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Capitolo 13 SPINTA DELLE TERRE

CAPITOLO 13 SPINTA DELLE TERRE

La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che, ancora oggi, nonostante l’enorme am-pliamento delle conoscenze, viene affrontato utilizzando due teorie “storiche”, opportu-namente modificate e integrate alla luce del principio delle tensioni efficaci: la teoria di Rankine (1857) e la teoria di Coulomb (1776). Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno, le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee, ed risultati che si ottengono applicando i metodi classici, specie per le condizioni di spinta passiva (resistente) sono spesso non cautelativi. È pertanto opportuno riferirsi, almeno per il calcolo della spinta passiva, al metodo di Ca-quot e Kérisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono super-fici di scorrimento curvilinee.

13.1 Teoria di Rankine (1857)

Si consideri un generico punto A alla profondità Z in un depo-sito di terreno incoerente (c’ = 0), omogeneo e asciutto (o co-munque sopra falda), avente pe-so di volume γ costante con la profondità, e delimitato supe-riormente da una superficie piana e orizzontale (Figura 13.1).

Z

A

v0

v00h0

σ γ’ = Z

σ σ’ = K ’

Figura 13.1 – Tensioni geostatiche in un deposito di terreno omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e orizzontale

Per ragioni di simmetria lo stato tensionale (geostatico) è assial-simmetrico. La pressione inter-stiziale è zero (terreno asciutto), per cui le tensioni totali ed effi-caci coincidono.

Nel punto A:

- la tensione verticale σ'v0 è staticamente determinata dalla condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale, e vale: σ'v0 = γZ;

- la tensione orizzontale σ'h0 è eguale in tutte le direzioni, non è staticamente determina-ta, e vale: σ'h0 = K0 σ'v0.

Il coefficiente di spinta a riposo, K0, può essere misurato sperimentalmente o più spesso stimato con formule empiriche1.

13 – 1

1Per la stima del coefficiente di spinta a riposo, K0, sono state proposte diverse equazioni empiriche, come già visto nel Capitolo 3, le più note e utilizzate delle quali sono:


Poiché di norma K0 è minore di 1, la tensione verticale σ'v0 corrisponde alla tensione principale maggiore σ'1, mentre la tensione orizzontale σ'h0 corrisponde alla tensione principale minore σ'3. Per simmetria assiale la tensione principale intermedia σ'2 è eguale alla tensione principale minore σ'3.

Sia la tensione verticale σ’v0 che la tensione orizzontale σ’h0 valgono zero in superficie (Z=0) e variano linearmente con la profondità Z, rispettivamente con gradiente γ e con gradiente K0 γ.

Assumiamo che il terreno abbia resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb:

' tan' φ⋅σ=τ (Eq. 13.1)

13 – 2

In Figura 13.2 è rappresentato nel piano di Mohr il cerchio corrispon-dente allo stato tensionale geostatico nel punto A e la retta inviluppo a rottura.

Supponiamo ora di inserire, a sini-stra e a destra del punto A, due pare-ti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo stato tensionale nel terreno (Figura 13.3). Alla generica profondità z, sui due lati di ciascuna parete, si esercita la tensione oriz-

zontale efficace σ'h0 = K0 γ z.

Cerchio O

σ’

φ’

τ

σ’h0 σ’ v0

Figura 13.2 – Stato tensionale geostatico nel punto A

La spinta orizzontale S0 (risultante delle tensioni orizzontali efficaci) presente sui due lati di ciascuna parete, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H, vale:

02

H

0

'0h0 KH

21dzS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫ (Eq. 13.2)

La profondità Z0 della retta di applicazione di S0, vale:

H32

S

dzzZ

0

H

0

'0h

0 ⋅=⋅⋅σ

=∫

(Eq. 13.3)

( )'sen1)NC(K 0 φ−≅per terreni NC:

e per terreni OC: 5,000 OCR)NC(K)OC(K ⋅≅

Per avere un’idea anche quantitativa dei valori di K0 si consideri che per φ’=30°, applicando le equazioni sopra scritte si stima: per OCR = 1 (terreno normalmente consolidato) K0 ≈ 0,50 per OCR = 2 (terreno debolmente sovraconsolidato) K0 ≈ 0,71 per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,00 per OCR = 10 (terreno fortemente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,58 ovvero, in un terreno NC la tensione geostatica orizzontale σ’h0 è circa la metà di quella verticale, per OCR = 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale σ’h0 di-viene tensione principale maggiore.


che corrisponde alla profondità del baricentro dell’area triangolare del diagramma di pres-sione orizzontale di altezza H e base K0 γ H.

Supponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti (Figura 13.4). Nel punto A permangono condizioni di simmetria, per cui le tensioni verticale ed orizzontali sono an-cora principali. La tensione verticale σ’v0 = γZ non varia, mentre la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente.

HS

K Hγ

A

h0σ’ h0

0

0

0

σ’ Z = 2/3 H

K Hγ0

A

v0

ha

σ’ σ’

Figura 13.3 – Spinta a riposo Figura 13.4 – Condizione di spinta attiva

Il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in A, si modifica di conseguen-za: la tensione principale maggiore σ’1 = σ’v0 rimane costante, mentre la tensione princi-pale minore σ’3 si riduce progressivamente dal valore iniziale σ’h0 al valore minimo com-patibile con l’equilibrio, σ’ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura (Figura 13.5). Il raggio del cerchio di Mohr dello stato di tensione limite attiva è R = ½ (σ’v0-σ’ha), ed il centro è ad una distanza dall’origine

Cerchio OCerchio A

σ’

φ’

π ϕ/4+ ’/2

τ

τ

σ’ha h0 σ’ v0

f

C

F

R

O σ’

Figura 13.5 – Stato tensionale attivo (limite inferiore)

OC = ½ (σ’v0+σ’ha).

