C. Testa M. Battù P. Curletti M.L. Longo L. Savarino T. Savio F. … · 2019. 7. 18. · Completa...

C. Testa M. Battù P. Curletti M.L. Longo L. Savarino T. Savio F. Taormina

MATHzero

schede di matematicaper l’ingresso nella scuola secondariadi secondo grado

società editrice internazionale - torino

© SEI - Società Editrice Internazionale p.A. - Torino

C. Testa - M. Battù - P. Curletti - M.L. Longo - L. Savarino - T. Savio - F. Taormina

Coordinamento e progetto editoriale: Cristina GodinoRedazione: Chiara TannoiaCoordinamento grafico: Piergiuseppe AnselmoProgetto grafico, copertina, impaginazione e disegni: Essegi snc - Torino

Prima edizione: 2018

Ristampa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2018 2019 2020 2021 2022

Tutti i diritti sono riservati. È vietata la riproduzione dell’opera o di parti di essa con qualsiasi mezzo, compresa stam-pa, copia fotostatica, microfilm e memorizzazione elettronica, se non espressamente autorizzata per iscritto.

Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro paga-mento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633.

Le fotocopie effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana 108, 20122 Milano, e-mail [email protected] e sito web www.clearedi.org

L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare errori di attribuzione o eventuali omissioni sui detentori di diritto di copyright non potuti reperire.

Stampa: Litho 2000 - Borgo San Dalmazzo (CN)

© 2018 by SEI - Società Editrice Internazionale - Torinowww.seieditrice.com

07424



La risoluzione degli esercizi è a cura di Chiara Tannoia.

III

Numeri e simboli adeguati a ogni situazione… 1

Numeri, simboli…: come si scrivono e come si leggono 2

Le operazioni 3

Espressioni: priorità delle operazioni e uso delle parentesi 5

Le proprietà e i… problemi dei numeri zero e uno 6

MateMatica creativa 8

Le potenze 9

Le proprietà delle potenze 10

Multipli, divisori, numeri pari, dispari, primi… MCD, mcm tra numeri 12

Le frazioni 15

try to solve in english 20

Calcoli con le frazioni 21

Come si scrive? Come si legge? 23

Le proporzioni 26

Le percentuali 28

I numeri decimali 32

Calcoli con i numeri decimali 33

Calcoli mentali rapidi 35

Calcoli con le potenze di 10 36

Frazioni generatrici e numeri decimali 38

Z: gli interi relativi 39

Operazioni con i numeri relativi 41

Q: i razionali 47

Operazioni con i numeri razionali 49

Espressioni con i numeri razionali 52

Dal linguaggio alla scrittura in simboli 55

Potenze di numeri razionali con esponente positivo, negativo, nullo 56

Proprietà delle potenze 57

Indice



IV

autovalutazione: calcolo nuMerico 59

Equivalenze con misure di lunghezza, capacità, massa e tempo 60

Calcoli con gli euro 63


Disegni in scala 65

Leggere i grafici (dalle prove Invalsi, a.s. 2009-2010) 67

Espressioni letterali 68

Equazioni lineari in un’incognita 69

Risolvere equazioni 70

Dal linguaggio alla scrittura in simboli 75

Problemi risolubili con equazioni 77

autovalutazione: algebra 79

Piano cartesiano 80

Un po’ di probabilità 84

Leggere grafici, rappresentare dati 87

Leggere grafici (dalla prova nazionale Invalsi scuola sec. I grado, a.s. 2013-2014) 89

Leggere grafici (dalla prova nazionale Invalsi scuola sec. I grado, a.s. 2015-2016) 90

Un po’ di nomenclatura 92

Punti e rette nel piano 93

Angoli 94

Angoli consecutivi, adiacenti, complementari e supplementari 95

Classifichiamo i triangoli 97

Classifichiamo i quadrilateri 101

Triangoli e quadrilateri 103

Perimetri e aree 104

Misura di segmenti, perimetri, aree 105


Che cosa ricordi? 118

autovalutazione: geoMetria 119

soluzioni 120



V

Il volume è stato pensato per il passaggio dalla scuola secondaria di I grado alla scuola secon-daria di II grado, per soddisfare le esigenze:• deglistudenti, offrendo loro uno strumento per ripassare e consolidare le conoscenze di mate-

matica, indispensabili per affrontare il primo biennio, attraverso schede operative di semplice utilizzo, corredate di richiami di teoria ed esercizi svolti e guidati;

• deidocenti di matematica, che all’inizio del nuovo percorso necessitano di strumenti per la verifica e il consolidamento del possesso dei prerequisiti, in modo da delineare un quadro della situazione iniziale della classe e creare le condizioni di lavoro per la realizzazione dell’at-tività didattica.

Il volume può essere, quindi, uno strumento utile per l’avvio dell’anno scolastico o una proposta di lavoro estivo nel passaggio dal ciclo inferiore a quello superiore, ma può anche essere utilizza-to a sostegno di un percorso in cui ci sia necessità di rivisitare e riproporre contenuti affrontati nella scuola secondaria di I grado, per stimolare lo studente a misurarsi con proposte di esercita-zioni diverse, per raggiungere o consolidare le sue conoscenze e abilità.

Si è pensato a una scelta di contenuti che di norma nel biennio i docenti considerano prerequisiti indispensabili, inserendo anche argomenti che spesso non sono più presenti nei testi su cui i ragaz-zi dovranno studiare, come le equivalenze, le proporzioni, il calcolo percentuale.

Gli esercizi sono vari, accattivanti e, in genere, non hanno la classica struttura di quelli che abi-tualmente gli studenti trovano sui libri di testo.Sono proposti esercizi tratti dalle prove Invalsi e dalle prove nazionali, schede di autovalutazione sul calcolo numerico, sulla geometria e sull’algebra, ed esercizi in inglese.Alla fine del volume sono state raccolte tutte le soluzioni degli esercizi che richiedono alcuni calcolo.

gli Autori

Presentazione



1

Associa a ciascun oggetto le sue dimensioni.

520 mm 3,8 m0,11 m 143 cm80 mm 0,9 m

2

Numeri e simboli adeguati a ogni situazione…

Troviamo numeri e simboli un po’ ovunque: in ciò che diciamo, in ciò che leggiamo...Analizza i riferimenti numerici nelle affermazioni di Alice e dei suoi amici, valutane l’adeguatezza relativamen-te alla situazione descritta e sottolinea i dati che ti sembrano corretti. Qualcuno ha usato dati, simboli, notazioni non adeguati? Spiegane il motivo e proponi le opportune correzioni nel riquadro affiancato a ciascuno.

1

FAC SIMILE

............................

............................

............................

............................

............................

............................

Carlo

Beatrice

Ieri ho comprato una bici con uno sconto del 10%

e un vestito con uno sconto fantastico del 105%!

Oggi è il mio compleanno! Sono nata a Londra dove piove 380 giorni l’anno e sono vissuta

più di 5 ∙ 103 giorni.

Uhhhh… che fatica alzarsi questa mattina, la sveglia è suonata alle 18:30!!!

Ho fatto colazione in tre secondi, ho bevuto un decimetro cubo di yogurt e mangiato 2 panini. Sono venuto a scuola in bici: 2 chilometri in 30 secondi!!!

Andrea

Alice

Il mio ascensore è largo circa 30 cm2, lungo 6 m,

alto circa un metro e mezzo.



520 mm

0,11 m

0,9 m

3,8 m

143 cm

80 mm

Il dato errato è 105%, perché uno sconto non può essere superiore al 100%.

Nessuno dei dati è adeguato.• 30 cm2 non può rappresentare una

lunghezza perché l’unità di misura è quella di un’area.

• 6 m è una misura troppo grande per un ascensore.

• Un metro e mezzo è un’altezza troppo bassa per un ascensore.

• 380 giorni è un dato errato perché in un anno ci sono 365 giorni (366 giorni negli anni bisestili) e 380 > 365.

• La notazione che indica gli anni non è adeguata, perché solitamente l’età viene indicata in anni e non in giorni.

• 18:30 si riferisce a un orario pomeridiano, non mattutino.

• 3 secondi e 30 secondi sono tempi troppo brevi per eseguire le azioni descritte.

• 1 decimetro cubo è una quantità troppo grande per riferirsi allo yogurt bevuto. Inoltre solitamente la quantita di yogurt bevuta si indica in litri o con i suoi sottomultipli.

2

Numeri, simboli…: come si scrivono e come si leggono

Nel sistema di numerazione romano* possiamo scrivere i numeri combinando i seguenti simboli. Poi osserva l’immagine e rispondi.

Numero romano Numero arabo

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Scrivi i numeri romani da 1 a 15.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15I IV

Osserva le coppie di numeri romani 4 e 6, 9 e 11: quale particolarità riscontri?

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1

2

3

Completa la tabella.

Numero romano Numero arabo

XXIILXIIIXLIIICVIIIX

12XIVXXVI

40LIXCVMCII

1310751

4

*In realtà quelli che vengono chiamati “numeri romani” non sono esattamente quelli utilizzati nell’antica Roma, ma una loro modi-fica effettuata nel Medioevo per semplificare il sistema originale.

Completa la tabella e rispondi alle domande.Scrivi nella prima riga della tabella la tua data di nascita e la data di inizio di questo anno scolastico. Completa le colonne scrivendo le due date nei modi esemplificati nella prima colonna.

Esempio Data di nascita

Data di inizio

dell’anno scolastico

20 novembre 20172017-11-2020.11.201720 XI 201720th november 2017

a) Nel sistema di numerazione romano quali e quan-ti simboli utilizziamo?

...................................................................................................................................

b) Nel sistema di numerazione decimale, invece, quali e quante cifre utilizziamo?

...................................................................................................................................

5

Quale numero compare nella foto?......................................................................................................................................................

Soltanto un numero finito di numeri arabi possono essere rappresentati con i numeri romani.Con i numeri romani non si possono rappresenta-re lo zero, le quantità negative e quelle decimali.

? LO SAI CHE?



II III V VI VII

22

1890

63

43

107

9

XII

XL

MCCCX

DCCLI

14

26

51

95

1102

VIII IX X XI XII XIII XIV XV

I numeri 4 e 9 hanno il simbolo I prima del secondo simbolo, rispettivamente, V e X, i numeri 6 e 11

lo hanno dopo.

I V X L C D M; 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9; 10

3

Completa il quadrato magico: la somma dei numeri in ogni riga, in ogni colonna e sulle diagonali sia la stessa. Devono comparire, senza ripetersi, i numeri da 0 a 15.

2

Completa la stella seguendo le indicazioni.

+ 2

+ 7

+ 4

- 6- 13

- 5- 3

- 3

- 10- 8

- 14+ 1

+ 1

10

16

18 20

3

Le operazioni

Inserisci i numeri opportuni nelle operazioni.

2 0 ........... + 1 ........... 5 ........... + 7 8 ........... 3 + 1 ........... 1 4 +4 5 6 = 7 ........... 5 = ........... 0 ........... = 6 0 ........... +

........... ........... 7 2 4 7 5 8 0 0 0 1 3 2 =........... 4 ........... 5

4 3 1 - 9 ........... 5 0 - 1 0 0 0 ........... - 1 ........... 1 ........... 0 -8 2 = 6 8 ........... = ........... ........... 1 1 = 1 ........... 1 1 =

........... ........... ........... ........... 7 6 8 1 8 8 9 ........... 0 9 0 9

4 ........... 3 × ........... ........... ........... × ........... 5 ........... × 1 2 1 ×2 = 9 = 2 ........... = ........... 5 =

9 6 ........... 1 ........... 9 0 2 ........... ........... ........... ........... ...........

........... ........... 6 ........... ........... 8

........... ........... 1 3 1 0 ........... ........... ...........

......... ......... 0 7 1 ........... 3 3 7 ........... 8 1 9 4 5 0 ........... ...........

......... ......... 2 5 ........... ........... 6 ........... ........... ........... 8 ........... 9 2 5 1 ...........

\\ 4 ......... \\ \\ 3 \\ \\ 8 ........... ........... ........... 0......... ......... ........... ........... ........... ........... ........... ...........

\\ 5 \\ \\ \\ \\ \\ \\

1

0 7

13 10 1

3 15

14

................

................

................

................ ................



12 11

6

84

9

21

7 13

9

1712

15

22

+ 2

+ 4

- 2

- 7

2 5

7 0 9 7

97

2 5

12

1

2 5

4 0 2 2

2182

3

8

6 8 5 3 6 0 5

6905

5 3 2 8 5

2 5

8

2881

1 4 1 8 1 7 2 0

0210

3 5 3 8 1 2 0 0

2 1 0 2 3

81

4 9 8 1

- 6

4

Osserva in quanti modi si può scrivere il numero 39.

39 = 25 + 14 = 3 + 17 + 19 = 20 + 19 = 5 + 9 + 25 = ..........

Scrivi ora 39, se possibile:

a) come somma di due numeri consecutivi .......................................................................................................................................................................................

b) come somma di due numeri dispari ...................................................................................................................................................................................................

c) come somma di un numero pari e uno dispari ........................................................................................................................................................................

d) come somma di tre numeri dispari ......................................................................................................................................................................................................

e) come prodotto di due numeri dispari ................................................................................................................................................................................................

Completa lo schema.

+ 2

+ 3

× 2

× 4

× 20

5

26 15 : 5

: 2

............

.........

.........

............

...

+ ...............

Completa gli schemi.

21

16 + ...............

82 - ...............

105 : ...............3 × ............... 780

423 + ...............

905 - ...............

1560 : ...............30 × ...............

Completa lo schema, tenendo conto del valore delle frecce.

16 8

48

144

× 3 : 2

4

5

6

7



100

20

5

7

61

5 26

125

357

2

4

24

72

2

12

36

1

6

18

3

9

16

+ 6 : 2

+ 1710

13

30

5

Espressioni: priorità delle operazioni e uso delle parentesi

Risolvi le espressioni.

Scrittura senza parentesi Scrittura con parentesi Spiega quale differenza c’è nei calcoli,

tra le due scritture

3 · 5 + 4 = 3 · (5 + 4) =

9 · 4 - 12 : 3 = (9 · 4 - 12) : 3 =

16 : 2 + 6 = 16 : (2 + 6) =

3 · 52 = (3 · 5)2 =

Con quali numeri, operazioni, parentesi completeresti le scritture in modo che le uguaglianze risultino vere?

600 .......... 12 = 50 40 .......... .......... = 86 27 · .......... = 0 (26 - 5 .......... : 7 + 4 = 7

38 .......... .......... = 2 (.......... .......... 5) · 2 = 24 4 .......... = 1 .......... · 15 = 0

32 - 2 .......... = 1 2 · .......... 8 - 3) = 10 3 .......... = 81 2 .......... 3 .......... 5 = 17

Calcola il valore delle espressioni.

32 + 10 - 8 · 4 : 2 =

32 + (10 - 8) · 4 : 2 =

(32 + 10 - 8) · 4 : 2 =

(32 + 10 - 8 · 4) : 2 =

[32 + (10 - 8) · 4] : 2 =

(32 + 10) - 8 · (4 : 2) =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Svolgere in successione una o più operazioni significa risolvere un’espressione.Le operazioni si calcolano nell’ordine in cui sono scritte, ricordando però che si risolvono:• prima le potenze;• poi le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono scritte;• successivamente le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui sono scritte.La presenza delle parentesi stabilisce la precedenza di calcolo per le operazioni indicate al loro interno.

FOCUS ON



19

32

26

36

68

5

20

26

14

75

27

8

2

225

Nella prima scrittura si esegue prima la moltiplicazione e poi l’addizione, nella seconda si esegue l’addizione nella parentesi e poi la moltiplicazione.

Nella prima scrittura si eseguono prima moltiplicazione e divisione e poi la sottrazione; nella seconda scrittura si eseguono prima i calcoli in parentesi e poi la divisione.

Nella prima scrittura si esegue prima la divisione e poi l’addizione; nella seconda scrittura si esegue prima l’addizione in parentesi e poi la divisione.

Nella prima scrittura si esegue prima la potenza e poi la moltiplicazione; nella seconda scrittura si esegue prima il prodotto e poi la potenza.

:

: +

+

+ ·

19 7

46 0

0

)

(3 4

0

6

Le proprietà e i... problemi dei numeri zero e uno

Scegli, tra le risposte scritte sotto, i risultati dei calcoli.

7 + 0 = 7 ⋅ 1 = 7 - 0 = 01 = 7 ⋅ 0 = 0 : 1 =

0 ⋅ 7 = 7 : 7 = 7 : 0 = 10 = 0 : 7 = 1 ⋅ 0 =

07 = 71 = 70 = 17 = 7 - 7 = 1 : 0 =

Risposte 1, impossibile, 7, 0

Calcola.

a) (15 + 1 · 18 + 10)2 =b) (15 + 1) · 18 + 12 - 13 =c) (05 · 13 + 50 · 31) · (20 + 21 + 22) =d) 1 + 14 · 13 - 10 =e) 19 : 17 - 14 · 15 + 11 =

Risolvi le espressioni.

15 : 5 + 0 : 5 + 20 : 5 =

(5 : 1 + 10 : 5 - 0)2 : (1 + 2 · 3) =

(0 : 5 + 0 · 3 - 0) : 2 =

(5 · 40 · 2 + 0 · 5 · 32 - 0 · 1 · 2) · 3 =

71 · 3 - 0 · 33 + 0 : 3 · 2 · 5 · 4 - 7 · 3 · 5 · 2 · 03 - 21 : 80 =

112 : 11 + 3 · 151 - 7 · 2 · 70 + 13 · 04 - 12 : 4 : 60 =

1

2

3

4

5

6

7

8



7 7 7 0 0 0

0 1 impossib. 1 0 0

0

9

7

7

0

30

0

39

2

21

1

1

7 1 1 0 impossib.

7

Calcoli mentali rapidi.

1) Il successivo di 7 · 5 è ..........................................................................................................................................................................

2) Il doppio del precedente del triplo di 5 è ..........................................................................................................................

3) Il precedente di 1000 è .........................................................................................................................................................................

4) Il triplo del precedente del doppio di 5 è ..........................................................................................................................

5) Il doppio del successivo di 3 è .....................................................................................................................................................

6) Il precedente del quadruplo di 5 è ............................................................................................................................................

7) Il successivo del doppio di 3 è .....................................................................................................................................................

8) Il quadruplo del precedente di 5 è ............................................................................................................................................

9) Il triplo della metà di 12 è .................................................................................................................................................................

10) Il quadrato del precedente di 8 è ................................................................................................................................................

11) La metà del triplo di 12 è ...................................................................................................................................................................

12) Il precedente della quarta parte di 16 è ...............................................................................................................................

13) La metà del successivo di 13 è ....................................................................................................................................................

14) Il precedente del quadrato del successivo di 5 è .......................................................................................................

15) Il successivo della metà di 12 è ..................................................................................................................................................

16) Il quadrato del precedente del successivo di 5 è .......................................................................................................

Vero o falso?1) 4 · 29 = 4 · (30 - 1) V F 7) 24 : 3 = 24 : 2 + 1 V F

2) 26 + 13 = 3 · 13 V F 8) 53 + 33 = 153 V F

3) 3 · 18 = 3 · 10 + 8 V F 9) 62 · 8 = 62 · 10 - 62 · 2 V F

4) (14 + 23) · 10 = 52 · 22 V F 10) 112 = 102 + 12 V F

5) 72 : 2 = (70 + 2) : 2 V F 11) 15 · 32 = 5 · 33 V F

6) 53 + 33 = 83 V F 12) 112 = 102 + 2 · 10 + 12 V F

Vero o falso?

Se 19 diviso 8 fa 2 con il resto di 3, allora:

1) 19 : 8 = 2 + 3 V F

2) 19 : 8 = 2 + 3 __ 8

V F

3) 19 = 8 · 2 + 3 V F

4) 19 : 8 = 2 + 0,375 V F

Rispondi alle domande.

Che cosa succede alla somma di due numeri quando ciascun addendo viene aumentato di 2?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Che cosa succede alla differenza di due numeri quando sia il minuendo sia il sottraendo vengono aumentati di 2?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Che cosa succede al prodotto di due numeri quando ciascun fattore viene moltiplicato per 2?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Che cosa succede al quoziente di due numeri quando sia il dividendo sia il divisore vengono moltiplicati per 2?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

9

10

11

12



36

49

28

18

27

8

7

19

35

7

7

16

25

18

999

3

La somma aumenta di 4.

Non cambia.

Il prodotto quadruplica.

Non cambia.

8

Moltiplicazioni bizzarre Curiosità aritmetiche

12345679 · 9 = 111111111 (8 + 1)2 = 81

12345679 · 18 = 222222222 (5 + 1 + 2)3 = 512

12345679 · 27 = 333333333 (4 + 1 + 9 + 3)3 = 4193

12345679 · 36 = 444444444 (5 + 8 + 3 + 2)3 = 5832

12345679 · 45 = 555555555 (1 + 9 + 6 + 8 + 3)3 = 19 683

12345679 · 54 = 666666666

12345679 · 63 = 777777777

12345679 · 72 = 888888888

12345679 · 81 = 999999999

INDOVINELLI ARITMETICI

Invita un tuo amico a pensare un numero e digli di eseguire le seguenti operazioni.

1. Moltiplica il numero pensato per 3.

2. Aggiungi il numero 2 al prodotto.

3. Moltiplica la somma per 4.

4. Sottrai il doppio del numero pensato.

Fatti dire il risultato ed elimina l’ultima cifra: il numero che rimane è quello pensato dal tuo amico!

Pensa un numero di 3 cifre (la prima e l’ultima devono differire di almeno due) ed esegui le seguenti operazioni.

1. Inverti le cifre delle unità e delle centinaia del numero.

2. Sottrai il più piccolo al più grande. RISULTATO 1

3. Inverti le cifre del RISULTATO 1. RISULTATO 2

4. Somma il RISULTATO 1 e il RISULTATO 2.

• Quale numero hai ottenuto? ...............................................................................

• Ripeti tre volte la procedura, cambiando ogni volta il numero di partenza. Che cosa succede?......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1

2

M atematica creativa



1089

Si ottiene sempre come risultato 1089.

9

Le potenze

Rifletti e… usa le potenze. Completa in modo opportuno con i simboli >, <, =.

104 · 105 ............ 14 · 106 20 · 1010 ............ 2 · 1011 103 · 303 ............ 27 · 1003

51 · 108 ............ 5 · 109 105 ............ 500 000 4 · 202 · 5 ............ 402

Associa a ogni espressione il suo risultato.

1

2

A 23 + 2 : 2

B 33 - 32 + 2

C 43 : 4 + 44 : 42 - 25

D 32 + 34 : 32

E (144 : 12)2 - 53 : 52

F 22 · 32 + 102 : 10

G (10 000 : 104) · 100

H 5 · 52 - 53

0 18 9 46 1 20 0 139

Se 212 = 4096, calcola:

211 = .......................... 213 = ..........................

214 = .......................... 210 = ..........................

3

Risolvi il cruciverba.Orizzontali VerticaliA 92 A 24 · 5C 63 : 6 B 44 : 4E (2 ⋅ 6)2 D 26 + 20

G 52 + 12 E 43 : 22

H 102 - 5 F 2 · 52 - 1J 202 : 42 G (22)4

K 34 : 32 + 1 I 210 : 2L 2 · 52 + 2 · 6 M 52 + 22

N 83 : 8 + 8 N 92 - 21

P 103 - 100 O 62 + 60

T 93 : 9 - 9 R 92 + 91 + 90

U (53 - 52) : 5 S 106 : 105

A B

E

G I

K

N

J

L M

PO R S

UT

F

H

C D

4

Completa con i numeri corretti le potenze e le radici.

√___ 144 = 12 perché 122 = 144 3 √

___ ......... = 2 perché ............................................................

√_____ 10 000 = .......................... perché ............................................................. 4 √

_ 1 = .......................... perché ............................................................

