Cap. 3 – MODELLISTICA E SIMULAZIONE DEI SISTEMI...

Corso di Meccanica Applicata alle Macchine 2 (SV) A.A. 2002/2003 - cap. 3 - pag. 1

3.1 Problemi di analisi e problemi di sintesi3.2 Progettazione di un sistema meccanico3.3 Il modello fisico ed il modello matematico3.4 Approssimazioni nel modello fisico 3.5 Generalità sui simulatori di sistemi multibody3.6 Funzioni svolte dai simulatori di sistemi multibody

Cap. 3 – MODELLISTICA E SIMULAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI


3.1 – Problemi di analisi e problemi di sintesi

I problemi tipici della meccanica applica alle macchine

possono essere divisi in due categorie fondamentali:

problemi di analisi

problemi di sintesi


Dati:- il meccanismo,- l’equazione oraria di uno o più membri,- le forze ed i momenti agenti sul meccanismo,- le condizioni iniziali,si determinano:- le leggi di moto (posizioni, velocità, accelerazioni in funzione

del tempo) dei punti di ogni membro (analisi cinematica),- le forze e le coppie agenti sui vari membri (analisi dinamica).

Problema di analisi


La sintesi consiste nel progettare un meccanismo che soddisfi le specifiche di progetto (ad es.: legge di moto di un membro, requisiti dimensionali, forze, coppie, potenze erogate)sintesi di tipo: scelta del tipo di meccanismosintesi di configurazione: scelta del numero e della disposizione dei membrisintesi dimensionale: determinazione di tutti i parametri geometrici necessari alla completa descrizione del meccanismo

Problema di sintesi


La progettazione di un sistema meccanico può avvenire secondo modalità molto differenti; a volte si progetta ex-novo; a volte si modifica un progetto preesistente per adattarlo a specifiche differenti, per risolvere problemi riscontrati o per migliorarne le prestazioni. In ogni caso si possono alternare fasi di sintesi e di analisi.Un possibile modo di procedere, generalmente non il migliore, ma a volte l’unico possibile, è quello di definire un meccanismo(in base all’intuizione o all’esperienza), analizzarne il funzionamento e quindi procedere per modifiche successive fino a soddisfare i requisiti.Nel seguito ci concentreremo quindi sull’analisi.

3.2 - Progettazione di un sistema meccanico


3.3 - Il modello fisico ed il modello matematico

effettuare le approssimazioni suggerite dall’esperienza del progettista

SISTEMA REALE

MODELLO FISICO

MODELLO MATEMATICO

applicare le leggi della fisica per ottenere le equazioni cinematiche e dinamicheoppureutilizzare adeguati programmi di simulazione

semplice, ma rappresentativo del sistema reale nelle condizioni di funzionamento oggetto dello studio

adeguato a fornire i risultati corrispondenti al modello fisico


Il modello fisico

Il modello fisico è un sistema immaginario il più possibile simile

al sistema reale nelle condizioni di funzionamento considerate

per quanto riguarda le caratteristiche importanti al fine

dell’analisi, ma più semplice e facilmente studiabile con mezzi

matematici.

L’abilità del progettista consiste proprio nell’immaginare modelli

fisici semplici ma sufficientemente accurati, e nel contempo

adatti ad ottenere facilmente il modello matematico per via

analitica o con il supporto di sistemi di simulazione assistita al

calcolatore.


Il modello matematico - 1

Dato il modello fisico, il modello matematico può essere ottenuto:

• scrivendo le equazioni cinematiche e dinamiche del sistema,

generalmente in base alle leggi della meccanica classica (se le

equazioni sono risolte analiticamente la soluzione è esatta; se sono

risolte numericamente, la soluzione è approssimata)

• utilizzando programmi di simulazione che ricavino

automaticamente le equazioni del sistema e le risolvano per via

numerica (soluzione approssimata)


Il modello matematico - 2Dato uno stesso modello fisico, i risultati analitici e numerici devono

coincidere, a meno dell’errore introdotto dal programma di

simulazione, che è generalmente trascurabile se tale programma è

affidabile e utilizzato correttamente.

NOTA: è necessario distinguere tra due concetti profondamente

diversi e spesso confusi:

• le approssimazioni introdotte nel concepire il modello fisico

(un buon progettista fa approssimazioni ingegneristicamente valide)

• gli errori dovuti ad una soluzione numerica del modello matematico

(un buon progettista sa usare correttamente gli strumenti software)


Esempi di modello fisico

modello fisicosistema reale


Esempi di modello fisico

uno stesso modello fisico (d)tre sistemi reali (a, b, c)


3.4 - Approssimazioni nel modello fisicoAlcune delle approssimazioni che si possono introdurre nel modello

fisico sono:

• considerare corpi rigidi

• trascurare i piccoli effetti: si noti che un effetto è piccolo non in

assoluto, ma solo in relazione al fenomeno in esame

• assumere che il sistema non modifichi l’ambiente circostante (ad es:

nell’esempio precedente si può ipotizzare che il moto del veicolo non

sia influenzato dal moto del pannello); generalmente se gli ingressi

del sistema sono influenzati dalla risposta del sistema stesso la

modellazione diventa molto più complessa


Approssimazioni nel modello fisico - 2• trascurare o gli attriti, o modellarli in maniera semplificata (attrito

viscoso o coulombiano)

