cresce

fortemente con la temperatura e quindi, dato che le mobilità variano relativamente poco con

T, la conducibilità dei semiconduttori intrinseci aumenta al crescere della temperatura. Per

contro si osservi che per un semiconduttore drogato, per esempio di tipo n, in relazione al

diagramma di fig. 12, la conducibilità nella parte piatta della curva n = n(T) diminuisce, dato

che in questo campo si fa risentire l’effetto della riduzione della mobilità con la temperatura;

I . 30

in questa regione il semiconduttore drogato si comporta alla stessa stregua dei materiali

conduttori.

Esercizio: Calcolare le concentrazioni di elettroni e lacune, la resistività e la posizione del

livello di Fermi in un cristallo di silicio contenente 1,1·1016 atomi di boro per

cm3 e 9·1015 atomi di fosforo per cm3 per T = 300 K

(1,05 x 105 cm-3; 2 x 1015 cm-3; 10,4 Ω cm; Ei - 0,307 eV)

Esercizio: Calcolare la proporzione in peso di fosforo (peso atomico 31) che deve essere

aggiunta ad un cristallo di silicio perché la sua resistività a temperatura

ambiente sia di 200 Ωcm . Se il cristallo viene ulteriormente drogato con 1014

atomi di gallio per cm3, qual è la resistività del cristallo? E’ di tipo p o n ?

1.9 – Corrente di diffusione.

Si è esaminato il processo di

conduzione dovuto all’applicazione del

campo elettrico e le relazioni tra la

densità di corrente di scorrimento ed il

campo in funzione delle caratteristiche

del semiconduttore. In tali materiali,

però, oltre a questo tipo di corrente,

esiste un secondo tipo di meccanismo

atto a dare origine ad una corrente di

diversa natura, che, dal processo che

la genera, prende il nome di corrente

di diffusione. Si definisce corrente di

diffusione quella dovuta al flusso

complessivo, per unità di superficie, di

elettroni e lacune libere che si muovono

a caso da una regione ad alta concentrazione ad una a bassa concentrazione. E’ lo stesso

processo che avviene in un recipiente pieno di gas con pressioni inizialmente differenti; in

esso le molecole si muovono in modo da stabilire una pressione uniforme in tutto il

recipiente. Occorre osservare che il moto di diffusione delle cariche libere tende a portare il

e e e e e e

e e e

e e e

e e

e

e e e

e e

e

e e e e

e e

e e

e e

e e

e

e e e

e e e

e e e e e

Fig. 17

x

n

I . 31

cristallo da una situazione di disuniformità o di non equilibrio ad una situazione di uniformità

o di equilibrio; il suo studio è molto importante perché tale processo gioca un ruolo

fondamentale nel funzionamento dei diodi e dei transistori.

Consideriamo il caso di una barretta di semiconduttore di tipo n con una

concentrazione di elettroni mobili dipendente dalla sola coordinata x (vedi fig. 17). Se

scegliamo una superficie di riferimento ortogonale ad x, si può intuitivamente prevedere che

il flusso Fn di elettroni attraverso la superficie sarà proporzionale al gradiente della

concentrazione e diretto in senso opposto a detto gradiente; ciò si traduce nell'equazione:

(24) dxdn

DF nn −=

mentre il flusso Fp delle lacune sarà dato da:

(25) dxdp

DF pp −=

In queste relazioni il flusso F, rappresentando il numero di cariche libere che

attraversano una sezione unitaria in un secondo, è espresso in cm-2 sec-1; la costante di

proporzionalità D [cm2 s-1], che prende il nome di diffusività o costante di diffusione, è

legata alla mobilità dalle relazioni di Einstein, che qui non dimostriamo:

(26) q

kTD n

nµ

= q

kTD

pp

µ=

L’esistenza di tali relazioni consente di poter utilizzare i diagrammi della mobilità di

fig. 14 ricavati a temperatura ambiente, per rappresentare D in funzione della

concentrazione totale delle impurità alla stessa temperatura.

Esercizio: Applicando una differenza di potenziale di 10 µV ad una barretta di

semiconduttore di tipo p lunga l = 25 mm e di sezione 1 x 1 mm2 a

temperatura ambiente si è apprezzata una corrente di 1 µA. Determinare:

a) la mobilità e la diffusività degli elettroni;

b) la concentrazione degli atomi droganti.

