Capitolo 5 richiami prob. stat. mercati fin

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

Finanza Computazionale

Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari


Introduzione ai Processi Stocastici

Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni

Generazione di Numeri Pseudo-Casuali

Dipendenza e Correlazione

Processi Stocastici

Dinamica del Prezzo di un’Azione


Probabilità

Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro.

Al di la delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno.


Probabilità

Sia nelle scienze naturali sia in quelle economiche si è soliti assumere che un certo evento sia il risultato di un ipotetico esperimento intendendo con questo termine l’insieme di tutte “le azioni e le condizioni ambientali che conducono al determinarsi di un fatto”.

E’ un esperimento la misura di una grandezza fisica, il lancio di un dado o di una moneta, il verificarsi o meno di un particolare stato di natura (es. l’indice MIB30 supera il livello 50.000).


Probabilità Indicheremo con

un particolare stato di natura esito di un dato esperimento e con

l’insieme di tutti gli stati possibili (spazio campione).

Il concetto di evento é associato al verificarsi di uno o più stati di natura, esso verrà pertanto rappresentato come sottoinsieme di . Lo spazio degli eventi, A, è quindi una famiglia di sottoinsiemi di caratterizzata dalle seguenti proprietà:

1. A;2. se l’evento A allora anche il suo complemento -

A;3. se n A, allora n A


Probabilità Esempio – consideriamo l’esperimento aleatorio per antonomasia: il lancio di

un dado. In questo caso lo spazio campione è formato dall’insieme dei sei numeri che possono risultare dal lancio stesso

Vediamo il significato di alcuni elementi di A.

Ad esempio l’elemento

corrisponde all’evento “il numero risultante dal lancio è minore o uguale a 2”. Altri elementi sono

vale a dire “il numero risultante è dispari”, e

cioè “il numero uscente è pari”.

6 5, 4, 3, 2, , 1 6 5, 4, 3, 2, , 1

2,11 2,11

5,3,12 5,3,12

6,4,23 6,4,23


Probabilità

Definiamo funzione di probabilità una funzione P a valori reali che soddisfa le seguenti proprietà:

se gli n sono a due a due disgiunti. Osserviamo che una funzione di probabilità così definita è

anche una misura. La terna (, A , P) viene detta spazio di probabilità.

11

1)(

,0)(

nn

nn PP

P

AP

11

1)(

,0)(

nn

nn PP

P

AP


Probabilità L’interpretazione geometrica

1)( P 1)( P L’area complessiva è uguale a 1

11 nn

nn PP

11 nn

nn PP

L’area di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva

1

2

3

4

L’area di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici

AP ,0)( AP ,0)(



Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni



Processi Stocastici



Variabili Aleatorie

Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione

Può esservi una certa confusione fra il concetto di variabile stocastica e quello di evento. Se in un determinato “esperimento” si è interessati unicamente al valore che una determinata grandezza può assumere allora effettivamente il valore di questa grandezza descrive compiutamente l’evento.

In questo caso il valore assunto dalla variabile aleatoria, x, si chiama “campione” della variabile aleatoria X e può essere pensato come una sorta di “etichetta” dell’evento e(x) definito dalla relazione

:X :X

xXxe : )( xXxe : )(


Variabili Aleatorie Potremmo poi pensare di definire la funzione distribuzione di probabilità della

variabile aleatoria X come la probabilità corrispondente all’evento caratterizzato da un ben definito valore di X

Se la funzione X può assumere solo valori discreti, la definizione appena data è legittima, tuttavia se X è una funzione a valori continui, la probabilità di ottenere come risultato un qualunque valore prefissato è nulla.

L’evento a cui, in ogni caso, possiamo assegnare probabilità non nulla è l’evento corrispondente al caso in cui la variabile aleatoria X non supera un livello prefissato

Abbiamo pertanto la seguente definizione di variabile aleatoria …

xXPxXPxFX : xXPxXPxFX :

ArX : ArX :


Variabili aleatorie Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o

casuale viene definita come una funzione

tale che per ogni numero reale r si abbia

La funzione

definita sull’insieme dei numeri reali, viene detta funzione di distribuzione cumulata o, più semplicemente, funzione di distribuzione.