• sostituire caratteristiche distribuite con altre concentrate (masse,

forze, ecc…)


Approssimazioni nel modello fisico - 3• ammettere una dipendenza lineare fra variabili del sistema nel

campo di funzionamento considerato

• assumere che i parametri caratteristici di un sistema non varino

• trascurare le incertezze ed i disturbi, per evitare il ricorso ad analisi

probabilistiche


3.5 - Generalità sui simulatori di sistemi multibody

• i simulatori di sistemi multibody sono programmi che eseguono

l’analisi del moto di sistemi meccanici

• i simulatori di sistemi multibody analizzano sia la cinematica che la

dinamica del sistema; si distinguono quindi da altri programmi che

permettono la visualizzazione del moto di sistemi meccanici

considerando solo la loro cinematica (ad es.: programmi di

animazione 3D)

• esempi di simulatori multibody:– ADAMS– DADS– Pro/Mechanica Motion – Working Model - Visual Nastran


Generalità sui simulatori di sistemi multibody - 2

• gli elementi che costituiscono un sistema multibody sono:

– corpi (rigidi)

– vincoli

– forze (esterne)

• nei simulatori multibody si analizza generalmente il moto di

sistemi composti da corpi rigidi; se la flessibilità dei corpi non può

essere trascurata, occorre ricondurre i corpi flessibili a sistemi di

corpi rigidi uniti da vincoli, elasticità e smorzamenti concentrati

• vanno distinte le forze esterne, esercitate dall’esterno sul sistema,

dalle reazioni interne, scambiate tra i corpi costituenti il sistema



• esistono simulatori multibody che trattano in maniera distinta i

sistemi bidimensionali (moto di sistemi nel piano) e quelli

tridimensionali (moto di sistemi nello spazio) ed altri che trattano

solo sistemi tridimensionali (i sistemi bidimensionali ne

costituiscono un sottoinsieme)

• nel seguito considereremo sistemi bidimensionali per introdurre i

concetti fondamentali della modellazione multibody

• le problematiche per i sistemi tridimensionali sono analoghe, ma

si complica l’approccio matematico



dati:

– un sistema di riferimento fisso

(W)

– un corpo rigido in moto piano

con un sistema di riferimento ad

esso solidale (Bi)

la posizione assoluta del corpo può

essere espressa da una terna di

coordinate (due lineari ed una

angolare) dette coordinate del corpo

i

ii

i

xq y

θ

=



• possono essere definite n sistemi

di riferimento solidali al corpo

(Pi,j, j=1..n)

• posizione e orientamento di questi

sistemi di riferimento rispetto a W

possono essere espressi in funzione

delle coordinate del corpo, essendo

note le loro coordinate (costanti)

rispetto a Bi

( )( )( )

,

, ,

,

i j i

i j i j i

i j i

x q

P y q

qθ

=



se un sistema multibody è costituito da nb corpi, la configurazione

del sistema è definito dalle 3xnb coordinate del sistema

1

nb

q

qq

=



i vincoli del sistema

impongono delle relazioni

algebriche non lineari che

coinvolgono due sistemi di

riferimento appartenenti a

corpi diversi; ad esempio

per una coppia rotoidale si

impongono due condizioni

nel moto relativo dei due

corpi coinvolti

( ) ( )( ) ( )

, ,

, ,

0

0

i n j k

i n j k

x q x q

y q y q

− =

− =



per una coppia prismatica si impongono altre due condizioni nel

moto relativo dei due corpi coinvolti, che sono sempre relazioni

algebriche non lineari tra le coordinate del sistema



• i vincoli possono essere stabiliti non solo tra due corpi entrambi

mobili, ma anche tra un corpo ed il telaio (ground), rappresentato

dal riferimento inerziale W

• ad esempio si può vincolare un punto di un corpo con una

coppia rotoidale ad un punto fisso (Wi)

( )( )

, ,

, ,

0

0

j k W i

j k W i

x q x

y q y

− =

− =



• in generale, i vincoli del sistema sono rappresentabili mediante un

sistema di equazioni algebriche non lineari:

• le equazioni relative ai vincoli indipendenti dal tempo (come le

coppie rotoidali e prismatiche) non contengono esplicitamente il

tempo:

( ), 0q tφ =

( ) 0i qφ =



• le equazioni relative ai driver (o motori cinematici) contengono

invece la dipendenza esplicita dal tempo nella definizione del

moto relativo tra i due corpi coinvolti

• nonostante la dipendenza dal tempo, i driver sono

concettualmente vincoli del sistema, in quanto definiscono una

legge nella posizione relativa tra due corpi

( ), 0j q tφ =



esempio di driver: coppia cinematica più rotazione relativa a

velocità costante



• alcune equazioni di vincolo possono imporre condizioni già

imposte da altri vincoli; in questo caso alcuni vincoli sono

ridondanti

• con l’ipotesi di corpi rigidi, non è possibile risolvere sistemi con

vincoli ridondanti (iperstatici)

