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AppuntionlinedelCorsodiOndeeOscillazioni

Docente:CarloPaganihttp://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/

Annoaccademico20112012

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RedazionediDanieleSertoredegliappuntideldocenteperilcorsotenutopressolaFacoltdiScienzeMatematiche,FisicheeNaturalidell'UniversitdegliStudidiMilanonell'annoaccademico20092010.

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PrefazioneOscillationandWavesuncorsodiffuso intutto ilmondodamoltidecennie introdottosolorecentementeinItalia.

Ilcorso trattadueargomenti trasversali,oscillazionieonde,che interessanomoltissimicampi della fisica.Una trattazione indipendente genera, attraverso lamatematica che lidescrive, importanti legami tracampimoltodiversidella fisica.Lepropriet fondamentalidelleoscillazioniedelleonderisultanovalideperfenomeniegrandezzefisichemoltodiversieincampidisparati.

Le oscillazioni e le onde sono quindi due modi essenziali attraverso i quali noiinterpretiamoediamoformaallarealtdicuifacciamoparte.

Questi appunti non sono sostitutivi di un testo di Fisica di riferimento quali quelliconsigliatinelseguito.Essisoniosoprattuttounaraccoltadiformuleedidimostrazionichehanno ilduplice scopodi facilitaregli studentinella sistemazionedeipropriappuntiediintegrareitesticercandodidareunaformulazioneomogeneaecoerente.

OscillazioniSono fenomeni fisici in cui un sistema fisico, o anche una grandezza fisica (scalare ovettoriale)oscillainfunzionedeltemponell'intornodiunpunto(ovalore)nelquale(operilquale)l'energiapotenzialepresentaunminimo.

Onde Sonoperturbazioni,materialiodi campo, che sipropagano trasportandoenergia adunacertavelocit.

Le onde sono tutte descritte da funzioni dello spazio e del tempo, con un particolarelegametradi lorochefasiche laperturbazionesipropaghi,trasportandoenergia,adunavelocitbendefinita.

Ondemateriali(acustiche)necessitanodiunmezzomaterialeelasticoperpropagare.Leondesonoresonounasottospeciedelleondeacustiche

Ondeelettromagnetichenonnecessitanodialcunmezzoperpropagarsi.Cioccuperemoprincipalmentedelleondeluminoseconl'Otticageometricaeondulatoria,conaccennialladuplicenatura:ondulatoriaecorpuscolare.

Testiconsigliati Resnick,Halliday,Krane:Fisica1eFisica2,5edizione,CasaEd.Ambrosiana

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Mazzoldi,Nigro,Voci:Fisica,vol.1evol.2,2edizione,EdiSES Codestiappunti,neilimitisopraindicatiMazzoldi,Nigro,Voci:ElementidiFisicaOnde,EdiSES

Altritestidisupporto Focardi,Mazza,Uguzzoni:FisicaGeneraleOnde,CEA AlessandroBettini:Leondeelaluce,decibel,Zanichelli

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1 Oscillazioni Sonofenomenifisici incuiunsistemafisico,oanchesemplicementeuna(opi)grandezzafisica (scalare o vettoriale) oscilla in funzione del tempo. Oscillare significa muoversialternativamente nell'intorno di un punto, ovvero, nel caso di una grandezza fisica,nell'intornodiuncertovalore.Comenelcasodelpensieroumano.

Esempi:ilpendolo,ilbilancierediorologio,unapallinainunaconca,unpesocollegatoadunamolla, gli atomi in un reticolo cristallino nell'intorno della posizione di equilibrio, lamembrana di un tamburo, la corda di uno strumentomusicale a corda, la corrente e latensioneinognicomponentediuncircuitoRLC.