(275 cm2 V-1 s-1; 7 cm2/s; 1,2 x 1018 cm-3)

I . 32

Dai flussi di cariche è semplice ricavare le componenti della densità di corrente di

diffusione per i due tipi di cariche, dato che J = q F; adottando i versi convenzionali si ha:

(27) dxdn

DqJ nn =

(28) dxdp

DqJ pp −=

In conclusione è opportuno sottolineare che si ha corrente di diffusione in presenza di

una variazione spaziale di concentrazione di cariche mobili. Perché si abbia un regime di

corrente di diffusione è necessario, quindi, che si venga a mantenere con opportuni

procedimenti, di cui si dirà in seguito, un gradiente di concentrazione.

1.10 - Condizioni di non equilibrio.

Finora si è considerato il caso di un semiconduttore in condizioni di equilibrio. Con ciò

si intende che tutte le grandezze considerate non sono funzioni del tempo, e che non vi è

alcuna sollecitazione esterna, come luce, flusso di calore, ecc. In realtà il fenomeno della

conduzione dovuta al campo elettrico applicato dall’esterno implica condizioni di non

equilibrio. Le conclusioni ricavate precedentemente valgono solo se le correnti di

scorrimento e di diffusione non sono tali da modificare le concentrazioni dei portatori liberi

calcolate in condizioni di equilibrio.

E' di interesse fondamentale per il funzionamento dei dispositivi a semiconduttore lo

studio delle situazioni di non equilibrio, in cui le concentrazioni n e p non soddisfano la

relazione (9); cioè si ha un eccesso o un difetto di portatori mobili. Vi sono diversi modi di

“iniettare” portatori in eccesso in una regione di semiconduttore; allo scopo di definire i

parametri fondamentali usati nello studio delle condizioni di non equilibrio, è conveniente

considerare il caso della generazione di coppie elettroni-lacune per effetto fotoelettrico.

Riferendoci al diagramma delle bande di energia per un semiconduttore, ad esempio di tipo

n (fig. 18), l’effetto fotoelettrico (*) corrisponde alla cessione, da parte di un fotone incidente

(cui viene associata dalla teoria di Planck una quantità di energia pari ad hν), ad un elettrone

(*) L’effetto fotoelettrico si distingue in effetto fotoelettrico interno, che è quello appena

descritto ed effetto fotoelettrico esterno, che si ha allorché il fotone ha energia sufficiente a liberare un elettrone dal materiale sul quale il fotone incide.

I . 33

della banda di valenza, dell’energia necessaria per portarlo nella banda di conduzione. Ciò

richiede che la frequenza della luce incidente sia ν > (EC - EV) / h . In seguito alla sparizione

del fotone incidente si viene così a creare una coppia elettrone-lacuna (cioè p ed n) in

eccesso rispetto al valore di equilibrio (pn = ni2) .

Se abbiamo un certo flusso di fotoni incidenti, si

può venire a creare un numero notevole di portatori in

eccesso. Le lacune in eccesso saranno eguali in

numero agli elettroni in eccesso: ∆ n = ∆ p.

In un semiconduttore di tipo n per cui è ND >> ni ,

è anche nn >> pn , dove il pedice si riferisce al tipo di

semiconduttore. Per esempio, se si ha ND = 1016 cm-3,

per un cristallo di silicio si avrà approssimativamente

nn = 1016 cm-3 e pn = 2 x 104 cm-3. Se in un certo

istante si hanno 108 coppie elettrone-lacuna per cm3 in

eccesso dovute a generazione fotoelettrica, sia n che p

saranno aumentate di questo valore. Percentualmente, però, mentre si è avuto un drastico

aumento delle cariche minoritarie (da 104 circa a 108 cm-3), il numero delle cariche

maggioritarie è rimasto pressoché invariato: 1016 + 108 ≅ 1016 cm-3.

Questa situazione, in cui la variazione percentuale di concentrazione è notevole solo

per le cariche minoritarie, si definisce iniezione a basso livello; lo studio di essa è molto

semplificato rispetto al caso generale.