Considerando il triangolo rettangolo OFC (Figura 13.5), si ha:

( ) ( ) 'sen21

21

'senOCFCR

'ha

'0v

'ha

'0v φ⋅σ+σ⋅=σ−σ⋅

φ⋅==

'0v

2'0v

'ha

'0v

'ha

2'

4tan

'sen1'sen1

)'sen1()'sen1(

σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=σ⋅φ+φ−

=σ

φ−⋅σ=φ+⋅σ

13 – 3


Il rapporto:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=φ+φ−

=2'

4tan

'sen1'sen1K 2

A (Eq. 13.4)

è detto coefficiente di spinta attiva.

Dunque si può scrivere: 'voA

'ha K σ⋅=σ (Eq. 13.5)

La tensione tangenziale critica, il cui valore τf è l’ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un ango-

lo di ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

2'

4 con la direzione orizzontale (Figura 13.5). In condizioni di rottura per rag-

giungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.6).

Z

A

A

v0

ha

f

f

σ’

τ

σ’ σ’

π φ/4+ ’/2

π φ/4+ ’/2

Figura 13.6 – Piani di scorrimento nella condizione di spinta attiva

La spinta orizzontale SA presente sui lati interni di ciascuna parete ideale, dal piano di campagna fino ad una ge-nerica profondità H (Figura 13.7), va-le:

S

ha

A

σ’

A

K HγA

Z = 2/3 HA

H

Figura 13.7 – Diagramma delle tensioni efficaci o-rizzontali in condizione di spinta attiva

A2

H

0

'hAA KH

21dzS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫

(Eq. 13.6)

Poiché anche in questo caso il dia-gramma di pressione orizzontale è triangolare, la profondità ZA della retta di applicazione di SA vale:

0A ZH32Z =⋅= (Eq. 13.7)

13 – 4


Se si suppone ora di avvicinare le due pareti verticali ideali, alla destra ed alla sinistra del punto A, la tensione verticale efficace non subisce variazioni mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo compatibile con il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Figura 13.8).

In tali condizioni la tensione verticale efficace, corrisponde alla tensione principale minore, σ’v0 = σ’3, e quella orizzontale, detta tensione limite pas-siva, σ’hp, alla tensione principale mag-giore, σ’hp = σ’1 (Figura 13.9).

A

v0

hp

σ’ σ’

Figura 13.8 – Condizione di spinta passiva

Procedendo in modo analogo a quanto già fatto per la condizione di spinta at-tiva, si ottiene:

'0v

2'0v

'hp 2

'4

tan'sen1'sen1

σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

=σ⋅φ−φ+

=σ

(Eq. 13.8)

Il rapporto:

A

2P K

12'

4tan

'sen1'sen1K =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

=φ−φ+

=

(Eq. 13.9)

è detto coefficiente di spinta passiva.

Cerchio O

Cerchio P

φ’π φ/4- ’/2

τ

τ

σ’

f

C

F

R

O σ’hpσ’ v0Cσ’ h0

Figura 13.9 – Stato tensionale passivo (limite superio-re)

Le tensioni tangenziali critiche agi-scono su piani che formano un ango-

lo di ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

2'

4 con la direzione oriz-

zontale (Figura 13.9). In condizioni di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite superiore (spinta passiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.10).

La spinta orizzontale SP presente sui lati interni di ciascuna parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 13.11), vale:

P2

H

0

'hPP KH

21dZS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫ (Eq. 13.10)

Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare la pro-fondità ZP della retta di applicazione di SP, vale:

0P ZH32Z =⋅= (Eq. 13.11)

13 – 5


I coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, rappresentano i valori limite, rispettiva-mente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale:

P'0v

'h

A KK ≤σσ

≤ (Eq. 13.12)

In particolare il valore del coefficiente di spinta a riposo, K0, è compreso tra il valore di KA e quello di KP.2

Z

A

A

v0

hp

f

f

σ’

τ

σ’

σ’

π φ/4 - ’/2π φ/4 - ’/2

Figura 13.10 – Piani di scorrimento nella condizione di spinta passiva

S

hp

P

σ’

A

K HγP

Z = 2/3 HP

H

Figura 13.11 – Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta passiva

2 Utilizzando per la stima di K0 le equazioni empiriche viste in precedenza si può constatare che i valori di K0 sono molto più prossimi al limite inferiore KA che al limite superiore KP. A titolo di esempio per φ’ = 30° si stima: KA = 0,333; K0 = 0,5; KP = 3

13 – 6


13.1.1 Osservazioni sperimentali sull’effetto del movimento della parete sul diagramma di pressione orizzontale

La distribuzione delle pressioni orizzon-tali dipende dal movimento della parete. In Figura 13.12 sono qualitativamente mostrati i diagrammi di pressione oriz-zontale contro una parete rigida in fun-zione del movimento della parete. Inol-tre, è stato sperimentalmente osservato (Tabella 13.1 e Figura 13.13) che le de-formazioni di espansione necessarie per far decadere la pressione orizzontale dal valore σ’h0, che corrisponde allo stato indeformato, al valore limite inferiore σ’ha, sono piccole, e comunque molto inferiori alle deformazioni di compres-sione necessarie per far elevare la pres-sione orizzontale dal valore σ’h0, al va-lore limite superiore σ’hp. Pertanto è buona norma riferirsi all’angolo di resi-stenza al taglio di picco per il calcolo della spinta attiva, ed all’angolo di resi-stenza al taglio a volume costante (ovve-ro per grandi deformazioni) per il calco-lo della spinta passiva.

13 – 7

13.1.2 Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito

Pressione orizzontale

Rotazione rispetto alla testa

AttivaPassiva

K Kp a K 0


Rotazione rispetto al piede

AttivaPassiva

K Kp a K 0


Traslazione uniforme

AttivaPassiva

K Kp a K 0

Figura 13.12 – Diagrammi di pressione orizzonta-le contro una parete rigida. Dipendenza dai mo-vimenti della parete

Se il deposito di terreno incoerente (c’ = 0), omogeneo e asciutto, avente peso di volume γ costante con la profondità, è delimitato superiormente da una superfi-cie piana, inclinata di un angolo β < φ’ rispetto all’orizzontale, le tensioni prin-cipali non corrispondono più alle tensio-ni verticale ed orizzontali.

