Archi,Volte e Cupole

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Archi, volte e cupole

Da

“L‟arte del costruireTra conoscenza e scienza”

di Salvatore di Pasquale

“La meccanica nell‟architettura- La Statica”di Antonino Giuffrè

“The stone skeleton”di Jaques Heyman

“Le strutture in Architettura”di Mario Salvadori e Robert Heller

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Aspetti base del comportamento strutturale

I sistemi costruttivi: Ora ci sono tre grandi architetture nel mondo, e

non potrebbero essere di più, corrispondenti a ognuno dei tre sistemi fondamentali di coperture dello spazio … che fanno capo ai tre ceppi originari:

a) greco: architettura della traveb) romanico: architettura dell‟arco a pieno centroc) gotico: architettura del tetto inclinato […]2.

2J.Ruskin “The Stones of Venice”.

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I 3 sistemi derivano dalle tre possibilità di coprire un intervallo tra 2 appoggi:

Architrave

Arco a pieno centro

Arco acuto.

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Le origini dell‟arco

Micene: nella Porta dei Leoni si rintracciano le

origini dell‟arco e della cupola.

Porta dei Leoni

Questo sistema è una estensione del principio dell‟architrave:

La portata di un unico architrave viene ridotta mediante una successione di elementi in aggetto l‟uno sull‟altro.

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La parte appoggiata deve essere sufficientemente caricata per evitare il ribaltamento del concio

La parte in aggetto non deve produrre rottura

per flessione.

Ingresso del Tesoro di Atreo

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L‟arco naturale

Questa forma può verificarsi anche naturalmente.

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L‟arco naturale

Rottura ad arco naturale al di sopra di un architrave

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La struttura spingente semplice: le tombe di Populonia

In queste tombe si trova la struttura spingente più elementare che si può ottenere con il numero minimo di elementi distinti e disarticolabili

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La struttura spingente semplice

Meccanismo di rottura: Rotazione intorno ai punti A, B, C

I blocchi possono ruotare l‟uno rispetto all‟altro senza scivolare

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Equilibrio alla rotazione dei blocchi:

Equilibrio al punto A:

Momento ribaltante: MR = H (f + h)

Momento stabilizzante:

MS = P2 (a + b) + P1 b/2

Equilibrio: H (f + h) = P2 (a + b) + P1 b/2

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Equilibrio alla rotazione dei blocchi:

Equilibrio al punto A:

Equilibrio Stabile:

H (f + h) < P2 (a + b) + P1 b/2

Equilibrio Instabile:

H (f + h) > P2 (a + b) + P1 b/2 Rotazione

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L‟arcoAspetti base del comportamento strutturale

Trazione

Compressione

Trave appoggiata (sistema trilitico)

Arco

Isostatiche dicompressione

Isostatiche di trazione

Trazione

Compressione

Compressione

Trasmissione di sole azioni verticali

Trasmissione di azioni verticali e orizzontali (spinte)

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Reazione orizzontale

Reazione verticale

Curva di pressione o “funicolare”

L‟arco è un elemento strutturale in grado di incanalare, con la sua traiettoria curvilinea, le sollecitazioni prodotte dai carichi trasformandole in forze prevalenti di compressione.

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Reazione orizzontale

Reazione verticale

Curva di pressione o “funicolare”

La sollecitazione di compressione rappresenta praticamente l‟unica sollecitazione cui la pietra e la muratura sono in grado di resistere.

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Stabilità

ottenuta per

compressione

Verifica dell’equilibrioGEOMETRIA e DISTRIBUZIONE

delle masse garantiscono il corretto

flusso delle forze nelle sezioni resistenti

Verifica di resistenzaLe sollecitazioni nelle sezioni devono

essere minori delle resistenze dei materiali

Il materiale pietra

Proprietà principali:

Scarsa resistenza a trazione

Fragile

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Situazione ideale

Compressione uniforme

Situazione compatibile

Carico eccentrico

Sezione compressa

Situazione limite

Sezione parzializzata

Superamento della resistenza

Situazione instabile

Risultante fuori base

RIBALTAMENTO

Equilibrio e resistenza

d/3

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La sezione rettangolare è tutta compressa se il centro di pressione cade all‟interno del terzo medio

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Nel caso di due corpi appoggiati l‟uno sull‟altro con vincolo di semplice contatto non può sussistere equilibrio se il risultante cade fuori dalla sezione.

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L‟arco nell‟antichità

Nato forse in Mesopotamia nel 4000 a.C.

I mattoni venivano cotti al sole

Qualche secolo dopo anche in Egitto

Nel 3000 a.C. le prime pietre sagomate

Gli Etruschi tagliavano le pietre a cuneo

Già nel 500 a.C. i Romani costruivano ponti ad arco di grande luce.

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Vitruvio e l‟arco

Vitruvio (ca. 30 a.C.) non fornisce regole per il progetto dell‟arco

Il problema è: come portare la porzione di parete sovrastante un‟apertura?

“Si deve scaricare il carico della parete mediante archi composti da conci con i giunti che convergono verso il centro”

Quasi tutti gli archi romani sono infatti semicircolari con i giunti “centrati”.

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L‟arco semicircolare

Il termine “centina”, che denota la casseratura usata per la costruzione fino alla posa del concio di chiave, deriva da questa impostazione.

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Gli studi sull‟arcoIl Medioevo

Regola geometrica per il dimensionamento dei piedritti:

si suddivide l'arco in tre porzioni di uguale lunghezza

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si traccia la semicirconferenza di raggio pari a tale lunghezza e centro all'imposta dell'arco

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la verticale passante per l'estremità esterna della circonferenza corrisponde alla delimitazione esterna del piedritto

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questa regola impone un diverso dimensionamento dei piedritti al variare della geometria dell'arco

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Leon Battista Alberti La spiegazione dell‟Alberti sul funzionamento degli

archi a tutto sesto è la prima a comparire nella trattatistica architettonica: “… non si vede in che modo esso (arco) possa sconnettersi

per conto proprio; salvoché l‟un concio spinga fuori l‟altro; quand‟anche fossero disposti a tentare di scalzarsi a vicenda,

la presenza stessa dei pesi … basta ad impedirlo il concio posto in cima … non si vede come possa trovare la

forza di spingere in fuori i conci che lo fiancheggiano; … quelli che fanno seguito ad essi, occupando i fianchi

dell‟arco, verranno tenuti agevolmente … dall‟equilibrarsi dei pesi;

infine, i conci posti alle due estremità inferiori, non si comprende come possano spostarsi una vola che gli altri, posti sopra di essi, restino fermi al loro posto

Pertanto gli archi interi non abbisognano di corda poiché essi sono in grado di mantenersi da se.