ArX : ArX :

xX PxXPxFX : xX PxXPxFX :

:X :X


Variabili Aleatorie Una variabile aleatoria è detta discreta se l’insieme dei valori che può assumere è

numerabile. Sia (, A , P) uno spazio di probabilità e X una variabile aleatoria discreta. Definiamo la funzione di probabilità come

La funzione di probabilità e la funzione di distribuzione sono legate dalla relazione:

Il lancio di un dado rappresenta una

tipica variabile aleatoria discreta

altrimenti:0

,....2,1 qualcheper , se:)()(

ixxxXPxf i

X

xx

iXXi

xfxF )()(


Variabili Aleatorie Una variabile aleatoria X è detta continua se esiste una funzione

reale fX tale che per ogni x reale sia soddisfatta la relazione

Nei punti in cui la funzione di distribuzione è derivabile vale anche la relazione inversa

La funzione f(x) in questo caso viene detta funzione densità di probabilità (o semplicemente funzione densità).

x

XX dyyfxF )()(

dx

xdFxf X

X)(

)(



Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni



Processi Stocastici



Momenti Il valor medio o valore di aspettazione di X, che indicheremo con , è

definito come

In generale si definisce momento dall’origine (o momento grezzo) di ordine r, e si indica, la media della variabile aleatoria Xr.

La definizione è naturalmente applicabile solo nel caso in cui tale media sia finita.

)( i

iXiX xfxXE )( i

iXiX xfxXE


Momenti

In pratica vengono comunemente utilizzati i primi quattro momenti:

media varianza skewness (o asimmetria) curtosi


Momenti La varianza di X, indicata con , è la media degli scarti quadratici

rispetto alla media e rappresenta una misura di dispersione di X.

La sua radice quadrata è detta deviazione standard.

La varianza è definita da

Da cui è immediato ricavare

Uno stimatore della varianza è dato da

i

iXXiX xfx )(22

222 XEXEX

)1(

1

2

1

2

nn

xxn

s

n

i

n

iii

)1(

1

2

1

2

nn

xxn

s

n

i

n

iii


Il significato della deviazione standard Due serie storiche di cui la seconda ha standard deviation doppia

dell’altra...

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


Il significato della deviazione standard ... e le rispettive distribuzioni di probabilità!

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-2.00 -1.18 -0.37 0.45 1.27

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-2.00 -1.18 -0.37 0.45 1.27


Momenti Il momento centrale di ordine 3 ci dà informazioni sul grado di asimmetria di

una distribuzione attorno alla sua media ed è comunemente indicato col termine skewness.

L'asimmetria positiva indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più positivi.

L'asimmetria negativa indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più negativi.

Uno stimatore di questa grandezza è dato da

in cui s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio.

n

i

i

s

xx

nn

n

1

3

)2)(1(


Momenti La relazione tra

momento del terzo ordine e coefficiente di asimmetria, solitamente indicato con 1/2, è data da

Valori positivi dell’asimmetria indicano che la distribuzione è asimmetrica per valori crescenti della variabile x (a destra) mentre un’asimmetria negativa sta ad indicare una distribuzione asimmetrica a sinistra.

33

1


Momenti Vediamo infine la curtosi, indicata con 2, di un insieme di dati. Essa è legata al momento centrale di ordine 4 dalla relazione

ed è caratteristica delle cosiddette “code grasse”.

Gli stimatori comunemente utilizzati riportano in realtà la cosiddetta “curtosi in eccesso” ovvero la differenza fra e 3.

Questo è dovuto al fatto che la distribuzione normale o gaussiana ha curtosi pari a 3 e questo indicatore viene spesso utilizzato come indice per comprendere quando la distribuzione di un insieme di dati si allontani dalla normalità.

44

2


Momenti La formula utilizzata per lo stimatore è riportata sotto; s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio.

Nell’immagine un esempio di distribuzione empirica dei rendimenti di un titolo in cui si evidenzia il fenomeno della “leptocurtosi” (code grasse)

)3)(2(

13

)3)(2)(1(

)1( 2

1

4

nn

n

s

xx

nnn

nn n

i

i


Momenti Si possono facilmente generalizzare al caso continuo i risultati

per le distribuzioni discrete.

Il valore di aspettazione sarà pertanto definito come

In cui l’integrazione è estesa al dominio di definizione della variabile che può variare a seconda del tipo di distribuzione.

In maniera analoga si generalizzano le definizioni di varianza e degli altri momenti.

