RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO Serie II, Tomo XXX (1981), pp. 311-320

ARCHI COMPLETI DI ORDINE (q + 3)/2 NEI PIANI DI GALOIS, S2,q, CON q-=3 (mod. 4)

GIUSEPPE PELLEGRINO

In a Galois plane S2,q(q~3 (mod4), q> l l ) complete arcs of order (q+3)/2 are constructed.

1 . - Introduzione.

Sia ~(q) un piano proiettivo finito di ordine q; dicesi k-arco, oppure arco di ordine k, un insieme e~ di k punti di ~ (q) tre dei quali mai siano allineati.

Una retta r del piano dicesi secante (o corda), tangente, esterna a ,X secondo che ha in comune con l'arco due, uno, nessun punto. Un k-arco completo se non ~ un sottoinsieme proprio di un (k+l ) -a rco , cio~, in termini equivalenti, se ogni punto del piano giace sopra una corda (almeno) dell'arco. Per un k-arco valgono le limitazioni (cfr. [1])

(1.1) k<_q+2, se q ~ pari

k<_q+l, se q ~ dispari.

Le (1.1) fissano l 'ordine massimo dei k-archi di un piano proiettivo finito. Gli archi completi di ordine massimo sono chiamati ovali.

Se, come d'ora in poi supporremo, ~ (q) ~ un piano di Galois di ordine dispari, le ovali di tale piano sono caratterizzate dalla seguente proprieth (cfr. [9], [10], [11] n. 173).

Lavoro eseguito nell'ambito deUe attivit~ di ricerca del C.N.R.

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1.i) Nel piano S2,q di Galois, di ordine q dispari, ogni conica irriducibile un (q+l)-arco e viceversa.

Tuttavia in S2,q esistono archi completi che non sono ovali e la classifi- cazione di tali archi ~ un problema aperto. I risultati noti sull'argomento sono i seguenti:

~Se q ~ 3 (mod4), in S2.q esistono archi completi di ordine (q+5)/2>~ (eft. [4]).

~Se q ~ l (mod4), in Szq esistono archi completi di ordine (q+7) /2 . Inoltre, secondo che ~ q>9 , q>13 , esistono anche archi completi di ordine (q+5) /2 e (qq-3)/2~ (cfr. [2] e [5]).

La costruzione degli archi suddetti ~ fondata sulla seguente osservazione dovuta a B. Segre:

In S2,q siano ~ una conica ed O un punto non situato su ~; da O escono ( q + l ) / 2 oppure (q - - l ) /2 secanti secondo the O b interno oppure esterno a ~. Togliendo dai punti di ~ un punto per ciascuna delle secanti per O e aggregando O stesso ai rimanenti punti della conica si ottiene un (q+3 ) / 2 oppure un (q+5 ) /2 arco secondo che O sia interno oppure esterno a ~.

Nella costruzione degli archi completi di ordine ( q + 5 ) / 2 nei piani di Galois di ordine q ~ 3 (mod 4) si considera un punto O esterno alia conica ~, sicch6 su questa si possono prendere (q+3) /2 opportuni punti i quali, insieme con O, formano un arco completo.

Sempre per q ~ 3 (rood4), si pone in modo naturale it problema di con- siderare un punto O interno alia conica ~; in tal modo, per l'osservazione sopra citata, si possono prendere su C al pifi ( q + l ) / 2 punti.

Una risposta a tale problema ~ data nel presente lavoro, nel quale sono dimostrati i teoremi seguenti.

TEOREMA 1. Se q=--3 (mod4) e q > 11, esistono in S2,q archi compIeti di ordine (q+3) /2 .

TEOREMA 2. In S2.n, oltre agli archi completi di ordine 8 = ( q + 5 ) / 2 esistono anche archi completi di ordine 9 = ( q + 7 ) / 2 .