Per studiare la dinamica della concentrazione delle cariche minoritarie, vediamo di

scrivere, per un semiconduttore di tipo n, un bilancio tra la creazione e la scomparsa di

coppie elettrone-lacuna, e la variazione nel tempo della concentrazione dei portatori

minoritari pn = pn(t), inizialmente nel caso in cui essa non dipenda dalla posizione; una tale

situazione si può realizzare illuminando il semiconduttore in modo tale che l’assorbimento

dei fotoni incidenti sia uniforme entro tutto il volume del semiconduttore. Si può quindi

scrivere:

RGGdt

dpthL

n −+=

dove GL indica la velocità di generazione [ cm-3 s-1] dovuta al flusso luminoso incidente, Gth

la velocità di generazione termica ed R la velocità di ricombinazione delle coppie elettrone-

lacuna.

Possiamo definire una velocità di ricombinazione effettiva U:

E

EC

EV

x

EF

Fig. 18

hνννν

I . 34

U = R – Gth

(in equilibrio GL = 0 ed U = 0, cioè tante coppie vengono create dall’agitazione termica

quante se ne ricombinano nella unità di tempo). Il bilancio diventa allora:

(29) UGdt

dpL

n −=

La funzione U rappresenta la tendenza del sistema a ritornare in condizioni di equilibrio ed è

logico pensare che dipenda dalla differenza fra la concentrazione pn(t) ed il suo valore di

equilibrio pno = ni2 / nn . Si assumerà da ora in poi che U sia proporzionale a pn – pno ; ciò è

giustificato dal fatto che i risultati così trovati corrispondono al caso reale. Il coefficiente di

proporzionalità tra U e pn - pno ha le dimensioni di sec-1 ed il suo inverso ττττ viene definito, per

motivi che si esamineranno nel seguito, come vita media delle cariche minoritarie.

In conseguenza la (29) assume la forma

(30) p

nonL

n ppG

dtdp

τ−

−=

Se GL non varia nel tempo, si raggiungerà un regime stazionario (che non è una situazione

di equilibrio) per cui dpn / dt = 0 ; la (30) dà allora per la concentrazione finale pL il valore:

(31) pL = pno + GL τp

Se, una volta raggiunto questo regime, si elimina bruscamente l’illuminazione, cioè si rende

GL = 0 , la concentrazione varierà nel tempo in modo da soddisfare l’equazione differenziale

(32) p

nonn ppdt

dpτ−

−=

La soluzione completa di questa equazione, con la condizione iniziale pn = pL per t = 0, è

data da:

(33) ( ) p

t

Lnonon epppp τ−

−−=

I . 35

L’andamento della (33) è riportato a lato

nella fig. 19. Come si osserva, si ha quindi

un decremento esponenziale verso il valore

di equilibrio, con costante di tempo data da

τp. Dalla nota proprietà delle funzioni

esponenziali, si può interpretare il tempo di

vita media τ come quell'intervallo di tempo

entro il quale tutti i portatori in eccesso

all'istante iniziale si sono ricombinati.

Esercizio: Una barretta di silicio di tipo n è illuminata uniformemente. La vita media delle

lacune è 1 µsec e la resistività all’oscuro è 10 Ω cm. L’illuminazione provoca la creazione di

1022 coppie elettrone-lacuna per cm3 e per secondo. Determinare la resistività sotto

illuminazione. (ρL = 0,33 Ω cm)

Per studiare il caso più generale in cui pn è una

funzione, oltre che del tempo, anche delle coordinate

spaziali, è utile richiamare alcune considerazioni elementari

di continuità. Ci limitiamo al caso della dipendenza da una

sola coordinata spaziale, che sceglieremo come asse x .

