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APPUNTI DI MATEMATICA

Cenni di teoria degli insiemi

I numeri naturali

I numeri razionali assoluti

I numeri relativi (interi)

I S T I T U T O A L B E R G H I E R O “ S A N D R O P E R T I N I ” - B R I N D I S I

Cenni di teoria elementare degli insiemi

1. La matematica e i simboli

“La Matematica è una scienza che usa molti simboli.”

Esempi di simboli: “+”, “x”, “=”, “5”...

Con tali simboli si rappresentano, in maniera sintetica e rapida, affermazioni del

tipo:

La somma del numero cinque con il numero tre è uguale alla somma del

numero sei con il numero due.

Quante parole per:

5+3=6+2

Meglio usare i simboli! Altrimenti, che barba!

2. Che cos’è un insieme

Oltre ai simboli, la matematica utilizza concetti, ossia parole il cui significato è

circoscritto con grande precisione. Tale è il concetto di insieme.

Insieme, con questa parola, si vuol raggruppare mentalmente

l’insieme (il gruppo, la collezione...) degli oggetti che hanno

una caratteristica comune.

Esempi di insieme:

L’insieme degli abitanti di Brindisi.

L’insieme dei coltelli da cucina.

L’insieme degli alunni dell’Alberghiero di Brindisi.

I concetti, come i simboli, servono a sintetizzare, a tagliar corto, ma con grande

precisione.

La cosa più importante, quando si ha a che fare con gli insiemi, è di fissare

l’attenzione sulla caratteristica comune.

Questo serve per sapere di quali “oggetti” è composto l’insieme.

L’insieme dei calciatori più bravi.

L’insieme dei cantanti più belli.

In questi due esempi le caratteristiche comuni “più bravi”, “più belli” sono

imprecise, perché dipendono dal gusto personale (ciò che per me è bello, può

non essere tale per un altro). In questo modo, molto probabilmente, non

troveremmo un accordo su chi c’è negli insiemi.

Se invece diciamo:

l’insieme dei calciatori della serie A;

l’insieme dei cantanti che hanno partecipato all’edizione 2009 del festival

di Sanremo;

avremo dato due caratteristiche comuni precise, esatte, e non dovremmo

discutere per sapere chi ci può essere, oppure no, negli insiemi considerati.

Un calciatore che milita nella squadra di calcio del Brindisi, sicuramente non

fa parte del primo insieme (l’insieme dei calciatori della serie A).

Così Jovanotti non fa parte dell’insieme dei cantanti che hanno partecipato

all’edizione 2009 del festival di Sanremo (Jovanotti, si può controllare, non ha

partecipato all’edizione 2009 del festival di Sanremo).

Fra gli insiemi si considera anche l’insieme che non ha elementi, che si chiama

insieme vuoto. Per indicarlo si usa il simbolo

.

Ricapitolando:

Un insieme è ben definito (si dice anche: definito in senso

matematico) se, qualunque siano i suoi elementi, per ognuno

di essi (indichiamolo con x) possiamo rispondere solo “si”

oppure “no” alla domanda: “ x è un elemento dell’insieme?”.

3. Rappresentazione simbolica di un insieme

Ricordate: la Matematica è una scienza che utilizza i simboli. E allora, via con i

nuovi simboli.

Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole: A, B, C...

Indichiamo con V l’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano; per indicare da

quali elementi V è composto, scriviamo l’elenco degli elementi di V,

racchiudendoli tra parentesi graffe:

V= uoiea ,,,,

Tale rappresentazione si chiama rappresentazione tabulare (si elencano gli

elementi) dell’insieme V. Si chiama anche rappresentazione per elencazione.

(In tale rappresentazione l’insieme vuoto V si rappresenta con:

V .)

Oppure, per indicare V scriviamo tra le parentesi graffe la proprietà, ossia la

caratteristica comune degli elementi dell’insieme, così:

V= vocali dell’alfabeto italiano

Tale rappresentazione si chiama, invece, rappresentazione caratteristica

(ricordiamo che la proprietà deve essere “precisa”) dell’insieme V.

(Potenza dei simboli! Con i simboli si fa prima, e meglio!)

Se con x indichiamo un elemento generico (qualsiasi) di un dato insieme, si usa

indicare l’insieme V precedente anche con questa scrittura:

V x : x è una vocale dell'alfabeto italiano

che si legge: V è l’insieme delle x tale che x è una vocale dell’alfabeto italiano;

dal che si evince che i due puntini ,“:”, si leggono tale che. I due puntini “:”

possono essere sostituiti da una barra verticale “|”; così che l’insieme V in

questione si indica:

V x | x è una vocale dell' alfabeto italiano

C’è, infine, un altro modo di rappresentare un insieme: si racchiudono gli

elementi entro una linea chiusa.

.a .e

.i .o

.u

Questa rappresentazione si chiama diagramma di Venn (anche diagramma di

Eulero-Venn).

Indichiamo con A l’insieme di tutti gli alunni dell’Alberghiero di Brindisi, e con

Z indichiamo l’insieme costituito dagli alunni della Prima Z dell’Alberghiero di

Brindisi.

Nella realtà non esiste la Prima Z, ma facciamo esistere la Prima Z nella nostra

fantasia!

E allora, questo è l’elenco degli alunni della Prima Z:

1. Albano Lucio

2. Alighiero Monica

3. Carocci Silvano

4. Fanuli Giorgio

5. Lauro Mariella

6. Micocci Francesca

7. Notari Aldo

8. Ruocco Antonio

9. Zuccalà Sarah

Neanche una classe di 9 alunni è molto realistica, ma nella fantasia, in cui esiste

la Prima Z, ciò è possibile.

Allora, ricapitolando:

Z = alunni della Prima Z

(rappresentazione caratteristica di Z)

Z = Albano Lucio, Alighiero Monica, Carocci Silvano, Fanuli Giorgio, Lauro

Mariella, Micocci Francesca, Notari Aldo, Ruocco Antonio, Zuccalà Sarah

(rappresentazione tabulare di Z)

Dell’insieme Z, potresti fare il diagramma di Venn?

Alla fine di questo paragrafo facciamo un’importante osservazione in merito alla

scrittura tabulare di un insieme.

Consideriamo ora i due insiemi:

A 1,1,2,0,2,2,0,0 e

B 0,1,2 ; essi sono uguali,

A=B, cioè sono lo stesso insieme (p. e. nell’insieme A, 1 e 1 sono lo stesso

elemento ripetuto). Di ciò ci si può convincere esaminando i due insiemi dal

punto di vista della proprietà caratteristica: A e B contengono entrambi i primi

tre numeri naturali. Osserviamo ora che la seconda scrittura (la scrittura che

rappresenta l’insieme B) è più concisa della prima (la scrittura che rappresenta

l’insieme A); la seconda scrittura, più economica (dal punto di vista dell’utilizzo

di segni), si conviene che sia da preferire alla prima. Ne deduciamo che non c’è

bisogno di ripetere nella scrittura più volte lo stesso elemento.

Inoltre, nell’elencare gli elementi di un insieme l’ordine di elencazione non ha

alcuna importanza (la proprietà caratteristica non cambia variando l’ordine di

elencazione). Per esempio:

1,2,3 2,3,1

a,e,i,o,u o,i,e,a,u

Se si sceglie l’ordine alfabetico o numerico, come negli esempi precedenti, lo si

fa per motivi che possiamo definire estetici o di comodità.

Esercizio svolto

Accanto alla definizione delle seguenti collezioni scrivi SI oppure NO, a

seconda che si tratti di un insieme ben definito, oppure no.

a) Le prime dieci città più belle d’Italia.

b) Le città italiane capoluogo di provincia.

c) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 hanno segnato più di

dieci goal.

d) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 non hanno preso

alcuna ammonizione.

e) I calciatori di serie A più bravi.

f) Le pizzerie di Brindisi che fanno la pizza più buona.

g) Gli alunni dell’Alberghiero di Brindisi che nell’anno scolastico 2009-

2010 non hanno preso neanche una nota disciplinare.

Le collezioni a), e), f) non sono definite in senso matematico, perché non

troveremmo probabilmente un accordo sulla proprietà che le caratterizza; due

persone invitate a scrivere l’elenco delle prime dieci città italiane più belle

potrebbero non scrivere le stesse città: la definizione tira in ballo caratteristiche

(di gusto, affettive, ecc.) delle persone che variano da persona a persona; che

non sono, né possono esserlo, oggettive, ossia le stesse per tutti. Quindi a), e), f),

non sono insiemi.

Le collezioni b), c), d), g), definite ognuna da proprietà oggettive, che si possono

verificare, cioè controllare, sono insiemi in senso matematico. Ad esempio,

basterebbe guardare tutti i registri di classe, relativi all’anno scolastico 2009-

2010, di tutte le classi dell’Alberghiero di Brindisi, per scrivere gli alunni che

non hanno avuto alcuna nota disciplinare; un lavoro lungo, e noioso, ma che si

potrebbe fare, scrivendo per elencazione tutti gli elementi, cioè gli alunni senza

note. Perciò:

a) Le prime dieci città più belle d’Italia. NO

b) Le città italiane capoluogo di provincia. SI

c) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 hanno segnato più di

dieci goal. SI

d) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 non hanno preso

alcuna ammonizione. SI

e) I calciatori di serie A più bravi. NO

f) Le pizzerie di Brindisi che fanno la pizza più buona. NO

g) Gli alunni dell’Alberghiero di Brindisi che nell’anno scolastico 2009-

2010 non hanno preso neanche una nota disciplinare. SI

3. Appartenenza e non appartenenza a un insieme

La proposizione “Fanuli Giorgio è un elemento dell’insieme Z (Fanuli Giorgio è

un alunno della Prima Z) si indica, con i simboli, con:

Fanuli Giorgio Z

In generale, se con A indichiamo un insieme qualsiasi, e con a un suo elemento,

la proposizione “a è un elemento di A”, in simboli si esprime con:

a A.

