CAPITOLO 1

Grafici elementari

1. I casi fondamentali

Vedi il libro scolasticoLamberti Mereu, Nanni Corso di Matematica 1A , ed. ETAScap. 2

• Polinomi di primo grado: rette.• Polinomi di secondo grado: parabole.• La funzione segno.• La funzione parte intera• La funzione xn potenza n-esima• La funzione radice quadrata• La funzione reciproca 1/x

2. Grafici composti

Vedi il libro scolasticoLamberti Mereu, Nanni Corso di Matematica 2B , ed. ETAScap.12

• Funzioni razionali.• Funzioni irrazionali x1/n

• Noti i grafici di f(x) e g(x) dedurne quelli di– f(x) + g(x)– f(x) − g(x)– kf(x)– f(x)/g(x)– |f(x)|

1

3. Laboratorio funzioni

3.1. Concetto di funzione. Una funzione

f : R → R

e un algoritmo che ad un numero x assegnato in Input fa corrispondereun altro f(x) come Output.Elencheremo in questa esercitazione i modi diversi tramite i quali pos-sono essere assegnate funzioni nei tre software usati finora

• in DERIVE• in GnuPlot• in linguaggio Pascal.

Alle assegnazioni tradizionali quali

f(x) := x2 + 3x + 5, . . .

si aggiungono quelle dedotte dall’uso dell’ IF condizionale:

• se - IF - una certa condizione e vera f(x) e assegnata dalseguente algoritmo f(x) := . . .

• se tale condizione e falsa f(x) e assegnata dal seguente altroalgoritmo f(x) := . . .

3.2. Le funzioni con DERIVE. Abbiamo gia usato innumerevolivolte funzioni in programmi DERIVE, richiamiamo ora i passi fonda-mentali:

• DERIVE offre, nelle sue versione piu recente, una barra dicomandi molto ricca di pulsanti e menu a tendina: e benetuttavia ricordare che tutti i comandi offerti sono producibiliscrivendo esplicitamente il loro testo da Author.

• L’assegnazione di una funzione e abbreviata dalla tendina Dichiara- Definisci funzione.

• Da Author una funzione si definisce scrivendo

f(x) := . . .

dove i puntini stanno per l’espressione assegnata.• L’espressione deve essere scritta, su un’unica riga, anche molto

lunga, rispettando l’usuale regola delle parentesi: cosı perscrivere

f(x) :=2 + x

1 + 3x + x2

1

2

si scrivera, da Author

f(x):=(2+x)/(1+3*x+x^2)

• L’ IF condizionale corrisponde, ad esempio, alla funzione

f(x) :=

{3x + 1 se x ≤ 0−x2 se x > 0

La sua assegnazione con DERIVE, da Author, e la seguente

f(x):=IF(x<=0,3*x+1,-x^2)

• L’uso dell IF condizionale puo a sua volta essere composto,nidificato e il termine di riferimento: un caso corrisponde allaseguente

f(x, a, b) :=

0 se x < a1 se a ≤ x ≤ b0 se x > b

funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].La sua assegnazione con DERIVE, da Author, e la seguente

Figura 1. La funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

f(x):=IF(x<a,0,IF(x<b,1,0))

• I sottoprodotti dell’ IF condizionale sono quasi infiniti: DE-RIVE offre, fra gli altri i comandi MAX e MIN.Ad esempio la funzione

f(x) := inf {3x + 1, 2− x}

3. LABORATORIO FUNZIONI 3

che assegna ad ogni x come valore della funzione il piu bassodei due numeri 3x + 1 e 2 − x si assegna con DERIVE, daAuthor, con

f(x):=MIN(3*x+1,2-x)

Figura 2. La funzione f(x) := inf {3x + 1, 2− x} .

3.3. Le funzioni nel linguaggio Pascal. L’assegnazione di unafunzione in Pascal avviene tramite la dichiarazione

FUNCTION(Var x : real) : real

seguita dalla definizione della funzione stessa, e che, di norma precedeil programma che la usera.

• Ad esempio il miniprogramma seguente scrive i valori dellafunzione

f(x) := 1 + 3x + x2, x = 0, 1, . . . , 5

4

Program funzione;

Uses WinCRT;

Function f(x:real):real;

Begin

f:=1+3*x+sqr(x);

end;

Var i:byte;

Begin

for i:=0 to 5 do writeln(’f(’,i,’) = ’,f(i):3:2);

end.