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Leon Battista Alberti

Dalla forma dell‟arco e dei conci di cui è composto nasce l‟idea della loro somiglianza al cuneo (una delle macchine semplici studiate da Aristotele ed Erone)

Parti di cunei con le facce rivolte verso il centro dell‟arco ed individuate da piani perpendicolari alle superfici di intradosso e di estradosso

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L‟azione che ciascun concio (cuneo) esercita su quelli adiacenti si manifesta, per l‟Alberti, con l‟allontanamento delle parti

L‟azione esercitata dai conci d‟imposta è contrastata dai sostegni

Per questo, per l‟Alberti, gli archi “interi” non necessitano di catene

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L‟idea del cuneo sarà sviluppata in seguito (De la Hire, De Belidor) con un linguaggio appropriato alla descrizione del comportamento meccanico

Senza questi strumenti le cause sono solo intuite

E‟ la conoscenza degli effetti che genera l‟apparato di regole cui deve sottostare chi costruisce

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Leonardo da Vinci

“Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze imperoché l'arco negli edifiti è composto di due quarti di circulo, i quali quarti circuli ciascuno debolissimo per sé desidera cadere e oponendosi alla ruina l'uno dell'altro, le due debolezze si convertono in un'unica fortezza”

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Leonardo da Vinci

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Leonardo da Vinci

Studia le fratture ed i meccanismi che si generano in un arco sottoposto a determinate condizioni di carico: Arco a tutto sesto caricato in chiave

Se l‟arco è intero (fatto di un solo pezzo) si romperà solo quando sarà raggiunta la resistenza del materiale

Allora si avrà la formazione di fratture e la trasformazione della struttura in meccanismo

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Leonardo da Vinci

“l'arco non si romperà, se la corda dell'archi di fori non toccherà l'arco di dentro”

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Leonardo da Vinci

Arco a tutto sesto soggetto al peso proprio e a un carico concentrato in una delle reni

Sequenza della formazione delle cerniere:

Cerniera in o

Cerniera in d

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Metafore, analogie e modelli In nessuno dei trattati scritti fino alla fine del XVII

secolo il problema può essere descritto in termini matematici come era stato fatto per le macchine semplici

Nessuno fino ad allora era riuscito ad individuare nella rottura di un arco il meccanismo delle leve che si creava e di tradurre tutto in equazioni

Il meccanismo di rottura che si innesca in un arco al momento del suo crollo richiede per essere descritto la definizione del momento di una forza

A questa definizione si giunge solo dopo la metà del XVII secolo

Il principio di simmetria introdotto da Archimede per dimostrare la legge della leva non può essere utilizzato in quanto in gioco entrano anche le forze orizzontali.

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La spinta degli archi

Analogia con il cavo teso

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La spinta degli archi

Analogia con il cavo teso

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Archi in muratura

Il primo testo sul calcolo delle imposte degli archi fu pubblicato nel 1717 da Gautier, che affrontò 5 temi fondamentali:1. Lo spessore delle imposte

2. Lo spessore delle pile interne in rapporto alla luce degli archi

3. Lo spessore dell‟arco

4. La forma dell‟arco

5. Le dimensioni dei muri di sostegno

Il problema 1 necessita di conoscere la spinta dell‟arco, la quale dipende da 3 e 4.

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Robert Hooke

In realtà il problema era già stato affrontato e in parte risolto da Hooke nel 1675

Il clima competitivo fra gli scienziati dell‟epoca lo obbligò a nascondere le sue scoperte fra anagrammi: Ut pendet continuum flexile, sic stabit

contiguum rigidum inversum

Riconobbe la corrispondenza matematica fra il ponte sospeso e l‟arco in muratura.

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La catenaria

Risolvendo il difficile problema della catenaria, si sarebbe risolto anche il problema dell‟arco

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La catenaria

Risolvendo il difficile problema della catenaria, si sarebbe risolto anche il problema dell‟arco

… che per la verità Leibniz, Huygens e Bernoulli avevano già risolto, tenendolo però segreto …

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Hooke su Giove (!?!)

… si consolò scoprendo la macchia sulla superficie di Giove …

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L‟intuizione di Gregory (1697)

In un testo aperto dice: “… e quando un arco di forma qualsiasi si

tiene in piedi, è perché nel suo spessore si è formata una qualche catenaria …”

Questa affermazione contiene il teorema fondamentale della meccanica strutturale, che deve attendere il XX secolo per la dimostrazione matematica! E‟ sufficiente provare che una struttura può

stare in piedi; se può farlo, lo farà.

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La linea delle pressioni

Linea delle pressioni in un arco semicircolare

Esistono infiniti modi in cui un arco può portare il proprio peso

Le equazioni di equilibrio non sono sufficienti per determinare l‟esatta posizione della linea delle pressioni.

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E‟ necessario imporre altre due condizioni: Meccanica: legame forze – deformazioni

Geometrica: condizioni al contorno: Sulle forze o sulle deformazioni

Linea delle pressioni in un arco semicircolare

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E‟ l‟inverso della catenaria

Rappresenta il percorso delle forze di compressione che si trasmettono attraverso i conci fino alle imposte

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La funicolare si muove fra due estremi

Minima spinta se l‟arco si apre

Massima spinta se l‟arco si chiude

Minima spinta

Massima spinta

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Gli studi condotti nel corso del XVIII riguardarono:

L‟individuazione della linea delle pressioni all‟interno di un arco

La definizione del concetto di cerniera:

Per l‟ipotesi di che nell‟arco si formano cerniere la linea delle pressioni è nota.

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L‟arco a tre cerniere

La spinta dell‟arco sulle spalle ne causa lo spostamento

Ipotesi: materiale rigido con infinita

resistenza a compressione e nulla a trazione

assenza di scorrimento tra i conci

indeformabilità dei conci

l‟arco può seguire le imposte solo se si fessura (formazione di cerniere).

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L‟arco è comunque stabile

E‟ una struttura isostatica

Per risolverlo sono sufficienti le equazioni di equilibrio

Conoscendo la posizione delle cerniere, la funicolare è nota.

cerniere

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L‟arco è staticamente determinato anche se le cerniere si formano lontano dalle imposte.

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Quando la funicolare cade fuori dal terzo medio, i conci si aprono

Perché la malta ha scarsa resistenza a trazione

Questo può accadere, ad es., quando, per la spinta laterale dell‟arco, le imposte si allontanano, oppure in archi di spessore ridotto.

