Campi Elettromagnetici - Appunti Completi

7/30/2019 Campi Elettromagnetici - Appunti Completi

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Indice

1 Richiami matematici 5

1.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Laplaciano vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Laplaciano scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Lemmi e formule di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Cariche e correnti elettriche 11

2.1 Cariche elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1 Modelli di distribuzione della carica elettrica . . . 11

2.2 La corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 La densita di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Relazioni tra densita ed intensita di corrente . . . . . . . 15

2.5 Lequazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 I fondamenti dellelettromagnetismo 19

3.1 La forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Lesperimento di Faraday e la legge di Gauss . . . . . . . 19

3.3 La legge di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 La legge di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Le equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Le correnti impresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7 Relazioni costitutive dei mezzi elettromagnetici . . . . . . 27

3.8 Equazioni di Maxwell in regime armonico . . . . . . . . . 34

3.9 Condizioni sulle superfici di discontinuita . . . . . . . . . 37

1


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4 Primi esempi di risoluzione delle equazioni di Maxwell 43

4.1 La soluzione nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . 434.2 La soluzione nel dominio dei vettori complessi: lequazio-

ne di Helmoltz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 I potenziali vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.1 La scelta = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2 La scelta di Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.3 La scelta di Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4 Potenziale vettore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Potenziale di Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 I teoremi fondamentali dellelettromagnetismo 65

5.1 Teoremi energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Teorema di Poynting nel dominio del tempo . . . . 655.1.2 Teorema di Poynting nel dominio della frequenza . 69

5.1.3 Teorema dellenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Teorema di unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1 Dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.2 Dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.3 Condizioni di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Teorema di equivalenza di Love . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.1 Correnti assorbenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.2 Reversibilita del teorema . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.3 Osservazioni e corollari . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Teorema di reciprocita di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4.1 Osservazioni e corollari . . . . . . . . . . . . . . . . 935.5 Teorema di dualita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.6 Teorema di scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7 Teorema delle immagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.7.1 Osservazioni e corollari . . . . . . . . . . . . . . . . 975.8 Le relazioni di KramersKronig . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.8.1 Proprieta di r() . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.8.2 Derivazione delle relazioni . . . . . . . . . . . . . . 101

6 Linee di trasmissione 105

6.1 Le equazioni del telegrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1.1 Le equazioni in regime armonico . . . . . . . . . . 1106.1.2 Circuito equivalente a costanti concentrate . . . . 110

6.2 Le equazioni del telefono e limpedenza caratteristica . . . 114


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6.2.1 Propagazione in presenza di perdite . . . . . . . . 1186.3 Impedenza in linea e coefficiente di riflessione . . . . . . . 121

6.3.1 Limpedenza in linea . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3.2 Il coefficiente di riflessione . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.3 Onde progressive, stazionarie e parzialmente sta-

zionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4 Il rapporto donda stazionaria (ROS). . . . . . . . . . . . 1306.5 La potenza complessa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.6 Il problema delladattamento. . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.7 La carta di Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.8 Il progetto di un adattatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.8.1 Ladattatore a stub semplice. . . . . . . . . . . . . 1586.8.2 Ladattatore a doppio stub. . . . . . . . . . . . . . 1656.8.3 Ladattatore a /4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.8.4 Un esercizio riassuntivo . . . . . . . . . . . . . . . 179

7 Onde piane 199

7.0.5 La soluzione con il metodo della separazione dellevariabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.1 I campi elettrico e magnetico dellonda piana uniforme . . 2047.1.1 Campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.1.2 Campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.2 Classificazione delle onde piane . . . . . . . . . . . . . . . 2057.3 Equivalenza con le linee di trasmissione . . . . . . . . . . 2107.4 Impedenza donda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.5 Velocita di fase delle onde piane . . . . . . . . . . . . . . . 2147.6 Completezza delle onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.7 Riflessione e rifrazione di onde piane . . . . . . . . . . . . 220

7.7.1 La legge della riflessione e la legge di Snell . . . . . 2217.7.2 Il caso del mezzo con perdite . . . . . . . . . . . . 2257.7.3 Formule di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.8 Sovrapposizione di onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.9 Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.9.1 Andamento nel tempo dei campi elettrico e ma-

gnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.9.2 Vettore di Poynting ed impedenza donda . . . . . 241

7.10 Mezzi dielettrici multistrato . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.10.1 Metodo delle onde parziali . . . . . . . . . . . . . . 2447.10.2 Metodo delle matrici di trasferimento . . . . . . . 248


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7.10.3 Leffetto tunnel elettromagnetico . . . . . . . . . . 2487.11 La velocita di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.11.1 Dispersione della velocita di gruppo . . . . . . . . 252

8 Antenne 261

8.1 Dipolo elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.1.1 Studio nel dominio della frequenza . . . . . . . . . 2638.1.2 Studio nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . 269

8.2 Antenna a spira di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.2.1 La sorgente di Huygens . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.3 Antenne filiformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808.3.1 Lintegrale di Hallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.4 Antenne ad apertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.4.1 Lespansione in onde piane . . . . . . . . . . . . . 298

8.5 Parametri delle antenne in trasmissione . . . . . . . . . . 3048.5.1 Esempi di calcolo di parametri di trasmissione . . 313

8.6 Parametri delle antenne in ricezione . . . . . . . . . . . . 3258.6.1 Esempi di calcolo di aree ed altezze efficaci in ri-

cezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3318.7 Le relazioni tra i parametri di trasmissione e ricezione e

la formula di Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

8.7.1 La formula di Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3398.7.2 La formula del radar . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

8.8 Schiere di antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3428.8.1 Schiere a fase progressiva . . . . . . . . . . . . . . 3478.8.2 Schiere broadside ed endfire . . . . . . . . . . . . 350

8.9 Lantenna YagiUda e lantenna logaritmica . . . . . . . . 351


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Capitolo 1

Richiami matematici

1.1 Gradiente

Si consideri una funzione scalare derivabile (si ricorda che una funzionescalare e una funzione che da come risultato un numero, come ad esempiola temperatura allinterno di una stanza), definita in una regione dellospazio V racchiusa dalla superficie S.

Il gradiente di e un vettore, funzione delle coordinate nello spazio,che viene indicato con il simbolo , e che e definito come segue:

= limV0

1

Vo

S

n dS ,

dove n e il versore normale in ogni punto alla superficie S, orientatoverso lesterno di questa.

In particolare, se allinterno del volume V viene introdotto un sistemadi riferimento cartesiano ortogonale (x,y ,z) il gradiente risulta esseredato dalloperatore differenziale lineare

=

xx +

yy +

zz

,

e le sue componenti definiscono quindi la variazione della funzione rispetto alle coordinate cartesiane.

Osservazioni

Sono dette superfici di livello le superfici dello spazio sulle quali siha

= costante .

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6 CAPITOLO 1: RICHIAMI MATEMATICI

Come e immediato verificare, poiche sulle superfici di livello lafunzione rimane costante, il gradiente e ortogonale alle superficistesse.

Data una funzione f (anche vettoriale, ovvero che ha come risultatonon un numero, ma un vettore), si dice circuitazionedi f da A aB lungo la linea dello spazio lintegrale

Circuitazione =

BA,

f d ,

e vale BA,

f d = f(B) f(A) .

1.2 Divergenza

Si consideri una funzione vettoriale w, definita nuovamente in un volumedello spazio V racchiuso dalla superficie S. Si definisce divergenza di w,e la si indica con la scrittura w la quantita scalare

w = limV0

Flusso di w attraverso S (dallinterno allesterno)

V= lim

V0

1

Vo

S

w n dS .

Come si nota, la divergenza non e nulla solo nel caso in cui vi sia un flussonetto uscente (o entrante) nella superficie che racchiude il volume V. Inaltre parole, la divergenza puo essere interpretata come una misura delle

sorgenti (o dei pozzi, nel caso in cui w < 0) dai quali scaturisce ilcampo vettoriale w, o dove esso termina.

Un tipico esempio di natura elettromagnetica e quello che si riscon-tra quando una carica elettrica viene posta in quite in un punto dellospazio: essa da luogo ad un campo elettrico che nasce o muore incorrispondenza della carica, cio dipendendo dal segno della carica stessa.In termini matematici la nascita o morte del campo elettrico e rap-presentato da un valore di divergenza non nullo nellintorno della carica.

Osservazioni

Teorema di Gauss. Scelto un volume V dello spazio racchiuso dalla


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1.3. ROTORE 7

superficie chiusa S, risultaV w d = o

S

w n dS .

dove, come al solito, n indica il versore normale alla superficie Sed orientato verso lesterno della stessa.

Ritornando allespressione che da la misura della divergenza, si puodimostrare che, quando viene assunto un sistema di riferimentocartesiano, risulta

w =wxx +

wyy +

wzz ,

dove wx, wy e wz sono le componenti di w rispettivamente lungogli assi x, y e z.

1.3 Rotore

Si consideri una funzione vettoriale u definita in un volume dello spazioV racchiuso da una superficie S orientata dal versore n uscente da essa.Si definisce rotore di u, e lo si indica con il simbolo u, la funzionevettoriale,

u = limV0

1V

oS

n u dS .

Osservazioni

Teorema di Stokes. Scelta un superficie S dello spazio racchiusadalla curva chiusa , risulta

S u n dS = o

u d = circuitazione di u .

In un sistema di coordinate cartesiane il rotore puo essere formal-mente calcolato come determinante della matrice

M =

x y z / x / y / z

ux uy uz

,

e risulta

u =

uzy

uyz

x +

uxz

uzx

y +

uyx

uxy

z .


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1.4 Laplaciano vettoriale

Data una funzione vettoriale v, si definisce laplaciano vettoriale la fun-zione vettoriale

2

v = ( v) v .

In coordinate cartesiane risulta

2

v =

2

x2+

2

y2+

2

z2

v .