Si consideri un concio di terreno di lar-ghezza b e altezza Z, delimitato inferiormente da una superficie parallela al piano campa-gna e lateralmente da due superfici ideali verticali (Figura 13.14). Per ragioni di simme-tria, le risultanti delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali sono due forze S, eguali ed opposte, aventi la stessa retta d’azione inclinata dell’angolo β sull’orizzontale.

Consideriamo l’equilibrio del concio:

- le forze S si elidono l’una con l’altra e non intervengono nelle equazioni di equilibrio;

- il concio ha peso W = γ Z b; la forza W è verticale;


- la base del concio ha lunghezza l = b/cosβ;

- la risultante delle tensioni normali alla base del concio vale: N = W cosβ ;

- la risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio vale: T = W sen β;

- la tensione normale alla base del concio vale: σ’n =N/l = γ Z cos2 β;

- la tensione tangenziale alla base del concio vale: τ =T/l = γ Z sen β cos β.

Tabella 13.1: Entità delle rotazioni della parete per raggiungere la rottura (con riferimento ai

simboli di Figura 13.13)

Rotazione Y / H Terreno

Decompressione

(Stato attivo)

Compressione

(Stato passivo)

Incoerente denso 0,001 0,020

Incoerente sciolto 0,004 0,060

Coesivo consistente 0,010 0,020

Coesivo molle 0,020 0,040

Nel piano di Mohr il punto Q di coordi-nate σ’n – τ rappresenta la tensione a-gente sul piano di base del concio, alla profondità Z inclinato dell’angolo β ri-spetto all’orizzontale. Il punto Q appar-tiene ad una retta di equazione τ = σ’ tan β (Figura 13.15).

Rotazione del muro, Y/H

Stato passivo

Sabbia densa

Sabbia densa

Rap

porto

tra

pres

sion

e or

izzo

ntal

e e

verti

cale

, K

Stato attivo

Sabbia sciolta

Sabbia scioltaSabbia compatta

K

K

K

0

a

p

Figura 13.13 – Effetti del movimento della parete sulla pressione orizzontale esercitata da sabbia

Il segmento OQ = γZ cos β = σ’v0 rap-presenta la tensione verticale sul piano alla base del concio.

Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di invi-luppo a rottura di equazione τ = σ’ tanφ’ rappresentano stati di tensione alla pro-fondità Z compatibili con l’equilibrio.

Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passi-vo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P di Figura 13.16.

I segmenti OA e OP (essendo A e P il polo dei relativi cerchi) sono rispettivamente il va-lore minimo, in condizioni di spinta attiva, ed il valore massimo, in condizioni di spinta passiva, della tensione, inclinata dell’angolo β sull’orizzontale, agente sulla superficie verticale alla profondità Z (il piano verticale non è principale, su di esso insistono una tensione normale ed una tensione tangenziale).

13 – 8


b

l

β

ZWS

S

T

N

φ’

β

τ

σ’O

Q

σ γ β’ = Z cos n2

τ = γ β βZ sen cos

Figura 13.14 – Condizione di equilibrio in un semispazio omogeneo, incoerente e a-sciutto delimitato da una superficie piana e inclinata

Figura 13.15 – Stato di tensione sul piano alla base del concio

φ’

β

τ

σ’O

Q

A

E

B

P

Cerchio P

Cerchio A

C Figura 13.16 – Stati di tensione limite in un deposito di terreno incoerente in pendio

Le spinte attiva, SA, e passiva, SP, sono le forze limite di equilibrio agenti su una parete verticale e inclinate dell’angolo β rispetto all’orizzontale, corrispondenti alle rispettive a-ree dei diagrammi di pressione.

Si consideri il cerchio A:

β⋅=

β⋅⋅γ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=σ

+=+=β⋅⋅γ=−==σ

cosOCOB

cosZABOBABOB

ABOBBQOBcosZOQABOBOA

'a

'a

( ) ( ) 222222 sen'senOCsenOC'senOCBCACAB

senOCBC'senOCRECAC

β−φ⋅=β⋅−φ⋅=−=

β⋅=φ⋅===

13 – 9


β⋅⋅γ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

φ−β+β

φ−β−β=

=β⋅⋅γ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

β+−φ−+β

β+−φ−−β=β⋅⋅γ⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

β−φ⋅+β⋅

β−φ⋅−β⋅=σ

cosZ'coscoscos

'coscoscos

cosZcos1'cos1cos

cos1'cos1coscosZ

sen'senOCcosOC

sen'senOCcosOC

22

22

22

22

22

22'a

Da cui:

0vA'a 'K σ⋅=σ (Eq. 13.13)

essendo:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

φ−β+β

φ−β−β=

22

22

A'coscoscos

'coscoscosK

La spinta attiva, dal piano di campagna fino alla profondità Z, è data da:

(Eq. 13.14)

A

2

A K2

ZcosS ⋅⋅β⋅γ= (Eq. 13.15)

Analogamente, considerando il cerchio P, si ottiene:

0vP'p 'K σ⋅=σ

essendo: (Eq. 13.16)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

φ−β−β

φ−β+β=

22

22

P'coscoscos

'coscoscosK

La spinta passiva dal piano di campagna fino alla profondità Z risulta:

(Eq. 13.17)

P

2

P K2

ZcosS ⋅⋅β⋅γ= (Eq. 13.18)

Per la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere:

)sen1()'sen1()sen1(KK 0i,0 β+⋅φ−=β+⋅= (Eq. 13.19)

13 – 10


13.1.3 Effetto della coesione

O

c’

φ’

τ

σ’C

R

F

σ’ σ’ 3 1

c’tan ’ϕ

σ σ’ + ’1 32

Figura 13.17 – Stato tensionale di equilibrio limite per un terreno dotato di coesione e di attrito

Se il deposito di terreno asciutto, omogeneo e delimitato da una superficie orizzontale è dotato anche di coesione oltre che di at-trito, ovvero ha resistenza al ta-glio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb:

'tan''c φ⋅σ+=τ (Eq. 13.20)