√_ 1 = .......................... perché ............................................................. 5 √

___ ......... = 2 perché ............................................................

√__ 36 = .......................... perché ............................................................. ....... √

___ 125 = 5 perché ............................................................

3 √__ 27 = .......................... perché 33 = .............................................. ....... √

__ 32 = 2 perché ............................................................

4 √__ 16 = .......................... perché ............. = 16 ....... √

___ 121 = 11 perché ............................................................

5



<

>

=

<

=

>

C D A F G B H E8

0

2

6

3

7

6

1

1

5

2

9

2

2

6

4

9

1

9

3

4

1

7

9

2

5

6

5

0

2

1

0

2048

16 384

8192

1024

100

8

1

6

3

2

1002 = 10 000

12 = 1

62 = 36

27

24

32

3

5

2

1

23 = 8

14 = 1

25 = 32

53 = 125

25 = 32

112 = 121

10

Le proprietà delle potenze

Calcola applicando le proprietà delle potenze, come negli esempi.

72 · 7 = 72+1 = 73

39 · 32 =

54 · 50 =

1

2

22 · 23 · 2 =

83 · 83 · 8 =

60 · 63 · 6 =

3

4

5

55 : 52 = 55-2 = 53

64 : 6 =

710 : 72 =

6

7

86 : 80 =

54 : 5 : 5 =

36 : 3 : 32 =

8

9

10

(22)3 = 22·3 = 26

(22)0 =

(22)7 =

11

12

[(32)3]0 =

[(32)1]2 =

[(43)2]5 =

13

14

15

32 · 42 = (3 · 4)2 = 122

54 · 24 =

65 · 25 =

16

17

152 : 52 = (15 : 5)2 = 32

104 : 24 =

143 : 73 =

21

22

100010 : 10010 =

483 : 43 : 63 =

184 : 24 : 34 =

23

24

25

104 · 24 · 34 =

67 · 27 · 47 =

710 · 910 · 1010 =

18

19

20



39+2 = 311

22+3+1 = 26

83+3+1 = 87

60+3+1 = 6454+0 = 54

(6 · 2 · 4)7 = 487

(7 · 9 · 10)10 = 63010

(5 · 2)4 = 104

(6 · 2)5 = 125

(1000 : 100)10 = 1010

(48 : 4 : 6)3 = 23

(18 : 2 : 3)4 = 34

32·3·0 = 30

32·1·2 = 34

43·2·5 = 430

22·0 = 20

22·7 = 214

86-0 = 86

54-1-1 = 52

36-1-2 = 33

64-1 = 63

710-2 = 78

(10 : 2)4 = 54

(14 : 7)3 = 23

(10 · 2 · 3)4 = 604

11

Calcola applicando, dove è possibile, le proprietà delle potenze.

52 + 32 =

(5 + 3)2 =

(52 + 3)2 =

52 · 32 =

82 · 42 =

82 + 42 =

82 - 42 =

82 : 42 =

(23 · 43 · 53) : (23 · 5) =

(23 · 63 · 103)0 · (32 · 4)1 =

[(53 · 33)4 : (34)3] : 59 =

24 + 24 + 25 - (22)2 =

(32)2 : [33 · 35 : (32)3] =

[52 + 5 · (153 : 33) : 52 - 50]1 =

26

27

28

29

Calcola applicando le proprietà delle potenze, come nell’esempio.

492 : 73 = (72)2 : 73 = 74 : 73 = 71 = 7

42 : 24 =

93 · 3 =

253 : 54 =

10003 : 108 =

82 · 2 =

272 · 94: 310 =

30



25 + 9 = 34

(8 · 4)2 = 322 = 1024

82 = 64

64 + 16 = 80

282 = 784

64 - 16 = 48

(5 · 3)2 = 152 = 225

(8 : 4)2 = 22 = 4

(2 · 4 · 5)3 : (8 · 5) = 403 : 40 = 403-1 = 402 = 1600

1 · (3 · 2)2 = 36

34 : [33 · 35 : 36] = 34 : [33+5-6] = 34 : 32 = 32 = 9

(22)2 : 24 = 24 : 24 = 20 = 1

(32)3 · 3 = 36 · 3 = 37

(52)3 : 54 = 56 : 54 = 52

(103)3 : 108 = 109 : 108 = 101 = 10

(23)2 · 2 = 26 · 2 = 27

[52 + 5 · (15 : 3)3 : 52 - 50]1 = [25 + 51+3-2 - 1]1 = [25 + 52 - 1]1 = 49

[1512 : 312] : 59 = (15 : 3)12 : 59 = 512 : 59 = 512-9 = 53 = 125

24 + 24 + 25 - 24 = 24 + 25 = 16 + 32 = 48

(33)2 · (32)4 : 310 = 36 · 38 : 310 = 36+8-10 = 34

12

Multipli, divisori, numeri pari, dispari, primi… MCD, mcm tra numeri

Scrivi tutti i divisori dei numeri dati.

24 42 45 54 72

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Completa i criteri di divisibilità.

Un numero è divisibile per 2 se ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................






Scrivi tutti i numeri primi minori di 100.

2, 3, 5, ........................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Tra i numeri 12, 39, 13, 18, 26, 16, 4, 2 scrivi, se ce ne sono:

a) tutti quelli che sono primi .............................................................................................................................................................................................................................

b) tutti quelli che sono multipli di 3 ..........................................................................................................................................................................................................

c) tutti quelli che sono multipli di 4 ..........................................................................................................................................................................................................

d) tutti quelli che sono il quadrato di un numero naturale .................................................................................................................................................

e) tutti quelli che sono il cubo di un numero naturale ............................................................................................................................................................

Scrivi tutti i numeri minori di 250 che sono il quadrato di un numero naturale.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Scrivi tutti i numeri minori di 150 che sono il cubo di un numero naturale.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1

2

3

4

5

6

Un numero primo è un numero che ha come divisori soltanto 1 e se stesso.

FOCUS ON



1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 721, 3, 5, 9, 15, 45

termina con 0 o con una cifra pari

la somma delle sue cifre è divisibile per 3

termina con 00 o se le ultime due cifre sono un numero divisibile per 4

termina con 0 o con 5

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225

1, 8, 27, 64, 125

13, 2

12, 39, 18

12, 16, 4

16, 4

/

la somma delle cifre è divisibile per 9

la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e

la somma delle cifre di posto dispari è 0 o un multiplo di 11

13

Completa le frasi.

I numeri 6, 9, 15 hanno come divisori comuni: ......................... Il MCD è ...............................................................

I numeri 5, 6, 15 hanno multipli comuni: 30, 60, 90, .............

......................................... Il mcm è ..........................................................................

Trova, attraverso i divisori e i multipli comuni, il MCD e il mcm.

Scrivi i divisori comuni a 12, 18, 4: ..........................................................................................

Scrivi alcuni multipli comuni a 12, 18, 4: ...........................................................................

MCD(12, 18, 4) = ................................................

mcm(12, 18, 4) = ..................................................

Scrivi i divisori comuni a 9, 4, 36: .............................................................................................

Scrivi alcuni multipli comuni a 9, 4, 36: ..............................................................................

MCD(9, 4, 36) = ....................................................

mcm(9, 4, 36) = ......................................................

Scrivi i divisori comuni a 50, 30, 10: .......................................................................................

Scrivi alcuni multipli comuni a 50, 30, 10: .......................................................................

MCD(50, 30, 10) = .............................................

mcm(50, 30, 10) = ...............................................

Sottolinea le scritture in cui ciascun numero è scomposto in fattori primi.

24 = 4 · 3 · 2 24 = 23 · 3 24 = 22 + 22 · 5 24 = 2 · 5 + 2 · 7 8 = 2 · 4

18 = 9 · 2 · 1 18 = 3 · 6 18 = 22 · 22 + 2 18 = 2 · 32 12 = 22 · 3

32 = 23 · 4 32 = 32 · 1 32 = 25 32 = 7 + 52 12 = 5 + 7

Completa la tabella, come nell’esempio, per scomporre un numero in fattori primi.

360 2180 2 v 23

90 2 45 3 V 15 3 32

5 5 1

360 = 23 · 32 · 5

980 270 175

Osserva. Potresti ottenere la scomposizione di 360, in riga, procedendo in questo modo:

360 = 36 · 10 = 22 · 32 · 2 · 5 = 23 · 32 · 5

Prova ora con:

a) 90 = ....................................................................................................................................................................................................................................................................................

b) 110 = .................................................................................................................................................................................................................................................................................

c) 980 = .................................................................................................................................................................................................................................................................................

d) 150 = .................................................................................................................................................................................................................................................................................

7

8

9

10

11

12

13

14

Il massimo comun divisore (MCD) tra due o più numeri è il più grande tra i divisori comuni.Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri è il minore tra i multi-pli che hanno in comune.

FOCUS ON



1, 3

3

150, …

120,

30

1, 2

36, 72, …

1

36, 72, …

1, 2, 5, 10

150, 300, …

2

36

1

36

10

150

2 V490 2

22

245 5 49 7 V 7 7 72

1

980 = 22 · 5 · 72

2135 3 45 3 v 33

15 3 5 5 1

270 = 2 · 33 · 5

5 V 35 5

52

7 7 1

175 = 52 · 7

9 · 10 = 32 · 2 · 511 · 10 = 11 · 2 · 598 · 10 = 2 · 72 · 2 · 5 = 22 · 72 · 515 · 10 = 3 · 5 · 2 · 5 = 2 · 3 · 52

14

Completa la tabella per calcolare il MCD e il mcm tra i numeri dati, come nell’esempio.

Gruppo di numeri Scomponi in fattori primi tutti i numeri Calcola il MCD Calcola il mcm

704921

70 = 2 · 5 · 749 = 72

21 = 3 · 7

MCD(70, 49, 21) = 7 mcm(70, 49, 21) == 2 · 3 · 5 · 72

6252613

123660

1503965

25612080

48207192

Completa le tabelle.

Numero Scomposizione in fattori primi

6

62

610

Numero Scomposizione in fattori primi

18

182

183

Rispondi.

Quale tra 14, 24, 25 è un divisore di 24 · 33? ....................................................................................................................................................................................

Quale tra 15, 18, 21 non è un divisore di 2 · 3 · 5 · 7? ................................................................................................................................................................

Quale tra 65, 203, 302 è un multiplo di 2 · 3 · 5? ..............................................................................................................................................................................

Quale tra 2700, 750, 6750 non è un multiplo di 33 · 52? ...........................................................................................................................................................

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Per determinare il MCD di due o più numeri, dopo averli scomposti in fattori primi, si calcola il prodot-to dei fattori comuni, presi una sola volta con il minimo esponente.Se non ci sono fattori comuni, il MCD è 1.Per determinare il mcm di due o più numeri, dopo averli scomposti in fattori primi, si calcola il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente.

FOCUS ON Le frazioni

Esegui quanto richiesto.



625 = 54

26 = 2 · 1313 = 13

MCD(625, 26, 13) = 1

MCD(12, 36, 60) = 23 · 3

MCD(150, 39, 65) = 1

MCD(256, 120, 80) = 23

MCD(48, 207, 192) = 3

mcm(625, 26, 13) = = 2 · 54 · 13

mcm(12, 36, 60) = = 22 · 32 · 5

mcm(150, 39, 65) = = 2 · 3 · 52 · 13

mcm(256, 120, 80) = = 28 · 3 · 5

mcm(48, 207, 192) = = 26 · 32 · 23

2 · 3 2 · 32

22 · 32 22 · 34

210 · 310 23 · 36

24 perché 24 = 23 · 3

18 perché 18 = 2 · 32

302 perché 302 = 22 · 32 · 52

750 perché 750 = 2 · 3 · 53

12 = 22 · 336 = 22 · 32

60 = 22 · 3 · 5

150 = 2 · 3 · 52

39 = 3 · 1365 = 5 · 13

256 = 28

120 = 23 · 3 · 580 = 24 · 548 = 24 · 3207 = 32 · 23192 = 26 · 3

15

Le frazioni

Esegui quanto richiesto.

Dividi in 4 parti uguali ciascuna figura e colorane una parte.1

Per ciascuna figura scrivi la frazione corrispondente alla parte colorata.

......................................... ......................................... ......................................... ......................................... .........................................

2

Per ogni figura scrivi la frazione corrispondente alla parte colorata.

............................

............................

............................

............................

............................

............................

............................

............................

............................

3

Colora in ciascun disegno la frazione indicata.

24

38

1116

04

23

66

58

12

4



1 __

6

1 __

2

1 __

3

1 __

3

2 __

4 =

1 __

2

4 __

4 = 1

6 __

4 =

3 __

2

3 __

3 = 1

5 __

4

3 __

6 =

1 __

2

3 __

4

9 __

4

1 __

5

1 ___

15

16

Quali numeri inseriresti? Completa.

........ ___ 3 = 1 3 ___

.......

= 1 ........ ___ 3 = 3 3 ___

.......

= 3 ........ ___ 3 · 1 __

3 = 1 __

3

........ ___ 3 − 3 = 3 ........ ___

3 · 3 = 3 ........ ___

3 : 3 = 3 ........ ___

3 : 3 = 1 __

3 ........ ___

3 + 3 = 3

Completa con i numeri mancanti.

6 __ 8 = ........ ___

4 3 __

9 = ........ ___

3 4 __

8 = 1 ___

.......

2 __ 4 = ........ ___

2 4 ___

10 = ........ ___

5 10 ___

20 = 1 ___

.......

3 ___ 12

= ........ ___ 4 6 ___

15 = 2 ___

.......

2 ___ 30

= ........ ___ 15

Cerchia in rosso le scritture equivalenti

a 3

__ 4

e in blu quelle equivalenti a 1

__ 2

.

Quale frazione rappresenta la parte colorata?

............... ............... ............... ............... ...............

In ogni figura colora la parte che rappresenta la frazione scritta sotto.

47

58

38

58

34

56

12

23

5

6

7

8

9

60 ___ 80

40 ___ 80

15 : 20

30 ___ 40

30 : 4013 : 26 5 : 10

1/213 : 20

12 ___ 16

12 ___ 24

40 : 30

4 : 3

9 ___ 12

3 : 8



3

3 1

2

2

1

1 2

1

5

18 3

3

9

27 3 0

1

3

3 __

5

7 ___

12

6 __

7

3 __

4

10 ___

20 =

1 __

2

17

Completa la tabella, come nell’esempio.

FrazioneIndica se la frazione

è minore di 1 (frazione propria) o maggiore di 1 (frazione impropria)

27 ___ 8 27 ___

8 > 1 frazione impropria

4 __ 5

18 ___ 7

13 ___ 9

6 ___ 11

70 ___ 3

16 ___ 15

10

11

12

13

14

15

FrazioneIndica se la frazione

è minore di 1 (frazione propria) o maggiore di 1 (frazione impropria)

8 __ 9

9 __ 8

2 __ 3

27 ___ 37

10 ___ 13

25 ___ 24

9 __ 5

16

17

18

19

20

21

22

Completa le tabelle, come negli esempi.

Scrivi in ogni disuguaglianza una frazione che la soddisfi

20 ___ 9 > 2

........ > 4

........ < 1

........ > 5

........ < 3

........ > 0

23

24

25

26

27

Frazione Indica tra quali interi consecutivi è compresa ciascuna frazione

25 ___ 8 3 < 25 ___

8 < 4

3 __ 2

5 __ 9

39 ___ 7

16 ___ 9

21 ___ 15

28

29

30

31

32



4 __

5 < 1 frazione propria

9 __


18

___ 7 > 1 frazione impropria

2 __


8 __


13


27 ___


6 ___


10 ___


70


25 ___


16

___ 15

> 1 frazione impropria 9 __


1 < 3 __

2 < 2

0 < 5 __

9 < 1

5 < 39

___ 7 < 6

1 < 16

___ 9 < 2

1 < 21

___ 15

< 2

18

Completa in modo opportuno con i simboli <, >, =.

3 __ 7 ....... 5 __

7 1 __

7 ....... 1 __

8 5 __

2 ....... 5 __

4 8 __

9 ....... 4 __

5 1 __

3 ....... 1 __

5 6 __

7 ....... 7 __

8 1 __

9 ....... 1 __

3 1 __

9 ....... 1 __

5

1 ____ 100

....... 1 ____ 120

8 __ 7 ....... 9 __

8 2 __

3 ....... 2 __

5 3 __

2 ....... 6 __

4 2 __

9 ....... 2 __

3 3 ___

15 ....... 4 ___

20 9 ____

100 ....... 9 ____

120 14 ___

15 ....... 17 ___

18

Completa con i numeri opportuni.

1 __ 2 > 1 ___

.........

> 1 __ 7 2 ___

15 < 2 ___

.........

< 2 ___ 10

10 ___ 21

> 10 ___ .........

> 10 ___ 29

A quali numeri corrispondono le lettere?

33

34

35

2 __ 4 ; 6 __

9 ; 7 ___

14 ; 4 __

6 ; 4 ___

12 ; 1 __

3 ; 2 __

6 ; 6 ___

12 ; 2 ___

12 ; 1 __

6

Osserva: le frazioni date sono tutte minori di ............... .

0 1

36

0,5; 0,7; 7 ___ 10

; 2 __ 5 ; 1 __

2 ; 0,1; 3 __

2 ; 4 __

5 ; 1,8; 2,3

0 2

37

Rappresenta le frazioni e i numeri decimali sulle rette orientate.

A = .................... H = ....................

B = .................... I = .......................

C = .................... J = ......................

D = .................... K = ....................

E = .................... L = .....................

F = .................... M = ....................

G = .................... N = ....................

0 1 2 3 54

A B C D E

0 1 32

F G H

0 1 32

JI K L M N



4 12 24

< > > > >

= => >>>

< < <

< <

1 __

6 =

2 ___

12

2 __

6 =

4 ___

12 =

1 __

3

2 __

4 =

6 ___

12 =

7 ___

14

4 __

6 =

6 __

9

1

0,1 2 __

5

0,5 = 1 __

2

0,7 = 7 ___

10 1,8

0,8

2,3

1 __

4

5 __

4

10

___ 4

13

___ 4

19

___ 4

6 __

7

9 __

7

20

___ 7

2 __

9

5 __

9

17

___ 9

21

___ 9

28

___ 9

29

___ 9

19

Completa la tabella per ridurre ai minimi termini una frazione semplificandola, come nell’esempio.

FrazioneCalcola il MCD tra numeratore e

denominatore; se il MCD è 1 la frazione è già ridotta ai minimi termini

Semplifica la frazione dividendo numeratore e denominatore per il loro

MCD

45 ___ 60

MCD(45, 60) = 15 45 ___ 60

= 3 __ 4

37 ___ 3

45 ___ 81

Riduci ai minimi termini le frazioni.

27 ___ 6 = 38 ___

19 = 16 ___

9 = 34 ___

51 =

45 ___ 15

= 4 ___ 28

= 1 __ 4 = 8 ___

18 =

625 ____ 75

= 3 ___ 16

= 49 ___ 35

= 46 ___ 23

=

63 ___ 21

= 8 ___ 15

= 25 ___ 50

= 21 ___ 49

=

Sottolinea le frazioni ridotte ai minimi termini; trascrivi le altre e semplificale.

27 ___ 6 ; 2 __

3 ; 4 __

9 ; 1 __

5 ; 5 ___

20 ; 12 ___

4 ; 3 __

4 ; 6 ___

18 ; 5 __

7 ; 70 ___

14 ; 35 ___

25 ; 56 ___

32

38

39

40

41

42

43

44

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore sono primi tra loro.

FOCUS ON



9 __

2

2 __

3

3 1 __

7

4 __

9

25

___ 3

7 __

5 2

2

3 3 __

7

3 ___

16

8 ___

15

16

___ 9

1 __

4

1 __

2

MCD(37, 3) = 1

MCD(45, 81) = 9

37

___ 3

45

___ 81

= 5 __

9

5 ___

20 =

1 __

4

12 ___

4 = 3

6 ___

18 =

1 __

3

70 ___

14 = 5

35 ___

25 =

7 __

5

56 ___

32 =

7 __

4

27 ___

6 =

9 __

2

20

T ry to solve in English

Use the drawing to help with your answer.

Susya) If Susy really loved the pizza, which table will she choose?

1 2 3

b) Why? ........................................................................................................................................................................................................................................................................

I took 2

__ 3

of the balls out of the bag.

Use the drawings to help with your answer.a) How many balls were

in the bag in total? ............................................................

b) How many balls are left in the bag? ......................................................................

1

2

1

2

3



Perché la frazione di pizza per ciascuno è maggiore.

18

6

21

Calcoli con le frazioni

Due o più frazioni si dicono equivalenti se si ottengono moltiplicando o dividendo sia il numeratore sia il denominatore per uno stesso numero diverso da zero.

FOCUS ON

Completa la tabella per ottenere frazioni ridotte al minimo comun denominatore, come nell’e-sempio.

FrazioniSe possibile semplifica le frazioni

Determina il minimo comun denominatore:

calcola il mcm dei denominatori

Trasforma le frazioni in altre equivalenti aventi come

denominatore il mcm dei denominatori

3 __ 4 ; 2 ___

14 ; 10 ___

4 3 __

4 ; 1 __

7 ; 5 __

2 mcm(4, 7, 2) = 28 3 __

4 = 21 ___

28 ; 1 __

7 = 4 ___

28 ; 5 __

2 = 70 ___

28

1 __ 4 ; 3 __

5 ; 3 __

6

3 __ 8 ; 5 ___

10 ; 6 __

2

9 ___ 21

; 7 __ 3 ; 1 __

6

Completa la tabella per calcolare la somma tra frazioni, come nell’esempio.

Addizione tra frazioniSe possibile semplifica le frazioni

Riduci le frazioni semplificate al minimo comun denominatore; scrivi la frazione che ha

come denominatore il minimo comun denominatore e come numeratore la somma dei numeratori;

calcola la somma e, se possibile, semplifica la frazione

3 __ 4 + 5 ___

15 + 20 ___

4 3 __

4 + 1 __

3 + 5 __

1 9 ___

12 + 4 ___

12 + 60 ___

12 = 9 + 4 + 60 __________

12 = 73 ___

12

1 __ 9 + 25 ___

35 + 22 ___

4

3 __ 2 + 7 ___

14 + 40 ___

4

24 ___ 4 + 4 ___

24 + 2 ___

48

9 __ 4 + 9 __

2 + 10 ___

4 + 3 ___

12

1

2

3

4

5

6

7



1 __

9 +

5 __

7 +

11 ___

2

9 __

4 +

9 __

2 +

5 __

2 +

1 __

4

14

____ 126

+ 90

____ 126

+ 693

____ 126

= 14 + 90 + 693

_____________ 126

= 797

____ 126

3 __

2 +

1 __

2 + 10

3 __

2 +

1 __

2 +

20 ___

2 =

3 + 1 + 20 __________

2 =

24 ___

2 = 12

6 + 1 __

6 +

1 ___

24

144 ____

24 +

4 ___

24 +

1 ___

24 =

144 + 4 + 1 ___________

24 =

149 ____

24

9 __

4 +

18 ___

4 +

10 ___

4 +

1 __

4 =

9 + 18 + 10 + 1 _______________

4 =

38 ___

4 =

19 ___

2

mcm(4, 5, 2) = 20 1 __

4 =

5 ___

20 ;

3 __

5 =

12 ___

20 ;

1 __

2 =

10 ___

20

1 __

4 ;

3 __

5 ;

1 __

2

mcm(8, 2, 1) = 8 3 __

8 ;

1 __

2 =

4 __

8 ; 3 =

24 ___

8

3 __

8 ;

1 __

2 ; 3

mcm(7, 3, 6) = 42 3 __

7 =

18 ___

42 ;

7 __

3 =

98 ___

42 ;

1 __

6 =

7 ___

42

3 __

7 ;

7 __

3 ;

1 __

6

22

Completa la tabella per calcolare il prodotto tra frazioni, come nell’esempio.