Come si è visto precedentemente, se p varia con x si avrà

un flusso di lacune Fp dovuto alla diffusione. Consideriamo

(fig. 20) un volumetto infinitesimo di semiconduttore di tipo n

di sezione S e di spessore ∆x; prescindendo dai termini di

generazione e ricombinazione, potremo scrivere il bilancio

per la concentrazione delle lacune nel suo interno:

( )2p1pn FFSt

pxS −=

∂

∂∆

dato che la differenza fra le lacune entranti e quelle uscenti si ritrova in una variazione delle

lacune contenute nel volumetto. Al limite per ∆x → 0, si ha:

Fig. 20

1

∆∆∆∆x

Fp2 Fp1

2 S

∆∆∆∆x

Fig. 19

pn

pno

t ττττ p

pL

I . 36

x

FS

t

pS

pn

∂

∂−=

∂

∂

Cioè si ha l'equazione di continuità:

(34) x

F

t

p pn

∂

∂−=

∂

∂

Se sono presenti i termini GL ed U, se cioè consideriamo che entro il volumetto S ∆x siano

presenti sia la generazione di coppie elettrone-lacuna per effetto luminoso sia la

ricombinazione, il bilancio completo si può quindi scrivere:

(35) ( )

p

nonL

pn ppG

x

F

t

tp

τ−

−+∂

∂−=

∂

∂

Se il semiconduttore in esame non fa parte di un circuito elettrico attivo, cioè se non

sono presenti generatori di tensione o di corrente esterni, non vi sarà corrente elettrica

risultante in nessuna sezione di esso; quindi la presenza di un flusso di lacune Fp implica la

presenza di un flusso di elettroni Fn di valore eguale, in modo da annullare la densità di

corrente totale data da:

J = q (Fp – Fn)

I due flussi sono determinati dalla diffusione e dal campo elettrico E e, come visto

precedentemente, assumono la forma:

(36) npn

pp px

pDF Eµ+

∂

∂−=

(37) nnn

nn nx

nDF Eµ−

∂

∂−=

Può sembrare strano l’avere considerato il campo elettrico per un semiconduttore

isolato; ma E è dovuto proprio ai fenomeni di diffusione che stiamo considerando, se si

viene a creare un sia pur minimo squilibrio fra le due densità di cariche (positive e negative)

complessive. Dato che i due flussi devono essere eguali, si ha:

I . 37

( ) 0x

nD

x

pDnpFF n

nn

pnnnpnp =∂

∂+

∂

∂−+=− µµE

e per il campo elettrico E si ottiene:

(38) ( )nnnp

nn

np

npx

nD

xp

D

µµ +∂

∂−

∂∂

=E

In quest'ultima espressione le diffusività Dp e Dn non sono troppo discoste fra loro

numericamente e così pure µn e µp; i gradienti di concentrazione (∂ pn)/(∂ x) e (∂ nn)/(∂ x)

sono praticamente eguali (esattamente eguali all’equilibrio per la condizione di neutralità

della carica spaziale, espressa dalla (14)); invece pn è sicuramente trascurabile in confronto

ad nn.

La (38) si può quindi approssimare:

nn

npn

n

DD

x

p

µ

−

∂

∂≅E

Sostituendo l'espressione trovata per E nella (36), si ha:

( )

−+−

∂

∂= np

n

n

n

pp

np DD

n

pD

x

pF

µ

µ

In questa relazione il secondo termine entro la parentesi quadra è trascurabile

rispetto al primo per la presenza del fattore pn / nn che è molto minore dell’unità; in

conclusione, la (36) si può scrivere con ottima approssimazione:

(39) x

pDF n

pp ∂

∂−=

Tale espressione ci dice che il flusso delle cariche minoritarie è determinato,

praticamente, soltanto dalla diffusione. Questo risultato (che non è valido per Fn, come si

vede facilmente) è di grande importanza per lo studio del funzionamento dei dispositivi a

semiconduttore e risulta verificato anche nel caso di passaggio di corrente, cioè quando il

semiconduttore fa parte di un circuito elettrico attivo.

I . 38

Sostituendo la (39) nella (35), il bilancio completo risulta espresso dalla seguente

equazione differenziale in pn(x,t) :

(40) p

nonL2

n2

pn pp

Gx

pD

t

p

τ

−−+

∂

∂=

∂

∂

Tale equazione, in cui GL rappresenta il termine forzante, è particolarmente utile

nell’analisi teorica dei diodi e dei transistori, ed è chiamata equazione della diffusione; in

essa vengono correlate le variazioni temporali della concentrazione alle variazioni spaziali

della stessa.

