CALCOLI DI VERIFICACALCOLI DI VERIFICA

È a questo punto necessario effettuare una serie di calcoli per verificare se gli obiettivi primari (Vcc ed ) sono stati raggiuntiVcc =>la conoscenza di Zcc (Rcc ed Xcc)

=> la conoscenza delle perdite nel ferro e nel rame

Le dimensioni geometriche della macchina, la sua configurazione ed i materiali scelti giocano un ruolo fondamentale

È a questo punto necessario effettuare una serie di calcoli per verificare se gli obiettivi primari (Vcc ed ) sono stati raggiuntiVcc =>la conoscenza di Zcc (Rcc ed Xcc)

=> la conoscenza delle perdite nel ferro e nel rame

Le dimensioni geometriche della macchina, la sua configurazione ed i materiali scelti giocano un ruolo fondamentale

DETERMINAZIONE DELLA CORRENTE A VUOTO I0

DETERMINAZIONE DELLA CORRENTE A VUOTO I0

Per calcolare I0 devo conoscere la componente magnetizzante e quella di perdita

La I deriva dal calcolo delle Asp effettive

La Ia si determina dalle perdite nel ferro e nel rame a vuoto

Si calcola la componente magnetizzante I l’integrale si svolge lungo il circuito magnetico

Per calcolare I0 devo conoscere la componente magnetizzante e quella di perdita

La I deriva dal calcolo delle Asp effettive

La Ia si determina dalle perdite nel ferro e nel rame a vuoto

Si calcola la componente magnetizzante I l’integrale si svolge lungo il circuito magnetico

2a

20 III

cHdlNI

Sappiamo che =BS=HS, essendo nota B dalla curva di magnetizzazione, il che implica:

Suddividendo il circuito magnetico in n tronchi dove S e B sono costanti

(in prossimità dei giunti dove avviene il cambio di direzione del circuito magnetico, sia S che B non sono rigorosamente costanti)

Nei traferri si ha:

H0 = BMC/0 Conoscendo la lunghezza media dei gioghi lg e delle colonne lc, ed assumendo nota la lunghezza totale lt del traferro (valori convenzionali), si calcola la f.m.m. nel nucleo As

Sappiamo che =BS=HS, essendo nota B dalla curva di magnetizzazione, il che implica:

Suddividendo il circuito magnetico in n tronchi dove S e B sono costanti

(in prossimità dei giunti dove avviene il cambio di direzione del circuito magnetico, sia S che B non sono rigorosamente costanti)

Nei traferri si ha:

H0 = BMC/0 Conoscendo la lunghezza media dei gioghi lg e delle colonne lc, ed assumendo nota la lunghezza totale lt del traferro (valori convenzionali), si calcola la f.m.m. nel nucleo As

c

dlS

NI

n

1i i iii

i

S

lNI

Caso dei Trasformatori Monofase Caso dei Trasformatori Monofase

ttggccs lHlHlHA

lg

hc

La relazione di sopra si particolarizza in:

Asm=2Asc+2Asg+4As

Vediamo le As di colonna e del giogo

Bc=/Sc Bg=/Sg

Il materiale ferromagnetico con cui verrà realizzato il circuito magnetico è già stato scelto, per cui si dispone della relativa curva di magnetizzazione e della curva descrittiva della cifra di perdita.

Note Hc ed Hg, si calcolano le As di giogo e colonna

Asc=Hchc Asg=Hghg

Per quanto riguarda i giunti, questi sono in aria. Quindi:

H0 = As/0=BC/0 => As=0.8 BC 0 106

(0 =1.26 10-6 [H/m])Per 0 si considerano gli spessori convenzionali riferiti al tipo di

giunto che si è scelto (appoggiato, intercalato, etc.)

Le As magnetizzanti possono essere espresse come:

Asm=2 Hchc +2 Hghg +4(0.8 BC 0 106) NI2As

N2

AsI

Si conclude che la corrente magnetizzante per un trasformatore monofase è data dalla relazione:

I=(2 Hchc +2 Hghg +4(0.8 BC 0 106))

Caso dei Trasformatori Trifase

Si conclude che la corrente magnetizzante per un trasformatore monofase è data dalla relazione:

I=(2 Hchc +2 Hghg +4(0.8 BC 0 106))

Caso dei Trasformatori Trifase

N2

C’è dissimmetria nel circuito magnetico

Circuito 1 => As1

Circuito 2 => As2

Circuito 3 => As3

0

hc

lg

1 2 3

As1m= As3m = Asc+2Asg+2As

As2m = Asc+2As

Considero il valore medio di As

Asm= (As1m +As2m+ As3m)/3

Asm= Asc + 2As+ (4/3)Asg

=( Hchc +(4/3) Hghg +2(0.8 BC 0 106))

As1m= As3m = Asc+2Asg+2As

As2m = Asc+2As

Considero il valore medio di As

Asm= (As1m +As2m+ As3m)/3

Asm= Asc + 2As+ (4/3)Asg

=( Hchc +(4/3) Hghg +2(0.8 BC 0 106))

IA

2N

s

1

N2

Calcolo della Ia

La componente attiva Ia vale:

con P0=Pfe+Pcu0

La potenza persa per effetto Joule a vuoto si determina

conoscendo il valore della corrente a vuoto, I0=> PCu0=3RIo2

La posso porre, in prima approssimazione, pari a PCu0=3RI2

Per determinare le perdite nel ferro: si fa riferimento alla cifra di perdita specifica (W/kg) che è valida per B=1 Wb/m2 e per f=50Hz e si determina sperimentalmente con il giogo di Epstain si ricorre ai diagrammi di perdita