Le relazioni che legano le tensio-ni principali per uno stato tensio-nale di equilibrio limite sono le seguenti (Figura 13.17):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅σ=σ2'

4tan'c2

2'

4tan 2'

3'1 (Eq. 13.21)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅σ=σ2'

4tan'c2

2'

4tan 2'

1'3 (Eq. 13.22)

Pertanto, in condizioni di spinta attiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale minore e la tensione verticale a quella maggiore, si ha:

AA2'

a,h K'c2KZ2'

4tan'c2

2'

4tanZ ⋅⋅−⋅⋅γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅γ=σ (Eq. 13.23)

Poiché il terreno non ha resistenza a trazione, l’equazione soprascritta è valida per Z > Zc, essendo Zc la profondità critica per la quale risulta σ’ha = 0:

Ac K

'c2Z⋅γ

⋅= (Eq. 13.24)

mentre per Z < Zc si assume σ’h = 0.

Per il calcolo della spinta attiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al dia-gramma di Figura 13.183.

In condizioni di spinta passiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale maggiore e la tensione verticale a quella minore, si ha:

PP2'

p,h K'c2KZ2'

4tan'c2

2'

4tanZ ⋅⋅+⋅⋅γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅γ=σ (Eq. 13.25)

Per il calcolo della spinta passiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura 13.19:

13 – 11

3 Nella fascia di spessore Zc il terreno sarà interessato da fessure verticali di trazione che possono riempirsi di acqua, ad esempio per la pioggia. Si tiene conto di tale possibilità considerando, per il calcolo della spin-ta, anche un triangolo di pressione idrostatica di altezza Zc e base γw Zc.


P2

P2,P1,PP KZ21ZK'c2SS)Z(S ⋅⋅γ⋅+⋅⋅⋅=+= (Eq. 13.26)

⋅⋅⋅+⋅

=)Z(S

Z32S

2ZS

)S(ZP

2,P1,P

P (Eq. 13.27)

Z

2c’γ K

2 c’ K

σ’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

C

Ca

a

2/3 (Z - Z )γ Ζcw

Z

2 c’ K

σ’ (Z)

S’ P,1

P,2

hp

p

2/3 ZZ/2

S’

Figura 13.18 – Diagramma di spinta attiva in un terreno dotato di coesione e attrito

Figura 13.19 – Diagramma di spinta passiva in un terreno dotato di coesione e attrito

Nel caso in cui, in presenza di un terreno coesivo, si faccia riferi-mento a condizioni non drenate (come quelle che possono verifi-carsi immediatamente dopo l’ese-cuzione di uno scavo o la costru-zione di un’opera di sostegno), per determinare la spinta attiva e pas-siva bisogna applicare il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Eq. 13.20) in termini di tensioni totali (ϕ = 0, c = cu) e le tensioni limite attiva e passiva diventano rispetti-vamente (Figura 13.20):

τ

σσ’f σ σ σ

ϕ = 0

cu

h,a v0 h,p

Figura 13.20 – Stati pensionali limite attivo e passivo per un terreno coesivo in condizioni non drenate

u0vha c2−σ=σ (Eq. 13.28)

u0vhp c2+σ=σ (Eq. 13.29)

13 – 12


13.1.4 Terreni stratificati

Se il deposito di terreno è costituito da strati orizzontali omogenei, la spinta totale eserci-tata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti di ciascuno strato. Il generico strato i-esimo, di spessore Hi, fra le profondità Zi-1 e Zi, costituto da un terreno avente peso di vo-lume γi e resistenza al taglio: , eserciterà contro la parete verticale ideale una spinta S

'i

'i tan'c φ⋅σ+=τ

i pari all’area del diagramma delle pressioni orizzontali nel tratto di sua com-petenza, applicata alla quota del baricentro di tale area (Figura 13.21).

H1 1

H 2

Hi

2

i

i-1

i+1

σ’ ha

Z

S’A,i

σ’ (Z )ha i-1

σ’ (Z )ha i

σ’ hp

Z

S’P,,i

σ’ (Z )hp i-1

σ’ (Z )hp i

Figura 13.21 – Spinta attiva e passiva in un terreno a strati orizzontali omogenei

La tensione verticale agente al tetto dello strato i-esimo, alla profondità Zi-1, vale:

∑−

=− ⋅γ=σ

1i

1jjj1i

'0v H)Z( (Eq. 13.30)

La tensione verticale agente alla base dello strato i-esimo, alla profondità Zi, vale:

ii1i'

0vi'

0v H)Z()Z( ⋅γ+σ=σ − (Eq. 13.31)

Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta attiva è un trapezio avente:

altezza Hi,

base minore 0Kc2K)Z()Z( i,A'ii,A1i

'0v1i

'ha ≥⋅⋅−⋅σ=σ −− ,

e base maggiore 0Kc2K)Z()Z( i,A'ii,Ai

'0vi

'ha ≥⋅⋅−⋅σ=σ

Poiché il terreno non ha resistenza a trazione:

- se i valori di σ’ha(Zi-1) e di σ’ha(Zi), calcolati con le formule precedenti, risultano en-trambi minori di zero lo strato non esercita alcuna spinta,

13 – 13


- se il valore di σ’ha(Zi-1), calcolato con la formula precedente, risulta minore di zero per il calcolo della spinta si considera il diagramma di pressione positiva triangolare4 (ov-vero si assume σ’ha(Zi-1) = 0).

Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta passiva è un trapezio a-vente:

altezza Hi,

base minore i,P'ii,P1i

'0v1i

'hp Kc2K)Z()Z( ⋅⋅+⋅σ=σ −− ,

e base maggiore i,P'ii,Pi

'0vi

'hp Kc2K)Z()Z( ⋅⋅+⋅σ=σ

13.2 Teoria di Coulomb (1776)

Molto prima di Rankine, il problema della determinazione della spinta esercitata dal ter-reno su un’opera di sostegno era stato affrontato dall’ingegnere militare francese Cou-lomb con un metodo basato sull’equilibrio delle forze in gioco.