Nel caso stazionario o a regime, in cui GL non dipende da t, la concentrazione di

regime pn (funzione di x soltanto) è rappresentata dalla soluzione dell’equazione differenziale

del 2° ordine, lineare, ed a coefficienti costanti:

(41) 0pp

Gx

pD

p

nonL2

n2

p =−

−+∂

∂

τ

Come è noto, la soluzione completa è

una combinazione lineare di una soluzione

particolare della (41) e della soluzione

dell’equazione omogenea associata:

0p

x

pD

p

n

2

n2

p =−∂

∂

τ

che vale:

pp Lx

Lx

n eBeAp +=−

ove si è posto:

ppp DL τ=

Nella soluzione completa, le costanti A e

B dovranno determinarsi in base alle

condizioni al contorno del problema; la Fig. 21

x

pn

pn(0)

pno

GLττττ p

luce

x 0

I . 39

grandezza Lp [cm] si chiama lunghezza di diffusione delle cariche minoritarie. Il

significato di Lp e dei concetti discussi finora si chiarisce meglio considerando due esempi.

Supponiamo in un primo caso di avere una barretta di semiconduttore illuminata in

modo tale che si possa considerare GL costante in funzione della coordinata x e del tempo t.

Ciò significa che il semiconduttore deve essere praticamente trasparente alla radiazione

considerata. Supponiamo inoltre che la velocità di ricombinazione (proporzionale a pn – pno)

risulti incrementata in corrispondenza di una (sola) superficie della barretta, che prenderemo

come piano x = 0 (vedi fig. 21).

A distanza grande da questa superficie, si prevede intuitivamente che la concentrazione

pn non dipenderà più dalla x ed assumerà il valore pL = pno + GL τp del caso uniforme

considerato all’inizio. Sulla superficie x = 0, l’aumentata velocità di ricombinazione ha come

risultato una minore concentrazione delle cariche minoritarie. Di conseguenza si viene a

creare un gradiente di concentrazione che per diffusione dà luogo ad un flusso di lacune (*)

verso la superficie x = 0 . A regime raggiunto, vale la (39) con le condizioni al contorno:

(42) ( )[ ]nonp0x

np0xp p0pS

x

pDF −=

∂

∂=−

==

per x = 0

(43) ( ) pLnoLn Gppp τ+==∞ per x = ∞.

Nella prima condizione Sp [pn(o) – pno] rappresenta il numero di lacune che si

ricombinano alla superficie per unità di tempo e per cm2; Sp ha le dimensioni di cm/sec e si

chiama velocità di ricombinazione di superficie; pn(0) indica il valore della concentrazione

per x = 0 . La soluzione della (39) con queste condizioni al contorno è:

(44) ( ) ( ) pLx

p

pp

pnoLLn e

L

DS

Spppxp

−

+

−−=

ed ha l’andamento illustrato in fig. 21.

Esercizio: Dimostrare che la (44) è la soluzione della (41) con le condizioni al contorno

(42) e (43).

(*) La presenza del termine Fp implica come si è detto la presenza di un flusso Fn di valore

eguale, per la condizione J = 0 .

I . 40

pn

pLo

Fig. 22

x

pno

L p

luce

x 0

Un altro caso importante è quello in cui il semiconduttore non è trasparente alla

radiazione incidente, che viene quindi assorbita in uno spessore molto piccolo a partire dalla

superficie illuminata. Supponiamo che venga illuminata soltanto la superficie x = 0, come in

fig. 22; a regime all’interno del semiconduttore vale la (41) senza il termine GL:

(45) 0pp

x

pD

p

non

2

n2

p =−

−∂

∂

τ

Le condizioni al contorno per questo caso sono:

pn(0) = pLO per x = 0

pn(∞) = pno per x = ∞

in cui pLO dipende dal flusso luminoso

incidente.

Anche in questo caso il gradiente di

concentrazione determina un flusso di

lacune; le cariche minoritarie in eccesso

create alla superficie diffondono verso

l'interno del semiconduttore. La soluzione

della (45) con le condizioni al contorno

sopra scritte risulta data da:

(46) ( ) pLx

Lononon epppp−

−−=

ed è rappresentata in fig. 22. Si noti che il parametro ppp DL τ= corrisponde al

parametro τ p della (32): la legge con cui la concentrazione p tende al valore finale nei due

casi, rispettivamente in funzione del tempo e dello spazio, è dello stesso tipo.