)(

)( ][xD

X dxxfxXE


Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari Come vedremo più avanti la grandezza di cui siamo

interessati a stimare le caratteristiche statistiche non è il prezzo di un titolo ma la sua variazione percentuale (rendimento);

In prima approssimazione possiamo ipotizzare che il rendimento di un titolo azionario sia distribuito in maniera normale;

In realtà quest’assunzione è fortemente criticabile anche se di impiego quasi universale in pratica;

La distribuzione effettiva dei rendimenti tende ad essere leptocurtotica


Dalla serie storica dei prezzi a quella dei rendimenti

Il primo calcolo che dobbiamo fare è quindi quello di trasformare la serie storica dei prezzi in serie storica dei rendimenti del titolo o della generica attività finanziaria: sia

n il numero di osservazioni; Si il prezzo dell’azione alla fine dell’i-esimo intervallo (i = 0,1,..,n); la lunghezza dell’intervallo in anni

Indichiamo con ui il tasso di rendimento composto continuamente non annualizzato relativo all’intervallo considerato

S

S

S

Su

i

ii

1

lnS

S

S

Su

i

ii

1

ln


La Stima della Volatilità Una stima della deviazione standard è data da

Questa è una stima della volatilità giornaliera, per ottenere una stima della

volatilità annualizzata occorre moltiplicare per la radice quadrata del numero di

giorni lavorativi in un anno.

Scegliere un valore per n non è facile, in generale più dati si usano e maggiore è

l’accuratezza. Tuttavia cambia nel tempo e i dati troppo vecchi possono non

essere rilevanti per prevedere il futuro.

Un compromesso che sembra funzionare abbastanza bene è quello di utilizzare i

prezzi di chiusura giornalieri degli ultimi 90-180 giorni.

n

1i

2n

1ii

2i

n

1i

2i u

1nn

1u

1n

1uu

1n

1s

)(

n

1i

2n

1ii

2i

n

1i

2i u

1nn

1u

1n

1uu

1n

1s

)(


Stima della volatilità Si noti che la volatilità così stimata è una volatilità che si

riferisce al periodo della serie storica Es. se abbiamo una serie di rendimenti giornalieri, la volatilità

sarà la volatilità giornaliera del rendimento; Occorre riportare ad un’unità di misura comune;

Es. per ricondurre tutto a volatilità annuali, sotto opportune ipotesi statistiche, occore moltiplicare per la radice del numero di giorni lavorativi

250dy

Volatilità annualeVolatilità giornaliera

Nr. Giorni Lavorativi in un Anno


Esempio ProgrammazioneVBA


Distribuzione dei Rendimenti di un Indice AzionarioDistribuzione dei Rendimenti di un Indice Azionario



Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni



Processi Stocastici



Distribuzioni Discrete Distribuzione Uniforme

Sia X una variabile aleatoria che assume valori nel dominio dei numeri naturali 1, 2, ... , n. Diremo che tale variabile ha una distribuzione uniforme se risulta

Valor medio e varianza sono dati da:

altrimenti

nxnnxfxf XX :0

,,2,1:1),()(

2

1

2

)1(1][

1

n

n

nni

nXE

n

i

12

1

4

)1(

6

)12)(1(

4

)1(1][][

22

1

22222

nnnnnni

nXEXE

n

iX


Distribuzioni Discrete Distribuzione Binomiale

Dati n eventi indipendenti, tutti con uguale probabilità p, sia X la variabile casuale che conta il numero totale di eventi che si verificano fra quelli possibili.

X ha una distribuzione binomiale con parametri n e p. La funzione di probabilità è

per i = 0, 1, 2, ..., n

valor medio e varianza sono dati daFunzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata Binomiale per il caso n = 6 e p = 0.5

iniX pp

ini

nif

)1(

)!(!

!)(

npXE

)1(2 pnpX


Distribuzioni Discrete Distribuzione di Poisson

Esistono numerosi eventi che accadono nel tempo con cadenza del tutto irregolare.

Il numero di telefonate in arrivo ad un centralino, il numero di clienti che si presentano allo sportello di un ufficio, il numero di auto che giungono ad un casello autostradale sono tutti chiari esempi di questo tipo di processi.

Indichiamo con il numero medio di occorrenze nell’unità di tempo e supponiamo che siano soddisfatte le seguenti proprietà: La probabilità di avere esattamente un’occorrenza in un intervallo di tempo dt di

ampiezza trascurabile è dt a meno di infinitesimi di ordine superiore mentre la probabilità di avere più di un’occorrenza è trascurabile;

I numeri di occorrenze in intervalli temporali disgiunti sono indipendenti. Consideriamo la variabile aleatoria X che rappresenta il numero di occorrenze in

un dato intervallo . Dividiamo l’intervallo in n sotto-intervalli di ampiezza t / n. La probabilità di avere esattamente una occorrenza all’interno di uno di questi sotto-intervalli è per le ipotesi fatte pari a t / n; per la proprietà dell’indipendenza, e ricordando la definizione della distribuzione binomiale, otteniamo che la probabilità di k occorrenze è data da (a meno di infinitesimi di ordine superiore)

knk

k

knk

n

t

n

tt

nk

knnn

n

t

n

t

k

nkXP

11)(

!