Si consideri una parete di altezza H che sostenga un terrapieno di sabbia omogenea e a-sciutta.

Per semplicità di esposizione assumiamo, per il momento, le seguenti ipotesi:

1. assenza di attrito tra parete e terreno,

2. parete del muro verticale,

3. superficie del terrapieno orizzontale,

4. terreno omogeneo, incoerente e asciutto, con peso di volume γ e resistenza al taglio:

τ = σ’ tanφ’

5. superficie di scorrimento piana.

Per determinare il valore della spinta attiva, PA, limite inferiore dell’equilibrio, suppo-niamo di traslare gradualmente la parete verso l’esterno fino a produrre la rottura del ter-reno. La rottura si manifesta, nell’ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terre-no ABC che scorre verso l’esterno e verso il basso su una superficie di rottura piana e in-clinata di un angolo η sull’orizzontale, incognito (Figura 13.22). Il cuneo ABC trasla nel-la posizione A’B’C’.

In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poli-gono delle forze di Figura 13.23, sono:

- il peso proprio η⋅⋅γ⋅= cotH21W 2 , che agisce in direzione verticale,

- la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tan-gente diretta verso l’alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo,

13 – 14

4 In entrambi i casi, nelle zone non compresse in direzione orizzontale si dovrà tenere conto della spinta e-sercitata dall’acqua di percolazione.


- e la spinta attiva PA, che agisce in direzione orizzontale per l’ipotesi di assenza di attri-to tra parete e terreno.

H

H

η

φ’

W

RA

A’

B’

B

AP

tan ηC

C’

η−φ’W

R

AP

Figura 13.22 – Cuneo di spinta attiva di Coulomb Figura 13.23 – Poligono delle forze relativo al cuneo di spinta attiva di Coulomb

Per l’equilibrio è:

( ) )(f'tancotH21)'tan(WP 2

A η=φ−η⋅η⋅⋅γ⋅=φ−η⋅= (Eq. 13.32)

Per determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite attivo, ηcrit, e quindi PA, occorre fare la ricerca di massimo5 della funzione f(η), che può essere

condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: 0PA =η∂

∂ .

Così facendo si ricava il valore critico dell’angolo η, che risulta:

2'

4critφ

+π

=η (Eq. 13.33)

Sostituendo il valore critico di η nell’equazione di PA si ottiene infine:

A222

A KH21

2'

4tanH

21P ⋅⋅γ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅γ⋅= (Eq. 13.34)

L’espressione trovata coincide con quella di Rankine.

Analogamente, per determinare il valore della spinta passiva, PP, limite superiore dell’equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l’interno fino a pro-durre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell’ipotesi di Coulomb, con il distac-

13 – 15

5 Si tratta di una ricerca di massimo (e non di minimo) della funzione f(η), poiché si ricerca il valore di η corrispondente al cuneo critico, ovvero al cuneo che richiede il valore più alto di PA per l’equilibrio limite inferiore. Se si immagina, partendo ad esempio dalla condizione a riposo, di ridurre progressivamente la forza P, quando si perviene al valore PA si manifesta la rottura con la formazione del cuneo inclinato dell’angolo ηcrit sull’orizzontale.


co di un cuneo di terreno ABC che scorre verso l’interno e verso l’alto su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo η sull’orizzontale, incognito (Figura 13.24). Il cuneo ABC trasla nella posizione A’B’C’.

In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poli-gono delle forze di Figura 13.25, sono:

H

H

ηφ’

WR

AA’

B’B

PP

tan η

C

C’

η+φ’W

R

PP

Figura 13.24– Cuneo di spinta passiva Coulomb Figura 13.25– Poligono delle forze relativo al cuneo di spinta passiva di Coulomb

- il peso proprio η⋅⋅γ⋅= cotH21W 2 , che agisce in direzione verticale,

- la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cu-neo,

- e la spinta attiva PP, che agisce in direzione orizzontale per l’ipotesi di assenza di attri-to tra parete e terreno.

Per l’equilibrio è:

( ) )(f'tancotH21)'tan(WP 2

P η=φ+η⋅η⋅⋅γ⋅=φ+η⋅= (Eq. 13.35)

Per determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite passivo, ηcrit, e quindi Pp, occorre fare la ricerca di minimo della funzione f(η), che può essere

condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: 0PP =η∂

∂ .

Così facendo si ricava il valore critico dell’angolo η, che risulta:

2'

4critφ

−π

=η (Eq. 13.36)

Sostituendo il valore critico di η nell’equazione di PP si ottiene infine:

13 – 16


P222

P KH21

2'

4tanH

21P ⋅⋅γ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅γ⋅= (Eq. 13.37)

L’espressione trovata coincide con quella di Rankine.

H

η

β

λ

δ φ’

W

RAP

Figura 13.26 – Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terra-pieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente)

Le ipotesi semplificative inizial-mente introdotte, eccetto l’ipotesi di superficie di scorrimento piana, possono essere rimosse, a costo di una soluzione analitica più com-plessa o a costo di rinunciare alla soluzione analitica per una solu-zione grafica o numerica.

Si considerino, ad esempio gli schemi delle Figure 13.26 e 13.27, che rappresentano i cunei di spinta attiva e passiva nelle seguenti ipo-tesi:

- parete di altezza H inclinata di un angolo λ sulla verticale,

- terrapieno omogeneo e incoerente delimitato da una superficie inclinata di un angolo β sull’orizzontale,

- presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d’attrito tanδ,

- superficie di scorrimento piana.