Esercizio: Nel caso illustrato nella fig. 22, esprimere pLO in funzione del flusso luminoso

incidente, I (watt/cm2), per il caso di iniezione a basso livello. Si assuma che

I . 41

ogni fotone incidente produca una coppia elettrone-lacuna e che la luce sia

monocromatica di lunghezza d'onda λ.

(ch

ID

Lpp

p

pnoLo

λ+= )

Abbiamo considerato finora variazioni in funzione del tempo e di una sola variabile

spaziale. L'estensione di quanto sopra al caso generale in cui le grandezze studiate

dipendono da tre coordinate spaziali è immediata: basta riscrivere in forma vettoriale le

principali relazioni. Per esempio, il flusso dovuto alla diffusione sarà per le lacune:

pDF pp ∇−=

e l’equazione di continuità (34) varrà:

pFt

p•−∇=

∂

∂

Così, l’equazione della diffusione per il caso generale è

p

oLp

ppGpD

tp

τ−

−+∇=∂∂ 2 .

1.11 – Determinazione del tempo di vita media delle cariche minoritarie ττττ.

Le considerazioni precedenti hanno mostrato che il parametro τ (*) è determinante per

lo studio dei fenomeni di non-equilibrio. È opportuno cercare di vedere quali parametri

determinano a loro volta τ, ossia studiare il fenomeno della ricombinazione delle cariche

minoritarie. Per trattare questo processo ci riferiamo ad un semiconduttore di tipo p, in cui le

cariche minoritarie sono elettroni; ciò al solo scopo di evitare di dover considerare una carica

positiva fittizia, e ragionare sull’elettrone che è un’entità più facilmente visualizzabile.

Ci si chiede: se in qualche modo viene a crearsi un eccesso di elettroni rispetto alla

condizione di equilibrio, dopo quanto tempo essi si saranno ricombinati? Il meccanismo più

(*) Nel testo si è fatto riferimento alle lacune, ma identiche considerazioni valgono per un

semiconduttore di tipo p, in cui il parametro essenziale è τn , tempo di vita media degli elettroni (cariche minoritarie).

I . 42

ET

E

EC

EV

x

EF

Fig. 23

semplice per il ritorno all’equilibrio consiste nella

ricombinazione diretta: un elettrone può incontrare una

lacuna e ricadere direttamente nella banda di valenza

cedendo l’energia (EC - EV) sotto forma termica o di

radiazione. Questo fenomeno è però estremamente

poco probabile per motivi che hanno a che fare con la

struttura dettagliata delle bande di energia, nel

germanio e nel silicio.

La causa principale della ricombinazione, in

questi materiali, è la presenza di livelli intermedi nella

banda proibita, chiamati centri di ricombinazione o

trappole. Questi livelli localizzati di energia ET (fig. 23)

sono creati da imperfezioni nel reticolo cristallino, o da impurità. Un elettrone che passi in

vicinanza di una trappola verrà “catturato” e successivamente scenderà ancora dal livello ET

della trappola nella banda di valenza.

E’ questo il processo che limita la vita delle cariche minoritarie; è chiaro che essa

risulterà tanto minore quanto maggiore sarà la concentrazione dei centri di ricombinazione

NT [cm-3]. Il fenomeno si può schematizzare

considerando gli elettroni come puntiformi e che si

muovono liberamente con una velocità vth (dovuta

all'agitazione termica) finché non incontrano un centro

di ricombinazione. Per semplificare le cose al massimo,

supponiamo che gli (np - npo) elettroni in eccesso

contenuti in un cm3 si muovano tutti insieme con

velocità vth (fig. 24).

Nell'attraversare uno spessore infinitesimo ∆x, si

ricombineranno gli elettroni che colpiscono i centri di

ricombinazione. Sia ∆np il numero di questi elettroni.

Considerando i centri di ricombinazione come dei

bersagli di area trasversale σ (*) , la probabilità che un elettrone venga catturato entro lo

spessore ∆x è data dal rapporto tra le aree occupate dai bersagli e la superficie totale. Cioè

si ha:

(*) σ rappresenta l’area formata dalla proiezione del contorno dell’ostacolo (centro di

ricombinazione) su un piano perpendicolare alla direzione del moto dell'elettrone incidente.