• L’assegnazione condizionale, pensiamo per semplicita semprealla funzione

f(x) :=

{3x + 1 se x ≤ 0−x2 se x > 0

avviene in Pascal con la nota sequenza IF . . . THEN . . . ELSE . . .

Figura 3. L’ IF condizionale espresso in Pascal.

• Le assegnazioni condizionate sono in Pascal non solo possibilima anche agevolate dalla sequenza di IF . . . THEN . . . ELSE . . .scritti con il tradizionale rientro (l’indentatura) che ne agevolala lettura.Supponiamo di voler definire la funzione

f(x) :=

1 se x < 25 se 2 ≤ x < 3−2 se 3 ≤ x

3. LABORATORIO FUNZIONI 5

e scriverne al solito alcuni valori.La sua espressione in Pascal e illustrata nella Figura 6 seguente

Figura 4. L’ IF nidificato in Pascal.

• il comando writeln(’f(’,i,’) = ’,f(i):3:2) produce l’Out-put

– i tratti racchiusi tra due apici vengono riprodotti tali equali

– i nomi di variabili del programma producono la stampadei rispettivi valori

– l’eventuale aggiunta ad una variabile di :3:2 ordina laformattazione nella stampa: nel nostro caso 3 cifre pri-ma della virgola e 2 decimali (vedi programma FOR-MAT.PAS sul disco).

6

3.4. Grafici deducibili. La grande facilita nella produzione digrafici offerta da DERIVE permettono di sperimentare molte dellerelazioni tra grafici indicate come grafici deducibili.

3.5. Dilatazioni. Si tratta di chiedere simultaneamente il graficodi

f(x), 2f(x), −1

2f(x)

Assegnata f(x) i tre grafici possono essere chiesti in successione conDERIVE che disegna un grafico dopo l’altro nella stessa pagina grafica.

3.6. Traslazioni. Assegnata f(x) si possono chiedere, simultane-amente, i grafici di

f(x), f(x + 1), f(x− 2)

Provate ad esempio ancora con la funzione f(x) = x2 servendovi questavolta di DERIVE

Figura 5. I grafici delle varie parabole con traslazioni...

3.7. Somma e differenza. Assegnate due funzioni f(x) e g(x) sipossono chiedere, sempre simultaneamente, i grafici di

f(x), g(x), f(x) + g(x)

Supponiamo ad esempio f(x) = x2 e g(x) = x

3. LABORATORIO FUNZIONI 7

Figura 6. Somme: x2, x, x2 + x

3.8. Prodotti e quozienti. Consideriamo i grafici deducibili daquelli di f(x) = x e g(x) = 1 + x2 per prodotto e quoziente

3.9. Esercizi.

• Sperimentate la periodicita della funzione sin(x) studiando igrafici di sin(x) e sin(x+πm

n) in corrispondenza a scelte diverse

dei due interi m ed n• Assegnate le funzioni 1, x, x2, x3 disegnate, nell’intervallo [−0.9, 0.9],

i grafici

8

Figura 7. Prodotto e quoziente di : x, 1 + x2

– delle loro somme

1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3

– della funzione1

1− x• Assegnata una funzione f(x) servitevi dell’ IF condizionale per

definire e disegnare la sua parte positiva f+(x) definita come

f+(x) =

{f(x) se f(x) ≥ 00 se f(x) < 0

• Assegnate le due funzioni f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) servite-vi dell’ IF condizionale per definire e disegnare le funzioni

M(x) = sup {f(x), g(x), f(x)g(x)} m(x) = inf {f(x), g(x), f(x)g(x)}

CAPITOLO 2

Equazioni e disequazioni algebriche

Argomenti prettamente scolastici, presenti nei pro-grammi delle scuole dell’obbligo e, con qualche appro-fondimento, nelle superiori.

Gli argomenti sono tratti dal Capitolo 5 del Corsodi Matematica 1A di Lamberti, Mereu, Nanni.

1. Disequazioni di 1 grado

• significato di una disequazione,• l’espressione della soluzione ax + b = 0 → x = − b

a• proprieta, soluzione algebrica,• interpretazione grafica.

