C A L C O L O M O D I E F R E Q U E N Z E

P U S H - O V E R D I T I P O M O D A L E

Versione 1.12080801

G R U P P O S I S M I C A S . R . L .

Pag. 2

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Si ringraziano coloro che hanno collaborato

alla stesura del presente manuale.

Pag. 3

INDICE GENERALE

1. INTRODUZIONE 4

2. LE ANALISI PUSH - OVER MODALI 4

2.1. Parametri modali 4 2.2. Determinazione della distribuzione di carico 5

3. CALCOLO MODI E FREQUENZE CON 3D MACRO® 6

3.1. Definizione dell 'analisi modale 6 3.2. Definizione dell ’analisi push over 7 3.3. Dettagli e risultati 9

4. VALIDAZIONE DEI MODI 11

4.1. Telaio piano con tre elevazioni 11 4.2. Telaio 3D senza tamponamenti perimetrali 12 4.3. Telaio 3D con tamponamenti perimetrali 16

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 1 – INTRODUZIONE

Pag. 4

1. INTRODUZIONE

Il presente documento si articola in tre principali sezioni: nella prima vengono riportati alcuni

cenni teorici sulle analisi push over modali, nella seconda vengono descritte le funzionalità del software

relative al calcolo di modi e frequenze e fornite le indicazioni di utilizzo, nella terza sezione, infine,

vengono presentati i risultati ottenuti su modelli esemplificativi, mediante l’utilizzo di 3DMacro® e

SAP2000® e posti a confronto per la validazione del software.

2. LE ANALISI PUSH - OVER MODALI

Nel presente capitolo vengono introdotte le analisi push-over con distribuzione di forze proporzionale ai

modi di vibrazione della struttura. A partire da una caratterizzazione dinamica di dettalgio (cfr. 2.1)

3DMacro determina in automatico i modi predominanti per ciascuna direzione di carico che vengono

quindi utilizzati per determinare la forma del carico pseudo-statico.

Tale procedura permette di determinae la percentuale di massa partecipante associata a ciascuna

analisi condotta sul modello, e quindi di verificare i limiti imposti dalla norma per ciascuna tipologia

costruttiva. Inoltre nelle analisi proporzionali ai modi la distribuzioen di carico risulta essere più

aderente al reale andamento delle forze d'inerzia conseguenti al sisma, consentono pertanto di predire

meglio la risposta della struttura e le sue reali capacità. L'impiego di tali analisi è preferibile soprattuto

per edifici irregolari in altezza, per i quali la distribuzione triangolare inversa può risultare poco realistica

(edifici sopraelevati con tipologie costruttive differenti).

Le analisi push-over con distribuzioni modali saranno oggetto di ulteriori sviluppi che riguarderanno la

possibilità di considerare contemporaneamente più modi, opportunamente combinati tra loro (analisi

multi-modale), e quella di aggiornare le forme modali durante l'analisi (analisi adattive). Tali nuove

funzionalità risulteranno particolarmante utili nello studio di edifici irregolari (in pianta e in altezza),

carattrizzati da forti effetti torsionali, presenti fin dalla condizione di quiete, oppure formatisi a seguito del

progressivo degrado della struttura.

2.1. PARAMETRI MODALI

Si considerino le seguenti grandezze modali:

i i-esimo modo di vibrare;

m matrice di massa del sistema;

X,i Coefficiente di partecipazione modale in direzione X relativo al modo i-esimo;

Y,i Coefficiente di partecipazione modale in direzione Y relativo al modo i-esimo;

Z,i Coefficiente di partecipazione modale in direzione Z relativo al modo i-esimo;

X,i Massa partecipante in direzione X relativa al modo i-esimo;

Y,i Massa partecipante in direzione Y relativa al modo i-esimo;

Z,i Massa partecipante in direzione Z relativa al modo i-esimo;

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 2 – LE ANALISI PUSH OVER MODALI