Infatti, se ad esempio si considera la componente lungo x, si ha

( v)x = x

vxx

+vyy

+vzz

=

=2vxx2

+2vyxy

+2vzxz

e

( v)x = ()x

vzy

vyz

x +

vxz

vzx

y

+vy

x vxy

x

=

=2vyyx

2vxy2

2vxz2

+2vzzx

,

la cui differenza coincide con

2

xv =2vxx2

+2vxy2

+2vxz2

.

1.5 Laplaciano scalare

Data una funzione scalare g, si definisce laplaciano scalare la funzionescalare

2g = g .

E immediato verificare che, se si introduce un sistema di riferimentocartesiano, e si suppone che la funzione g sia una delle componenti diuna funzione vettoriale w, ad esempio g = wx, il laplaciano scalare di gcoincide con la componente lungo x del laplaciano vettoriale di w.


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1.6. LEMMI E FORMULE DI GREEN 9

1.6 Lemmi e formule di Green

Date due funzioni scalari e derivabili e , valgono le seguenti identita,note come lemmi di Green

Primo lemma

2 = [] .

Secondo lemma

2 2 = [ ] .

Da questi due lemmi si ricavano due importanti formule integrali.In particolare, dal primo lemma, e dal teorema di Gauss applicato adun volume V delimitato da una superficie chiusa S orientata secondo lanormale n da essa uscente, si ottiene la

Prima formula di Green

V

2 +

dV =

V ()dV =

= oS

ndS =

= o

S

ndS ,

dove si e indicato con

n= n .

Analogamente, dal secondo lemma di Green e dal teorema di Gauss, siottiene la

Seconda formula di GreenV

(2 2)dV = o

S

n

n

dS .


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Capitolo 2

Cariche e correnti elettriche

2.1 Cariche elettriche

I fenomeni di attrazione e repulsione regolati dalla legge di Coulomb pos-sono essere interpretati attribuendo ai corpi su cui le forze si manifestanouna determinata carica elettrica, usualmente indicata con la lettera q,la cui unita di misura e il Coulomb [C].

Losservazione dei fenomeni fisici che intecorrono tra cariche elet-

triche porta inoltre a riconoscere che un determinato corpo e in gradodi attrarne o respingerne altri, cosicche risulta naturale distinguere duetipi di carica, che vengono convenzionalmente indicati coi nomi di caricapositiva e negativa. Infine, e opportuno ricordare che gli esperimenti diattrazione e repulsione elettrica mostrano che la carica elettrica presentesu ogni corpo non ha un valore che varia con continuita nei numeri reali,ma sempre come multiplo di una quantita fissa, che viene assunta comemisura della carica elettrica elementare, e che vale

e = 1.602 1019 C .

2.1.1 Modelli di distribuzione della carica elettrica

Modello corpuscolare

Secondo il modello corpuscolare, lo stato di elettrizzazione di un corpo,o di una regione dello spazio, ovvero la sua capacit a di attrarre o respin-gere altri corpi carichi, e interpretato come dovuto alla presenza di una

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12 CAPITOLO 2: CARICHE E CORRENTI ELETTRICHE

densita n(P) [m3] di particelle cariche, ognuna con una carica pari a

qP = N e [C] ,

che, nellinsieme, concorrono a dar luogo, in ogni volume infinitesimo ddello spazio, ad una carica infinitesima complessiva

dq = n(P) qP d .

Quando poi si consideri che nel volume d possono essere contempo-raneamente presenti sia cariche positive sia cariche negative, la carica

totale immagazzinata nel volume e pari a

dq = dq+ + dq = (n+(P) q+P n(P) qP) d ,

dove n(P) e q sono, rispettivamente, le densita volumetriche e lecariche delle particelle presenti nel volume d, ed aventi carica positivae negativa.

Modello continuo Densita di carica

Sebbene il modello corpuscolare abbia una piu immediata rispondenzacon lintuito fisico che porta ad immaginare una carica elettrica come

formata da una somma di contributi dati da elettroni e protoni, lo stu-dio dei fenomeni elettromagnetici utilizza piu di frequente un modellocontinuo, secondo il quale lo stato di elettrizzazione viene descritto at-tribuendo a ciascun punto P dello spazio una densita volumetrica dicarica, espressa in [C m3] che, in tutta generalita puo dipendere siadal punto P, sia dal tempo. Questa densita e definita come

C(P, t) = lim0

q

,

essendo un volume infinitesimo attorno al punto P, e q la caricaivi contenuta.

In analogia con quanto fatto nel caso del modello corpuscolare, e poiopportuno prendere in considerazione anche il caso in cui nel volume siano contemporaneamente presenti densita di cariche sia positivesia negative, che possono venire indicate rispettivamente come +C e

C,e che danno luogo ad una densita complessiva

C(P, t) = +C(P, t) +

C(P, t) +C(P, t) |

C(P, t)| .


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2.2. LA CORRENTE ELETTRICA 13

2.2 La corrente elettrica

n

S

Figura 2.1: Corrente elettrica. Individuata una superficie S orientata dallanormale n, la corrente e data dalla carica che attraversa nellunita di tempo lasuperficie, concordemente o discordemente rispetto alla normale

La grandezza fisica piu comunemente utilizzata per descrivere il motodelle cariche elettriche e lintensita di corrente elettrica. Essa e definitacon riferimento ad una superficie S ed al versore n ad essa normale.

Detta qS,n la carica netta che attraversa nel tempo t la superficie

S orientata dalla normale n, si definisce intensita di corrente la quantita

i(t) = limt0

qS,n

t ,

e la sua unita di misura e lAmpere [A]. Lintensita di corrente dunquee una quantita scalare e come tale essa non ha verso, ma ha segno,che cambia se si inverte lorientazione di S, cioe il verso di n. Come eimmediato pensare, infine, la carica netta qS,n e data dalla somma degliapporti di carica dei due segni che fluiscono attraverso S concordementeo discordemente rispetto a n:

qS,n = q+(n) |q(n)| q+(n) + |q(n)| .

Nel definire la corrente come moto di cariche elettriche, si usa distin-guere tra i due seguenti tipi di corrente.

Corrente di convezione

Questa e la corrente che si manifesta quando un corpo elettricamentecarico si muove sotto lazione di determinate forze, di natura elettrica omeno, trascinando nel suo moto anche le cariche su esso depositate.


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Corrente di conduzione

Questo tipo di corrente elettrica, che e quella di maggiore interesse nellostudio dei fenomeni elettromagnetici, e la corrente che si manifesta neimetalli, negli elettroliti e nei plasmi dove i portatori di carica elettricasi muovono allinterno della struttura in cui si trovano. Si tratta quindidi un moto di cariche libere che migrano allinterno del mezzo materialeche le contiene.

Come e noto, nella maggior parte dei metalli la corrente di con-duzione e attribuita alla presenza di un gas di elettroni liberi os-

sia di quegli elettroni che, essendo meno vincolati dai legami chimici,possono muoversi allinterno del reticolo atomico del metallo. La piuelementare descrizione della conduzione elettrica puo quindi essere im-postata considerando semplicemente la velocita con cui gli elettroni sispostano allinterno del metallo.

Tuttavia, esistono altri materiali come per esempio alcuni semicon-duttori, nei quali la corrente di conduzione e invece attribuita al movi-mento di portatori di carica positiva. Si tratta di materiali nel cui reti-colo atomico vi e un elettrone in meno di quanti completerebbero unodei livelli atomici, e si puo pensare a questa mancanza come equivalentealla presenza di una carica positiva fittizia che prende il nome di la-

cuna. Ogni lacuna puo essere colmata da un elettrone che abbandoni unreticolo vicino, completando in tal modo un livello atomico, ma contem-poraneamente contribuendo alla creazione di una nuova lacuna. Si creacosi un moto di lacune (in direzione opposta a quella degli elettroni) checostituisce una corrente di conduzione di cariche positive equivalenti.

2.3 La densita di corrente

Modello corpuscolare

Come si e visto nel precedente paragrafo, quando lo stato di elettriz-

zazione di un corpo viene descritto tramite un modello corpuscolare siusa definire la densita n(P) di particelle cariche presenti allinterno diun determinato volume. A queste particelle puo essere associata unavelocita media di migrazione vP, cosicche e possibile definire il vettoredensita di corrente elettrica

j(P, t) = n(P) qP vP .


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2.4. RELAZIONI TRA DENSITA ED INTENSITA 15

Modello continuo

Quando invece si fa riferimento ad una descrizione elettrica basata sulmodello continuo per la carica, il vettore densita di corrente viene definitocome segue:

j(P, t) = +C(P, t)v+P(P, t) +

C(P, t)v

P(P, t) =

= +C(P, t)v+P(P, t) |

C(P, t)|v+P(P, t) ,

dove vP(P, t) sono le velocita medie di migrazione nel punto P allistante

t per le densita di carica positiva e negativa. Le dimensioni fisiche della

densita di corrente sono quelle di [A m2].

2.4 Relazioni tra densita ed intensita di cor-

rente

Al fine di collegare il campo vettoriale densita di corrente j(P, t) allin-tensita i(t) che attraversa una superficie S orientata dalla normale n altempo t e sufficiente osservare che ogni elemento dS di S e attraversato,in un intervallo di tempo t da una carica positiva che, avendo velocitav+P, occupa un volume con base dS ed altezza

dl+ = v+P t .

S

S nvp+

dl+

Figura 2.2: Volume occupato dalla carica che attraversa lelemento di superficieS nellunita di tempo t.

Il volume e quindi pari a

= v+P n dS t ,

e contiene una carica

dq+ = +C = v+P n dS t .


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Pertanto, la carica totale positiva q+S,n che attraversa la superficie Snellintervallo di tempo t e pari a

q+S,n = t

S

+C v+P n dS ,

e, analogamente, per la carica negativa

qS,n = t

S

C v

P n dS .

Lintensita della corrente elettrica risulta quindi

i(t) = limt0

q+S,n + q

S,n

t=

S

+Cv

+P +

Cv

P

n dS ,

e, ricordando che la densita di corrente e data da

j(P, t) = +C(P, t)v+P(P, t) +

C(P, t)v

P(P, t) ,

si ha infine

i(t) =

S

j(P, t) n dS .