La proposizione “Santoro Alberto non è un elemento dell’insieme Z” (Santoro

Alberto non sta in Prima Z, ma in un’altra classe) in simboli si esprime così:

Santoro Alberto Z

In generale, la proposizione “b non appartiene all’insieme A”, si esprime con:

b A

Esercizio svolto

Considera le scritture seguenti, che esprimono l’appartenenza o la non

appartenenza di un dato elemento a un dato insieme. Esse rappresentano

affermazioni vere oppure false (l’una esclude l’altra). Per ognuna di esse indica,

cerchiando il simbolo opportuno a lato, se sono vere (V) oppure false (F).

a)

3N V F

b)

4,5N V F

c)

5 N V F

d)

5 55 V F

e)

aN V F

Osserviamo che le scritture sopra considerate, che utilizzano i simboli

e

, per

avere senso devono rispettare condizioni precise: a destra dei simboli

e

deve

comparire per forza un insieme, mentre a sinistra il termine può essere qualsiasi.

Veniamo a svolgere l’esercizio:

a) è vera, perché 3 è un elemento di N;

b) è vera, perché 4,5 non è un elemento di N;

c) è falsa perché

5 , che rappresenta l’insieme il cui unico elemento è il numero

5, non è nell’elenco degli elementi di N;

d) è falsa, perché l’insieme di destra ha un solo elemento, 55, che evidentemente

non è 5;

e) è vera, perché la lettera a non è un numero naturale.

7. Sottoinsiemi di un insieme

Consideriamo nuovamente l’insieme V (ricordate? L’insieme delle vocali

dell’alfabeto italiano).

V= uoiea ,,,,

Adesso introduciamo questo nuovo insieme:

U= o, u

L’insieme U è contenuto nell’insieme V. Si dice che U è sottoinsieme di V e,

in simboli, si scrive:

U V

.a .i

. e .u

V .o U

Lo stesso concetto, al contrario, si esprime dicendo che V contiene U; in

simboli:

V U

Per stare all’esempio, possiamo considerare gli elementi di V che non stanno in

U, che sono: a, e, i. Questi elementi costituiscono un nuovo insieme che viene

chiamato complementare di U rispetto a V e che si indica con

U . Quindi:

U a,e,i .

Sempre riferendoci all’esempio, possiamo osservare che se un elemento

appartiene ad un sottoinsieme, appartiene anche all’insieme che lo contiene:

se

oU allora

oV poiché

UV . Con questa osservazione possiamo definire

con più precisione un sottoinsieme:

U è sottoinsieme di V, se ogni elemento di U è anche

elemento di V.

In base a questo possiamo dire che ogni insieme V qualsiasi è sottoinsieme di

se stesso.

Invece l’insieme

T b,c,d non è un sottoinsieme di V, e questo fatto si

esprime con:

T V

Esercizio svolto

Inserire il simbolo “

” oppure la sua negazione “

”.

a)

3 numeri dispari

b)

5 numeri pari

c)

numeri dispari numeri naturali

d)

a,e,i,o,u numeri naturali

e)

a,e,i,o,u alfabeto italiano .

a) L’insieme costituito solo dal numero 3 è un sottoinsieme dell’insieme dei

numeri dispari (

3 numeri dispari ).

b) L’insieme costituito dal solo numero 5 non è un sottoinsieme dell’insieme

dei numeri pari (

5 numeri pari ).

c) L’insieme dei numeri dispari sono un sottoinsieme dell’insieme dei

numeri naturali (

numeri dispari numeri naturali ).

d) L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano non è un sottoinsieme

dell’insieme dei numeri naturali (

a,e,i,o,u numeri naturali ).

e) L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano è un sottoinsieme

dell’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano

(

a,e,i,o,u alfabeto italiano ).

8. Intersezione e unione di due insiemi

Per formare gli insiemi possiamo scatenare la nostra fantasia.

In Matematica, tuttavia, tra gli infiniti modi con cui possiamo formare un

nuovo insieme, assumono un’importanza particolare due modi per formare

nuovi insiemi a partire da insiemi vecchi (già esistenti, già definiti).

Consideriamo il primo.

Utilizziamo gli insiemi A e Z, nostre vecchie conoscenze.

L’insieme di tutti gli alunni dell’Alberghiero di Brindisi (insieme A) che sono

anche alunni della Prima Z (insieme Z), costituisce un nuovo insieme,

l’insieme degli elementi comuni ad A e a Z, che si chiama intersezione di A e

Z, e che si indica con:

AZ

In altre parole, a partire da due insiemi come A e Z, possiamo formare un

nuovo insieme costituito dagli elementi comuni sia ad A che a Z.

Nell’esempio considerato possiamo dir di più e affermare:

AZ Z

Non è vero?

Z

A

La parte ombreggiata, l’insieme Z, rappresenta l’intersezione tra A e Z.

Vediamo un altro esempio; consideriamo gli insiemi:

B 0,1,2,3,4,5,6

C 5,6,7,8,9,10

Indichiamo con D l’intersezione di B e C. Si ha:

DBC

D 5,6

Col diagramma di Venn

.0 .6 .9

.1 .7

B .3 .2 .5 .8 C

.4 D .10

Consideriamo i due insiemi:

M x /x è una lettera della parola "auto" ,

N x /x è una lettera della parola "bici" . I due insiemi non hanno elementi in

comune, perciò

AB . Due insiemi, come gli insiemi A e B considerati, che

non hanno elementi in comune, si dicono disgiunti.

Possiamo ora definire l’intersezione tra insiemi.

Si chiama intersezione di due insiemi B e C, l’insieme D

composto da tutti gli elementi appartenenti sia a B che a C;

tale nuovo insieme si indica con

DBC.

Utilizziamo ancora gli insiemi A e Z, nostre vecchie conoscenze.

L’insieme di tutti gli alunni dell’Alberghiero di Brindisi (insieme A) e di tutti gli

alunni della Prima Z (insieme Z), costituisce un nuovo insieme che si chiama

unione di A e Z, e che si indica con:

AZ

Anche in questo caso possiamo dire di più, e affermare:

AZ A

Non è vero?

A Z

La parte ombreggiata rappresenta l’unione di A e Z.

Utilizziamo ora gli insiemi B e C:

B 0,1,2,3,4,5,6

C 5,6,7,8,9,10

Indichiamo con E l’unione di B e C. Si ha:

E BC

E 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Col diagramma di Venn:

B C

Possiamo definire oral’unione tra insiemi.

Si chiama unione di due insiemi B e C, l’insieme E composto da tutti

gli elementi che appartengono a B, a C, oppure a tutti e due (gli

elementi in comune); tale nuovo insieme si indica con

E BC.

In generale, se sommiamo due numeri, per esempio 5 e 3, otteniamo un nuovo

numero, 8:

5+3=8

In generale, se facciamo l’intersezione di due insiemi B e C, otteniamo un nuovo

insieme D.

E se facciamo l’unione di due insiemi B e C, otteniamo un nuovo insieme E.

Non c’è un’analogia tra la somma (o qualsiasi altra operazione con due numeri)

e l’intersezione o l’unione tra insiemi?

Per questo motivo, l’intersezione e l’unione tra insiemi sono chiamate

operazioni tra insiemi.

Esercizio svolto

Per ogni coppia di insiemi determina l’unione (insieme C) e l’intersezione

(insieme D), rappresentandole per elencazione.

a)

A 0,1,2,3,4,5 B 4,5,6,7,8,9

b)

A x /xN,1 x 9 B x /x è divisore di18

c)

A x /x è una lettera della parola " padella"

B x /x è una lettera della parola "coltello" .

a)

C AB 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

D AB 4,5

b) Prima di trovare gli insiemi C (insieme unione) e D (insieme intersezione),

conviene rappresentare per elencazione gli insiemi A e B.

A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 B 1,2,3,6,9,18

ESERCIZI

1 Indica quali tra i seguenti insiemi sono finiti, oppure vuoti.

a) I numeri naturali compresi tra 50 e 60.

b) Le consonanti della parola “io”.

c) I multipli di 3.

d) I numeri naturali minori di 0.

e) I quadrati con tre lati.

f) Gli abitanti della Terra.

2 Dati gli insiemi

A 2,4,6,8 , B 1,3,5,7,9 , C 0 , stabilisci quali delle

seguenti affermazioni sono vere (V), oppure false (F), barrando la casella

opportuna.

a)

3A V F

b)

0C V F

c)

1,3B V F

d)

5

7 A V F

e)

6,8A V F

f)

10B V F

3 Considerando gli insiemi dell’esercizio precedente, completa con i seguenti

simboli

e

le seguenti frasi, in modo da renderle vere.

a) a … A

b) 5 … B

c) (-2) … A

d) 145 … C

e) 0 … B

f) 0 … C.

4 Rappresenta mediante la rappresentazione tabulare i seguenti insiemi.

a) I multipli pari di 5 minori di 25.

b) I numeri naturali pari compresi tra 10 e 20.

c) I divisori di 12.

d) I mesi che cominciano con la lettera “m”.

e) Le vocali della parola “aiuole”.

f) Le lettere della parola “scuola”.

5 Rappresenta graficamente (col diagramma di Venn) gli insiemi dell’esercizio

precedente.

6 Rappresenta i seguenti insiemi mediante la proprietà caratteristica.

a)

A a, e, i,o, u

b)

B 2,4,6,8,10

c)

C Mercurio,Venere,Terra,Marte,Giove, Saturno,Urano,Nettuno, Plutone

d)

D martedì,mercoledì

e)

E 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50

f)

F gennaio, febbraio,marzo, aprile,maggio .

