Area Matematica 1rasp

7/17/2019 Area Matematica 1rasp

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Calcolo letterale

1. Quale delle seguenti affermazioni e vera?

(a) m.c.m.(49a2

b3

c2

,−14a3

bc2

) = 98a3

b3

c2

(b) m.c.m.(49a2b3c2,−14a3bc2) = −98a3b3c2 (XX)

(c) m.c.m.(49a2b3c2,−14a3bc2) = 49a2bc2

(d) nessuna delle altre risposte e quella corretta

Risoluzione

49a2b3c2 = 7 · 7 · a · a · b · b · b · c · c

−14a3bc2 = (−1) · 2 · 7 · a · a · a · b · c · c

mcm(49a2b3c2,

−14a3bc2) = (

−1)

·2

·7

·7

·a

·a

·a

·b

·b

·b

·c

·c =

−98a3b3c2

2. La soluzione dell’espressione 1a2x − 1

ax2 con a = −1, x = −1

3 e

(a) 6 (XX)

(b) −6

(c) 49


Risoluzione

L’espressione 1a2x

− 1ax2

con a =

−1 e x = −1

3 diventa

1

(−1)2 −13

− 1

(−1)(−13

)2 =

1−13

− 1−19

= −3 − (−9) = 6

3. L’espressione −[−(2a2)3]−2 e uguale a

(a) −64a−12

(b) 8a3

(c) −164a12

(XX)


Risoluzione

−[−(2a2)3]−2 = −[−(23a2·3)]−2 = −[−8a6]−2 = −1

[−8a6]2 =

−1

(−1)282a6·2 =

−1

64a12

4. Il polinomio p(x) = 3x2 + 5x + 2 e divisibile per

(a) 3x + 2 (XX)

(b) x − 1



(c) x + 2


Risoluzione

p(x) = 3x2 + 5x + 2 = 3(x2 + 53

x + 23

)

Occorre trovare x1, x2 tali che x1 + x2 = 53

e x1 · x2 = 23

.

I numeri cercati sono x1 = 1, x2 = 23

quindi p(x) = 3(x + 1)(x + 23

) = (x + 1)(3x + 2).

5. La seguente frazione letterale x2 + 10xy + 21y2

2x2 + 12xy + 18y2

(a) e uguale alla frazione x + 7y

2(x + 3y) (XX)

(b) e uguale alla frazione 5xy + 7y2

x2 + 6xy + 6y2

(c) e uguale alla frazione 5x + 7y

2x + 3y


Risoluzione

x2 + 10xy + 21y2

2x2 + 12xy + 18y2 =

x2 + 10xy + 21y2

2(x2 + 6xy + 9y2)

Si osservi che al denominatore troviamo, tra parentesi, il quadrato del binomio (x +3y)

mentre applicando la regola di Ruffini al numeratore si ottiene x2 + 10xy + 21y2 =(x + 3y)(x + 7y).

La frazione data diventa quindi (x + 3y)(x + 7y)

2(x + 3y)2 =

x + 7y

2(x + 3y).

Equazioni e disequazioni algebriche

1. Le soluzioni della disequazione −13

x < x − 13

sono

(a) x

∈ R

(b) nessuna soluzione

(c) x > 14

(XX)


Risoluzione

−13

x < x − 13



−13

x − x < −13

−43

x < −13

x > −13

−34

x > 14

2. Per quali valori del parametro reale k l’equazione 2x2−2(k + 4)x−3k +8 = 0 ammettedue soluzioni reali coincidenti?

(a) nessuna soluzione

(b) per k = 0 e k = −14

(c) per k = 0 o k = −14 (XX)


Risoluzione

2x2 − 2(k + 4)x − 3k + 8 = 0.

Il polinomio del tipo ax2 + bx + c = 0 ha due soluzioni reali coincidenti se

∆ = b2 − 4ac = 0.

Occorre quindi risolvere la seguente equazione di secondo grado in k:

[−2(k + 4)]2 − 4 · 2(−3k + 8) = 0

4(k + 4)2 − 8(−3k + 8) = 0

4k2 + 32k + 64 + 24k

−64 = 0

4k2 + 56k = 0

4k(k + 14) = 0

k1 = 0 oppure k2 = −14.

3. Le soluzioni della disequazione x2+25x2−4x

≥ 0 sono

(a) x ≤ 0 ; x ≥ 4

(b) 0 < x < 4

(c) 0

≤ x

≤ 4

(d) nessuna delle altre risposte e quella corretta (XX)

Risoluzione

Per risolvere la disequazione x2 + 25

x2 − 4x ≥ 0 serve che numeratore e denominatore siano

di segni concordi ed inoltre il denominatore deve essere diverso da 0. Osservando chex2 + 25 > 0 ∀x ∈ R allora le soluzioni della disequazione data sono le soluzioni dix(x − 4) > 0, ossia x < 0 e x > 4



4. Le soluzioni dell’equazione x2 − 6x + 8 = 0 sono

(a) x = 2, x = 4 (XX)

(b) x = −

2, x = −

4

(c) nessuna soluzione


Risoluzione

Per fattorizzare l’equazione x2−6x +8 = 0 occorre trovare x1, x2 tali che x1 + x2 = −6e x1x2 = 8.