Fig. 24

∆∆∆∆x

np - npo

vth S

I . 43

S

SxNN TT ∆=

σ

totalesuperficie

centridaioccupataarea

dove S è la superficie (perpendicolare a vth) dell’elemento di volume considerato. Avremo

quindi:

xNnn

nT

pop

p∆=

−

∆σ

Questi ∆np elettroni si sono ricombinati nell’intervallo tempo ∆t = ∆x / vth ; quindi nell’unità di

tempo si avrà:

( ) Tthpopthpp

Nvnnvx

n

t

nσ−=

∆

∆=

∆

∆

Per definizione, ∆np / ∆t è la velocità di ricombinazione U; ricordando la posizione

fatta riguardo ad U a proposito della (29), per confronto si ottiene per il tempo di vita media

τn l ’espressione:

τn = (vth NT σ)-1

In realtà avremmo dovuto considerare solo quei centri di ricombinazione che non

erano già occupati da elettroni, cioè NT [1 - F(ET)]. Risulta però che i centri di ricombinazione

più efficaci sono quelli per i quali ET è prossimo al centro della banda proibita,

ET = (EC + EV)/2 ; in un semiconduttore di tipo p a temperatura ambiente (vedi fig. 23), F(ET)

è trascurabile. Inoltre, lo stesso risultato si sarebbe ottenuto considerando i centri come

puntiformi e gli elettroni dotati di sezione trasversa σn.

Concludendo, poiché identica trattazione si potrebbe fare per il caso delle lacune in

un semiconduttore di tipo n, i tempi di vita media delle cariche minoritarie nei due casi sono

date da:

per il semiconduttore di tipo n τp = (vth NT σp)-1

per il semiconduttore di tipo p τn = (vth NT σn)-1

I . 44

La velocità vth è dell’ordine di m/kT3 = 107 cm/sec a temperatura ambiente. Le

sezioni d’urto (in inglese "cross sections”) σp e σn sono dell'ordine di 10-15 cm2.

Esercizio: Per un semiconduttore di tipo n in cui τp = 10-6 sec, si calcoli la concentrazione

dei centri di ricombinazione. Si assuma σp = 5 x 10-15 cm2.

1.12 – Caratterizzazione dei materiali semiconduttori.

Con il termine “caratterizzazione” si intende quell’insieme di misure che servono per

identificare un dato materiale e conoscerne le caratteristiche. Nel caso dei semiconduttori

abbiamo già trovato delle relazioni (espressione della conducibilità, grafico della dipendenza

della mobilità in funzione della concentrazione totale delle impurità) che ci aiutano in questo

processo di identificazione; può rimanere però qualche ambiguità per quanto riguarda il tipo

di portatore libero che è maggiormente presente nel semiconduttore. Non è infatti possibile,

con i mezzi sinora a nostra disposizione, conoscere a priori se il semiconduttore sia di tipo

“p” o sia di tipo “n”, dato che l'espressione della conducibilità nei due casi è σp = q p µp e

σn = q n µn e numericamente queste due espressioni possono dar luogo allo stesso risultato.

1.12 a – L’effetto Hall

Allo scopo di identificare il tipo di semiconduttore, si utilizza il metodo basato

sull’impiego dell’effetto Hall, che fornisce direttamente attraverso una misura sperimentale

sia il tipo di portatore sia la concentrazione netta dei portatori della corrente.

Supponiamo inizialmente di disporre di una barretta di semiconduttore in cui sia

presente un solo tipo di portatore (n o p), immersa in un campo di induzione B (Wb/cm2)

con i versi delle coordinate spaziali (x, y e z) indicati nella fig. 25.

Supponiamo inoltre che in conseguenza della tensione applicata dall’esterno V scorra

nella barretta una corrente I. La forza di Lorentz che agisce sui portatori della corrente, siano

essi elettroni o lacune, è diretta verso il semiasse negativo delle y e vale :

Fy = q vp B

ovvero

I . 45

Fy = - q vn B

a seconda che i portatori della corrente siano lacune o elettroni.

E’ facile osservare che, sia che si tratti di elettroni, sia che si tratti di lacune, i portatori

mobili vengono sempre deflessi verso il basso in quanto cambiano di segno sia la carica sia

la direzione della velocità.

