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MacchineelettricheperIngegneriaElettronicaAppuntidallelezioni

Capitolo II Richiami sulle reti elettriche

A cura di Luigi Piegari

Versione 1 Anno accademico 2013-2014

2

IndiceIndice ......................................................................................................................................................... 21 Soluzione di un circuito elettrico ....................................................................................................... 3

1.1 Circuiti in continua .................................................................................................................... 31.2 Circuiti monofase in alternata .................................................................................................... 51.3 Reti trifase ................................................................................................................................. 9

3

1 SoluzionediuncircuitoelettricoLa soluzione di un circuito elettrico avviene attraverso lapplicazione delle leggi di Kirchhoff e delle

leggi costitutive degli elementi. In questo corso si studieranno solo circuiti elettrici lineari per i quali tutti i componenti sono lineari. E allora evidente che lo studio del circuito passa per la scrittura e la risoluzione di un sistema di equazioni lineari algebriche e/o differenziali. Escluso il caso semplice di equazioni solo algebriche (caso che si verifica in presenza di un circuito puramente resistivo), la soluzione, sar, pertanto, ottenibile come la somma di una soluzione particolare e della soluzione del sistema omogeneo associato. La soluzione del sistema omogeneo associato tipicamente tende a zero in un tempo che dipende dalla costante di tempo del circuito e, quindi, osservando il sistema dopo un tempo opportuno possibile ritrovare la sola soluzione particolare che la soluzione del circuito a regime.

Poich nei sistemi elettrici che si analizzeranno le grandezze sono sinusoidali comodo, non solo per la soluzione del circuito ma anche per linterpretazione dei fenomeni, spostare il problema in un dominio fittizio che il dominio dei fasori. Alcuni dettagli sul mondo dei fasori saranno forniti pi avanti in questo capitolo, comunque opportuno dire che il mondo dei fasori un piano complesso definito per fermare vettori che si muovono nel tempo. Nel seguito nello studio delle macchine si introdurranno i vettori spaziali che rappresentano ancora un sistema per rappresentare il funzionamento del sistema su un piano complesso. Questo piano, per, servir per fermare vettori che si muovono fisicamente nello spazio (oltre che nel tempo).

Sui libri dedicati allo studio dei circuiti elettrici si insegnano diversi metodi per la loro risoluzione: potenziali ai nodi, correnti alle maglie, equivalenti di Thevenin e Norton. In questa sede, tuttavia, non si rianalizzeranno questi metodi essendo comunque questi delle applicazioni delle leggi di Kirchhoff e delle leggi costitutive degli elementi e si far riferimento direttamente alla scrittura delle equazioni ai nodi (primo principio di Kirchhoff) e delle leggi alle maglie (secondo principio di Kirchhoff).

1.1 Circuiti in continua

Come si detto la soluzione dei circuiti si ottiene attraverso lapplicazione dei principi di Kirchhoff e delle legge costitutive degli elementi. Pertanto, la ricerca della soluzione dei circuiti in continua non differente dalla soluzione dei circuiti in alternata. Tuttavia, il fatto di avere dei forzamenti costanti semplifica e rende pi intuitiva la soluzione. Pertanto, qualche cenno sulla corrente continua pu essere utilizzato come spunto per evidenziare propriet che restano poi valide anche per lo studio dei circuiti in alternata.

Il circuito pi semplice costituito da un generatore (di tensione o di corrente) chiuso su una resistenza. La soluzione in questo caso direttamente data dalla legge di Ohm (17). Se si connettono due resistenze in serie esse sono percorse dalla stessa corrente e pertanto lapplicazione del secondo principio di Kirchhoff porta immediatamente a dire che sono equivalenti ad una resistenza il cui valore somma delle resistenza in serie:

21212211

21

RRRiRiRRiRiRVserieinresistenzeii

eqeq (29)

La tensione che cade su ciascuna resistenza pu essere ottenuta dal partitore di tensione che riassunto nelle (30):

4

VRR

RVRRiRV

VRR

RVRRiRV

eq

eq

21

22122

21

11111

(30)

Se, invece, le resistenze sono connesse in parallelo vuol dire che sono sottoposte alla stessa tensione e pertanto la resistenza equivalente pu essere calcolata come:

21

21

21

212121

21

RRRRR

RV

RRRR

VRV

RViii

paralleloinresistenzeVVV

eqeq

(31)

La corrente fornita dalla sorgente viene ripartita tra le resistenze secondo la regola del partitore di corrente:

iRR

RR

iRRVi

iRR

RR

iRRVi

eq

eq

21

1

222

21

2

111

(32)

Consideriamo ora i casi in cui il circuito non sia puramente resistivo. Si consideri un circuito RL in cui la resistenza e linduttanza siano poste in serie ed alimentate da un generatore di tensione. In questo caso il modello del sistema rappresentato da unequazione differenziale del primo ordine riportata nella (33):

idtdLiRV (33)

La soluzione della (33) somma di una soluzione particolare e della soluzione dellomogenea associata. Si ha:

tLRAeRVti

(34)

Imponendo il valore di corrente allistante iniziale possibile calcolare il valore della costante A. Nel caso particolare di corrente inizialmente nulla si ha la carica dellinduttanza riportata in Figura 1.