Moltiplicazione tra frazioni

Se possibile semplifica ciascuna frazione

Scrivi la frazione che ha come numeratore la moltiplicazione dei numeratori e come denominatore la moltiplicazione dei

denominatori; semplifica se possibile e calcola

3 __ 4 · 5 ___

25 · 8 ___

18 3 __

4 · 1 __

5 · 4 __

9 3 __

4 · 1 __

5 · 4 __

9 = 3 · 1 · 4 ________

4 · 5 · 9 = 1 ___

15

1 __ 9 · 25 ___

35 · 7 __

5

3 __ 2 · 28 ___

14 · 3 __

4

24 ___ 48

· 40 ___ 24

· 144 ____ 3

9 __ 5 · 9 __

2 · 10 ___

81 · 30 ___

12

Completa la tabella per calcolare il quoziente tra frazioni, come nell’esempio.

Divisione tra frazioni

Trasforma ciascuna divisione nella moltiplicazione per l’inverso della frazione successiva; semplifica, se possibile, e calcola

3 __ 8 : 9 ___

25 : 6 ___

18 3 __

8 · 25 ___

9 · 18 ___

6 = 3 · 25 · 18 __________

8 · 9 · 6 = 25 ___

8

10 ___ 18

: 25 ___ 36

12 ___ 40

: 28 ___ 35

: 1 __ 7

1 __ 9 : 5 ___

18 : 2 __

5

3 __ 4 : 33 ___

15 : 22 ___

4

Completa la tabella per calcolare la potenza di una frazione, come nell’esempio.

Potenza di frazione

Semplifica, se possibile

Scrivi la frazione che ha come numeratore la potenza del numeratore e come denominatore la potenza del denominatore

a 6 ___ 10

b3

a6 ___ 10

b3

= a3 __ 5 b

3

a3 __ 5 b

3

= 33 __

53 = 27 ____ 125

a 4 __ 6 b

4

a 10 ___ 12

b2

a 124 ____ 72

b0

11

1 3

8

9

10

11

1

2

2 1

14

12

13

14

15

16

17

18



1 __

9 · 5 __

7 · 7 __

5 =

1 · 5 · 7 _______

9 · 7 · 5 =

1 __

9

1 __

9 · 5 __

7 · 7 __

5

10

___ 18

· 36 ___

25 =

10 · 36 ______

18 · 25 =

4 __

5

22

5

12

___ 40

· 35 ___

28 · 7 =

12 · 35 · 7 _________

40 · 28 · 1 =

21 ___

8

73

48

1 __

9 · 18

___ 5 · 5 __

2 =

1 · 18 · 5 ________

9 · 5 · 2 = 1

3 __

4 · 15

___ 33

· 4 ___ 22

= 3 · 15 · 4

_________ 4 · 33 · 22

= 15

____ 242

11

a4 __ 6 b

4

= a2 __ 3 b

4

a10 ___

12 b

2

= a5 __ 6 b

2

a124 ____

72 b

0

= a 31 ___

18 b

0

a2 __ 3 b

4

= 24

__ 34 =

16 ___

81

a5 __ 6 b

2

= 52

__ 62 =

25 ___

36

a 31 ___

18 b

0

= 310

___ 180

= 1

3 __

2 · 2 · 3 __

4 =

3 · 2 · 3 _______

2 · 1 · 4 =

9 __

4

3 __

2 · 2 · 3 __

4

1 __

2 · 5 __

3 · 48 =

1 · 5 · 48 ________

2 · 1 · 3 = 40

8

1 __

2 · 5 __

3 · 48

9 __

5 · 9 __

2 · 10

___ 81

· 5 __ 2 =

9 · 9 · 10 · 5 ___________

5 · 2 · 81 · 2 =

5 __

2

5

9 __

5 · 9 __

2 · 10

___ 81

· 5 __ 2

23

Come si scrive? Come si legge?

Completa la tabella, scrivendo in simboli quanto espresso a parole, come nell’esempio.

Linguaggio naturale Linguaggio simbolico

Il prodotto tra quattro quinti e la differenza fra 3 e il reciproco di 3 è uguale a trentadue quindicesimi 4 __

5 · a3 - 1 __

3 b = 32 ___

15

La differenza fra un terzo di centotrentadue e tre è uguale a quarantuno

Un terzo della differenza fra centotrentadue e tre è uguale a quarantatré

La differenza fra il quadrato di 3 e il doppio di 3 è uguale al successivo di 2

Il quoziente fra il quadrato di 16 e il cubo di 4 è uguale a 4

Il quoziente fra il cubo della somma di 2 con 5 e il quadrato di 7 è uguale al precedente di 8

La metà del reciproco di due alla sesta è uguale a un mezzo alla settima

Quattro terzi meno un quarto più cinque è minore di 26

Completa la tabella, scrivendo a parole quanto espresso in simboli, come nell’esempio.

Linguaggio simbolico Linguaggio naturale

(7 + 3) · (7 - 3) = 72 - 32 La somma di sette e tre, moltiplicata per la differenza di sette e tre, è uguale alla differenza tra il quadrato di sette e il quadrato di tre

5 - 3 __ 4 · 2 - 1 __

2 = 3

32 + a 2 __ 3 b

2

< 49

9 · 8 - 72 = 23

(34 - 6) : 4 = 7

52 - 2 · 5 = 15

(33 - 23)2 = 361

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13



32 - 2 · 3 = 2 + 1

Cinque meno il doppio di tre quarti meno un mezzo è uguale a tre

La somma tra il quadrato di tre e il quadrato di due terzi è minore di quarantanove

La differenza tra il prodotto di nove e otto e il quadrato di sette è ventitré

Il quoziente tra la differenza tra trentaquattro e sei e quattro è sette

La differenza tra il quadrato di cinque e il doppio di cinque è quindici

Il quadrato della differenza tra il cubo di tre e il cubo di due è uguale a trecentosessantuno

1 __

3 · (132 - 3) = 43

132

____ 3 - 3 = 41

162 : 43 = 4

(2 + 5)3 : 72 = 8 - 1

1 __

26 : 2 = a 1 __ 2 b

7

4 __

3 -

1 __

4 + 5 < 26

24

Completa il quadrato magico in modo che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali sia la stessa. Puoi eseguire i calcoli nello spazio a fianco.

1 __ 2

5 ___ 12

3 __ 4 1 __

3

Completa il quadrato magico in modo che il prodotto dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali sia lo stesso. Puoi eseguire i calcoli nello spazio a fianco.

1 ___ 16

8

1 __ 4

1 __ 2

Completa lo schema.

− +

53

76

34

14

15

16



1 ___

12

7 ___

12

1 __

6

2

4

1 __

8

1

16

1 __

2

5 ___

12

2 __

3

1 __

4

25

Completa lo schema, scrivendo i calcoli nello spazio a fianco.

415

+

72

52

⋅

⋅

Completa lo schema, scrivendo i calcoli nello spazio a fianco.

15

: −

34

94

⋅

Completa lo schema.

123

65⋅ 5

2: 3

25− 7

10: 5

7+

17

18

19



6 2 __

3

4

1 __

3

2 ___

15

4 __

5

8 ___

25

1 __

5

2 __

7

3 ___

10

26

Le proporzioni

la scrittura si legge

a : b = c : d oppure

a __

b =

c __

d

a sta a b come c sta a d oppure

a fratto b uguale a c fratto d

nella proporzione a : b = c : d a, c si dicono antecedenti b, d si dicono conseguenti a, d si dicono estremi b, c si dicono medi

FOCUS ON

Sottolinea le scritture che costituiscono una proporzione.

3 : 7 = 9 : 10 100 : 4 = 50 : 2 1 : 8 = 5 : 40 2 : 9 = 8 : 45 70 : 7 = 100 : 10

1 : 5 = 6 : 30 7 : 2 = 21 : 6 3 : 11 = 30 : 100 5 : 25 = 10 : 100 5 : 8 = 30 : 48

Individua la risposta corretta.Se 3 sta a 6 come x sta a 18, qual è il valore di x?A 3 B 9 C 1 D 2

Se x sta a 2 come 2 sta a 1, qual è il valore di x?A 1 B 2 C 4 D 5

Quale rapporto è uguale a 9 : 21?A 3 : 11 B 5 : 17 C 6 : 14 D 8 : 20

Individua l’affermazione corretta.In una proporzione:A il prodotto dei medi è uguale a 1B il prodotto di ogni antecedente con il suo conseguente è uguale a 1C il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremiD il prodotto dei medi può essere uguale al prodotto degli estremi

Risolvi i problemi, ricorrendo alle proporzioni.

Ho speso 6 euro per comprare 1,2 kg di focaccia dal panettiere. Quanta ne posso acquistare con 2 euro?

Per preparare 4 etti e mezzo di pane occorrono circa 270 g di farina.Quanta farina serve per preparare 3 kg di pane?

1

2

3

4

5

6

7



[0,4 kg]

[1800 g]

27

Completa.

Un’automobile viaggia a una velocità costante di 80 km/h.Dopo un’ora quanti kilometri ha percorso? ....................

Dopo due ore? ....................

Dopo tre ore? ....................

Dopo mezz’ora? ....................

Dopo un quarto d’ora? ....................

Dopo dodici minuti? ....................

Tempo Spazio percorso

1 h

2 h

3 h

30 minuti

15 minuti

12 minuti

Quattro automobili (A, B, C, D) devono percorrere 200 km.Se A viaggia alla velocità di 50 km/h, quanto tempo impiega ad arrivare? ....................

Se B viaggia alla velocità di 20 km/h? ....................

Se C viaggia alla velocità di 100 km/h? ....................

Se D viaggia alla velocità di 40 km/h? ....................

Velocità Tempo impiegato

A 50 km/h

B 20 km/h

C 100 km/h

D 40 km/h

Indica quale grafico illustra il problema numero 8.

spazio

tempo

spazio

tempo

A B

Trova il valore di x nelle proporzioni, come negli esempi.

8

9

10

5 : 7 = x : 14 x = 5 · 14 ______ 7 x = 10

1 : 3 = 13 : x

21 : x = 7 : 5

x : 2 = 48 : 24

2

1

11

12

13

3 : x = x : 12 x2 = 36 x = 6

5 : x = x : 45

x : 2 = 50 : x

27 : x = x : 3

14

15

16



160

160 km

10 h

10 h

80

80 km

4 h4 h

240

240 km

2 h

2 h

40

40 km

5 h

5 h

20

20 km

16

16 km

x = 3 · 13

_____ 1 x = 39 x2 = 225 x = 15

x = 21 · 5

_____ 7 x = 15 x2 = 100 x = 10

x = 2 · 48

_____ 24

x = 4 x2 = 81 x = 9

28

Le percentuali

per indicare si scrive significa si calcola

il tredici per cento di una certa quantità a

13% di a 13

____ 100

di a 13

____ 100

· a

il quindici per cento di 80

15% di 80 15

____ 100

di 80 15

____ 100

· 80 = 12

FOCUS ON

Calcola le percentuali indicate per i valori della prima colonna, come nell’esempio.

10% 15% 20% 30% 50%

7500 10 ____ 100

· 7500 = 750

200

1000

In un negozio sono previsti sconti sulle merci esposte (percentuale di sconto). Calcola lo sconto e il prezzo finale in euro.

Prezzo in euro P Percentuale di sconto Sconto in euro

SPrezzo finale in euro

Pf = P - S

400 10% 10 ____ 100

· 400 = 40 Pf = 400 - 40 = 360

1200 15%

10 500 3%

Può essere vero?

Un’indagine statistica condotta su una scolaresca di 30 allievi ha rilevato che il 40% dei ragazzi sono minorenni,mentre 20 sono maggiorenni. Tale indagine è veritiera? ....................... Perché? ......................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Scrivi al posto dei puntini la percentuale che rappresenta la parte non colorata rispetto all’intero.

1

2

3

4

5

6

.............15%

15%7

.............

35%

18%



15

____ 100

· 7500 = 1125 50

____ 100

· 7500 = 3750

15

____ 100

· 200 = 30 50

____ 100

· 200 = 100

15

____ 100

· 1000 = 150

20

____ 100

· 7500 = 1500

20

____ 100

· 200 = 40

20

____ 100

· 1000 = 200

30

____ 100

· 7500 = 2250

30

____ 100

· 200 = 60

30

____ 100

· 1000 = 300 50

____ 100

· 1000 = 500

15

____ 100

· 1200 = 180 Pf = 1200 - 180 = 1020

3 ____

100 · 10 500 = 315 Pf = 10 500 - 315 = 10 185

No Il 40% di 30 è pari a 12, da cui

30 - 12 = 18. I maggiorenni dovrebbero essere 18 e non 20.

Oppure si calcola il 60% di 30 che è pari a 18.

70% 47%

10

____ 100

· 200 = 20

10

____ 100

· 1000 =100

29

Comprare… con lo sconto. Osserva la vetrina e rispondi alle domande.

€ 70sconto 25%

€ 240sconto 30%

€ 10sconto 10%

€ 20sconto 20%

€ 70sconto 25%

€ 150sconto 20%

€ 35sconto 10%

€ 40sconto 30%

€ 90sconto 10%

€ 100 sconto 20%

€ 190sconto 30%

rugby

rugby

rugby

rugbycalcio

calcio

a) Quanto spenderà in tutto Mario per comprare l’attrezzatura da rugby (maglia e pantaloncini, casco, palla, scarpe)? .............................................................................................................................................................................................................................................................................

b) Quanto spenderà in tutto Lucia per comprare l’attrezzatura da sci (giacca a vento, sci, scarponi, casco)? ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

c) Quanto spenderà in tutto Andrea per comprare l’attrezzatura da calcio (palla, guanti, parastinchi, scarpe)? ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

d) Lucia che ha € 450 dovrà rinunciare a qualcosa? Sì, perché .............................................................................................................................................................................................................................................................

No, perché ............................................................................................................................................................................................................................................................e) Mario ha € 198. Può acquistare anche un pallone da calcio dopo aver comprato la sua attrezzatura? Sì, perché .............................................................................................................................................................................................................................................................

No, perché ............................................................................................................................................................................................................................................................f) Per Andrea sarebbe stato più conveniente avere uno sconto del 15% sul totale della sua attrezzatura a prezzo

pieno, piuttosto che i singoli sconti? Sì, perché .............................................................................................................................................................................................................................................................

No, perché ............................................................................................................................................................................................................................................................

8



€ 180

€ 473,50

€ 134

l’attrezzatura da sci costa € 473,50

l’attrezzatura da rugby costa € 180 e il pallone, scontato, costa € 16

avrebbe pagato € 136, € 2 in più rispetto al prezzo ottenuto con gli sconti separati

30

Risolvi i problemi.

Un automobilista riceve una multa di € 60. Paga in ritardo, subendo una penale pari al 15% dell’importo della multa. Quanto dovrà pagare in tutto?

Una confezione di biscotti ha un peso netto di 250 g. Sapendo che la tara è il 20% del peso netto, quanto pesa la confezione?

Nella mia classe a giugno eravamo in 25. Sapendo che l’8% dei miei compagni non è stato ammesso alla classe successiva, quanti ragazzi sono stati ammessi?

Un fruttivendolo trasporta con il suo camion 82 kg di mele. Durante il trasporto il 10% della frutta è andata a male. Quanti kilogrammi di mele sane può ancora vendere?

Per scaricare la merce da un furgone, due operai impiegano 6 ore. Se il furgone deve essere scaricato in un’ora quanti operai occorrono?

9

10

11

12

13



[€ 69]

[300 g]

[23 allievi]

[73,8 kg]

[12 operai]

31

In un negozio di abbigliamento una felpa che veniva venduta a € 90 viene ora venduta a € 73,80. Qual è lo sconto applicato? Qual è la percentuale di sconto applicata?

Il prezzo di un libro è salito da € 28,60 a € 32,89. A quanto ammonta l’aumento del prezzo? Qual è l’aumento percentuale del prezzo?

In un comune europeo il 42% della popolazione, pari a 50 400 abitanti, ha un’età superiore a 72 anni. Quanti sono gli abitanti che risiedono in quel comune?

La tassa di circolazione del mio motorino è aumentata del 5% rispetto allo scorso anno. Sapendo che quest’anno ho pagato € 47,25, a quanto ammontava la tassa l’anno scorso?

14

15

16

17



[€ 16,20; 18%]

[€ 4,29; 15%]

[120 000 abitanti]

[€ 45]

32

I numeri decimali

Scrivi cinque numeri in ordine decrescente negli intervalli di cui sono indicati gli estremi.

2; ..............................................; ...............................................; ...............................................; ...............................................; ...............................................; 1

1; .............................................; ..............................................; ..............................................; ..............................................; ..............................................; 0,1

0,1; .............................................; ............................................; ............................................; ............................................; ............................................; 0,01

0,01; ...........................................; ...........................................; ...........................................; ...........................................; ..........................................; 0,001

Scrivi cinque numeri in ordine crescente negli intervalli di cui sono indicati gli estremi.

102; ............................................; ............................................; ............................................; ............................................; ............................................; 103

10;2 ............................................; ............................................; ............................................; ............................................; ............................................; 102

1;02 ............................................; ............................................; ............................................; ............................................; ............................................; 10

Inserisci numeri opportuni.

0,15 < .......................................... < 0,24 < .......................................... < 0,3 < .......................................... < 0,41,01 < .......................................... < 1,1 < .......................................... < 1,21 < .......................................... < 1,35

Vero o falso?

705 ∙ 0,9 > 1 V F 0,07 : 10-2 = 7 V F 0,12 < 0,1 V F

7,9 ∙ 102 < 100 V F 4,2 : 0,7 = 60 V F 1,1 > 1,12 V F

Rappresenta approssimativamente i numeri sulla retta orientata.

0,1; 0,25; 0,40; 0,875; 0,55; 1,15; 1,05; 1,2

0 1

Scrivi i numeri corrispondenti ai punti A, B, C, D rappresentati sulle rette orientate.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 A

..............

B

..............

C

..............

D

..............6,7 6,8

12 A

..............

B

..............

C

..............

D

..............4,5 4,6



6,58 6,63

4,35 4,45 4,55 4,7

6,78 6,85

1,15

1,21,050,8750,1 0,25 0,40 0,55

33

Calcoli con i numeri decimali

Inserisci i numeri opportuni nelle addizioni.

3, 2 8 + 5, 3 .......+

4, ........... 1 + 1 1, ....... 8 +

..........., 6 2 =....... ......., 3 1 =

1 3, 4 ........... 2 9, 1 5

......., 8 1 + 2 1, ....... 4 +

6, ....... 2 +....... 3, 1 .......

+

7, 5 .......= 9, 1 8 =

1 9, 3 3 5 ......., 3 4

1 2

3 4

Completa le tabelle dell’addizione.

5 6

Completa le tabelle della moltiplicazione.

7 · 2 0,2 0,02 0,002

6

0,6

0,06

8 · 30 3 0,3 0,03

70

0,7

0,07

0,7

+ 0,1

+ 0,40,7

+ 1,34

+ 0,12



5

5

1

4

1 2

6

0

0

5

2

3

0

12 1,2 0,12 0,012

1,2 0,12 0,012 0,0012

0,12 0,012 0,0012 0,00012

2100 210 21 2,1

21 2,1 0,21 0,021

2,1 0,21 0,021 0,0021

2

1,7

1,3

0,9

1,6

1,2

0,8

1,5

1,1

4,34

4,22

4,1

3

2,88

2,76

1,66

1,54

34

Completa le tabelle della divisione.

Riempi la stella magica, ricordando che la somma dei numeri su ogni linea deve essere costante.

2,7 2,4 0,6

3,6

2,41,8

1,2

0,9

Riempi i e i con numeri opportuni.

35 × 0,1

× 0,1: 0,1

: 10

× 10×

0,01

×

× ×

:

:

9 : 2 0,2 0,02 20

6

0,6

0,06

10 : 40 4 400 0,4

80

0,8

8

11

12



0,9

2,1

2,1

2,7

3 30 300 0,3

0,3 3 30 0,03

0,03 0,3 3 0,003

2 20 0,2 200

0,02 0,2 0,002 2

0,2 2 0,02 20

3,5 0,35

0,35

0,11 10

0,01

0,1

0,035

0,353,5

35

Calcoli mentali rapidi

Valuta a mente, approssimativamente, i risultati dei calcoli e scegli la colonna opportuna, come negli esempi.Poi verifica le tue risposte, eseguendo i calcoli con la calcolatrice.

Calcolo

Il risultato del calcolo è un numero compreso tra

1 e 2 2 e 3 3 e 4 4 e 5

0,1 · 12 ✓

6,3 - 4,2

18 : 4

1,52

7,2 - 2,8

1,01 2

37 : 10

0,12 · 30

1

2

3

4

5

6

7

Calcolo


0 e 10 10 e 20 20 e 30 30 e 40

17,5 · 2 ✓

4,51 · 5,25

81,46 : 12,5

58,12 - 25,76

0,012 + 23,81

2,82

2,8 · 9

10,21

8

9

10

11

12

13

14

Calcolo


0 e 1 1 e 10

10 e 100

100 e 1000

6,2 : 3,1 ✓

5,4 + 9,9

108 · 0,1

20 : 0,1

306 - 305,4

71 · 3,005

720 + 85,9

1000 : 102

15

16

17

18

19

20

21

Calcolo


0 e 10 10 e 100

100 e 1000

1000 e 10 000

0,3 · 0,6 ✓

441 - 0,408

0,6 : 3

6 : 0,3

0,006 : 0,3

125 - 10,1

203

22,12

22

23

24

25

26

27

28



36

Calcoli con le potenze di 10

Moltiplica per 10, 100, 1000 e per 0,1, 0,01, 0,001.

NumeroMoltiplica per

10 100 1000

7

285

1,004

7,02

0,8

0,0031

12

4034

10,76

1

2

3

4

5

6

7

8

9

NumeroMoltiplica per

0,1 0,01 0,001

10

285

1,004

28,5

6,001

0,4

1,2

10,76

9053

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Dividi per 10, 100, 1000 e per 0,1, 0,01, 0,001.

NumeroDividi per

10 100 1000

7

285

1,004

7,02

0,8

0,0031

12

10,76

19

20

21

22

23

24

25

26

NumeroDividi per

0,1 0,01 0,001

5

285

1,004

27,05

0,08

0,0031

10,26

9053

27

28

29

30

31

32

33

34



70

2850

10,04

70,2

8

0,031

120

40 340

107,6

700

28 500

100,4

702

80

0,31

1200

403 400

1076

7000

285 000

1004

7020

800

3,1

12 000

4 034 000

10 760

0,7

28,5

0,1004

0,702

0,08

0,00031

1,2

1,076

0,07

2,85

0,01004

0,0702

0,008

0,000031

0,12

0,1076

0,007

0,285

0,001004

0,00702

0,0008

0,0000031

0,012

0,01076

1

28,5

0,1004

2,85

0,6001

0,04

0,12

1,076

905,3

0,1

2,85

0,01004

0,285

0,06001

0,004

0,012

0,1076

90,53

0,01

0,285

0,001004

0,0285

0,006001

0,0004

0,0012

0,01076

9,053

50

2850

10,04

270,5

0,8

0,031

102,6

90 530

500

28 500

100,4

2705

8

0,31

1026

905 300

5000

285 000

1004

27 050

80

3,1

10 260

9 053 000

37

Completa la tabella per associare ciascun pianeta alla sua distanza dal Sole.

Distanza dal Sole (km) Pianeta

5,791 · 107

7,783 · 108

4,498· 109

1,082 · 108

1,496 · 108

2,870 · 109

1,427 · 109

2,279 · 108

Calcola le potenze.

33 = 0,33 = 0,14 = 0,012 =

24 = 0,024 = 122 = 0,122 =

Sapendo che 213 = 9261, calcola le potenze.

2,13 = 0,213 = 0,0213 =

Completa in modo opportuno con i simboli < o >.