Per la dimostrazione dei teoremi enunciati faremo uso di precedenti ri- sultati e precisamente della seguente proposizione (cfr. [6]):

1.2) Sia K=-G F (q) un campo di Galois di ordine q dispari e sia

ax+b ] : y = ~ (ad--bc~O)

cx+d

una sostituzione lineare su K ' = { K U o o } (per quanto concerne le regole di

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calcolo in K' cfr. ad es. [7], pag. 194). La /, se ~ del tipo

(1.2) y = k x , y = k x -a

(con k r oo elemento non quadrato), scambia il carattere quadratico degli elementi trasformati. Sostituzioni lineari, diverse dalle (1.2), che scambiano il carattere quadratico degli elementi trasformati (a parte gli eventuali elementi uniti) esistono s e e solo se ~ q = 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 , 1 3 .

2. - Introdurremo le notazioni e richiameremo alcune note propriet~ del campo K = G F ( q ) , essendo, come ~ noto, q=ph potenza intera positiva del numero primo p (per le propriet~ qui richiamate, cfr. ad es. [3]). Oui e nel seguito supporremo p dispari e

(2.1) q = p h = 4 t-- 1 -----3 (mod 4).

Allo scopo di non incorrere in casi banali supporremo anche q > 7 .

2.1) Gli elementi del campo minimo Z p C K saranno denotati con 0, 1 . . . . . p - l , essendo 0 e 1 lo zero e l'unit~ di K. Per O ~ z E K , porremo z /O=oo e denoteremo con K" l'insieme K ' = { K U oo }.

2.2) 2 t elementi di K (0 compreso) sono quadrati e i rimanenti non qua- drati. Per indicare che un elemento z E K ~ un quadrato oppure un non qua- drato scriveremo rispettivamente z = [-7, z = A . Due elementi di K saranno detti concordi oppure discordi secondo che hanno o non lo stesso carattere qua- dratico. Elementi opposti di {K/0} sono discordi. Per ogni zi, zi appartenenti a {K/O } risulta zi z j= I--q, zl z i = A secondo che zi e zi sono concordi o discordi.

Sia ~ una conica irriducibile, cio~ un (q+l)-arco, del piano S2,q costruito sul campo K. Assumendo i punti fondamentali come vertici di un triangolo autopolare rispetto a ~, l'equazione di questa assume la forma

(2.2) a x2 + b y2 + c z2=0;

i coefficienti a, b,c, essendo la conica irriducibile, sono elementi non nulli di K.

Da 2.1), 2.2) si deducono facilmente le seguenti proprieth elementari di (cfr. anche [3], pag. 171-174):

2.3) Uno almeno dei lati di un triangolo autopolare rispetto a ~ 8 esterno a ~; gli altri due sono o entrambi esterni oppure entrambi secanti. Suppo-

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nendo che due lati del triangolo fondamentale siano secanti di ~, questa pub essere rappresentata dall'equazione

(2.3) f (x, y, z)=x2+y2--z2---- O.

2.4) Un punto P=(ct,~3,7) di S2,q risulta esterno o interno a ~ secondo che ~ / (P) = [-], / (P) = A rispettivamente. In particolare il punto O = (0, 0, 1)

interno a ~.

2.5) Le equazioni

(2.4) X~-U 2 - 1, y = 2 u, Z=U23v 1

al variare di u in K' danno una rappresentazione parametrica razionale dei q + l punti di ~ quando si associa al punto (1,0,1) il valore u=oo del pa- rametro.

Nel seguito con l'espressione , punto u di ~ ~ si intenderh il punto P (u) di ~ avente coordinata parametrica u.

2.6) L'involuzione to su ~ avente per polo il punto P = ( ~ , ~ , y ) ~ data dalla equazione

~3 u - ( - ~ + e ) (2.5) v = (~2 + ~32_ ~,~ ~ 0)

( v - ~ ) u - f ~

e ammette o no punti uniti secondo che 4z~+~32--'r 2 e un quadrato oppure un non quadrato. In particolare l'involuzione di polo 0 = ( 0 , 0 , 1) ~ data da

(2.6) too : u v = -- 1.

La ~ non ammette punti uniti; inoltre riguardando oo come un non quadrato, (le coordinate parametriche de) i punti di ~ che si corrispondono nella too hanno opposto carattere quadratico.

2.7) Ripartiamo i punti di ~ nei due sottoinsiemi

V={ oo , v i } con v i = - - u i = A (2.7) ( i= 1,2 . . . . . t - - 1).

