Figura 15. Hélice toroidal que permite representar la altura tonal, la altura (height) y las relaciones de octava y de quinta

Aunque la hélice de Sheppard de la figura 12 preserva la relación de oc-tava, no registra la importancia que poseen los intervalos de quinta en la mú-sica tonal tradicional. El toroide de la figura 14 sí lo hace, pero pierde la capacidad de graficar la altura unidimensional (height). •

Para representar al mismo tiempo la altura unidimensional (height), la al-tura tonal (croma) y las relaciones especiales de octava y quinta es necesario un espacio de cinco dimensiones. La hélice toroidal resultante sería similar a la representada en-la figura 15.

Si además deseamos representar los intervalos de tercera mayor y tercera menor, imprescindibles a la hora de definir la modalidad de un acorde, la fi-gura se complica hasta el punto de resultar imposible de dibujar Solamente se pueden plantear las ecuaciones algebraicas que correspondan a cada modelo.

5. ALTURA TONAL E INTERVALOS MUSICALES

Un desarrollo que intente exponer la complejidad de la percepción de los in-tervalos y de la generación de escalas musicales requiere por lo menos un li-bro completo.15 Aquí intentaremos presentar los tópicos más relevantes sin adentramos en el estudio completo de los pormenores propios .de la práctica musical.

15 Este libro, en este momento simple expresión de deseo, tendría naturalmente un lugar en la colección Música y Ciencia.

Percepción de intervalos musicales

Noam Chomsky distinguió entre competence (habilidad para reconocer las re-glas que gobiernan la lengua) y performance (habilidad para realizar un acto de habla) en su teoría de la gramática y la sintaxis. Aunque tengamos almacena-das internamente las reglas de la lengua, debido a nuestras limitaciones para procesar y emitir sentencias complejas, muchas veces no las aplicamos correc-tamente al oír o producir frases completas. Del mismo modo, las reglas que go-biernan las relaciones interválicas en música deben ser conocidas e internalizadas (es decir, "naturalizadas") por los oyentes. Veamos algunos ca-sos propios de la música occidental tradicional, en la que dichas relaciones ya han sido largamente naturalizadas,

Dos sonidos cuyos estímulos están separados por Un intervalo de octava suenan, en algún sentido, ele manera similar. En muchas culturas se les deno-mina con el mismo nombre dentro de la escala musical (son, por ejemplo, los sonidos de la familia del Do). Desde el punto de vista del estímulo, la frecuen-cia de la segunda señal se ajusta a un valor cercano al doble de la frecuencia de la frecuencia de la primera señal. En otros términos, si la relación de fre-cuencias fundamentales es aproximadamente f2 2 ft se percibe un intervalo de octava. Otros intervalos pueden definirse también a partir de relaciones si-milares. Así, una quinta justa corresponde a la relación fr.-, (3/2) f1 y una cuar-ta justa a f2 (4/3) fi . Las relaciones son solamente aproximadas pues la definición de los Intervalos' depende de gran cantidad de factores, la mayoría culturales, alguno de -los cuales veremos más adelante.

Las relaciones anteriores, sin embargo, sólo se perciben claramente cuando las dos frecuencias se ubican por debajo de 5.000 Hz. Existe gran cantidad de evidencia experimental que indica que los estímulos cuyas fre-cuencias fundamentales (las que deciden la periodicidad de la señal comple-ja) superan el valor dé 5.000 Hz no definen la altura tonal. Por ejemplo, una secuencia de sonidos.no produce la sensación de melodía por encima de los 5 kHz. Y los sujetos con oído absoluto fracasan repetidamente a altas frecuen-cias. Estos datos son consistentes con el hecho ya visto de que a alrededor de los 5 kHz cambian los mecanismos de percepción de la altufa: un mecanismo temporal actúa a bajas frecuencias y un mecanismo tonotópico lo hace a altas frecuencias. Tanto el sentido de la altura tonal como la sensibilidad a la fase se pierden más. allá de- los 5.000 Hz,

Puede ser interesante repasar el rango de frecuencias fundamentales que abarca el teclado de un piano moderno: la frecuencia mús alta no llega a 4.200 Hz (véase la figura 16).