NelcampodellaFisica, leoscillazionisonoperiodichealmenonell'intervalloditempo incuisonopreseinconsiderazione.Senonc'attenuazione,cioconsumodienergia,valelarelazione )(=)( tfnTtf con n interoeT =periodofondamentale,cio ilvaloreminimodiT per cuivale la relazione.Se c'attenuazione ilperiodoancora identificabilema larelazioneprecedentenonpiesatta.

Sela )(tf esprimibileconunafunzionesenoocoseno,l'oscillazionesidice``armonica''

1.1 OscillazioniMeccaniche:motiperiodiciearmonici L'espressionegeneralediunmotoperiodicoin3D

)(=)( trnTtr

Poich kzjyixr

=

deveancheessere

)(=)()(=)()(=)(

tznTtztynTtytxnTtx

tutteconlostessoperiodoT

eanche )(=)( tsnTts

dove s lacoordinatacurvilineachedescrivelatraiettoria.Unmotoperiodicoqualunquein3Dpuesseremoltocomplicatodadescrivere,manonlonellamaggiorpartedeicasiincuiriconducibileadunmotoarmonicooaunacombinazionelinearedimotiarmonici.

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1.2 Motoarmonicosemplice:monodimensionalesenzasmorzamento

Ilmotodiunatomo(molecola)vibrantiinunsolido(reticolo)puesserevistocomelasovrapposizionedi3oscillazioniarmonichesemplici,lungoi3assicartesianix, y, z,ciascunadellequalirappresentatadaunafunzionetrigonometricasenoocoseno.

Ilmotocircolareuniformelasovrapposizionediduemotiarmonicisemplicisudueassiortogonalitradiloro.

Preso un atomo allinerno di un reticolo e fissato un sistema cartesiano di assi conoriginenelpuntodiequilibriodellatomo(Figura1.1), lanergiapotenzialeUsarfunzionedelletrecoordinateeavrunminimonelloriginedegliassi(condizionediequilibrio).Sihaquindi:

),,(= zyxUU eanche 0||=| 0=0=0=

zyx zU

yU

xU

Laforza Fdirichiamoacuisoggettolatomodata,amenodelsegno,dalgradiente

dellenergiapotenziale,ciovalelequazione

UF

= 1con 0=| 0=xF

.

Figura1.1Atomiinunreticolocubicoeschematizzazionedelleforzeelastichedirichiamoacuisoggettounatomonellintornodellasuaposizionediequilibrio.

Facendo riferimento alla Figura 1.1 si noti che, per piccoli spostamenti e conunopportuna sceltadegliassi, i tremoti in x, y e zpossono considerarsidisaccoppiatiedessere quindi trattati separatamente. Limitandoci quindi alla trattazione delmoto lungo

1 kzUj

yUi

xUUdigradientezyxU

),,( unoperatoredifferenzialechetrasforma

unoscalareinunvettore.Nelcasounidimensionalesihasemplicemente: idx

xdUixxUxU

)()()(

z

y

x

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lasse orizzontale x, possiamo scrivere il potenziale sviluppandolo in serie di Taylor eottenendoquindi:

........=)( 332

204

43

32

210 xaxaaxaxaxaxaaxUU 2

Nell'intornodellaposizionediequilibrio,indipendentementedallasseprescelto,l'energiapotenziale di ogni atomo nel reticolo deve essereminima, ovvero stazionaria, ovvero larisultantedelleforzeagentisull'atomodeveesserenulla.

Seilmovimentopiccolonell'intornodellaposizionediequilibriosipossonotrascurareiterminidiordinesuperiore.Sihaquindi

220)( xaaxU e ixkixaUF

=2= 2

avendoposto 22= ak ,conk =costanteelasticaequivalentedellemolleche tengono inequilibriolatomolungolassex.

CombinandooralasecondaleggediNewton, amF ,conlaforzadirichiamoottenuta

soprasiottienelequazionedelmoto kxxm =

ixkixmidt

xdmamF

22

ovvero 0 kxxm

lacuisoluzione,detta leggedelmoto,: )(cos=)( 0 txtx m .Poich ilmotoespressoattraversounafunzionecosenoeseno,sitrattadiunmotoarmonico.

