Capitolo 6 introduzione alle opzioni finanziarie

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

Finanza Computazionale

Introduzione alla Valutazione dei Prodotti Derivati


Introduzione al pricing

Il principio di Arbitraggio

Il modello Binomiale

Il modello di Black e Scholes

Metodi alle Differenze Finite

Metodo Monte Carlo


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena

comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”.

Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo.

Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore.


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di

arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis).

Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo:

Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di

rischio.

E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio.


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di

arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione. La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter

ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;

Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio.


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio per

la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il rischio è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di natura.

L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati. Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore

denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) > Y(L).

Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T garantisce un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo stesso valore nei due stati del mondo.

Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo rischioso è Y(t).

Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di arbitraggio.


Un modello binomiale

Tempo t Tempo T Tempo T

Stato H L

Y(t) Y(H) Y(L)

X(t) X(H) X(L)

P(t,T) 1 1


Relazioni di arbitraggio tra i prezzi Formiamo un portafoglio selezionando

Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X Una posizione corta (vendita, segno -) in unità di Y

Se scegliamo

Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a

)()(

)()(

LYHY

LXHX

)()(

)()(

LYHY

LXHX

)()(

)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXHY

LYHY

LXHXHXHYHX

)()(

)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXHY

LYHY

LXHXHXHYHX

)()(

)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXLY

LYHY

LXHXLXLYLX

)()(

)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXLY

LYHY

LXHXLXLYLX

)()( tYtXAttualeValore )()( tYtXAttualeValore


Con questa scelta il valore del portafoglio è lo stesso sia in H che in L, indichiamolo con ;

Il portafoglio è quindi privo di rischio; infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo.

Come possiamo replicare questo portafoglio? Acquistando in t unità del titolo privo di rischio. Per il principio di assenza di arbitraggio due attività

finanziarie che hanno lo stesso valore ad un tempo futuro T, devono avere lo stesso valore anche oggi.

Relazioni di arbitraggio tra i prezzi


Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi Indicando con il valore del portafoglio

all’istante T, il principio di assenza di arbitraggio implica a t:

),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX

),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX


Un esempio importante:

Put call parity Consideriamo un’opzione call alla scadenza

C(T) = max(0, S(T) -K) essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price

(prezzo di esercizio)

… che può essere scritta nella forma C(T) = S(T) – min(S(T),K)

È facile verificare che le due scritture sono perfettamente equivalenti!


Dalla relazione precedente C(T) – S(T) = -min(S(T),K)

Allo stesso modo si può verificare per la put P(T) - K = -min(S(T), K)

Da questa relazione otteniamo C(T) + K = P(T) + S(T)

Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere valida anche oggi per cui

c(t) + K exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t)

Questa relazione è come put-call parity

Un esempio importante:

Put call parity


Relazioni arbitraggio tra i prezzi Riprendiamo la relazione di arbitraggio

X (t) = Y(t) + P(t,T)

Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo

scrivere X(H) = Y(H) + X(L) = Y(L) +

da cui: = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L))

= -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L))

Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e

raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo...


Relazioni arbitraggio tra i prezzi

LYHY

TtPtYHYL

LYHY

LYTtPtYH

LXLHXHTtPtX

,/

,/

,

con

LYHY

TtPtYHYL

LYHY

LYTtPtYH

LXLHXHTtPtX

,/

,/

,

con


La misura risk-adjusted Si noti che

Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H) *(H), *(L) > 0 *(H) + *(L) = 1 * è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è

Si può verificare agevolmente che Y(t) = P(t,T) E *[Y(T)]

N.B.: la misura * deriva dal non-arbitraggio

TXETtPLX1HXTtPtX ,, TXETtPLX1HXTtPtX ,,


Per analizzare le proprietà della misura di probabilità è immediato osservare che

dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul periodo da t a T.

La misura risk-adjusted

fR1TtP

11TXE

tX

1

1tX

TXE

tX

tXTXE

,)]([

)(

fR1TtP

11TXE

tX

1

1tX

TXE

tX

tXTXE

,)]([

)(


Sotto la misura di probabilità , quindi, il rendimento atteso del titolo rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio.

Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è pari al tasso privo di rischio!

Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità : sotto questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al rendimento del titolo privo di rischio.

E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere conto del loro livello rischio.

Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura aggiustata per il rischio".



Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il seguente. Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello privo di rischio come numerario. Definiamo così una nuova variabile

Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso

dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1. In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato utilizzando la misura

aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente. Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come proprietà di "martingala".

Per questo la misura di probabilità è nota anche come misura di martingala equivalente

(equivalent martingale measure, o EMM).

TtP

tXtZ

,

TtP

tXtZ

,

TZE

TTP

TXE

TtP

tXtZ

,,

TZETTP

TXE

TtP

tXtZ

,,



Il Teorema Fondamentale della Finanza

(Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983)Nel mercato non esistono possibilità di

arbitraggio se e solo se esiste una misura di probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo privo di rischio come numerario, sono martingale.