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Gli studi sull‟arco

Gli studi sull‟arco condotti nel XVIII e XIX sec. si possono dividere in due filoni: Lo studio dello spessore dell‟arco

necessario a prevenire l‟attivazione di un meccanismo di collasso per carichi permanenti

La forma da dare all‟arco per assicurare la centratura degli sforzi normali di compressione sulle superfici di contatto tra due conci contigui.

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De La HireLa teoria del cuneo

De La Hire individua nell'arco l'azione di una macchina semplice: il cuneo.

Il funzionamento dell'arco è interpretato come la risultante dell'azione mutua di corpi rigidi infinitamente resistenti (i conci dell'arco) supposti agire come cunei posti uno sull'altro e mantenuti in equilibrio per azione mutua del proprio peso e delle azioni reciproche scambiate con i conci limitrofi.

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L'ipotesi fondamentale che caratterizza l'interazione in De La Hire è l'assenza di attrito tra i conci, assunzione nella quale è individuabile il limite della sua interpretazione statica.

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De La Hire affronta il problema dell‟equilibrio dell‟arco

Partendo dal concio in chiave, la cui dimensione è stabilita:

Impone l'equilibrio di ogni concio applicando nel baricentro le due forze trasmesse dai conci limitrofi e normali ai giunti e la forza peso.

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Lo spessore dei rimanenti conci è l'incognita del problema

Viene determinata concio per concio imponendo l'equilibrio

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Se l'imposta dell'arco è orizzontale, l'equilibrio del concio di imposta non è possibile

In esso l'azione verticale della forza peso e della reazione all'imposta non possono equilibrare la forza scambiata con il concio che su di esso si appoggia

De La Hire deve quindi ammettere che nella realtà il concio all'imposta può essere equilibrato solo dall'azione delle forze di attrito.

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De La HireIl dimensionamento del piedritto

Lo schema strutturale di De La Hire contiene le ipotesi meccaniche di comportamento alle quali applica l‟algoritmo di calcolo

Il modello meccanico che egli utilizza è strettamente condizionato dagli strumenti di calcolo che De La Hire ha a disposizione

Egli tratta il problema dell‟equilibrio dell‟arco mediante la legge della leva

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Il problema della statica degli archi compare per la prima volta nel “Traitè de la mecanique” di Philippe De La Hire (1640-1718)

De La Hire studia l‟equilibrio dell‟arco nella situazione di rottura descrivendo prima il meccanismo di collasso:

La parte centrale dell‟arco compresa tra due raggi a 45° rimane integra e scivola verso il basso esercitando un‟azione di cuneo sulle parti restanti dell‟arco spingendole in fuori promuovendone il ribaltamento senza scorrimento

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L‟ipotesi è che la parte centrale dell‟arco si comporti come un cuneo tra superfici lisce

Una superficie priva di attrito costituisce un vincolo in grado di esercitare solo reazioni ad essa ortogonali

Il piedritto tende a ruotare intorno allo spigolo esterno alla base (punto C in figura).

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Nella rotazione intorno a C il punto A si porta in A’ Il peso Q del cuneo centrale viene scomposto nelle due

componenti RA ed RZ ortogonali alle due superfici di rottura

De La Hire individua la leva ACD e scompone la forza RA esercitata dal cuneo centrale nelle componenti F ed H applicate al braccio della leva AC.

lD

RA

FA

H

P

C D

lA

RA Q/2De la Hire inaugura l'approccio che individua nel comportamentodella muratura l'azione reciproca di corpi rigidi.

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Per l‟equilibrio della leva il momento ribaltante F lA deve essere uguale al momento stabilizzante P lD (essendo P il peso del

piedritto e della parte di arco ad esso aderente)

Il peso del piedritto necessario per l‟equilibrio è fornito dalla espressione:

A

D

lP F

l

lD

RA

FA

H

P

C D

lA

RA Q/2

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De BelidorIl dimensionamento del piedritto

Qualche anno dopo De Belidor ripropose gli studi di De La Hire

Egli suppose che la reazione dell‟arco fosse applicata a metà spessore anziché all‟intradosso

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De BelidorLa teoria del cuneo

La reazione che il cuneo centrale esercita sulla sezione di scorrimento è fornita dalla relazione:

1

2 cos

QF

xG

F

A

P

C D

lA

Q/2

yA

xA

x

y

dF

yAtg

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De BelidorLa teoria del cuneo

Egli considera la leva angolare ECD:

Braccio della forza F: dF = (yAtg – xA)cos

Condizione di uguaglianza dei momenti rispetto a C:

( )

2

A AF G

G

y tg xQFd Px P

x

xG

F

A

P

C D

Q/2

yA

xA

x

y

dF

yAtg

E

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CoupletIl collasso flessionale

Nel “Seconde partie de l'examen de la poussee des voutes” del 1730, ammette l'importanza fondamentale dell'azione dell'attrito tra i conci che impedisce l'attivazione di scorrimenti relativi

Affronta il problema dello spessore minimo di un arco a tutto sesto caricato con il solo peso proprio

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CoupletIl collasso flessionale

La soluzione è ottenuta da Couplet ipotizzando un meccanismo di collasso a cinque cerniere, collocate all'estradosso in chiave e all'imposta e all'intradosso in

posizione rialzata a 45° rispetto all'orizzontale

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CoulombIl principio dei Massimi e Minimi

Charles Coulomb nel “Essai sur une application de maximis et minimis a quelques problemes de statique, relatifs a l'Architecture” del 1773, affronta il problema dell'equilibrio delle volte in presenza di coesione ed attrito tra i conci

Per la prima volta l'obiettivo è la determinazione delle sollecitazioni che insorgono in una volta di assegnate dimensioni e figura

Il problema fondamentale che Coulomb si pone è questo: In una volta per la quale siano assegnate la curva interna AB e la

curva esterna ab, sono dati anche i giunti Mm perpendicolari agli elementi della curva interna; si richiedono i limiti della forza orizzontale S che sostiene questa volta, supponendo che essa sia sollecitata dal proprio peso, e sia trattenuta dalla coesione e dall'attrito

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Coulomb considera una porzione di arco compresa tra la sezione in chiave e un generico giunto assunto come critico.

Individua quattro modalità di collasso: lo scorrimento relativo tra le facce nelle due direzioni l'apertura del giunto per rotazione all'intradosso e

all'estradosso

M

m

S

Q

b

a

B

A

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Impone l'equilibrio limite di scorrimento nelle due direzioni, ottenendo un valore minimo ed uno massimo della risultante S agente sulla sezione in chiave.