7 Dato l’insieme

A 2,4,6,8,10 , stabilisci quali delle seguente affermazioni

sono vere (V), oppure false (F).

a)

8 A V F

b)

10A V F

c)

2,4 A V F

d)

246 A V F

e)

x /xN, 2 x 8 A V F

f)

4 A V F

8 Dati gli insiemi

A x /xN, x è multiplo di 2 ,

B 2,4,6,8,10,12,... ,

C 3,12 ,

completa inserendo correttamente i simboli:

,,,, .

a)

8 ... A

b)

8 ...C

c)

B ... A

d)

C ... A

e)

2,4,6 ...B

f)

12 ... A.

9 Per ogni coppia di insiemi determina l’unione e l’intersezione,

rappresentandole mediante un diagramma di Venn.

a)

A 0,2,4,6,8,10 B 1,3,5,7,9

b)

A x /xN, x è divisore di12 B x /xN,1 x 6

c)

A x /x è una lettera della parola " padella"

B x /x è una lettera della parola "coperchio" .

10 Ricopia sul quaderno più volte e colora i seguenti insiemi:

AB; AB; AC; AC; BC; BC.

A

B

C

I NUMERI NATURALI

Introduzione

I numeri naturali sono stati introdotti per contare gli oggetti (o elementi) di

un dato insieme, e sono, come tutti sanno:

0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10, ……20, ……..99,100,101, …………………

Essi formano una successione di numeri; per ottenere il successivo basta

aggiungere “1” al precedente, e per ottenere il precedente basta togliere “1” al

successivo.

Ad esempio: il successivo di 5 è 6, mentre il precedente di 16 è 15.

Nei numeri naturali non esiste l’ultimo numero, infatti basta aggiungere “1” e si

ottiene il successivo.

Per questo si dice che i numeri naturali sono infiniti. L’infinito si indica col

simbolo

Il più piccolo numero naturale è lo zero.

I numeri naturali formano una successione che si indica con N; si dice che N é

un insieme ordinato

Ricapitolando, possiamo dire che N ha le seguenti proprietà:

1) il più piccolo elemento di N è lo zero

2) ogni elemento di N tranne lo zero è il successivo di un elemento di N

3) ogni elemento di N ha il successivo, non vi è cioè un ultimo elemento

4) ogni elemento di N, tranne lo zero, ha un precedente

Relazioni di uguaglianza e di disuguaglianza

Un qualsiasi numero della successione di numeri naturali si dice maggiore di

quelli che lo precedono e minore di quelli che lo seguono.

Ad esempio

5 è minore di 9 e si scrive 5 < 9

8 è maggiore di 3 e si scrive 8 > 3

Generalmente, quando si vuole indicare un numero senza precisarne il valore, lo

si rappresenta con una lettera minuscola dell’alfabeto; così, per indicare che un

numero a è maggiore di un numero b si scrive

a > b (1)

e per indicare che un numero c è minore di un numero d si scrive

c < d (2)

(1) e (2) rappresentano una relazione che si chiama “ disuguaglianza”.

Si dice poi che due numeri a e b sono uguali se rappresentano lo stesso numero e

si scrive

a = b (3)

La (3) si chiama “uguaglianza”

I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta di origine O e sulla

quale sono staccati tanti segmenti sulla destra tutti uguali fra loro.

Ad ogni estremo di segmento corrisponde un numero naturale.

LE QUATTRO OPERAZIONI NELL’INSIEME “N” E LE LORO

PROPRIETA’

Addizione

L’addizione è una operazione sempre possibile nei numeri naturali; infatti,

se consideriamo due numeri naturali e li sommiamo fra loro otteniamo un

altro numero naturale. Si dice che l’addizione è un’operazione interna

all’insieme N, cioè N è chiuso rispetto all’addizione.

Esempio: 5 + 3 = 8

In questo caso il numero 5 e il numero 3 si chiamano addendi

Proprietà dell’ addizione

1. La proprietà commutativa : “cambiando l’ordine degli addendi il

risultato rimane invariato”

a+b=b+a ; a+b+c=b+c+a

3+7=7+3 ; 5+2+6 = 2+6+5

2. La proprietà associativa : “la somma di più numeri naturali non

cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma effettuata”

(m+n)+p=m+(n+p)

(2+3)+5=2+(3+5)

3. Elemento neutro : “La somma di un qualsiasi numero con lo 0 dà il

numero stesso”

m+0 = 0+m= m

4+0 = 0+4= 4

Sottrazione

Sottrarre un numero naturale “b” (sottraendo) da un numero naturale “a”

(minuendo) vuol dire trovare un numero naturale “c” (differenza) , se

esiste, che sommato a “b” dà come risultato “a” cioè

a – b = c se c + b = a

Esempio

7 – 5 = 2 se 2 + 5 = 7

7 si chiama minuendo; 5 si chiama sottraendo; 2 si chiama differenza

Non sempre è possibile sottrarre un numero naturale da un altro numero naturale

Ciò è possibile soltanto se il minuendo è più grande del sottraendo. Si dice

che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N, cioè N è non è

chiuso rispetto alla sottrazione.

Infatti 5 – 7 non dà nessun risultato perché non esiste nessun numero

naturale che sommato a 7 dà come risultato 5

6 – 8 = ……………………… perché?

………..………..……………………………

Proprietà della sottrazione

1. Proprietà invariantiva della sottrazione “La differenza fra due numeri

non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero,

purché esso sia minore del sottraendo

Se a-b=c allora (a+n)-(b+n) = c

Se 7-4=3 allora (7+5)-(4+5) = 12 - 9 = 3

Se a-b=c allora (a-n)-(b-n) = c

Se 8-5=3 allora (8-2)-(5-2) = 6 - 3 = 3

2. Se due numeri sono uguali allora la loro differenza è uguale a 0

a – a = 0

7 – 7 = 0

La sottrazione non gode né della proprietà commutativa né di quella

associativa

Moltiplicazione

Se si devono sommare 5 numeri tutti uguali fra loro ad esempio

3+3+3+3+3=15

si può scrivere 3x5=15 oppure 3.5=15

In questo caso il 3 e il 5 si chiamano fattori e il risultato ottenuto, cioè il 15 si

chiama prodotto.

Si dice, allora, prodotto fra due numeri naturali a e b il numero che si

ottiene addizionando tanti addendi uguali ad a per b volte.

La moltiplicazione è una operazione sempre possibile nei numeri naturali;

infatti, moltiplicando fra loro due numeri naturali si ottiene ancora un

numero naturale. Si dice che la moltiplicazione è un’operazione interna

all’insieme N, cioè N è chiuso rispetto alla moltiplicazione

Esempio: 4.3=12

il 4 e il 3 sono due numeri naturali e il risultato del loro prodotto è ancora

un numero naturale.

Proprietà della moltiplicazione

1. La proprietà commutativa : “cambiando l’ordine dei fattori il risultato

rimane invariato”

a.b=b.a; a.b.c=b.c.a

3.7=7.3 ; 5.2.6 = 2.6.5

2. La proprietà associativa : “il prodotto di più numeri naturali non

cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto effettuato.”

(a.b) . c = a . (b.c)

(2.3) . 5 = 2 . (3.5)

3. Elemento neutro : “Il prodotto di un qualsiasi numero con il numero 1dà

il numero stesso”

m.1 = 1.m = m

4.1 = 1.4= 4

4. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla

sottrazione

a . ( b + c ) = a . b + a . c oppure ( a + b ) . c = a . c + b . c

a . ( b - c ) = a . b - a . c oppure ( a - b ) . c = a . c - b . c

esempio

2 . (3 + 5) = 2 . 3 + 2 . 5

2 . (7 - 4) = 2 . 7 - 2 . 4

5. Legge di annullamento del prodotto

Il prodotto di due o più fattori vale zero se, e solo se, almeno uno

dei fattori è uguale a zero

2 . 5 . 0 . 34 . 2375 = 0

Viceversa

Se il prodotto di due o più fattori è uguale a zero allora vuol dire

che almeno uno dei due fattori è uguale a zero

Divisione

Dividere un numero naturale a per un numero naturale b vuol dire trovare

un numero naturale c, se esiste, che moltiplicato per b dà come risultato a.

Ad esempio:

abcsecba :

Esempio:

10 : 5 = 2 se 2 . 5 = 10

10 si chiama dividendo; 5 si chiama divisore; 2 si chiama quoziente

Non è sempre possibile dividere un numero naturale a per un numero

naturale b; si dice allora che la divisione non è un’operazione interna

all’insieme N, cioè N è non è chiuso rispetto alla divisione.

Infatti, nella divisione 13: 5 non esiste nessun numero naturale che

moltiplicato per 5 dà come risultato 13.

Nella divisione 13 : 5 si può allora parlare di quoziente approssimato, cioè il

numero naturale più grande possibile che moltiplicato per il divisore dia un

prodotto non maggiore del dividendo.

Sottraendo poi dal dividendo il quoziente approssimato si ottiene la

differenza che viene chiamata resto.

Quindi 13 : 5 = 2 con resto = 3 perchè 1052 e 13 - 10 = 3 .