Pag. 5

,

,

,

Ti x

i x Ti i

Ti y

i y Ti i

Ti z

i z Ti i

m e

m

m e

m

m e

m

, ,

1,

, ,

1,

, ,

1,

i x i i x i

i n

i y i i y i

i n

i z i i z i

i n

M m e

M m e

M m e

2

, ,

1,

2

, ,

1,

2

, ,

1,

1

1

1

ii x j x jji

j n

ii y j y jji

j n

ii z j z jji

j n

M m eM

M m eM

M m eM

(1) (2) (3)

In (1) sono riportate le espressioni dei coefficienti di partecipazione modali, dove con ex ,ey ,ez

rappresentano i vettori pseudo - statici: effettuando il prodotto righe-colonne tra la matrice m e ciascun

vettore e, si ottiene il vettore di carico relativo a una accelerazione al suolo diretta lungo le direzioni X,Y o

Z del sistema di riferimento assoluto.

Le masse pertecipanti a ciascun modo sono determinate mediante le (2), limitatamente al caso di matrici

di massa diagonali, indicando con mi la massa associata al modo i-esimo e con M(i) la massa modale

relativa allo stesso modo (contenuta al denominatore dell'espressione di ), le masse partecipanti

vengono espresse mediante le (3).

2.2. DETERMINAZIONE DELLA DISTRIBUZIONE DI CARICO

L'analisi viene condotta in due fasi successive: fase a controllo di forze e fase a controllo di spostamenti.

Nella fase a controllo di forze il vettore f0 viene applicato mediante un processo incrementale per passi

costanti. Non appena la matrice di rigidezza diviene singolare ha inizio la fase a controllo di spostamenti,

nella quale il programma applica spostamenti con una forza costante e pari all'ultimo incremento di

deformata registrato, tale procedura assume la denominazione a "velocità di deformazione costante". Di

seguito si riporta nel dettaglio le operazioni seguite per la determinazione della distribuzione di carico.

Indicando con ( i) il generico modo di vibrare, la da esso massa attivata nella direzione di carico

individuata dai versori (ei) risulta :

, , ,=

ei x x i y y i z ziM M e M e M e

Analogamente, indicando con Mx, My, Mz, rispettivamente la massa totale dell'edificio attivata lungo le

ciascuna delle direzioni principali, la massa totale attivata nella direzione (e) risulta:

=

etot x x y y z zM M e M e M e

Indicando con n la forma di vibrare che massimizza la massa partecipante, la distribuzione base del carico

viene ottenuta, a partire dalla forma modale, secondo la seguente espressione:

0 n=

etot

en

Mf

M

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 6

3. CALCOLO MODI E FREQUENZE CON 3D MACRO®

3DMacro® esegue l’analisi di modi e frequenze della struttura, eseguendo una analisi push-over, la cui

distribuzione di forze viene determinata a partire dai modi di vibrazione della struttura.

3.1. DEFINIZIONE DELL'ANALISI MODALE

Utilizzando il comando disponibile dal menu Definisci > Modi e Frequenze è possibile definire i

parametri dell’analisi ed in particolare:

Numero di modi: rappresenta il numero di forme modali (e relative frequenze) da ricercare,

partendo dal modo con periodo più grande (periodo fondamentale).

Numero massimo di iterzioni: rappresenta il numero massimo di iterazioni che possono essere

eseguite nella ricerca di ciascun modo. L'impostazione di default è 100.

Tolleranza: permette di impostare l'accuratezza nella procedura di ricerca del generico autovalore-

autovettore del sistema (metodo iterativo). Indicando con ai e ai+1 rispettivamente il valore

dell'autovalore alla iterazione i e i+1, l'errore adimensioanlizzato (e) viene definito come (ai+1 - ai) /

ai. La convergenza della soluzione si ritiene raggiunta quando e diviede minore della tolleranza

fissata.

Determina le masse da: indica i carichi gravitazionali da considerare per il calcolo delle masse. E'

possibile selezionare una tra le analisi statiche di tipo non sismico. Di default è disponibile solo

l’analisi "Vert”.

