brescia 5 ottica attiva adattiva parteIII - INAFbrescia/corso_TA/archivio_corso/... ·...

Lezione n.

Parole chiave:

Corso di Laurea:

Massimo Brescia

Ottica Attiva e AdattivaParte III

5

ottica attiva e adattiva, sensori di fronte d’onda

Corso di Laurea:

Insegnamento:

Email Docente:

A.A. 2009-2010

Laurea magistrale in Astrofisica e Scienze dello Spazio

Tecnologie Astronomiche

[email protected]

ottica attiva con M2 - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

In analogia con quanto discusso per M1, è necessario esplicitare il passaggio dall’IA (ImageAnalysis) ai valori reali di correzione da applicare ai dispositivi disponibili per contro-bilanciarele aberrazioni da defocus e decentering coma con M2.

• Rendendo attivo M2 si possono correggere defocus e coma:

Per il defocus si sposta M2 lungo l’asse ottico

Per la coma si ruota M2 intorno al centro di curvatura

ottica attiva con M2 - defocusing Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Avendo calcolato il coefficiente di defocus mediante un sensore di fronte d’onda con sviluppo inpolinomi di Zernike…

( )2

, , , 22

,

8 /

1

è il fattore di conversione da aberrazione a spostamento su M2

è il coefficiente di defocus misurato dal sensore

def z def WS def def WS

def

def WS

FC C

m

C

δ η

η

#= − = −

+

,

2

è il coefficiente di defocus misurato dal sensore

m è l'ingrandimento (relativodef WSC

a M2)

…su M2 si dovrà applicare uno spostamento lungo l’asse ottico pari a,def zδ

ottica attiva con M2 – decentering coma - 1Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Compiendo una rotazione di M2 intorno al suo centro di curvatura, l’immagine non subiscespostamenti ma si produce coma. Dunque se il sensore segnala una coma da decentramento(decentering coma), è possibile correggerlo applicandovi una siffatta rotazione.In generale, una rotazione intorno al centro di curvatura produce uno spostamento laterale ed unarotazione. La relazione tra i due effetti è:

22

angolo di rotazione

spostamento laterale

R

δα

αδ

= −

2 raggio di curvatura di M2R

Avendo a disposizione il valore del coefficiente e dell’angolo di coma (~ρ3cosθ), per correggere ildecentering coma è necessario introdurre un spostamento laterale dato da:

( ), ,2

coma,WS

coma

16 /

C coefficiente di coma misurato dal sensore

fattore di conversione per cassegrain

coma coma WS coma WSC CF

θδ η

η

= =#

ottica attiva con M2 – decentering coma - 2 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Questo spostamento deve essere introdotto ruotando attorno al raggio r di un angolo dato dalsensore (θcoma,WS). L’origine del sistema di riferimento è il centro di curvatura di M2. Questarotazione è dunque ottenibile da:

22 | |R

δα∆ =

A volte, lo spostamento laterale è decomposto nellecomponenticartesiane(x,y):componenticartesiane(x,y):

( )( )

, ,

, ,

sin

cos

coma coma WS coma WS

coma coma WS coma WS

x C

y C

η θ

η θ

∆ =

∆ =

E questi valori sono poi trasformati in angoli di rotazione attorno al centro di curvatura:

2

2

rotazione intorno a y2

rotazione intorno a x2

x

R

y

R

ε

δ

∆∆ =

∆∆ =

( ),

2 2

atan2 ,coma WS

x y

θ ε δ

δ

= ∆ ∆

= ∆ + ∆

ottica attiva con M2 – decentering Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Se M2 è ruotato intorno ad un punto neutrale (coma free point) di M1, la rotazione non introducecoma, ma soltanto uno spostamento laterale sul piano focale. Questa proprietà può essere usataper tiltare M2 senza introdurre coma additivo.

Interessante lettura consigliata (disponibile nella bibliografiadel corso):Analytical expressions for field astigmatism in decentered two mirror telescopes andapplication to the collimation of the ESO VLT, L. Noethe & S. Guisard, A&A Suppl. Ser. 144,157-167 (2000)

ottica attiva con M2 – sintesi Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Spostamento laterale di M2 (decentering )

Rotazione intorno al centro di curvatura di M2 curvatura di M2 (tilt con decentering-coma)

Rotazione intorno al punto neutro di M1 (tilt senza coma)

Spostamento di M2 lungo l’asse ottico (defocus)

ottica attiva con M2 – Hexapod - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

L’hexapod è un dispositivo composto da 2 superfici esagonali unite da 6 aste a lunghezzavariabile. Una delle 2 superfici è fissa, mentre l’altra è mobile e gode di6 gradi di libertà(Stewart platform)

traslazione nello spazio (x,y,z)rotazione attorno agli assi (ψ attorno ad x,θ attorno ad y,φattorno a z)

xy

z

ottica attiva con M2 – Hexapod - 2 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

La funzione primaria di un tale oggetto èquella di posizionare con accuratezza di 1micron la piattaforma mobile nello spazio. Ciòanche in condizioni di device inclinato (adiverso gradiente gravitazionale).