La grandezza [s1] detta frequenza angolare o pulsazione. Notiamo infine che,poich il potenziale )(xU definito a meno di una costante, relativamente al motodellatomonellintornodelpuntodiequilibrio,possiamoporre 00)0( 0 aU

Le approssimazioni fatte, troncando lo sviluppo di Taylor al termine di secondordine,sonopresentateinFigura2.1,doveigraficidellegrandezzerealisonocomparaticonquelliottenuticonlapprossimazionealsecondordinedellaseriediTaylor.3

2a1 x = 0inquantoilterminediprimogradodeveesserenullopoichlaU(x)haunminimoinx = 0.3Tutteleequazionisonoscrittenellipotesicheilsistemadiriferimentosiapresoinmodochelaposizionex= 0coincidaconquellaincuilenergiapotenzialeminima.Seinvecequestacondizionediminimosiverificain

00 xx , valgono le stesse relazioni ma bisogna sostituire x con 0' xxx (cambio di coordinate).Lipotesichesia 0)0( U verrutililizzatasempreamenochesiaesplicitamentedettaunacosadiversa.

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Figura2.1Energiapotenziale(b)eforza(a)cheproduconoilmotoarmonicodiunatomolegato in una molecola biatomica. Il caso di un atomo nel reticolo di Figura 1.1 chiaramentepiusimmetrico.Le figureasinistra rappresentano legrandezze reali,mentrequelleadestraleloroapprossimazioniavendoutilizzatolosviluppodiTaylortroncato.

1.3 MotoCircolareUniforme

Descriviamoilmotocircolareuniformenelpianox,yecentratonell'origine(Figura3.1).

Ilvettorechedescriveilmotocircolarenelpiano

costante|=|)(=)( rttrnTtr

mentre,essendouniforme,lasuafaseesprimibiledallarelazione

tt 00=)(

chelequazionediunarettaint.

Poich jtyitxtr )()(=)( ,possiamodescrivereilmotocircolareuniformeattraverso

lecomponentidi )(tr ,possiamocioproiettareilmotosugliassixeyottenendodueleggiorarie

)(sin=)()(cos=)(

00

00

trtytrtx

chesonolesoluzionidelledueseguentileggi(differenziali)delmoto:

)(==)(

)(==)(

202

2

202

2

tydt

ydty

txdt

xdtx

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Figura3.1MotoCircolareUniforme

Ricordandochenelnostrosistemadiriferimento jtyitxtr )()(=)( ,nederivachele

dueequazionidelmotoinxey,possonoesserescrittecomeununicaequazionevettoriale

rdt

rd 202

2

=

Le leggiorarie )(tx e )(ty ,proiezionidelmotocircolareuniforme,sonoequazionidiunmoto armonico. Un moto armonico, essendo descritto con seni e coseni, sempreperiodico.

)(sin=)()(cos=)(

00

00

trtytrtx

)(=)()(=)(tynTtytxnTtx

t

Perdeterminarelerelazionitralegrandezzechecompaiononeiduegruppidiequazionibastapensarechelavariabile t nell'argomentodellefunzioniarmonichesenoecoseno,echequestesiripetonoogni 2 .Posto 00 t ,laperiodicitespressadallerelazioni

))(2(sin=sin))(2(cos=cos nn

cio,tornandoallargomentooriginale

])2(sin[)(sin])2(cos[)(cos

0000

0000

nttntt

T

nTnTntnt 22)()2( 000000

Insintesi,lerelazionitratuttelegrandezzeprincipalidelmotoarmonicosonoleseguenti

TTT

22

2=1=2= 00

0

T = periodo delloscillazione, espresso in secondi, T [s], e rappresenta il tempoimpiegatopereffettuareunoscillazionecompleta

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=frequenzadelloscillazione,[s1],ilnumerod