6 · 109 ............ 4,2 · 1011 8 · 107 ............ 108 4,625 · 104 ............ 4,62 · 104 8,31 · 106 ............ 8,5 · 106

2,9 · 103 ............ 2,3 · 102 7,1 · 104 ............ 1,7 · 105 3,45 · 10 ............ 3,4 · 10 5 · 10 ............ 4,9 · 10

35

36

37

38



Mercurio

Giove

Nettuno

Venere

Terra

Urano

Saturno

Marte

<

>

<

<

>

>

<

>

9,261 0,009261 0,000009261

27 0,027 0,0001 0,0001

16 0,00000016 144 0,0144

38

Frazioni generatrici e numeri decimali

2,01 = 201

____ 100

2,01 = 201 - 2

_______ 99

= 199

____ 99

2,01 = 201 - 20

________ 90

= 181

____ 90

2,01 è un numero decimale finito

2,01 è un numero decimale periodico semplice

2,01 è un numero decimale periodico misto

FOCUS ON

Collega i numeri decimali alla rispettiva frazione generatrice (utilizza il riquadro vuoto per eseguire i calcoli).

0,4 0,4 0,42 0,42 0,003 3,5 0,003 1,01 0,2 1,44 1,25 0,02

3 _____ 1000

101 ____ 100

2 __ 5 1 ____

300 7 __

2 14 ___

33 19 ___

45 4 __

9 1 ___

50 36 ___

25 2 __

9 5 __

4

Completa in modo opportuno con i simboli <, >, =.

1,3 ............ 1,3 0,501 ............ 0,50 1,5555 ............ 1,5 2 __ 5 ............ 0,3 1 __

4 ............ 0,25 0,2 ............ 1 __

2 0,45 ............ 3 __

7

1 __ 5 ............ 0,2 0,2 ............ 11 ___

5 1 __

4 ............ 0,4 2 __

3 ............ 0,6 0,5 ............ 1 __

2 0,1 ............ 1 ___

10 1 __

3 ............ 0,3

1

2



> > =

== = ==

< <

< <

<

0,4 = 2 __

5 0,4 =

4 __

9 0,42 =

14 ___

33 0,42 =

19 ___

45 0,003 =

3 _____

1000 3,5 =

7 __

2

0,003 = 1 ____

300 1,01 =

101 ____

100 0,2 =

2 __

9 1,44 =

36 ___

25 1,25 =

5 __

4 0,02 =

1 ___

50

>

39

Z: gli interi relativi

Il valore assoluto o modulo di un intero relativo è il numero che si ottiene togliendo il segno al numero relativo.Due interi relativi sono opposti se hanno segno diverso e valore assoluto uguale.Due interi relativi sono concordi se hanno lo stesso segno; sono discordi se hanno segno diverso.

FOCUS ON

Completa le tabelle, come negli esempi.

a Valore assoluto |a|

Opposto −a

−3 3 +3

+10 10 −10

−20

−1

1 a Valore assoluto |a|

Opposto −a

−7

+15

−3

−1

2

Completa.

L’opposto dell’opposto di −6 è .............................. .

Il valore assoluto dell’opposto di +19 è .............................. .

L’opposto di +10 è .............................. .

L’opposto di −23 è .............................. .

L’opposto dell’opposto di +17 è .............................. .

Osserva la rappresentazione dei numeri sulla retta orientata e stabilisci se le affermazioni sono vere o false.

0 1-1 2-2 3-3

Lo zero è minore di ogni numero positivo. V F

Lo zero è minore di ogni numero negativo. V F

Lo zero è maggiore di ogni numero positivo. V F

Lo zero è maggiore di ogni numero negativo. V F

Tutti i numeri negativi sono maggiori di un qualsiasi numero positivo. V F

Tutti i numeri negativi sono minori di un qualsiasi numero positivo. V F

Tutti i numeri positivi sono minori di un qualsiasi numero negativo. V F

Tutti i numeri positivi sono maggiori di un qualsiasi numero negativo. V F

Tra due numeri discordi è maggiore quello positivo. V F

Tra due numeri discordi è maggiore quello che ha il modulo maggiore. V F

Tra due numeri concordi è maggiore quello che ha il modulo maggiore. V F

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18



20 +3

-15

7

1 +1

+20 3

15

+7

+1 1

-6

-10

+23

+17

19

40

Completa in modo opportuno con i simboli <, >.

−5 .......... +2 −3 .......... −4 −4 .......... −2 0 .......... +3 0 .......... −3 −2 .......... 0 −1 .......... 4 3 .......... 4

−2 .......... −1 −3 .......... 5 7 .......... −27 10 .......... −10 −2 .......... +2 +3 .......... −3 −3 .......... 11 −2 .......... −8

Osserva il disegno che rappresenta montagne e fosse oceaniche e rispondi alle richieste.a) Associa i valori di altezze o profondità ai luoghi indicati in figura. Completa la tabella con

i nomi.

Foss

a de

lle M

aria

nne

Foss

a di

Pue

rto R

ico

Monviso 0

Mon

te B

ianc

o

Foss

a di

Lan

dsor

t

Mon

te E

vere

st

4807 m ........................................................................ −9219 m ..................................................................... 8848 m ........................................................................

−459 m ........................................................................ −11 022 m ................................................................. 3841 m ........................................................................

b) Calcola il dislivello:

• tra il Monte Bianco e il Monviso ....................................................................................................................................................................................................

• tra l’Everest e il Monte Bianco .........................................................................................................................................................................................................

• tra il Monviso e la Fossa di Landsort .........................................................................................................................................................................................

• tra la Fossa di Puerto Rico e la Fossa delle Marianne ..............................................................................................................................................

• tra la Fossa di Landsort e la Fossa di Puerto Rico ........................................................................................................................................................

• tra l’Everest e il Monviso .......................................................................................................................................................................................................................

c) Rispondi. Considera le risposte date al punto b.

• Tra quali luoghi il dislivello è maggiore? ..............................................................................................................................................................................

• Tra quali luoghi il dislivello è minore? .....................................................................................................................................................................................

19

20

21



<

< < < <

>

> > > >

>< < < < <

966 m

4041 m

4300 m

1803 m

8760 m

5007 m

Tra la Fossa di Landsort e la Fossa di Puerto Rico

Tra il Monte Bianco e il Monviso

Monte Bianco Fossa di Puerto Rico Monte Everest

Fossa di Landsort Fossa della Marianne Monviso

41

Operazioni con i numeri relativi

Completa le tabelle per calcolare la somma tra due numeri interi relativi:concordi

a b a + b

+5 +7 (+5) + (+7) = +(5 + 7) = +12

+10 +2

+2 +10

+20 +20

+26 0 (+26) + 0 = +(26 + 0) = +26

0 +4

-13 -7 (-13) + (-7) = -(13 + 7) = -20

-42 -8

-15 -10

1

2

3

4

5

6

discordi

a b a + b

+12 -3 (+12) + (-3) = +(12 - 3) = +9

+15 -2

+4 -4

+3 -8 (+3) + (-8) = -(8 - 3) = -5

+6 -46

-9 +7 (-9) + (+7) = -(9 - 7) = -2

-34 +5

-17 +23 (-17) + (+23) = +(23 - 17) = +6

-7 +25

7

8

9

10

11

Completa.

• La somma di due numeri concordi ha come valore assoluto la ................................................ dei valori assoluti dei numeri e come segno il segno dei numeri.

• La somma di due numeri discordi ha come valore assoluto la .................................................. dei valori assoluti dei numeri e come segno il segno del numero con valore assoluto .......................................................

12

Per indicare l’addizione tra +5 e +7 puoi scrivere (+5) + (+7) oppure +5 + 7. In modo analogo le scrit-ture (+5) + (-7) e +5 - 7 sono equivalenti.

FOCUS ON

Completa lo schema con le somme di numeri relativi.

+ 8

- 10

+ 3

- 8

- 4 + 3

- 1

+ 6

........

.......

........

.......

........

.......

........

.......

13



-5 -4 -2

-6

- 6

+ 11

+ 2

+ 2

0

-10

+1

(+10) + (+2) = +(10 + 2) = +12

(+2) + (+10) = +(2 + 10) = +12

(+20) + (+20) = +(20 + 20) = +40

0 + (+4) = +(0 + 4) = +4

(-42) + (-8) = -(42 + 8) = -50

(-15) + (-10) = -(15 + 10) = -25

(+15) + (-2) = +(15 - 2) = +13

(+4) + (-4) = +(4 - 4) = 0

(+6) + (-46) = -(46 - 6) = -40

(-34) + (+5) = -(34 - 5) = -29

(-7) + (+25) = +(25 - 7) = +18

somma

differenza

maggiore

42

Completa le tabelle seguendo le indicazioni delle frecce.

-1 -3

-6 -8

-2

+5

14

10

10 6

−........

+........

15

Completa le tabelle e le frecce.16

-12

-14 -11

...........

...........

-4 -2 0

10

...........

...........

17

Completa.

- (-5)

- 12 - (-1)- (-6)

- 1+ 11- 5- 9 - 5

- 3 + 5

+ 4

6

- 3

- 8

- 2

- (-15)

- 4- (-5) + 8+ 6

- 8

Colora dello stesso colore le tessere con il risultato uguale. Che cosa inseriresti nello spazio vuoto affinché la tessera sia dello stesso colore delle tessere contigue?

Rendi vere le uguaglianze utilizzando i numeri −3; +6; +8.

-8 + ............ - ............ + ............ = +9

+4 - ............ - ............ + ............ = +5

- ............ + ............ - ............ + 4 = +9

18

19

20

21

22

(−2) − (−7)

(−2) − (−5)

(−6) − (−6)

(−7) + 7

1 − (−3)

(−2) − 3

(−5) + 6

(−14) + 11

−8 − (−8)

2 + (−2)

4 + (−6)

(−3) − (−3)

2 − 45 − 7

4 − 3

5 − 5

1 − 6 + 5

1 − 1

12 − 17



+14 +12 +10 +8 +6

+9 +7 +5 +3 +1

+4 +2 0 -2 -4

-5 -7 -9

-10 -12 -14 4

4 -22

2614

6101418

10141822

-8

-5-8

+3

-1

-11-14

-6-9-15

-7-10-13-16

-17

(-3)

(-3)

(-3)

6

6

6

8

8

8

+2

-61286

6420

-6

18161412

-5

-8

-2

+6

-2

-3

+3+9

-6

0

+3

-10

0

-2

+2

-6

-1

La somma di due numeri opposti o la differenza di due numeri uguali.

43

Completa le tabelle per calcolare il prodotto e il quoziente tra due numeri interi relativi:concordi

a b a · b a : b

+40 +10 +(40 · 10) = +400 +(40 : 10) = +4

+25 +5

-22 -2 +(22 · 2) = +44 +(22 : 2) = +11

-45 -5

23

24

discordi

a b a · b a : b

+200 -4 -(200 · 4) = -800 -(200 : 4) = -50

+60 -2

-14 +2

-60 +10

25

26

27

Completa lo schema riassuntivo.

Due numeri

Prodotto Quoziente

segno valore assoluto segno valore assoluto

concordi + prodotto dei valori assoluti quoziente, se esiste, dei valori assoluti

discordi


Numeroa

Valore assoluto

|a|Opposto

-aDoppio

2aQuadrato

a2Cubo

a3

Quadrato dell’opposto

(-a)2

Opposto del quadrato

-a2

-5 5 -(-5) = +5 -5 · 2 = -10 (-5)2 = +25 (-5)3 = -125 (+5)2 = +25 -25

+4

0

-6

-8

-5

+27

-2

28

29

30

31

32

33

34

35



- -

+

prodotto dei valori assoluti quoziente, se esiste, dei valori assoluti

+(25 · 5) = +125

+(45 · 5) = +225

+(25 : 5) = +5

+(45 : 5) = +9

-(60 · 2) = -120

-(14· 2) = -28

-(60 · 10) = -600

-(60 : 2) = -30

-(14 : 2) = -7

-(60 : 10) = -6

4

0

6

2

5

3

1

-4

0

+6

+2

+5

-3

+1

+8

0

-12

-4

+10

+6

-1

+16

0

+36

+4

+25

+9

+1

+64

0

-216

-2

+125

+3

-1

+16

0

+36

+4

+25

+9

+1

-16

0

-36

-4

-25

-9

-1

44

Completa la tabella per righe.

a b a + b a - b b - a

-21 +3 -21 + (+3) = -21 + 3 = -18 -21 - (+3) = -21 - 3 = -24 +3 - (-21) = +3 + 21 = +24

+20 +4

0 -8

-12 -2

-12 +2

0 +5

+36 +44

-5 -1

-11 0

+6 -3

+4 +3

0 -3

+6 0

Completa la tabella per righe.

a b a · b a : b

-21 +3 -21 · 3 = -63 -21 : 3 = -7

+7 -1

+25 +5

-36 -4

+72 -9

+40 -4

-12 -1

+7 +49

-6 -6

-4 -2

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56



+20 + (+4) = 20 + 4 = 24

0 + (-8) = 0 - 8 = -8

-12 + (-2) = -12 - 2 = -14

-12 + (+2) = -12 + 2 = -10

0 + (+5) = 0 + 5 = 5

+36 + (-8) = 36 - 8 = 28

-22

+9

+5+1

+12+6

+16

+8

-10

-14

-5

-8

+9+4

-11

+3+3

-3

-3-3

-16

-8

+10

+14

+5

-44

-9

0

+3

0

-7

+5

+9

-8

-10

+12

+1

-6

+8

-7

+125

+144

-648

-160

-144

+7

+1

-32

45

Completa i calcoli e le affermazioni.

(−3) + (−6) + (−2) = ............................... (−3) + (..............) = 0 (+5) + (−2) = ...............................

(+4) + (..............) + (+2) = +12 (+5) + (+12) + (..............) = +20

a) La somma di tre numeri positivi ha segno ...............................................................................................................................................................................

b) La somma di tre numeri negativi ha segno ..............................................................................................................................................................................

c) La somma di due numeri opposti è sempre .............................................................................................................................................................................

d) La somma di due o più numeri concordi è sempre .........................................................................................................................................................

e) La somma di due numeri discordi .....................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Completa i calcoli e le affermazioni.

(−3) · (−2) · (−8) = ............................... (+2) · (+5) · (+4) = ............................... (−3) · (−2) · (+8) = ............................... (−1) · (+2) · (+6) · (+6) = ............................... (+2) · (+1) · (+3) · (+4) · (−1) · (−2) = ...............................

a) Il prodotto fra tre fattori positivi ha segno ...............................................................................................................................................................................

b) Il prodotto fra tre fattori negativi ha segno ..............................................................................................................................................................................

c) Il prodotto fra 12 fattori non nulli di cui 5 positivi ha segno ................................................................................................................................

d) Il prodotto fra 20 fattori non nulli di cui 8 positivi ha segno ................................................................................................................................

Completa il quadrato magico in modo che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali sia la stessa.

−6

−5 −1

−4

Completa le scritture con dei numeri relativi opportuni.

8 + (...............) = +5 10 + (...............) = +15 18 + (...............) = +18

6 + (...............) = 0 -5 + (...............) = +5 -8 + (...............) = -5

(...............) + (...............) = +6 (-...............) + (...............) = +6 (...............) + (...............) = +1

(...............) + (...............) = 0 (...............) + (-..........) = -16 (-...............) + (...............) = +6

(...............) · (...............) = +6 (-...............) · (...............) = +12 (...............) · (...............) = -42

(...............) · (...............) = 0 (-...............) · (...............) = +1 (...............) · (...............) = -4

57

58

59

60

61

62

63

64

65



-11

-48

-72

-2

-9

-8

-7

-3

-3

-6

+5

+10

0

+3

+40

+48

+48

positivo

positivo

positivo

negativo

negativo

negativo

pari a 0

pari alla somma dei moduli e segno dei numeri

ha modulo dato dalla differenza dei moduli e segno del numero con

modulo maggiore

+3 +3

+3+6

46

Q: i razionali


Numeratore Denominatore Frazione

+5 -4 +5 ___ -4

= - 5 __ 4

-3 + 1 __ 3

+2 0

-6 - 6 __ 7

-3 +1

-1 + 1 __ 5

-8 0

+3 - 11 ___ 3

6 -2

1

2

3

4

5

6

7

8

Semplifica le espressioni.

(+2) + (-1) + (-6) + (+3) + (-10) =

(-3) + (-4) - (-6) + (-6) =

2 - (3 - 5) + [13 - (5 + 4)] - [12 - (4 + 3)] =

[(-1 - 3) - (4 + 2)] - [(6 - 13 - 2) - (-3 + 2 - 4) + (-8)] =

[(1 - 3) · (-2) - 12 + (8 - 2) · (-18 + 15 + 4)] · (-3) =

[(16 - 3) - (14 - 1)] · [(-6) + (8 - 2) · (-23 - 1) - (-11 + 7)] =

(-2)0 + (-2)1 + (-2)2 - (-2)3 =

[(+2)3 · (-1)4 - (-7)2]0 · (-3)2 + [-2 + (-5)]1 =

3 · [(-5)2 + (-3 - 2) · (-7)] - 2 · (-4 + 3 - 9)2 =

(4 - 5 - 1) · {(-11 + 23) · (-4) - [(32 - 3 - 5) · (-6 + 22)2 + 15] · 2} =

Semplifica applicando le proprietà delle potenze.

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

[(-3)5 · (-3)3]2 : (-3)14 =

[(-7)10 : (-7)8] : (-1)2 =

[723 : (-8)3] : 33 =

76

77

78

[713 · (-4)13] : (-28)13 =

(35 · 25 · 55) : (302)2 =

(-1)0 · 50 · (-6)0 =

79

80

81



[-12]

[-7]

[3]

[2]

[6]

[0]

[11]

[2]

[-20]

[52]

[1][9]

[30][49]

[1][-27]

47

Q: i razionali


Numeratore Denominatore Frazione

+5 -4 +5 ___ -4

= - 5 __ 4

-3 + 1 __ 3

+2 0

-6 - 6 __ 7

-3 +1

-1 + 1 __ 5

-8 0

+3 - 11 ___ 3

6 -2

1

2

3

4

5

6

7

8

Completa con i numeri mancanti.

........... ____ -2

= 1 -4 ___ -2

= ...........

3 ____ ...........

= −3 5 ____ ...........

= − 5 __ 6

8 ____ ...........

= −2 3 ____ ...........

= − 3 __ 5

−........... ______

...........

= 2 __ 5 2 ____

...........

= − 1 __ 3

− −7 ____ ...........

= − 7 __ 3 6 ____

...........

= − 1 __ 3

2 __ 5 = −4 ____

...........

2 __ 5 = ........... ____

−15

−3 = −12 ____ ...........

−1 = 5 ____ ...........

− 1 __ 3 = 3 ____

...........

−8 ____ −32

= ........... ____ 4

−5 ___ 3 = −10 ____

...........

12 ___ −4

= ...........

9

Stabilisci se le affermazioni sono vere o false.

Se il denominatore di una frazione è negativo, la frazione ha sempre segno negativo. V F

Se il denominatore di una frazione è uguale a zero, la frazione non esiste. V F

Se il numeratore di una frazione è uguale a zero e il denominatore no, la frazione è uguale al denominatore. V F

Se il numeratore di una frazione è uguale a zero e il denominatore no, la frazione è uguale a zero. V F

Se il denominatore di una frazione è uguale a 1, la frazione è uguale al numeratore. V F

Se il numeratore di una frazione è uguale a zero e il denominatore no, la frazione non esiste. V F

Se il denominatore di una frazione è uguale a zero, la frazione è uguale a zero. V F

10

11

12

13

14

15

16



-2

-1 -6

-5

-6

-18

-6

-5

1

-4

-5

-3

-10

+4

-9

2

2

-1

0

+7

-3

-5

0

-11

-36

-3

48

Operazioni con i numeri razionali

Completa la tabella per calcolare la somma algebrica tra due o più frazioni.

Somma algebrica tra due o più frazioni

Se possibile, semplifica le frazioni

ed elimina le parentesi

Riduci allo stesso denominatore le frazioni semplificate; scrivi una sola frazione

che abbia come denominatore quello comune e come numeratore la somma algebrica

dei numeratori e risolvi le operazioni a numeratore; se possibile, riduci la frazione

ai minimi termini

3 __ 4 + a- 9 __

6 b + (+3) 3 __

4 - 3 __

2 + 3 3 - 3 · 2 + 3 · 4 ______________

4 = 3 - 6 + 12 __________

4 = 9 __

4

1 __ 2 - (-2) + a- 8 ___

12 b 1 __

2 + 2 - 2 __

3 3 + 12 - 4 __________

6 = 11 ___

6

- 5 __ 4 + a- 30 ___

20 b

1 __ 2 + a- 4 ___

10 b - a+ 10 ___

3 b

25 ___ 5 + 16 ___

4 - 22 ___

11

Calcola.

- 33 ___ 6 + 9 ___

27 =

7 __ 4 + a- 2 __

8 b =

- 4 __ 5 + a- 1 __

4 b =

7 __ 3 + (-2) + a- 1 __

2 b =

1

2

3

4

5

6

7

Rappresenta i numeri razionali sulle rette orientate.

− 1 __ 3 ; − 1 __

2 ; −1; + 2 __

3 ; − 2 __

3 ; + 1 __

2

-1 0 +1

− 1 __ 5 ; −0,8; − 6 __

5 ; −1,2; −1,8; − 8 __

5 ; −0,6

-2 -1 0

−1,5; 1,5; 3 __ 4 ; − 5 __

4 ; 1 __

4 ; − 1 __

2 ; −0,25; −0,75; −1

0 1

Completa le tabelle, come nell’esempio.

17

18

19

Frazione Opposto Inverso o reciproco Antireciproco

− 4 __ 7 + 4 __

7 − 7 __

4 + 7 __

4

+ 2 __ 9

− 3 __ 1

+ 7 __ 4

20

21

22

Frazione Opposto Inverso o reciproco

− 11 ___ 2

− 3 __ 4

+ 5 __ 8

+ 1 ____ 100

23

24

25

26



- 2 __ 3 + 2 __

3 - 1 __

2

- 1 __ 2

- 8 __ 5

- 5 __ 4

1 __

4

3 __

4

- 6 __ 5 - 1 __

5

+ 1 __ 2 - 1 __

3

-1,8

-1,5 1,5-1 -0,75 -0,25

- 4 __ 3

- 5 __ 8

+ 100 ____

1

+ 4 __ 3

- 100 ____

1

+ 11 ___

2

- 8 __ 5

- 2 ___ 11

- 2 __ 9

+ 3 __ 1

- 7 __ 4

+ 9 __ 2

- 1 __ 3

+ 4 __ 7

- 9 __ 2

+ 1 __ 3

- 4 __ 7

-0,8 -0,6

-1,2

49

Operazioni con i numeri razionali

Completa la tabella per calcolare la somma algebrica tra due o più frazioni.

Somma algebrica tra due o più frazioni

Se possibile, semplifica le frazioni

ed elimina le parentesi

Riduci allo stesso denominatore le frazioni semplificate; scrivi una sola frazione

che abbia come denominatore quello comune e come numeratore la somma algebrica

dei numeratori e risolvi le operazioni a numeratore; se possibile, riduci la frazione

ai minimi termini

3 __ 4 + a- 9 __

6 b + (+3) 3 __

4 - 3 __

2 + 3 3 - 3 · 2 + 3 · 4 ______________

4 = 3 - 6 + 12 __________

4 = 9 __

4

1 __ 2 - (-2) + a- 8 ___

12 b 1 __

2 + 2 - 2 __

3 3 + 12 - 4 __________

6 = 11 ___

6

- 5 __ 4 + a- 30 ___

20 b

1 __ 2 + a- 4 ___

10 b - a+ 10 ___

3 b

25 ___ 5 + 16 ___

4 - 22 ___

11

Calcola.