Se questa misura è unica, il mercato è detto completo.


Valutazione di un’opzione call

Tempo t Tempo T Tempo T

Stato H L

Y(t) Y(H) Y(L)

C (Y,t;T,K) Max(Y(H)-K,0) Max(Y(L)-K,0)

P(t,T) 1 1


Relazioni arbitraggio tra i prezzi Consideriamo un portafoglio con

Una posizione lunga in una unità di C Una posizione corta in unità di Y

Calcoliamo

Al tempo T Max(Y(H) – K,0) - Y(H) = Max(Y(L) – K, 0) - Y(L) =

)()(

],)(max[],)(max[

)()(

)()(

LYHY

0KLY0KHY

LYHY

LCHC

)()(

],)(max[],)(max[

)()(

)()(

LYHY

0KLY0KHY

LYHY

LCHC


Replica di un’opzione call Se K < Y(L) < Y(H)

= 1 e = - K

Se K > Y(H) > Y(L) = 0 e = 0

Se Y(L) < K < Y(H) 0 < < 1 e = -Y(H)

Replica di un’opzione call

C(Y,t;T,K) = Y(t) + P(t,T)







Metodo Monte Carlo



In ogni periodo assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni (Modello Binomiale);

Backward induction: partendo dalla data di scadenza del contratto derivato in cui si conosce il valore dell’opzione si risale verso la radice dell’albero calcolando ad ogni nodo la probabilità risk adjusted;


Il modello Binomiale Sia S il valore del sottostante e f il valore

dell’opzione scritta su di esso. Formiamo un portafoglio con una posizione

lunga in unità del sottostante e una corta in un’opzione call. Il valore del portafoglio nei due stati del

mondo sarà pari a

Sf

Su

fu

Sd

fd

d0

u0

fdS

fuS

d0

u0

fdS

fuS

Determiniamo il valore di che rende uguali questi due valori

dSuS

fffdSfuS

00

dud0u0

dSuS

fffdSfuS

00

dud0u0


Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso di rendimento risk-free.

Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero


rTu00

rTu00 efuSSfefuSfS rT

u00rT

u00 efuSSfefuSfS

sostituendo ...sostituendo ...

du

depfp1pfef

rT

durT

dove )( du

depfp1pfef

rT

durT

dove )(


Il modello Binomiale: Un Esempio Numerico

S = 5.414

f = 0.432

Su = 5.630

fu = 0.630

Sd = 5.2

fd = 0.2

Opzione CALL su ENEL

Data Valutazione 8/11/2003

Consegna 19/11/2003

Strike = 5.00

S = 5.414

Var% giornaliera = 1.18%

tasso risk free ~ 1%

Variazione a scadenza stimata al 4%

t = 11/365 ~ 0.03

4150fp1pfef durT .

2

0.20.630 )(

4150fp1pfef du

rT .2

0.20.630 )(

21080

040

080

960e

du

dep

030010rT

/.

.

.

...

21080

040

080

960e

du

dep

030010rT

/.

.

.

...


Y(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LH)

Y(LL)

Y(HL)

Y(HH)

Estensione a più periodi

1-

H

L

1-L

1-H


Bushy trees/Recombining trees Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero

solo dopo 100 steps genera

1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi

Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)

Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi


Recombining trees

Sostituendo un albero a cespuglio con un albero “ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri che portano allo stesso nodo

L’informazione può essere rilevante per valutare opzioni con pay-off path-dependent modelli della dinamica del tasso di interesse

Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per ridurre la crescita dei bushy-trees


Y(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LL)

Y(HL)Y(LH)

Y(HH)

Estensione a più periodi

1-

H

L

1-L

1-H


Generalizzazione a più livelli

Riprendiamo la definizione di

probabilità risk-neutral

Poniamo

Inoltre ricordiamo che

)()(

)(),(

)(

*LYHY

LYTtPtY

)()(

)(),(

)(

*LYHY

LYTtPtY

SdLY

SuHY

StY

)(

)(

)(

SdLY

SuHY

StY

)(

)(

)(

)(),( tTreTtP )(),( tTreTtP


Generalizzazione a più livelli

Possiamo quindi scrivere

Come determiniamo i fattori u e d? In funzione della volatilità del sottostante

La scelta d = 1/u garantisce che l’albero sia ricombinante (infatti con questa posizione si ha (Su)d = S)