2. Disequazioni di 2 grado

ax2 + bx + c ≥ 0

• le radici dell’equazione ax2 + bx + c = 0• il ruolo del discriminate,• la fattorizzazione note le radici

ax2 + bx + c = a(x− α)(x− β)

e il segno dell’espressione,• la lettura grafica: grafico di f(x) = ax2 + bx + c e suo segno.

3. Disequazioni di grado superiore

Il ruolo della fattorizzazione: e facile risolvere disequazioni del tipo

P (x) ≥ 0 : P (x) = F1(x) F2(x)...Fm(x)

essendo i fattori Fk(x) polinomi di primo o di secondo grado.

1

2 2. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

4. Disequazioni razionali

P (x) =N(x)

D(x)≥ 0

essendo N(x) e D(x) polinomi.

Esempio 4.1.1 + x

1− x≥ 1

Esempio 4.2.x2(x3 − 2)(4 + x)

x2 − 5x + 6≥ 0

5. Sistemi di disequazioni

Esempio 5.1. {3x− 4 ≥ 0x−4 < 0

6. Disequazioni irrazionali

Esempio 6.1. √3x + 1 < x + 7

7. Valori assoluti

Esempio 7.1.|2x− 5| = x− 2

Esempio 7.2. ∣∣∣∣2x + 1

3− x

∣∣∣∣ < 1

8. Laboratorio di Informatica

8.1. Soluzione di equazioni. La soluzione, o spesso le soluzionidi un’equazione

P (x) = 0

possono essere ottenute con DERIVE con i due seguenti comandi scrit-ti, naturalmente da Author,

• SOLVE(P(x),x)• SOLUTIONS(P(x)=0,x)

Battuto il tasto di INVIO il comando appare scritto nel grande foglioAlgebra di DERIVE: premuto il tasto = oppure ≈ si ottengono lesoluzioni, esatte nel primo caso, approssimate con numeri decimali nelsecondo. Ad esempio per risolvere l’equazione

x3 − 5x + 1 = 0

tramite il comando

SOLVE(x3 − x2 − 2x− 2, x)

e il tasto = si ottiene

x = −√

2 ∨ x =√

2 ∨ x = −1

Il simbolo ∨ rappresenta la congiunzione OR.Lo stesso comando

SOLVE(x3 − x2 − 2x− 2 = 0, x)

e il tasto ≈ produce invece

x = −1.414213562 ∨ x = 1.414213562 ∨ x = −1

Analogamente, il comando

SOLUTIONS(x3 − x2 − 2x− 2 = 0, x)

e il tasto = producono

[−1,√

2,−√

2]

mentre servendosi del tasto ≈ si ottiene

[−1, 1.414213562,−1.414213562]

Provate con l’equazionex2 + 1 = 0

1

2

Proposto a DERIVE

SOLVE(x2 + 1, x)

pulsante ≈si ottiene:

x = −i ∨ x = i

Cioe il ricorso a soluzione complesse, che possono essere gradite o meno.Se volete solo cercare soluzioni reali non avete che da scrivere

SOLVE(x2 + 1, x, Real)

Uno qualsiasi dei pulsanti = o ≈ produrra

false

che significa naturalmente

...non ci sono soluzioni reali !

8.2. Disequazioni: risoluzione grafica. DERIVE e in grado diprodurre ottimi grafici della maggioranza delle funzioni con le qualilavoreremo. E quindi naturale servirsi di tali potenzialita per studiarele diseguaglianze.Ricordiamo che il segno di un’espressione f(x) si riconosce dal suografico.

8.3. Disequazioni lineari. Attiviamo DERIVE e proponiamocidi servircene per studiare la disequazione

ax + b > 0

naturalmente chiedendo a DERIVE di disegnare il grafico dell’espres-sione ax + b, vedi Figura 1.Supponiamo di aver scelto come espressione di primo grado

3x + 5

8.4. Disequazioni di secondo grado. E naturale usare lo stes-so procedimento per le disequazioni di secondo grado: basta scrivereda Author un’espressione di secondo grado, chiederne il grafico e ri-conoscere gli intervalli in cui la parabola prodotta si trova al di sopradell’asse delle ascisse e in quali al di sotto.Supponiamo di aver scelto, vedi Figura 2, come espressione di secondogrado

(x + 1)(2− x)