- 33 ___ 6 + 9 ___

27 =

7 __ 4 + a- 2 __

8 b =

- 4 __ 5 + a- 1 __

4 b =

7 __ 3 + (-2) + a- 1 __

2 b =

1

2

3

4

5

6

7



5 + 4 - 2 7

1 · 15 - 2 · 6 - 10 · 10

_____________________ 30

= - 97 ___

30

1 __

2 -

2 __

5 -

10 ___

3

- 5 __ 4 -

3 __

2

-5 - 3 · 2 __________

4 = - 11

___ 4

- 11 ___

2 +

1 __

3 =

-33 + 2 ________

6 = - 31

___ 6

14 - 2

______ 8 =

12 ___

8 =

3 __

2

-16 - 5

________ 20

= - 21 ___

20

14 - 12 - 3

___________ 6 = - 1 __

6

50

Completa la piramide dell’addizione: su ogni mattoncino scrivi la somma algebrica dei due numeri sottostanti.

35

- 125

-15

45

0

Completa la piramide dell’addizione.

76

-

12

-13

56

8

9

Completa il quadrato magico in modo che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali sia la stessa.

−2 − 3 __ 2

− 5 __ 4

− 1 __ 2

10 Completa il quadrato magico in modo che il prodotto dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali sia lo stesso.

− 9 __ 2

− 3 __ 2 −1

− 1 __ 2

11



+ 1 __ 2

- 2 __ 3

- 2 __ 3

+ 2 __ 3 - 4 __

3

- 1 __ 6

- 1 __

4

- 3 __

4

- 9 __

4

-9

-3

+ 3 __ 5 - 3 __

5

- 2 __ 5 +1 - 8 __

5

- 1 __

4

- 3 __

4 -

7 __

4

- 9 __

4 -1

51

Completa la tabella per moltiplicare due o più frazioni.

Moltiplicazione tra due o più frazioni Se possibile, semplifica

Determina il segno del prodotto; la frazione ha come numeratore il prodotto dei numeratori e

come denominatore il prodotto dei denominatori

− 5 __ 2 · a− 4 ___

27 b · 9 − 5 __

2 · a− 4 ___

27 b · 9 + 10 ___

3

25 ___ 4 · (−10)

3 __ 4 · 4 __

3

a− 1 __ 4 b · 4 __

3 · (−2)

− 5 __ 6 · (−36)

Completa la tabella per dividere due frazioni.

Divisione tra due frazioni

Moltiplica la prima frazione per l’inverso della seconda, semplificando se possibile

15 ___ 16

: a− 3 __ 8

b 15 ___ 16

· a− 8 __ 3 b = − 5 __

2

− 8 __ 9 : 4 __

3

− 3 __ 4 : a− 27 ___

16 b

1 __ 4 : a− 1 ___

16 b

5 __ 3 : 3 __

5

31

12

12

13

14

15

1

5 1

2

16

17

18

19



- 125 ____

2

+ 2 __ 3

+30

1

a- 1 __ 4 b · 4 __

3 · (-2)

- 5 __ 6 · (-36)

6

25

___ 4 · (-10)

5

2

3 __

4 · 4 __

3

- 8 __

9 · 3 __

4 = -

2 __

3

3

2

- 3 __

4 · a-

16 ___

27 b = +

4 __

9

4

9

1 __

4 · (-16) = -4

4

5 __

3 · 5 __

3 = +

25 ___

9

52

Espressioni con i numeri razionali


5 __ 2 + 3 ___

14 - 8 __

7 - 9 ___

28 =

7 + 2 __ 3 - 51 ___

9 =

a 8 __ 3 + 2 __

5 b - a 7 __

3 + 10 ___

3 b =

ca 7 __ 4 - 3 __

6 b + 1 ___

12 d - a 1 __

3 + 7 ___

20 - 31 ___

60 b - 5 ___

24 =

-4 · a- 5 __ 2 b · 2 ___

11 =

5 __ 6 · a1 - 1 __

5 b - a1 + 1 __

8 b : 9 __

2 =

1

2

3

4

5

6



c 5 __ 4 d

[2]

c- 13 ___

5 d

c 23 ___

24 d

c 20 ___

11 d

c 5 ___ 12

d

53


a- 18 ___ 23

b · a- 46 ___ 9 b · 7 __

2 =

c- 1 __ 2 · a 2 __

5 + 3 __

4 b - 17 ___

40 d · a- 8 __

9 b =

3 __ 8 : 5 ___

24 : (-9) =

5 __ 4 : 4 __

3 + 1 __

4 : 4 =

a 1 __ 2 : 5 __

3 : 9 ___

10 - 1 __

5 b + a 3 __

2 - 1 __

3 b · 6 __

5 =

ca 3 __ 4 - 1 __

6 b + 1 __

2 d : a 15 ___

4 - 1 : 2b =

7

8

9

10

11

12



[14]

c 8 __ 9 d

c- 1 __ 5 d

[1]

c 23 ___

15 d

c 1 __ 3 d

54

Dal linguaggio alla scrittura in simboli


Individua l’affermazione corretta.

Il doppio di - 3 __ 4 è:

A - 6 __ 8 C 3 __

2

B - 3 __ 2 D 9 ___

16

3 + 1 __ 3 =

A 10 ___ 3 C 4 __

3

B 1 D 10

13

14

9 __ 2 ___

18 =

A 1 C 9 ______ 2 · 18

B 9 · 18 ______ 2 D 81

La terza parte di + 1 ___ 27

è:

A 1 __ 9 C - 1 __

3

B 1 ___ 81

D 1 __ 3

15

16

42 ___ 6 __ 7 =

A 36 C 42 · 6 ______ 7

B 49 D 14

36 · 7 ______

14 · 32 =

A 36 _____

2 · 32 C 33 __

2

B 34 D 34 __

2

17

18

Scrivi nel tondino il segno di operazione (+, -, ·, :) affinché le uguaglianze risultino vere.

6 : 3 __ 4 = 8 1 __

2 4 __

5 = 2 __

5 - 3 __

4 a- 1 __

2 b = - 1 __

4

3 1 __ 2 = 6 1 __

2 1 __

3 = 5 __

6 4 __

3 1 __

2 = 5 __

6

2 __ 5 15 = 6 1 7 __

4 = 4 __

7 -1 1 ___

10 = - 9 ___

10

Individua alcune coppie di valori, x e y, che rendano vere le uguaglianze.

2 __ x : 1 __

y = 1 x = 4 e y = .........; x = ......... e y = 1; x = ......... e y = 5

1 - x __ y = 3 __

7 x = ......... e y = 7

x ___ 12

· 6 __ y = 1 __

2 x = 3 e y = .........; x = ......... e y = 5; x = ......... e y = .........

a x __ y b

3

= 8 ___ 27

x = ......... e y = .........

x __ 4 + y __

4 = 7 __

4 x = ......... e y = .........; x = ......... e y = .........

19

20

21

22

23

24



× -

-

+

+

:

:

×

2

2

2 10

4

4 4

3

3

3 3

5

55



Frasi

Traduci in espressioni

le frasi ed esegui i calcoli

Calcola il doppio di - 3 __ 2 2 · a- 3 __

2 b = -3

Calcola il quadrato di - 3 __ 2

Calcola il cubo di - 3 __ 2

Calcola il triplo di - 3 __ 2

Calcola la metà di - 3 __ 2

1

2

3

4

Frasi

Traduci in espressioni

le frasi ed esegui i calcoli

Calcola il reciproco di - 1 __ 5

Calcola l’opposto di - 1 __ 5

Calcola il doppio di - 1 __ 5

Calcola i 2 __ 3 di - 1 __

5

Calcola la somma fra 2 e - 1 __ 5

5

6

7

8

9

Traduci in espressioni ed esegui i calcoli.

Calcola il doppio della somma dei numeri +3 e −5, al risultato elevato al quadrato sottrai 8 __ 3 .

Calcola la somma tra il doppio di +3 e il quadrato di −5 e dividi il risultato per 1 __ 2 .

Calcola i 2 __ 3 della somma dei numeri +3 e −5, al risultato sottrai il cubo di −1.

10

11

12



a- 3 __ 2 b

2

= + 9 __ 4 + 1 __

5

-5

a- 3 __ 2 b

3

= - 27 ___

8 2 · a- 1 __

5 b = - 2 __

5

3 · a- 3 __ 2 b = - 9 __

2 - 1 __

5 · 2 __

3 = - 2 ___

15

a- 3 __ 2 b · 1 __

2 = - 3 __

4 2 + a- 1 __

5 b =

9 __

5

c 40 ___

3 d

[62]

c- 1 __ 3 d

56

Proprietà delle potenzePotenze di numeri razionali con esponente positivo, negativo, nullo

Evidenzia le scritture corrette, ricopia quelle errate e correggi l’errore.

− 33 __

5 = - 27 ___

5 a 1 __

2 b

2

= 2 __ 4 - 3 __

82 = - 3 ___ 64

a- 10 ___ 3 b

3

= - 1000 _____ 27

a- 4 __ 5 b

2

= - 16 ___ 25

a- 1 __ 3 b

0

= -1

a 1 __ 2 b

-2

= -4 a 3 __ 5 b

-2

= 9 ____ -25

a 3 __ 2 b

-1

= 3 __ 2 a 7 __

3 b

-2

= 9 ___ 49

a- 4 __ 5 b

2

= 16 ___ 25

a- 3 __ 2 b

0

= 1

Calcola le potenze, come nell’esempio.

1

a− 3 __ 4 b

-2

= a− 4 __ 3 b

2

= + 16 ___ 9

a+ 2 __ 7 b

-2

=

a− 5 __ 8 b

-1

=

a+ 11 ___ 12

b-1

=

a− 1 __ 4 b

-3

=

2

3

4

5

a− 1 ___ 10

b4

=

a+ 1 ___ 10

b-3

=

a+ 1 __ 2 b

-8

=

a- 1 __ 2 b

7

=

a 7 __ 3 b

-2

=

6

7

8

9

10



a 1 __ 2 b

2

= 1 __

4

a- 4 __ 5 b

2

= 16

___ 25

a- 1 __ 3 b

0

= 1

a 1 __ 2 b

-2

= 4

+ 49 ___

4 +1000

+ 1 ______

10 000

- 8 __

5 +256

+ 12

___ 11

- 1 ____

128

-64 + 9 ___

49

a 3 __ 5 b

-2

= 25

___ 9

a 3 __ 2 b

-1

= 2 __

3

57

Proprietà delle potenze

Prodotto di potenze con basi uguali:ab · ac = ab+c

FOCUS ON

Quoziente di potenze con basi uguali:ab : ac = ab-c

FOCUS ON

Potenza di potenza:(ab)c = ab ·c

FOCUS ON

Prodotto di potenze con esponenti uguali:ab · cb = (a · c)b

FOCUS ON

Quoziente di potenze con esponenti uguali:ab : cb = (a : c)b

FOCUS ON

Calcola.

a- 2 __ 3 b

4

· a- 2 __ 3 b

-2

= a 3 __ 5 b

-2

· a 3 __ 5 b

3

= a 1 __ 8 b

3

· a 1 __ 8 b

-1

=1

a+ 3 __ 7 b

2

: a+ 3 __ 7 b

1

= a- 2 __ 9 b

4

: a- 2 __ 9 b

2

= a- 4 __ 3 b

6

: a- 4 __ 3 b

7

=2

ca+ 2 __ 5 b

2

d 2

= ca 3 __ 4 b

-1

d 3

= ca 7 __ 2 b

2

d -1

=3

a 8 __ 3 b

4

· a 9 ___ 16

b4

= (+5)3 · a- 1 ___ 10

b3

= (+1)-2 · a- 5 __ 7 b

-2

=4

a- 1 __ 2 b

-2

: a 3 __ 4 b

-2

= a- 7 __ 8 b

2

: a+ 7 __ 4 b

2

=5



a- 2 __ 3 b

2

= 4 __

9

a+ 3 __

7 b

1

= + 3 __

7

a 3 __ 5 b

1

= 3 __

5

a- 2 __

9 b

2

= + 4 ___

81

a 1 __ 8 b

2

= 1 ___

64

a- 4 __

3 b

-1

= - 3 __

4

a 7 __ 2 b

-2

= 4 ___

49

a- 5 __ 7 b

-2

= 49

___ 25

a 3 __ 4 b

-3

= 64

___ 27

a- 1 __

2 b

3

= - 1 __

8

a- 1 __ 2 b

2

= 1 __

4

a+ 2

__ 5 b

4

= 16

____ 625

a 3 __ 2 b

4

= 81

___ 16

a- 2 __ 3 b

-2

= 9 __

4

58

Completa.

a) La potenza di un numero positivo è sempre ..............................................................................................................................................................................

b) La potenza di un numero negativo ha segno .............................................................................................................................................................................

c) Un numero diverso da zero elevato a 0 è sempre uguale a ........................................................................................................................................

d) Un numero elevato a 1 è uguale a ........................................................................................................................................................................................................

e) Elevando un numero diverso da zero a −1 si ottiene ......................................................................................................................................................

f) Una potenza con base 0 ed esponente diverso da 0 è sempre uguale a .........................................................................................................

g) Un numero diverso da zero elevato a −2 ha sempre segno ......................................................................................................................................

Semplifica le espressioni, utilizzando, se possibile, le proprietà delle potenze.

ca 3 __ 4 b

2

· a- 2 __ 3 b

2

· 42 : a 2 __ 3 bd

-1

=

eca 4 __ 5 b

3

: a 4 __ 5 b

2

d2

f-1

: eca- 3 __ 8 b

2

d4

f0

=

2 __ 3 + a 1 __

3 - 1b

3

· a 1 __ 2 - 5b

2

- a 1 __ 2 + 1 __

3 b

2

· a- 12 ___ 5 b =

6

7

8

9



positiva

1

se stesso

l’inverso

positivo

0

alterno a seconda che l’esponente sia pari (+) o dispari (-)

c 1 __ 6 d

c25 ___

16 d

c- 11 ___

3 d

59

Calcolo numericoIndividua l’affermazione corretta.

1 6 ____ 0,01

è:

A impossibileB uguale a 0,06C uguale a 60D uguale a 600

2 0,25 ____ 0,5

=

A 1 __ 2 C 2

B 0,05 D 50

3 0,015 =

A 15 ___ 10

C 15 ____ 100

B 0,15 ____ 10

D 0,3 · 0,5

4 0,3 · 10-1 =A non si può calcolareB è uguale a 0,03C è uguale a 30D è uguale a 300

5 La metà del quadrato della differenza tra 7 e 3 è:A 4B 20C 8D 10

6 I numeri 1 __ 3 ; 0,03; 0,3; 0,33:

A sono in ordine crescenteB sono in ordine decrescenteC non si possono confrontareD scritti in ordine

decrescente sono 1 __ 3 ; 0,33;

0,3; 0,03

7 Se al prodotto tra -2 e +5 sottrai -15, ottieni:A 5B -25C -5D 25

8 Addizionando un centesimo al numero 0,123, ottieni:A 0,223B 0,1231C 0,133D 0,124

9 Il triplo di - 3 __ 4 è:

A - 9 ___ 12

C - 3 ___ 12

B - 9 __ 4 D - 27 ___

4

10 5 + 1 __ 5 =

A 6 __ 5 C 1

B 26 D 26 ___ 5

11 (26)3 : 29 · 22 =A 24

B 2C 211

D 1

12 -32 + 12 - 8 : 4 · 2 =A -24B -14C -21D -48

Vero o falso?13 Il reciproco dell’opposto di una frazione è concorde con l’opposto del reciproco

della stessa frazione. V F

14 L’opposto dell’opposto di una frazione è uguale alla frazione. V F

15 Il reciproco del reciproco di una frazione è uguale a 1. V F

16 -(-1)2 = +1 V F

17 -(+1)2 = -1 V F

18 +(-1)3 = -1 V F

19 -(-1)3 = +1 V F

A utovalutazione



60

Equivalenze con misure di lunghezza, capacità, massa e tempo

A che cosa corrispondono? Completa le tabelle.

h ore

min minuti

s secondi

1 __ 3

900

75

3600

1 e 1 __ 2

150

40

2

1 l litri

dl decilitri

hl ettolitri

1 __ 2

25

1 __ 4

350

400

1 e 1 __ 2

10

2

2 kg chili

hg etti

g grammi

3

70

1 __ 2

4500

0,8

5 e 1 __ 2

10

10

3

Completa le scritture.

................................... cm2 = 5 · 10......... cm2 ................................... m3 = 3,5 · 10......... m3

0,5 m2 = 50 dm2 = 5 · 10......... dm2 0,035 dm3 = ................................... cm3 = 3,5 · 10......... cm3

................................... hm2 = 5 · 10......... hm2 ................................... mm3 = 3,5 · 10......... mm3

................................... hg = 2 · 10......... hg ................................... dm = 4 · 10......... dm2 kg = ................................... g = 2 · 10......... g 4 m = ................................... mm = 4 · 10......... mm ................................... Mg = 2 · 10......... Mg ................................... km = 4 · 10......... km

Individua l’affermazione corretta.8 m2 equivale a: 3 · 10-1 kg equivale a: 4 · 10-2 l equivale a:A 8 · 10-3 cm2 A 30 g A 4 dlB 8 · 102 dm2 B 3 · 10-3 Mg B 0,04 lC 8 · 10-2 km2 C 3 hg C 40 dlD 8000 cm2 D 0,03 kg D 4 · 10-3 hl

Che cosa ti sembra sensato?Al mattino a colazione che cosa bevi?A 2 l cioè 2 litriB 2 dl cioè 2 decilitriC 2 dal cioè 2 decalitriD 2 cl cioè 2 centilitri

di latte, the, succo…

4

5

6 La mattinata di 5 ore a scuola passa davvero veloce-mente? Secondo te sono passati circa:A 6000 secondiB 3000 minutiC 0,01 meseD 18 000 secondi

7



20 5

2 e 1 __

2

15

20

350 000

30

5

45

1 ___

10

90

120

5000 3

3

1

1

-5

-5

-3 -3

3

1

4

1

0,00005

20 40

0,000035

2000 4000

35

0,002 0,004

35 000

1 __

4

1

5

__ 4 = 1 e

1 __

4

2 e 1 __

2

2 __

3

1200 1 ____

200

1 ____

400

3 ____

200

0,02

3000

500

5400

7200

15 2 e 1 __

2

1

40

35 000

7

11

___ 20

1

8

4 e 1 __

2

1 ____

100

1 ___

40

0,01

2 __

5

7000

550

1000

800

60

4500

9000

2400

61

Un alloggio al terzo piano di uno stabile dista da terra approssimativamente:A 0,06 km C 90 dmB 400 m D 1500 cm

Alla nascita, un neonato non prematuro pesa me- diamente:A 400 g C 25 kgB 3,3 hg D 32 hg

L’aula della mia classe potrebbe approssimativa-mente misurare:A 60 m2 C 100 dm2

B 10 m2 D 5000 cm2

infatti potrebbe essere lunga circa:A 30 m C 400 dmB 10 m D 900 cm

e larga:A 60 dm C 500 dmB 20 m D 6000 cm

8

9

10

Quanto può pesare all’incirca una bicicletta da città?A 25 etti (hg)B 13 chili (kg)C 560 grammi (g)D 0,6 chili (kg)

Il volume interno di un’auto di media cilindrata potrebbe approssimativamente essere:A 60 m3 C 4500 dm3

B 10 m3 D 5000 cm3

infatti l’abitacolo interno potrebbe essere lungo circa:A 30 cm C 400 dmB 100 m D 250 cm

largo:A 60 dm C 500 dmB 20 m D 1500 mm

e alto circa:A 12 dm C 500 cmB 20 m D 6000 mm

11

12

Scegli la risposta corretta.Quanti metri si percorrono in un secondo in bicicletta se si va ai 18 chilometri all’ora cioè 18 km/h?A 0,6 m C 5 mB 30 m D 18 m

Avendo sul pavimento un foglio (spessore 0,1 mm) sufficientemente grande per poterlo ripiegare molte volte, seconde te quante volte andrebbe ripiegato per arrivare al soffitto della stanza?A 60 volte C 15 volteB 20 volte D 6000 volte

Prova a spiegare il ragionamento che hai fatto per scegliere la risposta.

Completa con i valori opportuni.

3,15 kg + ............................... hg = 5 kg 25 kg + 2,005 Mg = ............................... kg 25 cm + 35 dm = ............................... m

63 mm + 37 cm = ............................... dm 0,4 l + ............................... dl = 1 l 1/2 l + 3/4 l = ............................... dl

13

14

15



Tenendo conto che il soffitto di una stanza è circa alto 3 m, ovvero 3000 mm, e che ogni volta che il foglio viene piegato raddoppia di spessore, è possibile risalire al numero di volte raddoppiando lo spessore a ogni piega:0,1 mm · 2 = 0,2 mm0,2 mm · 2 = 0,4 mm … 1638,4 mm · 2 = 3276,8 mm

18,5

4,33

2030

6

3,75

12,5

62

Inserisci nella tabella le misure di massa, come nell’esempio.

kg hg dag g

23,45 hg 2 3 4 5

6 kg e 365 g = ................................ kg

mezzo chilo e 30 g = ................................ g

0,456 kg

90 g

2 kg e 800 g = ................................ kg

3 chili e mezzo = ................................ kg

4 kg e 3 etti = ................................ kg

Calcola.

3,25 m · 8 = ........................................................................... m = ...................................................................... dm = ................................................................ cm

15,72 m : 4 = ........................................................................ m = ...................................................................... dm = ................................................................ cm

356 mm · 5 = ....................................................................... mm = ................................................................. cm = ................................................................ dm

3405,3 cm : 3 = .................................................................. cm = ................................................................... dm = ................................................................ m

20,4 m : 2 = ........................................................................... m = ...................................................................... dm = ................................................................ cm

45,2 dm · 3 = ....................................................................... dm = ................................................................... cm = ................................................................ mm

10,6 cm · 10 = .................................................................... cm = ................................................................... dm = ................................................................ m

Indica l’unità di misura adeguata (peso o lunghezza) accanto al numero scritto.

gatto: 3,5 .................................................................. pappagallo: 0,42 ............................................... automobile: 1,5 ..................................................

rondine: 20 ............................................................. uovo: 70 .................................................................... pecora: 1 ...................................................................

Associa a ogni animale la sua possibile massa.

....................... 4 kg ....................... 20 g ....................... 3 Mg ....................... 1,7 dag ....................... 4 mg ....................... 200 kg

16

17

18

19

A

D

B

E

C

F



26,00

3,93

1780

1135,1

10,2

135,6

106

kg

g

C E B D A F

m

g

t

m

260

39,3

178

113,51

102

1356

10,6

2600

393

17,8

11,351

1020

13560

1,06

6

0

0

0

2

3

4

6,365

530

2,800

3,500

4,300

3

5

4

0

8

5

3

6

3

5

9

0

0

0

5

0

6

0

0

0

0

63

Calcoli con gli euro

Al pub.4 amici A, B, C, D ordinano ciascuno una birra, un panino e una piadina che costano rispettivamente: Birra € 3,50Panino € 2,50Piadina € 1,50

I quattro amici hanno in tasca rispettivamente:Alberto (A) Baldo (B) Carlo (C) Duilio (D)

1 banconota da € 10 2 monete da 50 cent 4 monete da 10 cent

1 banconota da € 20 3 monete da € 1 1 moneta da 50 cent e deve € 3 ad A e € 2 a C

1 banconota da € 5 2 banconote da € 5 8 monete da 50 cent 12 monete da 20 cent e deve € 3,50 ad A

a) Come potrebbero pagare?

b) Con quanti soldi in tasca esce ciascuno?

c) Riescono a non avere più debiti l’uno verso l’altro?

Al mercato.

25 cent l’una3 per 60 cent



Con € 4 riesci a comprare 8 banane, 10 mele e 4 kiwi? Avrai del resto o ti mancherà qualcosa? Fai i calcoli e spiega il tuo procedimento nel riquadro.