Hexapod – principio di azionamento Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Il meccanismo è teoricamente semplice: le 6 aste variano la loro lunghezza lineare e in modoreciprocamente vincolato descrivono rotazioni e traslazioni della piattaforma mobile nello spazio.Il problema è dunque legato al calcolo della lunghezza delle 6 aste, una volta definita la posizionedella piattaforma (cinematica inversa) o, in modo duale, la determinazione della posizione edorientazione della piattaforma, note le lunghezze delle aste (cinematica diretta)

• Cinematica Inversa:conosciuta la posizione del piano mobile nello spazio si determina la lunghezza delle aste

• Cinematica Diretta:

conosciuta la lunghezza delle aste si determina la posizione del piano mobile nello spazio

( )∑=

−=6

1

2

ifmi ii

ppL

LHq ∆=∆ −1

Hexapod – cinematica inversa - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Si definisce posizione di riposo dell’hexapod quella nella quale le 2 superfici sono parallele e lelunghezze delle aste sono uguali. In tali condizioni si possono definire le posizionidei punti fissie mobili in un generico sistema (x,y,z) di riferimento:

0

0 0

0

e , 1,...,6i i

i i i i

i i

f m

f f m m

f m

x x

P y P y i

z z

= = =

La lunghezzadelleastenellaposizionedi riposoèsemplicemente:La lunghezzadelleastenellaposizionedi riposoèsemplicemente:

( ) ( ) ( )0 0 0

2 2 2

0 (1)i i i i i ii m f m f m fL x x y y z z= − + − + −

Si consideri ora il vettore q, le cui componenti sono i gradi di libertà in traslazione e rotazionedella piastra mobile:x

y

zq

ψθϕ

=

Un qualsiasi spostamento della piastra è allora rappresentabile dal vettore

x

y

zq

ψθϕ

∆ ∆ ∆

∆ = ∆ ∆ ∆


Il vettore spostamenti della piastra porterà ovviamente i vari punti mobili dalla precedenteconfigurazione alla generica posizione diversa:

0

0 0

0

'

' '

'

ii

i i i i

i i

mm

m m m m

m m

xx

P y P y

z z

= → =

La parte rotazionale si esprimerà mediante la matrice di rotazione R, ottenuta dalla composizionedi rotazionielementariattornoai treassi: (2)R R R Rψ θ ϕ=di rotazionielementariattornoai treassi: (2)R R R Rψ θ ϕ=

( ) ( )( ) ( )

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

Rψ ψ ψψ ψ

= ∆ − ∆ ∆ ∆

( ) ( )

( ) ( )

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

Rθ

θ θ

θ θ

∆ ∆ = − ∆ ∆

( ) ( )( ) ( )

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

∆ − ∆ = ∆ ∆


Il vettore traslazione V permette invece di esprimere la componente di traslazione, per cui allafine si ottiene la seguente espressione per la generica nuova posizione dei punti mobili:

' i=1...6i im m

x

V y P RP V

z

∆ = ∆ → = + ∆

Le lunghezze delle aste dopo una roto-traslazione saranno allora:

( ) ( ) ( )2 2 2' ' '

i i i i i ii m f m f m fL x x y y z z= − + − + −

Che possiamo denominare per brevità così: dati

( )2 2 2 (3)i ix iy iz iL s s s G s= + + =

'

i i i ii m f m fs P P RP P= − = −

Hexapod – cinematica diretta - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Per una generica piattaforma hexapod, non esiste una soluzione analitica in forma chiusa per ilproblema di determinare la sua posizione nello spazio, note le lunghezze delle aste. Esistonosoluzioni parziali per problemi analoghi.Il problema si può dunque formulare così: trovare il vettore∆q note le lunghezze Li (i=1…6).Le equazioni non lineari possono essere linearizzate nell’intorno di un generico punto iniziale,non necessariamente coincidente con la posizione a riposo della piattaforma:

( )0 0 0 0 0 0 0, , , , ,T

q x y z ψ θ ϕ=

Sviluppando in serie la funzione (3) delle lunghezze, si ottiene:1−

( )0 0

1

10 0 ... (4)

q q q q

dG dGL L q q q L H L

dq dq

−

−

= =

= + − + ⇒ ∆ ≈ ∆ ≈ ∆

Un generico elemento della matrice H (con i dovuti passaggi intermedi) è allora:

( ) ( )0, i

T

i ii j m

j i j

dG s dG s dRH P

dq ds dq= =

Hexapod – cinematica diretta - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

A questo punto si dovranno esplicitare le colonne di H, che saranno le derivate della funzione G()rispetto ai tre assi e ai tre angoli di rotazione

( ) ( ) ( )

( )

( )

0 0 0

0 0

0 0 0

3 33 1 3 1 3 1

, , i i i i i i

i i i

m f m f m fi i i

i i i

T

im f m

xx x x

T

x x y y z zdG s dG s dG s

dx L dy L dz L

dG sP P R P

d ψψ

− − −= = =

= −

( )

( )

0 0

0 0

3 33 1 3 1 3 1

3 33 1 3 1 3 1

i i i

i i i

T

im f m

xx x x

T

im f m

xx x x

dG sP P R P

d

dG sP P R P

d

θ

ϕ

θ

ϕ

= −

= −

1 (5)q H L−∆ = ∆

Ottenuta la matrice H, si può calcolare con sufficiente precisione la funzione voluta:

Modello dell’hexapod - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Avendo a disposizione le funzioni analitiche di cinematica diretta e inversa, si può procedere allarealizzazione di un modello di hexapod, utile per verificare la fattibilità delle rototraslazioniimposte dal calcolo dei coefficienti di defocusing, tilt e decentering coma mediante modelloottico di ray tracing.


Nell’interfaccia utente del modello in Labview, l’utente può scegliere posizione e orientamentodella superficie mobile dell’hexapod, inserendo i 6 parametri e l’incertezza massima accettabile(tolleranza d’errore).

input

Calcolo posizione piastra a partire da quella di riposo (iniziale) o dall’ultima calcolata

Posizioni finali dei punti mobili nello spazio


Tali dati saranno poi elaborati dal cuore matematico del modello (che implementa le funzionianalitiche della cinematica) ed in uscita si avranno i grafici 2D o inalternativa il grafico a barredelle lunghezze delle aste e le coordinate cartesiane dei 6 punti che identificano la superficiemobile (Pmi)

Algoritmo matlab embedded in Labview Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Algoritmo del modello hexapod - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

L’algoritmo, scritto in Matlab e inglobato nello schema grafico di Labview, permette di sfruttarein pieno tutte le potenzialità dei due ambienti di sviluppo (matematico-matriciale di Matlab econtrollistico-grafico di Labview). Ovviamente la parte in Matlab è il cuore del sistema.

La struttura del programma è la seguente:1. si acquisiscono i dati esterni (GUI) e si definisce la posizione di riposo dell’hexapod: Pf

rappresenta la matrice coordinate dei punti fissi, Pmi la matrice delle coordinate punti mobili2. si decide se calcolare la nuova posizione della superficie mobile a partire dalla posizione di

riposo (assoluta), oppure dalla posizione precedente (relativa);3. si estraggono da Pmi le coordinate dei sei punti identificanti la superficie mobile;3. si estraggono da Pmi le coordinate dei sei punti identificanti la superficie mobile;4. si definiscono le unità di misura delle variabili in ingresso (mm per le posizioni x,y,z, e

arcosecondi per l’orientazione ψ,θ,φ);5. si applica la cinematica inversa: creazione della matrice di rotazione R e del vettore di

traslazione V;6. si calcola la nuova posizione della superficie: Pm = RPmi + V;7. si calcola la lunghezza delle aste

8. Si calcolano gli errori sulle lunghezze delle aste

( )∑=

−=6

1

2

ifmi ii

ppL

Algoritmo del modello hexapod - 2 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Mediante l’algoritmo illustrato prima, si ha una prima stima diL e, applicando la cinematica diretta, si calcola la nuovaposizione raggiunta dai punti mobili. Questo nuovo insieme dicoordinate permette di calcolare la nuova lunghezza stimatadelle aste. La convergenza dell’algoritmo si raggiunge, dopoun numero n di iterazioni variabile, nel momento in cui ladifferenza in valore assoluto tra L e la stima risulta minoredella soglia fissata.