2.5 Lequazione di continuita

Nello studio dei fenomeni elettromagnetici, un ruolo di particolare rilievoe assunto dallintensita di corrente dovuta alle particelle cariche che at-traversano una superficie chiusa, che indicheremo con il simbolo SC.

Per il principio di conservazione della carica, la carica qusc cheesce dalla superficie chiusa SC nellintervallo di tempo infinitesimo t euguale ed opposta alla variazione qint della carica contenuta nel volumeV racchiuso dalla superficie chiusa SC. Pertanto, se la superficie SCviene orientata secondo la normale nusc ad essa uscente, si puo scrivere

iusc(t) =SC

j(P, t) nusc dSC = qusc

dt= qint

dt.

Inoltre, se si adotta un modello continuo per descrivere la carica presentenel volume V racchiuso da SC, risulta

qint =

V

C(P, t) d ,


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2.5. LEQUAZIONE DI CONTINUITA 17

e quindi, in ultima analisi

iusc(t) =

SC

j(P, t) nusc dSC =

V

C(P, t)

td ,

che rappresenta la forma integrale di una equazione che prende il nome diequazione di continuita. La forma differenziale dellequazione puo esserericavata dalla sua forma integrale applicando il terorema di Gauss alprimo membro ottenendo

j(P, t) =

C(P, t)

t .

Questa equazione da una relazione tra grandezze scalari, funzioni delpunto P nello spazio e del tempo t, e mostra come i campi densita dicorrente di conduzione e densita di carica non siano tra di loro indipen-denti. Infatti, in accordo con lintuito fisico, si riscontra che la densita dicorrente elettrica diverge (ovvero nasce o muore) in quei punti dellospazio, o in quegli istanti temporali nei quali si ha una variazione delladensita di carica elettrica. Il risultato non e dunque altro che una for-malizzazione matematica del concetto stesso di corrente di conduzioneche, come si e avuto modo di vedere, si genera quando vi e movimento

di cariche elettriche. Con riferimento a coordinate cartesiane, la formadifferenziale dellequazione di continuita si scrive come

Jx(P, t)

x+

Jy(P, t)

y+

Jz(P, t)

z=

C(P, t)

t.


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Capitolo 3

I fondamenti

dellelettromagnetismo

3.1 La forza di Lorentz

Sperimentalmente si osserva che una carica puntiforme q in moto convelocita v in una regione dello spazio ove sia presente un campo elet-tromagnetico subisce lazione di una forza, espressa in Newton [N], pari

a f= q(e + v b) . (3.1)

Questa forza prende il nome di forza di Lorentz, e lequazione (3.1) puoessere assunta come lequazione che definisce due vettori che risultanoessere funzione delle coordinate spaziali e del tempo. Questi vettorisono il vettore campo elettrico e, espresso in Volt/metro [V/m], ed ilvettore induzione magnetica b, espresso in Tesla [T] o, talvolta, nellascala equivalente dei Weber/m2 [W/m2]1.

3.2 Lesperimento di Faraday e la legge di Gauss

Lesperimento che viene ora richiamato ha una importanza fondamentalenellettromagnetismo perche esso rappresenta la prima osservazione che

1Si sono scritti i campi elettrico ed induzione magnetica utilizzzando lettere minus-

cole. Qui e nel resto del libro questa notazione indichera grandezze che sono funzioni

delle coordinate spaziali e del tempo. La notazione viene usata per distinguere ogni

campo dalla sua corrispondente trasformata di Fourier, che verr a indicata con luso

di lettere maiuscole.

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20 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELLELETTROMAGNETISMO

condusse alla individuazione ed alla definizione del campo spostamentoelettrico d ed e dovuta al fisico inglese Michael Faraday. Egli prese unasfera S1 caricata con una carica +Q e la circondo con una seconda sferaS2, di raggio maggiore rispetto a quello di S1 ed elettricamente isolata(si veda la Fig.(3.1)).

S1

+++

+

++++

+++

++++Q

S1 -Q

S2----

-----

------------ -

- -

Figura 3.1: Lesperimento di Faraday.

Faraday osservo che, se la sfera esterna veniva prima connessa aterra tramite la chiusura di un interruttore, e successivamente isolata,rimuovendo la sfera interna si trovava, su S2 una quantita di carica pari

a quella inizialmente depositata su S1, ma di segno opposto.Faraday concluse che, durante il processo di connessione a terra e

di successivo isolamento, cera qualcosa che fuoriusciva dalla sfera in-terna per raggiungere quella esterna cosi da fare in modo che linsiemedelle due sfere apparisse elettricamente neutro come necessario quandola sfera esterna era connessa a terra. Faraday noto inoltre che questoqualcosa che fuoriusciva dalla sfera interna non dipendeva ne dalledimensioni fisiche delle due sfere, ne dal particolare dielettrico tra esseinterposto, ma esclusivamente dalla carica +Q inizialmente depositatasulla sfera interna. Faraday chiamo questo qualcosa vettore (o flusso)spostamento elettrico, indicato qui con il simbolo d, e stabili che

le linee del campo vettoriale d escono dalle cariche positive edentrano in quelle negative;

il modulo del vettore e tale che il flusso di d valutato attraversouna superficie chiusa che racchiude una carica e uguale al valoredella carica.


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3.3. LA LEGGE DI FARADAY 21

In termini matematici, le osservazioni di Faraday si riassumono nellaseguente legge, spesso indicata con il nome di legge di Gauss

Schiusa

d(t) n dSchiusa = q(t) ,

dove q(t) e la carica (eventualmente variabile nel tempo) contenuta inun volume racchiuso dalla superficie chiusa Schiusa, ed n e la normalead essa uscente.

Come di consueto, se la carica q e distribuita nel volume secondouna densita (t), si puo scrivere

Schiusa

d n dSchiusa =

d ,

ed applicando il teorema di Gauss al primo membro, anche

d = .

3.3 La legge di Faraday

nb S()

V

Questa legge, dedotta ancora da considerazioni sperimentali, fornisceun legame tra il campo elettrico ed il campo di induzione magnetica. In

particolare, si osserva che quando si considera un circuito chiuso dis-posto in una regione dello spazio in cui e presente un campo di induzionemagnetica variabile nel tempo, nel circuito si manifesta una tensioneelettrica che risulta legata alla variazione del flusso di induzione magne-tica ad esso concatenato dallespressione:

V = d

dt

d

dt

S()

b n dS , (3.2)


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dove si e indicata con S() una qualsiasi superficie regolare orlata dallacurva chiusa , e con n il versore normale a S() in ogni suo punto, edorientato rispetto a secondo la regola della vite destrogira.

La tensione elettrica V puo essere attribuita alla presenza del campoelettrico e tale che, quando la curva e assunta ferma ed indeformabilenel tempo, risulti

V = o

e d =

S()

b

t n dS . (3.3)

3.4 La legge di Ampere

Lequazione (3.3) non e lunica relazione esistente tra grandezze elet-triche e grandezze magnetiche. Una seconda relazione, dedotta ancorauna volta da evidenze sperimentali, mostra infatti che, quando in unaregione dello spazio vi sono delle cariche elettriche in movimento, nellastessa regione si manifestano anche dei fenomeni di natura magnetica. Inparticolare, si osserva che, nel caso stazionario, ovvero quando le carichein movimento danno luogo ad una densita di corrente di conduzione jche non varia nel tempo, risulta

oh d =

S()

j n dS , (3.4)

dove i simboli ed S() hanno lo stesso significato che era stato loroattribuito nel paragrafo precedente.

In maniera analoga a quanto si era visto a riguardo della forza diLorentz (3.1), la relazione (3.4), che prende il nome di legge di Ampere,introduce un nuovo campo vettoriale, il campo magnetico h. Questocampo risulta, in generale, funzione delle coordinate spaziali e del tempo,e la sua unita di misura e quella di Ampere su metro [A/m].

Come appena detto, la relazione (3.4) vale solo nel caso di campi

stazionari, come e immediato verificare sulla base delle seguenti con-siderazioni. Per prima cosa, si applichi il teorema di Stokes al primomembro dellequazione di Ampere e la si riscriva nella seguente formadifferenziale:

h = j .

Successivamente, si calcoli la divergenza di ambro i membri di questul-tima equazione; ricordando che h 0, h e che, in base


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3.4. LA LEGGE DI AMPERE 23

allequazione di continuita della corrente, j = /t, si riconosceimmediatamente quanto affermato in precedenza, ovvero il fatto che lalegge di Ampere risulta valida solo in condizioni stazionarie, cioe quando/t = 0.

Nel caso di campi variabili nel tempo, la relazione (3.4) va dunquemodificata e, al fine di illustrare come cio vada fatto, risulta utile consid-erare i fenomeni elettrici che si verificano allinterfaccia tra larmatura diun condensatore ed il dielettrico che la circonda qunado il condensatoreviene alimentato con una corrente variabile nel tempo.

n S

iA(t)

SA

Per fissare le idee, si supponga che le armature del condensatore sianoideali, e che ideale sia anche il dielettrico tra esse interposto. Quando ilcondensatore e alimentato con la corrente iA(t), sulla superficie SA dellasua armatura superiore si deposita una carica qA(t) tale che iA(t) =

dqA(t)/dt. Poiche in condizioni di idealita del mezzo che costituiscelarmatura la carica e solo superficiale, essa puo essere descritta permezzo di una densita superficiale S(P, t) tale che

qA(t) =

SA

S(P, t) dSA , P SA .

Si consideri ora la legge di Gauss

o

S

d n dS =

(P, t) d ,

dove, come di consueto, n indica la normale uscente ad una superficie

chiusa S che interseca la superficie SA e che racchiude il volumetto. Si ottiene, per 0,

d(P, t) = S(P, t) n , P SA .