In maniera perfettamente analoga si pu ottenere la carica di un condensatore C posto in serie ad una resistenza R ed alimentato da una sorgente di tensione. Si ha:

tRCAeVtv 1 (35)

Dallanle induttanzcirca 5 voltohmico-cap

La potEssendo, d

tP In un c

della cadutala potenza potenziale n

1.2 Circ

Come scon correntimpiegate p

Si partAnche in qu

ti La fase

istante iniziquello in csemplifica.

Fig

nalisi di Figuze dei corto-cte la costant

pacitivo). enza elettricaltra parte, l

qdtd

dtdLe

circuito elettra di tensione associata

nulla mentre

uiti monof

si detto moti alternate s

per lo studio dta dallanalisuesto caso la

VRtv cos

e riportata iale del sistecui la tensioLa soluzione

gura 1. Trans

ura 1 si nota circuiti (le cate di tempo

ca il lavoroa differenza

VIV

rico, pertantoai suoi capi solo a genele capacit s

fase in alte

olti sistemi esinusoidali. dei circuiti insi del caso psoluzione de

R

t s

nella (37) diema di riferione di alimee resta ovvia

sitorio di circ

come la soluapacit comedel circuito

o svolto dal cdi potenziale

o, la potenzaper la per la

eratori e a rsono interess

ernata

lettrici sono Le leggi chn continua. pi sempliceel circuito

ipende dallimento. Se s

entazione mente la stes

cuito RL alim

uzione di rege dei circuiti o (L/R per il

campo elettre elettrico il

a associata a a corrente cheresistenze dasate da corren

alimentati dhe si usano

e costituito duna applicaz

istante in cuisi sceglie, ad

massima, lssa, ma pu

mentato da te

gime sia pariaperti). Inol

l circuito oh

rico per muolavoro per sp

qualsiasi elee lo attraversal momento nte nulla.

da generatori per studiare

da un generzione diretta

i inizia lossed esempio, cangolo vessere espres

ensione costa

i a quella chetre, il sistem

hmico-indutti

overe una carpostare la car

mento calcsa. Nei circuche le indu

di tensione scircuiti in

ratore di tensdella legge d

ervazione e come istante

vale 0 e lesssa in manier

ante

e si ottiene cma si trova a r

ivo o RC pe

arica nellunirica unitaria

colabile comuiti in continuuttanze hann

sinusoidale ealternata so

sione su unadi Ohm. Si h

che quindi di osservazi

spressione dra pi sempl

5

considerandoregime dopoer il circuito

it di tempo.si ha:

(36)

me il prodottoua, a regime,no caduta di

e funzionanono le stesse

a resistenza.a:

(37)

scelto comeione iniziale

della (37) siice.

5

o o o

.

o , i

o e

.

e e i

6

Tipicamente, listante iniziale della finestra di osservazione si sceglie in maniera tale da porre a zero lo sfasamento della tensione rispetto al suo massimo (o rispetto al suo 0). Si dice che si scelto il riferimento di fase sulla tensione. La (37) ci dice che la corrente assorbita dal resistore anchessa sinusoidale e in fase con la tensione di alimentazione ed scalata di un fattore legato al valore della resistenza. In maniera analoga a quanto fatto nel paragrafo precedente possono essere calcolate le resistenze equivalenti per resistenze in serie e in parallelo e formule per il partitore di tensione e di corrente. Restano valide, quindi, le (29)-(32).

Si consideri ora un circuito Ohmico-induttivo costituito da una resistenza posta in serie ad una induttanza. Si ha:

tLRAetAtAti sincos 21 (38) Per trovare le costanti della soluzione particolare della (38) si pu scrivere:

tALtALtARtARtV dt

tidLtiRtV

cossinsincoscos

cos

2121

(39)

E uguagliando i termini in seni e coseni della (39) si ha:

VLRLA

VLR

RA

222

221

(40)

Le (40) consentono di riscrivere la (38) come:

t

LR

AetLR

LtLR

RVti

sincos 2222 (41)

Ponendo

22

22

sin

cos

LR

LLR

R

(42)

la (41) pu essere scritta, infine, come:

t

LR

AetLR

Vti

cos22 (43)

La (43) ci dice che, estinto il transitorio, nel circuito circola una corrente sinusoidale ridotta di un fattore che pari alla radice quadrata della somma dei quadrati della resistenza e dellinduttanza moltiplicata per la pulsazione e sfasata in ritardo, rispetto alla tensione, di un angolo la cui tangente data dal prodotto della pulsazione per la costante di tempo dellRL. In Figura 2 riportato il transitorio ottenuto dalla (43) ipotizzando che allistante iniziale la corrente abbia valore i(0) e la tensione sia massima.

