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1.2 - Introduo s Equaes Diferenciais1.2.1 - Definio e Importncia

A equao diferencial uma equao que envolvederivadas e que tem como soluo uma funo, ou

uma relao.Diversos problemas de engenharia so modelados,

ou seja, formulados matematicamente, atravs de equa

es diferenciais. Ex.:Clculo das expresses dos esforos internos em

estruturas CIV0405Mecnica Tcnica;

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Clculos de modelos simples de vibraes estrutu-rais Dinmica das Estruturas Ps-Graduao;

Clculos de escoamento de fluidosCIV0413Fenmenos de Transporte;

Clculos de flambagem de colunasCIV0418Resistncia dos Materiais II;

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Clculos de deformaes em estruturasCIV0411Resistncia dos Materiais I;

Muitos outros clculos mais complexos

Ps-Graduao.

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1.2.2 - Classificao das Eq. Dif. Quanto ao Tipo

Equaes diferenciais que contm somente deriva-das ordinrias de uma ou mais variveis dependentescom relao a uma nica varivel independenteso

chamadas de Equaes Diferenciais Ordinrias(EDO). So o objeto de estudo deste Captulo 01.Ex.:

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Equaes diferenciais que contm derivadas parci-

ais de uma ou mais variveis dependentes com relaoa duas ou mais variveis independentes so chamadasde Equaes Diferenciais Parciais(EDP). So o obje-

to de estudo do Captulo 04. Ex.:

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1.2.3 - Classificao das EDO Quanto a Ordem

A ordem da derivada de maior ordem numa EDO ,por definio, a prpria ordem da equao diferencial.Ex.:

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Uma EDO geral de n-sima ordem freqentemen

te representada pelo simbolismo matemtico:

OBS.:Se uma funo polinomial, o grau da EDO o maior expoente associado a derivada de maiorordem. Ex.:

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1.2.4 - Classificao das EDO Quanto a Linearidade

Uma EDO chamada de LINEAR quando pode secolocada na forma geral:

Observar que as equaes diferenciais lineares socaracterizadas por duas propriedades:

i) A varivel dependente ye todas as suas derivadasso do primeiro grau, ou seja, a potncia da cada ter-mo envolvendo ye suas derivadas 1;

ii) Cada coeficiente depende apenas da varivel inde-pendente xou um nmero real, inclusive o zero.

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Uma EDO que no linear (no satisfaz i e/ou ii)

chama de EDO NO-LINEAR. Ex:

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1.2.5 - A funo Soluo de uma EDO

A soluo de uma EDO uma funo definidanum intervalo , que juntamente com suas derivadas,quando substitudas na equao diferencial reduz esta

EDO a uma identidade.Em outras palavras, dada uma EDO simbolizada

por , sua soluo uma fun

que possui pelo menos derivadas e satisfaz estaEDO, isto ,

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Exemplo 1.5: Verificar se a funo

uma soluo da EDO , onde uma constante arbitrria.

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Uma soluo para uma EDO que pode ser escrita

na forma chamada de soluo EXPLCITA

da EDO.Portanto, uma soluo explcita da

EDO conforme visto no exemplo 1.5.

1.2.6 - Solues Explcitas e Implcitas de uma EDO

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Enquanto uma relao uma soluIMPLCITA de uma EDO num intervalo , se a dife-

renciao implcita desta relao reproduz a EDO em

anlise.

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Ex.1: se , funo!

se , relao!

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OBS.1:A diferena entre funo (soluo explcita) e

relao (soluo implcita) que na funo cada valor

de xcorresponde a um nico valor de y, enquanto na

relao cada valor de xpode corresponder a dois ou

mais valores de y.

Ex.2: funo! ; relao!

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Exemplo 1.6: Verificar se a relao

uma soluo da EDO , onde

uma constante arbitrria.

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OBS.2: Tem-se dois casos de procedimento de verifica

o de solues de uma EDO: Caso a soluo seja explcita:

A verificao feita substituindo-se e suas

derivadas na EDO, afim de se uma identidade; Caso a soluo seja implcita:

A verificao feita derivando-se implicitamente

afim de se reproduzir a EDO em anlise.

C 0494 A C f i A i A j

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1.2.7 - Nmero de Solues de uma EDO

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Uma dada equao diferencial, para a qual no se-jam estabelecidas restries (condies iniciais no cas

dos PVI, ou condies de contorno no caso dos PVC),

geralmente possui um nmero infinito de solues,

uma vez que a constante arbitrria C da funo solu-

o f(ou da relao soluo G) possa assumir infinitovalores no intervalo I.

Neste caso, se diz que f(ou G) uma SOLUO

GERAL da equao diferencial em estudo.

CIV0494 M d A l C P f D F i Ad i d A j

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No exemplo 1.5 a funo uma

soluo geral da EDO . Esta funo soluo representada graficamente mediante uma famliade parbolas, ver figura abaixo, onde cada membro desta famlia caracterizado por um valor particular daconstante C.

CIV0494 Mt d A lt C P f D F i Ad i d A j

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Porm, uma vez que se fixe um valor especfico da

constante C a funo soluo f(ou a relao soluo G)passa a ser uma SOLUO PARTICULAR da EDO

em estudo, ou seja, cada membro da soluo geral

uma soluo particular da EDO.Este o principal caso de interesse da engenharia e

ser retomado e detalhado futuramente nos problemas

de valor inicial (PVI) e nos problemas de valor de con-torno (PVC).

CIV0494 Mt d A lt C P f D F i Ad i d A j

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1.2.8 - Obteno da Soluo de uma EDO

A funo soluo f, ou a relao soluo G, de umtipo de EDO obtida a partir da aplicao de uma tc-nica de integrao para aquele tipo especfico EDO.

Na prtica existem diversos tipos de EDO e diver-sos mtodos de obteno de solues, e o que funcionpara a obteno da soluo de um tipo de EDO no ne

cessariamente funciona para outro tipo.Assim, neste curso, sero estudados apenas alguns

tipos de EDO e suas respectivas tcnicas de obteno

de solues.

CIV0494 Mt d A lt C P f D F i Ad i d A j

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Particularmente, sero estudados apenas os tipos

de EDO de maior interesse prtico para a engenharia.Portanto, de modo simplificado o problema se resu

me em identificar o tipo de EDO e aplicar a tcnica

correspondente para a obteno de sua soluo.

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1.3 - EDO de Primeira Ordem1.3.1 - Definio

Uma EDO de 1 ordem freqentemente represen-tada pelo simbolismo matemtico:

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Neste item sero estudados os quatro tipos mais re-

levantes de EDO de 1 ordem e suas respectivas tcni-cas de obteno de soluo.

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Uma EDO de 1 ordem chamada de separvel, outem variveis separveis, quando pode ser escrita naforma:

1.3.2 - EDO de 1 Ordem com Variveis Separveis

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Mtodo de Soluo da EDO de 1 Ordem Separvel

A equao separvel pode ser reescrita como:

Se uma soluo desta equao separvel tem-se

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Sendo e como

resulta:

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onde: uma constante arbitrria que precisaser colocada no segundo membro.

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Portanto, para resolver uma EDO de 1 ordem com

variveis separveis basta isolar os termos na varivelyno primeiro membro e os termos na varivel xno se-gundo membro, e ento proceder a integrao de am-

bos os membros e colocar a constante C de integrao.Exemplo 1.7: Resolver a EDO

e verificar a soluo encontrada.

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Exemplo 1.8: Resolver a EDO

e verificar a soluo encontrada.