I valori cercati sono −2,−4 pertanto x2−6x+8 = (x−2)(x−4) e quindi (x−2)(x−4) = 0per x = 2 oppure x = 4.

5. Le soluzioni del sistema di disequazioni

(x − 1)2

< (x + 5)2

x2 − 2x + 1 > 0 sono

(a) x > −2

(b) x > 1

(c) x < −2 ; x > 1

(d) nessuna delle altre risposte e quella corretta (XX)

Risoluzione

Dal sistema (x − 1)2 < (x + 5)2

x2 − 2x + 1 > 0

risulta che la prima disequazione e soddisfatta per x > −2 mentre la seconda per x = 1.

La soluzione del sistema e l’intersezione delle soluzioni ossia −2 < x < 1 e x > 1

Geometria Analitica

1. Le rette di equazione y = 2x − 1 e y = −4x + 2

(a) sono perpendicolari

(b) sono parallele

(c) sono coincidenti

(d) sono incidenti ma non perpendicolari (XX)



Risoluzione

I coefficienti angolari delle rette sono, rispettivamente, m1 = 2 e m2 = −4.

Le rette si intersecano in un solo punto ed i coefficienti angolari non sono uno l’antireciproco

dell’altro. Pertanto le rette sono incidenti ma non perpendicolari.

2. La circonferenza di equazione x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0

(a) ha centro nel punto C = (0, 0) e raggio r =√

12

(b) ha centro nel punto C = (2,−3) e raggio r = 5 (XX)

(c) ha centro nel punto C = (−4, 6) e raggio r = 12


Risoluzione

La circonferenza di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 ha centro di coordinate ( −a2 , −b

2 )

e raggio r =

(−a2

)2 + ( −b2

)2 − c.

Pertanto, nel nostro caso, la circonferenza data ha C = (2,−3) e r = 5.

3. Siano A = (−5, 3) e M = (−1, 1), con M punto medio del segmento AB . Determinarele coordinate del punto B e la lunghezza del segmento AB

(a) B = (−3, 2) e AB =√

5

(b) B = (3,−1) e AB = 4√

5 (XX)

(c) B

= (−6,

4) e AB

=

√ 2


Risoluzione

Le coordinate del punto medio sono M = (xA+xB2

, yA+yB2

).

Avendo il punto A = (−5, 3) = (xA, yA) si trova B = (3,−1).

Ricordando che la distanza tra due punti e data da AB =

(xA − xB)2 + (yA − yB)2

si ha AB = 4√

5

4. La retta di equazione y = −

2x

(a) non ha intersezioni con la parabola di equazione y = x2 − 2x

(b) e secante alla parabola di equazione y = x2 − 2x

(c) e tangente alla parabola di equazione y = x2 − 2x (XX)

(d) interseca la parabola di equazione y = x2 − 2x in tre punti distinti



Risoluzione

Mettendo a sistema l’equazione della retta con quella della parabola si ottiene x2 = 0ossia le soluzioni del sistema sono due e coincidenti ovvero la retta e tangente alla

parabola.5. L’equazione x2 + 2y2 = 9

(a) rappresenta un’iperbole

(b) rappresenta una parabola

(c) rappresenta una circonferenza

(d) rappresenta un’ellisse (XX)

Risoluzione

L’equazione x2 + 2y2 = 9 si presenta come x2

32 + y2

(

3√

2 )2

= 1, equazione di un’ellisse.

Equazioni e Disequazioni Irrazionali, Esponenziali e Log-

aritmiche

1. Le soluzioni della disequazione√

x2 − 3x > 2 sono

(a) nessuna soluzione

(b) x < −1 ; x > 4 (XX)

(c) x <

−3


Risoluzione

Per risolvere la disequazione√

x2 − 3x > 2 occorre risolvere il sistema

x2 − 3x ≥ 0x2 − 3x > 4

che ha per soluzione x < −1 ; x > 4

2. Le soluzioni della disequazione log2 3 > log2 x sono

(a) x > 3

(b) x < 3

(c) 0 < x < 3 (XX)


Risoluzione

Per risolvere la disequazione log2 3 > log2 x occorre risolvere il sistema

x > 03 > x

che ha per soluzioni 0 < x < 3.



3. Le soluzioni della disequazione log 1

2

x + log 1

2

4 < 0 sono

(a) x < 4

(b) x > 1

4 (XX)

(c) x > 4


Risoluzione

La disequazione log 1

2

x + log 1

2

4 < 0 equivale alla disequazione log 1

2

4x < 0 ossia, visto

che la base del logaritmo e positiva ma minore di 1, 4x > 1 quindi x > 14

.

4. Le soluzioni della disequazione 4x + 1 > 2x+1 sono

(a) x = 0 (XX)

(b) x ∈ R

(c) x > 0


Risoluzione

La disequazione 4x + 1 > 2x+1 si puo riscrivere come 22x − 2 · 2x + 1 > 0.

Ponendo ora t = 2x la disequazione proposta si presenta come una disequazione disecondo grado in t con soluzioni t = 1 ovvero x = 0.

5. Le soluzioni della disequazione | x − 2 |< 3 sono

(a) x < 5

(b) −1 < x < 5 (XX)

(c) x ∈ R


Risoluzione

La disequazione | x − 2 |< 3 equivale a −3 < x − 2 < 3 ossia −1 < x < 5.

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