Analogo procedimento è utilizzato imponendo l'equilibrio limite alla rotazione nelle due direzioni.

M

m

S

Q

b

a

B

A

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La massima reazione di attrito è assunta proporzionale all'azione normale sul giunto attraverso un opportuno coefficiente

I valori massimi e minimi di S vengono ricercati al variare della posizione ϕ del giunto critico sull'arco

Il risultato finale fornisce un limite inferiore ed uno superiore di S entro i quali l'equilibrio della volta è garantito

M

m

S

Q

b

a

B

A

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Coulomb scopre e accetta l'indeterminatezza del problema dimostrando che in un certo intervallo ammissibile tutte le soluzioni sono ugualmente accettabili.

M

m

S

Q

b

a

B

A

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Il calcolo a rottura di Mascheroni

Mascheroni idealizza i meccanismi di rottura dell'arco individuati da De la Hire e da Coulomb a sistemi di aste rigide e ne determina le condizioni limite di equilibrio

Egli propone lo studio di due dei possibili meccanismi di rottura dell‟arco: Rottura per scivolamento del cuneo centrale con

punto di rotazione posto all‟intradosso dell‟arco (De La Hire)

Rottura multipla con formazione di cerniere all‟intradosso ed alle reni

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Nella condizione di rottura si può vedere l‟arco come sistema articolato di corpi rigidi vincolati a cerniera internamente e con l‟esterno

1

2

1'

2'

A A'

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Il calcolo a rottura di Mascheroni Il sistema è labile:

Numero dei gdl: 4 corpi x 3 g.d.l = 12

Numero dei vincoli: 2 gdl vincolati x 5 cerniere = 10

Possono esistere condizioni di carico che

rispettano l‟equilibrio

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Si analizza metà arco

Per la simmetria del sistema la reazione offerta dalla cerniera in B non può che essere orizzontale

xG

A

P

C

Q/2

xA

H

yA

f

'

H

l

G2

G1

B

78/222


Il peso Q/2 del tratto di arco AB, passante per il baricentro G2 dovrà essere equilibrato da una forza orizzontale passante per B e da una forza passante per A

xG

A

P

C

Q/2

xA

H

yA

f

'

H

l

G2

G1

B

79/222


Costruito il triangolo dell‟equilibrio si trova l‟azione che il corpo AB esercita sul corpo AC attraverso la cerniera in A.

xG

A

P

C

Q/2

xA

H

yA

f

'

H

l

G2

G1

B

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Il calcolo a rottura di Mascheroni L‟azione che il corpo AB esercita sul corpo AC

ha:

componente verticale V = Q/2

componente orizzontale H = (Q/2)tg‟, tg‟=l/f

xG

A

P

C

Q/2

xA

H

yA

f

'

H

l

G2

G1

B

V

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L‟equazione di equilibrio dei momenti intorno al punto C fornisce la relazione:

( ' )0

2 2

A AA A G

G

y tg xQ QHy x Px P

x

xG

A

P

C

Q/2

xA

H

yA

f

'

H

l

G2

G1

B

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Il calcolo a rottura di Mascheroni L‟equazione è analoga a quella di De La Hire e

De Belidor, la differenza è nell‟angolo ‟ che in essa compare

xG

A

P

C

Q/2

xA

H

yA

f

'

H

l

G2

G1

B

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Se > ‟ il peso P necessario per evitare lo scorrimento del cuneo centrale è maggiore di quello necessario per evitare la formazione delle cerniere per cui questo meccanismo risulta più pericoloso per l‟arco

Mascheroni considera tutte le sezioni come possibilmente critiche, non solo quella a 45°.

84/222

Il ruolo dell‟attrito

Nella maggioranza dei casi risulta > ‟ per cui la rottura avverrebbe per scorrimento piuttosto che per formazione di cerniere

In realtà le superfici tra un concio e l‟altro non sono prive di attrito come ipotizzato

La reazione che le superficie del giunto offre al cuneo centrale non è ortogonale al giunto stesso ma inclinata di un angolo nel verso opposto a quello del moto.

85/222

Cono di

attrito

Il ruolo dell‟attrito Un vincolo scabro è in grado di fornire, oltre

alla reazione Rv una reazione Rt ortogonale ad essa, diretta secondo lo spostamento che esso consente.

86/222


L‟entità della componente Rt non può superare un‟aliquota della reazione principale Rv:

Rt f RvCono di

attrito

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Il coefficiente di attrito f si può esprimere come:

f =Rt / Rv = tg

Cono di

attrito

88/222


Cono di

attrito

Il vincolo è in grado di equilibrare una forza inclinata rispetto alla direzione ortogonale al piano di scorrimento < f (interna al cono di attrito)

89/222


L‟equazione di equilibrio diventa:

con ‟‟=

( '' )

2

A AF G

G

y tg xQFd Px P

x

xG

F

A

P

C D

Q/2

yA

xA

x

y

dF

yAtg

xG

F

A

P

C D

Q/2

yA

xA

x

y

''

dF

yAtg''

''

''

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L‟ipotesi di mancanza di attrito fa ritenere più pericoloso un meccanismo che di fatto non si realizza

Si nota l‟importanza dei parametri fisici che entrano nel modello per la corretta interpretazione della realtà

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La teoria elastica

Il XIX secolo è segnato dai tentativi di interpretazione dell'arco in muratura nell'ambito della teoria della trave elastica ad asse curvilineo

Furono affrontati i problemi irrisolvibili nell'apparato concettuale del corpo rigido: l'effettiva capacità di sopportare certi stati di

sollecitazione

l'effettivo andamento della curva delle pressioni all'interno dell'arco

92/222

La teoria elastica

Nel XVIII secolo era possibile trattare rigorosamente solo strutture ipostatiche o isostatiche

Erano note solo le condizioni di equilibrio

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La teoria elastica

Un arco considerato come elemento monolitico è una struttura iperstatica

Per essere risolto è necessario tenere conto della deformabilità del materiale di cui è composto

Spetta a Hooke la sperimentazione sulla deformabilità dei materiali e la definizione del legame che porta il suo nome

94/222

La teoria elasticaNavier

Gli studi di Navier si basano sulle ipotesi di:

Legame elastico forze deformazioni

Determinate condizioni al contorno

Se l‟arco è considerato rigido non è possibile determinare la linea delle pressioni

Se si considera deformabile divengono disponibili ulteriori equazioni che consentono di risolvere il problema iperstatico

95/222

La teoria elasticaNavier

Navier propose di effettuare le verifiche di stabilità condotte da Coulomb imponendo che le sezioni rimanessero interamente reagenti con tensioni massime di compressione inferiori alle tensioni massime di rottura del materiale rilevate sperimentalmente

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La teoria elasticaNavier Navier ipotizzò che, per avere solo sforzi di compressione, la

linea delle pressioni doveva passare, in corrispondenza dei „giunti di rottura‟, al massimo per il terzo medio della sezione resistente

In questo modo si ha la condizione limite di diagramma triangolare delle tensioni di compressione all‟interno della sezione, con un valore nullo in corrispondenza del punto in cui ha inizio lo scorrimento in caso di rottura.