)1()1(1)(


Distribuzioni Discrete Supponiamo ora che n tenda

all’infinito, per le ipotesi fatte la probabilità di occorrenza all’interno di un intervallo dt tende a zero ma il prodotto n dt è pari ad una costante = t, otteniamo così la cosiddetta distribuzione di Poisson

con x = 0, 1, 2, ...

La media e la varianza di una distribuzione di Poisson coincidono e sono entrambe pari al parametro . Funzione di Probabilità e

Distribuzione Cumulata di Poisson per = 9

!);()(

x

exfxf

xx

XX


Distribuzioni Continue Distribuzione Uniforme

Diremo che una variabile aleatoria X è uniformemente distribuita nell’intervallo reale [a, b] se la sua funzione di distribuzione cumulata è data da

a cui corrisponde una funzione densità di probabilità data da

La distribuzione uniforme gioca un ruolo particolarmente importante nei metodi di simulazione in quando per generare le diverse distribuzioni si parte usualmente da generatori di variabili casuali uniformi.

bx se

bxa seab

axax se

xFX

1

0

)(

bx se

bxa seab

ax se

xf X

0

10

)(


Distribuzioni Continue Distribuzione Normale

Una delle funzioni più importanti, sia nella teoria sia nella pratica, è la distribuzione normale o gaussiana la cui funzione densità è data da:

dove i parametri e sono rispettivamente la media e la deviazione standard.

Una variabile aleatoria viene detta distribuita secondo una normale standard se la media è 0 e la standard deviation è 1.

Durante il corso utilizzeremo anche una notazione abbastanza diffusa tramite la quale si indica che una generica variabile aleatoria X è distribuita come una normale con media e varianza 2: X ~N( , ).

2

2

2

2

1),;()(

x

XX exfxf


Distribuzione Normale Media e Varianza

Distribuzione Normale e Binomiale


Rapporto fra distribuzioni e istogramma Non dimenticate che la

densità di probabilità rappresenta la frazione di valori che cadono all’interno di un certo intervallo della variabile aleatoria:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0.031 -0.025 -0.019 -0.014 -0.008 -0.002 0.003 0.009 0.015 0.02

tot

tot

NxxfN

xxfN

N

)(

)(


Distribuzioni Continue Distribuzione LogNormale

Sia X una variabile aleatoria con distribuzione normale, allora la variabile z = eX definisce una variabile aleatoria con distribuita in maniera log-normale.

Se la variabile X ha media e standard deviation , allora la funzione densità di probabilità di z è data da

con z > 0. La media e la varianza della variabile Z possono essere espresse in funzione dei corrispondenti momenti di X tramite le relazioni

avendo posto .

22

ln2

1

2

1)(

z

Z ez

zf

2

2

1

][

eZE )1(1 222 22

eeeZ

1)exp( 2


Distribuzioni Continue I fattori di asimmetria e curtosi

sono dati rispettivamente da

Notate che per valori di non nulli, sia l’asimmetria è sempre maggiore di zero e la curtosi è sempre maggiore di 3. Questo vuol dire che la distribuzione log-normale è sempre asimmetrica a destra e leptocurtica.

21 2/11

332 2342



Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni



Processi Stocastici



Esistono numeri casuali ? Come può un elaboratore, macchina totalmente

deterministica, generare numeri casuali e quindi per loro natura non deterministici?

La risposta è molto semplice: non può! I numeri sono generati per mezzo di qualche algoritmo per

cui non si può parlare di casualità essendo la sequenza predeterminata;

In compenso con un computer si possono generare sequenze di numeri che sembrino aleatorie


Generatori di Numeri Pseudocasuali Virtualmente tutti i generatori di numeri pseudo casuali impiegati in

pratica sono basati sul generatore lineare congruente

I parametri a, c ed m determinano la qualità del generatore. a viene

detto moltiplicatore, c incremento ed m è il cosiddetto modulo.

Il generatore appena visto genera numeri interi compresi fra 0 ed m.

