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MODULO 1: Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici

APPUNTI DI TOPOGRAFIA

MODULO 1

ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA E USO DI MACCHINE CALCOLATRICI

PROF. SPADARO EMANUELE


http://spadaroemanueletopografia.bloog.it/ 2

UNITA’ DIDATTICA N°1UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI E USO DELLE MACCHINE CALCOLATRICI



Alfabeto Greco

Lettera Greca

minuscola maiuscola

Corrispondentelettera italiana

Nome dellelettere

A a alfa B b beta g gamma d delta E e épsilon Z z zeta H e éta th theta I i iota K c cappa l lambda M m mu N n nu cs csi O o òmicron p pi (greco) P r rho s sigma T t tau Y u (francese) upsilon f fi X ch chi ps psi o oméga

Segni Matematici

Segno significato Segno significato

perpendicolare, a 90° circa non perpendicolare maggiore parallelo maggiore o uguale uguale e parallelo minore uguale (identico) minore o uguale coincidente sommatoria non uguale (diverso) appartiene congruenete non appartiene simile da, a



DEFINIZIONE DI ANGOLO

Si definisce angolo la parte di piano compresa fra due semirette che hanno origine nello stessopunto

fig. 1

DEFINIZIONE DI ANGOLO ORIENTATO

Per evitare l’incertezza se si intenda o l’angolo fra i due segmenti OA e OB è opportuno dareun orientamento al senso di rotazione che deve avere un segmento per sovrapporsi all’altro con ilquale forma l’angolo in questione.In topografia si usa il senso orario e si dirà che l’angolo è rappresentato dalla rotazione che devecompiere il segmento OA per sovrapporsi ad OB. Si scriverà quindi:

= AOB; = BOA.

Esercizio propostoRappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti

elementi:

AB = 16,28m; BC = 19,32m; CD = 15,12m; DE = 10,92m; EF = 13,12m; ABC = = 140°;BCD = = 130°; CDE = = 100°; DEF = = 280°.

Suggerimento: utilizzando un goniometro destrorso (che avanza con la graduazione in senso orario),posizionare lo zero nella direzione della prima lettera della terna che individua il generico angolo eil numero che rappresenta la sua ampiezza nella direzione della terza lettera.

UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI

Le unità di misura angolari utilizzati in topografia sono :i sessagesimali (sg);i sessadecimali (sd);i centesimali o gon (g);i radianti (rad) per la verità questi sono quasi mai utilizzati in topografia.

I Sessagesimali

L’unità di misura è il grado che si definisce come la novantesima parte dell’angolo retto.L’angolo sessagesimale si indica con i gradi (°), i primi (‘) e i secondi (“). primi e secondi sonosottomultipli del grado.



In particolare:

1° (un grado) = 60’ (sessanta primi)

1’ (un primo) = 60” (sessanta secondi)

perciò: 1° = 3600”

In genere un angolo in sessagesimali si indica: sg = g° p’ s”. Ad esempio = 65°44’38”.

I Sessadecimali

L’unità di misura è la stessa del sistema sessagesimale.Il sistema sessadecimale è stato introdotto per semplificare le operazioni di calcolo un tempo

onerose. L’angolo sessadecimale è composto da gradi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimidi grado.

Un esempio di angolo sessadecimale è il seguente: = 121°,6359.

Sia per i sessagesimali che per i sessadecimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate inDEG (D).

PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A SESSADECIMALI

Per effettuare la conversione da sessagesimale a sessadecimale , tenendo conto della relazioneesistente fra il grado e i suoi sottomultipli, si può utilizzare la seguente relazione:

"3600"s

'60'pgsd .

Esercizio risoltoTrasformare in sessadecimale il seguente angolo:

= 113° 15’ 22”

= 113° + 15’/60’ + 22”/3600” = 113°,2561

Si ripete l’esercizio usando la calcolatrice scientifica (le procedure si riferiscono alla calcolatriceSHARP EL-506R) sulla quale, dopo averla impostata in DEG si pigiano i seguenti tasti:

1 1 3 DMS 1 5 DMS 2 2 DMS 2ndf DEG

Esercizio propostoTrasformare con e senza calcolatrice scientifica da sessagesimale a sessadecimale i seguenti

angoli: = 72° 39’ 48”; = 193° 59’ 01”



PASSAGGIO DA SESSADECIMALE A SESSAGESIMALE

Quando si vuole trasformare un angolo da sessadecimale a sessagesimale si procede nel seguentemodo:sia dato:

= 73°,1347 = 73° (0,1347 x 60)’ = 73° 08’,082

= 73° 08’ (0,082 x 60)” = 73° 08’04”,92.

Utilizzando la calcolatrice scientifica, dopo averla impstata in DEG, il procedimento è il seguente:

7 3 , 1 3 4 7 2ndf DMS

Esercizio propostoTrasformare con e senza calcolatrice scientifica da sessadecimale a sessagesimale i seguenti

angoli: = 329°,1234; = 15°,9999.

I Centesimali (o Gon)

Sono strutturati in modo analogo ai sessadecimali, perciò hanno una parte intera rappresentatadai gradi centesimali (o gon) e quattro decimali che rappresentano i decimi, centesimi, millesimi edecimillesimi di grado.

L’angolo giro in centesimali conta 400 gon, l’angolo piatto 200 gon e l’angolo retto 100 gon.Perciò il grado centesimale corrisponde alla centesima parte dell’angolo retto.

Vi sono modi diversi per scrivere un angolo centesimale.

1° modo: = 75c, 42¯73¯ ¯

75c = gradi centesimali

42¯ = primi centesimali

73¯ ¯ = secondi centesimali

essendo: 1¯ (un primo centesimale) = 1c /100 (un centesimo di grado)

ed 1¯ ¯ (un secondo centesimale) = 1c /10000 (un decimillesimo di grado)

2° modo: = 75g, 42c 73 cc

75g = gradi centesimali

42c = primi centesimali

73cc = secondi centesimali



analogamente a prima si avrà:

1c = 1g /100 ed 1cc = 1g /10000.

3° modo: è molto utilizzato perché più pratico e veloce

= 75c, 4273.

4° modo: è il modo più utilizzato perché più pratico, veloce e moderno

= 75g, 4273 oppure = 75,4273 gon.

Per operare con i centesimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in GRAD (G).

PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A GON

L’operazione è composta dai due seguenti passaggi:

passaggio da sessagesimali a sessadecimali;passaggio da sessadecimali a gon.

Poiché il primo passaggio è già noto focalizzeremo la nostra attenzione sul secondo passaggio.Per la sua effettuazione è sufficiente considerare che lo stesso angolo misurato nelle due unità dimisura diverse ha valori numericamente diversi. In particolare esso sarà tanto più grande quanto piùtacche contiene l’angolo piatto di quel determinato sistema a cui viene riferito.

Esiste quindi una proporzione diretta fra il valore dell’angolo in un determinato sistema el’angolo piatto di quel sistema di riferimento. Queste considerazioni ci consentono di scrivere:

g /200g = sd /180° da cui: g = sd x 200g /180°

ed effettuando le dovute semplificazioni:

g = sd 10g / 9° (1).

Esercizio risoltoTrasformare in gon il seguente angolo:

= 83° 53’ 48”

1° passaggio: = 83° + 53’/60’ + 48”/3600” = 83°,8967.2° passaggio: = 83°,8967 x 10g /9° = 93,2185 gon.