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4186 Do 8 3951 Si 7 3530 La 7 3136 Sol 7 2791 Fa 7 2637 Mi 7 2349 Re 7 2039 Do 7 1976 Si 6 1760 La 6 1568 Sol 6 1397 Fa 6 1318,5 Mi 6 1174,7 Re 6 1046,5 Do 6 937,8 Si 5 880 La 5 784 Sol 5 698,5 Fa 5 659,3 Mi 5 587,3 Re 5 523,3 Do 5 493,9 Si 4 440 La 4 392 Sol 4 349,2 Fa 4 329,6 Mi 4 293,7 Re 4 261,6 po 4 246,9 Si 3 220 La 3 196 Sol 3 174,6 Fa 3 164,8 Mi 3 146,8 Re 3 130,8 Do 3 123,5 Si 2 110 Lag 98 Sol 2 87,5 Fa 2 82,4 Mi 2 73,4 Re 2 65,4 Do 2 61,7 Si 1 55 La 1 49 Sol 1 43,7 Fa 1 41,2 Mi 1 36,7 Re 1 32,7 Do 1 30,9 Si O 27,5 La O

3729 3322 2960

2489 2218

1865 1661 1480

1244,5 1108,7

932,3 830,6 740

622,3 554,4

466,2 415,3 370

311,1 277,2

233,1 207,7 185

155,6 138,6

116,5 103,8

92,5

77,8 69,3

58,3 51,9 46,3

38,9 34,7

29,1

Figura 16, Rango de frecuenciasfundamentaleIrde un piano moderno

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La Mi

Tiempo (ms)

Figura 17. Señales asociadas a un intervalo diacrónico de quintil justa

Intervalos sincrónicos y diacrónicos

Los dos mecanismos' que actúan en la percepción primaria de la altura, el tono-tópico y el temporal, se manifiestan de manera diferente si se presentan inter-valos sucesivos o diacrónicos o intervalos simultáneos o sincrónicos. Cuando los estímulos son diacrónicos, la sucesión de intervalos posee carácter melódico. La evaluación de la diferencia de altura entre estímulos -el intervalo diacróni-co- puede derivar únicamente de h evaluación de la distancia que existe entre puntos de vibración en la' membrana basilar. Si los estímulos son periódicos, con espectro armónico, se evalúa la distancia entre los dos patrones de excita-ción. En estos casos el mecanismo tonotópico es el único que puede activarse porque, al no actuar los dos estímulos al mismo tiempo, no es posible el análi-sis temporal simultáneo entre ambos. En la figura 17 se aprecia un gráfico tem-poral de las señales que inducen un intervalo diacrónico de quinta justa.

Juzgamos los intervalos sucesivos casi de manera táctil, comparando el punto de máxima excitación del segundo estímulo con el recuerdo del punto de máxima excitación de primero. En este caso, el rol de la memoria de corto término resulta determinante. Si además actúa la memoria de largo término, hecho que ocurre en alrededor del 1% de la población, se dice que el oyente posee oído absoluto. El oído absoluto es la habilidad de reconocer la altura to-nal de un sonido sin compararla con una referencia cercana en el tiempo.

En cambio, cuando los estímulos se presentan de manera sincrónica, la manifestación simultánea de dos o más sonidos posee carácter armónico.16 La evaluación de la diferencia de altura entre estímulos -el intervalo sincrónico-

16 E1 término "armónico" se emplea aquí en un sentido amplie y significa ocurrencia sinuil-tánea. De manera similar, en el párrafo anterior se habla de carácter melódico para descri-bir la ocurrencia sucesiva. So podría trazar un correlato con las estructuras verticales y horizontales en una partitura o en un sonograma.

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La

Mi

r

La + Mi

ce ce

c

ce

ce In

tens

idad (

dB

)

Tiempo (ms)

Figura 18. Señales asociadas a un intervalo sincrónico de quinta justa

puede derivar en este caso tanto del. mecanismo tonotópico anterior como del análisis temporal simultáneo de las dos señales. En este último caso la apari-ción de batidos y sonidos diferenciales prevalece como criterio de consonan-cia y correcta afinación, al menos en la música tonal occidental.

Tomemos como ejemplo un intervalo sincrónico de quinta justa. Ca-da vez que la señal más grave, un La4 de f = 440 Hz completa dos ciclos la más aguda, un Mi5 de f= 660 Hz completa 3, tal como se aprecia en la fi-

gura 18. La exacta coincidencia de fase cada dos ciclos del La4 —o tres del Mi5-

impide la aparición de batidos y diferenciales. El gráfico espectral del interva-lo anterior es el que se muestra en la figura 19.