Si consideri ora la quantita

jS =d

t=

tn ,


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che, come appare evidente, ha le dimensioni di una densita di corrente,detta di spostamento, e si ricordi che, nel caso che si sta qui analizzando,si e supposto che sia le armature del condensatore sia il dielettrico traesse interposto siano ideali. Fisicamente, cio significa che il campo dnon e presente allinterno delle armature dove non vi e dunque correntedi spostamento. Viceversa, nel dielettrico d e presente e da ivi luogoa corrente di spostamento, mentre e nulla la corrente di conduzione.Poiche lequazione di continuita della corrente e comunque valida, se nededuce che la jS e il termine che permette di prolungare la densita dicorrente oltre la regione di conduzione, andando ad invadere la regione

dielettrica circostante.In un caso piu realistico nel quale sia le armature del condensatore,

sia il dielettrico interposto siano non ideali, entrambi sono sede di cor-rente sia di conduzione, sia di spostamento, e diviene pertanto significa-tivo definire la densita di corrente totale, somma delle densita di correntedi conduzione e di spostamento:

jtot = j +jS .

La correzione da apportare allequazione (3.4) al fine di riconciliare irisultati che essa descrive con levidenza sperimentale e ora facilmente

identificabile: al secondo membro di questa equazione non va consideratala sola corrente di conduzione, quanto invece la corrente totale, di modoche lequazione (3.4) va riscritta nella forma

o

h d =

S()

jtot n dS =

S()

j n dS+

S()

d

t n dS . (3.5)

e la nuova equazione cosi riscritta prende il nome di equazione di AmpereMaxwell.

3.5 Le equazioni di Maxwell

Le equazioni (3.3) e (3.5) sono le equazioni di Maxwell che descrivono lapropagazione delle onde elettromagnetiche. Cosi come sono state scritte,esse si presentano nella forma indicata con il nome di forma integrale,ovvero in una forma nella quale le grandezze in gioco sono quantit afisiche che risultano osservabili e misurabili su intervalli di tempo e suregioni dello spazio con dimensioni finite.


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3.5. LE EQUAZIONI DI MAXWELL 25

In una forma alternativa, detta forma differenziale, le equazioni pos-sono essere scritte con riferimento a quantita puntuali ed istantanee.La forma differenziale delle equazioni e ricavabile a partire dalla formaintegrale mediante lapplicazione dei teoremi di Stokes e di Gauss; nederivano le seguenti equazioni:

e = b

t, (3.6)

h = j +d

t. (3.7)

Prima di intraprendere lo studio di queste equazioni e ora utile derivarealcune relazioni tra le grandezze elettromagnetiche che in esse com-paiono. Si consideri ad esempio lequazione (3.6) e si calcoli la divergenzadi entrambi i membri; si ottiene

b

t

= 0 , (3.8)

e, quando b e una funzione sufficientemente regolare in modo che loperatoredi divergenza commuti con quello di derivazione rispetto al tempo, anche

t ( b) = 0 b = 0 , (3.9)

dal momento che un qualsiasi campo elettromagnetico di pratico inter-esse e nullo in tutti gli istanti antecedenti listante iniziale di analisi.Lequazione (3.9) trova una immediata giustificazione nellintuito fisico:come si e avuto modo di notare in precedenza, una valore non nullo didivergenza implica infatti la presenza di linee di forza che non si richi-udono su se stesse o, in altri termini, di sorgenti o di pozzi nei qualinasce o termina il campo in esame. Come e ben noto, tuttavia, le lineedi forza del campo di induzione magnetica sono sempre linee chiuse, dalmomento che non esiste una carica elementare magnetica. Ne segue

che, correttamente, la divergenza del campo di induzione magnetica deveessere identicamente nulla.

Una seconda relazione di interesse puo essere ottenuta in modo ana-logo a quanto appena fatto calcolando la divergenza di ambo i membridella seconda equazione di Maxwell. Si ottiene in questo caso

j =

t( d) =

Ct

, (3.10)


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dove si e nuovamente supposto che il campo d abbia sufficienti pro-prieta di regolarita tali da garantire lintercambiabilita degli operatoridi derivata rispetto al tempo e di divergenza, e si e usata la legge diGauss per esprimere la relazione in termini della densita di carica vol-umetrica C. Anche in questo caso la relazione (3.10) appena ricavatatrova una semplice giustificazione fisica: essa infatti non e altro chela formulazione differenziale della equazione di continuita, gia vista nelprecedente capitolo.

3.6 Le correnti impresse

Lo studio della propagazione delle onde elettromagnetiche richiede es-senzialmente la capacita di risolvere le equazioni di Maxwell. La primacosa da fare e allora quella di individuare quali delle grandezze che in essecompaiono siano da considerarsi come grandezze incognite, e quali invecepossano essere considerate alla stregua di termini noti. La distinzione,che puo apparire banale da un punto di vista matematico, richiede inveceuna certa cura quando applicata ai casi pratici ed anzi, come si vedratra breve, nella maggior parte dei casi essa e una distinzione artificiosache comporta lintroduzione di approssimazioni: nella realta, infatti,

nessuna delle grandezze che compaiono nelle equazioni di Maxwell puoessere ritenuta nota a priori, ed indipendente da tutte le altre.

Per chiarire il concetto si immagini di voler studiare il campo elettro-magnetico generato da una antenna, per esempio filiforme. Sulla scortadelle nozioni di teoria dei circuiti elettrici si e portati a pensare che,quando lantenna viene collegata ad un generatore di cui si conosca lacaratteristica di tensionecorrente, ed il generatore viene fatto lavoraread una assegnata tensione, sullantenna si manifesta un ben determinatovalore della corrente. Nella realta, tuttavia, la distribuzione di correnteche viene a trovarsi sullantenna genera un campo elettromagnetico che,a sua volta, provoca la presenza di una corrente sulla stessa antenna. In

sostanza, la corrente totale che e presente sullantenna non dipende solodal generatore, ed a rigore non e dunque corretto ritenere che essa siaun dato del problema noto a priori.

Per poter procedere nello studio delle equazioni di Maxwell la dis-tinzione tra termini noti e termini incogniti e tuttavia indispensabile ecio che si usa fare e allora introdurre delle approssimazioni, decidendo diritenere noti a priori quei termini che possono essere stimati con buona


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3.7. RELAZIONI COSTITUTIVE 27

approssimazione, o che possono essere misurati sperimentalmente conrelativa facilita. Spesso si riscontra che le grandezze che soddisfano aquesti requisiti sono le densita di corrente elettrica impressa, indicate quicon il simbolo ji, che sono le densita di correnti presenti in una regionedello spazio che si usa indicare con il nome di regione delle sorgenti.

Nello spirito di questa approssimazione, le equazioni di Maxwell inpresenza di sorgenti si scrivono allora come segue:

e = b

t, (3.11)

h = j +dt

+ji . (3.12)

3.7 Relazioni costitutive dei mezzi elettromag-

netici

Dal punto di vista matematico, le equazioni (3.11,3.12) rappresentano unsistema con 15 incognite scalari (le tre componenti di ognuno dei cinquecampi vettoriali e, b, h, d ej) e 6 equazioni. Per poter procedere alla lororisoluzione e dunque necessario individuare delle ulteriori relazioni chepermettano di ridurre il numero delle incognite. Queste relazioni sonole relazioni costitutive del mezzo nel quale ha luogo la propagazione.

Per chiarire di cosa si tratta, si analizzi dapprima il caso piu sem-plice possibile, quello di un campo che si propaga nel vuoto in assenzadi sorgenti. In questo caso, poiche non vi e corrente di conduzione, leincognite sono solo 12, con 6 equazioni. Le relazioni che consentono dichiudere il sistema, riducendo a sei anche il numero delle incognite, sonoquelle che legano tra loro il campo elettrico al campo spostamento elet-trico ed il campo magnetico al campo di induzione magnetica, secondole relazioni

d = 0e , 0 = 8.85 1012F/m , (3.13)

b = 0h , 0 = 4 107H/m . (3.14)

Le costanti 0 e 0 prendono rispettivamente il nome di permittivitadielettrica e permeabilita magnetica (del vuoto) e la loro introduzionemostra come per descrivere la propagazione di un campo nel vuoto nonsiano in realta necessari tutti quattro i vettori d, e, b e h, ma ne bastinoinvece solo due, uno di tipo elettrico ed uno di tipo magnetico.


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A tale proporsito, va notato che sebbene da un punto di vista pu-ramente formale non vi sia ragione per preferire e a d, o h a b, con-siderazioni di tipo relativistico fanno tuttavia assumere i vettori e edh come vettori fondamentali, ed i vettori d e b come vettori derivati eper questa ragione le equazioni di Maxwell si scrivono usualmente conriferimento ai campi elettrico e magnetico.

Nel caso piu generale nel quale la propagazione avviene sempre inassenza di sorgenti, ma allinterno di un mezzo materiale, per procederealla riduzione del numero delle incognite e necessario individuare dellerelazioni piu generali che consentano di esprimere il legame tra i campi

b, d e j ed i campi e ed h. Nella pratica si riscontra che tali relazionisono dei funzionali del tipo

d = d(e) , b = b(h) , j = j(e) , (3.15)

che possono essere esplicitati solo analizzando con adeguato dettagliole proprieta generali dei mezzi materiali. Queste proprieta si dividonoin due classi: le proprieta connesse alle simmetrie dei mezzi materiali,e le proprieta connesse alla relazione di causaeffetto che vale in ognisistema fisico reale. Al primo tipo di proprieta appartengono le seguenticaratteristiche:

Omogeneita nel tempo. Questa caratteristica esprime linvarianzanel tempo del sistema fisico, ovvero il fatto che il comportamentodel sistema stesso e indipendente dal particolare istante nel qualeesso viene considerato. In altri termini, una traslazione tempo-rale di una sollecitazione che venga imposta al sistema si riflettesolamente in una corrispondente traslazione della risposta che ilsistema fornisce, di modo che la scelta dellorigine della coordi-nata temporale e del tutto arbitraria.