teu

ud

1

du

de tr

*du

de tr

*


Generalizzazione a più Livelli

22

2

0

T

0

T

2

2

0

T

2

0

T2

0

T22

0

T

d1uS

SE

d1uS

SE

tS

SE

S

SEr

S

Sr1

S

Sr

)(

)(

)(

)(

22

2

0

T

0

T

2

2

0

T

2

0

T2

0

T22

0

T

d1uS

SE

d1uS

SE

tS

SE

S

SEr

S

Sr1

S

Sr

)(

)(

)(

)(

La scelta di u e d si giustifica ricordando che la volatilità del rendimento dell’azione, nel nostro modello deve essere pari a 2t


tr2tr

trtr2trtr

222

22

2222222

euddue

eudedudu

eu

du

de

du1ud2du1

ud12d11u

ud12d1ud1ur

)(

))(()(

))(())((

)()()(

)()()()(

tr2tr

trtr2trtr

222

22

2222222

euddue

eudedudu

eu

du

de

du1ud2du1

ud12d11u

ud12d1ud1ur

)(

))(()(

))(())((

)()()(

)()()()(

Generalizzazione a più Livelli

Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...

))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr ))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr


Generazione a più Livelli Verifichiamo che la posizione

porta al risultato desiderato. Sviluppando al primo ordine in t abbiamo infatti

da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)

tt edeu ,tt edeu ,

t2

1t1dt

2

1t1u 22 , t

2

1t1dt

2

1t1u 22 ,

t2t2

1t1t

2

1t1tr1

2dutr1

222

)(

))((

t2t2

1t1t

2

1t1tr1

2dutr1

222

)(

))((


Generazione dei valori per il sottostante

125.5

120.8

116.3 116.3

112 112

107.9 107.9 107.9

103.9 103.9 103.9

100 100 100 100

96.29 96.29 96.29

92.72 92.72 92.72

89.28 89.28

85.97 85.97

82.78

79.71

Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d.

s(0, 0) = PrezzoSottostanteFor n = 1 To NumeroSteps For j = n To 1 Step -1 s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1) Next j s(0, n) = d * s(0, n - 1)Next n


Generazione dei valori per l’opzione

25.62125.5

21.12120.8

16.8 16.48116.3 116.3

12.86 12.33112 112

9.482 8.763 8.013107.9 107.9 107.9

6.766 5.975 5.054103.9 103.9 103.9

4.691 3.941 3.073 1.968100 100 100 100

2.53 1.821 1.00696.29 96.29 96.29

1.058 0.514 092.72 92.72 92.72

0.263 089.28 89.28

0 085.97 85.97

082.78

079.71

For j = 0 To NumeroSteps V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)Next j

For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto Next jNext n


Opzioni Americane Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di

tipo europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza; Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la

scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale; Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra

il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro (continuation value)

il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)

For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _ * FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall)) Next jNext n


Esempio ProgrammazioneVBA


Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale







Metodo Monte Carlo



zStSS zStSS sottostante

Il prezzo dell’opzione deve essere una funzione di S e t pertanto per il lemma di Ito possiamo scrivere

zSS

ftS

S

f

t

fS

S

ff

222

2

2

1 zSS

ftS

S

f

t

fS

S

ff

222

2

2

1

I processi di Wiener da cui è influenzata la dinamica di f e di S sono gli stessi. Ne segue che scegliendo un portafoglio composto dall’azione e dal derivato il processo di Wiener può essere eliminato!


Ipotesi Non esistono opportunità di arbitraggio; Il prezzo del sottostante segue un moto geometrico

browniano; E’ consentita la vendita allo scoperto dei titoli; Non ci sono costi di transazione né tasse (no friction),

inoltre i titoli sono infinitamente divisibili; Non vengono pagati dividendi durante la vita dell’opzione; Il tasso risk-free e la volatilità sono costanti; L’opzione può essere esercitata soltanto alla scadenza

(opzione europea).




Il portafoglio appropriato è così composto

-1 unità del derivato + f/ S unità del sottostante

Per definizione il valore del portafoglio così composto è pari a

SS

ffS

S

ff

SS

ffS

S

ff

tSS

f

t

f

222

2

2

1 tSS

f

t

f

222

2

2

1


Il modello di Black e Scholes Dato che in quest’equazione non figura il termine

dz il portafoglio deve essere privo di rischio nell’intervallo dt.

Quindi il rendimento del portafoglio così composto nel prossimo intervallo di tempo deve essere uguale al tasso risk free sullo stesso periodo di tempo altrimento emergerebbero opportunità di arbitraggio

Ne segue che

tr tr



rfS

fS

2

1

S

frS

t

f

dtSS

ffrdtS

S

f

2

1

t

f

2

222

222

2


L’equazione di Black & Scholes L’equazione di Black & Scholes

ha molte soluzioni corrispondenti alle diverse condizioni al contorno che ossono essere definite.

Tali condizioni specificano il valore del derivato sui confini del dominio di integrazione rispetto a S e t.