1

2



No

8 banane → 70 · 2 + 2 · 28 = 140 + 56 = 196 cent = € 1,9610 mele → 60 · 3 + 25 = 180 + 25 = 205 cent = € 2,054 kiwi → 90 + 40 = 130 cent = € 1,30€ (1,96 + 2,05 + 1,30) = € 5,31

Con € 4 non si riescono a comprare i frutti desiderati.

64


At the stationery shop

Emma is buying a rubber, 2 pencils, a notebook, using only 50 cent coins.How many 50 cent coins did she use? How many 5 cent coins in change will she get?

Mary bought 5 items and spent € 6,50. What did Mary buy?

Claudio used two 20 cent coins, five 10 cent coins, two 50 cent coins and two € 1 coins. Can he buy a notebook, a pen, a pencil, and a rubber or should he give up something?

Percentage

What is the higher amount? 10% of € 100 or 15% of € 70?

What is the higher amount? 10% of € 100 or 20% of € 50?

1

2

3

4

5



Usa 8 monete da 50 cent; riceve 6 monete da 5 cent.

2 notebook 1 pen1 rubber 1 pencil

Deve lasciare la gomma.

15% di € 70

Uguale

65

Disegni in scala

Sono rappresentati 4 abeti ciascuno con la sua scala di riferimento. Trovane le dimensioni nella realtà misurando con il righello.a) Quale o quali potresti utilizzare in casa tua come alberi di Natale? A B C D

A B C D

1 : 50 1 : 200 1 : 100 1 : 70

b) Quanto spazio occuperebbero nella stanza? Fai i calcoli e gli eventuali disegni nel relativo riquadro.

altezza: .......................................................... larghezza: ..........................................................

Se l’abete A venisse riprodotto in scala 1 : 100, il disegno sarebbe più grande? .......................................................................................

Perché? .....................................................................................................................................................................................................................................................................................

Quanti centimetri sarebbe alto l’abete C se venisse riprodotto in scala 1 : 50? ...........................................................................................

1

A

B

C

D



3 cm

No

Sarebbe la metà.

150 cm

altezza: 600 cm larghezza: 700 cm



175 cm

66

La piantina di un appartamento è riprodotta in scala 1 : 400. Utilizzando un righello rispondi alle domande.

sala da pranzo camera da lettocucina

bagno

corridoiogiardino

balcone studio bagno lavanderia / ripostiglio

Quanti metri quadrati in totale sono a disposizione di chi abita l’appartamento?

• L’alloggio compreso il balcone misura: ..............................................................................................................................................................................................

escluso il balcone misura: ....................................................................................................................................................................................................

• La sala da pranzo misura: ................................................................................................................................................................................................................................

• Ciascun bagno misura: ........................................................................................................................................................................................................................................

• Ciascuna camera da letto misura: ............................................................................................................................................................................................................

• Il giardino misura: ....................................................................................................................................................................................................................................................

• Il corridoio misura: .................................................................................................................................................................................................................................................

Riproduci nel riquadro sottostante 2 stanze (per esempio, sala da pranzo, camera letto o altro a tua scelta), in scala 1 : 200 e inserisci gli arredi che ti sembrano necessari, coerentemente in scala, indicando le misure delle stanze e degli arredi stessi.

2



160 m2

152 m2

24 m2

8 m2

16 m2

16 m2

32 m2

67

Leggere i grafici (dalle prove Invalsi, a.s. 2009-2010)

Questo è il profilo altime-trico della quinta tappa del Giro d’Italia 2009.

altit

udin

e (m

)

distanza (km)

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.a) La tappa è lunga 125 km. V F

b) L’altitudine massima raggiunta è 1844 m. V F

c) Il dislivello tra Bolzano e l’arrivo (Alpe di Siusi) è 2110 m. V F

d) La distanza tra Bolzano e l’arrivo (Alpe di Siusi) è 33,6 km. V F

Spiega il motivo delle tue risposte per ogni affermazione.a) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................b) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................c) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

d) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Manuela è uscita da casa per fare una passeggiata lungo un viale. Il grafico seguente rappresenta la posizione di Manuela in funzione del tempo.

O 10

1200 m

2

3

4

5

spaz

io

tempominuti

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.a) Il grafico mostra che Manuela nel tratto 3 ha camminato più velocemente che nel tratto 1. V F

b) Il grafico mostra che Manuela nel tratto 5 è tornata indietro. V F

c) Il grafico mostra che Manuela nel tratto 1 e nel tratto 5 ha camminato alla stessa velocità. V F

d) In 70 minuti, comprese le soste, Manuela ha percorso 1400 metri. V F

Osservando il grafico, quale informazione ricavi su quello che Manuela ha fatto nel tratto 2 e nel tratto 4?Risposta: .................................................................................................................................................................................................................................................................................

Spiega il motivo delle tue risposte per ogni affermazione.a) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................b) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................c) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

d) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1

2



È il valore indicato sull’asse orizzontale.

L’altitudine massima raggiunta è 1972 m.

(1844 - 266) m = 1578 m

(125,0 - 91,4) km = 33,6 km

Si è fermata.

Nel tratto 3 ha percorso uno spazio maggiore nello stesso tempo.

Il punto di arrivo coincide con quello di partenza.

v1 = 600/10 m/min = 60 m/min; v2 = 1400/20 m/min = 70 m/min

1400 fino alla fine del tratto 3 e 1400 nel tratto 5; (1400 + 1400) m = 2800 m

68

Espressioni letterali

Calcola il valore delle espressioni per i valori delle lettere che sono indicati a fianco.

Espressione Valori delle lettere Valore dell’espressione

2A + B − A2 + 1

A = −1

B = +2

2 (−1) + (+2) − (−1)2 + 1 = = −2 + 2 − (+1) + 1 = −2 + 2 − 1 + 1 = 0

A = −2

B = 0

A = 1 __ 2

B = +1

4x − 3y + 2xy − 2

x = +2

y = +3

x = 0

y = 1 __ 3

x = −1

y = − 1 __ 2

1

2



[-7]

[9]

[-3]

c 11 ___

4 d

c- 7 __ 2 d

69

Completa la tabella per righe, come nell’esempio.

Uguaglianza ValoriSostituisci nell’uguaglianza i valori

indicati a fianco, esegui i calcoli e scrivi se l’uguaglianza ottenuta è vera o falsa

Individua, tra i valori che hai sostituito, quelli che

rendono vera l’uguaglianza

x - 6 = 3x + 4

x = -3 -3 - 6 = 3(-3) + 4; -9 = -9 + 4;-9 = -5 uguaglianza falsa

x = -5x = 4 4 - 6 = 3(4) + 4; -2 = 12 + 4;-2 = 16 uguaglianza falsa

x = -5 -5 - 6 = 3(-5) + 4; -11 = -15 + 4;-11 = -11 uguaglianza vera

x(x + 1) = 3x + x2 + 2

x = 1

x = -1

x = 2

3(y + 4) = 4y + 4

y = 2

y = 8

y = -2

a(a - 3) = a2

a = 0

a = -1

a = 1

1

2

3

Equazioni lineari in un’incognita

Si dice equazione in un’incognita un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una lettera detta incognita che diventa vera solo per particolari valori dell’incognita; tali valori si chiamano soluzioni dell’equazione.Un’equazione lineare (detta anche di I grado) è un’equazione in cui l’incognita ha esponente uguale a 1.

FOCUS ON



1(1 + 1) = 3 · 1 + 12 + 2; 2 = 3 + 1 + 2;+2 = +6 uguaglianza falsa

x = -1

y = 8

a = 0

-1(-1 + 1) = 3 · (-1) + (-1)2 + 2; 0 = -3 + 1 + 2;0 = 0 uguaglianza vera

2(2 + 1) = 3 · 2 + 22 + 2; 6 = 6 + 4 + 2;6 = 12 uguaglianza falsa

3(2 + 4) = 4 · 2 + 4; 3 · 6 = 8 + 4;18 = 12 uguaglianza falsa

3(-2 + 4) = 4 · (-2) + 4; 3 · 2 = -8 + 4;6 = -4 uguaglianza falsa

0 · (0 - 3) = 02; 0 = 0 uguaglianza vera

-1(-1 - 3) = (-1)2; -1 · (-4) = 1;+4 = 1 uguaglianza falsa

1(1 - 3) = 12; 1 · (-2) = 1;-2 = 1 uguaglianza falsa

3(8 + 4) = 4 · 8 + 4; 36 = 36 uguaglianza vera

70

Risolvere equazioni

Risolvi le equazioni e verifica la soluzione, come nell’esempio.

Equazione Risoluzione Verifica

-4y - 3 = 10 - y

-4y + y = 10 + 3

-3y = 13

-3y ____ -3

= 13 ___ -3

y = - 13 ___ 3

-4 · a- 13 ___ 3 b - 3 = 10 - a- 13 ___

3 b

52 ___ 3 - 3 = 10 + 13 ___

3

52 - 9 ______ 3 = 30 + 13 _______

3

43 ___ 3 = 43 ___

3 VERO

1 - 4x = 2 - x

1 + 9x = 5 + 7x

5x - 3 = 11 + 2x

1

2

3



-4x + x = 2 - 1

-3x = 1

x = - 1 __

3

9x - 7x = 5 - 1

2x = 4

x = 2

5x - 2x = 11 + 3

3x = 14

x = 14 ___

3

1 - 4 a- 1 __ 3 b = 2 - a- 1 __

3 b

1 + 4 __ 3 = 2 + 1 __

3

7 __

3 = 7 __

3 VERO

1 + 9 · 2 = 5 + 7 · 2

1 + 18 = 5 + 14

19 = 19 VERO

5 · 14 ___

3 - 3 = 11 + 2 · 14

___ 3

70

___ 3 - 3 = 11 + 28

___ 3

61

___ 3 = 61

___ 3 VERO

71

Risolvi le equazioni applicando il 1° principio di equivalenza.

Equazione Risoluzione Soluzione dell’equazione

x − 5 = 7

4x + 3 = 3x + 13

x + 7 = 10

9x = 8x + 10

5x + 7 = 4x − 3

7 − 3x = 5 − 4x

7 − 7x = 8 − 8x

3x + 4 = 2x + 4

Risolvi le equazioni applicando il 2° principio di equivalenza.

Equazione Risoluzione Soluzione dell’equazione

2x = 3

x __ 5 = 4

5x = − 8

x __ 2 = 3

−6x = 0

− x __ 5 = −2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Un’equazione si trasforma in un’equazione equivalente se si addiziona a entrambi i membri lo stesso numero o lo stesso polinomio (1° principio di equivalenza).

FOCUS ON

Un’equazione si trasforma in un’equazione equivalente se si moltiplicano o si dividono entrambi i mem-bri per una stessa espressione che non si annulli (2° principio di equivalenza).

FOCUS ON



x + 7 - 7 = 10 - 7 ho addizionato -7 3

4x + 3 - 3x - 3 = 3x + 13 - 3x - 3 ho addizionato -3x - 3 10

x - 5 + 5 = 7 + 5 ho addizionato +5 12

9x - 8x = 8x + 10 - 8x ho addizionato -8x 10

5x + 7 - 4x - 7 = 4x - 3 - 4x - 7 ho addizionato -4x - 7 -10

7 - 3x + 4x - 7 = 5 - 4x + 4x - 7 ho addizionato +4x - 7 -2

7 - 7x + 8x - 7 = 8 - 8x + 8x - 7 ho addizionato + 8x - 7 1

3x + 4 - 2x - 4 = 2x + 4 - 2x - 4 ho addizionato -2x - 4 0

2x

___ 2 =

3 __

2 ho diviso per 2

3 __

2

5 · x __ 5 = 4 · 5 ho moltiplicato per 5 20

5x

___ 5 = - 8 __

5 ho diviso per 5 -

8 __

5

2 · x __ 2 = 3 · 2 ho moltiplicato per 2 6

-6x

____ -6

= 0 ___

-6 ho diviso per -6 0

-5 · a- x __ 5 b = -2 · (-5) ho moltiplicato per -5 10

72

Tra le soluzioni sotto indicate trova quella di ciascuna equazione e scrivila a fianco.

a) 7x = 0 .................................................. f) 0 = 7x .................................................. m) 7 - 7x = 0 ..................................................

b) 7x = 7 .................................................. g) -7x = 0 .................................................. n) 7x + 14 = 0 ..................................................

c) 7x = -7 .................................................. h) -7x = -7 .................................................. o) 1 __ 7 x = -1 ..................................................

d) 14x = 7 .................................................. i) 7x = -1 .................................................. p) - 1 __ 7 x = 1 __

7 ..................................................

e) 7 - x = 0 .................................................. l ) 7x = 1 .................................................. q) 1 __ 7 x - 1 ___

14 = 0 ................................................

Soluzioni

x = -7 x = 1 __ 2 x = - 1 __

7

x = -1 x = -2 x = 1

x = 0 x = 1 __ 7 x = 7

Dall’equazione della prima colonna si giunge a una tra quelle scritte a fianco. Indicala, come nell’esempio.

x + 3 = 0 x = 3 x = 0 x = −3

2x = 0 x = −2 x = 0 x = +2

x − 1 = 0 x = 1 x = −1 x = 0

2x = 3 x = 3 − 2 x = 2 __ 3 x = 3 __

2

x + 5 = 2 x = 2 + 5 x = 2 − 5 x = 2 __ 5

1 __ 2 x = 1 x = − 1 __

2 x = 2 x = −2

x __ 3 = 6 x = 2 x = 3 x = 18

x + 3 = 3 x = 6 x = 1 x = 0

x + 2 = −2 x = 0 x = −1 x = −4

4x − 2 = 0 x = 2 x = 1 __ 2 x = −2

18

19



x = 0 x = 0 x = 1

x = 1 x = 0 x = -2

x = 7 x = 1 __

7

x = -1

x = -1

x = -7x = 1

x = 1 __

2 x = - 1 __

7

x = 1 __

2

73

Risolvi le equazioni lineari in un’incognita.

3x - 9 = 6x + 1

2(2x + 4) + 3 = 2x - 6 - 3(x + 1)

2(x - 3) - 5(1 + x) = 2(1 - x) + x + 1

3x2 + 2(x - 4) = 3x(x + 1) - x - 8

1 __ 2 x - 5 = 5

20

21

22

23

24



[-4]

[-7]

[Indeterminata]

[20]

c- 10 ___

3 d

74

Risolvi le equazioni lineari in un’incognita.

1 __ 3 x + 1 __

2 = 1 __

6 x + 1

2x - 1 ______ 5 = x - 5

6 - x _____ 8 = 0

x - 1 _____ 4 = 2x - 7 ______

3

1 __ 2 ax - 1 __

3 b = 1 __

3 ax + 1 __

4 b + 1 __

2 x

25

26

27

28

29



[3]

[8]

[6]

[5]

c- 3 __ 4 d

75



Problema Sottolinea tra le scritture quella che traduce il problema

La somma tra la metà di x e 5 è uguale a 7. 1 __ 2 x + 5 = 7; 1 __

2 x + 1 __

2 · 5 = 7; 1 __

2 (x + 5) = 7

La somma tra la metà di x e la metà di 5 è uguale a 7. 1 __ 2 x + 5 = 7; 1 __

2 x + 1 __

2 · 5 = 7; x + 1 __

2 · 5 = 7

La metà della somma tra x e 5 è uguale a 12. 1 __ 2 x + 5 = 12; 1 __

2 · 5 + x = 12; 1 __

2 (x + 5) = 12

La differenza tra x e 8 è uguale a 2. x − 8 = 2; 8 − x = 2; x = 2 − 8

x supera 8 di 2. x = 2 − 8; x = 8 − 2; x = 2 + 8

y supera di 1 il doppio di 3. y + 1 = 2 · 3; y = 2 · 3 + 1; y = 2 · 3 − 1

y supera di 1 il quadrato di 3. y = 32 − 1; y = 32 + 1; y = (3 + 1)2

La differenza tra il quadrato di x e il quadrato di 5 è uguale a 1. x2 − 52 = 1; (x − 5)2 = 1; (x − 1)2 = 52

Il quadrato della differenza tra 5 e x è uguale a 1. x2 − 52 = 1; (x − 5)2 = 1; (5 − x)2 = 1

La differenza tra x e il quadrato di 5 è uguale a 1. x2 − 52 = 1; (x − 5)2 = 1; x − 52 = 1

Il doppio di y è uguale al quadrato di 5. 2y = 2 · 5; 2y = 5; 2y = 52

La media aritmetica di y e 8 è uguale al quadrato di y. y + 8 = y2; y + 8 _____ 2 = y

2 __

2 ; y + 8 _____

2 = y2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



76

Traduci le proposizioni in equazioni o viceversa.

Proposizione Equazione

Un terzo di x è uguale a 2. 1 __ 3 x = 2

Il successivo di x è uguale a 20.

Il doppio di x è uguale a 5.

Il doppio del successivo di x è uguale a 12.

Il successivo del doppio di x è uguale a 7.

La differenza tra x e 41 è uguale a 9.

3x = 1 __ 2

Il quadrato della somma di x e di −1 è uguale alla somma del quadrato di x e di 4.

1 __ 2 x = 7

(x + 1)2 = 16

13

14

15

16

17

18

19

20

21



x + 1 = 20

2x = 5

2(x + 1) = 12

2x + 1 = 7

x - 41 = 9

Il triplo di x è uguale a 1 __

2 .

(x - 1)2 = x2 + 4

La metà di x è uguale a 7.

Il quadrato della somma di x e 1 è uguale a 16.

77

Problemi risolubili con equazioni

Risolvi i problemi.

Trova quel numero che sommato alla sua metà e alla sua terza parte dà come risultato 33.

La somma di tre numeri interi consecutivi è 48. Trova i tre numeri.

Determina un numero sapendo che se dai suoi 3 __ 4 togli 14 ottieni i suoi 2 __

5 .

La somma di due numeri è 57 e uno è i 5 ___ 14

dell’altro. Trova i due numeri.

La differenza tra due numeri è 32 e uno è la quinta parte dell’altro. Trova i due numeri.

I 2 __ 5 dei 3 __

4 di un numero è uguale a 12. Qual è il numero?

1

2

3

4

5

6



[18]

[15; 16; 17]

[40]

[15; 42]

[40; 8]

[40]

78

Risolvi i problemi.

I 3 __ 8 dei partecipanti di un viaggio organizzato da un’agenzia sono francesi, i 2 __

5 sono inglesi, i rimanenti italiani.

Quale parte di tutti i partecipanti rappresentano gli italiani?

In due giorni ho letto prima i 5 ___ 12

di un libro di narrativa e poi la metà delle pagine che restavano da leggere. Se

il libro è costituito da 240 pagine quante ne dovrò ancora leggere?

Piero e Giorgio partono per una breve vacanza. Decidono che Piero pagherà per il cibo e Giorgio per l’alloggio. Questo è il riepilogo delle spese che ciascuno di loro ha sostenuto:

Giorgio Piero

Lunedì 27 euro 35 euroMartedì 30 euro 30 euro

Mercoledì 49 euro 21 euro

Al ritorno fanno i conti per dividere in parti uguali le spese.a) Quanti euro deve dare Piero a Giorgio per far sì che entrambi abbiano speso la stessa somma di denaro? Risposta: .............................. eurob) Scrivi i calcoli che hai fatto per trovare la risposta. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................

7

8

9



Totale pagato da Giorgio e da Piero: € (27 + 30 + 49 + 35 + 30 + 21) = € 192

Si divide per 2 per ottenere 2 quote uguali: € (192 : 2) = € 96

Totale pagato da Piero: € (35 + 30 + 21) = € 86 Si fa la differenza: € (96 - 86) = € 10

[70]

c 9 ___ 40

d

10

79

AlgebraIndividua l’affermazione o la risposta corretta.

1 Se a = 3 e b = -2, allora

5ab - a 5 __ a + 1 __

3 bb è uguale a:

A -29 C 29B -31 D 31

2 L’espressione che indica la somma del cubo di x con il triplo di y è:

A 3x + y3 C x3 + 3yB 3x + 3y D x3 + y3

3 L’espressione che indica la differenza tra il quadrato di a e il quadrato di b è:

A a2 - b2 C (a - b)2

B b2 - a2 D (b - a)2

4 Come si traduce in simboli il problema “Sottraendo 2 al triplo di un numero a si ottiene 13”?A 3a = 13 - 2B 2 - 3a = 13C 3(a - 2) = 13D 3a - 2 = 13

5 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x ha per soluzione x = 8?A x + 2 = 6B x - 2 = 10C x + 2 = 10D 2 - x = 10

6 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x ha per soluzione x = 8?A 2x = 4B 2x = 16C 4x = 2D 8x = 1

7 La soluzione dell’equazione

3 __ 4 x - 12 = 0 è:

A 16 C 9B -16 D 12

8 Il numero che sommato alla sua metà dà come risultato 78 è:A 39 C 52B 26 D 156

9 Che cosa si può affermare dell’equazione 3x = 0?A È impossibileB È indeterminataC Ha soluzione x = 0D Ha soluzione x = -3

10 Quale frase è la traduzione

dell’espressione 1 __ a + 1 __

b ?

A La somma dei reciproci di a e b

B La somma degli opposti di a e b

C Il reciproco della somma di a e b

D L’opposto della somma di a e b

11 Quale frase è la traduzione dell’espressione 3a3(a3 + b3)?

A Il prodotto tra il cubo del triplo di a e la somma dei cubi di a e b

B Il triplo del prodotto tra il cubo di a e il cubo della somma di a con b

C Il prodotto tra il cubo del triplo di a e il cubo della somma di a con b

D Il triplo del prodotto tra il cubo di a e la somma dei cubi di a e b

Vero o falso?12 Le espressioni a3 e -a3 assumono lo stesso valore per a = -1. V F

13 Le espressioni (-a)3 e -a3 assumono lo stesso valore per a = -1. V F

14 Le espressioni a2 e -a2 assumono lo stesso valore per a = -1. V F

15 Le espressioni a2 e (-a)2 assumono lo stesso valore per a = -1. V F

16 Le espressioni -a2 e (-a)2 assumono lo stesso valore per a = -1. V F

A utovalutazione



80

Piano cartesiano

Indica, come nell’esempio, a quale quadrante appartengono i punti di coordinate date.

A (−3; 5) 2° quadrante B (−1; −2) ..................................... C a- 1 __ 3 ; 7 __

3 b ..................................... D (2; 5) ..............................................

E a3; − 2 __ 3 b ...................................... F a 11 ___

2 ; 7 __

2 b ......................................... G a- 5 __

2 ; - 3 __

4 b ............................... H a 1 __

3 ; - 7 __

3 b .....................................

Indica, come nell’esempio, a quale semiasse appartengono i punti di coordinate date.

A (−1; 0) semiasse negativo delle ascisse

K a0; − 2 __ 3 b ......................................

......................................................................

G (3; 0) ..............................................

......................................................................

P a0; 3 __ 2 b ............................................

......................................................................

M a0; 7 __ 4 b ...........................................

......................................................................

Z a- 11 ___ 2 ; 0b ....................................

......................................................................

L (0; −9) ..........................................

......................................................................

T (7; 0) ................................................

......................................................................

Disegna sul piano cartesiano dato: 3 punti appartenenti al terzo quadrante, 3 punti apparte-nenti al secondo quadrante, 3 punti appartenenti al semiasse positivo delle ascisse, 3 punti appartenenti al semiasse negativo delle ordinate e, per ciascun punto, scrivi le coordinate.

y

4

3

2

1

0−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 3 4 5 6 71 2

−1

−2

−3

−4

x

Rispondi alle domande.a) Quali sono le caratteristiche di tutti i punti del 1° quadrante? ..............................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

b) Quali sono le caratteristiche di tutti i punti del 4° quadrante? .............................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

c) Quali sono le caratteristiche di tutti i punti del semiasse negativo delle ascisse? ............................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

d) Quali sono le caratteristiche di tutti i punti del semiasse positivo delle ordinate? ..........................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1

2

3

4



3° quad.