Omogeneita nello spazio. In maniera del tutto analoga, un mezzogode di questa proprieta se una traslazione spaziale di una sol-lecitazione ad esso imposta si riflette solamente in una corrispon-dente traslazione spaziale della risposta del mezzo. Quando adun mezzo si applica questa proprieta, diventa arbitraria la sceltadellorigine di un sistema di riferimento spaziale.

Isotropia. Questa proprieta, di tipo spaziale, tiene conto del fattoche le sollecitazioni e le risposte di un mezzo materiale possono


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avere natura vettoriale. In particolare, si dice che un mezzo eisotropo se ad una rotazione della sollecitazione corrisponde unauguale rotazione della risposta. Da un punto di vista fisico, cio im-plica che tutte le direzioni dello spazio sono tra di loro equivalenti,e che sollecitazione e risposta sono tra loro allineate.

Alla seconda classe appartengono invece le seguenti proprieta:

Linearita. Un sistema si dice lineare se ad una sovrapposizione li-neare di cause, ognuna pesata per un determinato coefficiente, cor-risponde una sovrapposizione lineare degli effetti, pesati secondo

gli stessi coefficienti. Quando ad un sistema si applica questa pro-prieta si usa dire che in quel sistema vale il principio di sovrappo-sizione degli effetti.

Dispersivita. Questa caratteristica riguarda la memoria tempo-rale o spaziale di un sistema. In particolare, si usa dire che unsistema e dispersivo nel tempo se la risposta che esso presenta inun determinato istante temporale dipende dal valore che la sol-lecitazione assume anche in altri istanti temporali. Si noti che,dovendo valere il principio di causalita, se un mezzo e dispersivonel tempo, la risposta cui esso da luogo allistante t = t0 puodipendere solo dal valore della sollecitazione negli istanti t t

0.

In maniera analoga, il mezzo si dice dispersivo nello spazio se allarisposta che esso presenta in un determinato punto dello spazioconcorrono i valori degli ingressi applicati anche in altri punti dellospazio. A differenza di quanto accade nel caso temporale, tuttavia,poiche lo spazio e tridimensionale e come tale non ammette unaordinamento univoco, leffetto in un punto puo dipendere dallacausa applicata in un qualsiasi altro punto.

Chiarite queste proprieta generali, si puo ora illustrare in manieraesplicita la forma che assumono le generiche relazioni (3.15). In partico-lare, interessa qui valutare il comportamento di mezzi nei quali valgano

le proprieta di linearita e di dispersivita. In questo caso la relazione cheesiste tra il campo di spostamento elettrico ed il campo elettrico (e, ana-logamente, tra il campo di induzione magnetica ed il campo magnetico,e tra il campo di densita di corrente ed il campo elettrico) e data da unoperatore lineare che ammette la seguente scrittura formale:

d(r, t) =

G(r, t, r, t) e(r, t) dr dt , (3.16)


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dove r ed r sono due generici raggi vettori allinterno del volume didefinizione del campo, e t, t due istanti temporali. La matrice G, dettamatrice di Green, e invece la quantita che descrive matematicamente leproprieta del mezzo allinterno del quale si sviluppa il campo elettroma-gnetico. Per esteso, questa matrice si scrive nella forma

G =

gxx(r, t, r, t) gxy(r, t, r, t) gxz(r, t, r, t)gyx(r, t, r, t) gyy(r, t, r, t) gyz(r, t, r, t)gzx(r, t, r, t) gzy(r, t, r, t) gzz(r, t, r, t)

, (3.17)

e quindi, nel caso piu generale possibile, essa dipende da nove funzioni

scalari. Il significato di queste funzioni e di immediata comprensione.Basta infatti considerare il caso in cui al mezzo materiale in esame vengaapplicato un ingresso impulsivo concentrato nello spazio attorno allacoordinata r = r0 e, nel tempo, allistante t = t0:

e(r, t) = e0 (r r0) (t t0) .

Lequazione (3.16) da in questo caso

d(r, t) = G(r, t, r0, t0) e0 , (3.18)

e si riconosce allora che la matrice non e altro che la risposta che il mezzo

presenta nel punto {r, t} quando esso viene sollecitato da un impulsoapplicato in r0 allistante t0. Per quasta ragione la G viene anche dettarisposta impulsiva del mezzo.

Fino a questo punto si sono sfruttate solo le proprieta di linearitae di dispersione. E ora ragionevole domandarsi se luso delle rimanentiproprieta generali dei mezzi materiali possa aiutare a semplificare laforma delle funzioni che compaiono nella matrice di Green, o a ridurneil numero. In dettaglio si osserva quanto segue:

Isotropia. Quando il mezzo gode di questa proprieta, lingresso eluscita sono tra loro allineati nello spazio. Per fissare le idee, siimmagini che la sollecitazione, cioe il campo e, sia diretto lungolasse x. Poiche d e parallelo a e, ne segue gyx() = gzx() 0.Ripetendo poi il ragionamento per un campo e diretto lungo yo lungo z si riconosce che la matrice di Green si semplifica nellaforma

G =

gxx 0 00 gyy 00 0 gzz

.


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Vi e tuttavia di piu: si deve infatti avere gxx = gyy = gzz . Perdimostrare questo fatto e sufficiente usare la definizione di isotropiain base alla quale una rotazione della causa deve comportare unacorrispondente rotazione delleffetto. Si immagini allora di eseguireuna rotazione che porti dallasse x allasse z. Leffetto dovuto allacausa lungo x e pari a gxx ex, mentre quando la stessa causa eapplicata lungo z leffetto e gzzex = gzzex. Poiche gli effetti devonocoincidere, gxx gzz . Analogamente, poi, gxx gyy . Nel caso diisotropia, dunque, la matrice di Green si semplifica in manierasignificativa: essa diviene proporzionale alla matrice identita di

ordine tre, e dipende quindi da una sola funzione scalare.

Omogeneita nel tempo. Per definizione, quando un mezzo godedi questa proprieta, la relazione che esso impone tra lingresso dacui viene sollecitato e luscita che fornisce deve essere invarianterispetto ad una traslazione dellasse dei tempi. Si consideri alloralespressione generale (3.16), e si concentri lattenzione sulla solaintegrazione rispetto alla variabile temporale:

d(t) =

G(t, t) e(t) dt .

Quando la sollecitazione viene traslata di un tempo T, si ha invece

dT(t) =

G(t, t) e(t + T) dt ,

e, dovendo risultare dT(t) d(t + T), segue

G(t, t) = G(0, t t) . (3.19)

Infatti, deve aversi

G(t, t) e(t + T) dt =

G(t + T, t) e(t) dt ,

ovvero, posto t + T = ,

G(t, T) e() d =

G(t + T, t) e(t) dt ,

da cui

G(t, T) = G(t + T, t) ,


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e anche, cambiando con t

G(t, t T) = G(t + T, t) .

Questa relazione deve valere per ogni t, T e t e quindi, in parti-colare, per t = 0: si e cosi ritrovata la (3.19).

Lomogeneita nel tempo implica dunque che la matrice di Green,ed ognuna delle funzioni al suo interno, non dipende separata-mente dai due istanti temporali t e t, ma dipende invece dallaloro differenza.

Omogeneita nello spazio. In maniera analoga, quando un mezzo eomogeneo nello spazio, la matrice di Green non dipende separata-mente dai raggi vettori r e r, ma dalla differenza r r.

Si noti che, da un punto di vista computazionale, la proprietadi omogeneita, sia spaziale sia temporale, consente una sempli-ficazione della matrice di Green mediante una riduzione del nu-mero delle variabili indipendenti che in essa compaiono. Infatti,quando un mezzo e non omogeneo, la matrice di Green dipendeda 8 variabili indipendenti: le 6 componenti scalari dei due raggivettori, e i due istanti temporali. Quando invece vale la propriet a

di omogeneita rispetto al tempo, il numero di variabili indipen-denti scende a 7, e si riduce ulteriormente sino a 4 se insieme allaomogeneita temporale vale anche quella spaziale.

Non dispersivita. Si analizzi dapprima il caso di un mezzo nondispersivo rispetto alla variabile temporale. Per definizione, larisposta del mezzo dipende solo dal valore istantaneo dellingresso.E allora immediato verificare che, affinche questo possa accadereper ogni istante temporale e necessario che la dipendenza della ma-trice di Green dalle variabili temporali sia di tipo impulsivo, ovveroche ognuna delle funzioni di Green contenga una distribuzione diDirac del tipo (t t). In maniera analoga, se vale la proprietadi non dispersivita rispetto alle coordinate spaziali, la dipendenzadella matrice di Green da queste si esprime per mezzo di una dis-tribuzione del tipo (r r).

Nella maggior parte dei casi che verrano illustrati nei capitoli suc-cessivi, i mezzi materiali nei quali si svilupperanno i campi elettromag-netici saranno mezzi lineari, non dispersivi nello spazio, ed omogenei


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nel tempo. La relazione tra d ed e che piu comunemente si utilizzera eallora una relazione che si scrive come:

d(r, t) =

t

G(r, t t) e(r, t) dt . (3.20)

Si noti che lestremo superiore di integrazione e t e non + per effettodel principio di causalita, in base al quale il valore assunto da d al tempot non puo dipendere dai valori di e negli istanti successivi a t. Si notialtresi che lintegrale (3.20) e un integrale di convoluzione, di modo chese il legame tra d ed e viene espresso con riferimento alle corrispondenti

trasformate di Fourier D ed E, si ottiene

D(r, ) = (r, )E(r, ) , (3.21)

dove si e indicato con (r, ) la matrice delle trasformate di Fourier dellarisposta impulsiva del mezzo materiale. Essa e ancora detta permittivitadielettrica del mezzo.

In maniera del tutto analoga, le relazioni tra le rimanenti grandezzeelettromagnetiche si scrivono come

B(r, ) = (r, )H(r, ) , (3.22)

dove e ancora la permeabilita magnetica del mezzo, e

J(r, ) = (r, )E(r, ) , (3.23)

dove e la conducibilita del mezzo, misurata in [1m1]. Come eimmediato riconoscere, lultima relazione scritta non e altro che la leggedi Ohm.