U={O,u~} con u~=l--q

L'insieme formato dai soli punti U ~ un arco, ~ , incompleto di ordine ( q + l ) / 2 . Nei successivi paragrafi saranno esaminati i modi in cui ~ pub essere cornpletato.

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3 . - Cominciamo con l'esaminare le condizioni affinch6 un punto P = = ( a , ~3, y) - - ovviamente non situato su ~ - - sia aggregabile all'arco J~ in modo da ottenere ancora un arco. In questo paragrafo esamineremo i punti P tali che l'involuzione su ~, di polo P, non si riduca a una delle forme (1.2); in altri termini supporremo che nella (2.5) sia [3~0 e 0~ e ~, non entrambi nulli.

Esaminiamo i casi possibili:

a) /(P)=~2qI-~2--~,'Z=A, cioh P h interno a ~. Sotto tale ipotesi, l'invo- luzione to su ~, di polo P, non ammette punti uniti. Poich6 dalla (2.7) risulta ]UI=IV[=2 t, per ogni coppia di non quadrati che si corrispondono nella to esiste anche una coppia di quadrati che si corrispondono ancora nella to. Pertanto: se P ~ interno a ~, condizione necessaria e sufficiente affinch4 P sia aggregabile ad J~ ~ che to scambi in carattere quadratico degli elementi trasformati. Allora dalla proposizione 1.2) segue

3.1) Se q > l l , ogni punto P, interno a ~, giace sopra una corda di J~ e quindi non 6 aggregabile a tale arco.

b) 1(P)=0~2+~2--~,2=[-], cio~ P 6 esterno a ~.

La to ammette in questo caso due punti uniti (distinti) w~, w2 che si ottengono risolvendo l'equazione

(3.1) ( y - 0 0 w 2 - 2 ~3 w + ( y + t ~ ) = 0 ;

si tratta dei punti comuni a ~ e alla polare, p, di P rispetto a ~. Si presen- tano vari casi che passiamo ad esaminare.

i) ( y - 0 0 ( y + o 0 = A. In tal caso wl=u~U, w2---vEV. Poich6 IU/ul = =[V/v[=2 t-- l , il punto P ~ aggregabile ad JC s e e solo se la corrispondente involuzione su ~ scambia il carattere quadratico degli elementi trasformati. Da 1.2) segue

3.2) Se q > 11, ogni punto P, esterno a ~ e tale che i punti p fl ~ appartengano l'uno all'insieme U, l'altro a V, giace sopra una corda di ~ e quindi non ~ aggregabile ad JC.

ii) ( y - 0 0 ( ~ ' + o 0 = ~ , con w~ e w2 entrambi elementi di V. Poich6 ]V/(wl, w2)l=2t--2, si ha subito

5.3) Ogni punto P, esterno a ~ e tale che i punti p f3 ~ siano entrambi in V, giace sopra una corda di J~ e quindi non ~ aggregabile ad ~.

iii) ('r-- ~) (Y + ~) = [ ] con bVl = Ul e w2= uz entrambi elementi di U.

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Notiamo anzitutto che in questo caso, se P ~ un punto aggregabile ad ~, e ~,+t~ sono discordi (e quindi sono tali anche ~ e ~'--~), come risulta

dalla (2.5) avendosi t o (0 ) - - (T+c t ) /~ . Posto allora

y + a (3.2) v = - - = A ; X= - - -- [--],

T--tx y--t~

la (2.5), se P ~ aggregabile ad ~, deve risultare del tipo

v u - - x (3.3) to : v = - -

u - X

dove

(3.4) 0 # h = ( , : -X)/ ,2= V1;

pertanto essa opera sui punti di ~ nel seguente modo:

tiene fermi i due elementi quadrati ut e u2;

- - scambia fra loro i due elementi non quadrati oo e ,~;

u scambia i 2 t - - 2 elementi di {U/ut , U2)} con i 2 t - - 2 elementi di

{v/(~,,~)}.

Ci6 premesso, sussistono le proposizioni seguenti.

3.4) I1 caso ipotizzato in iii) non pub verificarsi se q > 2 3 .

