Concettualmente l'assioma di Archimede ( Lo ricordo, recita " dati due numeri positivi a e b esiste un intero N tale che Na > b " ) ci assicura che l'insieme dove operiamo un qualcosa di ( al livello puramente immaginifico, nulla di rigoroso ) lineare. Ovvero che ci possiamo spostare da destra a sinistra di una virtuale retta prendendo multipli di una certa quantit, e quindi che ogni oggetto si trovi nell'insieme quantitativamente paragonabile ad ogni altro oggetto dello stesso insieme ( e quindi ci troviamo in un campo numerico archimedeo ). E' facile vedere che, ad esempio, nel campo complesso l'assioma d'Archimede non verificato: infatti posso paragonare la parte reale di un numero complesso con la parte reale di un altro numero complesso, posso paragonare le loro parti immaginarie, ma bene notare che i complessi non rappresentano una vera e propria grandezza quantificabile in s e per s. Sono infatti qualcosa di pi di una banale quantit. In conclusione, i matematici definiscono, in vista di ci che stato detto, il campo R come campo completo archimedeo. ( Definizione dovuta a David Hilbert ). Infatti ogni altro campo numerico archimedeo contenuto in R ( rispettivamente i vari N, Z, Q ), e C, il quale non archimedeo, infatti pi grande ( e lo contiene, R ); i reali rappresentano dunque qualsiasi quantit pura e ordinata possa essere concepita ( quantomeno dalla nostra concezione dell'universo matematico concettuale ). Credo, non so quanto a ragione, che proprio il fatto di essere un campo archimedeo completo implichi direttamente il fatto che R la rappresentazione della retta definitiva, ovvero che il fatto di essere il pi grande dei campi archimedei abbia doppia implicazione ( se e solo se ) con il fatto per il quale c' corrispondenza biunivoca tra ogni punto della retta ed ogni elemento di R.