Calcolo combinatorio e probabilità

La probabilità

Tratta degli eventi (fatti, fenomeni) che non si verificano con certezza e che sono detti aleatori

o casuali.

Gli eventi aleatori sono eventi incerti e possibili, sono espressi da una proposizione che risulterà

vera se l’evento si verifica e falsa altrimenti.

Ci sono anche eventi impossibili, cioè che non si verificano mai.

La probabilità

Lo spazio degli eventi o Universo è costituito da tutti i possibili risultati di un certo esperimento

(reale o concettuale) e può essere rappresentato mediante diagrammi di Eulero-Venn.

Un evento è un elemento dello spazio degli eventi.

L’evento certo è l’intero Universo.

L’evento impossibile è l’insieme vuoto.

La probabilità

Si definisce evento contrario o complementare dell’evento A, l’evento che

si verifica se e solo se non si verifica A.

Si definisce somma logica o unione di due eventi A e B, l’evento che si verifica quando

si verifica almeno uno degli eventi A o B.

Si definisce prodotto logico o intersezione di due eventi A e B, l’evento che si verifica quando si

verificano entrambe gli eventi A e B.

La probabilità

Secondo la concezione classica di probabilità essa è definita come rapporto tra i casi

favorevoli al verificarsi dell’evento ed i casi possibili (finiti ed equipossibili).

Nell’interpretazione insiemistica la probabilità è la cardinalità dell’insieme che rappresenta

l’evento.

La probabilità

Dalla definizione classica si deduce che:

• L’evento certo ha probabilità 1

• L’evento impossibile ha probabilità 0

• L’evento possibile ha probabilità 0<p<1

• L’evento complementare ha probabilità 1-p(A)

La probabilità

Inoltre si ha:

• La somma logica di due eventi incompatibili A e B (che non possono verificarsi insieme) ha probabilità p(A)+p(B).

• Il prodotto logico di due eventi A e B ha probabilità p(A)∙p(B).

• L’evento complementare ha probabilità 1-p(A)

La probabilità

Problemi

• Lanciando un dado non truccato qual è la probabilità che esca 5?

• Qual è la probabilità che lanciando un dado non truccato esca un numero maggiore di 2?

• Qual è la probabilità di scegliere il 5 di quadri da un mazzo di carte non truccato di 52 carte?

• Qual è la probabilità di scegliere il 3 di cuori o una figura di picche da un mazzo di carte non truccato di 52 carte?

La probabilità

Problemi

• Si consideri un test a risposta chiusa composto da 10 domande con 4 risposte di cui 3 errate e 1 corretta. Qual è la probabilità di rispondere correttamente a tutti i quesiti mettendo a caso le risposte?

• Un sacchetto contiene 4 palline bianche e 2 nere. Un secondo sacchetto ne contiene 3 bianche e 5 nere. Se viene estratta una pallina da ciascun sacchetto, qual è la probabilità che siano entrambe bianche?

• Una moneta non truccata è stata lanciata per 3 volte e ha sempre mostrato croce. Qual è la probabilità che lanciandola ancora esca ancora croce?

• Qual è la probabilità che in 10 lanci di una moneta non truccata non esca mai testa?

Il calcolo combinatorio

Ha come oggetto lo studio dei modi in cui si possono associare, secondo regole stabilite,

gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme.

Risolve il problema di conoscere in quanti modi può presentarsi un fenomeno.

Per esempio il calcolo dei casi possibili.

Il calcolo combinatorio

Permutazioni

In quanti modi diversi posso disporre k oggetti distinti?

k(k-1)(k-2) … 1 = k!

Esempio: Quante sigle diverse di 3 lettere posso formare con le lettere R, G e B?

Il calcolo combinatorio

Permutazioni con ripetizione

In quanti modi diversi posso disporre k oggetti di cui k1, k2 … kn uguali tra loro?

Esempio: In quanti modi diversi posso disporre 2 pennarelli blu, uno nero e 3 rossi?

Il calcolo combinatorio

Disposizioni

In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti distinti da un insieme di n oggetti?

n(n-1) … (n-k+1) =

Esempio: Quattro fratelli possiedono un’auto a 2 posti. In quanti modi diversi possono uscire a due a due, usando l’automobile?

Gruppi con ordine diverso degli

elementi sono da intendersi

diversi.

Il calcolo combinatorioDisposizioni con ripetizione

In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti?

n•n … n =

Esempio: Quante possibili targhe di automobile si possono ottenere con 2 lettere, 3 numeri e 2 lettere, considerando un alfabeto di 26 simboli e senza che la prima lettera sia z?

Gruppi con ordine diverso degli

elementi sono da intendersi

diversi.

Il calcolo combinatorio

Combinazioni

In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti distinti da un insieme di n oggetti?

Esempio: In quanti modi si possono assegnare 13 carte da un mazzo da 52?

Gruppi con ordine diverso degli

elementi sono da considerarsi

uguali

Il calcolo combinatorioCombinazioni con ripetizione

In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti?

Il problema equivale a ripartire k oggetti identici (o considerabili come tali) i n

contenitori.

Esempio: In quanti modi posso collocare 3 matite in 5 cassetti?

Gruppi con ordine diverso degli elementi

sono da intendersi uguali.

Il calcolo combinatorioProblemi

• In quanti modi diversi si possono collocare 10 libri diversi in una libreria?

• Quanti sono gli anagrammi della parola ORO?

• Quanti sono gli anagrammi della parola ORRORE?

• In quanti modi posso disporre 13 palline, sapendo che ce ne sono 3 gialle, 5 rosse e 4 bianche?

• Dati 5 frutti diversi, in quanti modi posso preparare una macedonia con 2 di essi?

• In quanti modi si possono scegliere i 3 rappresentanti in una classe di 12 alunni?

Il calcolo combinatorioProblemi

• Quante quaterne si possono formare estraendo i 90 numeri del lotto?

• In quanti modi posso scegliere 3 delle 7 note musicali, tenendo conto che posso ripetere la stessa nota 3 volte?

• In quanti modi posso sistemare 15 pennarelli in 6 astucci?

• In quanti modi 3 persone possono occupare 6 posti?

• In quanti modi 3 persone possono iscriversi avendo a disposizione 5 palestre diverse.

La probabilità

Problemi

• Qual è la probabilità che lanciando 10 volte un dado non truccato esca 5 volte il numero 3?

• Lanciando due dadi non truccati qual è la probabilità che la somma dei punteggi sia 4?