Possiamo anche dire che 35213 cioè dividendo = quoziente

approssimato per divisore più resto

Esercizi svolti

Qual è il dividendo di una divisione se il quoziente approssimato è 6 il

divisore è 2 e il resto è 3?

dividendo = quoziente approssimato per divisore più resto = 326 = 15

Qual è il divisore di una divisione se il quoziente approssimato è 5 il

dividendo è 16 e il resto è 1?

divisore = (dividendo meno resto) diviso quoziente approssimato = (16 – 1) : 5

= 3

Esercizi da svolgere

Qual è il dividendo di una divisione se il quoziente approssimato è 5 il

divisore è 4 e il resto è 1?

dividendo =

Qual è il divisore di una divisione se il quoziente approssimato è 7 il

dividendo è 19 e il resto è 5?

divisore =

Proprietà della divisione

1. proprietà invariantiva “dividendo o moltiplicando per uno stesso

numero sia il dividendo che il divisore il prodotto non cambia”

Se 30:10 = 3 anche (30:2):(10:2) = 3

Se 10:5 = 2 anche (10.3):(5.3) = 2

2. proprietà distributiva a sinistra della divisione rispetto all’addizione

"per dividere una somma per un numero si possono dividere

separatamente, per quel numero, gli addendi e sommare tra loro i

quozienti”

(21+6):3 = 21:3 + 6:3=7+2 = 9

3. proprietà distributiva a sinistra della divisione rispetto alla sottrazione

"per dividere una differenza per un numero si possono dividere

separatamente, per quel numero, il minuendo e il sottraendo, purché il

minuendo sia maggiore del sottraendo, e sottrarre tra loro i quozienti”

(21-6):3 = 21:3 - 6:3=7-2 = 5

4. Se due numeri sono uguali allora il loro quoziente è uguale a 1

m : m =1

7 : 7 = 1

La divisione non gode né della proprietà commutativa né di quella

associativa

L’addizione e la moltiplicazione fra numeri naturali sono operazioni

sempre possibili, mentre non sono sempre possibili la sottrazione e la

divisione fra numeri naturali.

CASI PARTICOLARI DELLA DIVISIONE

1. La divisione fra un qualsiasi numero naturale 0 per 1 è uguale al

numero naturale stesso. (Il simbolo si legge “diverso” )

2. La divisione dello 0 per un qualsiasi numero naturale 0 è sempre uguale

0

3. La divisione di un qualsiasi numero naturale 0 per 0 è impossibile

4. La divisione 0 : 0 è indeterminata

esempi:

6 : 3 = 2 vuol dire che 2.3=6

7 : 0 è impossibile, infatti non esiste nessun numero naturale che moltiplicato

per 0 è uguale a 7

7 : 0 = ? vuol dire che ? . 0 = 7 Quale numero dobbiamo sostituire col punto

interrogativo?

0 : 0 è indeterminata perché non è possibile determinare un numero unico che

moltiplicato per 0 dà come risultato zero, infatti qualsiasi numero è quello

giusto.

0 : 0=? vuol dire che ? . 0 = 0 Quale numero dobbiamo sostituire col punto

interrogativo?

Completa quando è possibile la seguente tabella nell’insieme N dei numeri

naturali:

a b ba ab ba ab ba ab ba : ab :

7 3

5 5

9 1

0 0

1 1

4 0

0 4

PER RICORDARE

I numeri di una addizione si chiamano addendi e il risultato si chiama somma

I numeri di una moltiplicazione si chiamano fattori e il risultato si chiama

prodotto

I numeri di una sottrazione si chiamano minuendo e sottraendoe il risultato si

chiama differenza

I numeri di una divisione si chiamano dividendo e divisore e il risultato si

chiama quoziente

CALCOLO RAPIDO MENTALE

Le proprietà dell’addizione e della sottrazione, permettono, in molti casi, di

ottenere rapidamente la somma e il prodotto di due o più numeri. Vediamo

qualche esempio

2+7+8+13 =

applicando la proprietà commutativa si ha:

2+8+7+13=10+20=30

526+245 =

dissociando i numeri 526 e 245 si ha:

500+20+6+200+40+5=

500+200+20+40+6+5=

700+60+11=771

6.12 =

dissociando il 12 in 10+2 e applicando la proprietà distributiva

della moltiplicazione rispetto all’addizione si ha

6.(10+2)=6.10+6.2=60+12=72

15.13 =

dissociando il 13 in 10+3 e applicando la proprietà distributiva

della moltiplicazione rispetto all’addizione si ha

15. (10+3)=15.10+15.3=150+45=195

25.9 =

dissociando il 9 in 10-1 e applicando la proprietà distributiva

della moltiplicazione rispetto alla sottrazione si ha

25 . (10-1) = 25.10 – 25 .1=250 – 25 = 225

L’ elevamento a potenza

Dati due numeri naturali a ed n, si chiama potenza e si indica con na il

prodotto di n fattori uguali ad a.

Esempio: 52 è una potenza in cui 2 si chiama base e 5 si chiama esponente e

rappresenta la moltiplicazione 22222

L’esponente indica allora quante volte devo moltiplicare la base per se

stessa

322222225

Se invertiamo l’esponente con la base otteniamo lo stesso risultato? No

mai.

25 52 ; 34 43 ;

23 32

Esiste un caso particolare

24 42

La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per

esponente il prodotto degli esponenti. Esempio:

623 22

Proprietà delle potenze

“Le proprietà delle potenze ci aiutano a eseguire i calcoli più facilmente”

prima proprietà: prodotto di potenze con la stessa base.

mnmn aaa

Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per

base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

Esempi:

729 3 3 33 6424.2

128 2 2 22 7343.4

411244444 1115321.5.3.2

seconda proprietà: quoziente di potenze con la stessa base.

mnmn aaa

Il quoziente di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per

base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

Esempi:

a. 34 : 3

1= 3

4-1= 3

3= 27

b. 24 : 2

3= 2

4-3= 2

1= 2

c. 54 : 5

4= 5

4-4= 5

0= 1

Quest ultimo esempio dimostra che un numero elevato a zero è uguale a 1 in

quanto è uguale al quoziente di due potenze uguali.

terza proprietà: Potenza di potenza

mnmn aa

La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per

esponente il prodotto degli esponenti.

Esempi:

84242 333 x

60354354 222 xx

1444 0512

5012

xoxx

quarta proprietà: prodotto di potenze con lo stesso esponente

quoziente di potenze con lo stesso esponente

nnn baba

Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente è una

potenza che ha per base il prodotto delle basi e come

esponente lo stesso esponente.

nnn baba ::

Il quoziente di due o più potenze con lo stesso esponente è

una potenza che ha per base il quoziente delle basi e come

esponente lo stesso esponente.

Esempi:

52.3

2= (5.3)

2= 15

2= 225

23.5

3= (2.5)

3= 10

3= 1000

33 . 4

3 : 6

3 = (3 . 4 : 6)

3 = (12 : 2)

3 = 2

3 = 8

205:4

5=(20:4)

5= 5

5=3025

65:2

5=(6:2)

5= 3

5= 243

1003:20

3:5

3=(100:20:5)

3=1

3=1

Casi particolari delle potenze

a) Un numero elevato a 1 è uguale al numero stesso

51= 5 12

1=12 1000

1=1000

1 elevato ad un qualsiasi numero è uguale a 1

15=1 1

12=1

Un numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1

50 = 1 12

0 = 1 125

0 = 1

Zero elevato ad un numero diverso da zero è uguale a zero.

07 = 0 0

15 = 0

Zero elevato a zero è una forma indeterminata

00 = indeterminata

10 elevato ad un numero è uguale ad un numero formato da 1 e tanti zeri

quanti sono le unità dell’esponente.

100 = 1 10

1 = 10 10

2 = 100 10

3 = 1000

107 = 10000000

Esercizi svolti

1. Esegui le seguenti moltiplicazioni, lasciando i prodotti sotto forma di

potenza.

a. 26 . 2

3=2

6+3=2

9

b. 67.6

5=6

7+5=6

12

c. b2.b

3.b5=b

2+3+5=b

10

d. m2.m

1=m

2+1= m

3

2. Esegui le seguenti divisioni, lasciando i prodotti sotto forma di potenza.

a. 26:2

3=2

6-3=2

3

b. 67: 6

5=6

7-5=6

2

c. b7:b

3:b

2=b

7-3-2=b

2

d. m3 : m

1=m

3-1= m

2

3. Applicando le proprietà delle potenze, quando è possibile, risolvere i

seguenti esercizi

53 22 )22(:)1010( 3452

423 )23(:)66( 2245

32 22 )1414(:)74( 233

754 3:33 = 5203

)77(:)77( 3243 05235

2334 722:2:2:2

12225 3:333 4233322

8:42:4453

42 33 25232

5323 44:444

ESPRESSIONI ARITMETICHE

Si chiama espressione aritmetica una sequenza finita di numeri, operazioni e

parentesi.

Per esempio:

43-62 9:5)(422)-(5 2 )4734:)19

Sono espressioni aritmetiche.

Calcolare un’espressione vuol dire trovare il valore finale dopo aver eseguito

tutte le operazioni indicate.

Per calcolare il valore di un’espressione si devono tenere presenti le seguenti

regole di precedenza:

1. Se ‘espressione non contiene parentesi si eseguono prima le potenze poi le

moltiplicazioni e divisioni e poi le addizioni e le sottrazioni nell’ordine

indicato.

2. Se l’espressione contiene parentesi, si eseguono prima le parentesi più

interne e via via tutte le altre e poi si continua come nel caso precedente.

Esempi

Calcolare il valore della seguente espressione

43-62

Poiché compaiono solo addizioni e sottrazioni si devono eseguire nell’ordine in

cui sono scritte

94543-8 43-62

Calcolare il valore della seguente espressione

9:5)(422)-(5 2

Prima si risolvono le parentesi poi la potenza poi le moltiplicazioni e divisioni e

infine l’addizione

131129:9129:9439:9239:5)(422)-(5 22

Calcolare il valore della seguente espressione

)4734:)19

Prima si risolvono le parentesi poi le moltiplicazioni e divisioni poi la

sottrazione e infine l’addizione.

12334:812)4734:)19

141131215123512332

Risolvere le seguenti espressioni

2 : 4 · 1)3-(9

2 : 4 · 1)](3-[9

2 : 4 · 13)-(9

5 - 6 : 6 6) - 2 : 14 (2 · 2 9 : 27

5 - 6 : 6 6 - 2 : 14) (2 · 2 9 : 27

5 - 6 : 6 6 - 2 : 14 2 · 2 9 : 27

5 - 6 : 6 6 - ) 2 : 14 (2 · 2 9 : 27

2 : 14 22 · 2 5 · 22 23

2 · 22 - 52 - 33 42 9 : 05

7:72:324243:6 23

MULTIPLI E DIVISORI

Un numero a è divisibile per un numero b quando la divisione a : b ha

quoziente q e resto uguale a zero.