Calcolo della Ia

La componente attiva Ia vale:

con P0=Pfe+Pcu0

La potenza persa per effetto Joule a vuoto si determina

conoscendo il valore della corrente a vuoto, I0=> PCu0=3RIo2

La posso porre, in prima approssimazione, pari a PCu0=3RI2

Per determinare le perdite nel ferro: si fa riferimento alla cifra di perdita specifica (W/kg) che è valida per B=1 Wb/m2 e per f=50Hz e si determina sperimentalmente con il giogo di Epstain si ricorre ai diagrammi di perdita

V3

PP

V3

P

3E

PI 0cufe00

a

CALCOLO DELLE PERDITE NEL FERROCALCOLO DELLE PERDITE NEL FERRO

Si determina il peso delle colonne e del giogo

Gc = 3hc Sc fe ; Gg = 2lg Sg fe

dove:

hc = lunghezza media di una colonna;

lg = lunghezza media di un giogo.

fe = peso specifico del ferro

Sc, Sg =sezioni di base di colonna e di giogo

Il peso complessivo del circuito magnetico è

G= Gc + Gg

Si determina il peso delle colonne e del giogo

Gc = 3hc Sc fe ; Gg = 2lg Sg fe

dove:

hc = lunghezza media di una colonna;

lg = lunghezza media di un giogo.

fe = peso specifico del ferro

Sc, Sg =sezioni di base di colonna e di giogo

Il peso complessivo del circuito magnetico è

G= Gc + Gg

Le perdite nel ferro si determinano con la relazione:

pfe = cifra di perdita del ferro con B = 1 (T)

p’fe = cifra di perdita del ferro con B = BMC

Kfe = 1,05 - 1,2 funzione delle tecniche adottate. Questo coefficiente tiene conto della qualità della punzonatura

Le perdite nel ferro si determinano con la relazione:

pfe = cifra di perdita del ferro con B = 1 (T)

p’fe = cifra di perdita del ferro con B = BMC

Kfe = 1,05 - 1,2 funzione delle tecniche adottate. Questo coefficiente tiene conto della qualità della punzonatura

P K p G K p B Gfe fe fe'

fe fe fe MC2

fe

)GBG(BpK)GpG(pKP g2gc

2cfefeg

'fegc

'fecfefe

V3

PPI 0cufe

a

, PCu0=3RI2 ,

2a

20 III

RIFERIMENTI PER LA I0RIFERIMENTI PER LA I0

La differenza è determinata dalla influenza dei traferri che nei piccoli trasformatori è percentualmente elevata

La differenza è determinata dalla influenza dei traferri che nei piccoli trasformatori è percentualmente elevata

CALCOLO DELLA VccCALCOLO DELLA Vcc

La tensione di corto circuito è importante perché ha dirette implicazioni su: sicurezza (determina la Icc)

parallelo dei trasformatori sulle cadute resistive ed induttive a carico

Per definizione è la tensione di alimentazione di un trasformatore quando nel secondario, collegato in corto circuito, circola la corrente secondaria nominale

Vcc=ZccIn

dove Rcc=R1+R21; Xcc=X1+X21

La tensione di corto circuito è importante perché ha dirette implicazioni su: sicurezza (determina la Icc)

parallelo dei trasformatori sulle cadute resistive ed induttive a carico

Per definizione è la tensione di alimentazione di un trasformatore quando nel secondario, collegato in corto circuito, circola la corrente secondaria nominale

Vcc=ZccIn

dove Rcc=R1+R21; Xcc=X1+X21

2cc

2cccc XRZ

Allo stesso modo posso definire la corrente di corto permanente

Icc=Vn/Zcc

Se eguaglio le relazioni sulla base della Zcc vedo che

Icc=InVn/Vcc

Poiché di solito la Vcc è circa il 5% della Vn, Icc è circa 20In e gli sforzi elettrodinamici sono 400 maggiori

Vcc è un dato di specifica che deve essere raggiunto. Per poterlo fare si agisce su Zcc e quindi su Xcc e su Rcc

Se aumento Rcc, aumentano le perdite e cala Se diminuisco Rcc aumento l’ingombro ed il costo della macchina. Quindi si agisce su Xcc

Allo stesso modo posso definire la corrente di corto permanente

Icc=Vn/Zcc

Se eguaglio le relazioni sulla base della Zcc vedo che

Icc=InVn/Vcc

Poiché di solito la Vcc è circa il 5% della Vn, Icc è circa 20In e gli sforzi elettrodinamici sono 400 maggiori

Vcc è un dato di specifica che deve essere raggiunto. Per poterlo fare si agisce su Zcc e quindi su Xcc e su Rcc

Se aumento Rcc, aumentano le perdite e cala Se diminuisco Rcc aumento l’ingombro ed il costo della macchina. Quindi si agisce su Xcc

DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA DEGLI AVVOLGIMENTI

DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA DEGLI AVVOLGIMENTI

Sulla base della sezione SCu e della lunghezza la dei conduttori dei singoli avvolgimenti si ottiene la loro resistenza ohmica RDC:

Dove t è la resistività del materiale conduttore impiegato alla temperatura di riferimento t (75 °C per le classi A ed E, 105 °C per le classi B, F ed H).

Sulla base della sezione SCu e della lunghezza la dei conduttori dei singoli avvolgimenti si ottiene la loro resistenza ohmica RDC:

Dove t è la resistività del materiale conduttore impiegato alla temperatura di riferimento t (75 °C per le classi A ed E, 105 °C per le classi B, F ed H).