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La teoria elastica Mèry

Partendo dagli studi di Navier Mèry mostrò che il problema della determinazione del regime statico di un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave, con retta d‟azione orizzontale (per arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato)

In questo modo noti i carichi esterni, era possibile ottenere l‟andamento della curva delle pressioni.

98/222

La teoria elastica Mèry

La verifica dell‟arco consiste nell‟accertare che nelle sue sezioni non siano presenti forze di trazione

Per un arco con sezione trasversale rettangolare, bisogna verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all‟interno della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni trasversali (nocciolo centrale d‟inerzia).

S

6P curva delle pressioni

4P

P6

5P

1P

P3

2P

S

H Q

H

S

P5

P4

P3

P2

P1

99/222

Metodo di Mèry Si determinano i carichi agenti sull‟arco, considerando le parti di

sovrastruttura che competono ad ogni singolo concio ed applicando la forza nel baricentro della regione relativa.

PP

PP

P P12

3

4

5

6

100/222

Metodo di Mèry Essendo l‟arco simmetrico e simmetricamente caricato e

vincolato, si può limitare lo studio a metà di esso, applicando nella sezione di chiave la forza trasmessa dalla restante parte.

P6

5P

4P 3

P 2P 1

P

S


4P

P6

P

1P

P3

2P

S

H Q

H

S

P5

P4

P3

P2

P1

1

2

3

4

6

5 5

101/222

Metodo di Mèry Tale forza ha retta d‟azione orizzontale (ortogonale alla sezione

cui è applicata) e si considera applicata al terzo medio superiore della sezione stessa.

P6

5P

4P 3

P 2P 1

P

S


4P

P6

P

1P

P3

2P

S

H Q

H

S

P5

P4

P3

P2

P1

1

2

3

4

6

5 5

102/222

Metodo di Mèry Costruito il poligono funicolare dei carichi esterni relativa a metà

arco, il problema si risolve utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiorenella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave.

P6

P5

P4

P3

P2 1

P

R

H

S

6P1

P

P2

O

R

P3

P4

P5

P6 S

P5

P4

P3

P2

P1

Poligono delle forze

Poligono funicolare

K

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Metodo di Mèry Per l‟equilibrio il poligono dei vettori deve risultare chiuso e le

rette d‟azione devono concorrere in un medesimo punto (K) La retta d‟azione della reazione d‟imposta deve passare per K e

per il terzo medio inferiore della sezione stessa.

K

S


4P

P6

5P

1P

P3

2P

S

H Q

H

S

P5

P4

P3

P2

P1

Q

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Metodo di Mèry Si può costruire la curva delle pressioni, utilizzando il poligono

funicolare costruito sul polo Q Il poligono funicolare costruito utilizzando il polo Q

rappresenta il poligono delle successive risultanti, cioè la curva delle pressioni.

S


4P

P6

5P

1P

P3

2P

S

H Q

H

S

P5

P4

P3

P2

P1

Q

105/222

La verifica di stabilità dell‟arco La linea delle pressioni descrive le azioni scambiate

tra conci adiacenti

Se non passa per i baricentri delle sezioni si hanno sollecitazioni composte di forza assiale, taglio e flessione.

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La verifica di stabilità dell‟arco

La verifica di stabilità richiede che siano verificate le condizioni: T f N

M/N = e h/2

f = tg è il coefficiente di attrito

e = eccentricità della forza assiale rispetto al baricentro:

Se e h/6 la sezione è interamente compressa

Se e > h/6 la sezione è parzializzata

Se e > h/2 l‟equilibrio è impossibile.

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Metodo di Mèry

Lo spostamento della risultante dei carichi verso le imposte comporta una riduzione della reazione orizzontale.

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Spessore dell‟imposta

analitico

6

3beoppureb

109/222

Spessore dell‟imposta

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Trovare la “giusta” curva delle pressioni

Il tracciato della linea delle pressioni è un indice della stabilità dell‟arco

Quanto più si discosta dalla linea d‟asse dell‟arco tanto maggiore deve essere lo spessore dell‟arco

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Trovare la “giusta” curva delle pressioni

Domanda: la curva delle pressioni trovata è quella giusta (data la scelta arbitraria del polo H)?

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Esercizio

P1 = 10 kN

P2 = 20 kN = P3 = P4 = P5

Scala: 10 kN = 1 cm

Proviamo due poli diversi!

Trovare la “giusta” curva delle pressioni col metodo del Mèry

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Esercizio Trovare la “giusta” curva delle pressioni

col metodo del Mèry

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Esercizio Trovare la “giusta” curva delle pressioni

col metodo del Mèry

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Esercizio

Trovare la “giusta” curva delle pressioni col metodo del Mèry

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Interpretazione: “Se il progettista è così furbo da trovare

un polo che dia luogo ad una curva delle pressioni

interna all’arco e prossima alla massima eccentricità

ammissibile, allora l’arco sarà altrettanto furbo da

trovarne una per proprio conto!”


Teorema di minimo di J. Heymans:

“Se è possibile trovare un campo di tensioni nella

struttura che sia ovunque equilibrato internamente e

con i carichi esterni, senza violare la condizione di

rottura, tali carichi esterni saranno portati dalla

struttura in sicurezza.”

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La forma dell‟arco

Il profilo più adatto per un arco è quello la cui linea d‟asse si dispone secondo la funicolare dei carichi ad esso applicati.

Distribuzione dei carichi che genera compressione uniforme per le diverse direttrici

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La forma dell‟arco

Se un arco è funicolare per un insieme di carichi, non può esserlo per tutti gli altri sistemi di carichi cui può essere assoggettato

In ogni arco si ha in genere una combinazione di compressione e di flessione

Nell‟arco in muratura la forma è, in genere, funicolare del peso proprio e l‟arco è soggetto a flessione per i carichi accidentali.