• in generale, deve essere cura del progettista analizzare con

simulatori multibody solo sistemi senza vincoli ridondanti (isostatici)



• i simulatori multibody generalmente rimuovono automaticamente

e arbitrariamente alcuni vincoli ridondanti fino a rendere isostatico il

sistema

• il comportamento cinematico del sistema non è influenzato da

quali vincoli ridondanti sono rimossi

• al contrario, le reazioni scambiate tra i corpi sono diverse per i

diversi sistemi isostatici che si ottengono rimuovendo diversi

insiemi di vincoli

• è quindi meglio che la scelta dei vincoli da rimuovere sia fatta dal

progettista in base al senso fisico del sistema



esempi di vincoli ridondanti

• i due dimensioni: due corpi vincolati da due coppie prismatiche

parallele

• in tre dimensioni: un quadrilatero articolato con tre coppie

rotoidali è sovravincolato (mentre non lo è in due dimensioni)



• se i vincoli del sistema (motori cinematici inclusi) sono

sufficienti a determinare univocamente l’evoluzione temporale

del sistema, il sistema si dice cinematicamente determinato

• se i vincoli del sistema (motori cinematici inclusi) non sono

sufficienti a determinare l’evoluzione temporale del sistema, che

dipende dalle condizioni iniziali e dalle forze esterne oltre che dai

vincoli, il sistema si dice labile



• un sistema cinematicamente determinato ha 0 gradi di libertà

(anche se è in moto), in quanto il suo moto è completamente definito

dai vincoli

• un sistema labile ha n gradi di libertà (n>0); per determinare il suo

moto è necessario conoscere:

– le forze esterne agenti sul sistema

– 2n condizioni iniziali indipendenti (n condizioni iniziali di

posizione e n condizioni iniziali di velocità, in quanto il moto dei

sistemi multibody è regolato dalle equazioni cardinali della

dinamica, equazioni differenziali del secondo ordine)



• si noti che sia i sistemi cinematicamente determinati che i

sistemi labili possono avere o no vincoli ridondanti

• esempio di sistema cinematicamente determinato: sistema

biella-manovella con driver di rotazione sulla manovella



• esempi di sistemi

labili: bipendolo con

due coppie rotoidali

libere (2 gradi di

libertà) o con un driver

su una delle coppie

rotoidali (1 grado di

libertà)


3.6 - Funzioni svolte dai simulatori di sistemi multibody

• creazione del modello multibody (definizione della geometria e

delle proprietà inerziali dei corpi, dei vincoli e delle forze) mediante

interfaccia grafica

• scrittura automatica delle equazioni di vincolo del sistema

• determinazione del numero di gradi di libertà del sistema

• rimozione automatica dei vincoli ridondanti

• assemblaggio del sistema: ricerca di una configurazione del

sistema compatibile con i vincoli e le condizioni iniziali


Funzioni svolte dai simulatori di sistemi multibody - 2

• analisi del moto per i sistemi cinematicamente determinati:

– analisi cinematica per determinare il moto del sistema in base ai

vincoli (problema algebrico)

– analisi dinamica inversa (o cinetostatica) per determinare le

reazioni interne in base al moto del sistema e alle forze esterne

(problema algebrico, essendo noto il moto)

• analisi del moto per i sistemi labili:

– analisi dinamica diretta per determinare il moto del sistema e le

reazioni interne in base ai vincoli, alle forze esterne e alle

condizioni iniziali (problema differenziale)



• funzioni di animazione (visualizzazione del moto del sistema)

• visualizzazione di grafici ed esportazioni di dati relativi al moto

analizzato

NOTE:

• l’analisi di sistemi labili è molto più complessa e pesante

computazionalmente; l’accuratezza della soluzione, essendo il

problema differenziale, è influenzata dal metodo di integrazione e dai

parametri di integrazione



• i simulatori più potenti (ad es.: DADS, ADAMS) svolgono

separatamente le fasi di modellazione, di analisi (assemblaggio,

analisi del moto) e di postprocessamento dei risultati (animazione,

creazione grafici)

• in alcuni simulatori le analisi cinematica e dinamica per i sistemi

cinematicamente determinati vengono eseguite con comandi

differenti, in altri simulatori vengono eseguite con un unico comando;

per i sistemi labili le analisi cinematica e dinamica non sono

indipendenti, pertanto tutti i simulatori le eseguono congiuntamente



• i simulatori più user-friendly (Working Model 2D) permettono

all’utente la modifica del modello con tecniche drag and drop

imponendo contemporaneamente le condizioni di assemblaggio;

l’analisi del moto, l’animazione e la visualizzazione di grafici sono

contemporanee; questo approccio è più pesante

computazionalmente (e ciò limita la complessità del problema

analizzato a parità di risorse informatiche) ma più intuitivo per un

utente inesperto

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