Usualmente si utilizzano generatori di numeri casuali

uniformemente distribuiti fra 0 ed 1, per questo è sufficiente

scegliere

mcaJJ ii mod 1 mcaJJ ii mod 1

mJU ii / mJU ii /


Generatore Lineare Congruente La sequenza di numeri casuali si ripeterà dopo un

ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m. Il massimo intero rappresentabile su un computer la

cui lunghezza di parola è di L bit è 2L . Usualmente si sceglie

12m 1L 12m 1L


Vantaggi E’ molto veloce richiedendo pochissime operazioni per chiamata,

questo lo rende di uso universale;

Svantaggi Il più grosso svantaggio è rappresentato dalla presenza di

correlazione sequenziale; Può produrre risultati inaspettati quando viene usato per la

generazione di distribuzioni non uniformi.

Generatore Lineare Congruente


Generatore Lineare Congruente Se si generano n coppie di numeri casuali e si

associano ad esse n punti in un piano, i punti non si distribuiscono uniformemente ma tendono ad allinearsi lungo segmenti di retta.

0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1


Generatore Lineare Congruente La correlazione sequenziale può essere

facilmente rimossa con tecniche di mescolamento (“shuffling”);

Il numero prodotto allo step j non costituisce l’output j-esimo ma viene utilizzato per l’output ad uno step successivo scelto in maniera casuale;


Generazione di distribuzioni Uniformi

Microsoft Excel

La funzione Rnd() restituisce un valore numerico di tipo Single che contiene un numero casuale.

La sintassi è la seguente:

Rnd[(num)] L'argomento facoltativo num può essere un valore Single o una qualsiasi

espressione numerica valida. I valori restituiti dalla funzione dipendono dal valore passato come argomento.

Per ogni base iniziale specificata, viene generata la stessa sequenza di numeri, in quanto ogni successiva chiamata alla funzione Rnd() utilizza il numero casuale precedente come base per il numero successivo nella sequenza. In particolare

se il parametro num è minore di zero Rnd() genera sempre lo stesso numero, utilizzando num come base;

se num è maggiore di zero viene restituito il successivo numero casuale nella sequenza; se num è uguale a zero viene restituito il numero generato per ultimo; infine se il parametro in input viene omesso, Rnd() restituirà il successivo numero casuale nella

sequenza.


Prima di richiamare Rnd(), è consigliabile utilizzare l'istruzione Randomize senza argomento per inizializzare il generatore di numeri casuali con una base connessa al timer del sistema con la seguente sintassi

Randomize[(numero)]

Randomize utilizza il parametro numero per inizializzare il generatore di numeri casuali della funzione Rnd() assegnandogli un nuovo valore base. Se numero viene omesso, il valore restituito dal timer di sistema verrà utilizzato come nuova base.

Ricordate che la funzione Rnd() restituisce un valore minore di 1 ma maggiore o uguale a

zero. Per generare interi casuali in un dato intervallo, utilizzare la seguente formula:

Int((limitesup - limiteinf + 1) * Rnd + limiteinf)

dove limitesup indica il numero maggiore presente nell'intervallo, mentre limiteinf indica il numero minore.

Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft Excel




Generazione di Numeri CasualiIl Generatore Lineare Congruente Generazione di Numeri CasualiIl Generatore Lineare Congruente


Metodo della trasformazione inversa Da un generatore di numeri

distribuiti uniformemente si possono ricavare numeri distribuiti secondo una densità di probabilità prefissata.

SCOPO: generare un campione di numeri Z distribuiti in accordo ad una funzione di distribuzione assegnata F(z).

INPUT: deve essere possibile valutare la funzione inversa di F(z).

OUTPUT: Z. METODO: Generare un set di

numeri casuali U uniformemente distribuiti fra 0 ed 1 e per ciascuno di questi calcolare Z = F-1(U)

Z


Transformation MethodSia x una variabile aleatoria distribuita uniformemente fra 0 e 1, supponiamo di voler generare una variabile aleatoria con densità di probabilità g(y) essendo y=y(x).Dovremo avere

La soluzione di questa equazione differenziale è

)(

)()(

xFy

dzzfyFx

1

y

)(

)()(

xFy

dzzfyFx

1

y

dy

dxygdxdyyg )()(

dy

dxygdxdyyg )()(


Variabili Normali Univariate

Microsoft Excel

INV.NORM(). Restituisce l'inversa della distribuzione normale cumulativa per la media e la deviazione standard specificate. La sintassi é

INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)

dove

probabilità è la probabilità corrispondente alla distribuzione normale, media è la media aritmetica della distribuzione,

dev_standard è la deviazione standard della distribuzione.