Anche calcoli. Quamodo per riinfatti che

tje la (39)

necessario cstessa pulsa

tj

RI

Ve

La seco

R

I

i

da cui Essend

oppure da umodulo e findividua ladi osservazi

Figu

se il circuitando i circuiisolvere lequ:

jt cos) si pu riscrcalcolare poiazione. Si ha,

i

i

j

tj

eLj

V

IeR

onda delle (4

RLa

LR

V

tan

22

si riottiene lado passati su un modulo efase. Il numea fase, tempoione dei tem

ura 2. Transit

to molto seito si compliuazione diffe

tj sinrivere nel doi la parte rea, quindi:

jdt

IedL

45) scritta in

a (43). piano comp una fase. Nero comples

orale, che la nmpi. Notiamo

torio di circu

emplice per ca questi conerenziale (39

coominio dei nale. A regim

i jt IeR

modulo e fa

plesso ogni gNelle (46) il nsso indicatnostra grande che aver fis

uito RL alime

arrivare allanti possono 9) fornito d

et osnumeri comp

me, infatti, tut

it Lj

ase permette

grandezza inumero comto con il terezza, in quesssato listant

entato da tens

a (43) partendiventare mo

dalle propriet

tjee plessi ricordtte le grande

itjIeL

di ottenere:

individuata dmplesso che rrmine di fassto caso la cote iniziale di

sione sinuso

ndo dalla (41olto laboriost dei numer

ando che peezze dovrann

ILjR

da una parte rappresenta lore, o vettoorrente, ha riosservazion

oidale

1) sono necesi. Per questori complessi.

er trovare la no essere sin

ijtj eIe

reale e una ila corrente ore temporaleispetto allistne dei tempi

7

essari diversio motivo, un Ricordando

(44)

soluzione nusoidali alla

(45)

(46)

immaginariacalcolato in

e, in quantotante inizialenel punto in

7

i n o

a

a n o e n

cui la tensiosulla tensiopassaggio ddipendenza rotanti a veruota a velo

Se si vpassaggio aequivale a ddifferenzial

CI

LV

Sul piale loro impedella tensioncorrente ha

IVZ

Il circuKirchhoff cmaglia un

La pote

VP

Nella (tensione e cvalor meditrasferiment

one assume ione. Quindi, delle (45) si

dal tempo elocit in ocit e su cvuole studia

al piano fasordividere per ji possono qu

vdtd

idtd

ano fasoriale edenze. Limne applicata rispetto alla

IV

uito pu quinci dice che sn poligono ch

enza trasferit

ItV cocos(49) si ha uncorrente e unio nullo. Peto di energia

l suo valore il riferiment

eliso, a primdelle grandevettori ferm

cui, pertanto,are il circuitriale loperazj. I legami

uindi essere o

jI

jV

la legge di Ompedenza, qu

e il modulo tensione:

VZIVZ

ndi essere stsul piano comhiuso. In Figu

Figura 3. Ra

ta sempre c

t osn termine a n termine puertanto, a rea ed detto, p

massimo equto temporalemo e a seconezze (cosa p

mi. In pratica tutti i vettoro solo a regzione di dericostitutivi d

ottenuti algeb

C

Lj

Ohm pu quiuindi un ndella corrent

IVtudiato anchmplesso, la ura 3 rappr

appresentazi

calcolabile co

IV cos2

valor medioulsante al doegime stazioper questo, p

uivale, sul pie diviene unndo membropossibile pera, quelloperari sembrano gime lo si pivazione equ

di induttanze bricamente s

indi essere enumero compte che circola

he graficamelinea che si

resentata la s

ione grafica f

ome il prodo

IV 2cos2

o diverso da oppio della ponario sinuspotenza attiv

iano fasorialn riferimento, il termine e

rch siamo aazione corrisfermi. pu fare quiuivale a molt

e capacit csul piano com

stesa alle indplesso il cuia mentre la c

ente sul pian ottiene coneconda legge

fasoriale di un

otto della ten

Pt 2zero che dip

pulsazione disoidale, soloa. Il termine

e, ad aver fiso di fase. Si ejt. Ci ha ca regime) e sponde a pro

indi consideriplicare per jhe si esprimo

mplesso. Si h

duttanze e all modulo i

cui fase par

o dei fasori.ngiungendo ie di Kirchho

n circuito RL

sione per la

pulsaattiva PP

pende dallai alimentazioo il primo t

pulsante d

ssato lasse r osservi che

consentito di ha trasform

oiettare su u

erando i solij mentre l

mono attraverha:

lle capacit cil rapporto trri al ritardo d

. Il secondo i fasori relatoff per un circ

L

corrente. Si

ante

angolo di sfaone che , sutermine convita a perdit

8

reale (fase 0)e nellultimo

eliminare lamato i vettoriun piano che

i fasori. Nelintegrazioneso equazioni

(47)

considerandora il modulodi fase che la

(48)

principio diivi ai lati dicuito RL.