Dimostrazione. Poich6 q > 2 3 , il campo G F (q), sul quale S2.q ~ costruito,

ammette almeno tre (distinte) terne di non quadrati consecutivi - - cio~ tre terne di non quadrati del tipo n - - l , n, n + l (cfr. [6] , n. 1.6). Ma allora per la dimostrazione, basta ripetere le considerazioni svolte in [6] (n. 3.4) e 3.5)).

3.5) I1 caso ipotizzato in iii) non pub verificarsi se q = 1 9 e q---23.

Dimostrazione. Basta allo scopo eseguire una verifica diretta. La (3.3) si pub scrivere sotto la forma

(3.5) ( v - v ) ( u - v ) =h,~ 2 con 0 # h = [ - 1 .

I quadrati non nulli di G F ( 1 9 ) sono 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1 1 , 1 6 , 1 7 e in corri- spondenza di tali valori di h si hanno te seguenti coppie di quadrati the si

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corrispondono nella (3.5):

(8~, 12'~), (10v, 12~), (3% 13v), (8% 10v), (3% 14~),

(2,~, 10,), (2v, 12,~) (13,~, 15"~), (2v, 18,~).

Analogamente, in corrispondenza dei quadrati non nulli 1 ,2,3,4,6,8, 12, 13, 16, 18 di G F(23), si hanno le seguenti coppie di quadrati che si corri- spondono nella (3.5):

(5v, 7,~), (10~, 14'~), (Sv, 19~), (7~, 17v), (Sv, 14~), (7'~, 10,~),

(7v, 14,~), (20,~, 21v), (5v, 10~), (11,~, 21,~), (Sv, 17'~).

3.6) Se q = 11, il caso ipotizzato in iii) si verifica. Infatti la (3.5) per h = 3 (e solo per questo valore di h) verifica le condizioni del caso iii). Sono coppie di elementi corrispondenti

(oo, ,~), (0, 9v), (2v, 4~), (3v, 8v), (5v, 10"~), (6v, 6'0), (7~, 7v).

(I quadrati non nulli di GF(11) sono: 1,3,4,5,9).

4 . - Dalla discussione svolta nel n. 3 segue che se q>11 i punti P = =(cz, [3,3') di S2.q aggregabili ad Js vanno ricercati fra quelli che sono poli di involuzioni su ~ di forma (1.2). Dalla (2.5) si ha intanto

4.1) Affinch6 P=(~z,[3, T) possa essere aggregato ad ;g ~ necessario che

(4.1) [3 ('r--~x)=l--], 13 (T+~t )=~ se [3#0

(quindi ('r + 60 (~,-00 = 4);

(4.2) (T--~) (3' + ~) = [ ] se [3 = 0

(e in tal caso, per la (2.5) ~ ~ # ___~').

Posto

13 "r+~ (4.3) c = = 1-7, n = - - -

T--ct T--~

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la (2.5) si pub scrivere

c u - n [ h c ] (4.4) to: v = ~ = c lq- ,

U - - C U - - C

dove

(4.5) O~h=(d--n)/d.

Cib premesso, i casi in cui la (2.5) si riduce alle forme (1.2) sono i se- guenti:

a) t ~ : y = O ; da cui segue u + v = O e P=Y=(O,I,O) (esterno a ~);

b) ~ = 0 ; quindi u v = - ( y + ~ ) (y - - s ) , con ( y + ~ ) ( y - ~ ) = [ - ] .

I poli di tali involuzioni sono i ( q - - l ) / 2 punti O=(~x,O,y) della retta y = 0 che sono interni a ~. Fra tali punti si trova, in particolare O = ( 0 , 0 , 1 ) . (Si noti the ~ ora y ~ 0 ) . Cib premesso, sia q > 11. Da 1.2) e dalle conclusioni del n. 3 segue che ogni punto del piano, diverso dai punti deU'insieme V di ~ e dai punti considerati in a) e in b), giace su una corda dell'arco ~. Valgono inoltre le seguenti proprieth.