Rl

SDC ta

Cu

La variazione di t con la temperatura è linearizzabile

2= 1[ 1+(T2-T1)]

I valori caratteristici di t alle varie temperature sono

t(0°C)=0.0160 [ mm2/m]

t(20°C)=0.0173 [ mm2/m]

t(75°C)=0.0210 [ mm2/m] (temperatura media per i

trasformatori in olio)

t(115°C)=0.0238 [ mm2/m] (temperatura media per i

trasformatori cast-resin in epossidica)

La variazione di t con la temperatura è linearizzabile

2= 1[ 1+(T2-T1)]

I valori caratteristici di t alle varie temperature sono

t(0°C)=0.0160 [ mm2/m]

t(20°C)=0.0173 [ mm2/m]

t(75°C)=0.0210 [ mm2/m] (temperatura media per i

trasformatori in olio)

t(115°C)=0.0238 [ mm2/m] (temperatura media per i

trasformatori cast-resin in epossidica)

Per quanto riguarda la valutazione della lunghezza dei conduttori, essa è determinabile considerando le relazioni analitiche descrittive di una traiettoria a spirale che tiene conto del modo con cui è stato realizzato l’avvolgimentoSi preferisce ricorrere a delle relazioni approssimate che tengono conto del numero di spire e della lunghezza media di spira, ovvero del perimetro di spira valutato sul raggio medio dell’avvolgimento

lc1,2=Nlm1,2 =>

(a 75°C)

Per quanto riguarda la valutazione della lunghezza dei conduttori, essa è determinabile considerando le relazioni analitiche descrittive di una traiettoria a spirale che tiene conto del modo con cui è stato realizzato l’avvolgimentoSi preferisce ricorrere a delle relazioni approssimate che tengono conto del numero di spire e della lunghezza media di spira, ovvero del perimetro di spira valutato sul raggio medio dell’avvolgimento

lc1,2=Nlm1,2 =>

(a 75°C)2,12,1

2,1

C

2,12,1

C

2,12,1DC S

lN021.0

S

lNR

Poiché i conduttori sono percorsi da corrente alternata, i flussi dispersi producono una non uniforme distribuzione della corrente nella loro sezione, ciò dà luogo a perdite addizionali di cui si tiene conto con un coefficiente KAC, si ha quindi:

RAC = KAC RDC

KAC dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore, dalla disposizione e dalla forma dell’avvolgimento preso nel suo insieme.

KAC varia tra 1 e 1.15 a 50 Hz

PCu = 3KAC RDCI2

Poiché i conduttori sono percorsi da corrente alternata, i flussi dispersi producono una non uniforme distribuzione della corrente nella loro sezione, ciò dà luogo a perdite addizionali di cui si tiene conto con un coefficiente KAC, si ha quindi:

RAC = KAC RDC

KAC dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore, dalla disposizione e dalla forma dell’avvolgimento preso nel suo insieme.

KAC varia tra 1 e 1.15 a 50 Hz

PCu = 3KAC RDCI2

FENOMENI DI ADDENSAMENTO DI CORRENTE FENOMENI DI ADDENSAMENTO DI CORRENTE

SITUAZIONE DEI FLUSSI DISPERSIONE SITUAZIONE DEI FLUSSI DISPERSIONE

BT

AT

FLUSSODISPERSO

FLUSSOUTILE

Dato un conduttore massiccio, di resistenza R, attraversato da una corrente I.

La potenza persa per effetto Joule sarà: P=RI2

Suppongo ora che la corrente si ripartisca in due sezioni ognuna

pari alla metà della sezione di partenza (R=>2R per ogni sezione)

Inoltre, una sezione abbia un incremento I e l’altra un

decremento della stessa entità (I/2+ I; I/2-I)

Dato un conduttore massiccio, di resistenza R, attraversato da una corrente I.

La potenza persa per effetto Joule sarà: P=RI2

Suppongo ora che la corrente si ripartisca in due sezioni ognuna

pari alla metà della sezione di partenza (R=>2R per ogni sezione)

Inoltre, una sezione abbia un incremento I e l’altra un

decremento della stessa entità (I/2+ I; I/2-I)

I/2+ I

I/2-I

2R

2R

22

I2

II

2

IR2'P

PIR4RI'P 22 L’esempio mostra come la non uniforme distribuzione di corrente possa provocare un aumento delle perdite

L’esempio mostra come la non uniforme distribuzione di corrente possa provocare un aumento delle perdite

Conduttore MassiccioConduttore Massiccio

H*

B*

Dato un conduttore rettangolare massiccio, di dimensioni H*B*, si considerino le seguenti ipotesi:

1) linee di campo a 90° rispetto al profilo del conduttore

2) linee di flusso parallele

3) permeabilità = nel ferro e 0 nell’aria, nell’isolante e nel rame

Sono ipotesi che consentono lo studio del problema in una dimensione lineare e non tridimensionale.

Siano (x) ed H(x) il valore locale della densità di corrente e della intensità di campo

Dato un conduttore rettangolare massiccio, di dimensioni H*B*, si considerino le seguenti ipotesi:

1) linee di campo a 90° rispetto al profilo del conduttore

2) linee di flusso parallele

3) permeabilità = nel ferro e 0 nell’aria, nell’isolante e nel rame

Sono ipotesi che consentono lo studio del problema in una dimensione lineare e non tridimensionale.