ha:

(49)

asamento traul periodo, antribuisce alte sulla linea

8

) o a i e

l e i

o o a

i i

a a l a

ed quindi nel seguito riferimento sinusoidale

2VP

E quinessere la cofattore di potanto maggialto il fattoril fattore dnellinserimtenda a divevale 1). Sementre se iazzerare (o

2VQ

1.3 Reti

Una rerappresentat

La reteperiodo unageneratore f

1 Si rico

T

eff TV 1

un effetto nesar indicaai valori ef pari al valo

cos2IV

ndi evidenteorrente. Il cootenza. Quaniore sar la pre di potenzai potenza di

mento di unoentare pi pre il carico il carico ocomunque ri

sin2

VIV

trifase

ete trifase uta una rete tr

e si dice simma dallaltra. formano una

ordi che il val

T

dttv2

egativo ma nata con la lefficaci della ore massimo

coseffeff IVe che a paritos() pertanto minore

potenza persaa consente uni un carico opportuna imrossima a zer

ohmico-indohmico-capaidurre) la po

sineffeff IV

una rete generifase.

metrica se i tIn questo ca

a stella. Ecco

lore efficace d

non eliminaettera P senz

tensione e o diviso per l

t di potenzanto un fatto il fattore dia sulle linee dn trasferimen basso, si

mpedenza inro possibile (duttivo il rifaacitivi si devtenza reattiv

erata da tre g

Figura 4.

tre generatoraso i vettori

o perch i gen

di una grandez

abile sulle reza pi il pedella correna radice di 2

za trasferita qore che incidi potenza tandi trasmissionto di energi

effettua il n parallelo al(se la fase defasamento si vono introdu

va definita co

generatori si

Esempio di r

ri generano tei temporali cneratori si di

zza la radice

eti monofase.dice che la

nte1. Poich si ha:

quanto minode sulla potento maggioreone per effetta a rendimenrifasamentol carico per el carico nu

opera introurre delle in

ome:

inusoidali ch

rete trifase

ensioni uguache individuice che sono

e quadrata del

Si osservi cidentifica) il valore eff

ore il cos(nza trasmesse la corrento di quella cnto pi eleva

del carico. fare in mod

ulla il fattoreoducendo in nduttanze. Q

he alimentano

ali in modulouano le tensi

connessi a s

valor medio

che la potenz spesso scr

fficace di un

() tanto masa ed per

nte, a parit dcorrente. Perato. Ecco per

Il rifasamedo che la fase di potenza

parallelo deQuel che bis

o tre linee. I

o e sfasate di ioni generatestella e il pun

della funzion

9

za attiva (cheritta facendona grandezza

(50)

aggiore devequesto dettodi potenza, ertanto, tenererch, quandonto consiste

se del carico massimo eelle capacitsogna fare

(51)

n Figura 4

un terzo dele da ciascunnto O detto

e al quadrato:

9

e o a

e o e e o e o e

l n o

:

centro stelladella rete sKirchhoff. S

1

3

2

1

IIVVV

La reteequilibrata l

oo 'V

Le tre tensione omrisoluzione fasi possonotipo pari aritorno dellmonofase a dei carichi spostamento

a di generazsi utilizza, tiSi ha:

32

33'

22'

11'

0ZZZ

oo

oo

oo

IIIVIVIV

e si dice equla (52) restitu

0

correnti avmonima. Le della rete si o essere studalla potenza ta corrente. Eparit di maassume un

o del centro

zione. In mapicamente, i

uilibrata se uisce:

3

2

1

I

I

I

vranno pertantre correntipu ottenere

diate indipentrasmessa daEcco perchateriale condun potenziale stella che s

Figura 5. Dia

niera analogil teorema d

1

1

1

' 1Z

Zoo

V

V

le tre imped

Z

Z

Z

3

2

1

V

V

V

nto stesso mi saranno pee attraverso lndentemente a tre circuiti m nei sistemiuttore impiegdiverso dal

schematizzat

agramma fas

ga il punto Odi Millman c

32

3

3

2

2

11ZZ

ZZ

VV

denze di cari

modulo e saertanto anchlo studio di u una dalle amonofase mai trifase si rigato. Se i cal centro steto nel diagra

soriale per re

O detto ceche unapp

ico sono ugu

aranno sfasahesse a 120un circuito eltre. La potea non neceiesce a trasfrichi sulle tr

ella di genemma fasoria

ete simmetric

entro stella dplicazione di

uali. Nel cas

te dello stes0 una dallaquivalente m

enza trasmesssario preved

ferire pi pote fasi non sorazione. Si

ale riportato i

ca squilibrata

dei carichi. Pdiretta delle d

so di rete sim

sso angolo altra. In que

monofase in qssa da una redere dei contenza rispett

ono uguali il ha un feno

in Figura 5.

a

10

Per lo studiodue leggi di

(52)

mmetrica ed

(53)

rispetto allaesto caso laquanto le treete di questoduttori per ilto ai sistemicentro stella

omeno detto

0

o i

d

a a e o l i a o

Come squilibrata tensioni imppratica, le generatori duniche tensimentre le tereti trifase, modificata lati del trian

Se ci sstellato di gdiventerebbconcatenatasulle fasi inevitato. Su upunti O e Ola rete equspostamentoevidenzier squilibrati.

Nella sseconda fassequenza 1-120 rispettLe terne sim

Come sul piano fa

si pu evincle tensioni cpresse dai gedifferenze tr

delle stesse fioni realmen

ensioni di ciala tensione ndal carico (n

ngolo che ha si trova in prgenerazione. be ovviamena (e quindi ranizialmente suna rete trifa

O. Questo couilibrata ed o del centro

come si p

stella di vettse in ritardo-3-2 si avrebto alla seconmmetriche di

si detto i vasoriale perc

cere dalle (5che si trovaneneratori. Cira le tensionfasi. Queste nte impresse ascun generanominale snellipotesi dper vertici g

resenza di reIn particolar

nte nulla, madical tre voane. Ecco pease possibionduttore, de percorso dao stella sarpu evitare

tori riportata o rispetto all

bbe una seconda. In questoretta invers

Figu

vettori che rapch tale pian

2) e come sno sui carichi che inveceni applicate tensioni restdal sistema

atore sono desempre la tendi avere dei gli estremi deeti squilibratre, se la fase

ma la tensiolte maggioreerch il fenole evitare lo etto tipicamea corrente vi ripreso ralo spostame

in Figura 5la prima e landa fase in ao caso la tersa sono ripor

ura 6. Terne s

ppresentano no gira a velo

si pu osservhi non sonoe resta costan

a due carictano sempre di generazio

ette stellate ensione concageneratori id

ei vettori V1,te la tensione1 andasse in

one sulle alte della tensio

omeno di spospostamento

ente conduttoia via crescenapidamente ento del cen

le tensioni a terza in rianticipo di 1rna si dice inrtate in Figur

simmetriche

le grandezzeocit pari al

vare nel diago pi uguali nte la diffechi ugualecostanti ind

oni. Tali tense non sono imatenata perchdeali). Le teV2, e V3.

e su ciascunn corto circutre due fasione stellata!)

ostamento deo del centro sore di neutronte quando ldurante lo ntro stella d

di fase costiitardo rispett20 rispetto

nversa (percora 6.

e diretta e inv

e del circuitolla pulsazion

gramma di Ftra loro e n

erenza di pote alla differedipendentemesioni sono dempresse al cah la grandnsioni conca

na fase pu eito (1 = 0) li diverrebbe). Ci potrebl centro stellstella collega

o, non percla rete si squstudio dei tdel trasform

ituiscono unato alla seconalla prima e

orsa al contra

versa

o (ad esempine delle gran

Figura 5 nel non sono pitenziale tra denza tra le ente dal cariette tensioni arico. Ecco p

dezza che nonatenate corri

essere diversla tensione sue pari ad ubbe causare gla un fenomando con un corso da corruilibra. Il fentrasformator

matore dovut

na terna diretnda. Se si cole una terza inrario sul pian

io le tensionindezze stesse

11

caso di rete uguali alledue linee. Intensioni deico e sono leconcatenate

perch, nellen pu esserespondono ai

sa dal valoreu quella fase

una tensioneguasti anchemeno che vaconduttore i

rente quandoomeno delloi quando sito a carichi

tta perch lallegassero inn anticipo dino fasoriale).

i) sono fermie. Se per la

e e n i e e e e i

e e e e a i o o i i

a n i .