H

η

β

λ

δ φ’

W

R

PP

Figura 13.27 – Cuneo di spinta passiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati, presenza di at-trito tra terreno e muro, terreno incoerente)

Sviluppando il calcolo analitico, con riferimento ai simboli delle figure, si ottiene

- per la condizione di spinta attiva:

13 – 17


A2

A KH21P ⋅⋅γ⋅= (Eq. 13.38)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

A

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β−λ⋅δ+λβ−φ⋅φ+δ

+⋅δ+λ⋅λ

λ−φ=

(Eq. 13.39)

- e per la condizione di spinta passiva:

P2

P KH21P ⋅⋅γ⋅= (Eq. 13.40)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

P

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β−λ⋅δ−λβ+φ⋅φ+δ

−⋅δ−λ⋅λ

λ+φ=

(Eq. 13.41)

In Figura 13.28 è schematicamente rappresentato il caso per la condizione di spinta attiva nell’ipotesi, ancor più generale, di :

- parete non verticale,

- terreno dotato di coesione e di attrito (τ = c’ + σ’ tanφ’),

- superficie del terrapieno inclinata,

- resistenza per adesione ed attrito all’interfaccia parete-terreno (τ = ca + σ’ tanδ),

- fessure di trazione nella fascia superiore di terreno (per la condizione di spinta atti-va)6.

La soluzione può essere ricercata per via grafica, con la costruzione di Culmann rappre-sentata in Figura 13.29, o numerica.

Per lo spessore della zona di trazione si assume:

La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, poiché permette di risolvere condizioni geometriche e di carico generali ed è alla base del più diffuso metodo pseudo-statico di calcolo della spinta in condizioni sismiche.

A

a

c K

'cc

1'c2Z

⋅γ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅

= (Eq. 13.42)

13 – 18

6 Come già detto, nelle fessure di trazione può infiltrarsi acqua di percolazione, per cui è opportuno conside-rare anche la conseguente spinta idrostatica aggiuntiva.


W

A

F

E

B

C’ = c’ BCA a

D

Ca

Zc

C’

δAP

η

φ’

R

β

C = c BC

W

Ca

C’

AP

R

Figura 13.28 – Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attri-to tra terreno e muro, terreno coesivo)e poligono delle forze

Z

Linea di Culmann

Poligono delle forze(su una sezione)

c

C

C

a

C’

C’

φ’

Diagramma delle forze

Figura 13.29 – Costruzione di Culmann

13.3 Teoria di Caquot e Kérisel

Sia la teoria di Rankine che quella di Coulomb ipotizzano superfici di scorrimento piane. Tale ipotesi non è verificata a causa dell’interazione fra la parete dell’opera di sostegno ed il terreno. In Figura 13.30 sono mostrati gli effetti dell’attrito parete-terreno sulla for-ma della superficie di scorrimento, per i casi di:

a) spinta passiva, con movimento del cuneo di terreno verso l’interno e verso l’alto ri-spetto al movimento del muro (δ < 0).

b) spinta attiva, con movimento del cuneo di terreno verso l’esterno e verso il basso ri-spetto al movimento del muro (δ > 0);

I casi a) e b) possono essere confrontati con le soluzioni di Coulomb per la spinta attiva e passiva. 13 – 19


H

Aa)

B

C

DH/3

A’ π φ/4 - ’/2

π φ/2+ ’

δ

PP

π φ/4 + ’/2

π φ/2 - ’

δH

H/3

AP

B

D

A CA’b)

Figura 13.30 – Effetto dell’attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, nel caso di spinta passiva (a) e attiva (b)

La soluzione fu ottenuta per via nume-rica da Caquot e Kérisel (1948) accop-piando le teorie di Rankine e di Bous-sinesq, ed è riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta al variare degli angoli di resistenza al ta-glio φ’, di attrito parete-terreno δ, di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ, e di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all’orizzontale β, con la convenzione sui segni indicata in Figura 13.31.

+β

+λ +δ

Figura 13.31 – Convenzione sui segni delle variabi-li angolari nelle Tabelle di Caquot and Kérisel

13.3.1 Dipendenza di KA e KP dall’angolo δ

Il valore di δ non può superare il valore di φ’, poiché in tal caso si formerebbe una pelli-cola di terreno solidale alla parete e lo scorrimento avverrebbe internamente al terreno con coefficiente di attrito tanφ’. I coefficienti di spinta KA e KP crescono con continuità da δ = +φ’ a δ = -φ’. Il segno di δ dipende, come abbiamo detto, dal movimento verticale re-lativo fra la parete e il terreno. In generale:

- in condizioni di spinta attiva, il terreno si abbassa rispetto alla parete e δ risulta com-preso tra +φ’ e 0,

- in condizioni di spinta passiva, il terreno sale rispetto alla parete e δ risulta compreso tra 0 e -φ’.

In genere, ma in modo più o meno arbitrario, si assume δ = φ’/4 per pareti in muratura o in cemento armato intonacate, e δ compreso tra 2/3φ’ e φ’/2 per pareti in muratura o in cemento armato non lisciate.

A titolo di esempio in Tabella 13.2 sono riportati i valori di KA e di KP al variare di δ per φ’=30°, β = 0° e λ = 0°. Si può osservare che in condizioni di spinta attiva il coefficiente KA varia poco, ovvero è poco influenzato dalla rugosità della parete. In condizioni di spinta passiva invece la dipendenza del coefficiente KP da δ è molto sensibile.

13 – 20


Tabella 13.2 - Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta KA e KP al variare di δ per φ’=30°, β = 0° e λ = 0°

|δ| 30° 20° 10° 0°

KA 0,31 0,30 0,30 0,33

KP 6,56 5,25 4,02 3,00

13.3.2 Dipendenza di KA e KP dall’angolo β

Il valore dei coefficienti di spinta sia attiva che passiva cresce con β, poiché aumenta il volume di terreno coinvolto nella rottura. A titolo di esempio in Tabella 13.3 sono riporta-ti i valori di KA e di KP al variare di β per φ’ = 30°, λ = 0°, δ = φ’ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ’ in condizioni di spinta passiva. Si osservi che il caso β = +φ’ = 30° in con-dizioni di spinta attiva (δ = φ’) corrisponde al caso particolare dell’equilibrio limite infe-riore di Rankine, poiché la spinta PA risulta parallela alla superficie libera e, analogamen-te, in condizioni di spinta passiva (δ = -φ’) corrisponde al caso particolare dell’equilibrio limite superiore di Rankine.

Tabella 13.3 - Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta KA e KP al variare di β per φ’=30°, λ = 0°, δ = +φ’ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ’ in condizioni di spinta passiva.