Siano (x) ed H(x) il valore locale della densità di corrente e della intensità di campo

H*

x dx

Con riferimento alla figura,nel tratto dx circola la corrente dI

Con riferimento alla figura,nel tratto dx circola la corrente dI

dx*B)x(dI

Per il teorema di AmperePer il teorema di Ampere dx*B)x()x(dH*BdI

x

)x(H)x(

Dalle leggi di MaxwellDalle leggi di Maxwell

t

)t(H

t

)t(BgradE 0

Per le ipotesi fatte (unidimensionalità)

uguagliando i gradienti si ha

essendo poi che

Per le ipotesi fatte (unidimensionalità)

uguagliando i gradienti si ha

essendo poi che

x

)x(

x

)x(EgradE

x

)x(H)x(

t

)t(HgradE 0

x

)x(gradE

x

)x(

t

)t(H0

Quindi

se H(x,t) varia sinusoidalmente nel tempo

se si pone allora

la cui soluzione è costituita da combinazioni di funzioni iperboliche. Le costanti si determinano in base alle condizioni al contorno

Se x=0 => H=0 Se x=H* => (N=1)

Quindi

se H(x,t) varia sinusoidalmente nel tempo

se si pone allora

la cui soluzione è costituita da combinazioni di funzioni iperboliche. Le costanti si determinano in base alle condizioni al contorno

Se x=0 => H=0 Se x=H* => (N=1)

Hjt

)t(H

t

)t(H

x

)x(H

x

)x(H

xt

)t(H 02

2

0

Hjx

)x(H 02

2

Ckj

k 0

Hkx

)x(H 22

2

*B

I2H

Allora le soluzioni sono

con il cambio di variabile

le soluzioni diventano

Allora le soluzioni sono

con il cambio di variabile

le soluzioni diventano

*)kH(sinh*B

)kx(sinhI2)x(H

*)kH(sinh*B

)kxcosh(I2)x(

22 j2k)j1(k

R]m[2

10

*)H2cos(*)H2cosh(

)x2cos()x2cosh(

*B

I2)x(H

*)H2cos(*)H2cosh(

)x2cos()x2cosh(*H2)x( 0

Avendo posto

0 è il valore di densità di corrente per una distribuzione uniforme

Si definisce una altezza ridotta del conduttore

si definisce come fattore di resistenza KAC:

() può essere sviluppato in serie

Avendo posto

0 è il valore di densità di corrente per una distribuzione uniforme

Si definisce una altezza ridotta del conduttore

si definisce come fattore di resistenza KAC:

() può essere sviluppato in serie

*H*B

I0

*H

*)H2cos(*)H2cosh(

)x2cos()x2cosh(2

)x(

0

AC0

K2)x(

)(*)H2cos(*)H2cosh(

)x2cos()x2cosh(K AC

.............4725

16

45

41)( 84

Studio asintotico per >1 => ()

per <1 =>

() può essere anche rappresentato in grafico

Studio asintotico per >1 => ()

per <1 =>

() può essere anche rappresentato in grafico

4

45

41)(

DETERMINAZIONE DI Kac

AVVOLGIMENTI CONCENTRICI

DETERMINAZIONE DI Kac

AVVOLGIMENTI CONCENTRICI

Considero l’avvolgimento di bassa avvolto a spirale in multi strato

Considero un conduttore a sezione rettangolare bxh

Suppongo di avere m conduttori affiancati ed n sovrapposti in modo che il numero di spire sia N=mn

e che le dimensioni complessive siano H*xB*

Considero l’avvolgimento di bassa avvolto a spirale in multi strato

Considero un conduttore a sezione rettangolare bxh

Suppongo di avere m conduttori affiancati ed n sovrapposti in modo che il numero di spire sia N=mn

e che le dimensioni complessive siano H*xB*

H

n B

b

h’

m

*

*

Definisco una altezza ridotta per il conduttore come:

= h

con

Definisco una altezza ridotta per il conduttore come:

= h

con 510a

nb

Le lunghezze sono in cm con riferimento alla figura. = pulsazione= resistività del materiale conduttore in ( mm2/m)m ed n gli strati sovrapposti nei due sensi

a = B* + 0,2H* (lunghezza ridotta delle linee di flusso)

Conduttore rettangolare:

Conduttore circolare:

b = h = d d = diametro del conduttore.

Conduttore rettangolare:

Conduttore circolare:

b = h = d d = diametro del conduttore.

H

n B

b

h

m

K 1m 0,2

9AC

24

K 1m 0,2

15,2AC

24

*

*

Tutte le dimensioni sono in cm, mentre è espressa in cm, (a 0°C, 1,6 cm per il rame, e 2,65 cm per l’alluminio, in ambedue i casi con 0 = 0,00426).

Da queste formule deriva l’opportunità di disporre i conduttori rettangolari con il lato lungo in direzione radiale per gli avvolgimenti alternati ed in direzione assiale per gli avvolgimenti concentrici.

Al crescere di si ha una diminuzione di KAC, si ha cioè una diminuzione delle perdite addizionali a trasformatore caldo, di ciò si deve tenere conto nella determinazione del rendimento.

In realtà KAC varia da strato a strato e quindi le relazioni fornite sono da considerasi per una stima del suo valor medio

Tutte le dimensioni sono in cm, mentre è espressa in cm, (a 0°C, 1,6 cm per il rame, e 2,65 cm per l’alluminio, in ambedue i casi con 0 = 0,00426).

Da queste formule deriva l’opportunità di disporre i conduttori rettangolari con il lato lungo in direzione radiale per gli avvolgimenti alternati ed in direzione assiale per gli avvolgimenti concentrici.