i a

12

grandezza (ad esempio sempre la tensione) non puramente sinusoidale ma comunque periodica dello stesso periodo vuol dire che pu essere sviluppata in serie di Fourier e pu essere espressa come somma di infinite armoniche (o comunque di tutte quelle con coefficiente non nullo). Si ha:

tjk

tjkjk eeeV k

V (54) La terna di tensioni associata allarmonica k-ima del vettore si muover sul piano con una velocit che

dipende dal valore di k. Per come sono realizzate le apparecchiature elettriche, tipicamente il comportamento simmetrico per le onde positive e per quelle negative. Per questo motivo per quasi tutte le grandezze esiste una simmetria nel semiperiodo che fa si che scompaiano dal contenuto armonico tutte le armoniche pari. Delle armoniche dispari si faccia la seguente distinzione:

3416cos

3416cos

3216cos

3216cos

16cos

16

3216cos

3416cos

3416cos

3216cos

16cos

16

3cos3

4cos

3cos3

2cos

cos

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

tkVtkV

tkVtkV

tkV

karmoniche

tkVtkV

tkVtkV

tkV

karmoniche

tkVtkV

tkVtkV

tkV

karmoniche

V

V

V

V

V

V

V

V

V

(55)

Dalle (55) si nota come le terze armoniche delle tre fasi risultino in fase tra loro. Per questo motivo vengono dette omopolari. Le armoniche (6k-1) sono invece delle sequenze inverse mentre le armoniche (6k+1) sono delle sequenze dirette. Al fine di chiarire meglio questo concetto di seguito si daranno rappresentazioni grafiche nel dominio del tempo. Nelle figure seguenti sono riportati gli andamenti nel tempo, della terna fondamentale e delle terze, quinte e settime armoniche (rispettivamente omopolari, inverse e dirette secondo le (55)). Ciascuna armonica indicata con un doppio pedice, il primo relativo alla fase mentre il secondo relativo allordine dellarmonica. Dallanalisi di queste figure si pu notare come le terze armoniche siano tutte in fase tra loro, le quinte siano costituiscano una terna inversa e le settime una terna diretta.

Figu

Figur

ura 7. Andam

ra 8. Andam

mento delle te

ento delle qu

erze armonic

uinte armoni

che rispetto a

iche rispetto

alle fondame

alle fondam

entali

mentali

133

Si osseverificare chInfatti, perciniziale, persequenza or

In un sfasi. Nellipgenerazionesfasamenti t

1

VIP

VP L

Ricordsinusoidale

fVP

Figur

ervi che sul he le terze a

correndo in sr la quinta ciraria di percsistema trifaspotesi di retee. Inoltre i mtra ciascuna

cos

cocos

cos

cos

3

1

t

tI

V

It

L

L

dando le prop radical due

ccoscos, effefff I

ra 9. Andame

piano fasorarmoniche sosenso orario gi si ritrova prorrenza dei fse la potenzae simmetrica

moduli delle ttensione e l

cos3

4

os

34

cos

3

1

t

It

t

priet del pre volte pi p

22cos

2cos

t

ento delle set

riale se si suono sequenzegli sfasamenrima sulla terfasori. a trasferita ,a ed equilibratensioni e delomonima co

34

2cos

cos

cos

3

2

t

t

t

V L

rodotto dei ciccolo del va

33

2

cost

ttime armon

uppone ogni e omopolari,nti di un terzorza fase e po

, ovviamenteata le tensionlle correnti s

orrente. Si ha

cos3

23

43

2

3

2It

coseni e ricoalore massim

cos3

2coss

effeff IV

niche rispetto

armonica in, le quinte soo di periodo

oi sulla secon

e, la somma ni sul carico

sulle fasi sona:

32

cos2

t

t

ordando che mo le (56) si p

3

42 t

o alle fondam

n fase con lono inverse e, per le terzenda e per la s

delle potenzo sono ugualno tutti ugual

32

2

il valore efpossono riscr

mentali

la fondamene le settime e si ritorna alsettima ci si

ze trasferite sli alle tensionli e sono ugu

fficace di unrivere come:

14

ntale facilesono dirette.lla posizioneritrova nella

sulle singoleni stellate di

uali anche gli

(56)

na grandezza:

(57)

4

e . e a

e i i

a

Dalla (alla sommavantaggio dessendo sfacomponentenominale de

P in cui c

12V

Dalle (stellata ed diagramma

Si ossestella2. Per qparte limpiassorbita dalinserzione

2 Tra qu

(57) possiba delle tre podelle reti trifaasate di un te oscillante, ella rete trifa

co3 , effeff IV

con V si in

21 VV

(59) si vede sfasata di 3fasoriale rip

F

ervi che esistquesti non iego della (5a un carico

e Aaron di du

uesti ci sono tu

bile verificarotenze attivefase rispetto terzo di peri

ma la potease la tension

osndicata la ten

3

tj

jtj

Ve

eeV

e che la tens30 in anticipportato in Fig

igura 10. Dia

tono diversi upossibile mi7) o della (5trifase gen

ue wattmetri.