119/222

La teoria elastica Castigliano

Castigliano (1879) applica il suo teorema di minimo dell'energia elastica per determinare l'andamento della linea delle pressioni di un arco mediante un procedimento iterativo che consente di tenere conto della non resistenza a trazione della muratura.

Calcolata una prima curva di tentativo nell'ipotesi di sezione elastica: verifica se è contenuta nel terzo medio dell'arco; se ciò avviene, le sezioni sono compresse e la teoria elastica è

applicabile; se invece la curva non è completamente interna al terzo medio,

riduce la dimensione delle sezioni eliminando la porzione soggetta a trazione e procede quindi alla determinazione di una nuova curva basandosi sulla geometria modificata della sezione.

il procedimento iterativo è arrestato quando tutte le sezioni così modificate sono interamente compresse.

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La teoria plastica

La soluzione elastica del problema della definizione del regime statico di un arco è sensibile alle variazioni delle condizioni al contorno

L‟analisi plastica non si basa sulla conoscenza dello stato effettivo in cui la struttura si trova ma sull‟esame delle condizioni in cui essa può collassare e sulla verifica che la struttura abbia un sufficiente margine di sicurezza rispetto al collasso

Lo stato di equilibrio analizzato nella teoria plastica non è lo stato reale in cui si trova ma uno stato possibile

Se il progettista riesce a trovare un modo in cui la struttura si comporta soddisfacentemente allora essa sicuramente ci riuscirà.

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Danneggiamento degli archi

• Assestamento dell’imposta

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• Dimensionamento insufficiente

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• Forze concentrate / carico eccessivo del

riempimento

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• Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento

• Degradazione dei mattoni/malta e

allentamento/scorrimento dei conci

Roma (via S. Vito)

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• modifica delle condizioni, ad es. cambiamento

di destinazione d’uso




• Degradazione dei mattoni/malta e

allentamento/scorrimento dei conci

• Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento

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InterventoIncremento della componente verticale

P1

P2

S

R

6be

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P1

P2

S

R

6be

F

128/222


guaina

barra

riempimento

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InterventoDiminuzione dell‟eccentricità

Speroni di contrasto

Catene all‟estradosso

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Catene all‟intradosso

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Catene all‟intradosso(Roma - via S. Vito)

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InterventoMiglioramento dell‟attrito

Colla o inserimento di elementi trasversali

Collegamento dei conci con spinotti

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InterventoIncremento della capacità portante

Strati di cls all‟estradosso

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Irrigidimenti all‟estradosso

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Strati di cls all‟estradosso

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Sicurezza

Può essere definita come la distanza fra lo stato corrente ed un dato stato limite

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Le volteDefinizioni

Arco semplice

Volta a botte

Volta a padiglione

Volta a crociera

138/222


Come si costruisce una volta

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La volta a botte

La volta a botte si può considerare generata dalla traslazione di un arco lungo una direttrice ad esso ortogonale

Se la volta poggia con continuità lungo i bordi longitudinali il comportamento di ciascuna sezione è del tipo ad arco

I muri laterali devono essere sufficientemente larghi per contenere le spinte

140/222

La volta a botte

Se la volta non poggia con continuità si determina un comportamento a trave

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Le spinte nella volta Le volte a botte possono essere studiante utilizzando

la teoria delle membrane

Una membrana è una superficie curva il cui spessore è piccolo se comparato alle altre dimensioni della struttura in grado di trasmettere solo sforzi interni giacenti sul piano tangente

Ciascun elemento della volta è sollecitato da tensioni

normali (trazione e compressione) e taglio

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Lesioni dovute a spostamento dei piedritti

Tale meccanismo di rottura si manifesta con la depressione del settore centrale dovuta all‟allontanamento dei piedritti causato della loro rotazione verso l‟esterno

Si sviluppa il meccanismo di rottura a 3 cerniere: una cerniera lineare si forma in prossimità della chiave e 2 alle reni

143/222

Le volte a crociera

Tagliando una volta a botte su pianta rettangolare con due piani verticali passanti per i vertici opposti del rettangolo di base si ottengono 4 elementi:

2 cappe o manti

2 unghie o fusi

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Le volte a crociera

L‟unione di quattro cappe forma la volta a crociera

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Le volte a padiglione

L‟unione di quattro unghie forma la volta a padiglione

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Le volte a crociera La volta a crociera deriva dall‟intersezione di 2

volte a botte tra loro ortogonali

Gli archi che si formano all‟intersezione delle 2 volte possono essere integrati nella volta (spigoli) o risaltare all‟intradosso (costole diagonali)

147/222

Le volte a crociera

Se sui piani verticali passanti per il perimetro della pianta sono presenti nervature queste si chiamano: Costole trasversali: se comuni a due volte

adiacenti

Se si trovano su una muratura terminale: Archi di testa: se comprese nella muratura

Costole di testa: se in risalto rispetto alla muratura

148/222

Le volte a crociera

Le volte a crociera possono essere realizzate:

Per intersezione di volte a botte semicilindriche uguali (pianta quadrata)

Per intersezione di volte a botte semicilindriche con diversa campata e altezza (pianta rettangolare)

L‟intersezione delle 2 botti nei costoloni creava un problema nel taglio delle pietre:

Una semplificazione si ebbe costruendo i costoloni come archi indipendenti sui quali poggiavano i pannelli delle volte

149/222

Le volte a crociera

L‟esecuzione delle strutture ad arco o voltate avveniva per fasi: realizzazione di imposte aggettanti

solidali coi piedritti

realizzazione dell‟elemento di chiusura

realizzazione delle pareti d‟ambito a buona presa avvenuta e in presenza di un idoneo carico stabilizzante

Con le tecniche relative a pietra da taglio o a mattoni potevano essere realizzate volte senza cassaforma: occorrevano soltanto delle centinature

disposte secondo le costolature.

150/222

Le volte a crociera

Con lo schema architettonico romano con archi di testa a tutto sesto si presentava un problema:

gli spigoli diagonali, intersezioni di due cilindri circolari risultavano delle ellissi

frazionando un ellisse in conci si sarebbero avuti conci diversi tra loro.

151/222

Le volte a crociera

Il problema venne risolto dai costruttori gotici: Partendo dagli archi corrispondenti

agli spigoli diagonali (semicirconferenze con diametro uguale alla diagonale del quadrato di base)

gli archi di testa sono di forma ellittica approssimati con archi a sesto acuto

a parità di dimensioni di base la volta si slancia

a parità di pesi le spinte sui piedritti si riducono di circa il 30%.