Esempio:

6 è divisibile per 3 perché 6 : 3 = 2 e il resto è uguale a zero

7 non è divisibile per 3 perché 7 : 3 = 2 con resto uguale a 1

Principali criteri di divisibilità di un numero naturale

Un numero è divisibile per 2 se l’ultima cifra è pari o finisce per 0

Esempio: 2, 4 10, 16. 226, 458, 1230,….ecc

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3

Esempio: 3, 6 123, 27, 54, 531, 1452, 7020, …. ecc

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano

un numero multiplo di 4

Esempio: 100, 1200, 124, 1736, …. ecc

Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra finisce per 5 o per 0

Esempio: 35, 230, 455, 340, 2345, …. ecc

Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per

3

Esempio: 12, 132, 510, 8730, , …. ecc

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9

Esempio: 72, 135, 2358, 45, 9198, …. ecc

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

Esempio: 50, 120, 870, … ecc

un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è 00

oppure è divisibile per 25

Esempio: 50, 100, 350, 1200, … ecc

un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

Esempio: 2500, 800, 1400, … ecc

Definizione importante

Un numero si dice primo quando è divisibile soltanto per 1 e per se stesso

osserviamo che

L’unico numero pari e anche numero primo è il 2; Qualunque altro numero

pari non è primo perché è divisibile per 2.

Tabella dei numeri primi da 1 a 100

2 3 5 7 1 1 1 3 17 1 9 2 3 2 9 31 37 4 1 4 3 47 53 59 6 1 6 7 71 73

7 9 8 3 89 97

SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI

Ogni numero non primo può essere scomposto in fattori primi, cioè può essere

espresso come prodotto di fattori primi.

Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più piccolo numero

primo che sia suo divisore; poi si divide il risultato per il suo più piccolo

divisore primo e così via fino ad ottenere 1 come quoziente.

Esempi:

28

14

7

1

2

2

7

.660

66

33

11

1

2.5

2

3

11

.7920

792

396

198

99

33

11

1

2.5

2

2

2

3

3

11

124

62

31

1

2

2

31

.400

4

2

1

22.52

2

2

28 =22 .7 660 =

22 .3 .5 .11

7920 =

24 .32 .5 .11 124 = 22 . 31 400 = 24 . 52

Osservazione importante

Quando i numeri non sono molto grandi (minori di 100) , per poterli

scomporrre in fattori basta conoscere bene le tabelline.

Per esempio

56 = 7 . 8 = 7 . 23

63 = 7 . 9 = 7 . 32

72 = 8 . 9 = 23 . 32

36 = 4 . 9 = 22 . 32

8 = 2 . 4 = 2 . 22 = 23

81 = 9 . 9 = 32 . 32 = 34

100 = 10 . 10 =2 . 5 . 2 . 5 = 22 . 52

Definizione

“Due numeri si dicono primi tra loro quando non hanno divisori in comune

escluso 1”

Esempio

27 = 33 e 14 = 2 . 7 pur non essendo numeri primi, sono primi tra loro

perché non hanno divisori in comune.

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

Il massimo comune divisore (M.C.D.) fra due numeri interi a e b che non siano

entrambi uguali a zero, è il numero naturale più grande per il quale possono

entrambi essere divisi.

Se a e b sono primi tra loro, allora MCD(a, b) è uguale a 1

Regola per il calcolo del M.C.D.

Per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri naturali diversi da zero, si

scompongono i numeri in fattori primi e poi si moltiplicano tra di loro i fattori

comuni presi una sola volta col minimo esponente.

Esempio:

Calcolare il M.C.D. fra i numeri 2400, 72, 360

2400 = 25. 3 . 52

72 = 23 . 32

360 = 23 . 32 . 5

M.C.D. = 23. 3 = 24

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due numeri interi a e b è il più piccolo

intero positivo che è multiplo sia di a che di b

Regola per il calcolo del m.c.m.

Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri naturali diversi da zero, si

scompongono i numeri in fattori primi e poi si moltiplicano tra di loro i fattori

comuni e non comuni presi una sola volta col massimo esponente.

Esempio:

Calcolare il m.c.m. fra i numeri 30, 54, 15

30 = 2 . 3 . 5

54 = 2 . 33

15 = 3 . 5

m.c.m. = 2 . 33 . 5 = 270

SCHEDA DI LAVORO

Cerchia, fra i numeri naturali da 1 a 100, tutti i numeri primi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97

98 99 100

Scrivi tutti i numeri primi compresi tra 1 e 100

________________________________________________________________

________________________________________________________________

Si chiama multiplo di un numero a un altro numero b che è possibile dividere per

a, cioè un dividendo di a.

Esempio: I multipli di 3 sono 6, 9, 15, …… 30 . . ecc quindi un multiplo di 3 è

un qualsiasi numero divisibile per 3.

Possiamo dire che i multipli di 3 sono infiniti e formano un insieme di numeri

che hanno la caratteristica di essere i suoi dividendi.

Si chiama sottomultiplo di un numero a un altro numero b per il quale

possiamo dividere a cioè un divisore di a

Esempio: I sottomultipli di 18 sono 2, 3, 6,9.

Possiamo dire che i sottomultipli di 18 sono finiti e formano un insieme di

numeri che hanno la caratteristica di essere i suoi divisori

In generale possiamo dire che:

I multipli di un numero sono tutti i suoi dividendi.

I sottomultipli di un numero sono tutti i suoi divisori.

Se un numero non ha sottomultipli allora è un numero primo.

Esempio 13, 37, 47, 59 sono numeri primi perché sono divisibili soltanto per 1 e

per se stessi quindi non hanno sottomultipli

Se invece, un numero ha sottomultipli allora si può scomporre in fattori primi

che moltiplicati fra di loro danno il numero di partenza.

Esempio:

15 = 3 . 5; 8 = 2 . 2 . 2 = 23 ; 30 = 5 . 6 = 5 . 2 . 3; 20= 5 . 4 = 5 . 22

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri naturali:

6= ____________ 21=____________ 12=____________

37=___________ 40=___________ 28=____________

63=____________ 45=___________

Rappresenta sulla retta i numeri naturali N :

.

Gli addendi sono:

__________________________________________________________

I fattori sono

______________________________________________________________

La somma è

______________________________________________________________

Il prodotto è

______________________________________________________________

0

Il risultato della moltiplicazione si chiama ____________________________

Il risultato dell’addizione si chiama __________________________________

Nella sottrazione 7-5=2 7 si chiama _______ ; 5 si chiama ________ e 2 si

chiama ________

Nella divisione 15:3=5 15 si chiama ______ ; 3 si chiama ________ e 5 si

chiama ________

Nell’addizione 2+3+4 = 11 2, 3 e 4 si chiamano ____________e 11 si chiama

____________

Nella moltiplicazione 2.3.4 = 24 2, 3 e 4 si chiamano __________e 24 si

chiama __________

Il quoziente è ___________________________________________________

La differenza è _________________________________________________

Se moltiplichiamo un numero per se stesso per un certo numero di volte lo

possiamo scrivere anche in un’altra forma che si chiama potenza e che è formata

da due parti chiamate base ed esponente.

Esempio 5222222 ; 52 si chiama potenza, 2 si chiama base e 5 si chiama

esponente.

Possiamo dire che la potenza 52 rappresenta il prodotto di 5 fattori uguali a 2

La potenza na = aaaaaa .................................. rappresenta il prodotto di n

fattori uguali ad a

La potenza 73 rappresenta ________________________________________

Il prodotto di 4 fattori tutti uguali a 3 si chiama __________________ e si indica

con _________

La somma di 4 addendi tutti uguali a 3 si chiama _________________ e si

indica con _________

n volte

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false

V F V F

5 è un numero naturale o o 0 è un numero naturale o o

23 è un numero naturale o o 24 è un numero naturale o o

0,4 è un numero naturale o o 5

10 è un numero naturale o o

- 6 è un numero naturale o o 1357 è un numero naturale o o

5

3

è un numero naturale o o

8

7 è un numero naturale o o

0,25 è un numero naturale o o -2 è un numero naturale o o

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri

4, 7, 2, 9, 1, 53, 24 ___________________________________

Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri

4, 7, 2, 9, 1, 53, 24 ___________________________________

Inserisci tra le seguenti coppie di numeri naturali il simbolo > oppure <

3 …..

6

5 …..

2

1 …..

3

0 …..

1

34 …..

43

27 …..

6

3 …..

16

31 …..

32

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false

V F V F V F

3 > 5 o o 9 > 4 o o 45 = 54 o o

3 > 2 o o 3 = 3 o o 31 > 35 o o

12 > 16 o o 5 > 5 o o 13 > 2 o o

Completare le seguenti uguaglianze sostituendo alla lettera x il giusto valore

x + 2 = 3 x = ….. x - 5 = 3 x = ….. x . 9 = 27 x = …..

x - 2 = 3 x = ….. x : 5 = 3 x = ….. x - 42 = 1 x = …..

x . 2 = 46 x = ….. x - 0 = 4 x = ….. x + 45 = 51 x = …..

x + 7 = 9 x = ….. x : 6 = 10 x = ….. x : 9 = 3 x = …..

Completare le seguenti uguaglianze

....32 25....2 55... 8....3 ....40 ....15 1....0 1....7 13....

Applicando, quando è possibile le proprietà delle potenze, calcolare:

35 3:3 322 542 6:66 13252 34:)3434(

32 22 852 7:7 22 42 )3:18(:6 9952

332 22 3:15 355 7:)3:21( 23 22

Scrivi un’addizione di tre addendi la cui somma è

uguale a 10

Scrivi una moltiplicazione di tre fattori il cui

prodotto è uguale a 36

Indica il nome dei numeri delle seguenti operazioni

8 6 2 2054 46:24 257

2 e 6 si chiamano

……………….