1° quad.

negativo positivopositivo

positivopositivo negativo negativo

ordinate ordinateascisse

ascisseordinate ascisse ordinate

4° quad.

2° quad.

3° quad.

1° quad.

4° quad.

Hanno entrambe le coordinate positive.

Hanno ascissa positiva e ordinata negativa.

Hanno ordinata uguale a zero e ascissa negativa.

Hanno ascissa uguale a zero e ordinata positiva.

81

Rappresenta sul piano cartesiano i punti indicati.A (2; −3)

B (−4; −2)

C (−4; 2)

D (5; −1)

E (2; 5)

F (−7; −2)

G (−1; 3)

H (−5; −3)

I (6; 4)

Individua le coordinate dei punti disegnati sul piano cartesiano.

y

4

3

6

5

2

1

0−3 −2 −1 3 4 5 6 71 2 9 10 11 12 138

−1

−2

−3

−4

x

A

C

D

E

F

G

J

H

O

P

Q

I

M

N

K

R

L

B

A(...........; ...........) B(...........; ...........) C(...........; ...........) D(...........; ...........) E(...........; ...........) F(...........; ...........) G(...........; ...........) H(...........; ...........) I(...........; ........... ) J(...........; ...........) K(...........; ...........) L(...........; ...........) M(...........; ...........) N(...........; ...........) O(...........; ...........) P(...........; ...........) Q(...........; ...........) R(...........; ...........)

5 y

4

5

3

2

1

0−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 3 4 5 6 71 2

−1

−2

−3

−4

−5

x

6



E

G

C

I

D

A

B

H

F

10 00 -3

8 26 6

5 3

-2 -4

2 -2

6 -3

0 4

13 5

-2 5 -2 2

3 -1-3 0 4 1

-1 3

2 4

9 -1

82

Rappresenta sul piano cartesiano i punti indicati.

A a 1 __ 3 ; 5 __

3 b B a-2; 2 __

3 b C a- 4 __

3 ; - 4 __

3 b D a 7 __

3 ; -1b E a 10 ___

3 ; 4 __

3 b F a- 8 __

3 ; - 2 __

3 b G a1; - 5 __

3 b H a- 1 __

3 ; 4 __

3 b

y

x−1−2−3 1 2 30

−1

1

2

−2


A a 3 __ 2 ; 5 __

2 b B a-2; 3 __

2 b C (-3; -2) D a 3 __

2 ; - 1 __

2 b E a 5 __

2 ; 1b F a- 3 __

2 ; 5 __

2 b G a 7 __

2 ; - 3 __

2 b H a- 5 __

2 ; -1b

y

x−1−2−3 1 2 30

−1

1

2

−2

7

8



F

G

C

C

H

D

B

B

G

H

E

F

A

A

D

E

83


A a 1 __ 3 ; 1 __

2 b B a 2 __

3 ; - 1 __

6 b C a- 5 __

6 ; - 1 __

2 b D a- 1 __

3 ; 5 __

6 b E a- 1 __

6 ; - 2 __

3 b F a 5 __

3 ; 2 __

3 b G a- 4 __

3 ; 1 __

3 b H a- 3 __

2 ; - 5 __

6 b

y

x−1−2 1 20

1

−1

Individua le coordinate dei punti disegnati sul piano cartesiano.

y

x1 20

1

A

C

I

H

N

J

L

D

E

F

G

M

K

B

A a............; ............b B a............; ............b C a............; ............b D a............; ............b E a............; ............b F a............; ............b G a............; ............b

H a............; ............b I a............; ............b J a............; ............b K a............; ............b L a............; ............b M a............; ............b N a............; ............b

9

10



F

C

H

B

G

E

A

D

- 1 __ 2 - 1 __

2

1 __

2

1 __

2

5 __

6 - 1 __

6

- 1 __ 6 - 1 __

6 - 1 __

6

1 __

6 0- 1 __

3

- 1 __ 3 - 1 __

3

1 __ 3

1 __ 3

0 2 __

3 1

4 __

3

4 __

3 1 1

10 - 2 __ 3

2 __

3

1 __

6

84

Un po’ di probabilità

Data una prova a esito incerto, i casi possibili sono tutti gli esiti che possono verificarsi.La probabilità p che si verifichi un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento e il numero dei casi possibili, a condizione che questi siano tutti ugualmente possibili:

p = numero di casi favorevoli

___________________________ numero di tutti i casi possibili

Un evento impossibile (che non può verificarsi) ha probabilità zero: p = 0Un evento certo (che si verifica sempre) ha probabilità uno: p = 1Un evento incerto (legato al caso, quindi casuale o aleatorio) ha probabilità compresa tra zero e uno:

0 < p < 1

FOCUS ON

Completa la tabella, come nell’esempio.

Prova Evento Casi possibiliNumero dei casi possibili

Casi favorevoli

Numero dei casi

favorevoli

Probabilità dell’evento p

Lancio di una moneta Esce testa testa, croce 2 testa 1 p = 1 __

2

Lancio di un dado a sei facce

Esce un numero dispari

Lancio di un dado a sei facce

Esce un numero minore di sette

Estrazione da un sacchetto contenente tutte le lettere dell’alfabeto

Esce una vocale

Estrazione da un sacchetto contenente i numeri della tombola

Esce il numero 100

Estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte

Esce un asso

Indica se ciascuna affermazione è vera o falsa.

a) Se la probabilità di un evento è uguale a 1 allora l’evento è certo. V F

b) Se la probabilità di un evento è uguale a 0 allora l’evento è impossibile. V F

c) Il numero dei casi favorevoli è sempre maggiore del numero dei casi possibili. V F

d) Nel lancio di un dado a sei facce l’evento “Esce un numero pari” ha probabilità 0,5. V F

e) Nell’estrazione di un numero dal sacchetto del gioco della tombola la probabilità di estrarre un numero pari è uguale alla probabilità di estrarre un numero dispari. V F

1

2

3

4

5

6



1-3-5-2-4-6

1-2-3-4-5-6

tutte le lettere dell’alfabeto

numeri da 1 a 90

10 carte per ogni seme

6

6

26

90

40

1-3-5

1-2-3-4-5-6

a-e-i-o-u

nessuno

asso cuoriasso fiori

asso quadriasso picche

3

6

5

0

4

p = 3 __

6 =

1 __

2

p = 6 __

6 = 1

p = 5 ___

26

p = 0 ___

90 = 0

p = 4 ___

40 =

1 ___

10

85

Individua l’affermazione corretta.Da un mazzo di 52 carte viene estratta una carta. La probabilità che sia una figura rossa è:A 1 ___

52 B 6 ___

52 C 13 ___

52 D 26 ___

52

Da un’urna contenente un gettone nero e tre bianchi, la probabilità di estrarre un gettone nero è: A 0,25 B 0,75 C 1 D 4

Risolvi i seguenti esercizi.

Il contenitore A contiene 18 palline rosse, 20 nere e 12 bianche, mentre il contenitore B contiene 3 palline rosse, 4 nere e 3 bianche. Volendo estrarre una pallina nera, quale contenitore sceglieresti per avere la probabilità maggiore? Perché?

12 B

20 N

18 R

A

3 B

4 N

3 R

B

In una pizzeria il conto viene pagato da chi pesca la carta più bassa da un mazzo di 40 carte. Gianni ha pescato un cinque, poi ha rimesso la carta nel mazzo. Calcola la probabilità che il suo amico Luca ha di non pagare il conto.

Completa le istruzioni per calcolare la probabilità dell’evento: “Nel lancio di due monete esce testa una volta sola”.• Individua le combinazioni possibili.

Esito prima moneta Esito seconda moneta

• Scrivi il numero delle combinazioni possibili: .....................................................................................................................................................................

• Scrivi il numero delle combinazioni favorevoli all’evento: ...................................................................................................................................

• Calcola la probabilità dell’evento: ....................................................................................................................................................................................................

7

8

9

10

11



testa

croce

testa

croce

testa

croce

croce

testa

[È indifferente]

4

2

1/2

c 1 __ 2 d

86

Laura, Maria e Anna discutono su quale sia la probabilità che una famiglia con due figli abbia due maschi.

Laura afferma che è 1 __ 3 , perché ci sono solo tre casi possibili: due maschi, due femmine, un maschio e una

femmina; Maria invece sostiene che sia 1 __ 4 , ma non sa spiegare il motivo; Anna dice che non si può calcolare

in quanto è un evento incerto. Chi delle tre amiche ha ragione? Motiva la tua risposta.

In riferimento alla figura, qual è la probabilità che un punto scelto a caso nel quadrato sia interno al triangolo isoscele?

A 1 __ 4 B 1 __

3 C 1 __

2 D Non si può calcolare

Spiega il tuo ragionamento.

Si lanciano due dadi a sei facce.• I casi delle possibili coppie sono:

A 2 B 6 C 12 D 36

• Scrivi tutti i casi favorevoli all’evento “La somma dei punti vale 7”.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

• Calcola la probabilità dell’evento “La somma dei punti vale 7”. .....................................................................................................................

• È maggiore la probabilità dell’evento “La somma dei punti vale 7” o quella dell’evento “La somma dei punti vale 8”? Spiega il tuo ragionamento, calcolando la probabilità che la somma valga 8.

12

13

14



Il triangolo isoscele ha una superficie che è pari alla metà di quella del quadrato.

Maria, in quanto i casi possibili sono 4: maschio-maschio; femmina-femmina; femmina-maschio; maschio-femmina.

(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)

La probabilità che la somma sia 8 è 5/36, quindi è maggiore la probabilità che la somma sia 7.

87

Leggere grafici, rappresentare dati

Il grafico 1 riporta le percentuali dei ragazzi che durante il mese di luglio 2014 sono rispetti-vamente rimasti a casa, andati al mare o in montagna, su un campione intervistato.

Grafico 1

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

Casa Mare Montagna

Sapendo che i ragazzi che sono andati in montagna sono 70, completa.

a) Coloro che sono andati al mare sono: ..............................................................................................................................................................................................

b) Coloro che sono rimasti a casa sono: ...............................................................................................................................................................................................

c) Il campione dei ragazzi intervistati è costituito da: ............................................................................................................................................................

Il grafico 2 rappresenta le iscrizioni per l’a.s. 2014/2015 di un paese, sapendo che gli iscritti agli Istituti tecnici sono 180, indica se le affermazioni sono vere o false.

Grafico 2

Istituti professionali iscritti ...............

Istituti tecniciiscritti 180

Liceiiscritti ...............

a) Il totale degli intervistati è maggiore di 700. V F

b) Il numero di iscritti ai Licei è uguale al numero degli iscritti alle scuole professionali. V F

c) Non si può sapere il numero degli iscritti ai Licei. V F

1

2



180

50

80

200

360

88

A un campione di adolescenti è stato chiesto: “È pericoloso drogarsi?”. Il grafico 3 riporta la distribuzione delle risposte.

Grafico 3

non so

dipendedal tipodi droga

sì

a) Da quanti ragazzi è costituito il campione?A Meno di 100 B 100 C Più di 100 D Non si può stabilire

b) La percentuale di quelli che hanno risposto “Non so” è approssimativamente:A 15% B 25% C 50% D 80%

Completa la tabella che riporta il numero di iscritti di una scuola secondaria di II grado suddi-visi per classi.

Classi Allievi Maschi Femmine Percentuale maschi

Percentuale femmine

prime 200 40 .............................................. .............................................. ..............................................

seconde 400 .............................................. .............................................. 40% ..............................................

terze .............................................. .............................................. 210 .............................................. 30%

Rappresenta con un diagramma a tua scelta le percentuali dei maschi e delle femmine delle classi terze.

maschi

femmine

3

4



160

700

160

240

490

20% 80%

60%

70%

89

Leggere grafici (dalla prova nazionale Invalsi scuola sec. I grado a.s. 2013-2014)

Nella pizzeria “Da Marco” la pizza margherita costa 5 euro. Il mercoledì però, per chi compra più pizze, c’è un’offerta speciale. Il seguente grafico rappresenta come varia, il mercoledì, la spesa complessiva, in euro, al variare del numero delle pizze margherita acquistate.

Offerta pizza margherita del mercoledì

20

15

10

5

35

30

25

0 3 4 5 6 7 8 9 101 2

numero di pizze

spes

a in

euro

a) Facendo riferimento al grafico completa la seguente tabella.

Numero di pizze Spesa in euro

1 5

2 10

3 ..............................

.............................. 15

5 ..............................

6 ..............................

b) Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.

• Il mercoledì, il risparmio rispetto agli altri giorni, in percentuale, è sempre lo stesso • qualunque sia il numero di pizze acquistate. V F

• Il mercoledì una pizza su tre è gratis. V F

• Il mercoledì, se si comprano 4 pizze, il risparmio rispetto agli altri giorni è del 25%. V F

1



10

4

20

20

90

Leggere grafici (dalla prova nazionale Invalsi scuola sec. I grado a.s. 2015-2016)Questi sono gli orari di arrivo alla stessa fermata di tre linee di autobus.

Linea A Linea B Linea C

13:07 13:10 13:0513:22 13:30 13:3513:37 13:5013:52

a) Giovanni, per tornare a casa, può prendere solo l’autobus della linea C. Quando arriva alla fermata, vede partire l’autobus delle 13:05. Quanti altri autobus vede passare Giovanni prima che arrivi il successivo auto-bus della linea C?

A 1 B 2 C 3 D 4b) Filippo arriva alla stessa fermata alle 13:15. Per andare a casa può prendere la linea A, e impiega 35 minuti,

oppure la linea C, e impiega 15 minuti. Filippo prende l’autobus della linea che gli permette di arrivare a casa prima.

Completa la frase. Filippo prende l’autobus della linea ..................... e arriva a casa alle ore .....................

In un negozio di elettrodomestici è possibile acquistare quattro tipi di Music-Card che permettono di scaricare musica da internet.

Prezzo

Music-Card da 60 canzoni 3 euroMusic-Card da 100 canzoni 5 euroMusic-Card da 250 canzoni 10 euroMusic-Card da 600 canzoni 20 euro

a) Se si acquista la Music-Card da 3 euro qual è il costo di ogni singola canzone? Risposta: .....................

b) Se si acquista la Music-Card da 10 euro invece di quella da 5 euro, qual è la differenza di costo per ogni sin-gola canzone?

A 0,01 euro B 0,10 euro C 0,50 euro D 0,05 euro

Scrivi i calcoli che hai fatto per rispondere ai punti a) e b).

1

2



a) € 3 : 60 = € 0,05b) € 5 : 100 = € 0,05

€ 10 : 250 = € 0,04 € (0,05 - 0,04) = € 0,01

C 13:50

5 cent

91

Il seguente grafico rappresenta alcune caratteristiche fisiche dei tre laghi.

LagoMaggiore

Lagodi Lugano

Lagodi Como

197 m

271 m

193 m

prof

. 425

mprof

. 288

m

Mare−17 m

−228 m−179 m

+200

+100

0

−100

−200

−300

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a) La linea dello zero rappresenta il livello del mare. V F

b) La profondità del Lago Maggiore è 372 m. V F

c) La differenza di altitudine tra la superficie del lago di Lugano e quella del lago di Como è di 74 m. V F

d) Il punto più profondo del Lago di Como è 228 m al di sotto del punto più profondo del Lago di Lugano. V F

e) La superficie del Lago di Como è a 425 m sopra il livello del mare. V F

Scrivi le motivazioni del perché hai scelto ciascuna risposta.

a) ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

b) ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

c) ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

d) ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

e) ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

3



92

Un po’ di nomenclatura

Ente geometrico Si rappresenta Si indica Si legge

puntocon una lettera maiu-scola in stampatello

Apunto A

rettar

con una lettera minu-scola

r retta r

segmento

aA

B

con i nomi degli estre-mi oppure con una let-tera minuscola

aA

B

segmento AB oppure segmento a

semiretta

AO

con i nomi dell’origine e di un suo punto qual-siasi

AO

semiretta OA

angolo (convesso)A B

V

αangolo AVB oppure α oppure V

triangolo

A

C

B

con i nomi dei tre vertici

A

C

Btriangolo A

△BC

quadrilatero

A B

C

D

con i nomi dei quattro vertici

A B

C

D quadrilatero ABCD

circonferenzar

O

con il nome del centro e del raggio

rO

circonferenza di centro O e raggio r

FOCUS ON

con i nomi di un punto qualsiasi per ogni lato e del vertice o con una lettera greca minuscola o con il nome del vertice

A B

V

α



93

Punti e rette nel piano

Completa ciascuna frase e rappresentala con un disegno.

Frase Disegno

Per un punto A, del piano, passano ................................. rette.

Per due punti distinti A e B, del piano, passa ................................................. rett......

Se due rette r, s del piano non hanno punti in comune sono ..................................................................................................

Se due rette r, s del piano hanno un solo punto in comune sono ..................................................................................................

Se due rette r, s del piano hanno ..................................................... punti in comune sono ..................................................................................

1

2

3

4

5



infinite

una e una sola

parallele

incidenti

coincidenti

infiniti

a

A

B

r = s

r

s

r

s

A

94

Angoli


Disegni di angoli Ampiezze di angoli espresse in gradi

Per ciascun angolo della prima colonna, trova l’ampiezza (approssimativa) tra quelle scritte nella seconda colonna.

Collega poi con una freccia ciascun angolo con il termine opportuno indicato a fianco

δ

α

β

γ

εφ

27°68°119°270° 90° 328°

α = acuto

β =γ =

rettoδ =ε =

ottusoφ =

1

Ampiezza dell’angolo

in gradi

Disegna l’angolo avente approssimativamente l’ampiezza indicata

125°

30°

90°

2 Ampiezza dell’angolo

in gradi

Disegna l’angolo avente approssimativamente l’ampiezza indicata

180°

360°

75°

3

Disegna un angolo di cui viene data la definizione.

Definizione Disegno

Un angolo α è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Un angolo α è concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.

4



270° ottuso

68° acuto

119° ottuso

27° acuto

90° retto

328° ottuso

α

α

95

Angoli consecutivi, adiacenti, complementari e supplementari

Completa le frasi e i disegni, in modo che le frasi e i disegni si corrispondano.

Frasi Disegno

Due angoli α, β sono consecutivi se hanno il vertice A e un lato in comune, ma nessun altro punto in comune. α

A

Due angoli α, β sono adiacenti se sono consecutivi e ................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

α

Due angoli α, β sono complementari se la loro somma è ................................................................................................................................................ α

Due angoli α, β sono supplementari se la loro somma è ................................................................................................................................................

β

α

1

2

3

4



hanno un lato comune, e i lati non comuni

appartengono a una stessa retta

90° (angolo retto)

180° (angolo piatto)

β

β

β

96


Angolo α

Complementare dell’angolo α

Supplementare dell’angolo α

32°

45°

60°

85°

5 Angolo α

Complementare dell’angolo α

Supplementare dell’angolo α

60°

100°

165°

6°

6

Facendo riferimento alla figura, indica se le affermazioni sono vere o false.

a) Gli angoli α e β sono complementari. V F

b) Gli angoli α e γ sono congruenti. V F

c) Gli angoli β e δ sono opposti al vertice. V F

d) Gli angoli γ e δ sono adiacenti. V F

e) Gli angoli α e δ sono ottusi. V F

Risolvi il problema guidato.

Due angoli complementari α e β sono tali che β è il doppio di α. Qual è la misura di ciascun angolo?

Risoluzioneα e β sono complementari dunque α + β = ..............................

β è il doppio di α dunque β = ..... α

Puoi dedurre che α + β = ..... α

Pertanto α = .............................. β = .............................. − .............................. = ..............................

Disegna gli angoli richiesti.

Due angoli consecutivi congruenti Due angoli adiacenti congruenti Due angoli opposti al vertice retti

7

α

γβδ

8

9



58° 30°

45° 80° 10°

30° 15° 75°

5° 84°

148° 150°

135°

120°

95°

90°

2

3

90° 30°30° 60°

96°

βα

α β

α

β

97

Classifichiamo i triangoli


Nome della figura geometrica Disegno Definizione e proprietà

triangoloPoligono di tre lati e tre angoli.Ciascun lato è minore della somma degli altri due lati.Ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due.La somma degli angoli interni è 180°.

triangolo scaleno

A

CB

triangolo isoscele

Ha due lati congruenti.L’altezza relativa alla base coincide con la mediana e con ...................................................................................................................................

Ha ..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

triangolo equilatero

triangolo acutangolo

triangolo ottusangolo

triangolo rettangolo

triangolo equiangolo

triangolo rettangolo isoscele

1

2

3

4

5

6

7

8

9



Ha tre lati e tre angoli tutti diversi tra loro.È un triangolo (valgono le caratteristiche del punto 1).

Ha tutti i lati e gli angoli uguali.Le altezze coincidono con gli assi, le mediane e le bisettrici.

Ha tutti gli angoli acuti.

Ha tutti gli angoli congruenti.

Ha un angolo ottuso.

Ha un angolo retto.

Ha due lati congruenti (isoscele).Ha un angolo retto, mentre gli altri due angoli sono congruenti.

l’asse

due angoli, adiacenti alla base,

congruenti

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

98

Per ciascun triangolo, scrivi di che tipo si tratta sia rispetto ai lati sia rispetto agli angoli.

triangolo isoscele e ..........................................................................................

10

11

12

13

14

15

16



triangolo scaleno e rettangolo

triangolo scaleno e ottusangolo

triangolo equilatero e acutangolo

triangolo isoscele e ottusangolo

triangolo isoscele e acutangolo

triangolo scaleno e ottusangolo

ottusangolo

99

Nei triangoli disegnati, costruisci le altezze (segmento sulla retta perpendicolare al lato pas-sante per il vertice opposto) relative a ciascun lato.Individua, poi, l’ortocentro (punto di intersezione delle altezze o dei loro prolungamenti).Infine, classifica i triangoli in base agli angoli e completa.

L’ortocentro è interno. Il triangolo è acutangolo.

L’ortocentro è ............................................................................................. Il triangolo è .............................................................................................







17

18

19

20



ottusangolo

ottusangoloacutangolo

acutangolo

rettangolo

rettangolo

coincidente con un vertice

coincidente con un vertice interno

acutangolo

esterno

esterno

interno

interno

100

Disegna, se possibile, in ogni riquadro ciò che viene richiesto.

Un triangolo che sia isoscele e rettangolo.

Un triangolo che sia ottusangolo e scaleno.

Un triangolo che sia scaleno e acutangolo.

21

22

23

Un triangolo che sia equilatero e rettangolo.

Un triangolo che sia equilatero e ottusangolo.

Un triangolo che sia equilatero e acutangolo.

24

25

26

Risolvi i problemi, facendo anche disegni approssimativi.

In un triangolo due angoli sono di 27° e 48°. Trova il terzo.

Scrivi l’ampiezza degli angoli di un triangolo rettangolo isoscele.

Scrivi l’ampiezza degli angoli di un triangolo rettangolo avente un angolo di 30°.

27

28

29



Non è possibile

Non è possibile

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

[105°]

[90°; 45°; 45°]

[90°; 30°; 60°]

101

Classifichiamo i quadrilateri


Nome della figura geometrica Disegno Caratteristiche

quadrilatero

Ha quattro lati. Ha quattro angoli.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

trapezio

parallelogrammaA B

CD

rombo

rettangolo

quadrato

1

2

3

4

5

6



Ha quattro vertici.

I lati AB e DC (basi) sono paralleli.I lati DA e CB sono detti lati obliqui.Può essere scaleno (tutti i lati diversi), isoscele (i lati obliqui sono uguali, rettangolo (se ha due angoli retti).

I lati AB e DC sono paralleli e uguali.I lati AD e BC sono paralleli e uguali.Gli angoli opposti sono uguali.Le diagonali si tagliano a metà.

Tutti i lati sono uguali e paralleli a due a due.Gli angoli opposti sono uguali.Le diagonali sono diverse e si tagliano in metà.

Gli angoli sono uguali e retti.I lati opposti sono uguali e paralleli.Le diagonali sono uguali e si tagliano in metà.