Dal grafico si riconosce, immediatamente che

(x + 1)(2− x) > 0

nell’intervallo −1 < x < 2

8. LABORATORIO DI INFORMATICA 3

Figura 1. Disequazioni di primo grado

Una possibilita diretta di studiare una diseguaglianza e offerta dallafunzione

SIGN(x)

di DERIVE: essa vale -1 sui negativi, 0 nello 0 e 1 sui positivi.Per decidere quindi in quali intervalli riesca (x + 1)(2 − x) > 0 bastaassegnare da Author

SIGN((x + 1) ∗ (2− x))

e quindi chiederne il grafico, vedi Figura 3.Risulta evidente, dal grafico che

(x + 1)(2− x) > 0 − 1 < x < 2

mentre

(x + 1)(2− x) < 0 −∞ < x < −1 2 < x < +∞

4

Figura 2. Disequazioni di secondo grado

8.5. Disequazioni di grado superiore al secondo. La risoluzionedelle disequazione

P (x) > 0

quando P (x) e un polinomio di grado superiore al secondo dipendedalla capacita di decomporlo in fattori di grado 1 o 2.Neanche DERIVE riesce ad eseguire in generale tale decomposizione:esso possiede tuttavia il comando, collegato alla tendina Semplifica

Semplifica → Fattorizza → Razionale

che, qualche volta e di aiuto. Sperimentiamolo sul polinomio di quartogrado

x4 + x3 + 4x− 8

FACTOR(x4 + x3 + 2x2 + 4x− 8) = (x− 1)(x + 2)(x2 + 4)

Il grafico di

SIGN(x4 + x3 + 4x− 8)

e invece sempre praticabile e di risultato soddisfacente, vedi Figura 4.

8. LABORATORIO DI INFORMATICA 5

Figura 3. Il grafico di SIGN((x + 1) ∗ (2− x))

8.6. Disequazioni direttamente con DERIVE. Esiste un mo-do ancora piu semplice di determinare le soluzioni di una disequazionecon DERIVE:

• scrivete, naturalmente da Author la diseguaglianza che vo-lete studiare, espressione P (x) e segno di diseguaglianza > 0oppure < 0

• chiedete il grafico della formula scritta...• comparira, nella finestra grafica, una parte colorata ed una

no...

e facile vedere in Figura 5 come sono andate le cose sempre relativa-mente al polinomio di quarto grado precedente

8.7. Sistemi di disequazioni. Risolvere un sistema di due (opiu) disequazioni vuol dire trovare i valori x che soddisfino, contempo-raneamente le due (o piu) disequazioni. Supponiamo di dover risolvere

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Figura 4. Il grafico di SIGN(x4 + x3 + 4x− 8)

il sistema {3x− 4 ≥ 0x2 − 4 < 0

Risolvere contemporaneamente vuol dire determinare gli x per i qualiriesca

(3x− 4 ≥ 0) AND (x2 − 4 < 0)

Ebbene DERIVE conosce il comando della logica delle proposizioniAND : pertanto per risolvere il sistema basta scrivere, da Author,

[3x− 4 ≥ 0] AND [x2 − 4 < 0]

e chiederne il grafico

8.8. Esercizi.

(1) Considerate il sistema formato dalle due disequazioni linearilineari {

3x− 4 ≥ 0x− 4 < 0

8. LABORATORIO DI INFORMATICA 7

Figura 5. La diseguaglianza x4 + x3 + 4x− 8 < 0

e determinatene le soluzioni sia facendo disegnare a DERIVEil grafico delle due rette{

3x− 4 = yx− 4 = y

sia facendo studiare a DERIVE

(3x− 4 ≥ 0) AND (x− 4 < 0)

(2) Considerate un sistema formato dalle due disequazioni di sec-ondo grado {

x2 − 4 ≥ 0x2 − 3x + 2 < 0

e determinatene le soluzioni per via grafica facendo disegnarea DERIVE le due parabole

y = x2 − 4

y = x2 − 3x + 2

valutando in quali intervalli della x la prima si trovi sopral’asse delle x e la seconda sotto.

8

Figura 6. Le soluzioni del sistema con l’uso di AND

(3) Studiate la disequazione

x + 2

x2 − 1≥ 0

chiedendo a DERIVE di disegnare il grafico della funzione

SIGN

(x + 2

x2 − 1

)