Si risolve il problema utilizzando la calcolatrice scientifica che inizialmente deve essereimpostata in DEG e alla fine risulterà impostata in GRAD:

8 3 DMS 5 3 DMS 4 8 DMS 2ndf DRG 2ndf DRG



Esercizio propostoTrasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da sessagesimale a centesimale i

seguenti angoli:

= 79° 03’ 12”; = 115° 15’ 13”; = 179° 52’08”.

PASSAGGIO DA CENTESIMALI A SESSAGESIMALI

L'operazione è composta dai due seguenti passaggi:

passaggio da centesimali a sessadecimali;passaggio da sessadecimali a sessagesimali.

Poiché il secondo passaggio è già noto focalizzeremo la nostra attenzione sul primo passaggio.Per la sua effettuazione è sufficiente invertire la (1) dalla quale si ricava:

sd = g 9°/10g .

Esercizio risoltoTrasformare in sessagesimale il seguente angolo:

= 126,4467 gon

1° passaggio: = 126,44679°/10g = 113°,8020.

2° passaggio: = 113° (0,802060)’ = 113° 48’,12 = 113° 48’ (0,1260)” = 113° 48’ 07”,2.

Si risolve il problema utilizzando la calcolatrice scientifica che inizialmente deve essereimpostata in GRAD e alla fine risulterà impostata in DEG:

1 2 6 , 4 4 6 7 2ndf DRG 2ndf DMS

Esercizio propostoTrasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da sessagesimale a centesimale i

seguenti angoli:

= 12°56’41”; = 42°11’09”; = 14°37’51”.

Esercizio propostoTrasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da centesimale a sessagesimale i

seguenti angoli:

= 12,5681 gon; = 342,1190 gon; = 143,6751 gon.



SISTEMA ASSOLUTO O ANALITICO

L’unità di misura è il radiante che è l’angolo che sottende un arco lungo come il raggio dellacirconferenza a cui l’arco appartiene.

= 1 rad se AB = R

fig. 2

Tra arco, angolo e raggio del settore circolare OAB esiste la seguente relazione:

rad = AB / R

L’angolo giro nel sistema assoluto vale 2 radianti, l’angolo piatto vale radianti, l’angoloretto vale /2 radianti.

Per operare con i radianti le calcolatrici scientifiche vanno impostate in RAD (R).

PASSAGGIO FRA SESSADECIMALI, CENTESIMALI E RADIANTI

Per effettuare questi passaggi, tenendo conto della proporzionalità fra l’angolo in una determinataunità di misura e il corrispondente angolo piatto, è sufficiente applicare le seguenti uguaglianze:

rad

rad

g

gonsd

200180



UNITA’ DIDATTICA N°2

FONDAMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA E RISOLUZIONE DI TRIANGOLI



FUNZIONI

Si dice funzione l’operatore matematico che ad ogni valore della variabile indipendente x associaun solo valore della variabile dipendente y.In generale si scrive:

y = f(x)Alcuni esempi di funzioni sono i seguenti:

y = 2x + 3; y = x2 - 1; xy .

FUNZIONI GONIOMETRICHE

Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente è un angolo mentre la variabiledipendente è un numero adimensionato.Le funzioni goniometriche più importanti per la topografia sono:

1. la funzione seno (sin);2. la funzione coseno (cos);3. la funzione tangente (tg);4. la funzione cotangente (cotg).

DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TANGENTE E COTANGENTE

Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tale cerchio ècaratterizzato dal fatto che il suo raggio è sempre unitario. Ciò non vuol dire che devenecessariamente valere un centimetro o un decimetro o un metro o un ..... ma vuol dire chequalunque sia la sua lunghezza essa va presa come unità di misura del disegno.

fig. 4

Si definisce seno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse orizzontale (per questodetto asse dei seni) perciò:

CD = AB = sin



Analogamente si definisce coseno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse verticale(per questo detto asse dei coseni) perciò:

AC = BD = cos.

In base alla definizione data sia il seno che il coseno avranno valori compresi fra -1 e 1.

Si definisce tangente dell’angolo il segmento EF della retta tangente al cerchio goniometrico eparallela all’asse dei seni. Essendo E il punto di tangenza col cerchio ed F il punto di intersezionefra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:

EF = tg.

Si definisce cotangente dell’angolo il segmento GH della retta tangente al cerchiogoniometrico e parallela all’asse dei coseni. Essendo G il punto di tangenza col cerchio e H il puntodi intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:

GH = cotg.

In base alla definizione data sia la tg che la cotg hanno valori compresi fra meno infinito (- ) epiù infinito (+ ).

Esercizio risoltoCalcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,

il coseno, la tangente e la cotangente del seguente angolo: = 56°.Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 perla risoluzione con calcolatrice scientifica.

Risoluzione grafica:Si costruisce la figura in modopreciso assumendo come unità dimisura il raggio BC. Quindi simisurano con accuratezza isegmenti CD, AC, EF ed GHdividendo la lunghezza di ognisegmento per la lunghezza delraggio BC si determinano i valoridelle funzioni goniometriche.Dalla figura si legge:

BC = 27 mm; CD = 23 mm;AC = 15 mm;EF = 38 mm; GH = 19 mm.

sin = 23 : 27 = 0,85; cos = 15 : 27 = 0,56; tg = 38 : 27 = 1,41; cotg = 19 : 27 = 0,70.



Risoluzione con calcolatrice scientifica:Dopo avere impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:

sin 5 6 = 0,82904; cos 5 6 = 0,55919;

tg 5 6 = 1,48256.

risoluzione grafica risoluzione con calcolatricescientifica

sin56°cos56°tg56°

cotg56°

0,850,561,410,70

0,829040,559191,48256

non siamo ancora in gradodi calcolarlo

Si nota una sufficiente rispondenza fra le due serie di risultati. Naturalmente i risultati grafici sonoaffetti da inevitabili errori di graficismo.

Esercizio propostoCalcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,

il coseno, la tangente e la cotangente dei seguenti angoli: = 20°; = 40°; = 70°.Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 perla risoluzione con calcolatrice scientifica.

RELAZIONI FONDAMENTALI

Fra le funzioni goniometriche esistono alcune importanti proprietà.

Relazione fra seno e coseno

Fra seno e coseno esiste la seguente importante relazione fondamentale:

sin2 + cos2 = 1

Per dimostrare quanto asserito è sufficiente applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangoloABC della fig. 4 percio:

AB2 + AC2 = BC2 (2)

quindi essendo:AB = sin; AC = cos; BC = 1

sostituendo nella (2) si ottiene: sin2 + cos2 = 1 come volevamo dimostrare.

Relazione fra seno coseno e tangente

Fra seno, coseno e tangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:



tg = sin / cos (3)

Per dimostrare quanto asserito è sufficiente notare che i triangoli ABC e CFE della fig. 4 sono simili(in quanto hanno gli angoli uguali) quindi si può scrivere la seguente proporzione:

EF : AB = CE : AC (4)

quindi essendo:EF = tg; AB = sin; CE = 1; AC = cos

sostituendo nella (4) si ottiene: tg = sin / cos come volevamo dimostrare.

Relazione fra seno coseno e cotangente

Fra seno, coseno e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:

cotg = cos / sin (5)

Per dimostrare quanto asserito è sufficiente notare che i triangoli CHG e CBD della fig. 4 sonosimili (in quanto hanno gli angoli uguali) quindi si può scrivere la seguente proporzione:

GH : BD = CG : CD (6)

quindi essendo:GH = cotg; BD = cos; CG = 1; CD = sin

sostituendo nella (6) si ottiene: cotg = cos / sin come volevamo dimostrare.