Le equazioni (3.213.23) possono apparire formalmente analoghe alle(3.13,3.14). Tuttavia, e essenziale notare che tra le due coppie di re-lazioni vi e in realta unimportante differenza. Infatti, le (3.13,3.14)sono state scritte con riferimento ai campi nel dominio del tempo, e la

loro validita e essenzialmente legata al fatto che il vuoto e un mezzo nondispersivo rispetto al tempo ed allo spazio. Le (3.213.23) valgono invecenel dominio della frequenza, e se si vogliono ottenere le corrispondentirelazioni nel dominio del tempo e necessario il calcolo di un integrale diconvoluzione.

Si noti altresi che le (3.213.23) sono state ottenute assumendo lalinearita del mezzo materiale. Il caso piu generale di propagazione in


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mezzi non lineari comporta ulteriori complicazioni, e verra qui illustratosolo per sommi capi. Il modo con cui si procede e il seguente. Si evisto allinizio del paragrafo che per ridurre il numero delle incognite enecessario individuare delle relazioni tra b e h, e tra d e e. Si possonoallora introdurre due e nuovi campi, detti di polarizzazione elettrica, p,e di polarizzazione magnetica, m, definiti come segue:

p = d 0 e , m =1

0(b 0 h) .

Questi nuovi vettori sono diversi da zero nei mezzi materiali, ed identica-

mente nulli nel vuoto, e racchiudono in se le proprieta elettromagnetichedei mezzi in esame. Ovviamente, lintroduzione dei vettori di polariz-zazione non e di per se sufficiente ad ottenere la riduzione del numerodelle incognite, che sono sempre 15, ma risulta utile perche, almeno inalcuni casi di interesse pratico, analizzando il comportamento microscop-ico della materia che costituisce il mezzo materiale si possono scriveredelle relazioni che forniscono esplicitamente il valore delle polarizzazioni.In generale, si trova che queste possono essere scritte nella forma di unaserie di Taylor del tipo

p = (1) e + (2) e2 + . . .

dove il generico parametro (n) prende il nome di suscettivita elettrica(e magnetica nella corrispondente espansione per m) di ordine n. Inparticolare, la suscettivita del primo ordine, (1), e legata allindice dirifrazione e alle perdite del mezzo, la (2) e responsabile di processi qualila generazione di seconda armonica e la conversione di frequenza, e la(3) delleffetto Kerr.

Una ultima osservazione riguarda infine il caso sino a qui escluso,quello della propagazione in presenza di sorgenti. Come si nota dalleequazioni (3.11,3.12), dal punto di vista del numero delle incognite lin-troduzione delle sorgenti non comporta alcuna ulteriore complicazione:

le correnti impresse ji sono infatti dei termini noti la cui conoscenzaprescinde da tutte le altre grandezze.

3.8 Equazioni di Maxwell in regime armonico

Spesso nello studio dei campi elettromagnetici interessa valutare la pro-pagazione di onde il cui andamento temporale e descritto da una funzione


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3.8. EQUAZIONI DI MAXWELL IN REGIME ARMONICO 35

sinusoidale. In questo caso, luso delle equazioni (3.11,3.12) e inutilmenteoneroso e complicato. Infatti, le grandezze che in esse compaiono sonotrattate come grandezze incognite rispetto alla loro dipendenza siadallecoordinate spaziali, sia dalla coordinata temporale. E evidente, invece,che nel caso di campi con andamento sinusoidale, la forma temporaledelle soluzioni, lungi dallessere incognita, e addirittura nota a priori,e le uniche grandezze da determinarsi sono le ampiezze e le fasi dellefunzioni sinusoidali in oggetto.

Diventa allora ragionevole domandarsi se non sia possibile trovareuna forma alternativa delle equazioni di Maxwell che valga per i soli

campi armonici e nelle quali le incognite siano, per lappunto, le ampiezzee le fasi dei campi elettromagnetici. La risposta a questo quesito e pos-itiva, e si basa sullintroduzione del cosiddetto metodo di Steinmetz, odella rappresentazione complessa delle grandezze sinusoidali. In sostanza,si tratta di introdurre per ogni campo un vettore complesso, indicato quicon una lettera maiuscola, ad esempio H nel caso del campo magnetico,legato al corrispondente vettore nel dominio del tempo dalla relazionebiunivoca

h(r, t) = ReH(r) eit

(3.24)

dove con e stata indicata la pulsazione della funzione sinusoidale. Re-

lazioni analoghe alla (3.24) possono essere definite per tutte le rimanentigrandezze elettromagnetiche e, notando che alloperazione di derivazionenel tempo corrisponde, nel dominio dei vettori complessi, loperazionedi prodotto per il fattore i, si perviene infine alla seguente forma delleequazioni di Maxwell:

E = iB = i ()H , (3.25)

H = J + iD + Ji = ()E + i ()E+ Ji . (3.26)

Analogamente, le equazioni delle divergenze assumono la forma

B = 0 , D = .

Nelle (3.25,3.26) si e esplicitamente scritta la dipendenza di tuttii parametri dalla frequenza , e si e anche tenuto conto del fatto cheessi possono avere natura tensoriale. In realta, nella quasi totalita deicasi che verranno trattati nel seguito, le equazioni di Maxwell verrano


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studiate con riferimento a mezzi isotropi nei quali, come visto, i pa-rametri , e si riducono a parametri scalari. Per cio che con-cerne la loro dipendenza dalla frequenza e invece necessario aggiungerequalche ulteriore precisazione. In particolare, poiche la conducibilita e sostanzialmente costante, e quindi non dispersiva, fino alle frequenzedellinfrarosso, spesso se ne tralascera la dipendenza da . Da un puntodi vista fisico cio corrisponde ad assumere che la risposta della correntedi conduzione allapplicazione di un campo elettrico sia sempre istanta-nea. Il caso dei parametri e e invece diverso: per cio che concernela permittivita dielettrica occorre infatti notare che molti dei mezzi di

interesse presentano una significativa dispersione temporale, cosicche ladipendenza di da diventa essenziale ai fini di una corretta model-lizzazione della propagazione. Per la permeabilita magnetica, infine, visono tre casi da prendere in considerazione. Il primo e quello dei mate-riali non magnetici, nei quali non vi e dispersione e quindi puo essereassunta costante ed anzi, con buona approssimazione, coincidente conquella del vuoto. Il secondo caso e quello dei materiali magnetici, siaparamagnetici, sia diamagnetici, nei quali la dispersione e largamenteavvertibile, a la dipendenza di da non puo quindi piu essere tralas-ciata. Il terzo ed ultimo caso e quello dei materiali ferromagnetici, neiquali intervengono fenomeni non lineari nel legame tra B e H.

Prima di concludere il paragrafo, si introducono due nuove grandezze,la permittivita complessa e langolo di perdita. Per cio che concerne ilprimo di questi parametri, la definizione discende dal fatto che nellequa-zione (3.26) compaiono due termini che dipendono dal campo elettricoE. Si indica con il permittivita complessa la grandezza

C = i

,

e la sua introduzione nella (3.26) porta a riscrivere la seconda equazionedi Maxwell nella seguente forma compatta

H = i C()E + Ji .

Si noti che, da un punto di vista fisico, la permittivita complessa noncorrisponde ad una quantita realisticamente misurabile. Essa infattiracchiude in un unico contributo due densita di corrente, quella di con-duzione e quella di spostamento, la cui natura fisica e in realta profonda-mente diversa. Da un punto di vista puramente matematico, tuttavia,


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3.9. CONDIZIONI DI CONTINUITA 37

la definizione di permettivita complessa non presenta difficolta e, comesi vedra nel seguito, il suo uso consente di trattare in modo semplice edunificato i casi di propagazione in presenza ed in assenza di perdite.

Per cio che concerne langolo di perdita, infine, esso e indicato conla lettera , ed e definito come segue (si illustra per semplicita il caso diun mezzo isotropo):

tan() =Im{} +

Re{}con = Re{} iIm{} .

Langolo di perdita e nullo per un mezzo con conducibilita nulla e con puramente reale. Si vedra nel seguito che questultimo requisito epressoche impossibile da realizzare in pratica, a meno che il mezzo nonsia rigorosamente non dispersivo. Quando invece il mezzo ha perdite,ed e un mezzo passivo, la tangente dellangolo di perdita e un numeropositivo e per convenzione si assume 0 /2.

3.9 Condizioni sulle superfici di discontinuita

In un contesto fisico reale un campo elettromagnetico si propaga sem-pre in una regione dello spazio nella quale il mezzo materiale presenta

delle disomogeneita. E allora utile sapere come si comportano le com-ponenti del campo in prossimita di queste, ovvero stabilire uninsieme dicondizioni che vengono usualmente indicate con il termine di condizionisulle superfici di discontinuita.

Si analizza per primo il comportamento del vettore spostamento elet-trico d nel dominio del tempo. In virtu della legge di Gauss, se si con-sidera una superficie chiusa S che racchiude un volume V nel quale siapresenta una carica Q, si ha

o

Sd n dS = Q ,

dove con n si e indicata, come al solito, la normale alla superficie Sorientata secondo il verso di uscita da questa.

Si immagini ora che S sia la superficie di discontinutita tra due mezzimateriali rispettivamente indicati con i simboli di mezzo 1 e mezzo 2,e si consideri un volumetto cilindrico V che interseca S. Sia S lareadelle basi del cilindro, L la sua altezza, e Q la carica elettrica in essoracchiusa.