Al crescere di si ha una diminuzione di KAC, si ha cioè una diminuzione delle perdite addizionali a trasformatore caldo, di ciò si deve tenere conto nella determinazione del rendimento.

In realtà KAC varia da strato a strato e quindi le relazioni fornite sono da considerasi per una stima del suo valor medio

Conduttore rettangolare:

Conduttore circolare:

b = h = d d = diametro del conduttore.

Conduttore rettangolare:

Conduttore circolare:

b = h = d d = diametro del conduttore.

DETERMINAZIONE DI Kac AVVOLGIMENTI

A BOBINE O ALTERNATI

DETERMINAZIONE DI Kac AVVOLGIMENTI

A BOBINE O ALTERNATI

b

n

B

H m

K 1m 0,8

36AC

24

42

AC 61

0,8m1K

h*

*

dove si ha:

= h

con

Le lunghezze sono in cm con riferimento alla figura. f = frequenza in Hz = resistività del materiale conduttore in (W mm2/m) m ed n gli strati sovrapposti nei due sensi

a = B*+ 0,6H* = altezza ridotta del conduttore a = lunghezza ridotta della linea di flusso

dove si ha:

= h

con

Le lunghezze sono in cm con riferimento alla figura. f = frequenza in Hz = resistività del materiale conduttore in (W mm2/m) m ed n gli strati sovrapposti nei due sensi

a = B*+ 0,6H* = altezza ridotta del conduttore a = lunghezza ridotta della linea di flusso

2nbf

a 10 5

LE REATTANZE DI DISPERSIONE LE REATTANZE DI DISPERSIONE

Dal valore della reattanza di dispersione Xd dipende la tensione di corto circuito del trasformatore VCC, che costituisce uno dei parametri di progetto del sistema in cui il trasformatore viene inserito.

BT

AT

FLUSSODISPERSO

FLUSSOUTILE

+ H

- H

h

Calcolo Mediante l’Energia MagneticaCalcolo Mediante l’Energia Magnetica

Ipotesi semplificative:

1) Avvolgimenti uniformemente distribuiti;

2) Trascuro la I0 => N1I1=N2I2 => H=NI/h

l’andamento delle Asp/m è di tipo trapezioidale nella direzione radiale

3) Le linee di flusso siano parallele e di altezza. Questa approssimazione è valida per avvolgimenti a spirale, meno per quelli a bobina per la presenza dei distanziatori

4) Suddivisione del flusso disperso in due contributi

per BT per AT

5) si assume, grossolanamente, che lm1=lm2=lm e che

(ipotesi meno valida)

Ipotesi semplificative:

1) Avvolgimenti uniformemente distribuiti;

2) Trascuro la I0 => N1I1=N2I2 => H=NI/h

l’andamento delle Asp/m è di tipo trapezioidale nella direzione radiale

3) Le linee di flusso siano parallele e di altezza. Questa approssimazione è valida per avvolgimenti a spirale, meno per quelli a bobina per la presenza dei distanziatori

4) Suddivisione del flusso disperso in due contributi

per BT per AT

5) si assume, grossolanamente, che lm1=lm2=lm e che

(ipotesi meno valida)

21

22

2

lll 2m1m

m

Dalla conoscenza del campo H in ogni sezione verticale ricavo il coeff di auto induzione L

si ricorda che il flusso concatenato con N spire è in relazione con la corrente che lo genera

eguagliando i flussi dispersi

dalla ipotesi 1) possiamo calcolare il coeff. di auto induzione dLx

nel tratto dx, a distanza x dalla colonna

Dalla conoscenza del campo H in ogni sezione verticale ricavo il coeff di auto induzione L

si ricorda che il flusso concatenato con N spire è in relazione con la corrente che lo genera

eguagliando i flussi dispersi

dalla ipotesi 1) possiamo calcolare il coeff. di auto induzione dLx

nel tratto dx, a distanza x dalla colonna

2NL

NI

N

LILIN ddd

2NL

NI

N

LI

h

x dx

dxl

hxNN

NdL

m01x

2

xx

h

dxlxNdL m0

21

22

x

Per calcolare L, integro dLx tra 0 e 1

Nell’interspazio tra i due avvolgimenti, il campo H rimane costante perché il numero di spire non varia, quindi:

se particolarizziamo il calcolo di L nel tratto L=>L1

Per calcolare L, integro dLx tra 0 e 1

Nell’interspazio tra i due avvolgimenti, il campo H rimane costante perché il numero di spire non varia, quindi:

se particolarizziamo il calcolo di L nel tratto L=>L1

11

0

2m02

1

2

0 x dxxh

lNdLL

1

0

3m

21

2

0 3

x

h

lNL

3h

lN

3h

lNL 1m

20

31m

21

2

0

2h

lNL m

20

sp

21

)2

(LLL 1sp1

23h

lNL 1m

210

1

La reattanza di dispersione si calcola di conseguenza (le distanze

sono misurate in metri)

l’espressione ricavata, verificata in pratica, ha evidenziato la necessità di aggiustare il coeff. iniziale da 8 ad 8.5.

Con lo stesso ragionamento si perviene ad una espressione analoga per il secondario

si riporta tutto al primario

La reattanza di dispersione si calcola di conseguenza (le distanze

sono misurate in metri)

l’espressione ricavata, verificata in pratica, ha evidenziato la necessità di aggiustare il coeff. iniziale da 8 ad 8.5.