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Le spinte nella volta

L‟intersezione delle volte in corrispondenza delle costole determina una concentrazione di forze dovuta all‟improvviso cambio di direzione delle tensioni

Le costole svolgono la funzione di irrigidimento della volta: Nelle volte con forti cambi di curvatura hanno

anche funzione di rinforzo

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Le tensioni radiali Nq variano secondo la funzione Nq = -wacosq (w = peso per unità di superficie)

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L‟equilibrio alla rotazione di una porzione di volta richiede che le spinte bilancianti dei contrafforti agiscano ad una distanza z dal piano di imposta della volta

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E‟ essenziale realizzare dei rinfianchi alla volta che forniscano un percorso alle spinte quando queste fuoriescono dalle costole diagonali

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La linea delle spinte si discosta dalla linea d‟asse dei costoloni

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Le volte a costoloni devono essere sostenute da contrafforti

I capimastri delle cattedrali gotiche realizzarono contrafforti esterni costituiti da archi rampanti

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Gli archi rampanti contrastano le spinte della volta senza indurre trazione nella muratura

Per ridurre le dimensioni dei pilastri e ridurre le spinte spesso si usarono 2 archi rampanti posti l‟uno sull‟altro

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Pesanti guglie venivano aggiunte sui pilastri esterni per aumentare con il carico la compressione e ridurre la flessione

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Le tavole di Ungewitter

Ungewitter realizzò delle tabelle per il calcolo delle spinte nella volta in funzione di alcuni parametri: Rapporto freccia/campata Spessore della volta

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Le patologie della volta quadripartita

Pol Abraham identificò (1934) le possibili lesioni in una volta quadripartita: Lesioni nelle volte principali in

chiave (formazione di cerniere)

Lesioni parallele alle costole murarie con una completa separazione del pannello della volta (dette fissures de Sabouret)

Lesioni che separano i pannelli della volta dai muri

162/222

Lesioni dovute a spostamento dei contrafforti

Tale meccanismo di rottura si manifesta con la depressione del settore centrale dovuta all‟allontanamento dei piedritti causato della loro rotazione verso l‟esterno

La linea delle spinte passa attraverso i rinfianchi e si scarica sui contrafforti

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Il sistema fessurativo trasforma la volta in 3 blocchi:

Fessure si formano in prossimità e in adiacenza al muro perimetrale

Una cerniera lineare si forma vicino alla chiave

Le lesioni si generano perché la muratura non è sufficiente a contenere le spinte

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Le fessure di Sabouret e quelle murarie comportano completa separazione della muratura

Nessuna forza può più essere trasmessa attraverso queste fessure

Le forze di compressione corrono parallelamente alle fessure

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Le cupole

Nella copertura del Tesoro di Atreo a Micene si rintraccia l‟origine della cupola

Pseudo - cupola formata da pietre poste su letti orizzontali in aggetto a formare una struttura anulare regolare

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Le cupole

La volta è alta 13m e copre una sala a pianta circolare con diametro di 14,5m

167/222

Cupole

La forma più semplice di cupola si ottiene ruotando un arco intorno al suo asse centrale Un arco semicircolare genera una cupola

emisferica

Altre curve (es. parabole) generano cupole differenti

La cupola tridimensionale è molto diversa dall‟arco bidimensionale, in termini di: Comportamento strutturale

Procedure costruttive.

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Le cupole

La cupola si può considerare una membrana di rivoluzione generata per rotazione di un arco rispetto al suo asse centrale

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Le cupole

La curva generatrice può avere forma circolare, parabolica o un profilo più complesso

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Procedure costruttiveArco

Nella costruzione di un arco, la presenza della centinatura è essenziale

I conci scivolerebbero verso l‟interno

Ipotesi di John Fitchen sulla centinatura del Pont du Gard

Completato l‟arco con la messa in opera del concio di chiave, il trasferimento dei carichi dalla

centina all‟arco avveniva tramite la progressiva rimozione di cunei

di legno inseriti all‟interfaccia.

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Procedure costruttiveCupola

La costruzione di una cupola è più semplice

Un anello completato, essendo virtualmente incompressibile, non può scivolare su quello sottostante verso l‟interno.

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Procedure costruttiveCupola

La costruzione avviene per anelli successivi

Non esiste il concetto di concio di chiave.

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Il funzionamento delle cupole

Analogie Sì: arco corda sospesa

No: cupola membrana sospesa

In termini matematici: Un arco è una figura sviluppabile

Si può ottenere da un foglio di carta

La cupola no Non si può ottenere da un foglio di carta

A meno di tagliare ed incollare

Dopo di che, la cupola risulta rigida.

174/222


Superficie sviluppabile e non sviluppabile

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Andamento delle forze normali

N nei meridiani e Nq nei paralleli

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Il comportamento a membrana Un membrana può essere idealizzata

matematicamente come una superficie curva il cui spessore è piccolo se comparato alle altre dimensioni della struttura (R/t > 20) in grado di trasmettere solo sforzi interni giacenti sul piano tangente

Le forze che agiscono sulla membrana si trasformano in stati tensionali di trazione o di compressione contenuti nel suo spessore

177/222


178/222


Andamento delle forze normali

N nei meridiani e Nq nei paralleli

Nq

N

wa

-wa

-½wa

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Le tensioni che agiscono lungo i meridiani crescono dalla chiave all‟imposta dal valore 0.5wR al valore wR.

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I paralleli sono compressi in chiave (s=0.5wR) e tesi all‟imposta (s=-wR) con tensioni costanti lungo uno stesso parallelo

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L‟azione di cerchiatura svolta dai paralleli annulla le spinte dei meridiani

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Differenze tra arco e cupola

Nell‟arco la linea delle pressioni si modifica al variare dei carichi applicati all‟arco (come la catenaria di Hooke si deforma per effetto dei carichi ad essa applicati)

L‟arco è funicolare per una sola condizione di carico

I meridiani di una cupola sono funicolari per qualunque condizione di carico simmetrica per l‟azione di cerchiatura svolta dai paralleli

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Le tensioni nella cupola

La deformazione in sommità non è impedita pertanto si può sviluppare uno stato puro di tensione di membrana

Affinché uno stato puro di tensione di membrana si sviluppi al bordo è necessario che questo si possa spostare verso l‟esterno

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Le tensioni nella cupola

Se questo non avviene (come è in realtà) una sollecitazione di flessione si produce in prossimità del bordo

Ciò avviene ogniqualvolta le reazioni al contorno non sono tangenti ai meridiani (ad es. se la cupola poggia solo su alcuni punti)

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Le cupole hanno la tendenza a sviluppare fessure lungo i meridiani