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n

S

1

2

SL

Lapplicazione delle legge di Gauss al volumetto V fornisce il seguenterisultato:

Sd1 n + Sd2 n + L = Q .

dove con L si e indicato il flusso di d attraverso la superficie lateraledel cilindro, mentre d1 e d2 sono i campi spostamento elettrico rispetti-vamente nel mezzo 1 e nel mezzo 2 . Si faccia ora tendere L a zero,lasciando inalterata S. Il flusso L tende a zero, e si ottiene cosi:

S(d2 d1) n = limL0

Q = QS ,

dove QS

e la carica superficiale eventualmente presente su S. Infine,si faccia tendere anche S a zero. Si ottiene:

(d2 d1) n = limS0

QSS

= S , (3.27)

dove S indica la densita superficiale di carica, misurata in [Cm2]. La

differenza tra le componenti normali del vettore spostamento elettrico edunque pari al valore della densita superficiale di carica presente su unaeventuale superficie di discontinuita tra mezzi materiali.

Una interssante conseguenza di questo fatto e la seguente: si immag-ini che la superficie S sia la superficie di un conduttore elettrico perfetto.

Come e noto dallelettrostatica, sulla faccia interna di questa superficieil campo spostamento elettrico d1 e nullo e quindi, per avere campo aldi fuori della superficie metallica e necessario che sul conduttore sianodepositate delle cariche elettriche.

Con un procedimento analogo, partendo dallequazione b = 0, siottiene

(b2 b1) n = 0 . (3.28)


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Le componenti normali di b sono dunque sempre continue nellattraversareuna qualsiasi superficie di discontinuita tra mezzi materiali.

Spesso la (3.28) viene scritta nella seguente forma generalizzata:

(b2 b1) n = Ms ,

dove con Ms e indicata una quantita fittizia, e quindi sempre nulla nellarealta, che ha le dimensioni di Tesla e che viene introdotta al solo scopodi rendere simmetriche le equazioni di Maxwell. In queste equazioni,infatti, compaiono solo densita di correnti e di cariche elettriche, comedeve essere dal momento che non esiste la carica magnetica elementare.

Lintroduzione del termine Ms consente di far comparire nelle equazioniun termine di carica magnetica che le rende maggiormente simmetriche.Tale termine e evidentemente un puro artificio matematico, e non haalcun riscontro fisico misurabile; tuttavia si vedra nel seguito che, alpari di altri termini solo matematicamente sensati, esso consente unatrattazione unificata e semplificata di alcuni problemi di propagazione,e solo a tale scopo esso viene introdotto.

n

a

tL

c

S

1

2

a

Per cio che concerne la continuita dei rimanenti campi e e h si puoprocedere come segue. Si indichi ancora con S la superficie di disconti-nuita tra due mezzi materiali e si individui ora un circuito rettangolarechiuso che intersechi ortogonalmente S. Sia () la superficie ret-tangolare contornata da , con lunghezza L ed altezza a. Inoltre, siindichino come n e t i versori rispettivamente normale e tangente a Se si applichi la legge di AmpereMaxwell al circuito e alla superficie(). Si ottiene

o

h c d =

()

d

t w d +

()

j w d ,

dove c indica il versore tangente al circuito in ogni suo punto, e j ladensita di corrente che attraversa (). In particolare, nel mezzo 2


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c risulta parallelo a t ed il contributo al primo membro dellintegralee dunque pari a Lh2 t. Analogamente, nel mezzo 1 c e antiparal-lelo a t di modo che il contributo allintegrale risulta pari a Lh1 t.Pertanto, indicato con Ca il contributo alla circuitazione che deriva daitratti verticali di , la legge di AmpereMaxwell si riscrive dunque nellaforma

L(h2 h1) t + Ca =dt

+ I ,

dove d e I sono il flusso di spostamento elettrico e la corrente chefluiscono attraverso (). Si faccia ora tendere a zero laltezza a di :

si annullano cosi Ca e d (perche e il flusso attraverso una superficie lacui misura tende a zero), e la relazione di AmpereMaxwell si semplificanella forma

L(h2 h1) t = lima0

I = IS .

La quantita IS rappresenta la corrente superficiale che attraversa lalinea di lunghezza L tracciata dallintersezione di con S. Quandoanche L viene infine fatto tendere a zero, si ottiene allora

(h2 h1) t = limL0

ISL

= jS w , con LjS w = IS .

Si riarrangino ora i termini per mezzo delle seguenti operazioni di calcolovettoriale: poiche per costruzione t = w n si ha innanzi tutto, in virtudella regola della permutazione ciclica del prodotto misto

(h2 h1) (w n) w [n (h2 h1)] = jS w ,

da cui anche, n (h2 h1)

w = jS w ,

e poiche questa relazione deve valere comunque sia orientato w sullasuperficie S,

n (h2

h1

) = js

. (3.29)Al primo membro ce la differenza tra le componenti di campo magne-tico, prodotte esternamente per il versore normale alla superficie: sitratta in sostanza delle componenti di h tangenti alla superficie stessa.La relazione (3.29) si legge allora come segue: su una superficie di discon-tinuita tra due mezzi materiali la differenza tra le componenti tangentidi h e pari al valore della densita superficiale di corrente che fluisce sulla


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superficie stessa. Chiaramente, se sulla superficie non fluisce corrente ilcampo magnetico tangente e continuo.

Per cio che concerne la continuita delle componenti di campo elet-trico, infine, lapplicazione delle legge di Faraday porge il seguente risul-tato:

n (e2 e1) = 0 . (3.30)

Le componenti tangenti di e sono sempre continue nel passaggio at-traverso una qulsiasi superficie di discontinuita tra due mezzi materiali.Spesso, tuttavia, in analogia a quanto fatto nel caso del campo di in-

duzione magnetica, si usa scrivere la (3.30) nella forma generalizzata

n (e2 e1) = jMs ,

dove jMs e una quantita fittizia, e come tale quindi nulla in un qual-siasi contesto fisico reale, che prende il nome di densita superficiale dicorrente magnetica e che, ancora una volta, viene introdotta al soloscopo di aumentare la simmetria nelle equazioni di Maxwell. Si noti aquesto proposito che, proprio per ottenere la maggiore simmetria possi-bile, questa densita di corrente fittizia viene qui introdotta con il segnonegativo.


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Capitolo 4

Primi esempi di risoluzione

delle equazioni di Maxwell

Si e visto nel capitolo precedente che le equazioni dellelettromagnetismorappresentano, nel loro complesso, un insieme di equazioni differenzialialle derivate parziali (che compaiono negli operatori rotore e divergenza)con un numero di incognite che, in generale, e pari a 15 e puo eventual-mente essere ridotto fino a 6 con lintroduzione delle leggi del legame

materiale e con la legge di Ohm.La risoluzione delle equazioni di propagazione e dunque, in ogni caso,un problema matematico di notevole complessita, e cio comporta ine-vitabilmente il fatto che non puo essere trovata una soluzione del tuttogenerale per le equazioni di Maxwell, ma solo soluzioni particolari, ot-tenute in molti casi introducendo opportune ipotesi semplificative sulmezzo nel quale avviene la propagazione, o sulle sorgenti che generanoil campo.

Scopo di questo capitolo e quello di illustrare alcune tecniche matem-atiche che, nellambito di validita di tali ipotesi, consentono la risoluzionedelle equazioni, e forniscono una prima esemplificazione dei fenomeni

fisici in gioco.

4.1 La soluzione nel dominio del tempo

Si cominci dunque con il considerare le equazioni di propagazione espressenel dominio temporale e si supponga che siano verificate le seguentiipotesi:

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44 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE

1. il mezzo nel quale si sviluppa il campo elettromagnetico e un mezzolineare, omogeneo, non dispersivo ed isotropo. Le grandezze , e sono quindi delle quantita scalari costanti, che pongono inrelazione di diretta proporzionalita il campo elettrico al campodi spostamento dielettrico, ed il campo magnetico al campo diinduzione magnetica;

2. il campo elettromagnetico, non nullo, si suppone eccitato da sor-genti che sono al di fuori della regione in cui il campo viene studi-ato.

Come si puo notare, le ipotesi sono estremamente restrittive ed ideali,e lasciano fuori una quantita di casi che, invece, sono di larga utilitapratica. Infatti, in base a queste ipotesi, lo studio del campo e ristrettoa regioni di spazio nelle quali non vi sono disomogeneit a, il che e unaevidente limitazione in tutti quei casi nei quali, ad esempio, si intendaanalizzare il campo elettromagnetico in unarea nella quale vi siano edi-fici, automobili ed altri oggetti che possono interrompere lomogeneitadel mezzo stesso. In modo del tutto analogo, anche lipotesi che richiedelassenza delle sorgenti nella zona in cui lo studio viene affrontato pu orivelarsi troppo restrittiva, escludendo di fatto tutto lo studio dei campi

in prossimita di antenne o di altri dispositivi in grado di irradiare radi-azioni elettromagnetiche.

Tuttavia, come si accennava in precedenza, questo e il prezzo da pa-gare al fine di ottenere delle soluzioni per un problema matematico che e,di sua natura, estremamente complesso, e va per altro notato che nel se-guito si avra modo di sottolineare come particolari soluzioni che possonoessere trovate con lintroduzione di queste ipotesi restrittive formino inrealta un insieme completo di soluzioni. Cio significa che, mediante unaopportuna combinazione degli elementi della famiglia di soluzioni cos itrovata, e possibile descrivere un qualsiasi campo elettromagnetico chesi sviluppi in un mezzo lineare, ma non piu necessariamente omogeneo

e privo di sorgenti.Si considerino dunque le equazioni nel dominio del tempo:

e = bt

= ht

,

h = j + dt

= e + e

t,


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4.1. DOMINIO DEL TEMPO 45

e si supponga, per il momento, = 0. Calcolando il rotore della secondaequazione e sostituendo e dalla prima si ottiene la nuova relazione

h = 2h

t2,

che e una equazione che coinvolge una sola delle incognite, ma non edi semplice risoluzione per la presenza del doppio rotore. A riguardo diquesto doppio operatore differenziale, va notato che esso viene incontratoin molte delle equazioni che descrivono fenomeni elettromagnetici, ed eallora opportuno ricordare che, per definizione di Laplaciano vettoriale,vale per un qualsiasi campo vettoriale a

a = 2a + ( a) .

Nel caso in esame si ha allora

2h + ( h) = 2h

t2.