Stato iniziale della struttura: permette di calcolare i modi di vibrare considerando uno stato

deformato della struttura, conseguente all'applicazione di una serie di carichi gravitazionali. In questo

caso le rigidezze degli elementi non coincideranno con i valori iniziali (in configurazione indeformata),

ma si terrà conto di tutti gli eventi non lineari (degrado), registrati durante il processo di carico

statico. L'analisi da cui acquisire lo stato iniziale della struttura dovrà essere lanciata

(automaticamente dal software) prima dell'analisi modale. Se si sceglie "Nessuna analisi di partenza" i

modi verranno calcolati sulla struttura integra.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 7

Figura 1. Definizione dell’analisi per il calcolo di modi e frequenze.

3.2. DEFINIZIONE DELL’ANALISI PUSH OVER

Dalla finestra di definizione delle analisi, disponibile dal comando Definisci > Analisi, per la push-

over appartenenti alla distribuzione principale è possibile selezionare l'opzione “primo modo” in

alternativa a "triangolare", in questo caso la distribuzione del carico statico verrà calcolata

proporzionalmente alla forma del modo di vibrare fondamentale nella direzione di carico.

Figura 2. Definizione delle analisi pushover con distribuzione delle forze proporzionale al primo modo.

Figura 3. Opzioni avanzate dell’analisi modale.

Se si è scelto di eseguire le analisi push-over, appartenenti alla distribuzione principale, utilizzando

una distribuzione delle forze proporzionale al “primo modo”, è possibile settare i parametri che

regolano l’analisi dei modi, dalla finestra di definizione delle Opzioni avanzate dell’analisi selezionata,

nella scheda “Opzioni modali”.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 8

Attraverso questa scheda è possibile assegnare il limite della massa totale partecipante nella

direzione del carico, inserendo il segno di spunta sulla voce corrispondente ed esplicitandone la

percentuale (in funzione della tipologia costruttiva). In particolare, seguendo le indicazioni delle

NTC2008, per gli edifici esistenti in muratura è impostato al 60%, mentre per edifici nuovi viene al

75% per tutte le altre tipologie.

Le funzionalità di seguito descritte sono in fase di implementazione, pertanto non ancora

disponibili.

Le opzioni presenti nella sottofinestra “Analisi con modo singolo/multimodale” consentono

di scegliere se utilizzare il modo principale o una combinazione di più modi (analisi

multimodale). In tal caso è possibile assegnare il numero di modi da combinare o lasciare

che il programma determini il numero minimo di modi al fine di di rispettare la

percentuale minima di massa partecipante (impostata al punto precedente). In

quest’ultimo caso, il valore indicato non potrà comunque essere maggiore del numero di

modi calcolati nell’analisi modale.

Selezionando l’opzione “Analisi adattiva” il programma aggiorna le forme modali a

intervalli regloari. L'utene in questo caso deve specificare il numero di step di carico da

eseguire tra un aggiornamento e il successivo.

Dalla finestra Calcola > Esegui Analisi è possibile effetuare l’analisi di modi e frequenze della

struttura, selezionando l’opzione “Calcolo di modi e frequenze”, disponibile sotto la voce “Altre

Analisi”. Così facendo il software eseguirà il calcolo degli N modi di vibrazione della struttura, così

come impostato nella scheda di definizione dei parametri (cfr. par. 3.1). Dalla medesima finestra

possono essere eseguite, le analisi proporzionali ai modi selezionando nella vista semplice l'opzione

"1° modo/Triangolare" o selezionando una analisi appartenente alla distribuzione principale dalla lista

dettalgiata (opportunamente definita come riportato in Figura 2).

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 9

Figura 4. Calcolo di modi e frequenze.

Prima di effettuare il calcolo di modi e frequenze, il programma eseguirà automaticamente l’analisi

che è stata impostata come analisi di partenza (ad esempio la “Vert”), in modo da acquisire lo stato

della struttura all'ultimo passo e determinare la matrice di rigidezza.

3.3. DETTAGLI E RISULTATI

Per visualizzare i risultati della analisi dei modi e la corrispondente configurazione deformata della

struttura, occorre portarsi sulla finestra delle Proprietà, disponibile nell’area a destra dell’ambiente

principale del programma. All’interno della finestra è presente un menu a tendina, sotto la voce

“Configurazione deformata”, da cui è possibile selezionare l’analisi modale (cfr. Figura 5).