INV.NORM utilizza una tecnica iterativa per il calcolo della funzione. Dato un valore di probabilità, INV.NORM applica il metodo delle iterazioni fino a quando la precisione del risultato non rientra in ± 3x10^-7. Se il risultato di INV.NORM non converge dopo 100 iterazioni, la funzione restituirà il valore di errore #N/D.



Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni



Processi Stocastici



Misure di co-dipendenza

Distribuzioni Marginali Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la funzione di densità

marginale di x è definita come

E, analogamente,

)(

),()(yD

x dyyxx )(

),()(yD

x dyyxx

)(

),()(xD

y dxyxy )(

),()(xD

y dxyxy



Indipendenza Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro

funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto delle densità marginali

)()(),( , yxyxtiindipendenyx yx )()(),( , yxyxtiindipendenyx yx


Correlazione Lineare Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra

due variabili x ed y


2222

,

)()()()(

)()(),(

)()(

),cov(

dyyydyyydxxxdxxx

dyyydxxxdxdyyxxy

yx

yx

yyxx

yx

yx

2222

,

)()()()(

)()(),(

)()(

),cov(

dyyydyyydxxxdxxx

dyyydxxxdxdyyxxy

yx

yx

yyxx

yx

yx


Covarianza Date due variabili aleatorie X ed Y con varianza finita, si definisce

covarianza la quantità definita da

Se la covarianza è nulla le due variabili si dicono non correlate. Solitamente

viene introdotto un coefficiente di correlazione definito come

I cui valori massimi e minimi dipendono dal tipo di distribuzione considerata.

uno stimatore della covarianza è dato da

][][][),( YEXEXYEYXCovXY

YX

XYXY

n

iYiXi yx

n 1

))((1

n

iYiXi yx

n 1

))((1


Correlazione positiva

-8.00%

-6.00%

-4.00%

-2.00%

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

-8.00% -6.00% -4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00%

Bancari

Ind

ust

rial

i


Correlazione negativa

-0.80%

-0.60%

-0.40%

-0.20%

0.00%

0.20%

0.40%

0.60%

0.80%

-10.00% -8.00% -6.00% -4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00%

Azioni Italia

Ob

b.

Ital

ia


Variabili Normali Multivariate Cholescky Decomposition

Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata .

Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone

Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n n tale che

AXY AXY

tAA tAA


N

j

N

j kjkjikijjij

N

j kjkjikij

N

jjijii

N

jjiji

N

jjiji

ij

jij

ii

axxaaxa

xxaaxa

xayyyy

xayxay

1

2

1

22

1

22

2

1

2222

11

2

2

)(

0

Variabili Normali Multivariate

1)(22 jj xx

AXY AXY

0),cov( kjkj xxxx


Cholescky Decomposition

La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato . Se la matrice è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.

Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00



Cholescky Decomposition

Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative

Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo

1

1

2i

kikiiii aa

1

1

2i

kikiiii aa

1

1

1 i

kjkikij

iiji aa

aa

1

1

1 i

kjkikij

iiji aa

aa

2

22

1

1

0

A

2

22

1

1

0

A





Generazione di Numeri CasualiDistribuzione Normale BivariataGenerazione di Numeri CasualiDistribuzione Normale Bivariata



Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni



Processi Stocastici



Processi stocastici

Consideriamo una successione discreta di istanti di tempo t1, t2, … , tn.

In generale possiamo descrivere il comportamento di un sistema che evolve nel tempo in maniera imprevedibile tramite una corrispondente sequenza di variabili aleatorie

X1, X2, ..., Xn.

Parleremo in questo caso di processo stocastico discreto. Naturalmente possiamo anche definire processi stocastici nel tempo

continuo sia su un dominio finito, come ad esempio [0, 1], sia su un dominio infinito, ad esempio [0, ).


Processi stocastici Da un punto di vista formale consideriamo uno spazio di probabilità (, A , P) e un

insieme non vuoto, T, i cui elementi sono gli istanti che vengono presi in considerazione. Definiamo processo stocastico una funzione di due variabili

tale che

è una variabile aleatoria per ogni t. La funzione

viene chiamata realizzazione o traiettoria del processo stocastico considerato. Ogni realizzazione in pratica non è altro che un’osservazione dell’evoluzione temporale

della quantità descritta dal processo.

RTX : RTX :

.),()( tXtX .),()( tXtX

RT X :,. RT X :,.