Con lo stesso ragionamento si perviene ad una espressione analoga per il secondario

si riporta tutto al primario

61m

211m

210

11 1023h

flN8

23h

lNf2LX

61m

21

1 1023h

flN5.8X

62m

22

2 1023h

flN5.8X

2

2

1212 N

NXX

la reattanza complessiva vale

si noti come la reattanza di dispersione vari con le dimensioni geometriche degli avvolgimenti. Ciò permette di regolare il valore di Xcc per influire sulla Vcc

Esistono dei vincoli strutturali che non consentono di variare Xcc a piacere (es. il canale tra AT e BT deve rimanere largo abbastanza per

consentire la circolazione del fluido di raffreddamento) Si può variare 1 e 2 però devo fare attenzione ai costi del rame posso variare h ma anche in questo caso attenzione ai costi ed alla sollecitazione Asp/cm (macchina sovra o sotto dimensionata)

la reattanza complessiva vale

si noti come la reattanza di dispersione vari con le dimensioni geometriche degli avvolgimenti. Ciò permette di regolare il valore di Xcc per influire sulla Vcc

Esistono dei vincoli strutturali che non consentono di variare Xcc a piacere (es. il canale tra AT e BT deve rimanere largo abbastanza per

consentire la circolazione del fluido di raffreddamento) Si può variare 1 e 2 però devo fare attenzione ai costi del rame posso variare h ma anche in questo caso attenzione ai costi ed alla sollecitazione Asp/cm (macchina sovra o sotto dimensionata)

62m

21

12 1023h

flN5.8X

621m

21

121 1023h

flN5.8XXX

DETERMINAZIONE DELLA REATTANZA DI DISPERSIONE

DETERMINAZIONE DELLA REATTANZA DI DISPERSIONE

1 2

BT

ATr1

R

r2

+ H

- H

FLUSSODISPERSO

FLUSSOUTILE

h’

R1

R2

Per due avvolgimenti concentrici di pari altezza, trascurando la corrente a vuoto si ha:

N1 I1 = N2 I2

Determiniamo l’induzione nel canale di dispersione B0 e negli avvolgimenti B1 e B2:

Per due avvolgimenti concentrici di pari altezza, trascurando la corrente a vuoto si ha:

N1 I1 = N2 I2

Determiniamo l’induzione nel canale di dispersione B0 e negli avvolgimenti B1 e B2:

BN I

h'0 01 1

BI

h'

R rN1 0

1 1 1 1

11

BI

h'

r (R )N2 0

1 2 2 2

21

METODO DEL FLUSSO CONCATENATO METODO DEL FLUSSO CONCATENATO

Determiniamo quindi i flussi corrispondenti:

concatenato con tutte le spire N1 del primario;

concatenato con 2/3 delle spire N1 del primario;

concatenato con tutte le spire N1 e 2/3 N2:

Determiniamo quindi i flussi corrispondenti:

concatenato con tutte le spire N1 del primario;

concatenato con 2/3 delle spire N1 del primario;

concatenato con tutte le spire N1 e 2/3 N2:

0 01 1N I

h'2 R

1 1 1 1

R

R

01 1 1B 2 r dr

N I

h'2 R

21

1 1

2 2 2 2

R

R

01 1 2B 2 r dr

N I

h'2 R

22 2

2

I flussi concatenati valgono quindi:

Si può adesso calcolare la reattanza di dispersione Ld come rapporto fra il flusso disperso totale * e la corrente I1:

I flussi concatenati valgono quindi:

Si può adesso calcolare la reattanza di dispersione Ld come rapporto fra il flusso disperso totale * e la corrente I1:

0

12

1N I

h'2 R

2

3

N I

h'2 R

2012

1 1

2 0

1 1 21 2

01 1 2

1 21

2

N I

h'2 R

2N

1

3N

N I

h'2 R

2N

1

3N

N

N

(H)

Avendo posto p = lunghezza della spira media dei due avvolgimenti.

Poiché si ha:

0 = 1,25 10-6 (H/m)

(H)

Avendo posto p = lunghezza della spira media dei due avvolgimenti.

Poiché si ha:

0 = 1,25 10-6 (H/m)

LI I

N

h'2 R N

2

2

3N

2

2

3N

N

h'2 R

3

N

h'p

3

d'

*

1

0 1*

2*

1

01

11

12

1

012

1 20

12

1 2

Adottando come unità di misura per le lunghezze i centimetri si ottiene:

Per tenere conto che le linee di flusso sono inferiori ad h si pone:

Si ottiene infine la reattanza di dispersione Xd:

Adottando come unità di misura per le lunghezze i centimetri si ottiene:

Per tenere conto che le linee di flusso sono inferiori ad h si pone:

Si ottiene infine la reattanza di dispersione Xd:

L = 1,06 L 8,4N

hR

310 ( )d d

' 12

1 2 8

H

X = L 8,4N fp

h 310 ( )d d

12

1 2 8

L 7,93N

h'R

310 7,93

N

hR

310 ( )d

' 12

1 2 8 12

1 2 8

H

AVVOLGIMENTI CONCENTRICIAVVOLGIMENTI CONCENTRICI

X O

1 2

BT

AT

X 8,4N fp

h(

3)10 ( )d

21 2 -8

Se non si riesce a raggiungere l’obiettivo, di adottano altre soluzioni

Se non si riesce a raggiungere l’obiettivo, di adottano altre soluzioni

AVVOLGIMENTI BICONCENTRICIAVVOLGIMENTI BICONCENTRICI

X O X

AT

BT

1/2 2 1/2 X 4,2N fp

h(

6)10 ( )d

21 2 -8

Questo avvolgimento presenta una X inferiore al caso precedente, però costa di più