utti i carichi c

re che, comee sulle singola quelle moniodo danno enza attiva ne concatenat

nsione concat

32

21

23

t

j

V

sione concatpo rispetto a

gura 10

agramma fas

utilizzatori cisurare la ten58) possibilerico per il . Questa inse

connessi a trian

e ci si attendle fasi. Nellanofase. Infatsomma null costante nta, la (57) s

atenata e si

63

211

tj

tj

Ve

eV

tenata ha moalla prima de

soriale di ten

connessi alla nsione di fasele solo nei c quale non

erzione sch

ngolo di cui s

deva, la potea (57) pertti le potenzela. Non c nel tempo. Sspesso scritta

tenuto conto

6

23

j

odulo radicaelle due stell

nsioni stellate

rete trifase ce per calcolarasi di carich accessibil

hematizzata in

i parler pi a

nza attiva de evidenziate oscillanti dquindi nella

Si osservi cha come:

o che :

al tre volte mate. Ci an

e e concatena

che non rendre la potenzai equilibrati.le il centro n Figura 11.

avanti.

ella rete trifato anche un dei tre circuia potenza trahe, essendo

maggiore denche chiaro g

ate

dono disponiba secondo la . Per misurar

stella si pu

15

fase ugualealtro grandeiti monofaseasmessa una

la tensione

(58)

(59)

ella tensioneguardando il

bile il centro(56). Daltrare la potenzau utilizzare

5

e e e a e

e l

o a a e

Di fattoentrambe al

iV 113Pertant

lunica ipotsistema sia coincidente wattmetri.

Fin quiavere un putrifase posconnesso trdei generato

Se nonimpatto sullche le grandnon dipendola corrente nfase del cari

Cos cqualsiasi cocarico a triarete e quin

o si inseriscolla stessa fase

ViV 1223to, attraversotesi utilizzata

a tre fili. Dcon quello

i si ipotizzaunto comune ssibile connea due fasi e ori che dei ca

n si conoscela rete, ipotidezze di reteono dalla conominale neico se il caricome possi

ollegato a stelangolo ottenendi alla tens

ono i due wae e le due co

ViV 213o linserzionea per i passaDel resto, sedel quarto fi

ato che tutti alle tre fasi

ettere sia carisu di esso

arichi esem

Figura 12.

e a priori la izzare un cole restino invannessione de

elle reti trifasco connessibile ipotizzalla possibilere un equivaione concate

Figura 1

attmetri in morrenti delle s

iViV 123e Aaron si riaggi della (6e il sistema ilo) ed pos

i generatori che detto cichi che gene quindi presmplificata in F

Connession

connessionellegamento aariate. Le grael carico sonse sempre lso a stella, mare per un cle ottenere unalente a stellenata e alla

11. Inserzion

odo che misustesse fasi. In

ViVi 3221iesce a misur60) che la a 4 fili

ssibile quind

e tutti i cariccentro stella.eratori a triasente la tensiFigura 12.

ne a triangolo

e interna ai a stella o un andezze che no la tensionla corrente d

mentre differcarico non nn carico equila. Lequivala corrente di

ne Aaron

urino due tenn questo mod

ii 21rare la potensomma delldisponibile

di misurare la

chi siano con. Tuttavia, co

angolo. In quione concate

o di generato

carichi pocollegamensi possono me concatenat

di linea. Talerente se il ca

noto il collegivalente a trilenza, come i linea. Se

nsioni concatdo si ha:

iViV 2211nza in tutti i se tre correntil centro st

a potenza me

nnessi a stellaome facile esto modo o

enata. La con

ori e carichi

ossibile, ai fto a triangolmisurare sullta e la correne corrente coarico connegamento che angolo e vicsi detta rla rete sim

atenate di due

PiV 33 sistemi a 3 fti sia nulla etella (il cui

mediante lins

la in manieraimmaginare

ogni carico (gnnessione a t

fini dello stulo. La cosa ila rete concante di linea.

oincide con laesso a triangoe si vuole, pceversa posrelativa alle gmmetrica ed

16

e fasi riferite

(60)

fili in quantoe cio che ilpotenziale

serzione di 3

a tale cio dae, su una retegeneratore) triangolo sia

udio del suoimportante atenata e cheEcco percha corrente diolo. er un carico

ssibile per ungrandezze did equilibrata

6

e

o l 3

a e a

o e i

o n i a

17

lequivalenza immediata. Infatti i due carichi, per essere equivalenti devono assorbire la stessa potenza. Pertanto si ha:

333

333 2222

lfllf

f

f

IVV

IIIVIV

ZVVZZ

ZV

ZV

(61)

Se la rete equilibrata, quindi, la corrente che circola in una fase di un carico connesso a triangolo radical tre volte pi piccola della corrente di linea (la tensione radical tre volte pi grande e la potenza la stessa). Si osservi che la corrente che circola nel triangolo non solo pi piccola della corrente di linea ma anche sfasata in anticipo rispetto a quella di fase di 30. Ci potrebbe essere ottenuto scrivendo le (61) in parte reale ed immaginaria e considerando la conservazione della potenza complessa.