Processi stocastici


Processi stocastici Se assumiamo che un processo stocastico soddisfi le tre condizioni

esso è definito diffusivo.

I parametri e , che possono essere costanti o funzioni di Y e t,

sono definiti drift e parametro di diffusione (diffusion) del processo.

La terza condizione esclude la presenza di salti nel processo.

0Prlim

lim

lim

0

2

0

0

tYhtY

h

tYhtYVARh

tYhtYE

h

h

h


Processi stocastici Un particolare tipo di processo diffusivo che utilizziamo per costruire i

processi stocastici è il processo di Wiener w(t).

Tale processo è definito dalla seguente proprietà:

l’incremento w(t + h) – w(t), condizionale all’informazione disponibile in t (t), ha distribuzione di probabilità normale con media zero e varianza pari ad h.

L’utilità di questo strumento per la costruzione di processi stocastici è immediata. Un processo con drift e diffusione costanti e con Y(0) = 0 può essere rappresentato come...

tt

tdwdttY00


Processi stocastici ...o, nella notazione equivalente più usuale

nota come equazione differenziale stocastica. Quest’ultima notazione è puramente simbolica e serve ad esprimere la precedente relazione in maniera più compatta.

tdwdttdY


Processi stocastici

Dalla definizione del processo di Wiener è immediato ottenere che al tempo t + h la posizione di Y sarà descritta da una distribuzione normale con media pari a Y(t) + h e varianza pari a 2h.

Notiamo che questo è dovuto al fatto che il processo di Wiener è moltiplicato per un parametro di diffusione costante.


Processi di Wiener In particolare i modelli di comportamento dei prezzi azionari sono

espressi spesso ricorrendo ai cosiddetti processi di Wiener; Il comportamento di una variabile z che segue un processo di

Wiener può essere compreso se si esaminano le sue variazioni di valore in un piccolo intervallo di tempo dt. Proprietà 1

dz è legata a dt dalla relazione

dove epsilon è una variabile aleatoria N(0,1); Proprietà 2

I valori di dz in due qualsiasi intervalli di tempo dt diversi fra loro sono indipendenti

dtdz dtdz


Processi di Wiener Generalizzati Un processo di Wiener generalizzato per una variabile x può

essere così definito in funzione di dz

dove a e b sono costanti

Ricordando la prima proprietà dei processi di Wiener possiamo scrivere

bdzadtdx bdzadtdx

dtbadtdx dtbadtdx


L’Integrale di Ito Nello studio dei flussi d’informazione nei mercati finanziari, i tradizionali

strumenti forniti dall’analisi matematica risultano insufficienti. In particolare la nozione di integrale di Riemann-Stieltjes risulta inadeguata in

un contesto stocastico. Supponiamo infatti di voler calcolare

Se la variabile S è una variabile deterministica il risultato dell’integrazione com’è noto è

0 , 0

0

SdSST

ttConsideriamo la

somma...

1

1

,

1

iii

N

itt

tt

SSSiii

2

0 2

1t

T

tt SdSS Si noti che questo risultato si ottiene facendo tendere N all’infinito nella somma sopra riportata qualunque sia la scelta di 1, iii tt


L’Integrale di Ito Se invece S è una variabile aleatoria lo stesso procedimento non può essere

utilizzato! Infatti la quantità

non è conosciuta al tempo ti-1.

Inoltre non è possibile effettuare un passaggio al limite nel senso classico del termine sempre per il fatto che abbiamo a che fare con variabili aleatorie per le quali vanno definiti opportuni criteri di convergenza.

Nella definizione di Integrale di Ito, come vedremo, si usa il criterio della convergenza in media quadratica e il risultato finale è diverso da quello che ci aspetteremmo nel caso classico deterministico;

Anche il concetto di differenziale classico risulta inadeguato in campo stocastico.

1

iii tt SSS


L’Integrale di Ito Infatti, ad esempio, il moto browniano non è differenziabile in alcun

punto e quindi non è derivabile rispetto al tempo; Il punto cruciale è che nel calcolo differenziale classico gli incrementi

del secondo ordine come (S)2 sono trascurabili rispetto a quelli del primo ordine quando S tende a zero e il differenziale di una funzione composta, al primo ordine risulta semplicemente dato da

Possiamo estendere questo semplice risultato al caso stocastico? NO! Il motivo è il seguente: se S è una variabile casuale, assumere che in

media (S)2 sia trascurabile equivale a supporre che la varianza di S sia nulla, ovvero a ritenere S una variabile deterministica!