Relazione fra tangente e cotangente

Fra tangente e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:

cotg = 1 / tg

Per dimostrare quanto asserito mettiamo a sistema la (3) con la (5) cioè:

tg = sin / coscotg = cos / sin

moltiplicando membro a membro le due equazioni del sistema otteniamo:

sincos

cossingcottg

ed effettuando le semplificazioni del caso otteniamo: tg cotg = 1



da cui: cotg = 1 / tg come volevamo dimostrare.

Da questa relazione risulta evidente che pur non essendoci il tasto cotg sulle calcolatriciscientifiche la cotangente di un angolo può essere calcolata come reciproco della tangente dellostesso angolo.

Esercizio risoltoCalcolare la cotangente di 58°.

Dopo aver impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:

1 : tg 5 8 = 0,62487

Esercizio risolltoDato sin = 3 / 5 determinare: cos, tg e cotg.

sapendo che: sin2 + cos2 = 1 _________si ricava: cos = 1 - sin2 = 4 / 5

per la tangente utilizzando la (3) si ricava: tg = sin / cos = 3/4

per la cotangente utilizzando la (5) si ricava: cotg = cos / sin = 4 / 3.

Esercizio risoltoData tg = 5 determinare: sin; cos e cotg.

per la cotangente si utilizza la sua relazione con la tangente: cotg = 1 / tg = 1 / 5

per determinare seno e coseno si scrive il seguente sistema: sin / cos = 5 sin2 + cos2 = 1

risolviamo per sostituzione: sin = 5 cos (5 cos)2 + cos2 = 1

25 cos2+ cos2 = 1

26 cos2 = 1 ______cos = 1 / 26

___e razionalizzando: cos = 26 / 26 ___infine: sin = 5 26 / 26.

Esercizio propostoSapendo che cotg = 3 determinare sin, cos, e tg.

Esercizio propostoSapendo che: sintg = 2 determinare sin, cos, tg e cotg.



SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VARI QUADRANTI

In base alle definizioni date per le funzioni goniometriche, ragionando sul cerchio goniometricodeterminiamo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se la proiezione del raggio è unsegmento a destra dell’origine (sull’asse dei seni) o verso l’alto (sull’asse dei coseni) il segno è piùviceversa è meno. Per i segni delle funzioni tangente e cotangente si utilizzano le relazioni (3) e (5).

1°quadrante0°90°

2°quadrante

90°180°

3°quadrante

180°270°

4° quadrante

270°360°

sin

cos

tg

cotg

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

+

+

-

+

-

-

fig. 5

VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ALCUNI ARCHI NOTEVOLI

Trattiamo l’argomento utilizzando il seguente esercizio che risolviamo solo parzialmente.

EsercizioDegli archi notevoli 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° determinare i valori del seno,

coseno, tangente e cotangente raggruppandoli in appositi specchietti. Nei seguenti modi:

1. grafico (scrivere i risultati con due decimali);

2. analitico (utilizzando ragionamenti sui triangoli ove è necessario);

3. con l’uso della calcolatrice scientifica (scrivere i risultati con cinque decimali).

Svolgimento:

1. Omettiamo la risoluzione grafica per la quale si procede come visto nell’esercizio di pagina 12.

2. Nella risoluzione analitica si procede in due diversi modi a seconda degli angoli che si prendonoin considerazione. In particolare per gli angoli: 0°, 90°, 180°, 270° e 360° il valore delle funzionigoniometriche si ricava facendo delle considerazioni sul cerchio goniometrico in base alledefinizioni date per le funzioni stesse.

Per gli altri angoli è necessario ragionare su appositi triangoli costruiti ad hoc sul cerchiogoniometrico.come esempio prendiamo in considerazione l’angolo di 30°.



Per determinare il sin30° e cos30° siribalta il triangolo ABC rispetto all’assedei coseni e si costruisce quindi iltriangolo equilatero B’BC (equilatero inquanto ha i tre angoli di 60°).

Perciò essendo:

B’B = BC = 1si avrà:

AB = B’B / 2 = 1 / 2cioè:

sin30° = 1 / 2.

fig. 6

Per determinare cos30° si utilizza la relazione fondamentale fra seno e coseno: __________

cos30° = 1 - sin2 30°sostituendo il valore del seno trovato: __________

cos30° = 1 - (1 / 2)2

________ cos30° = 1 - 1 / 4

__ cos30° = 3 / 2.

Per determinare tg30° si utilizza la relazione fondamentale (3). __ __

tg30° = sin30° / cos30° = 1 / 2 : 3 / 2 = 1 / 3e razionalizzando: __ tg30° = 3 / 3.

Per determinare cotg30° è sufficiente ricordare che la cotangente è il reciproco della tangente.Quindi: __

cotg30° = 1 / tg30° = 1 : 1 / 3quindi: __ cotg30° = 3 .

Procedendo in modo analogo per 45° e 60° si ottengono i risultati del seguente specchietto:

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sin 0 ½ 22

23 1 0 -1 0

cos 1 23

22 ½ 0 -1 0 1

tg 0 33 1 3 imp. 0 imp. 0

cotg imp. 3 1 33 0 imp. 0 imp.



3. Omettiamo la risoluzione con l’uso della calcolatrice scientifica per la quale si procede come perl’esercizio di pagina 11.

FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

Nelle funzioni inverse le variabili cambiano di significato cioè la x diventa variabile dipendente ela y variabile indipendente. Se ad esempio la funzione diretta o semplicemente funzione è laseguente:

y = x2

la funzione inversa è:yx .

Le funzioni inverse goniometriche associano un angolo (arco) ad un numero. Per questo sonodette funzioni arco. Le funzioni goniometriche inverse che assumono importanza per la topografiasono:

arcoseno (arcsin) che è la funzione inversa del seno; arcocoseno (arccos) che è la funzione inversa del coseno; arcotangente (arctg) che è la funzione inversa della tangente.

Arcoseno

L’arcoseno di un numero è l’angolo il cui seno è uguale al numero di partenza.La funzione arcoseno si scrive nel seguente modo:

= arcsin ydove: = angolo (arco) arcsin = funzione inversa y = numero adimensionato.

Poichè come già detto (vedi pag. 11) il seno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 lavariabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).

Esercizio risoltoCalcolare l’arcoseno di 0,38.Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per isessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:

2NDF sin 0 , 3 8 = 22°,33368 2NDF DMS 22°20'01",25

Arcocoseno

L’arcocoseno di un numero è l’angolo il cui coseno è uguale al numero di partenza.La funzione arcocoseno si scrive nel seguente modo:

= arccos y



dove: = angolo (arco) arccos = funzione inversa y = numero adimensionato.

Poiché come già detto (vedi pag. 11) il coseno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 lavariabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).

Esercizio risoltoCalcolare l’arcocoseno di 0,38.Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per isessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:

2NDF COS 0 , 3 8 = 67°,66632 2NDF DMS 67°39'58",75

Arcotangente

L’arcotangente di un numero è l’angolo la cui tangente è uguale al numero di partenza.La funzione arcotangente si scrive nel seguente modo:

= arctg ydove: = angolo (arco) arctg = funzione inversa y = numero adimensionato.

Poichè come già detto (vedi pag. 10) la tangente può assumere solo valori compresi fra - e + lavariabile indipendente y potrà avere tutti i valori compresi in questo intervallo.

Esercizio risoltoCalcolare l’arcotangente di 43.Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per isessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:

2NDF tg 4 3 = 88°,66778 2NDF DMS 88°40'04",01

Esercizio propostoCalcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,23499; 0,56232;2,87940.



TRIGONOMETRIA

La trigonometria (dal greco misura dei triangoli) studia le relazioni tra i lati e gli angoli deitriangoli. Essa utilizza le funzioni goniometriche per la risoluzione dei triangoli.

Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i suoi elementi (tre lati, tre angoli e lasuperficie).

Una cosa nota a priori per qualsiasi triangolo è che la somma dei suoi angoli interni corrispondeall’angolo piatto. Questa affermazione può essere dimostrata nel modo seguente:

fig. 7

si traccia AD prolungamento di AB,si traccia AE parallela a BC quindi sinota che:

CAE = (angoli alterni interni) e EAD = (angoli corrispondenti)

Perciò: + + = 180°.

TRIANGOLI RETTANGOLI

Sono quei triangoli che hanno sempre un angolo retto (90°). In esso i lati che definisconol’angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa.Per risolvere questo tipo di triangoli si possono utilizzare alcuni teoremi già noti quali ad esempioPitagora ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici.

PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il senodell’angolo ad esso opposto.

In base all’enunciato si possono scrivere leseguenti formule:

c = a sinb = a sin (7)

fig. 8

le (7) possono anche essere scritte nel modoseguente:

AB = BC sin

AC = BC sin



Dimostrazione: per la dimostrazione utilizziamo il cerchio goniometrico sul quale riportiamo,anche se ribaltato, il triangolo ABC.

fig. 9

I triangoli ABC ed A’B’C sono simili perciò fra i loro lati si può scrivere la seguente proporzione:

AB : A’B’ = BC : B’Ced essendo: A’B’ = sin B’C = 1si ha:

AB : sin = BC : 1quindi: AB = BC sin come volevamo dimostrare.

SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il cosenodell’angolo ad esso adiacente.


b = a cosc = a cos (8)

fig. 10


AC = BC cos

AB = BC cos



Dimostrazione: per la dimostrazione utilizziamo la fig. 9. Sulla quale, come per ladimostrazione precedente si nota che i triangoli ABC ed A’B’C sono simili perciò fra i loro lati sipuò scrivere la seguente proporzione:

AC : A’C = BC : B’Ced essendo:

A’C = cos B’C = 1si ha:

AC : cos = BC : 1quindi:

AC = BC cos come volevamo dimostrare.

TERZO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e latangente dell’angolo ad esso opposto.


c = b tgb = c tg (9)

fig. 11


AB = AC tg

AC = AB tg

Dimostrazione: per la dimostrazione utilizziamo la prima relazione delle (7) e la primarelazione delle (8) mettendole a sistema:

c = a sin b = a cos

dividendo membro a membro otteniamo: c : b = a sin : a cossemplificando: c : b = sin : coscioè:

c = b tg come volevamo dimostrare.

QUARTO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e lacotangente dell’angolo ad esso adiacente.

In base all’enunciato, con riferimento alla fig. 11, si possono scrivere le seguenti formule:



b = c cotgc = b cotg

le precedenti possono anche essere scritte nel modo seguente:

AC = AB cotg

AB = AC cotg

Dimostrazione: per la dimostrazione è sufficiente invertire le (9).

Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 31,08 m; a = 51,98 m. Risolvere

il triangolo.Nella risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnare il triangolo, in scala per

verificare i risultati, mettendo i vertici in senso orario qualora non venga specificato, esplicitamenteo implicitamente, il contrario.

22 cab

in questo caso che fra i dati non vi sono angoli si èliberi di scegliere per essi l’unità di misura che sidesidera.Scegliamo i centesimali perciò impostiamo lacalcolatrice in GRAD.Essendo: c = a sin

si ricava: = arcsin (c /a) = 40,8014 gon

= 100g - = 59,1986 gon

S = ½ b c = 647,40 m2.

Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: b = 27,45 m; CBA = = 32,865

gon. Risolvere il triangolo.

La calcolatrice va impostata in GRAD

= 100g - = 67,135 gon

essendo: b = a sin

si ricava: a = b / sin = 55,61 m

c = b tg = 48,36 m

S = ½ b c = 663, 74 m2



Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 25,88 m.

Risolvere il triangolo.(R. a = 44,02 m; = 59,9909 gon; = 40,0091 gon; S = 460,79 m2.)

Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 68,51 m; CBA = = 12,5133

gon. Risolvere il triangolo. (R. b = 13,38 m; c = 67,19 m; = 87,4867 gon; S = 449,50 m2.)

FORMULE PER IL CALCOLO DELL’AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO

Per calcolare l’area di un triangolo rettangolo possono essere utilizzate formule diverse a secondadegli elementi noti.

fig.12

In particolare se sono noti i cateti la formula da utilizzare è:S = ½ b c. (10)

Quando invece è noto un cateto e un angolo si utilizza laseguente formula:

S = ½ b2 tgopuure:

S = ½ c2 tg.

Le precedenti si ottengono dalla (10) dove, utilizzando ilterzo teorema sui triangoli rettangoli, alla c prima e alla bpoi si sostituiscono le seguenti espressioni:

c = b tg e b = c tg.

Quando è nota l’ipotenusa e un angolo si può utilizzare la seguente espressione:

S = 1/4 a2 sin(2).

A questa formula si giunge ragionando sulla figura 13 che si ottiene ribaltando intorno al lato AC iltriangolo della figura 12.

fig. 13

SABC = ½ SBCB’ = ½ ( ½ B’CBH)

ed essendo:

B’C = a e BH = a sin(2) dal triangolorettangolo BCH

si ha:SABC = 1/4 a2 sin(2).



Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: CBA = = 75,2018 gon, S =

864,30 m2. Risolvere il triangolo.La calcolatrice va impostata in GRAD.Essendo:

S = ½ c2 tgsi ricava:

tgSc

2 = 26,64 m

quindi:b = c tg = 64,89 m

22 cba = 70,15 m; = 100g - = 24,7982 gon.

Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = a = 58,35 m, S = 615,00 m2.

Risolvere il triangolo.

La calcolatrice va impostata in GRAD.Essendo:

S = 1/4 a2 sin(2)si ricava:

= ½ arcsin (4 S : a2) = 25,7019gonquindi:

= 100g - = 74,2981 gon

c = a sin = 22,58 m b = a cos = 53,66 m.

Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 6482,00 m2; = 53° 31’ 42”.

Risolvere il triangolo. (R. a = 164,68 m; b = 97,89 m; c= 132,43 m; = 36° 28’ 18”.)

Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 254,36 m; S = 10000 m2.

Risolvere il triangolo. (R. = 19° 05’ 39”; = 70° 54’ 21”; b 240,37 m; c = 83,21 m.)

CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Come sin qui visto per risolvere un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno dueelementi dei quali almeno uno deve essere lineare (lati, perimetro, superficie, .......).



RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI

Sono qualsiasi quei triangoli per i quali l’unica cosa nota a priori è la somma degli angoli interni(180° o 200 gon o rad). Per la risoluzione di questi triangoli, a seconda dei dati e dopo averliscomposti in due triangoli rettangoli, si possono utilizzare i teoremi sui triangoli rettangoli. Ma larisoluzione risulta molto più spedita se vengono applicati i teoremi per essi specifici. Esistonodiversi teoremi per la risoluzione dei triangoli rettangoli, fra questi assumono particolareimportanza:

1. il teorema dei seni;2. il teorema di Carnot.

TEOREMA DEI SENI

Enunciato: in un triangolo qualsiasi il rapporto fra il lato e il seno dell’angolo opposto ècostante ed è uguale al doppio del raggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto passa per itre vertici del triangolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli assi deitre lati. Ciascun asse di ciascun lato passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare al lato).

fig.14

HO, MO ed NO sono gli assi rispettivamentedei lati AB, BC ed AC.