Limpedenza dellequivalente a triangolo invece tre volte pi grande dellimpedenza dellequivalente a stella. Ci facilmente intuibile se si pensa che unimpedenza che soggetta ad una tensione radical tre volte pi grande assorbe una corrente radical tre volte pi piccola.

Se la rete simmetrica, ma non equilibrata lequivalente si ottiene semplicemente imponendo luguaglianza delle impedenza viste da ciascun nodo. Si pu pertanto scrivere:

231312

12132332

231312

23121331

231312

23131221

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

(62)

Si osservi che nellipotesi di tre impedenze uguali le (62) restituiscono le (61). Quanto detto per i carichi si pu ripetere analogamente per i generatori.

Su una rete trifase possono essere collegati pi carichi in parallelo. Se la rete di potenza prevalente, tuttavia, le tensioni concatenate impresse ad ogni carico sono indipendenti dagli altri carichi e quindi i carichi possono essere studiati separatamente e poi possono essere sommate le potenze e le correnti da essi assorbite (quando si sommano le correnti si ricordi che vanno sommate in maniera vettoriale tenendo conto della loro fase!). In Figura 13 sono rappresentati due carichi connessi in parallelo su una rete trifase.

Talvoltnominale. Dtriangolo. Pstella si ha:

3

ar

ZX

ZR

IV

Z

I

f

Per lepossono app

Esattamalto possibipotenza moloperazionecapacitive oreattive diffdecidere anrifasare un

ta un caricoDa questi Per esempio,

2

2

2

3sin

3cos

3

33

rctan

IQZ

IP

IV

IV

PV

S

PQ

nf

n

equivalente aplicare le (63mente come ile al fine dolto basso e di rifasamo induttive. ferenti se colnche il tipo

carico ohm

Figura 13.

o pu esserefacilmente

se P e Q s

2

2

2

3VQ

n

a triangolo 3) e le (61). per le reti m

di massimizzquindi opp

mento pu eSi osservi

llegate a steldi collegame

mico-induttivo

Carichi in p

e fornito conpossibile otono le poten

si possono

monofase izare i rendimportuno effetssere effettuche le stess

lla o a triangento. Al fineo che lavora

parallelo conn

n i dati di pttenere, se nnze attiva e

scrivere dir

importante trmenti di trasttuare unopuata inserendse capacit golo. Pertante di spiegara con fattor

nessi ad una

potenza assonecessari, i reattiva asso

rettamente le

rasferire la psmissione. Perazione di do in parall(induttanze)

to, quando sire meglio la e di potenza

rete trifase

orbita quandodati di un e

orbite dal car

e equazioni

potenza con er carichi chrifasamentoelo al carico) forniranno i sceglie di rproblematic

a 1 e si vo

do alimentatoequivalente

arico, per le

sul triangol

il fattore di he lavorano

o. Anche in o opportune(assorbiran

rifasare una ca si supponoglia ottener

18

o a tensionea stella o aquivalente a

(63)

lo oppure si

potenza pia fattore diquesto caso

e impedenzenno) potenze

rete bisognanga di doverre, mediante

8

e a a

i

i o e e a r e

19

lintroduzione di opportune capacit, un fattore di potenza complessivo pari a 2. Supponendo di poter trascurare le perdite nei condensatori essi non varieranno la potenza attiva assorbita, ma solo la reattiva. Allora, per la conservazione della potenza reattiva si pu scrivere:

2

22121

22

11

1

sinsin3

sin3

sin3

c

c

c

cc

nc

n

n

VQC

QVX

IVQQQ

IVQ

IVQ

(64)

in cui con Vc si indicata la tensione dei condensatori che uguale alla tensione concatenata se sono connessi a triangolo ed uguale alla tensione stellata se sono connessi a stella. E allora evidente che se si connettono i condensatori a triangolo si necessita di condensatori di capacit tre volte pi piccola. Daltra parte dovranno essere condensatori in grado di lavorare a tensione pi elevata. Se si ricorda che lenergia immagazzinata in un condensatore

2

21

cc CVE (65)

si pu immediatamente osservare che i condensatori scelti devono in ogni caso essere in grado di immagazzinare la stessa energia, ma saranno condensatori di capacit 3 volte maggiore che lavorano con tensioni radical tre volte pi piccole (se connessi a stella) o condensatori di capacit 3 volte minori ma che lavorano con tensioni radical tre volte pi grandi (se connessi a triangolo).