Nel caso di un’opzione di tipo europeo le principali condizioni sono nel caso di una call:

e nel caso di una put:

rfS

fS

2

1

S

frS

t

f2

222

rf

S

fS

2

1

S

frS

t

f2

222

T t ),max( 0XSf T t ),max( 0XSf

T t ),max( 0SXf T t ),max( 0SXf


)()( 21 dNEedSNC rT

T

TrESd

)2/()/ln( 2

1

Tdd 12

)()( 21 dNEedSNC rT

T

TrESd

)2/()/ln( 2

1

Tdd 12

Tasso privo di rischio

Prezzo di EsercizioPrezzo del Sottostante

Volatilità del Sottostante

Tempo a Scadenza


dye2

1zN

z2y2

/)(

dye2

1zN

z2y2

/)(


Il modello di Black & Scholes

Utilizzando la put-call parity troviamo il valore della put nel modello di B&S

2rT

1

2rT

1

2rT

1

rT

dENdSN

dN1EdN1S

1dNE1dNS

ESTEtScallTEtSput

e

e

e

e ,;,,;,

2rT

1

2rT

1

2rT

1

rT

dENdSN

dN1EdN1S

1dNE1dNS

ESTEtScallTEtSput

e

e

e

e ,;,,;,


Delta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostate.

Gamma è il tasso di variazione del Delta dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostante.

Vega è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto alla volatilità dell’attività sottostante.

Theta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al tempo.

Rho è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al tasso privo di rischio.



Analisi di Sensitività con le greek letters :

S

f

S

f

put unaper ])([

call unaper )(

01dN1

1dN0

1

1


2

2

S

f

S

2

2

S

f

S

TS

dN 1

)(



2d1

21e

2

1tSdNtS

f /)(

2d1

21e

2

1tSdNtS

f /)(


put )(

call )(

2rT

2rT

dNTEe

dENTe

r

f

put )(

call )(

2rT

2rT

dNTEe

dENTe

r

f


La volatilità implicita Dato il prezzo di mercato di un’opzione,

Invertendo l’equazione di Black & Scholes possiamo ricavare la volatilità implicita nella quotazione.

L’inversione può essere effettuata solo con strumenti di calcolo numerico.

Nell’esempio in VBA utilizzeremo l’algoritmo di Newton-Raphson discusso a suo tempo per il tasso interno di rendimento.


La volatilità implicita Smile

Spesso sulla stessa azione sono quotate più opzioni con prezzi di esercizio e scadenza diversi;

Se il modello di Black & Scholes fose corretto le opzioni avrebbero prezzi differenti ma un identico valore per la volatilità implicita;

infatti è funzione dell’attività sottostante e non del prezzo di esercizio o del tempo;


La volatilità implicitaTuttavia è stato osservato che la volatilità implicita

per contratti con identica vita residua varia in

funzione del prezzo di esercizio!

18.00%

18.20%

18.40%

18.60%

18.80%

19.00%

19.20%

19.40%

19.60%

19.80%

20.00%

85.000 90.000 95.000 100.000 105.000 110.000 115.000


La volatilità implicita Smile

Di norma le opzioni “out” e “in” the money hanno un valore di volatilità implicita

maggiore di quelle at-the-money.

L’effetto, noto come volatility smile è accentuto per i contratti con scadenza breve ed

è quasi inesistente per quelli di lunga durata;

l’effetto smile contrasta con la teoria e rivela che il modello non è corretto;

il fatto che, dopo il crash del 1987, l’effetto sia più evidente ha indotto alcuni studiosi a

formulare l’ipotesi che il vero processo diffusivo dei prezzi sia a salti e non continuo.




Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni CallCalcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call


Volatilità Implicita Il metodo della secante

L’efficienza del metodo di Newton-Raphson dipende dalla volatilità iniziale scelta;

una procedura meno sensibile al valore iniziale di è il metodo della secante;

il primo passo da compiere è di scegliere due valori per , uno basso e uno alto.

Il valore basso b stima C(b) minore di C, il valore alto a stima C(a) maggiore di C.

La volatilità implicita risulta dalla seguente interpolazione lineare:

ba

babb1 CC

CC

ba

babb1 CC

CC


Volatilità Implicita Il metodo della secante

se il valore di C() ottenuto inserendo nel modello di Black & Scholes è inferiore al prezzo di mercato C, la nuova stima di è ottenuta sostituendo b con il valore della volatilità interpolata

Se il valore di C() ottenuto inserendo 1 nel modello è superiore al prezzo di mercato per la nuova stima di si sostituisce a a il valore della volatilità interpolata.

Quando C() coincide con C il processo iterativo termina è si è trovata la volatilità implicita.

Il metodo è in generale preferito a quello di Newton-Raphson perché non richiede la stima di Vega ad ogni iterazione.

1a

1a112 CC

CC

1a

1a112 CC

CC

Capitolo 6 introduzione alle opzioni finanziarie

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