In base all’enunciato possiamo scrivere laseguente formula:

R2sin

csin

bsin

a

(11)

Dalla (11) si possono scrivere le seguenti seirelazioni:

sin

bsin

a ;

sin

csin

a ;

sin

csin

b ; R2sin

a

; R2

sinb

; R2sin

c

.

Dimostrazione: effettueremo la dimostrazione verificando che sono vere le tre uguaglianze della(11). Per fare ciò ci serviremo dei triangoli rettangoli DBC ed ADC prima e AEC ed ABE poi edinfine del triangolo sempre rettangolo HBO.

Dimostriamo che: a : sin = b : sin. B

Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli ai triangoli rettangoli DBC e ADC possiamo scrivere:

D c a DBC: CD = a sinfig. 15 E

ADC: CD = b sin

A b C



nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistra sono uguali possiamo scrivere:

a sin = b sinda cui si ricava:

a : sin = b : sin (12).

Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli ai triangoli AEC e ABE possiamo scrivere:

AEC: AE = b sin

ABE: AE = c sin

nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistra sono uguali possiamo scrivere:

b sin = c sinda cui si ricava:

b : sin = c : sin (13).

Per dimostrare l’ultima uguaglianza del teorema ritorniamo sulla figura 14, nella quale si notache l’angolo AOB è uguale a due volte per la nota proprietà della geometria la quale afferma chel’angolo al centro che insiste su un certo arco è il doppio dell’angolo alla circonferenza cheinsiste sullo stesso arco. Perciò applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangoloHBO possiamo scrivere:

HB = c/2 = R sin

da cui si ricava:

c : sin = 2 R (14).

La (12), (13) e (14) insieme dimostrano ilteorema dei seni.

Esercizio risoltoDel triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:

a = 28,23 m; = 53,1200 gon; = 71,1600 gon. Risolvere il triangolo. B

= 200g - ( + ) = 75,7200 gon

c a b : sin = a : sin b = a sin : sin = 34,26 m h

A C c : sin = a : sin c = a sin : sin = 35,36 mb



S = ½ b h

essendo: h = a sin

sostituendo nella precedente si ha:

S = ½ a b sin = 448,83 m2.

La formula utilizzata per il calcolo della superficie è detta di camminamento. Si può esprimerenel modo seguente:l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semi prodotto fra due lati e il seno dell’angolo compreso.Perciò:

S = ½ a b sinS = ½ a c sinS = ½ b c sin

Esercizio risoltoDel triangolo ABC sono noti: = 71,43 gon; = 49,58 gon. ed il raggio del cerchio ad esso

circoscritto:R = 33,12 m. Risolvere il triangolo.

= 200g - ( + ) = 78,99 gon

a : sin = 2 R a = 2 R sin = 59,68 m

b : sin = 2 R b = 2 R sin = 46,53 m

c : sin = 2 R c = 2 R sin = 62,67 m

S = ½ a c sin = 1313,59 m2.

Esercizio propostoDel triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:

b = 403,82 m; = 53° 27’ 24”; = 58° 19’ 42”. Risolvere il triangolo.

(R. = 68° 12’ 54”; c = 370,11 m; a = 349,38 m; S = 60037,36 m2.)

Esercizio propostoDel triangolo ABC sono noti il raggio del cerchio circoscritto R = 191,24 m e gli angoli

= 65,0500 gon; = 56,8889 gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 78,0611 gon; a = 326,27 m; b = 359,99 m; c = 298,08 m; S = 45768,16 m2.)



RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTI DUE LATI E UNANGOLO NON COMPRESO

Quando i dati del problema sono due lati e un angolo non compreso fra essi ad esempio:a = 10 m; b = 11 m; = 30°

si procede come segue:

B b : sin = a : sin

cioè: c a sin : b = sin : a

da cui: A C = arcsin(b sin : a) bsostituendo i numeri: = arcsin 0,55

ricordando la definizione di arcoseno e di seno risulta che esistono due angoli il cui seno vale 0,55 equesti sono:

= 33° 22’ 01”,25 e = 146° 37’ 58”,75.

Il problema è quale dei due è quello giusto?

Per evitare l’errore è necessario effettuare la risoluzione grafica cioè bisogna costruire iltriangolo in scala utilizzando i soli dati.

Supponendo che gli elementi noti siano di nuovo a, b ed si possono presentare i tre seguenticasi:

1° caso:

A C b

fig. 15

Si costruisce la figura mettendo in orizzontale enella scala decisa il lato noto adiacenteall’angolo noto (in questo caso b). Quindi colgoniometro si traccia un segmento lungoindefinitamente che forma l’angolo noto collato b. Con il compasso si traccia un cerhioavente apertura a puntando in C In questo casonon si forma il triangolo perciò non esistesoluzione.

2° caso:

Si costruisce la figura mettendo in orizzontale e nella scala decisa il lato noto adiacenteall’angolo noto (in questo caso b). Quindi col goniometro si traccia un segmento lungoindefinitamente che forma l’angolo noto col lato b. Con il compasso avente apertura a puntandoin C si traccia un cerchio In questo caso si forma il triangolo perciò esiste una soluzione. Perdeterminare la soluzione si procede nel modo seguente:



B

c a

= acsin (b sin : a)

= 180° - ( + )

c = a sin : sin; S = ½ a b sin.

A C b fig.16

3° caso:

fig. 17

Si costruisce la figura mettendo inorizzontale e nella scala decisa il latonoto adiacente all’angolo noto (in questocaso b). Quindi col goniometro si tracciaun segmento lungo indefinitamente cheforma l’angolo noto col lato b. Con ilcompasso avente apertura a puntando inC si traccia un cerhio.In questo caso si formano due triangoliche hanno gli stessi dati (AB1C e AB2C)perciòesistono due soluzioni.

Per determinare le soluzioni si procedecome segue:

Triangolo AB1C:1 = acsin (b sin : a)

ACB1 = 1 = 180° - ( + )

AB1 = c1 = a sin1 : sin; S1 = ½ a b sin1.

Triangolo AB2C:

essendo il triangolo CB1B2 isoscele siha che: B1B2C = 1

quindi: 2 = 180° - 1

da cui: 2 = 180° - ( + 2); AB2= c2 = a sin2 : sin; S2 = ½ a b sin2.



Esercizio risoltoDel triangolo ABC sono noti: = 40°12’00”; a = 40,16m; b = 45,12m. Risolvere il

triangolo.

Si costruisce la figura mettendo inorizzontale e nella scala decisa il latonoto adiacente all’angolo noto (in questocaso b). Quindi col goniometro si tracciaun segmento lungo indefinitamente cheforma l’angolo noto col lato b. Con ilcompasso avente apertura a puntando inC si traccia un cerchio.In questo caso si formano due triangoliche hanno gli stessi dati (AB1C e AB2C)perciò:esistono due soluzioni.

Per determinare le soluzioni si procedecome segue:

Triangolo AB1C:

1 = arcsin (b sin : a) = 46°29’00”

ACB1 = 1 = 180° - ( + ) = 93°19’00”

AB1 = c1 = a sin1 : sin = 62,12m; S1 = ½ a b sin1 = 904,49m2.

Triangolo AB2C:

essendo il triangolo CB1B2 isoscele siha che: B1B2C = 1

quindi: 2 = 180° - 1 = 133°31’00”

da cui: 2 = 180° - ( + 2) = 6°17’00”; AB2= c2 = a sin2 : sin = 6,81m;

S2 = ½ a b sin2 = 99,16m2.

Esercizio propostoRisolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:

a = 20,12m; b = 40,31m; = 75°30’. (R. Il problema non è risolvibile.)