Questo avvolgimento presenta una X inferiore al caso precedente, però costa di più

AVVOLGIMENTI BICONCENTRICI DISSIMMETRICI

AVVOLGIMENTI BICONCENTRICI DISSIMMETRICI

X O X

Regolaz. AT

BT

AT

AVVOLGIMENTI ALTERNATI SIMMETRICI

AVVOLGIMENTI ALTERNATI SIMMETRICI

Gruppo (bobina intera)

X 3,95N fp

qbK(

6)10 ( )d

21 2 -8

AT

BT

1

2/2

b

Nell’espressione di X si è posto: b = dimensione radiale delle bobine; N = numero totale di spire dell’avvolgimento di

riferimento; q = numero di bobine intere del primario o del

secondario (2 nel caso in figura); K = coefficiente che tiene conto della reale

configurazione delle linee di flusso: Rogowsky ha proposto la seguente espressione:

Nell’espressione di X si è posto: b = dimensione radiale delle bobine; N = numero totale di spire dell’avvolgimento di

riferimento; q = numero di bobine intere del primario o del

secondario (2 nel caso in figura); K = coefficiente che tiene conto della reale

configurazione delle linee di flusso: Rogowsky ha proposto la seguente espressione:

K 12

2 b1 2

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI

AT

BT

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI

AT

BT

Può essere utile esprimere la Xd per unità. Da:

si ha:

Può essere utile esprimere la Xd per unità. Da:

si ha:

X 8,4N fp

h(

3)10 ( )d

21 2 -8

X XI

V= 8,4

N I

V

fp

h(

3)10dpu d

n

n

2n

n

1 2 -8

= 8,4A

Vfp(

3)10 =i

s

1 2 -8

= 8,4P

Vfp(

3)10n

s2

1 2 -8

Sono calcoli che hanno lo scopo di mettere bene in chiaro il comportamento del trasformatore nel passaggio da vuoto a carico con diversi cosCollegando un carico generico al secondario del trasformatore, la tensione ai suoi morsetti diventa V2, e viene erogata una corrente I2 sfasata di 2

Sia Z”e=R”e+X”e la impedenza equivalente vista dal secondario del trasformatore

Sono calcoli che hanno lo scopo di mettere bene in chiaro il comportamento del trasformatore nel passaggio da vuoto a carico con diversi cosCollegando un carico generico al secondario del trasformatore, la tensione ai suoi morsetti diventa V2, e viene erogata una corrente I2 sfasata di 2

Sia Z”e=R”e+X”e la impedenza equivalente vista dal secondario del trasformatore

CADUTA DI TENSIONE TRA VUOTO E CARICOCADUTA DI TENSIONE TRA VUOTO E CARICO

Dal diagramma si ricava la relazione

E022=(V2cos2+R”eI2)2+(V2sin2+X”eI2)2

Risolvendo rispetto a V2 posso calcolarmi la caduta di tensione da vuoto a carico. Questo approccio non viene utilizzato perché si cerca di sfruttare le conoscenze delle caratteristiche di macchina

Dal diagramma si ricava la relazione

E022=(V2cos2+R”eI2)2+(V2sin2+X”eI2)2

Risolvendo rispetto a V2 posso calcolarmi la caduta di tensione da vuoto a carico. Questo approccio non viene utilizzato perché si cerca di sfruttare le conoscenze delle caratteristiche di macchina

La differenza aritmetica tra delle caratteristiche di macchina tra E02 e V2 viene rappresentata dal segmento AD

Il calcolo della caduta di tensione si riduce al calcolo di questa differenza

In prima approssimazione considero

VAFil che significa trascurare il trattino FD

La differenza aritmetica tra delle caratteristiche di macchina tra E02 e V2 viene rappresentata dal segmento AD

Il calcolo della caduta di tensione si riduce al calcolo di questa differenza

In prima approssimazione considero

VAFil che significa trascurare il trattino FD

Ne viene che

V R”eI2 cos2+X”eI2 sin2

Per migliorare la approssimazione, devo considerare ancora il tratto FD che, con sufficiente approssimazione può essere ritenuto pari a metà di FH (FD=FH/2)

Ne viene che

V R”eI2 cos2+X”eI2 sin2

Per migliorare la approssimazione, devo considerare ancora il tratto FD che, con sufficiente approssimazione può essere ritenuto pari a metà di FH (FD=FH/2)

FH si può determinare con il teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo OCH

FH:CF=CF:OF

FD=FH/2=CF2/2OF

Dalla figura si rileva che

CF=CK-FK=>

FH si può determinare con il teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo OCH

FH:CF=CF:OF

FD=FH/2=CF2/2OF

Dalla figura si rileva che

CF=CK-FK=>

CF= X”eI2 cos2-R”eI2 sin2

OF può essere approssimato con E02

OFE02

Quindi posso scrivere che

FD( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/2E02

La variazione di tensione assume l’aspetto

V R”eI2 cos2+X”eI2 sin2+

+( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/2E02

in percentuale

V% 100(R”eI2 cos2+X”eI2 sin2)/E02+

+50( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/E022

CF= X”eI2 cos2-R”eI2 sin2

OF può essere approssimato con E02

OFE02

Quindi posso scrivere che

FD( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/2E02

La variazione di tensione assume l’aspetto

V R”eI2 cos2+X”eI2 sin2+

+( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/2E02

in percentuale

V% 100(R”eI2 cos2+X”eI2 sin2)/E02+

+50( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/E022

Ora riporto tutte le grandezze al primario (I2=kI1; E02=kV1; Re’=k2Re”; Xe’=k2Xe e dove k è il rapporto di trasformazione) e trascuro la corrente a vuoto