Si ricorda inoltre che lequazione per la divergenza di b fornisce

b = (h) = 0 ,

e poiche si e supposto che il mezzo sia omogeneo nella regione in cui edefinito il campo, ovvero ivi =costante, anche

h = 0 .

Cio consente di semplificare notevolmente lequazione differenziale chedescrive il comportamento di h, per giungere alla cosiddetta equazionedelle onde vettoriali, o equazione di DAlembert

2h 2h

t2= 0 ,

che, in coordinate cartesiane, diventa

2h

x2+

2h

y2+

2h

z2 1

v22h

t2= 0 , v =

1

.

Si illustra ore come una soluzione di questa equazione possa essere in-dividuata con relativa semplicita e, al fine di formire una idea intuitiva


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della propagazione senza appesantire eccessivamente la trattazione, sisuppone che il campo h abbia una sola componente scalare e che esso sisviluppi lungo una sola direzione dello spazio, per esempio la direzionez; si ottiene cosi

2h

z2 1

v22h

t2= 0 ,

e si puo verificare che una soluzione e

h(z, t) = f(z vt) + g(z + vt) ,

nella quale f() e g() sono due funzioni arbitrarie. Come era ragionevoleattendersi, la soluzione e data dalla sovrapposizione di due forme dondache si muovono luna nel verso delle z crescenti (la funzione f), e laltranel verso delle z descrescenti (la funzione g), con velocita pari a v. Ovvi-amente, la particolare forma delle funzioni f e g e data dalle condizionial contorno che vanno applicate allequazione differenziale che forniscela soluzione per h e che, fisicamente, rappresentano il modo in cui ilcampo elettromagnetico viene instaurato dalle sorgenti che, si ricorda,sono al di fuori dellanalisi che si sta conducendo in questo momento.Nella figura viene illustrato il movimento della funzione f con lo scorreredel tempo.

z

t > 0

t = 0

z

Dz = v Dt

Figura 4.1: Evoluzione della forma donda f(

) allo scorrere del tempo.

Velocita della luce

Nel ricavare lequazione delle onde vettoriali si e posto

v =1

,


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4.1. DOMINIO DEL TEMPO 47

e si e visto che questa e la velocita con cui le funzioni f e g avanzanonel tempo. La velocita v e dunque la velocita dellonda elettromagnet-ica nel mezzo caratterizzato dalle costanti e , ed e essa stessa unacaratterisitca del mezzo. In particolare, se la propagazione avviene nelvuoto, si ha

= 0 = 4 107 H/m , = 0 = 8.85 1012 F/m ,e risulta v c0 3 108 m/s.

Campo elettricoRitornando alla soluzione delle equazioni di propagazione, si e preceden-temente illustrata una serie di calcoli che ha fornito una soluzione peril campo magnetico h. Con procedura analoga e poi possibile ricavareuna soluzione anche per il campo elettrico: si ottiene infatti

e = 2e

t2,

da cui

2e + ( e) = 2e

t2,

e, poiche d = (e) = e = = 0 ,in assenza di cariche libere ed in un mezzo omogeneo, ne risulta nuova-mente lequazione delle onde vettoriali

2e 1v2

2e

t2= 0 ,

che mostra come anche il campo e sia costituito dalla somma di dueonde, una progressiva e una regressiva, che si muovono con velocita v.

Osservazioni1. Sebbene cio non sia stato sottolineato esplicitamente in prece-

denza, e opportuno notare che, nel derivare lequazioni delle ondevettoriali, si e fatto uso delle ipotesi inizialmente poste. In parti-colare, lipotesi concernente luniformita del mezzo allinterno deldominio di definizione del campo e stata usata per passare rispet-tivamente dalle equazioni per le divergenze di b e d a quelle per


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h e e. Si noti che, qualora lipotesi venisse a cadere, non sarebbepiu possibile eliminare il termine del tipo () e passare cosi daldoppio rotore al laplaciano.

Da un punto di vista fisico, cio si lega al fatto che, in un mezzonon omogeneo, si ha la nascita di nuove componenti di campo neipunti in cui o variano, con il risultato che il campo non puopiu essere espresso come somma di due sole onde.

In maniera del tutto analoga, si ritroverebbe lo stesso problemaqualora fosse la seconda delle ipotesi di partenza a cadere. Infatti,

nel caso in cui vi fossero sorgenti allinterno della regione di spaziodove lo studio viene svolto, risulterebbe d = 0, cosa che, ancorauna volta, non consentirebbe piu il passaggio dal doppio rotore allaplaciano. Anche in questo caso, la spiegazione fisica del fenomenoe immediata, in quanto la presenza di sorgenti implica la creazionedi un nuovo campo elettromagnetico, con il risultato che il campocomplessivo non puo essere scritto come somma di due sole onde.

2. Nella derivazione delle soluzioni per e e h si sono usate due equa-zioni delle onde vettoriali che, apparentemente, sembrano essereindipendenti luna dallaltra, come se i campi elettrico e magnetico

potessero evolvere luno indipendentemente dallaltro. Cio e evi-dentemente falso, ed e dovuto al fatto che per ottenere le equazionidelle onde vettoriali si e dovuto alzare il grado delle equazioni dipartenza, introducendo in tal modo delle soluzioni spurie. La pro-cedura corretta per lindividuazione del campo elettromagnetico{e, h} richiede quindi un procedimento differente, basato sul fattoche uno solo dei due campi puo essere risolto tramite lequazionedelle onde vettoriali, mentre il secondo va ricavato tramite le e-quazioni di Maxwell.

3. Lequazione delle onde vettoriali e stata derivata supponendo che

sia = 0, cioe che il mezzo sia privo di perdite. Il caso di unmezzo con perdite puo, tuttavia, essere facilmente analizzato sullafalsariga di quanto fatto nel caso di mezzo privo di perdite, e sitrova

2h 2h

t2 h

t= 0 .

Le perdite compaiono quindi in un termine di derivata prima che


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4.2. DOMINIO DEI VETTORI COMPLESSI 49

agisce come una forza di attrito che causa smorzamento delle fun-zioni f e g.

4.2 La soluzione nel dominio dei vettori comp-

lessi: lequazione di Helmoltz

Si considerino ora le equazioni dei rotori nella rappresentazione comp-lessa per un campo in assenza di sorgenti ed in un mezzo lineare, omo-geneo ed isotropo. Esse sono

E = iH ,

H = iCE .

Si noti che, a differenza di quanto accade per le equazioni nel dominio deltempo, lintroduzione della permettivita complessa consente uno studiounificato dei casi di mezzi con e senza perdite. Inoltre, non e piu nec-essario supporre il mezzo non dispersivo perche nel dominio dei vettoricomplesi il legame tra D ed E (e tra B e H) e comunque espresso dauna relazione di proporzionalita diretta, almeno fintanto che non inter-vengono fenomeni nonlineari.

Analogamente a quanto si era fatto nella derivazione dellequazionedelle onde vettoriali, se si sostituisce E nella seconda equazione, siricava ora

H = iC( E) = iC(iH) ,

e, utilizzando il fatto che H = 0, si ottiene infine la seguente equa-zione, detta di Helmoltz:1

2H 2H = 0 , 2 = 2C .

Questa equazione, usata qui per descrivere levoluzione della rappresen-tazione complessa H del campo magnetico, e una delle equazioni fonda-mentali dellelettromagnetismo. Come si avra modo di apprezzare nel

1In maniera del tutto analoga, sostituendo H nella prima delle equazioni di

Maxwell, risulta anche

2E

2E = 0 .


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seguito, infatti, essa rappresenta il formalismo matematico che ricorrein molti dei problemi che si affrontano nello studio dei campi elettro-magnetici e, proprio in virtu di questo fatto, nel corso degli anni essa estata approfonditamente studiata, con il risultato che sono ora disponi-bili svariate tecniche utili alla sua risoluzione, sia analitica, sia numerica.Per questa ragione dora in avanti si cerchera sempre, ove possibile, diridurre le equazioni della propagazione alla forma di una equazione diHelmoltz, e si considerera questultima come una equazione trattabilecon la quale lavorare preferibilmente.

Chiarito questo concetto, si puo ora illustrare la natura del fenomeno

che lequazione descrive. A tal fine risulta utile procedere ancora unavolta in analogia con quanto fatto nel caso della risoluzione per le e-quazioni nel dominio del tempo, e supporre per semplicita che il campoevolva lungo una sola direzione dello spazio, per esempio quella parallelaallasse z. Lequazione di Helmoltz si semplifica allora nella forma

2H

z2 2H = 0 ,

ed ammette una soluzione del tipo

H = H01ez + H02e

z .

Si usa anche scrivere

= C = + i ,

dove 0 (e = 0 se e solo se = 0) prende il nome di costante diattenuazione, mentre (assunta per convenzione positiva), viene dettacostante di fase dellonda. Nel caso di propagazione in un mezzo privodi perdite si ha pertanto

H = H01 eiz + H02 e

iz ,

ed e facile verificare che, in accordo con quanto trovato nello studiodelle equazioni nel dominio del tempo, questa espressione rappresenta lasomma di due onde, una progressiva e laltra regressiva. Infatti, ricor-dando che il campo nel dominio del tempo puo essere ricavato a partireda quello della rappresentazione complessa come

h = Re[Heit] ,


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4.3. I POTENZIALI VETTORI 51

si ottiene, per ognuna delle componenti del campo, una espressione deltipo

h = |H01,| cos(t+z +1,)+|H02,| cos(tz +2,) , {x,y ,z} ,nella quale 1 e 2, sono, rispettivamente, le fasi dei numeri complessiH01, e H02,. Inoltre, in questa espressione, il primo addendo alla destradelluguale rappresenta il contributo di onda regressiva, ed il secondoquello di onda progressiva. Si noti che, laddove nel caso delle equazioninel dominio del tempo si era trovato che lequazione delle onde vettoriali

descriveva la propagazione di unaqualsiasi

forma donda in moto nellospazio con velo

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