β -30° -18° 0° +18° +30°

KA 0,232 0,257 0,308 0,409 0,866

KP 0,84 2,85 6,56 11,8 16,1

13.3.3 Dipendenza di KA e KP dall’angolo λ

13 – 21

In condizioni di spinta attiva, il coefficiente KA si riduce fino ad annullarsi quando

l’angolo λ decresce gradualmente dal valore ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=λ2'

4, corrispondente all’inclinazione

dei piani di scorrimento di Rankine, al valore ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ−

π−=λ '

2, che corrisponde all’angolo di

naturale declivio.

In condizioni di spinta passiva, il coefficiente KP cresce molto rapidamente quando

l’angolo λ diminuisce dal valore ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

=λ2'

4, corrispondente all’inclinazione dei piani di

scorrimento di Rankine, al valore 2π

−=λ , che corrisponde ad una fondazione superficia-

le. A titolo di esempio, in Tabella 13.4 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta KA e KP al variare di λ per β = 0°, φ’ = 30°, δ = + φ’ in condizioni di spinta attiva e δ = - φ’ in condizioni di spinta passiva.

In Tabella 13.5 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta KA (prima riga) e KP (se-conda riga) al variare dell’angolo di resistenza al taglio φ' e del rapporto δ/φ’ per terrapie-no orizzontale (β = 0°) e parete verticale (λ = 0°). Come già detto, nella maggior parte dei casi pratici, si assume che il rapporto δ/φ’ sia positivo in condizioni di spinta attiva e ne-


gativo in condizioni di spinta passiva. Si osserva che al crescere dell’angolo di resistenza al taglio φ’ il coefficiente di spinta attiva KA decresce lentamente, mentre il coefficiente di spinta passiva cresce molto rapidamente.

Tabella 13.4 - Soluzione di Caquot e Kérisel: coefficienti di spinta KA e KP al variare di λ per φ’=30°, β = 0°, δ = +φ’ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ’ in condizioni di spinta passiva.

λ 60° 45° 30° 15° 0° -15° -30° -45° -60° -90°

KA - - 0,5 0,412 0,308 0,203 0,109 0,039 0 -

KP 0,8 1,65 2,80 4,4 6,56 9,5 13,6 19,2 27 52

13.3.4 Dipendenza di KA e KP dall’angolo φ’ e dal rapporto δ/φ’

Tabella 13.5 - Soluzione di Caquot e Kérisel: Coefficienti di spinta KA (prima riga) e KP (seconda riga) al variare dell’angolo di resistenza al taglio φ' e del rapporto |δ φ’| per terrapieno orizzon-tale (β = 0°) e parete verticale (λ = 0°)

/

φ’ 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50°

0,81 0,65 0,53 0,44 0,37 0,31 0,26 0,22 0,19 0,16 1

'=

φδ

1,26 1,66 2,20 3,04 4,26 6,56 10,7 18,2 35,0 75,0

0,81 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

32

'=

φδ

1,24 1,59 2,06 2,72 3,61 5,25 8,00 12,8 21,0 41,0

0,82 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

31

'=

φδ

1,22 1,52 1,89 2,38 3,03 4,02 5,55 8,10 12,0 19,0

0,84 0,70 0,59 0,49 0,41 0,33 0,27 0,22 0,17 0,13 0

'=

φδ

1,19 1,42 1,70 2,04 2,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50

13.3.5 Confronto con la soluzione di Coulomb

Il metodo di Coulomb ipotizza e impone la forma della superficie di scorrimento piana. Pertanto i valori di PA e di PP, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di minimo, limitatamente alla forma imposta della superficie di scorrimento, non sono il massimo ed il minimo assoluti, ovvero per qualunque ipotetica forma della superficie di scorrimento. Pertanto i valori dei coefficienti di spinta attiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre inferiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e Kérisel, che ipotizza una superficie di scorrimento curvilinea, e analogamente i valori dei coefficienti di spinta passiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre superiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e Kérisel. Le differenze minori si osservano proprio quando risulta minore la differenza fra le superfici ipotizzate. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici, ovvero per β, λ e δ positivi, le differenze sono mode-ste. Nel caso di spinta passiva invece le differenze possono essere molto sensibili, e poi-ché in genere la spinta passiva è una forza resistente, non è cautelativo calcolarla con il metodo di Coulomb.

13 – 22


Inoltre, come già fatto osservare, poiché le deformazioni necessarie per mobilitare la spin-ta passiva sono molto grandi, il valore di progetto dell’angolo di resistenza al taglio non è, come nel caso di spinta attiva, il valore di picco, ma piuttosto il valore critico, a volume costante.

13.4 Spinta dovuta alla pressione interstiziale

Le teorie sulla spinta delle terre che abbiamo esaminato si riferiscono a terreni asciutti o comunque non sotto falda e quindi con acqua nei pori non in pressione (si ricorda che convenzionalmente e per semplicità si assume in genere che l’acqua nei pori possa avere pressione solo positiva, ovvero maggiore della pressione atmosferica. Si assume che l’acqua presente nei terreni sopra falda sia a pressione zero).

Se un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale esercitata contro una parete sarà somma di due forze: la prima forza è la spinta esercitata dal terreno, valutata con le formule sopra citate, utilizzando le tensioni verticali efficaci7, la seconda forza è la spinta esercitata dall’acqua interstiziale. Quest’ultima si calcola integrando il diagramma delle pressioni interstiziali.

La presenza di acqua in pressione contro una parete di sostegno del terreno determina un forte incre-mento della spinta totale, pertanto, ove possibile, è sempre opportuno realizzare opere di drenaggio a tergo dell’opera allo scopo di abbattere il livello di falda.