Allorquando le cariche libere vengono deflesse verso il basso, la superficie superiore

della barretta si carica positivamente (nel caso di drogaggio ND) o negativamente (nel caso

di drogaggio NA) per effetto degli ioni fissi non più compensati da una eguale densità di

cariche mobili presenti. Si forma così un doppio strato di cariche, che dà origine ad un

campo elettrico ortogonale alla faccia superiore della barretta; a regime, la forza dovuta a

questo campo elettrico e la forza di Lorentz, entrambi agenti sulle cariche mobili, si devono

bilanciare.

A questo campo elettrico corrisponde una differenza di potenziale VH, detta tensione

di Hall, misurabile tra le due facce della barretta con il voltmetro VA . Con il riferimento

indicato nella fig. 25, il valore positivo o negativo da esso indicato fornisce l’informazione

desiderata, nel senso che se la barretta è di tipo “p”, VH sarà positiva, se è di tipo “n”, VH

sarà negativa.

Se tra le dimensioni della barretta è verificata la disuguaglianza W << a , il campo

elettrico di Hall, EH , potrà considerarsi uniforme e diretto lungo y, di modulo pari a:

L

Fig. 25

B x

y

z

vn vp

V

VA

W

a

I +

-

I . 46

W

V H=HE

Se i portatori sono elettroni, l'equilibrio tra le due forze fornisce:

BvqW

qVn

H =

e da questa si ha:

BW

Vv H

n =

D’altronde, utilizzando l’espressione della densità di corrente trasportata per scorrimento

dagli elettroni, si ha:

WaI

vnqJ nn ==

Sostituendo in quest’ultima l’espressione della vn ricavata dalla precedente, si ottiene:

WaI

BW

Vnq H =

da cui la concentrazione di elettroni liberi risulta

HVaq

BIn =

Da misure di resistenza elettrica offerta dalla barretta:

σ

ρ

WaL

Wa

L

IV

R ===

e conoscendo le dimensioni geometriche della barretta, si risale alla conducibilità σ e da

questa alla mobilità data da

nqn

σµ =

I . 47

A formule analoghe si perviene se la barretta avesse avuto, come portatori, soltanto

lacune. Viene definito anche coefficiente di Hall o fattore di Hall la quantità

nq

1R H −= ovvero

pq1

R H −=

rispettivamente nei due casi.

La determinazione della tensione di Hall nel caso del semiconduttore intrinseco è più

complessa e per la sua analisi si rimanda alla letteratura specializzata. Possiamo solo

prevedere che in questo caso, dato che la tensione di Hall è proporzionale alla differenza

delle mobilità dei due tipi di portatori, il segno di VH è eguale a quello della barretta di tipo "n"

per la maggiore mobilità degli elettroni rispetto a quella delle lacune.

1.12 b – Il metodo delle 4 punte.

I materiali semiconduttori sui quali serve effettuare le misure di resistività si presentano

normalmente sotto forma di fette, ottenute per taglio di lingotti di vari pollici di diametro (oggi

siamo arrivati a circa 12 pollici) e successiva

lucidatura delle facce. Per misurare la

resistività delle fette di semiconduttore si

utilizza il metodo delle 4 punte (vedi fig. 26).

Tale metodo consiste nel creare un

campo di corrente all’interno della fetta

facendo circolare una corrente I costante e

nota attraverso le due punte esterne e

misurando la differenza di potenziale V che si

localizza fra le due punte interne.

La distanza s tra le punte deve essere

eguale; in tale ipotesi si possono verificare 3 casi:

1) Se W < s (semiconduttore sottile) la resistività vale:

IWV

IWV

532,42ln ≅=π

ρ

V

s s s

I

n

p W

Fig. 26

I . 48

2) Se W > s (semiconduttore spesso), si ha

I

Vs πρ

2=

3) Nel caso che W sia paragonabile ad s, si ha:

I

FWV532,4=ρ

avendo definito con F una funzione correttiva che ha l’andamento indicato in fig. 27 al

variare del rapporto W/s.

0,8

Fig. 27

W/s

F

1

0,6

1 2

0,9

0,7

I . 49

Tabella I.a

I . 50

Tabella I.b