Figura 5. Selezione dell’analisi per la visualizzazione della risposta.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 10

Figura 6. Visualizzazione dei modi di vibrare della struttura.

Le schede “Passo” e “Stato limite”, per questa configurazione deformata sono inibite, poiché l’analisi

selezionata non è un’analisi pushover. Nella scheda “Modo”, invece, sono disponibili i dettagli

dell’analisi dei modi eseguita.

Per visualizzare la deformata della struttura corrispondente a un determinato modo, ovvero il modo di

vibrare della struttura, occorre selezionare il numero corrispondente nella cella “Modo” (cfr. Figura 6).

È possibile amplificare la deformata assegnando un opportuno fattore di scala con il comando “Scala

deformata” riportato nella figura seguente.

Figura 7. Fattore di scala o di amplificazione della deformata.

Figura 8. Visualizzazione dettagli delle caratteristiche dinamiche.

Mediante il bottone “Dettagli” è possibile visualizzare la tabella con le proprietà modali (cfr. Figura 8),

in cui vengono riportati, per ciascun modo (per ulteriori dettagli vedi il paragrafo 2.1):

- T [sec], w [rad/sec]: il periodo e la frequenza propria di vibrazione;

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 11

- Mx, My, Mz [kN·sec2/cm]: la massa modale partecipante in direzione x, y e z del sistema

globale;

- Mx, My, Mz [%]: la massa modale partecipante in direzione x, y e z del sistema globale,

espressa come percentuale della massa totale;

- Mx Sum, My Sum, Mz Sum [%]: somma della percentuale di massa modale partecipante,

cumulata fino al modo in esame, nelle direzioni x, y e z del sistema globale;

- Gx, Gy, Gz: coefficienti di partecipazione modale in direzione x, y e z del sistema globale.

4. VALIDAZIONE DEI MODI

Segue una validazione del calcolo dei modi e frequenze mediante il confronto dei risultati ottenuti con il

programma di calcolo SAP2000® per modelli elementari.

4.1. TELAIO PIANO CON TRE ELEVAZIONI

Descrizione : telaio piano a tre elevazioni L=5m, H interpiano =3m.

Materiali : calcestruzzo E=30000 Mpa.

Sezioni : rettangolari 30x50, disposte con la massima inerzia nel piano di inflessione.

Carichi : pesi propri+ permanenti =5KN/m + sovraccarico variabile =2KN/m (30% di 6KN/m).

Massa : massa propria elementi 0.382 KNs2/m2; massa traversi = 3.55 KNsec2/m;

- totale massa elementi = 0.382* (33) = 12.61 KNsec2/m

- totale massa carichi = 3.55* 3 = 10.65 KNsec2/m

TOT = 23.26 KNsec2/m

Modo Programma T

[sec]

Massa part.

[KNs2/cm]

Massa part.

[%]

1 SAP 2000 0.254 0.2119 82.50

3DMacro 0.236 0.1850 83.42

2 SAP 2000 0.081 0.0374 14.57

3DMacro 0.072 0.0270 12.13

3 SAP 2000 0.045 0.0072 2.82

3DMacro 0.040 0.0090 3.98

Tot Massa

modi

SAP 2000 0.2565 99.89

3DMacro 0.2210 99.53

Massa

sismica

SAP 2000 0.2567 100.00

3DMacro 0.2218 100.00

Figura 9. confronto Periodi e masse partecipanti.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 12

3D

Macr

o

SAP 2

000

Figura 10. Confronto forme modali SAP-3DMacro.

4.2. TELAIO 3D SENZA TAMPONAMENTI PERIMETRALI

Descrizione : telaio 3D a tre elevazioni composto da 4 telai contenuti in test1

Materiali : calcestruzzo E=30000 Mpa.

Sezioni : rettangolari 30x50, disposti con la massima inerzia nel piano X-Z.

Carichi : pesi propri + sovraccarichi solai =5.6 KN/m2. I solai sono a semplice orditura lungo la direzione Y (le travi caricate sono quelle in direzione X).