Nel caso particolare, ma frequente, di falda freatica alla profondità Zw (Figura 13.32) si ottiene:

0)Z(u = per Z < Zw

)ZZ()Z(u ww −⋅γ= per Z ≥ Zw

Se vi è differenza tra il livello dell’acqua a monte e a valle dell’opera di sostegno, e vi è filtrazione sotto e intorno alla parete, la pressione interstiziale dovrebbe essere determina-ta in base al reticolo idrodinamico, come descritto nel Capitolo 4. Tuttavia, nel caso di terreno omogeneo, un approccio ragionevole e semplificato consiste nell’assumere che il carico idraulico vari linearmente come mostrato in Figura 13.33. La differenza di carico piezometrico tra monte e valle è:

Z 3

γ (Z-Z )

Sw

w

w

w

wZ

1 (Z + 2Z)

Figura 13.32 – Spinta idrostatica

( )2www ZZ

21)Z(S −⋅⋅= γ (Eq. 13.43)

)ZZ2(31)ZZ(

31Z)S(Z www +⋅=−⋅−= (Eq. 13.44)

13 – 23

7 Le tensioni verticali efficaci, per il principio delle tensioni efficaci, si ottengono sottraendo le tensioni in-terstiziali alle tensioni verticali totali.


∆h = (h + k – j), il percorso di filtrazione è

L = (h + d – j) + (d – k) = (h + 2d –j – k),

il gradiente idraulico è:

i = ∆h/L = (h + k – j) / (h + 2d – j – k)

(Eq. 13.45)

Percorso difiltrazione

Pressione dell’acqua totale

h

ub

k

d

j

ub

Pressione dell’acqua netta

Figura 13.33 – Schema semplificato della pressione dell’acqua su una parete in presenza di fil-trazione

Nel tratto di monte del percorso la filtrazione è discendente e comporta una riduzione del-la pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. Nel tratto di valle la filtrazio-ne è ascendente e comporta un aumento della pressione interstiziale rispetto alla condi-zione idrostatica. Al piede della parete (supponendo che il suo spessore sia trascurabile rispetto alla lunghezza del percorso di filtrazione) la pressione interstiziale vale:

)i1()kd()i1()jdh(u wwb +⋅−⋅γ=−⋅−+⋅γ= (Eq. 13.46)

13.5 Incremento della spinta attiva dovuta a carichi applicati sul terra-pieno

13.5.1 Pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie del deposito.

Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie di un deposito delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto del semispazio un incremento costante della tensione verticale ∆σ’v0 = q ed un incremento costante della tensione oriz-zontale ∆σ’h = K q (Figura 13.34), avendo indicato con K il coefficiente di spinta che, a 13 – 24


seconda dello stato di deformazione orizzontale, assume valori compresi tra KA e KP. Ne consegue che:

- le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad essere le tensioni principali,

- il diagramma delle tensioni orizzontali è trapezio,

- la spinta orizzontale S presente su una parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità H, è l’area del diagramma di pressione orizzontale e può essere calcolata come somma dell’area rettangolare di base Kq e altezza H, e dell’area trian-golare di base K γ H e altezza H:

2HK21HqK)(S)q(SS ⋅γ⋅⋅+⋅⋅=γ+= (Eq. 11.47)

- la profondità della retta di applicazione della componente S(q) è H/2, la profondità del-la retta di applicazione di S(γ) è 2H/3, dunque la profondità della retta di azione di S è:

S

H32)(S

2H)q(S

)S(Z⋅⋅γ+⋅

= (Eq. 11.48)

q

q

Z

σ ‘

γ Z

v0

q

K q

Z

σ ‘

Κ γ Z

h

Figura 13.34 – Effetto di una pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa

13.5.2 Carichi concentrati sulla superficie del deposito

Se, in condizioni di spinta attiva, sulla superficie del deposito delimitato da un piano oriz-zontale agiscono carichi che possono essere schematizzati come puntuali o come distri-buiti su una linea parallela al muro, di intensità piccola (minore del 30%) rispetto alla spinta attiva, l’incremento di pressione orizzontale può essere valutato con le formule in-dicate in Figura 13.35, ottenute da Terzaghi (1954) modificando empiricamente le equa-zioni di Boussinesq. Se i carichi sono molto elevati o hanno una diversa distribuzione, oc-corre utilizzare il metodo del cuneo di Coulomb.

13 – 25


Valo

ri di

n =

z/H

Valori di (H/Q )σ

Carico lineare

Carico lineare QPer

Per

Per

Per

Risultante

Diagramma delle pressioni relativo al casodi carico lineare Q(equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente)

Sezione a - aDiagramma delle pressioni relativo al casodi carico puntiforme Q(equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente)

Caricopuntiforme

h L

L

L

Valori di (H /Q )σh2

P

P

P

Carico puntiforme Q

Figura 13.35 – Pressioni orizzontali su una parete in condizioni di spinta attiva dovute a ca-richi concentrati sulla superficie orizzontale del terrapieno

13.6 Effetto del costipamento meccanico del terrapieno

Molto spesso, ad esempio per la costruzione di strade, il terrapieno retrostante un’opera di sostegno è costituito da un terreno incoerente asciutto, messo in opera in strati successivi, costipati con rullo compressore per aumentarne la densità e quindi la rigidezza e la resi-stenza. Tale tecnica produce uno stato di coazione nel terreno ed un conseguente aumento delle pressioni orizzontali nella condizione di spinta attiva.

13 – 26


Se l’azione esercitata dal rullo compressore può essere schematizzata con un carico di in-tensità p distribuito lungo una linea parallela alla parete, e se il terreno viene messo in o-pera in strati di piccolo spessore, per tenere conto dell’effetto di costipamento, si può as-sumere come diagramma di pressione orizzontale sul muro quello indicato in Figura 13.36.

La profondità critica è:

Il valore del carico p, dipende dai mezzi impiegati per il costipamento, e in particolare dal peso statico e dalle dimensioni del rullo, e dalla eventuale azione vibratoria che si assume equivalente ad un incremento di peso.

γ⋅π⋅

⋅=p2KZ Ac (Eq. 13.49)

Z

Z

σ’

σ σ’ = K ’

σ σ’ = K ’

h

c

c

h

ha

hp

v

v

A

P

Figura 13.36 – Effetto del costipamento sul diagramma di spinta attiva

13 – 27

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