Nel caso reale si imposta una soglia che sia il migliorNel caso reale si imposta una soglia che sia il migliorcompromesso tra isteresi del dispositivo ed errore diconvergenza dell’algoritmo, effettuando una serie di testeuristici in cielo e tenendo sempre sotto controllo l’erroreglobale indotto sul piano focale. Per ottiche attive utilizzatenelle correzioni di M2, i tempi in gioco sono abbastanza lenti(le frequenze tipiche sono attorno a 0.03 Hz) da giustificare unmetodo iterativo come quello illustrato.

Note su isteresi meccanica Tecnologie Astronomiche M. Brescia

L'isteresi è la caratteristica di un sistema di reagire in ritardo alle sollecitazioni applicate e indipendenza dello stato precedente.Il termine, derivante dal grecoυστέρησις (hystéresis, "ritardo"), fu introdotto nel senso modernoda Ewing nel 1890.Se la risposta di un sistema con isteresi viene rappresentata in un grafico in funzione dellostimolo, si ottiene una caratteristica curva chiusa (grafico a destra). In un sistema privo di isteresila curva costituisce una linea singola. In presenza di isteresi si ottiene invece uno sdoppiamentodella curva: se percorsa da sinistra a destra si ha un cammino, se percorsa in senso inverso se neottiene un altro. In molti dei fenomeni fisici in cui si ha tale caratteristica si ottengono due trattiorizzontali: unosuperioreedunoinferiore. Questirappresentanoi limiti di saturazione.orizzontali: unosuperioreedunoinferiore. Questirappresentanoi limiti di saturazione.

errore di posizionamento Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Per ovvie considerazioni costruttive, l’hexapod presenta incertezze sulle lunghezze aste, cheintroducono un’isteresi di posizionamento nello spazio a 6 gradi di libertà. Il limite in risoluzioneper sistemi del genere non può scendere sotto il micron. Con la successione di posizionamenti neltempo, tali errori si propagano, creando alla lunga un effetto anche macroscopico. Una soluzioneè ad esempio compiere un RESET alla posizione di riposo, tra un posizionamento el’altro, perlimitare i danni (si presuppone che vi siano dei sensori meccanici che individuino univocamentela posizione di riposo, dettilimit switches)

Si può anche procedere per via analitica, conun processo iterativo. Il procedimento si basasu un valore soglia, impostato dall’utente,che rappresenta la massima incertezzaaccettabile sulla lunghezza delle aste.Nella simulazione, ovviamente, la sogliapuò essere anche minore del limitemeccanico reale del dispositivo.

Combinazione ray tracing & hexapod - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Il modello ottico di un telescopio, unito al modello di un hexapod, consente di verificare edefinire i parametri costruttivi dell’hexapod, inserendo gli effetti di una roto-traslazione di M2nel modello di ray tracing e verificandone il contributo in termini di efficienza sul piano focale.La prima cosa dunque è dotarci del modello di un telescopio. Usiamo per esempio unaltazimutale 1.5m Cassegrain Ritchey Chretien F/8.3, dotato di secondarioattivo.

Surfaces : 7Stop : 2System Aperture : Entrance Pupil Diameter = 1529.9Glass Catalogs : SCHOTTEffective Focal Length : 122.4894 (in air)

Fields : 6Field Type: Angle in degrees# X-Value Y-Value Weight1 0.000000 0.000000 1.0000002 0.053000 0.053000 1.000000Effective Focal Length : 122.4894 (in air)

Effective Focal Length : 122.4894 (in image space)Back Focal Length : 4215.199Total Track : 4150.219Working F/# : 8.33399Image Space NA : 0.05986911Object Space NA : 7.6495e-008Stop Radius : 764.95Paraxial Image Height : 28.35214Entrance Pupil Diameter : 1529.9Exit Pupil Diameter : 2.164305Exit Pupil Position : -2962.593Field Type : Angle in degreesMaximum Field : 0.153Lens Units : MillimetersAngular Magnification : 1.758895

2 0.053000 0.053000 1.0000003 0.000000 0.075000 1.0000004 0.000000 0.100000 1.0000005 0.000000 0.108300 1.0000006 0.000000 0.153000 1.000000

Wavelengths : 7Units: µm# Value Weight1 0.400000 1.0000002 0.500000 1.0000003 0.600000 1.0000004 0.700000 1.0000005 0.800000 1.0000006 0.900000 1.0000007 1.000000 1.000000


Notare le superfici 1 e STO, rispettivamente Atmospheric e Zernike Standard. La prima è usataper caratterizzare il modello rispetto al sito finale. La seconda per caratterizzare i contributi diaberrazione di alto ordine sulla superficie del primario, utili per verificare l’OS al variare dellaposizione del secondario attivo.