Esercizio propostoRisolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: b = 81,12m; c = 107,84m;

= 84,68gon.(R. a = 92,98 m; = 63,18 gon; = 52,14 gon; S = 3662,20m2.)



TEOREMA DI CARNOT

Se gli elementi noti sono due lati e l’angolo compreso, oppure i tre lati il problema non puòessere risolto con il teorema dei seni.

In questo caso entra in gioco il Teorema di Carnot il cui enunciato si esprime nel seguente modo:

In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla somma del quadrato deglialtri due diminuiti del doppio prodotto fra questi ultimi e il coseno dell’angolo che essicomprendono.

B

c a

A b C

(15) cosbc2cba 222 cosbc2cba 22

cosac2cab 222 cosac2cab 22

cosab2bac 222 cosab2bac 22

Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati si applicano le seguenti formule che si ottengonoinvertendo le (15)

bc2acbcosar

222

ac2bcacosar

222

ab2cbacosar

222

Dimostrazione del Teorema di Carnot

Per dimostrare il teorema utilizziamo dei triangoli rettangoli

B

c a

H A b C

triangolo BCH:a2 = BH2 + HC2 (16)



triangolo ABH:BH = c sin (17)

AH = c cos (18)triangolo ABC:

HC = b – AHe sostituendo la (18) diventa:

HC = b - c cos (19)

Sostituendo la (17) e la (19) nella (16) otteniamo:

222 )cos()sin( cbca

bccbca 2cossin 222222 cos

bccba 2)cossin(1

22222 cos

e infine: cos2222 bccba c.v.d.

Esercizio risoltoRisolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:

AB = c = 52,40 m; BC = a = 42,65 m; CA = b = 65,40 m .B

c a

A b C

cos2222 bccba222cos2 acbbc

bcacbar

2cos

222 112445

40,5240,65265,4240,5240,65cosar g

,

222

cos2222 accab

222cos2 bcaac acbcaar

2cos

222 900695

40,5265,42240,6540,5265,42cos ,

222gar

cos2222 abbac

222cos2 cbaab abcbaar

2cos

222 987158

40,6565,42240,5240,6565,42cos ,

222gar

211,11151123,4540,5240,6521

21 msensencbS g




BC = a = 24,05m; CA = b = 22,82m; ACB = = 41,7705gon.

B

c a

A b C

cos222 abbac 7705,41cos)82,2205,24(282,2205,24 22 g m15,15

cos2222 bccba222cos2 acbbc

bcacbar

2cos

222 007984

15,1582,22205,2415,1582,22cos ,

222gar

cos2222 accab


2cos

222 216074

15,1505,24282,2215,1505,24cos ,

222gar

Per la calcolatrice usa ndF2 cos ((................) : (................)) = Ricordati di impostarla inGrad

244,1670079,8415,1582,2221

21 msensencbS g

Esercizio risoltoRisolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: BC = a = 30,15m; CA = b =

68,42m;ACB = = 32,4128gon.

B

c a

A b C

cosab2bac 22 cos42,6815,30242,6815,30 22 m59,44

cosbc2cba 222



222cos2 acbbc bcacbar

2cos

222 388921

59,4442,68215,3059,4442,68cos ,

222gar

cos2222 accab


2cos

222 1860146

59,4415,30242,6859,4415,30cos ,

222gar

Per la calcolatrice usa ndF2 cos ((................) : (................)) = Ricordati di impostarla inGrad.

292,5023889,8159,4442,6821

21 msensencbS g

Formule per il calcolo dell’area di un tiangolo qualsiasi

B

c a h

H A b C

S = ½ bh

sincb21S

sinca21S

sinba21S

Formula di CAMMINAMENTOper un Triangolo

gcotgcotc

21S

gcotgcotb

21S

gcotgcota

21S

2

2

2

Formula delle COTANGENTI

Si usa quando sono noti:

un Lato + i due Angoli adiacenti

Anche

L'area + 2 Angoli



)cP)(bP)(aP(PS Formula di ERONE dove: 2cbaP


CBA = = 60,128gon; ACB = = 88,031gon; S = 10,8830m2.

B

c a

A b C

8410,51)(200 gg

ggaS

cotcot21 2

)cot(cot2 ggSa = )031,88cot12860(cot30,10882 gg gg = 44,60 m

69,49128,60sin8410,51sin

60,44sinsin

gg

ab

m

24,60031,88sin8410,51sin

60,44sinsin

gg

ac

m

Esercizio proposto:Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso (si dice ottuso un angolo maggiore

di 90° e minore di 180°) e del quale sono noti i seguenti elementi AB = c = 86,55m; CA = b =62,40m; S = 1815,00m²

(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”)

CONSIDERAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI

Per risolvere un triangolo qualsiasi è necessario conoscere tre elementi dei quali almeno unodeve essere lineare (altezza, superficie, lato ecc. ecc.).

Con i teoremi sviluppati si sono ricavate delle formule che consentono di calcolare lati o angoli.Bisogna però prestare molta attenzione quando si fa l’arcoseno per ricavare gli angoli (perché lacalcolatrice ci da sempre un angolo del 1° quadrate e questo, a volte non è sufficiente) e precedere ilcalcolo dalla risoluzione grafica del problema (fare la figura in scala partendo dai dati).

E’ consigliabile, tutte le volte che è possibile, applicare Carnet nella ricerca degli angoli.



CERCHI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI

Un cerchio si dice notevole quando basta il nome per individuarlo in tutte le sue caratteristiche.

Oltre al cerchio circoscritto del quale abbiamo già parlato nel teorema dei seni esistono altri duecerchi notevoli dei quali tratteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto.

IL CERCHIO INSCRITTO

E' il cerchio interno al triangolo che contemporaneamente tange ai tre lati. Il suo centro si chiamaincentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (si ricorda che labisettrice è una linea interna al triangolo che partendo da un vertice divide in due parti ugualil'angolo di quel vertice).

Per determinare il raggio è sufficiente prendere in considerazione i tre triangoli in figura ABOBCO CAO e ragionare sulle superfici:

CAOBCOABOABC SSSS

rbrarcS ABC 21

21

21

)(21 bacrS ABC

ed infine:

cbaS2

r ABC

IL CERCHIO EX-INSCRITTO

E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contemporaneamente tangente ad un lato ed alprolungamento degli altri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tangente ai tre lati ma sta fuoridal triangolo.

Da quanto detto si evince che ogni triangolo ha tre cerchi ex-inscritti uno per ogni lato.Il centro del cerchio ex-inscritto, si chiama ex-incentro e si ottiene come intersezione dellebisettrici degli angoli esterni al triangolo adiacenti al lato di tangenza e della bisettrice dell'angolointerno opposto al lato detto.



Per determinare il raggio è sufficiente prendere in considerazione i tre triangoli in figura ABOaCBOa CAOa e ragionare sulle superfici:

aaa CBOCAOABOABC SSSS

aaaABC rarbrcS 21

21

21

)(21 abcrS aABC

e infine:

acbS2

r ABCa

formule analoghe si hanno per determinare i raggi dei cerchi ex-inscritti ai lati b e c:

bcaS2

r ABCb

cbaS2

r ABCc

RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI

Per risolvere un quadrilatero è necessario sapere che la somma degli angoli interni vale 360°.Inoltre è necessario conoscere almeno 5 elementi dei quali almeno 2 devono essere lineari.

Per la risoluzione dei quadrilateri ci si serve dei triangoli utilizzando uno dei seguenti metodi:

si considera il quadrilatero come somma di due triangoli qualsiasi;



si considera il quadrilatero come differenza di due triangoli qualsiasi;si considera il quadrilatero come somma di tre triangoli rettangoli e di un rettangolo.