dStSFS

dttSFt

df ),(),(


L’Integrale di Ito Per chiarire meglio questo concetto, supponiamo che St segua un

processo browniano,

Supponiamo poi di voler analizzare l’andamento nel tempo di una generica funzione di S e t, anticipando i concetti di convergenza in media quadratica possiamo dire che simbolicamente

Pertanto i termini del secondo ordine in S non possono essere trascurati in un’approssimazione del primo ordine in quanto risultato essere analoghi a termini al primo ordine nel tempo!

tt dWdS

dtdWtWE tt 22


Lemma di Ito Per valutare l’incremento di una funzione trascurando i termini di

ordine superiore al primo nel tempo dobbiamo pertanto scrivere

Si noti che c’è un termine aggiuntivo in più rispetto al differenziale del calcolo classico;

Tale termine scompare se = 0 ovvero se la variabile non è aleatoria!

Il calcolo differenziale stocastico nasce con lo scopo di dare significato alle equazioni differenziali contenenti termini differenziali stocastici;

),(2

1),(),( 2

2

2

dttSfS

dttSft

dStSfS

df


Lemma di Ito...se fosse valido il calcolo differenziale classico

dztSS

fdttS

S

f

t

f

dtt

fdztS

S

fdttS

S

fdf

dztSdttSdS

dtt

fdS

S

fdf

tSff

),(),(

),(),(

),(),(

),(


Lemma di Ito Se il valore di S segue un processo di

Ito

Allora il valore di una generica funzione di S segue la dinamica descritta da

dztSdttSdS ),(),( dztSdttSdS ),(),(

dzS

ftSdt

S

ftS

2

1

S

ftS

t

fdf

2

22

),(),(),( dzS

ftSdt

S

ftS

2

1

S

ftS

t

fdf

2

22

),(),(),(


Lemma di Ito Un caso speciale

dztSdttSdS ),(),( dztSdttSdS ),(),(

dzS

ftSdt

S

ftS

2

1

S

ftS

t

fdf

2

22

),(),(),( dzS

ftSdt

S

ftS

2

1

S

ftS

t

fdf

2

22

),(),(),(

Sf ln 22

2

S

1

S

f

S

1

S

f0

t

f

dzdt2

1Sd 2

ln



Probabilità

Variabili Aleatorie

Momenti

Distribuzioni



Processi Stocastici



Un processo per i prezzi azionari Come abbiamo visto i rendimenti di un titolo

possono, in prima approssimazione, essere considerati normalmente distribuiti;

Da un punto di vista formale questo equivale ad ipotizzare la seguente relazione

zsmS

SSR

i

iii

1

1

MEDIA

STANDARD DEVIATION

VARIABILE ALEATORIA N(0,1)


Vediamo quali sono le proprieta di scalabilità temporale della media e della

varianza;

Se la varianza del prezzo fosse sempre nulla detto il tasso di rendimento

istantaneo atteso, quello che ci si aspetta è

S = S0et

in quanto il possesso del titolo equivale in questo caso ad un deposito

bancario (volatilità nulla = risk free)

Ma questa relazione è soluzione dell’equazione differenziale

dS/S= dt

Quindi possiamo porre

Un processo per i prezzi azionari

tm



Quindi possiamo porre

La volatilità quindi varia come la radice quadrata del tempo, questo è equivalente ad assumere che la componente stocastica sia descritta da un processo di Wiener.

tst

TNRR

Ns

N

ii

,)(1

1

1

2

ts


Riassumendo

dove S è la variazione di prezzo nell’intervallo t e z è un numero casuale estratto da una distribuzione normale standard.

Un processo descritto da un’equazione del genere è detto MOTO GEOMETRICO BROWNIANO

ztStSS ztStSS


zsmS

S

S

SS

i

ii

1

1

tm ts


SdtSdtdS SdtSdtdS

dzdtSd

2)ln(

2

dzdtSd

2)ln(

2

Lemma di ItoLemma di Ito

tzt2S

SSSS

2

00

ln)ln()ln()ln( tzt

2S

SSSS

2

00

ln)ln()ln()ln(



Assunzione di log-normalità

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Densità Dist. Cumulata

Una variabile è distribuita in modo log-normale se il suo logaritmo naturale è distribuito secondo una normale


tzt2S

S 2

0

ln tzt

2S

S 2

0

ln

tzt

2SS

2

0 exp

tzt

2SS

2

0 exp





Generazione di Path StocasticiGenerazione di Path Stocastici

Capitolo 5 richiami prob. stat. mercati fin

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