Tutti i lati sono uguali e paralleli a due a due.Gli angoli sono uguali e retti.Le diagonali sono uguali, perpendicolari e si tagliano in metà.

Ha due diagonali.

La somma degli angoli interni è 360°.A

B

CD

A B

CD

A

B

C

D

A B

CD

A B

CD

102

Scrivi il nome di ciascun quadrilatero disegnato.

.............................................................................................. .............................................................................................. ..............................................................................................

.............................................................................................. .............................................................................................. ..............................................................................................

.............................................................................................. .............................................................................................. ..............................................................................................

Quali fra le seguenti figure possono essere scomposte in quattro triangoli fra loro congruenti?

52 431

A Solo 1 e 2

B Solo 2 e 4

C Solo 1 e 3

D Solo 1 e 5

7

8



quadrato

trapezio

rettangolo

rettangolo

trapezio

trapezio

trapezio

parallelogramma

parallelogramma

103

Triangoli e quadrilateri

Completa, disegnando in ogni riquadro ciò che viene richiesto.

Un triangolo che abbia un angolo di 30° e uno di 60°.

Un triangolo che abbia due angoli di 45° ciascuno.

Un triangolo che abbia un angolo ottuso e due lati congruenti tra loro.

Un triangolo che abbia tutti gli angoli congruenti tra loro.

1

2

3

4

Un trapezio che abbia un solo angolo di 45°.

Un trapezio che abbia due angoli di 45°.

Un rombo che abbia due angoli di 30° ciascuno.

Un quadrilatero che abbia solo due angoli di 90°.

5

6

7

8



A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

CD

A B

CD

A

B

C

D

A B

D C

104

Perimetri e aree


Figura geometrica

Introduci nel disegno le indicazioni opportune

Formula per calcolare il perimetro

Formula per calcolare l’area

triangolo

AC

B

H b

c ah a + b + c b · h ____ 2

triangolo rettangolo

parallelogramma

quadratol

rettangolo

rombo

trapezio

1

2

3

4

5

6



a + b + c a · c

____ 2

2b + 2l b · h

2b + 2h b · h

B + b + a + l (B + b) · h

__________ 2

4l l2

4l d · D

_____ 2

105

Misura di segmenti, perimetri, aree

Associa a ciascun segmento della prima colonna una misura di lunghezza tra quelle della seconda colonna.

Segmenti Misure di lunghezza Associa a ciascun segmento la sua misura

E

FA

BH

I

CD

1 cm

2 cm

3 cm

4 cm

___ AB =

___ CD =

___ EF =

__ HI =

Esegui le misurazioni opportune e sottolinea, tra le misure indicate sotto ciascuna figura, quella che rappresenta la misura del perimetro.

1

12 m 12 cm2 12 cm 12 cm3 1200 mm

110 mm 8 km 11 m 11 mm 25 cm

2

3

6 cm 100 cm 12 m 12 cm 12 mm

14 cm 14 m 14 cm2 14 mm

4

5



1 cm

4 cm

3 cm

2 cm

106

Rispondi ai quesiti e giustifica le risposte scelte.Osserva la figura.

AE B F

G

D

C

Quale, tra le seguenti coppie di segmenti, rappresenta due delle altezze del triangolo ABC?A CE e CF B BD e BG C CE e BG D CF e BD

(Da prove di valutazione Invalsi classe prima scuola sec. I grado a.s. 2012-2013)

In figura è rappresentato il quadrilatero EFGH i cui vertici sono sui lati del rettangolo ABCD. Le dimensioni del rettangolo sono 4 m e 6 m.

H

G CD

E BA

F

Quanto misura l’area del quadrilatero EFGH?A 11 m2 B 11,5 m2 C 12 m2 D 12,5 m2

(Da prove di valutazione Invalsi classe prima scuola sec. I grado a.s. 2011-2012)

6

7

Motiva la tua scelta.




107

Disegna le figure richieste.

Un triangolo con il perimetro di 12 cm.

Un quadrato con il perimetro di 6 cm.

8

9

Un rombo con il perimetro di 40 mm.

Un rettangolo con il perimetro di 8 cm.

10

11


Proposizioni con dati numerici inverosimili Spiega perché i dati numerici non sono verosimili e scrivi un valore opportuno

Il campo da calcio ha perimetro 3 km.

Il tavolo della cucina ha perimetro 12 mm.

La mia biro nuova è lunga 2 m.

La nostra aula ha perimetro 30 cm.

12

13

14

15



A

B

C

D

A B

CD

Troppo grande. È circa 0,3 km.

Troppo piccolo. Un tavolo della cucina ha in genere un perimetro di 5 m circa.

Troppo grande. È lunga circa 13-15 cm.

Troppo piccola. È circa 15 m.

10 mm

1,5 cm

108

Disegna un triangolo, un quadrato, un rettangolo, un rombo ciascuno con perimetro di 12 cm e calcola l’area di ciascuna figura effettuando le opportune misurazioni.

Esegui le misurazioni opportune e sottolinea tra le misure indicate sotto ciascuna figura, quel-la che rappresenta la misura dell’area.

16

12 cm 20 m2 8 cm2 8 cm

9,3 cm 5 cm2 5 m2 5 mm2

17

18

625 mm2 62,5 mm2 6,25 m2 6,25 mm2

8 cm2 4 cm2 40 cm2 4 m2

19

20



109

Disegna le figure richieste.

Un quadrato con area di 9 cm2.

Un quadrato con area di 400 mm2.

21

22

Un rettangolo con area di 3 cm2.

Un rettangolo con area di 400 mm2.

23

24


Proposizioni con dati numerici inverosimili Spiega perché i dati numerici non sono verosimili e scrivi un valore opportuno

Il tavolo della tua cucina ha un’area di 100 m2.

Quel francobollo ha l’area di 2 m2.

Il campo sportivo della mia città ha un’area di 100 000 km2.

La lavagna della classe ha un’area di 10 cm2.

25

26

27

28



A B

CD

A B

CD

Troppo grande. È circa 2,5 m2.

Troppo grande. È circa 4 cm2.

Troppo grande.

Troppo piccola. È dell’ordine dei m2.

3 cm

20 mm

110

Risolvi i problemi.

Determina il perimetro e l’area della seguente figura, eseguendo le misurazioni opportune.

Osserva la seguente figura formata da un quadrato al cui interno è disegnato un poligono di colore verde.

1 cm

Qual è l’area del poligono verde?Risposta: ............... cm2 (Da prova nazionale Invalsi sec. I grado a.s. 2014-2015)

In un quadrato ABCD di lato 10 cm è inscritto un quadrato LMNO. I segmenti DO, CN, BM e AL sono uguali fra loro e ciascuno di essi misura 2 cm.

Quanto misura l’area del quadrato LMNO?Risposta: ............... cm2

(Da prova nazionale Invalsi sec. I grado a.s. 2011-2012)

29

30

31

N

CD O

BA

L

M 2

2

2

2

DO = CN = BM = AL = 2cm



perimetro: 24 cmarea: 20 cm2

32

68

111

Leggi e risolvi le seguenti situazioni problematiche.

Una famiglia ha trasformato l’ambiente A, quadrato, nell’ambiente B come illustrato per ricavare dei ripostigli.

A B

Per il nuovo rivestimento delle pareti della stanza B, occorrono materiali in quantità maggiore o minore rispetto a quelli usati per rivestire la stanza A? ...................................................................................................................................................................................................

Spiega il tuo ragionamento: ...............................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

E per pavimentarla? Spiega il tuo ragionamento. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

A

C

B

In riferimento ai triangoli A, B, C individua l’affermazione corretta.A Solo A e B hanno la stessa area.B Solo B e C hanno la stessa area.C Solo A e C hanno la stessa area.D A, B, C hanno la stessa area.Spiega il tuo ragionamento: ...............................................................................................................................................................................................................................

A B C

In riferimento alle figure A, B, C individua l’affermazione errataA A e B hanno lo stesso perimetro.B A e C hanno lo stesso perimetro.C Solo A e B hanno lo stesso perimetro.D A, B, C hanno lo stesso perimetro.Spiega il tuo ragionamento: ...............................................................................................................................................................................................................................

32

33

34



Uguali

La lunghezza delle pareti dei ripostigli confinanti con la stanza B corrisponde

alla lunghezza delle parti di pareti eliminate dalla stanza A.

Meno. Sono state eliminate delle superfici dalla stanza A.

Tutti i triangoli hanno base e altezze uguali.

In tutte le figure non deve essere considerato un lato del quadrato più piccolo.

112

Determina area e perimetro di ciascuna delle seguenti figure.

1 cm

Figura Perimetro Area

a)

b)

c)

d)

e)

35

a)

d)

b)

e)

c)



20 cm 15 cm2

7 cm2

9,5 cm2

19,5 cm2

34 cm2

(12 + 2 √_ 2 ) cm

(2 + 2 √_ 5 + 5 √

_ 2 ) cm

(15 + 2 √_ 5 + 2 √

____ 1,25 ) cm

(18 + 2 √_ 5 ) cm

113

Determina area e perimetro di ciascuna delle seguenti figure.

1 cm

Figura Perimetro Area

a)

b)

c)

Rispondi ai quesiti e giustifica le risposte scelte.Osserva la figura. AC è il diametro di una circonferenza di centro O.

B

CAO

Nel triangolo AOB, l’angolo BAO è uguale all’angolo OBA. Immagina di muovere il punto B sulla circonferenza. Gli angoli BAO e OBA sono ancora uguali tra loro?Scegli la risposta e completa la frase. Sì, perché .............................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

No, perché ............................................................................................................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................


36

37

a) b) c)



(5 + 2 √____ 11,25 ) cm 5,5 cm2

11 cm2

33 cm2

24 cm

(20 + 4 √_ 5 ) cm

sono corrette tutte le risposte che fanno riferimento al fatto che AO e OB sono congruenti

in quanto raggi. Il triangolo AOB è isoscele e gli angoli alla base sono congruenti.

114

La figura riproduce un famoso disegno di Leonardo da Vinci in cui l’immagine di un uomo è inserita in un qua-drato e in un cerchio.

a) Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

1. La massima apertura AB delle braccia è uguale al diametro del cerchio. V F

2. L’altezza dell’uomo raffigurato è uguale al lato del quadrato. V F

3. La lunghezza CD è uguale alla lunghezza del raggio della circonferenza. V F

4. Nella figura, il quadrato è inscritto nel cerchio. V F

Il disegno di Leonardo da Vinci rappresenta le proporzioni ideali del corpo umano. Secondo questo modello la lunghezza delle varie parti del corpo è in relazione con l’altezza, per esempio:

• lunghezza testa = 1 __ 8 dell’altezza

• lunghezza mano = 1 ___ 10

dell’altezza

• lunghezza piede = 1 __ 7 dell’altezza

b) Lucia è alta 150 cm. Secondo il modello di Leonardo, quale dovrebbe essere la lunghezza della sua mano? Risposta: ............... cm

c) Sempre secondo il modello di Leonardo, quanto dovrebbe essere alta una persona che ha il piede lungo 24 cm? Risposta: ............... cm


38



15

168

115

Il quadrato ABCD, di lato 1, è stato scomposto come mostrato in figura.

A B

D C

Quale tra le seguenti espressioni corrisponde alla scomposizione del quadrato ABCD?

A Area ABCD = 1 __ 2 + 1 __

4 + 1 __

4 + 1 __

8

B Area ABCD = 1 __ 2 + 1 __

4 + 1 __

4 + 1 __

4

C Area ABCD = 1 __ 2 + 1 __

3 + 1 __

3 + 1 __

3

D Area ABCD = 1 __ 2 + 1 __

4 + 1 __

8 + 1 __

8


Qualche anno fa venne diffuso un comunicato sui danni che sembrava aver subito un quadro di van Gogh, in seguito all’esposizione a una luce intensa.Nella figura, a destra del quadro, è riportato l’ingrandimento che contiene la parte ritenuta danneggiata.

39

40



L’area della parte bianca si può stimare essere compresa tra:A 0,10 mm2 e 0,15 mm2

B 0,16 mm2 e 0,21 mm2

C 0,22 mm2 e 0,27 mm2

D 0,28 mm2 e 0,33 mm2


Area del rettangolo 0,35 mm2



116


Which figure has a greater area?

11,7 cm

A B

11,7 cm

15 cm

18 cm

Write as you solve

Figure ..............

What is the area of the shaded region?

13 m

9 m

10 m 14 m

Write as you solve

The rectangles below have the same perimeter.

10 mm

19 mm

a

b

A B

If b = 2a + 2, which figure has greater area?

Write as you solve

Figure ..............

1

2

3



A: 11,72 cm2 = 136,89 cm2

B: 15 · 18

______ 2 cm2 = 135 cm2

13 · 14

______ 2 cm2 = 91 cm2

9 · 10

_____ 2 m2 = 45 m2

area = (91 - 45) m2 = 46 m2

46 square metres

A

A

117


What is the area of the shaded region?

12 mm

6 mm 11 mm

17 mm

Write as you solve

............. square millimetresWhat is the area and the perimeter of this figure? Write your answers using decimals. Use 3.14 for p.

8 m 5 m

10 m

12 m

14 m

15 m

24 m

Write as you solve

A = ........................... square metresp = ........................... metres

4

5



(11 · 17) mm2 = 187 mm2

(12 · 6) mm2 = 72 mm2

(187 - 72) mm2 = 115 mm2

(10 · 27) m2 = 270 m2

(15 · 14) m2 = 210 m2

d = (27 - 13) m = 14 m

p · 72/2 m2 = 76,93 m2

A = (270 + 210 + 76,93) m2 = = 556,93 m2

14 · p/2 m = 21,98 m

p = (5 + 10 + 12 + 14 + 15 + + 24 + 8 + 21,98) m = = 109,98 m

115

556,93

109,98

118

Che cosa ricordi?

Completa.

I lati più corti di un triangolo rettangolo si chiamano ............................................................................................................................................................

Il teorema di Pitagora si applica ai triangoli .....................................................................................................................................................................................

Una terna pitagorica è ..............................................................................................................................................................................................................................................

Il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è .................................................................................................................................

alla .................................................................................... dei quadrati costruiti sui cateti.

La diagonale di un poligono è un ................................................................................................................................................................. che congiunge due .................................................................................... non consecutivi.

La somma degli angoli interni di un triangolo è ...........................................................................................................................................................................

Due rette sono parallele quando ....................................................................................................................................................................................................................

Due rette sono incidenti quando ....................................................................................................................................................................................................................

Due rette sono perpendicolari quando .....................................................................................................................................................................................................

Un angolo si dice concavo quando .............................................................................................................................................................................................................

Un angolo si dice ottuso quando ...................................................................................................................................................................................................................

Un angolo si dice acuto quando .....................................................................................................................................................................................................................

Due angoli sono complementari se ............................................................................................................................................................................................................

Un angolo si dice retto quando .......................................................................................................................................................................................................................

Due angoli sono supplementari se ...............................................................................................................................................................................................................

Due angoli sono opposti al vertice se ......................................................................................................................................................................................................

La somma degli angoli interni di un quadrilatero è ..................................................................................................................................................................

Un esagono è .....................................................................................................................................................................................................................................................................

Un triangolo si dice acutangolo quando ................................................................................................................................................................................................

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19



cateti

rettangoli

equivalente

una terna di numeri tali che a2 = b2 + c2

somma

segmento

vertici

180°

non hanno punti in comune

si incontrano in un punto

sono incidenti e formano 4 angoli retti

contiene i prolungamenti dei suoi lati

è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto

è minore di un angolo retto

la loro somma è un angolo retto

misura 90°

la loro somma è un angolo piatto

hanno il vertice in comune e i lati sono semirette opposte

360°

un poligono con sei lati

ha tutti gli angoli acuti

119

GeometriaIndividua la risposta corretta.

1 In un triangolo l’ampiezza di due degli angoli interni è 20° e 55°. Qual è l’ampiezza del terzo angolo?A 90°B 45°C 105°D Nessuna delle precendenti

2 Che cosa si può affermare per ogni triangolo ABC?A AB = AC + BCB AB < AC + BCC AB > AC + BCD AB < AC - BC

3 In un triangolo rettangolo ABC, se l’ipotenusa

___ BC = 10 cm e

il cateto ___ AC = 6 cm, qual è la

lunghezza del cateto AB?A 8 cmB 5 cmC 4 cmD Nessuna delle precendenti

4 Qual è il perimetro di un quadrato la cui area misura 400 mm2?A 100 mm C 200 mmB 40 mm D 80 mm

5 Se l’area di un rettangolo è 36 cm2 e la base è lunga 9 cm, qual è la lunghezza dell’altezza?A 4 cm C 8 cmB 6 cm D 2 cm

6 Qual è la lughezza del raggio di una circonferenza lunga 12p cm?A 3 cm C 6 cmB 2 cm D 12 cm

7 Come si calcola la misura b della base di un triangolo conoscendo la misura A dell’area e la misura h dell’altezza?A b = A __

h C b = A ___

2h

B b = 2A ___ h D b = 2h ___

A

8 In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 20 cm e la proiezione di un cateto su di essa è 16,2 cm. Quanto misura quel cateto?A 3,8 cm B 9 cmC 11,7 cmD 18 cm

9 Qual è l’area di un trapezio in cui le basi sono lunghe 8 cm e 12 cm e l’altezza è lunga 6 cm?

A 120 cm2

B 60 cm2

C 240 cm2

D 48 cm2

Vero o falso?10 Per due punti distinti passa una e una sola retta. V F

11 Per un punto passa una e una sola retta. V F

12 La metà di un angolo ottuso è un angolo retto. V F

13 La somma di due angoli complementari misura 90°. V F

14 Il supplementare dell’angolo di 45° è un angolo acuto. V F

15 Un rombo è un particolare parallelogramma. V F

16 Un parallelogramma è un particolare rettangolo. V F

17 Il quadrato è un parallelogramma che ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti. V F

18 In un rettangolo in cui la base misura 4 cm e l’altezza è i 3 __ 5 della base il perimetro

misura 12,8 cm. V F

19 La diagonale minore di un rombo, la cui area misura 2 cm2 e la cui diagonale maggiore misura 8 cm, misura 3 cm. V F

20 In un trapezio isoscele i cui angoli ottusi misurano ciascuno 120°, gli angoli acuti misurano 30° ciascuno. V F

21 La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°. V F

22 Le diagonali del quadrato sono perpendicolari. V F

23 Le diagonali del rettangolo sono perpendicolari. V F

24 Le diagonali del rombo sono perpendicolari. V F

A utovalutazione



120

SoluzioniPagina 56) 26 7) 36 8) 68 9) 5 10) 20 11) 26

Pagina 62) a) 9; b) 2; c) 21; d) 1; e) 1 3) 7 4) 7 5) 0 6) 30 7) 0 8) 39

Pagina 1126) 34; 64; 784; 225 27) 1024; 80; 48; 4 28) 1600; 36; 125; 48 29) 9; 49 30) 1; 37; 52; 10; 27; 34

Pagina 262) B 3) C 4) C 5) C 6) 0,4 kg 7) 1800 g

Pagina 298) a) € 180; b) € 473,50; c) € 134

Pagina 309) € 69 10) 300 g 11) 23 allievi 12) 73,8 kg 13) 12 operai

Pagina 3114) € 16,2, 18% 15) € 4,29; 15% 16) 120 000 abitanti 17) € 45

Pagina 3411) 0,9; 2,1; 2,1; 2,7

Pagina 3735)

Distanza dal Sole (km) Pianeta

5,791 · 107 Mercurio7,783 · 108 Giove4,498 · 109 Nettuno1,082 · 108 Venere1,496 · 108 Terra2,870 · 109 Urano1,427 · 109 Saturno2,279 · 108 Marte

Pagina 4666) -12 67) -7 68) 3 69) 2 70) 6 71) 0 72) 11 73) 2 74) -20 75) 52 76) 9 77) 49 78) -27 79) 1 80) 30 81) 1

Pagina 49

1) - 11 ___ 4 2) - 97 ___

30 3) 7 4) - 31 ___

6 5) 3 __

2 6) - 21 ___

20 7) - 1 __

6

Pagina 51

16) - 2 __ 3 17) 4 __

9 18) −4 19)

25 ___ 9



121

Pagine 52-53

1) 5 __ 4 2) 2 3) - 13 ___

5 4) 23 ___

24 5) 20 ___

11 6) 5 ___

12 7) 14 8) 8 __

9 9) - 1 __

5 10) 1 11) 23 ___

15 12) 1 __

3

Pagina 55

10) 40 ___ 3 11) 62 12) - 1 __

3

Pagina 58

7) 1 __ 6 8) 25 ___

16 9) - 11 ___

3

Pagina 605) B; C; B 6) B 7) D

Pagina 618) C 9) D 10) A; B; A 11) B 12) C; D; D; A 13) C 14) C15) 18,5; 2030; 3,75; 4,33; 6; 12,5

Pagina 631) b) A € 10,40; B € 11; C € -0,50; D € 5,40 2) No; € 1,31

Pagina 651) A h = 150 cm l = 175 cm; B h = 600 cm l = 700 cm; C h = 150 cm l = 250 cm; D h = 245 cm l = 175 cm; no; 3 cm

Pagina 662) 160 m2; 152 m2; 24 m2; 8 m2; 16 m2; 16 m2; 32 m2

Pagina 671) V; F; F; V 2) V; V; F; F

Pagina 68

1) −7; 11 ___ 4 2) 9; −3; - 7 __

2

Pagine 73-74

20) - 10 ___ 3 21) −4 22) −7 23) indeterminata 24) 20 25) 3 26) 8 27) 6 28) 5 29) - 3 __

4

Pagina 771) 18 2) 15; 16; 17 3) 40 4) 15; 42 5) 40; 8 6) 40

Pagina 78

7) 9 ___ 40

8) 70 9) € 10

Pagina 846) V; V; F; V; V

Pagina 857) B 8) A 9) è indifferente 10) 1 __

2 11) 4; 2; 1 __

2



122

Pagina 8612) Maria, in quanto i casi possibili sono 4: maschio-maschio; femmina-femmina; femmina-maschio; maschio-femmina 13) C 14) D; (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1); 6 ___

36 = 1 __

6 ; la probabilità che la somma sia 8 è 5 ___

36 ,

quindi è maggiore la probabilità che la somma sia 7

Pagina 871) 50; 80; 200 2) V; F; F

Pagina 883) D; A

Pagina 891) F; V; V

Pagine 90-911) a) D, b) C, 13:50 2) a) 5 centesimi; b) A 3) V; V; V; F; F

Pagina 1066) C 7) D

Pagina 11029) 24 cm; 20 cm2 30) 32 cm2 31) 68 cm2

Pagina 11438) a) F; V; F; F; b) 15; c) 168

Pagina 11539) D 40) B

Soluzioni delle schede di autovalutazione

Calcolo numerico1) D 2) A 3) B 4) B 5) C 6) D 7) A 8) C 9) B 10) D 11) C 12) A 13) V 14) V 15) F 16) F 17) V 18) V 19) V

Algebra1) B 2) C 3) A 4) D 5) C 6) B 7) A 8) C 9) C 10) A 11) D 12) F 13) V 14) F 15) V 16) F

Geometria1) C 2) B 3) A 4) D 5) A 6) C 7) B 8) D 9) B 10) V 11) F 12) F 13) V 14) F 15) V 16) F 17) V 18) V 19) F 20) F 21) V 22) V 23) F 24) V

Soluzioni delle schede: Try to solve in EnglishPagina 201) 3 2) 18; 6

Pagina 116-1171) A 2) 46 m2 3) A 4) 115 mm2 5) 556,93 m2; 109,98 m



C. Testa M. Battù P. Curletti M.L. Longo L. Savarino T. Savio F. … · 2019. 7. 18. · Completa...

Documents

Transcript of C. Testa M. Battù P. Curletti M.L. Longo L. Savarino T. Savio F. … · 2019. 7. 18. · Completa...