Fessure nella cupola di S. Maria del Fiore

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Le cupole in muratura

In una cupola in muratura non ci si può aspettare che l‟azione di cerchiatura svolta dai paralleli si realizzi efficacemente

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Superata la resistenza a trazione della muratura (cui può contribuire l‟attrito tra i blocchi) si formano lesioni nei meridiani: Si annullano gli sforzi di trazione nei paralleli L‟ipotesi di comportamento a membrana perde

significato

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Gli spicchi di cupola che rimangono integri si comportano come puntoni e la loro reazione inclinata si trasforma in spinta sull‟imposta

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Si può ovviare irrigidendo l‟anello di base

Questo però introduce sollecitazioni di flessione, anche se una superficie ridotta (5%) della cupola

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Spessore minimo della cupola

La posizione limite della linea delle pressioni tocca l‟estradosso in P e l‟intradosso in Q e passa attraverso l‟estradosso alla base

Dalla condizione di equilibrio alla rotazione si ottiene la spinta orizzontale H = (1- p/4)W=0.215W

In una cupola emisferica lo spessore minimo è il 4.2% del raggio

Posizione limite della curva delle pressioni e meccanismo di collasso corrispondente

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Arco

Cupola


Spessore t rispetto al raggio R , in funzione dell‟angolo rispetto alla verticale

Il funzionamento è più efficace di questo

192/222

Alcuni confronti

Spessore/Diametro = 1/10 Pantheon, S. Maria del Fiore, S. Pietro

Spessore/Diametro = 1/100 Uovo

(spessore 0.4 mm, diametro 40 mm) (l‟uovo di Brunelleschi…)

Volte a ventaglio King‟s College a Cambridge

Spessore/Diametro = 1/1000 Coperture moderne in c.a.

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Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro

Giovani Poleni condusse uno studio (1748) sullo stato fessurativo della cupola di S.Pietro 200 anni dopo la sua costruzione

Osservò che le fessure avevano diviso la cupola in spicchi semisferici

La domanda cui dare una risposta era se le fessure fossero pericolose o meno

194/222


La condizione di partenza era che la condizione di stabilità della volta risiedesse nel fatto che la linea delle pressioni fosse contenuta nello suo spessore

195/222


Egli immaginò una cupola ideale costituita di un materiale cui attribuì una densità media uniforme per compensare pieni e vuoti

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Divise il solido ideale in 50 spicchi corrispondenti a 25 archi e studiò l‟equilibrio dell‟arco quasi-bidimensionale formato da uno di questi spicchi.

197/222


A ciascun arco Poleni attribuì il peso complessivo di 2 milioni di libbre cui aggiunse il peso di 160000 libre della lanterna

Divise ciascun semiarco in 16 parti

198/222


Facendo riferimento alla catenaria di Hooke caricò una corda flessibile con 32 pesi diseguali corrispondenti alla sezione dell‟arco

L‟inversione della catenaria sembrava effettivamente essere contenuta nello spessore dell‟arco

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Con questo modello ottenne la curva dell‟equilibrio che fece passare per 4 punti:

I centri delle 2 sezioni di imposta

I centri delle 2 sezioni corrispondenti al vano della lanterna

200/222


Poleni concluse:

“ E per dir brieve, in questo esame fatto con la catenaria, il punto principale consisteva nel vedere, se veramente alcuna parte della catenaria cadesse fuori de‟ contorni della volta...”

“…in un certo modo convalidata resta anche la proposizione, in cui costituito abbiamo, che per non cattiva la figura della gran volta riputar si debba”

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Ma uno scostamento della catenaria dalla sagoma dell‟arco avrebbe significato l‟impossibilità di un equilibrio che in realtà si realizzava

Per ottenere la curva funicolare Poleni fu costretto a farla passare per 4 punti

La soluzione che egli ottenne era una delle soluzioni possibili

202/222


Per escludere che lo stato della cupola potesse peggiorare ritenne necessario inserire delle catene

L‟inclinazione della catenaria in corrispondenza delle imposte rivelava la presenza di spinte che dovevano essere contenute

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Cupole emisferiche incomplete In un arco la mancanza dei conci in chiave

determina il collasso dell‟arco stesso

Nella cupola le tensioni si distribuiscono in più direzioni pertanto una volta che un cerchio è stato completato è stabile senza supporto

Metà cupola è stabile quando è soggetta a forze orizzontali sbilanciate

204/222

Cupole emisferiche incomplete Una cupola emisferica

incompleta può essere utilizzata come contrafforte

La cupola principale di Hagia Sofia (32 m di luce) è sostenuta a est e a ovest da 2 semicupole secondo uno dei sistemi bizantini di sostegno delle alte cupole

Sistemi bizantini di sostegno delle alte cupole

205/222

Cupole emisferiche incomplete

Se lo spessore è sufficiente per sostenere metà cupola allora lo è anche per sostenere tre quarti di cupola

La cupola principale di Hagia Sofia si è trovata 2 volte in queste condizioni: dopo il terremoto del 986 che causò il collasso della

semicupola occidentale e di un quarto della cupola principale dopo il terremoto del 1346 che causò il collasso della

semicupola orientale con il quarto corrispondente di cupola principale

206/222

EsempiPrima cupola costruita in opus cementitium (cls romano): il Pantheon

207/222

Esempi

Pantheon

208/222

Esempi

Combinazione di archi e cupole:

Hagia Sofia ad Istanbul (6° secolo D.C.)

209/222

Esempi

Falsi “archi”:

Tempio del Sole a Konarak (India)

210/222

Esempi

Schemi nascosti:

Duomi a bulbo ad Isfahan

211/222

Esempi

Schemi nascosti :

Taj Mahal in India

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Esempi

Schemi misti:

Santa Maria del Fiore

a Firenze

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Danneggiamento delle cupole

• Assestamento delle imposte

• Effetti biologici, ad es. semi…

214/222



• Effetti biologici, ad es. semi…

• Tamburo inefficiente

• Translation of supporting

columns/walls

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• Effetti biologici, ad es. semi

• Tamburo inefficiente

• Traslazione dei

pilastri/muri di supporto

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• Tamburo insufficiente

• Traslazione delle pareti/colonne di sostegno

Danneggiamento delle cupole Il Pantheon

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InterventoCerchiatura della cupola

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San Carlo a Roma

219/222


Sant’Ignazio in Spagna

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Intervento Cerchiatura della cupola con FRP

221/222

Intervento Cerchiatura della cupola con FRP

222/222

InterventoAnelli di rinforzo per false volte

Archi,Volte e Cupole

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