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Sergio Console

Calcolo delle Probabilitàseconda parte

Istituzioni di Matematiche

Scienze Naturali

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Probabilità condizionata e indipendenza stocastica

Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad A

p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A. (E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A

soltanto se A è possibile.)

Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera p(A)=15/20=3/4La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è 5/19. La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni

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p(B|A) = 5/19

La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una nera è

p(AB)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76

Regola di moltiplicazione:

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p(B|A) in funzione di p(A) e p(AB)

se p(A)≠0

Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari

B:={ottengo un numero < 5} A:={ottengo un dispari}p(B)=2/3, p(A)=1/2, A B={1,3}, p(A B)=1/3

p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3

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EsercizioLa seguente tabella rappresenta la frequenza mensile in cui dei ragazzi vedono il telefilm “Friends” Numero di volte al mese  Maschi  Femmine  Totale 

0  4  5 9 1 - 5  7  9  16 6 - 10  21  23  44 11 - 15  11  9  20 >15  3  5  8 Totale  46  51  97

Scelgo una persona a caso. •Qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?

p(0|M)=4/46

•Se è un maschio, qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?

p(0)=9/97

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Indipendenza stocastica

Se per due eventi A e B p(A|B)=p(A)si dice: l’evento A è stocasticamente indipendente da BEsempi: •Nell’esercizio precedente: non vedere mai il telefilm “Friends” ed essere maschio non sono stocasticamente indipendenti•Siano A:={una persona è alta più di 1 metro e 75}

B:={una persona non mangia Nutella}Supponiamo che p(A)=0.5, p(B)=0.3, p(AB)=0.15Allora p(A|B)=p(AB)/p(B)=0.15/0.3=0.5=p(A)Dunque A è stocasticamente indipendente da B.

Nota: p(B|A)=p(AB)/p(A)=0.15/0.5=0.3=p(B) anche B è stocasticamente indipendente da A.Questo non è casuale:A è stoc. indipendente da B B è stoc. indipendente da A

e diciamo “A e B sono indipendenti”

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Indipendenza stocastica ≠ indipendenza logica

ovvero in generale possiamo dedurre l’indipendenza stocastica solo dai dati che abbiamo a disposizione

Però può accadere che dalla logica dell’evento si possa dedurre l’indipendenza

Esempio: in un’urna ci sono 10 palline rosse e 12 nere. Estraiamo dall’urna una pallina poi la rimettiamo nell’urna (estrazione con reimbussolamento). SianoA1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione}A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione}L’aver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza la probabilità che la seconda sia rossaA1 e A2 sono indipendenti

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Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Esempio: Nel caso dell’estrazione con reimbussolamento dell’esempio precedente la probabilità di estrarre entrambe le volte una pallina rossa è

p(A1A2)=p(A1)p(A2)=(10/22)2

Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi indipendenti A e B:

p(AB)=p(A)p(B)

Nota: non confondere i concetti di “eventi disgiunti” ed “eventi indipendenti”. Due eventi disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi fosse avrei p(AB)=p(ø)=0=p(A)p(B), quindi p(A) o p(B) sarebbe nulla). In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti: se un evento è realizzato non può esserlo l’altro.

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EsercizioSi hanno tre urne.U1 ha 2 palline bianche e 2 nereU2 ha 1 pallina bianca e 3 nereU3 ha 4 palline bianche e 2 nereSi sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina.Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?

U1 bianca

U2 bianca

U3 bianca

1/31/3

1/3

1/2

1/4

2/3

P(bianca)=1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/3 + 2/3 * 1/3=17/36

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Teorema delle probabilità totali

Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An

( ) ( ) ( )

)()|(...)()|(

....

,,,,...,

11

1

1

nn

n

n

APABPAPABP

ABPABPBP

BAA

++=

=∩++∩=

Ω⊂

causeeffetto

Dr. Daniela Morale

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Esercizio

In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove.

• Qual è la probabilità che vinca Mazzacane?

Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.004 M 0.7 Pc 0.0001 M

p(M)=0.3*0.004+0.7*0.0001=0.00127

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Teorema di Bayes

Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An se sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare la probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico Ai

( )

)()|(...)()|(

)()|(

)(

)()|(

)(

)(|

0)(,,,,...,

11

1

nn

ii

iii

n

APABPAPABP

APABP

BP

BPABP

BP

BAPBAP

BPBAA

++=

=∩

=

≠Ω⊂

cause

effetto

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In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove.

• Se vince Mazzacane qual è la probabilità che piova?

Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.004 M 0.7 Pc 0.0001 M

p(P|M)=0.3*0.004/0.00127=0,94488

Esercizio (continuazione)

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Esercizio

Sia C l’evento: la nuova sede di scienze sarà pronta nel 2009 e sia E : l’impresa a cui è dato l’appalto fallirà prima del 2008.Se la probabilità che la ditta fallisca prima del 2008 è del 60% ela probabilità che la sede sia pronta è del 0.15 o del 0.75 a secondase la ditta fallisce o no prima del 2008, calcolare la probabilità che se la sede è pronta in tempo, la ditta sia non fallita prima del 2008

p(E)=0.60

p(Ec)=0.40 Ec

E

C

Cp(C|E)=0.15

p(C| Ec)=0.75

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Da trovare p(Ec | C)

Nella formula del teorema di Bayes

A numeratore metto quanto viene moltiplicando i numeri del ramo relativo a S-E (quello in basso):

p(Ec) * p(C | Ec)=0.40 * 0.75 = 0.30A denominatore metto la somma di quanto viene dai prodotti delle probabilità di entrambi i rami

p(E)*p(C | E)+p(Ec) * p(C |  Ec)==0.60 * 0.15 + 0.40 * 0.75 = 0.39

Trovo allora p(Ec | C)=0.30/0.39=0.77

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Punteggio Scarsa Discreta Ottima TotaleBasso 105 60 55 220Medio 70 175 145 390Alto 25 65 300 390Totale 200 300 500 1000

La seguente tabella mostra 1000 candidati ad una scuola per infermieri classificati secondo il punteggio riportato all’esame di ingresso all’università e la qualità della scuola superiore da cui provenivano

Dire qual è la probabilità che un candidato 1. Abbia avuto un punteggio basso all’esame.2. Si sia diplomato in una scuola ottima3. Abbia avuto un punteggio basso e si sia diplomato in una scuola ottima.4. Ammesso che si sia diplomato in una scuola ottima, abbia avuto un punteggio basso

(Esercizio 7, pag. 72, Daniel - Biostatistica)

Esercizio di riepilogo