Massa : massa propria elementi 0.382 KNs2/m2; massa solai = 0.57 KNsec2/m3;

- totale massa elementi = 0.382* (90) = 34.38 KNsec2/m

- totale massa carichi = 0.57* (75) = 42.75 KNsec2/m

TOT = 77.13 KNsec2/m

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 13

Figura 11. Vista in painta del modello con indicazione del sistema di riferiemnto globale.

Periodo Direzione Programma T

[sec]

M part.

[KNs2/m]

M part.

[%]

1 Traslazione Y SAP 2000 0.431 0.694 87.29

3DMacro 0.404 0.668 86.46

2 Traslazione X SAP 2000 0.370 0.669 84.17

3DMacro 0.315 0.640 82.83

3 Torsionale SAP 2000 0.336 0 0

3DMacro 0.352 0 0.01

4 Traslazione Y SAP 2000 0.140 0.824 10.37

3DMacro 0.132 0.080 10.33

5 Traslazione X SAP 2000 0.115 0.987 12.42

3DMacro 0.095 0.940 12.19

6 Torsionale SAP 2000 0.100 0 0

3DMacro 0.110 0 0

Massa sismica totale SAP 2000 79.52

3DMacro 77.26

Figura 12. confronto Periodi e masse partecipanti.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 14

Primo modo Secondo modo Terzo modo

Quarto modo Quinto modo Sesto modo

Figura 13. Forme modali ottenute mediante 3DMacro.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 15

Primo modo Secondo modo Terzo modo

Quarto modo Quinto modo Sesto modo

Figura 14. Forme modali ottenute mediante SAP2000.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 16

4.3. TELAIO 3D CON TAMPONAMENTI PERIMETRALI

Descrizione : telaio 3D del testo 2 con tamponamenti perimetrali.

Le pareti in direzione y sono prive di aperture mentre le pareti in direzione x presentano delle aperture centrate di forma quadrata con lato pari a 2m.

Materiali : calcestruzzo E=30000Mpa.

Tamponamenti elastici E=2000Mpa, G=800Mpa, spessore=20cm, peso specifico=18KN/mc.

Sezioni : rettangolari 30x50, disposti con la massima inerzia nel piano X-Z.

Carichi : pesi propri + sovraccarichi solai =5.6 KN/m2. I solai sono a semplice orditura lungo la direzione Y (le travi caricate sono quelle in direzione X.

Figura 15. Particolari del modello in SAP2000®.

Massa - massa elementi in c.a. = 0.382* (90) = 34.38 KNsec2/m

- massa solai = 0.57* (75) = 42.75 KNsec2/m

- massa pannelli y = (0.2*11)*18/9.81 = 5.50 * 6 = 33.03 KNsec2/m

- massa pannello x = (0.2*11)*18/9.81 = 4.04 * 6 = 24.22 KNsec2/m

mTOT = 134.38 KNsec2/m mY = 110.16 KNsec2/m mX = 101.35 KNsec2/m

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 17

Le masse relative alle pareti vengono applicate ai vertici dell'edificio considerando che la massa di

ciascuna parete si attiva unicamente nella direzione del piano della parete stessa.

Primo modo Secondo modo Terzo modo

Quarto modo Quinto modo Sesto modo

Figura 16. Forme modali ottenute mediante SAP2000®.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 18

Periodo Direzione

T

[sec]

M part.

[KNs2/m]

M part.

[%]

1 x 0.1869 108.1198 84

2 y 0.1397 115.6462 84

3 Torsionale 0.1307 0 0

4 x 0.0610 12.9744 12

5 y 0.0505 17.8976 13

6 Torsionale 0.0455 0 0

Figura 17. Caratteristiche dinamiche modello SAP 2000®.

(a)

(b)

Figura 18. Caratteristiche dinamiche modelli 3DMacro®: (a) mesh base; (b) mesh fitta.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 19

Primo modo Secondo modo Terzo modo

Quarto modo Quinto modo Sesto modo

Figura 19. Modi di vibrare del modello 3DMacro® con mesh base.

3DMacro® - Tutorial Analisi Modale CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI

Pag. 20

Primo modo Secondo modo Terzo modo

Quarto modo Quinto modo Sesto modo

Figura 20. Modi di vibrare del modello 3DMacro® con mesh fitta.