8 si chiama

……………….

4 e 5 si chiamano

……………….

20 si chiama

….…………..

24 si chiama

……………….

6 si chiama

……………….

4 si chiama

……………….

7 si chiama

……………….

5 si chiama

……………….

2 si chiama

……………….

Risolvere le seguenti espressioni con le quattro operazioni e le potenze

1. 2 7 3 8 20 2. 9)5(5 - 7)3(6 10)-5-(25 - 2)6-(18 1

3. 7 4 23 16 50 4. 3 - 34)] 9 (7 - [58 5

5. 3 17 13 7 40 6. 40 : 30) (90 8 : 4) 5 (7 5

7. 20 - 2 8 11 - 21 0 8. 1 - 13 : 2) : 2 · 3 - 3 · 3 2 : (14 0

9. 4 - 14 7 · 3 - 9 - 4 13 · 2 10 10. 17 : 6) (11 1) 4 -(6 :4) 5 (6 6

11. 8 - 9 : 36 2 : 14 2 · 2 9 : 27 10 12. 49 - 2) : 40 - 4 · (10 10 · 6) - 5 7 : (28 1

13. 1 6 · 3 5 : 5 2 · 5 8 2 14. 01 20 : 5} · 32)] - (50 - {[20 10- 16 1

15. 2 · 2 - 2 · 3 - 3 : 6 3 : 24 0 16. 1 - 2 : 1)] (4 : 2) [(8 2 : 3) 5 6-(8 5

17. 20 · 5 - 1 · 100 3 : 15 - 2 : 30 10 18. 2} 7) - 6 (8 : 4)] : (12 [11 { · 5)] 2 - 2 · 7 (2 : [18 8

19. 5 - 10 -16 12 - 2 - 2 12 1 20. 34] : 4) · 5 8 · [(6 6 :12 -7 3

21. 2 : 4 · 1)3-(9 14 22. 3):15(3 3- 13·3)}-(7·6 · 5·2)·2](4 - 4[7 {29 5

23. 2 : 4 · 1)](3-[9 10 24. 5 · 23)- 4 · 3 2 · (6 4 : 5) · 2 - 33 3 : (15 12

25. 2 : 4 · 13)-(9 8 26. 39- 5}2·4 2·3) - (7·2 - 2 · 7·3] - 3·4) - {[(7·6 - 79 1

27. 5 - 6 : 6 6) - 2 : 14 (2 · 2 9 : 27 5 28. )52(7:1422522 222 8

29. 5 - 6 : 6 6 - 2 : 14) (2 · 2 9 : 27 9 30. 20222 2322:1645 0

31. 5 - 6 : 6 6 - 2 : 14 2 · 2 9 : 27 4 32. 32222 2:1335:4 2

33. 5 - 6 : 6 6 - ) 2 : 14 (2 · 2 9 : 27 11 34. 143:65:108:82:3252 1

35. 1 6 · 3- 5 : 52 · 5) (8 10 36. )5237(:)523(69 222322 10

37. 4) (6 · 13 : 6) (4 · 5) (8 20 38. 275 22101216:2 2

39. 1 6 · 3 - 5 : 5 2 · 5 8 0 40. 453 3:3210:45523:625 24

41. 3:7) · 3 2 4 - (8 9 42. 25:)1055(25:9335 2202 3

43. 4) - (7 · 3 2) (4 - 8 11 44. 7464732:2365262 382 0

45. 2 · 1) 2 (3 - 4 · 8 2 : 6 23 46. 7:254127465440:52 223 9

47. 2 : 1) 2 - (9 4 48. 13:32:1629:32 2322 2

49. 2 : 1)](2-[9 3 50. 023

1143 72315:2:2 0

51. 5 · 1 2 3- 4 · 8 2 : 6 39 52. 02321822:96459 0

53. 2 - 6 : 7] 3) : 3 · (2 4 : [12 3 - 5 2 54. 1434433222324 0322

0

55. ) 2 - (6 : 7] 3) : 3 · (2 4 : [12 · 3 - 15 6 56. 754754 2:223:33 5

57. ) 3 - (6 : 6 3 : 3 · 2 4) : (12 · 3) - (5 10 58. 10)23()77(:)77( 23243 3

59. 17 : 6) (11 2) (8 - 3) 4 (7 5 60. 23:333 12225 1

61. 3 · 18 - 2 · 5) · 5 (2 0 62. 1)3:15(5:)52(22 0242 0

63. 2 3 : 5} · 32)] - (50 - {[27 - 15 2 64. 052352

334 722:2:2:2

1

65. 4) (6 - 3 5) (8 - 25 5 66. 4233322

8:42:4453 64

RAZIONALI ASSOLUTI Qa

Le frazioni, questi oggetti misteriosi, hanno turbato non poco i nostri allievi nel

corso della loro formazione.

Vediamo insieme di conoscerle meglio e familiarizzare con operazioni e

proprietà.

Le due scritture si equivalgono, ma quel che più conta è il ruolo che giocano il

numeratore e il denominatore.

La frazione è di fatto un quoziente, ossia:

Il nostro numeratore è il dividendo e il denominatore è il divisore.

Le frazioni servono a considerare parte di un intero e quasi sempre vengono in

aiuto le torte della nonna proprio perché il denominatore ci dice in quante parti

si deve dividere l’intero mentre il numeratore ci dice quante parti si devono

prendere

Dopo aver studiato i numeri naturali N={0,1,2,3,...} ed aver visto che la

divisione non è sempre possibile in N nasce l’esigenza di considerare un insieme

nel quale, invece, lo è. Questo insieme lo chiameremo insieme dei razionali

assoluti e lo indicheremo con Qa e in questo insieme troveremo tutti quei

numeri che possono essere scritti come rapporto di due numeri naturali.

Se proviamo a dividere il 2 per 3 otteniamo 0,666666666 …. che conosciamo

dalle scuole medie come decimale periodico, ma a noi interessa avere la

percezione della quantità: la nostra intera torta vale 1 e dopo averla divisa in

tante parti quante ci indica il denominatore ne prenderemo tante quante ci indica

il numeratore.

DENOMINATORE

NUMERATORE

LINEA DI FRAZIONE

1/3 2/3

CLASSIFICAZIONE DELLE FRAZIONI

Per capire bene la differenza tra le tre categorie ricordiamo che le frazioni non

sono altro che quozienti e quindi rispondiamo a questa semplice domanda

Quanto vale 8:2 = ? ossia ? tutti noi risponderemo 4

Perché ? la risposta più semplice è “ perché 4 per 2 è uguale a 8” ed è la

giustificazione più banale ma anche la più corretta che ci guiderà alla scoperta

delle categorie sopra esposte.

Quanto vale 8:0 = ? ossia ? molti, senza pensarci troppo,

rispondono d’istinto “zero” ma poi seguendo l’esempio precedente cercano quel

numero che moltiplicato per zero dia 8 e non lo trovano in quanto sappiamo che

lo zero come fattore rende nullo il prodotto. Da ciò si deduce che una frazione

con il denominatore nullo è impossibile.

Quanto vale 0:0 = ? ossia ? molti, anche in questo caso,senza

pensarci troppo, rispondono d’istinto “uno” ma poi cercano quel numero che

moltiplicato per zero dia zero e si accorgono che qualsiasi numero moltiplicato

per zero dà zero e quindi la frazione non ha un valore determinato e diremo che

è una forma indeterminata o anche che la scrittura è priva di significato.

, , , … , , , … , , , …

Le frazioni proprie sono quelle in cui numeratore < denominatore e sono quelle

che indicano una parte della torta, mentre le improprie indicano quantità

superiori all’intero con numeratore > denominatore; infine le apparenti …

“sembrano” delle frazioni ma in effetti sono numeri naturali con numeratore

multiplo del denominatore.

DETERMINATE

INDETERMINATE

IMPOSSIBILI

FRAZIONI

DETERMINATE

PROPRIE APPARENTI

IMPROPRIE

Confronto tra frazioni

delle frazioni che indicano lo stesso valore si dicono equivalenti e si

ottengono moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno

stesso numero es.

= =

Frazioni con lo stesso denominatore.

Essendo parti uguali della medesima suddivisione di un intero è maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore (più parti uguali prese in considerazione). È facile confrontare due frazioni con lo stesso denominatore in quanto basta osservare i numeratori che sono quelli che indicano quante parti si devono prendere e quindi la frazione maggiore sarà quella con numeratore maggiore. È come se le frazioni parlassero una lingua e precisamente la lingua del denominatore e quindi per comprendersi devono parlare la stessa lingua ed eventualmente usare una lingua interprete ossia il m.c.m.

Es: in quanto il denominatore è uguale … mentre 5<3

? essendo i denominatori diversi cerchiamo di scrivere due frazioni equivalenti

alle date con denominatori uguali: denominatori uguali per le due frazioni possono essere molti, ma a noi interessa il primo uguale comune che si può raggiungere e questo è il 12 che si ottiene moltiplicando per 2 num. e denom. della prima frazione e per 3 num. e denom. della seconda frazione

quindi le due frazioni a confronto equivalgono a e

la prima risulta allora maggiore in quanto a parità di denominatore 10 > 9. Si riconosce che il denominatore usato come interprete è il m.c.m.(6;4) Negli altri casi e dovendo confrontare più frazioni, si conviene ridurle tutte al medesimo denominatore, fare cioè riferimento alle medesime parti uguali. Per fare questo occorre individuare il m.c.m. dei denominatori e trasformare adeguatamente le frazioni . A questo punto il confronto è ricondotto al caso di frazioni con lo stesso denominatore.