V% 100(I1/V1)(R’e cos2+X’esin2)+

+50 (I1/V1)2( X’e cos2-R’e sin2)2

Si osservi che R’e I1=Vcccoscc ed X’e I1=Vccsincc

La caduta di tensione tra vuoto e carico può essere espressa in termini di tensione di corto circuito

V% 100(Vcc/V1)(coscccos2+ sinccsin2)+

+50 (Vcc/V1)2(sincccos2- cosccsin2)2

se si considera che Vcc%= 100(Vcc/V1) posso scrivere che

Vcc%= 100(1.73ZccI1/V1)

Ora riporto tutte le grandezze al primario (I2=kI1; E02=kV1; Re’=k2Re”; Xe’=k2Xe e dove k è il rapporto di trasformazione) e trascuro la corrente a vuoto

V% 100(I1/V1)(R’e cos2+X’esin2)+

+50 (I1/V1)2( X’e cos2-R’e sin2)2

Si osservi che R’e I1=Vcccoscc ed X’e I1=Vccsincc

La caduta di tensione tra vuoto e carico può essere espressa in termini di tensione di corto circuito

V% 100(Vcc/V1)(coscccos2+ sinccsin2)+

+50 (Vcc/V1)2(sincccos2- cosccsin2)2

se si considera che Vcc%= 100(Vcc/V1) posso scrivere che

Vcc%= 100(1.73ZccI1/V1)

Vcc%= 100(1.73ZccI1/V1)

posso anche definire le cadute percentuali di tipo resistivo ed induttivo come:

VRcc%= 100(1.73ZccI1/V1)coscc=

100(1.73RccI1/V1)

deve essere compresa tra il 5% per i piccoli e lo 0.5% per i grandi trasformatori. Inoltre:

VXcc%= 100(1.73ZccI1/V1)sincc= 100(1.73XccI1/V1)

che deve essere compresa tra il 4% per i piccoli e l’8% per i grandi trasformatori.

Vcc%= 100(1.73ZccI1/V1)

posso anche definire le cadute percentuali di tipo resistivo ed induttivo come:

VRcc%= 100(1.73ZccI1/V1)coscc=

100(1.73RccI1/V1)

deve essere compresa tra il 5% per i piccoli e lo 0.5% per i grandi trasformatori. Inoltre:

VXcc%= 100(1.73ZccI1/V1)sincc= 100(1.73XccI1/V1)

che deve essere compresa tra il 4% per i piccoli e l’8% per i grandi trasformatori.

Sulla base di queste posizioni, la relazione

V% 100(Vcc/V1)(coscccos2+ sinccsin2)+

+50 (Vcc/V1)2(sincccos2- cosccsin2)2

diventa:

V% VRcc%cos2+ VXcc%sin2+

+(VXcc%cos2- VRcc%sin2)2/200

per cos =1 => V% VRcc%+(VXcc%)2/200

In questo modo è possibile valutare il comportamento del

trasformatore nella variazione tra vuoto e carico, al variare del cos

Sulla base di queste posizioni, la relazione

V% 100(Vcc/V1)(coscccos2+ sinccsin2)+

+50 (Vcc/V1)2(sincccos2- cosccsin2)2

diventa:

V% VRcc%cos2+ VXcc%sin2+

+(VXcc%cos2- VRcc%sin2)2/200

per cos =1 => V% VRcc%+(VXcc%)2/200

In questo modo è possibile valutare il comportamento del

trasformatore nella variazione tra vuoto e carico, al variare del cos

Come valori di riferimento, posso considerare la seguente tabellaCome valori di riferimento, posso considerare la seguente tabella

kVA cos 10 100 500 1000 5000 >V% 1 3 - 4 2.5 – 3 1.5 – 2 1.5 – 2 0.5 – 1.5 0.5V% 0,8 2,2 4 -5 4 - 6 4 - 6 5 - 6 0.5

CALCOLO DELLE PERDITE NEI CONDUTTORI

CALCOLO DELLE PERDITE NEI CONDUTTORI

Si determinano i pesi degli avvolgimenti:

GCuAT= 3 laAT SCuAT CuAT

GCuBT= 3 laBT SCuBT CuBT

Le perdite negli avvolgimenti valgono:

Pcu = 3 KACAT RDCAT I2AT + 3 KACBT RBT I2

DC BT

Di solito di può porre:

KACAT = 1

Si determinano i pesi degli avvolgimenti:

GCuAT= 3 laAT SCuAT CuAT

GCuBT= 3 laBT SCuBT CuBT

Le perdite negli avvolgimenti valgono:

Pcu = 3 KACAT RDCAT I2AT + 3 KACBT RBT I2

DC BT

Di solito di può porre:

KACAT = 1

DETERMINAZIONE DEL RENDIMENTO

DETERMINAZIONE DEL RENDIMENTO

Determinate le perdite del ferro e nei materiali conduttori è possibile calcolare il rendimento, essendo noti la potenza apparente nominale P ed il fattore di potenza di riferimento cos:

Determinate le perdite del ferro e nei materiali conduttori è possibile calcolare il rendimento, essendo noti la potenza apparente nominale P ed il fattore di potenza di riferimento cos:

1P P

Pcos P Pfe Cu

fe Cu