i) Se si associa ad ~ il punto Y, nessun punto V, (ad eccezione del punto (1,0,1) appartenente a ~ e corrispondente a u = ~ ) pub essere asso- ciato all'arco cos~ ottenuto. Infatti i punti ul, u2 comuni a ~ e a una retta x=m z per Y si ottengono come soluzioni dell'equazione u 2 ( 1 - m ) = 1 + m . Ora, se m ~ l e se, come supponiamo, 6 ( l + m ) ( 1 - m ) = [ ~ , Ul e Uz sono discordi e quindi appartengono l 'uno a V e l'altro a U. Se poi 5 m = l , la tetra x=z ~ tangente a ~ nel punto v = ~ . Si nora subito che su tale tangente non esistono altri punti aggregabili ad ~. Infatti, per ~ 0 , l'involuzione su e avente per polo (1,[3,1) ~ data da u+v=2/~ e esiste almeno una coppia di quadrati che si corrispondono in essa (cfr. ad es. [6], n. 1.5).

Con analoghe considerazioni si prova

ii) Ogni retta Y Q, con Q = (~,0, y), ~2 y2=A, contiene almeno un pun- to di Z,

iii) Se si aggrega ad ~ uno dei punti O considerati in ii), nessuno dei punti V pub essere associato all'arco cosl ottenuto.

Ovviamente due punti O non possono essere associati ad JC dato che la retta y = 0 contiene il punto ( - -1 ,0 ,1 ) di 2L

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Da i), ii), iii) segue che l'arco ~ pub essere completato nei seguenti due modi:

- -associando ad ~ i punti Y = ( 0 , 1 , 0 ) e (1,0,1). Si ottengono cosi i gi~ noti archi completi di ordine (q+5) /2 .

- - associando ad ~ uno solo dei punti O. Si ottengono in tal modo archi completi di ordine (q+3) /2 .

I1 teorema 1 ~ cosi dimostrato.

5. - Esaminiamo ora il caso Q = 11. Con riferimento alla (2.4), prendiamo su ~ i seguenti punti di cui riportiamo le coordinate parametriche e proiettive

(0 )= ( - - 1,0, 1), (1)=(0, 1, 1), (3)=(3, 5, 1),

(4)=(8, 5, 1), (5)=(6, 8, 1), (9)=(5,8,1) .

Risultano allora singolarmente associabili ad ~ i punti dei seguenti insiemi

V: (oo)=(1,0 ,1) , (2)=(5 ,3 ,1) , (6)--(6,3,1),

(7)=(8 ,6 ,1) , (8)=(3 ,6 ,1) , ( 1 0 ) = ( 0 , - 1 , 1 )

C: O=(0 ,0 ,1 ) , Y=(0 ,1 ,0) , (3,0,1), (5,0,1), (6,0,1), (8,0,1)

A: (1,2,0), (9,1,1), (2 , - -1 ,1) , (7,4,1), (4,7,1)

B: (0,7,1), (8,2,1), (5,1,1), (6,1,1), (3,2,1).

L'insieme V non ~ altro che { ~ / ~ } ; i punti dell'insieme C sono i punti che possono essere singolarmente associati ad ~ come conseguenza dei risultati nel n. 4.

I punti dell'insieme A appartengono alia conica di equazione x 2 - 2 y2_z2= 0, che si ottiene dalla (3.4) ponendovi h = 3 e tenendo conto della (3.2). Si tratta dei punti per i quali sono soddisfatte le condizioni del caso iii) del n. 3.

I punti dell'insieme B appartengono alia conica di equazione x 2 - 3 y2_ z 2 = 0, che si ottiene ponendo nella (4.5) h = 4 e tenendo conto della (4.3). Si tratta dei punti che sono poli di involuzioni su C che scambiano il carattere quadra- rico degli elementi trasformati a norma di 1.2). (Si verifica direttamente che tali punti si hanno soltanto in corrispondenza del valore h=4) .

Prendendo ad es. i punti Y=(0, 1,0), P = ( 7 , 4 , 1), 0 = ( 4 , 7 , 1), si ottiene, come si verifica direttamente, un 9-arco completo.

Ci6 prova il teorema 2.

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Pervenuto il 25 settembre 1980

Istituto di Matematica Universit~ di Perugia