Le operazioni tra frazioni si dividono operativamente in due gruppi:

1) moltiplicazione e divisione

2) addizione e sottrazione

moltiplicare due frazioni è molto semplice, ricordare soprattutto che i

numeratori sono i dividendi e i denominatori sono i divisori e in quanto tali si

possono sempre semplificare, ossia dividere per uno stesso numero

La frazione prodotto si ottiene dopo aver moltiplicato i numeratori semplificati

tra di loro e i denominatori semplificati tra di loro … prodotti per livello.

Dividere due razionali assoluti, ossia due frazioni è facile soprattutto se

ricordiamo che la divisione non è altro che l’inverso della moltiplicazione

Dopo aver trasformato la divisione in moltiplicazione invertendo la seconda

frazione si procede come nell’esempio precedente e semplificando “a croce” si

ottiene

Per addizionare o sottrarre due frazioni occorre seguire una procedura completamente diversa e meno diretta, facendo riferimento al m.c.m. già conosciuto nel numeri naturali e utilizzandolo per costruire frazioni equivalenti con lo stesso denominatore.

1

5

1

4

4

1 1

2

Avendo sostituito con ci permette di ottenere subito la frazione

somma in quanto il denominatore è lo stesso e quindi è sufficiente addizionare i

numeratori mantenendo lo stesso denominatore:

La sottrazione avviene in modo analogo con l’attenzione da riservare al

minuendo che non deve essere mai inferiore al sottraendo in quanto nei naturali

e nei razionali assoluti non è possibile contemplare una simile operazione.

Rappresentazioni di valori frazionari

a volte è comodo avere uno schema che ci aiuti a confrontare valori frazionari, il

seguente potrebbe esserci di aiuto riflettendo che lo abbiamo ottenuto per

suddivisioni successive

e così via si ottengono altri frazionamenti.

Le espressioni mantengono le stesse priorità dei numeri naturali e rispettano i

livelli di parentesi :

EQUIVALENTI

1 0

2 0

0

0

Non può essere eseguita in quanto ha la

precedenza la moltiplicazione che a sua volta

deve rispettare la parentesi tonda

Risolveremo quindi prima la parentesi tonda poi la moltiplicazione e la divisione

e per ultima l’addizione.

Quindi

Risolvere i seguenti esercizi

Problemi con le frazioni

1. Anna Maria suddivide le torte di compleanno dei suoi gemelli in 12 fette

uguali. Ne distribuisce per ogni torta sette. A quale frazione corrisponde la parte

distribuita e quella rimasta?

Esercizio svolto come guida:

le fette di ogni torta sono 12 e per ogni torta ne distribuisce 7 e ricordando che

le nostre frazioni ci “dicono” con il denominatore in quante parti dividiamo e

con il numeratore quante parti prendiamo … la frazione corrispondente alla

parte distribuita è 7/12 e quella rimasta è 1-7/12=5/12

2. Un signore acquista un televisore. Versa come primo acconto 280 euro pari ai

2/7 del prezzo totale. Concorda poi di versare la rimanenza in due rate: i 3/4

dopo un mese e l'ultima rata dopo due mesi. Qual è il valore delle due rate?

3. Un signore acquista un televisore. Versa come primo acconto euro 240 pari ai

3/8 del prezzo totale. Concorda poi di versare la rimanenza in due rate: i 4/5

dopo un mese e l'ultima rata dopo due mesi. Qual è il valore delle due rate?

4. Una famiglia suddivide il percorso di 1200 km per raggiungerla località delle

vacanze all’estero in tre tappe. Verranno dapprima percorsi i ¾ del viaggio in

una unica soluzione. Una seconda sosta verrà fatta dopo un altro quinto del

percorso totale. Quanti km e che frazione del percorso resta da percorrere

nell’ultima tappa?

5. Stefano partecipa a una gara di triathlon che interessa un percorso di 15000 m.

La frazione a nuoto è pari a 1/15 dell’intero percorso. La parte da percorrere a

piedi è pari a 1/5 dell’intero percorso. Quanti km sono percorsi da ogni

specialità e quanti ne restano da percorrere in bicicletta? Quale frazione

rappresenta quest’ultima dell’intero percorso?

6. Un giardino di 15000 m2 è organizzato in tre aree. La parte preponderante è

quella a prato libero che interessa 1/2 della superficie. Un terzo della parte

restante sarà destinato ad aiuole fiorite e la restante parte attrezzata per i giochi.

Calcola quanto è destinato a ogni area e a che frazione corrisponde la superficie

destinata alla parte attrezzata per i giochi.

7. Di una tenuta sono coltivabili i 3/5 della superficie. La tenuta ha un’area

complessiva di 20 ettari (1 ettaro = 10.000 m2) e i 2/3 del terreno coltivabile

sono a vigneto e il resto a incolto.

Qual è la superficie a incolto espressa in metri quadrati?

8.In una classe di 25 allievi le femmine sono i 2/3 dei maschi. Quanti sono gli

alunni per ogni genere.

9. Per preparare un esame universitario servono tre libri. Il primo che è di 270

pagine la metà del totale, il secondo ha 4/9 delle pagine del primo. Di quante

pagine è costituito ogni volume?

Problemi diretti

1. Nella scatola dei colori di Ugo ci sono 21 matite colorate. Se un terzo di

queste sono gialle quante sono quelle di altro colore?

2. Michele riceve da Ubaldo un assegno di 2.100,00 euro per comprare il

trattore. Se

Michele ne ha utilizzato i 4/7 quanto dovrà restituire a Ubaldo?

3. La classe serale è formata da 35 allievi. Di questi 2/5 sono femmine. Quanti

sono i

ragazzi?

4. La classe 1B 2009-10 di una scuola media di Brindisi era formata da 24

alunni. I 3/8 andavano a scuola in bicicletta. Quanti alunni raggiungevano la

scuola con altri mezzi?

5. Una classe è formata da 28 alunni. I 4/7 vanno a scuola in auto. Quanti alunni

raggiungono la scuola con altri mezzi?

6. Laura per la sua prima a teatro invitò i suoi 22 compagni di classe. Ne

vennero i 3/11. Sai dirmi quanti erano i compagni presenti?

7. Filippo prende dalla cassa 1/6 di quanto disponibile e Massimiliano ne prende

i 3/2 di quanto ha preso Filippo. Calcola quanto resta, in frazione e in soldi, al

loro fratello minore Ludovico sapendo che la cifra disponibile era di 180 euro?

8. Lele ha un giardino di 450 m2. Un terzo, curato da Antonia, è a roseto, un

quinto è con alberi da frutto e la restante superficie è a prato di cui si occupa

personalmente. Calcola la misura delle diverse superfici e la frazione a prato.

9. Con 480 euro in tasca, Michele compra, usandone 3/5, un giaccone per Marco

e, con una cifra pari alla metà della precedente, un lettore MP3 per Francesca.

Trova il costo degli oggetti acquistati e la frazione che rimane disponibile.

10. Per decorare il muro di una cucina sono state utilizzate 150 piastrelle. I 3/5

delle

piastrelle utilizzate presentano delle decorazioni. Quante sono le piastrelle dei

due tipi?

11. Ugo per andare a scuola copre ogni giorno una distanza di 15 km. Di questi

ne

percorre 2/5 in bicicletta. Quanti km percorre in bicicletta?

12. Giovanni ha letto i ¾ del nuovo libro. Sapendo che il libro è di 256 pagine,

trova

quante ne deve ancora leggere.

Problemi inversi

1. I 4/9 di una strada corrispondono a 36 km e devono essere asfaltati. Quanto è

lunga l'intera strada?

2. I 3/8 di una strada corrispondono a 48 km e devono essere asfaltati. Quanto è

lunga l'intera strada?

3. La classe 1B ha 9 alunni, pari ai suoi 3/8, che vanno a scuola in bicicletta.

Quanti alunni raggiungono la scuola con altri mezzi?

4. Lo zio Beppe preleva da una botte di vino prima i 2/5 della sua capacità e con

un secondo prelievo i ¾ del rimanente. La botte di vino era inizialmente piena e

sono restati dopo questi due prelievi 30 litri di vino.

5. Giovanni cede al fratello Giacomo 1/6 delle sue figurine. Delle restanti ne

cede un decimo al cugino Marco. Giovanni si trova in mano a questo punto 180

figurine ma non ricorda più quante ne aveva all’inizio. Aiutalo tu.

6. Il tuo insegnante di matematica ha corretto nel pomeriggio 8 verifiche

corrispondenti ai 2/5 di tutto il lavoro da fare. Quante verifiche deve ancora

correggere?

7. Per pagare un anticipo sull’acquisto di un piccolo immobile sono richiesti

38.430 euro, pari ai 7/9 del valore complessivo. Trova il prezzo di acquisto e

quanto resta da versare sia in frazione sia in valore.

8. Michele versa 135 euro come anticipo del pagamento di un lavoro. Se tale

anticipo rappresenta i 9/11 del totale da pagare, quanto dovrà versare a saldo

Michele?

9. Tre amici, Pio, Pia e il Paolo, vincono al totocalcio.

Dalla spartizione Pio riceve i 2/7 della vincita, Pia i 4/13 e a Paolo vengono

dati 1480 euro. Quanto hanno vinto i tre e quanto spetta ad ognuno?

10. Mia mamma ha raccolto nell’orto dello zio Beppe 27 pomodori. Un parte è

usata subito, una parte pari ai 3/4 di questi sono messi in una cassetta per finire

la maturazione e dopo una settimana ne utilizza i 2/3 di questi. Quanti erano i

pomodori usati subito, messi a maturare e usati dopo una settimana?

11. Se nonna Teresa, preleva 3/12 delle patate per un totale di 15 kg,

quanti chilogrammi di patate sono rimaste disponibili in cantina?

12. Lo zio Beppe vende 35 kg di cipolle che rappresentano i 7/9 del suo

raccolto. Quanti kg di cipolle ha raccolto?