Primo metodo

Si utilizza questo metodo quando:si conoscono due lati consecutivi e tre angoli;si conoscono tre lati e due angoli opposti, in questo caso però si corrono i rischi visti nel teorema

dei seni per la risoluzione di un triangolo del quale sono noti due lati e un angolo non compreso;si conoscono tre lati e i due angoli fra essi compresi;si conoscono tutti i lati e un angolo;si conoscono tutti i lati e una diagonale.

B b

C

ac

A D dLe formule da utilizzare sono quelle dei triangoli qualsiasi.

Secondo metodo

Si utilizza questo metodo quando:non è possibile utilizzare il primo metodo;si conoscono due lati opposi e tre angoli.

B b

C a '

c ' E

A d D

Per la risoluzione:si prolungano i due lati incogniti fino a farli intersecare nel punto E;quindi dopo aver calcolato: ’ = 180° - e ’ = 180° -

si calcolano con le formule dei triangoli qualsiasi gli elementi dei due triangoli ABE ed CED;ed infine per differenza fra gli elementi dei due triangoli sopra detti si calcolano gli elementi del

quadrilatero.



Terzo metodo

Si utilizza questo metodo quando:non è possibile utilizzare il primo e il secondo metodo;si conoscono due lati opposi e tre angoli e quindi in alternativa al secondo metodo;si conoscono tre lati e i due angoli non compresi.

B b

T C a

c

A K H Dd

Per la risoluzione:si tracciano le perpendicolari (BK e CH) ad uno dei lati incogniti (in questo caso AD);partendo da un vertice (in questo caso C) si traccia la perpendicolare (CT) ai segmenti tracciati

prima;si calcolano con le formule dei triangoli rettangoli gli elementi incogniti.

RISOLUZIONI GRAFICHE

Si riportano di seguito alcuni casi importanti di problemi sulla risoluzione dei quadrilateri,con larisoluzione grafica e con indicazioni sul metodo più idoneo per la risoluzione analitica.

Per larisoluzioneanalitica si

usa ilprimo

metododopo avertracciato ladiagonale

AC.

Per larisoluzioneanalitica si



usa il terzometodo dopo

aver prolungatoi lati incogniti

AD e BC.

Per larisoluzione

analitica si usail primo metodo

dopo avertracciato la

diagonale AC ola diagonale

BD,

Per larisoluzione

analitica si usail terzo metodo

dopo avertracciato da B e

C leperpendicolari

al lato AD.



Per larisoluzioneanalitica siusa il primo

metodo dopoaver tracciatola diagonale

AC.



BD.



AC.



RISOLUZIONE DEI POLIGONI

Per risolvere un poligono di n lati è necessario conoscere almeno 2n – 3 elementi dei qualialmeno n – 2 devono essere lineariPer la risoluzione dei poligoni ci si serve dei triangoli considerando, in genere, il poligono comesomma di triangoli.

La somma degli angoli interni di un poligono si ottiene con la seguente formula:

= (n – 2) 180.

Alla quale si giunge facendo il seguente ragionamento:

l'esagono della figura è stato scomposto in 6 triangoli,sapendo che la somma degli angoli interni di un triangoloè 180° e togliendo l'angolo giro (360° = 2180°) si ottiene:

= 6180 - 2180°

quindi sostituendo a 6 la lettera n, che indica il numerodei vertici di un generico poligono, e raccogliendo il 180°si ottiene:

= (n – 2)180.

FORMULA DI CAMMINAMENTO

Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di unquadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti allato incognito

D d E

c e

C F

b

B Aa

Applichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a,b, c, d, e e gli angoli , , ,



S = ½ a b sin + b c sin + c d sin + d e sin - a c sin(+) - b d sin(+) – c e sin(+) + a d

sin(++) + b e sin(++) – a e sin(+++).

La formula sopra scritta si legge nel seguente modo:

la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due)per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi adue a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma deiprodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi,diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della sommadegli angoli fra essi compresi, e così via.

Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altrolato adiacente al lato incognito.

La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito.Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è+ se tale numero è dispari, - in caso contrario.

Dimostrazione della formula di camminamento

Per la dimostrazione utilizziamo il quadrilatero in figura

C

D b

d

B F E Aa

nel quale supponiamo noti i lati a, b, d e gli angoli , e dopo averlo diviso in due triangolirettangoli e in un trapezio rettangolo tramite i segmenti DE ed CF.

S = SBCF + SCDEF + SAED

S = ½ BF CF + ½ (CF + DE) FE + ½ AE DE (20)

utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli ricaviamo le quantità che compaiono nella (20):

BF = b cos; CF = b sin; DE = d sin; EA = d cos; FE = a – BF – EA = a - b cos - dcos;

sostituendo nella (20) e raccogliendo otteniamo:

S = ½ b cos b sin + (b sin + d sin) (a - b cos - d cos) + d cos d sin



quindi:

S = ½ b2 sin cos + a b sin - b2 sin cos - b d sin cos + a d sin - b d sin cos +- d2 sin cos + d2 sin cos

semplificando:S = ½ a b sin - b d sin cos + a d sin - b d sin cos

raccogliendo:S = ½ a d sin + a b sin - b d (sin cos + sin cos) (21)

ricordando che per la formula di addizione del seno (vedi goniometria di Matematica):

sin( + ) = sin cos + sin cosla (21) diventa:

S = ½ a d sin + a b sin - b d sin( + )

che è ciò che si otterrebbe applicando la formula di camminamento, e quindi la formula stessa èdimostrata.



Esercizi

1) Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguentielementi:AB = 26,28m; BC = 29,44m; CD = 25,12m; DE = 16,95m; EF = 23,12m; ABC = = 130°;DCB = = 100°; CDE = = 130°; FED = = 150°.

2) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, in sessadecimale i seguenti angoli:

= 13°15’52” = 172°09’33”; = 93°59’01”(R. = 13°,2644; = 172°,1592; = 93°,9836)

3) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, da sessadecimale a sessagesimale i seguentiangoli:

= 29°,5234; = 115°,2619.(R. = 29°31’24”; = 115°15’43”)

4) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale iseguenti angoli:

= 9°13’22”; = 115°55’32”; = 79°42’38”.(R. = 10g,2475; = 128g,8062; = 88g,5673)

5) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale iseguenti angoli:

= 112°56’41”; = 32°11’09”; = 14°55’51”.(R. = 125g,4941; = 35g,7620; = 16g,5898)

6) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da centesimale a sessagesimale iseguenti angoli:

= 22,5681gon; = 34,2290gon; = 43,6331gon.(R. = 20°18’41”; = 30°48’22”; = 39°16’11”)

7) Dati: = 32°,5451; = 29,2298gon; = 43°53’31”; = 0,1264rad. Effettuare, con esenza l’uso della calcolatrice scientifica, le seguenti operazioni e dare il risultato in sessagesimali:

;

.2

(R. = 44°37’28”; = 55°53’19”)

8) Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, ilcoseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 40°; = 140°; = 250°.Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 perla risoluzione con calcolatrice scientifica.

9) Sapendo che: sin = 1/3, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare cos, e tg,cotg.

(R. 22gcot;42tg;

322cos

)



10) Sapendo che: cotg = ½ e che al terzo quadrante, senza utilizzare la calcolatricescientifica, determinare sin, cos, e tg.

(R. 2tg;55cos;

552sin

)

11) Sapendo che: sin tg = 3 e che al primo quadrante, determinare sin, cos,tg e cotg.

(R. sin = 0,95307; cos = 0,30278; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769)

12) Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,58832;1,87940.

13) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:b = 37,35m; CBA = = 42,845gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 57g,155; c = 46,85m; a = 59,92m; S = 874,92m2)

14) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 25,61m; b = 37,88m.Risolvere il triangolo.

(R. a = 45,72m; = 34°03’43”; = 55°56’17”; S = 485,05m2)

15) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:a = 118,22m; CBA = = 32,5143gon. Risolvere il triangolo.

(R. b = 57,79m; c = 103,13m; = 67,4857gon; S = 2979,94m2)

16) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:ABC = = 65,2018gon, S = 564,58m2. Risolvere il triangolo.

(R. a = 50,43m; b = 43,08m; c = 26,21m; = 34,7982gon;)

17) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:BC = a = 58,35m, S = 515,00 m2. Risolvere il triangolo.

(R. b = 55,30m; c = 18,63m; = 79,3156gon; = 20,6844gon;)

18) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 5482,39m2; = 57°32’41”.Risolvere il triangolo.

(R. a = 155,61m; b = 83,51m; c = 131,30m; = 32°27’19”)

19) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: AD = altezza relativaall’ipotenusa = 84,63 m; S = 7645,56 m2. Risolvere il triangolo.

(R. a = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,02m; = 55°14’21”; = 34°45’39”)

20) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:a = 38,23 m; = 63,1205gon; = 71,1666gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 65,7129gon; b = 41,08m; c = 39,22m S = 674,08m2)

21) Del triangolo ABC sono noti: = 69,43gon; = 52,58gon ed il raggio del cerchio ad essocircoscritto R = 43,14m. Risolvere il triangolo.

(R. = 77,99gon; a = 76,52m; b = 63,43m; c = 81,17m S = 2283,23m2)



22) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:b = 383,82m; = 55°37’24”; = 63°19’42”. Risolvere il triangolo.

(R. = 61°02’54”; a = 362,03m; c = 391,96m; S = 62084,35m2)

23) Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 201,24m e gli angoli = 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 78,0611gon; a = 343,34m; b = 378,82m; c = 313,67m; S = 50681,94m2)

24) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:b = 79,22m; c = 108,84 m; = 84,6855gon. (R. a = 95,86m; = 65,3332gon; = 49,9813gon; S = 3687,68m2)

25) Del triangolo ABC sono noti: = 42° 13’ 18”; a = 40,16 m; b = 45,12 m. Risolvere iltriangolo.

(R. 1 =49°01’30”; 1 = 88°45’12”; c1 =59,75m; S1 = 905,80m2;2 = 130°58’30”; 2 = 6°48’12”; c2 = 7,08m; S2 = 107,33m2)

26) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:a = 30,12 m; b = 50,31 m; = 73°53’. (R. Il problema non è risolvibile.)

27) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:AB = c = 55,45 m; BC = a = 39,65 m; CA = b = 63,43 m .

(R. = 42,4748gon; = 90,9431gon; = 66,5821gon; S = 1088,19m2)

28) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:BC = a = 28,15m; CA = b = 42,82m; ACB = = 44,7705gon.

(R. c = 28,06m = 44,9587gon; = 110,2708gon; S = 389,76m2)

29) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:CBA = = 60°,128; ACB = = 88°,031; S = 108,83m2.

(R. = 31°,841; a = 11,51m; b = 18,92m; c = 21,82m)

30) Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso e del quale sono noti i seguentielementi: AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²

(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”)

31) Del triangolo ABC sono noti: AB = c = 65,45 m; BC = a = 49,65 m; CA = b = 55,43 m .Risolvere il triangolo, fare la figura in scala 1:800, quindi trovare i raggi dei cerchi inscritto ed ex-inscritti e rappresentare tali cerchi in figura.

(R. = 52,9071gon; = 61,7242gon; = 85,3687gon; S = 1339,87m2;r = 15,71m; Ra = 37,62m; Rb = 44,91m; Rc = 67,62m)

32) Del triangolo ABC sono noti: a = 123,12m; b = 109,45m; = 57°13’52”. Risolvere iltriangolo. Quindi tracciati gli ex-incentri relativi ad ogni lato collegarli tra loro e risolvere iltriangolo che ne viene fuori.

(R. c = 112,03m; = 67°32’00”; = 55°14’08”; S = 5665,50m2;OaOb = 233,92m; OaOc = 181,95m; ObOc = 221,52m; A = 56°14’00”;

B = 62°22’56”; C = 61°23’04”; S1 = 17690,96m2)



33) Dal vertice A del triangolo ABC si sono collimati i vertici B e C, utilizzando undistanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:

punto distazione

punticollimati

letture al cerchioorizzontale

distanzetopografiche

B 23°14’21” 439,88mA C 320°21’11” 1829,59mrisolvere il triangolo.

(R. BC = 741,00m; S = 162408,10m2; = 62°53’10”; = 85°13’01”; = 31°53’49”)

34) Dal punto S di stazione si sono collimati i vertici A, B e C di un triangolo, utilizzando undistanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:

punto distazione

punticollimati

letture ai lerchioorizzontale

distanzetopografiche

A 23,6214gon 2991,15mB 170,1648gon 3014,77mSC 295,4965gon 4399,13m

risolvere il triangolo.(R. a = 6222,48m; b = 6288,98m; c = 5484,32m; = 70,4210gon;

= 71,8087gon; = 57,7703gon; S = 15417193,29m2)

35) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 76,45m; BC = 93,28m; = 123,12gon; = 113,76gon; = 72,28gon. Risolvere il quadrilatero.

(R.: AD = 98,86mm; CD = 123,80m; = 90,84gon; S = 15595,06m2)

36) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 82,365m; CD = 160,449m; = 112,35gon; = 129,66gon; = 98,44gon. Risolvere il quadrilatero.

(R.: BC = 78,815m; AD = 141,615m; = 59,55gon; S = 12043,37m2)

37) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 165,82m; AD = 202,44m; CD = 112,45m; = 91,556gon; = 135,658gon. Risolvere il quadrilatero.

(R.: BC = 152,47m; = 86,269gon; = 86,517gon; S = 23658,17m2)

38) Del quadrilatero ABCD sono noti: BC = 56,15m; AD = 50,34m; CD = 49,05m; = 57°,315; = 74°,919. Risolvere il quadrilatero.

(R.: AB = 89,39m; = 91°,104; = 136°,662; S = 3270,49m2)

39) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 79,44m; BC = 107,67m; AD = 66,90m;CD = 34,02m; BD = 110,81m. Risolvere il quadrilatero.

(R.: = 98°......; = 54°.......; = 86°.........; = 121°........; S = ..............m2)

40) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 42,16m; BC = 39,76m; CD = 53,28m; = 127°42’13”; = 84°35’22”. Risolvere il quadrilatero.

(R.: AD = 55,96m; = 71°29’23”; = 76°13’02”; S = .............m2)

41) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 102,32m; BC = 124,44m; CD = 53,23m; = 133,2734gon; = 107,4321gon. Calcolare la lunghezza del lato AD e la distanza fra il verticeA e il punto E ottenuto dall’intersezione delle due diagonali.

(R.: AD = 61,90m; AE = 39,40m)



42) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 39,82m; BC = 42,16m;CD = 33,33m; = 123°45’; 117°34’; = 93°12’; = 95°44’. Risolvere il poligono.

(R.: DE = ..........m; AE = ............m; = .............; S = ..............m2)

43) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 28,92m; BC = 42,53m;CD = 29,66m; DE = 36,32m; 122°14’; = 117°35’; = 103°46’. Calcolare l’area.

(R.: S = ..............m2)

APPUNTI DI TOPOGRAFIA MODULO 1...MODULO 1: Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine...

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