Colonne della superficie “atmospheric”

Colonne delle superfici “Coordinate Break” che simulano le rototraslazioni del secondario.Notare il tipo “P” o “Pick-up surface” rispetto alla surface 3, in modo darendere automaticol’effetto combinato tra i due Coordinate Break prima e dopo il secondario.


Esiste però il problema di far corrispondere gli spostamenti del secondario tra idue modelli.Infatti, è importante l’ordine in cui i tilt e i decentering vengono applicatialla superficie eaffinché vi sia piena corrispondenza tra le due simulazioni è strettamente necessario che glispostamenti vengano fatti nello stesso ordine in entrambi i modelli.Riferendoci alle seguenti matrici di roto-traslazione, nella funzione di Labview-Matlab la formulatotale di roto-traslazione viene fatta secondo la sequenza: tilt_x, (2) tilt_y, (3) tilt_z, e poi idecentering. Quindi è necessario che nelle righe dei coord breaks sia specificato il medesimoordine della sequenza di roto-traslazioni

( ) ( )( ) ( )

cos sin 0z zϕ ϕϕ ϕ

−=

Oltre ai campi di decenter e tilt (che corrispondono perfettamente ai6 parametridi roto-traslazionein matlab, a parteil decenteringin Z( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

sin cos 0

0 0 1

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

z z z

y y

y

y y

x x x

x x

R

R

R

ϕ ϕ

θ θ

θ θ

ψ ψψ ψ

=

=

−

= −

6 parametridi roto-traslazionein matlab, a parteil decenteringin Zche poi sarebbe il defocus, facilmente impostabile variando ladistanza di M2 da M1 in zemax), vi è il campo “Order”. Questo èimpostabile con il valore 0 oppure 1. Il valore stabilisce l’ordine diesecuzione delle roto-traslazioni. In particolare per avere lo stessoordine di matlab occorre inserire il valore 1.I valori dei campi di decentering e tilt vanno messi in [mm] per idecentering e in [deg] per i tilt, mettendo gli stessi valori poi inmatlab (attenzione alle unità di misura).Nella riga dei coord breaks prima del secondario si impostanodirettamente i valori di decentering e tilt.


Nella superficie 5, Coord Break dopo il secondario, occorre impostare gli stessi valori di roto-traslazione della riga 3. Per fare ciò in automatico si devono impostare icampi decenter, tilt eOrder in modo parametrico (tipo pick-up) rispetto alla riga 3. In questo modosi deve agiresolamente sulla riga 3 per impostare le roto-traslazioni.

Quindi, si può procedere alle simulazioni:

1. impostare la superficie M1 di tipo zernike standard.2. impostareun’aberrazioneper volta (come volete voi) nella riga relativa alla superficie2. impostareun’aberrazioneper volta (come volete voi) nella riga relativa alla superficie

Zernike.3. verificare lo stato degli spot (magari ci si può riferire in prima istanza al field 1 (quello

centrale).4. impostare una roto-traslazione (una volta definito l’ordine di applicazione)e verificare che si

abbia una correzione dello spot.5. riportare la roto-traslazione, a valle della verifica in zemax, in matlab in modo da ottenere la

lunghezza delle aste per quella deformazione.6. riportare i risultati di ogni singola simulazione completa in una tabella inmodo da correlare

in maniera visibile ed esaustiva i risultati del test


Dal punto di vista concettuale i punti corrispondono alla seguente metodologia:

Con i punti 1, 2 e 3 delle azioni, la simulazione si basa sull’ipotesi di avere a disposizione unsensore di shack-hartmann con cui ottenere un feedback sullo stato del sistema ottico, come se sifacesse una verifica in cielo con il telescopio. In pratica forziamo noi(o lasciamo il compito aZemax in automatico) la presenza di aberrazioni da disallineamento.Il punto 4 rappresenta la movimentazione dell’hexapod e quindi una contro-correzionedelsistema ottico aberrato per farlo diventare nuovamente allineato.Il punto 5, rappresenta solo un modo per poter riportare nei risultati la posizione realedell’hexapodin termini di allungamentodelleaste.dell’hexapodin termini di allungamentodelleaste.

Progettazione hexapod - 1 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Particolari di interfacciamento e sostegno M2 con hexapod, con FEA (Finite Element analysis).

Progettazione hexapod - 2 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

particolare del sistema di leve astatiche peril centering di M2 durante l’inclinazionedel telescopio.

Tools per integrazione hexapod - 2 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Tool per integrazione hexapod - 2 Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Sistema per montaggio M2 nella cella altelescopio

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