13. Marco sta leggendo un libro, tenendolo sotto il banco, su uno dei re di

Kathmandu. Ha letto ad oggi 45 pagine, pari ai 3/15 dell’intero libro. Da quante

pagine è formato il Libro?

14. Michele nella gara amatori di ciclismo ha percorso 110 km ed è a un terzo

dalla fine. Quando deve percorrere ancora?

15. Filippo prende dalla cassa 1/6 di quanto disponibile e Massimiliano prende

45 euro pari ai 3/2 di quanto ha preso Filippo. Calcola quanto resta al loro

fratello minore Ludovico in frazione e denaro.

Numeri relativi (interi) Professore, quanto manca al suono della campanella?

“Mancano 10 secondi”

Memo dieci, meno nove, meno otto, meno sette, meno sei, meno cinque, meno

quattro, meno tre, meno due, meno uno, zero!

Più comodo è scrivere:

(-10), (-9), (-8), (-7), (-6), (-5), (-4), (-3), (-2), (-1), (0)!

E dopo?

(+1), (+2), (+31), (+4), (+5), e via dicendo…..

Questi numeri (enti matematici) preceduti da un segno si dicono numeri relativi

(interi). Quelli preceduti dal segno (-) si dicono negativi, quelli preceduti dal segno (+) si

dicono positivi. Il loro insieme si indica con la lettera Z.

-5 e +4 sono numeri relativi o interi

Il modulo o valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza il

segno.

Per indicare il modulo si usano due sbarrette verticali.

|+8| = |-8| = 8

I numeri interi costituiscono un insieme ordinato senza un estremo superiore e

senza un estremo inferiore.

Dove troviamo ancora tali numeri?

Per misurare l’altitudine di una località (al di sopra o al di sotto il livello del

mare)

Brindisi: 13 metri sul livello del mare (+13)

Bolzano: 262 metri sul livello del mare (+262)

Per misurare una temperatura

Oggi la temperatura a Brindisi è di 17° (rispetto allo zero)

Oggi la temperatura a Milano è di -2° (rispetto allo zero)

Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno.

+9 e +5 sono concordi

Due numeri relativi si dicono discordi se hanno segno diverso

+6 e -7 sono discordi

Due numeri relativi si dicono opposti se sono discordi e hanno lo stesso modulo.

+10 e -10 sono opposti Due numeri relativi si dicono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso modulo.

+3 e +3 sono uguali

Confrontiamo i numeri relativi

Tra due numeri relativi discordi il maggiore è sempre quello positivo.

+7 > -8

Tra due numeri relativi positivi il maggiore è quello di maggiore valore assoluto.

+6 > +4 perché |+6|>|+4|

Tra due numeri relativi negativi il maggiore è quello di minore valore assoluto.

-8 > -9 perché |-8|<|-9|

Quale significato daresti ai differenti tasti del comando di un ’ascensore?

+3

+2

+1

0

-1

-2

-3

-2 significa ……….

+3 significa…….

LE OPERAZIONI

Addizione

La somma di due numeri relativi concordi è un numero che ha lo stesso segno

degli addendi e valore assoluto uguale alla somma dei loro valori assoluti.

(+6)+(+4) = +10

(-2)+(-6) =-8

La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno

dell’addendo di valore assoluto maggiore e valore assoluto uguale alla

differenza dei loro valori assoluti.

(-3)+(+4) = +1 + perché |+4|>|-3|

(+2)+(-5) =-3 - perché |-5|>|+2|

(+3)+(-5)+(-3) = -5

(*) Approfondimento

Un numero positivo può essere scritto benissimo senza segno.

Si può ricorrere alla scrittura semplificata di una somma algebrica

trasformandola in un’espressione con soli segni + e – semplicemente

ricordando che una parentesi preceduta dal segno + può essere eliminata.

(+4)+(+3) = 4 + 3

(+5)+(-7) = 5 – 7

7 + (4 – 1 + 3) = 7 + (+ 4 – 1 + 3) = 7 + 4 - 1 + 3

Sottrazione

La differenza tra due numeri relativi è il numero che si ottiene sommando al

minuendo

l’opposto del sottraendo.

In altre parole la sottrazione può essere ricondotta a un’addizione.

(+4)-(+6) = 4 – 6

(+5)-(-9) = 5 + 9

7 - (+ 4 – 5 + 3) = 7 - 4 + 5 – 3

Moltiplicazione e divisione

Il prodotto o il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha

valore assoluto uguale al prodotto o al quoziente dei valori assoluti e segno

positivo se i termini

dell’operazione sono concordi e segno negativo se i termini dell’operazione

sono discordi

(+4) · (+3) = +12 (+4) : (+2) = +2

(-2) · (-6) = +12 (-4) : (-2) = +2

(+5) · (-7) = -35 (-6) : (+2) = -3 (**) Approfondimento

Operazione di elevamento a potenza

La potenza di numeri relativi positivi è sempre positiva.

(+3)2 = (+3)·(+3) = +9 = 9

La potenza di numeri relativi negativi è positiva se l’esponente è pari, negativa

se

l’esponente è dispari.

(-3)2 = (-3)·(-3) = +9 = 9 + esponente pari

(-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27 - esponente dispari

Presta attenzione a non confondere i seguenti diversi tipi di scrittura:

(-3)2 = (-3)·(-3) = +9 diverso da -3

2 = -9

Valgono anche per i numeri relativi le proprietà delle potenze.

Il prodotto o il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha

valore assoluto uguale al prodotto o al quoziente dei valori assoluti e segno

positivo se i termini

dell’operazione sono concordi e segno negativo se i termini dell’operazione

sono discordi

(+4) · (+3) = +12 (+4) : (+2) = +2

(-2) · (-6) = +12 (-4) : (-2) = +2

(+5) · (-7) = -35 (-6) : (+2) = -3

APPROFONDIMENTO _______________________________________________________________________

(*)

Somma dei numeri relativi

Immagina di essere in un grande albergo con tanti piani che vanno verso l’alto

ed altrettanti verso il basso (possiamo solo immaginarlo). Il piano all’ ingresso è

il piano zero.

Entri nell’ascensore e ti chiedono di salire di 4 piani in alto, poi da quel piano,

devi scendere di 7 piani.

Sarai nella parte in alto o in basso rispetto allo zero?

Proviamo: salgo di 4, poi per scendere di sette ripercorro tutti e 4 i piani di

prima e ne mancano ancora 3 in basso.

Arrivo al terzo piano in basso, quindi -3.

Proviamo a fare +6-10 utilizzando l’ascensore 4 in basso, quindi -4

Proviamo a fare +2+1 utilizzando l’ascensore 3 in alto, quindi +3

Proviamo a fare -6-10 utilizzando l’ascensore 16 in basso, quindi -16 (**)

Prodotto

Facciamo un gioco di logica:

Inizio con una affermazione, ad esempio:

”Ho fame”

Poi nego quella affermazione :

(non) (ho fame)

All’affermazione iniziale è facile associare il segno +

Alla sua negazione è facile associare il segno –

Ora provate ad analizzare quanto affermo:

(non è vero che) (non) (ho fame)

Secondo voi, ho fame o no?

Si, ho fame! Notate quindi che con due negazioni non ho fatto altro che

affermare! Quindi meno e meno mi portano al +.

Ora provate ad analizzare quanto segue:

(non è vero che) (non è vero che) (non) (ho fame).

Difficile? No….non ho fame!

Tre meno mi portano ad un solo meno.

Generalizzando possiamo affermare che se il numero di negazioni è pari, il tutto

corrisponde ad una affermazione; se il numero di negazioni è dispari, il tutto

corrisponde ad una negazione.

Nel prodotto (e quoziente) di numeri relativi la logica è la stessa:

(-) (-) = ?

(-) (+) = ?

(+) (-) = ?

(+) (+) = ?

Esercizi ESERCIZIO 1

numero +10 -13 0 -15 +7 +1 -2 11 -5 +19

opposto

ESERCIZIO 2

Completa le seguenti frasi con “è” oppure con “non è” oppure con “ può

essere”.

è non è

La somma di due numeri relativi

positivi

un numero

positivo

La somma di due numeri relativi

negativi

un numero

positivo

La somma di due numeri relativi

opposti

un numero

positivo

Il prodotto di due numeri relativi

positivi

un numero

positivo

Il prodotto di due numeri relativi

negativi

un numero

positivo

Il prodotto di due numeri relativi

concordi

un numero

positivo

Il prodotto di due numeri relativi

discordi

un numero

positivo

1) 2 - 4 + (-1 + 2) + 4 + (2 – 4) – 2 + 2 + (3 – 4) =

2) 6 - [(-32) : (-8) + (-4) : (-2)] : (-2) =

3) (+3) + (-6) + (-2) + (+4) + (-5) =

4) (-5) + (-3) + (+5) + (+6) + (-3) =

5) (+2) + (-4) + (+5) - (-7) - (+2) =

6) (+3) - (-6) + (-2) - (+4) + (-5) =

7) (-18) - (+3) + (+7) - (+3) + (-15) - (-5) - (-35) =

8) (-111) - (+77) - (-35) + (-21) - (-88) + (+77) =

9) 5 +(– 60 + 17 + 51) + (+ 12 – 20) =

10) 2 – (+ 14 – 8 + 3 – 5) – (– 17 + 8 – 5) =

11) 15 - (7 - 5- 3) + (-2 + 4 - 5) - (10 - 9 + 12) =

12) -15 - (-10 + 4 - 9) - (-18 + 24) + (-10 + 9 - 12) =

13) 23 - (+ 13 -15 - 4) - (- 16 + 20) + (- 11 + 9) =

14) 2 · (- 21 - 5 + 27) - 5 · (9 - 11) - 3 · (- 15 + 18) =

15) (2 – 9 + 21) : (-7) - (22-3) · (-7 + 5) =

16) 6 + [- 4 + (- 5 + 7 - 7) + 1] + (- 4 + 13 - 8) =

17) 24 83584 6 132 167 8