¿Qué ocurre si desafinamos un poco esta quinta justa, por ejemplo, au-mentando la frecuencia del Mi5 apenas 2 Hz pata llevarlo a 662 Hz? Apare-cen necesariamente batidos de primer orden que crecen en frecuencia a medida que aumenta el orden de los armónicos involucrados.

El batido más grave se da entre el tercer armónico de La4 (un Mi6 de f 3 =

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Figura 19. Lsprctro de Fourier asociado a un interval ) sincrCnico de quinta justa

Figura 20. Espectro de Fourier asociado a un intervalo sincrónico de quinta justa desafintick)

1.320 Hz) y el segundo armónico de Mi5 (otro Mi, pero esta vez de f = 2 x 662 Hz = 1.324 Hz) con un período de batido de fi)) = 4 Hz, El siguiente ocu-rre entre el sexto armónico de La4 (h, = 2.640 Hz) y el cuarto armónico de Mi5 (f 4 = 2.648 Hz). Ahora el período de batido es h,2 =•8 J-lz. La secuencia continúa hasta, teóricamente, alcanzar el límite del rango audible.

En la música occidental tradicional, consonancia armónica y correcta afi-nación de acordes significan mínimo batido. Por este motivo, para. evaluar los intervalos sincrónicos prevalecen los criterios temporales —que aseguran el control de los posibles batidos— sobre los criterios tonotópicos. Hay que acla-rar que en la música de muchas culturas el batido entre sonidos no es consi-derado un elemento negativo o disonante, sino que se lo integra corno parte de la textura del sonido,

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Figura 21. Octava diacrónica ejecutada con un violín

Figura 22. Octava sincrónica ejecutada con un violrn

Un ejemplo práctico para demostrar la diferencia entre una octava dia-crónica y otra sincrónica se puede realizar con un instrumento de arco, por ejemplo un violín. Primero se toca la tercera cuerda al aire (Re4), se hace un pequeño silencio y se toca en segunda cuerda la octava (Re5) del sonido an-terior, buscando la mejor afinación posible. A continuación se compara esta última nota con el segundo armónico de la tercera cuerda (Re5): el Re5 en se-gunda cuerda es casi siempre más agudo que el .armónico.

¿Qué ocurre? La octava diacrónica fue afinada de acuerdo con la memo-ria auditiva y no pudo controlarse por batido, Por lo general se la afina un po-co más grande que la que corresponde a la relación 2:1. A su vez, la frecuencia del segundo armónico, si la cuerda es de buena calidad, es casi exactamente el doble de la frecuencia de la cuerda a aire.

En cambio, si la octava anterior se interpreta sincrónicamente (un bicorde) es posible llevar el batido entre ambos sonidos a cero. En este caso la altura del Re5 en segunda cuerda y el armónico en tercera son de la misma altura tonal.

Consonancia y disonancia

Los conceptos de consonancia y disonancia son, obviamente, culturales y de-penden del contexto histórico, del género, del estilo y hasta de las característi-cas particulares del compositor de cada pieza de música. En muchos textos se leen frases del tipo: "cuando los sonidos musicales relacionados por una razón simple suenan simultáneamente el sonido es agradable" o "la disonancia puede ser explicada en parre por el batido entre componentes en la membrana basi-lar", que pretenden establecer causas perceptuales pritnarias e independientes

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del marco cultural de referencia. Dichos intentos de universalizar el concepto de consonancia son rebatidos al confrontarlos con la gran cantidad de lengua-jes musicales no occidentales en los cuales no se cumplen. Incluso dentro del área de la música occidental misma se crearon, a partir de fines del siglo xix y principios del XX, sistemas que redefinen completamente la noción tradicional

de consonancia.I7 Un estudio exhaustivo del tema necesariamente debería contemplar el desarrollo contextual e histórico de cada lenguaje musical parti-cular. Dicho estudio no podrá soslayar el análisis de las combinaciones de altu-ras tonales, de sus campos de acción y de las jerarquías relativas que ocupan en los diferentes sistemas musicales. En otras palabras, el estudio que imaginamos tendría que encarar ampliamente un análisis escalístico completo de cada sis-

tema musical.

11 Que alguno de los sisremas experimentales que aparecieron en el siglo xx huyan sido acu-sados de "axiomáticos", y basta de "tecnocráticos", no invalida la afirmación anterior. •

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