Universita degli Studi di BariDipartimento di Scienze Economiche

APPUNTI DI INTRODUZIONE

ALL ’ ECONOMIA DELLE SCELTE

PUBBLICHE

Vito Peragine

23 maggio 2005

Indice

Introduzione iii

1 Le regole di voto: analisi descrittiva 11.1 La regola della unanimita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La regola della maggioranza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2.1 Il vincitore di Condorcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Il paradosso di Condorcet . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2.3 Paradosso di Condorcet e unimodalita delle preferenze . . 41.2.4 Il teorema dell’elettore mediano . . . . . . . . . . . . . .7

1.3 L’intensita delle preferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.4 Il logrolling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.5 Il voto a maggioranza sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . .121.6 Il sistema maggioritario a turno unico . . . . . . . . . . . . . . .141.7 Il sistema maggioritario a doppio turno . . . . . . . . . . . . . . .161.8 Il metodo di Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2 L’approccio assiomatico deduttivo 192.1 Il teorema dell’ impossibilita di Arrow . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Il teorema di Arrow e il benessere sociale . . . . . . . . .202.2 Il teorema dell’ impossibilita di Gibbard-Satterthwaite . . . . . .212.3 Il teorema di May . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Suggerimenti per ulteriori letture 23

Introduzione

Nei sistemi democratici a economia mista le decisioni economiche vengonoprese essenzialmente attraverso due meccanismi di scelta: il mercato e il

processo politico democratico. In particolare, le decisioni di prelievo e di spesada parte del settore pubblico vengono assunte attraverso un processo di sceltaoperato dal sistema politico.

L’oggetto del presente appuntoe l’analisi dei processi decisionali operati daun sistema politico democratico. In realta, i processi decisionali che hanno luogoin una democrazia sono complessi e dipendono dai comportamenti di una pluralitadi attori politici e istituzionali: gli elettori, i partiti politici, i legislatori, l’ammi-nistrazione, i gruppi di pressione. In un sistema politico ciascun attore agisce alfine di massimizzare la propria funzione obiettivo sulla base delle informazioni dicui dispone, e le decisioni finali sono il risultato della interazione dei diversi attorisulla base delle regole politiche democratiche vigenti.

In questo appunto, tuttavia, ci si limitera ad analizzare i processi politicientro un contesto estremamente semplificato: ci concentreremo sui sistemi didemocrazia diretta, in cui cioe il passaggio dalle volonta e dagli interessi presentinel corpo elettorale alle decisioni collettivee diretto; sara in particolare ignoratoil ruolo di mediazione che in una democrazia rappresentativae tipicamente svoltodai partiti politici. Lo studio sara condotto utilizzando un modello fortementestilizzato: si considerera un generico gruppo di individui che debba scegliere unatra diverse alternative possibili, e si assumera che ciascun individuo sia dotatodi un ordinamento di preferenza definito sull’insieme delle alternative. In questocontesto un processo di decisione collettivae allora semplicemente una regola divoto: un meccanismo che traduce (aggrega) l’insieme delle preferenze individualiin un ordinamento di preferenza dell’intero gruppo e quindi in una scelta collet-tiva. Le alternative tra cui scegliere sono interpretabili sia nel senso di politichei cui effetti ricadono direttamente sull’assemblea; sia nel senso di candidati daeleggere al fine di rappresentare l’assemblea in altre sedi.

L’analisi sara di tipo positivo e normativo: si cerchera di spiegare il funzio-namento delle diverse regole di voto, individuando i possibili esiti e le eventualidifficolta associate ai diversi meccanismi; si cerchera anche di valutare le diverseregole di voto sulla base di criteri di desiderabilita formulati in maniera esplicita.

Il modello

Si consideri una assembleaN composta dan individui, N = {1, ..., n}, chiamataa scegliere tram politiche alternative: siaX l’insieme delle politiche ex, y, z, ...le varie opzioni o politiche possibili,X = {x, y, z, ...}.

IV CAPITOLO 0

Si supponga inoltre che ciascun individuoi in N sia dotato di un ordinamentodi preferenza sull’insieme delle politicheX : Âi e l’ordinamento di preferen-za dell’elettorei, e {Â1,Â2, ... Âi, ...,Ân} l’insieme delle preferenze individu-ali, chiamato ancheprofilo di preferenze. Per ogni individuoi si assumera chel’ordinamento di preferenza sia completo, transitivo e lineare: la completezzaimplica la capacita di esprimere un giudizio in merito a qualsiasi confronto tradue opzioni; la transitivita e un requisito di coerenza; la linearita implica che lepreferenze siano sempre di tipo forte: non ci sono cioe casi di indifferenza traopzioni. Quest’ultima ipotesi, pur non essendo cruciale per i risultati, semplificafortemente l’esposizione.

Sia infineÂS l’ordinamento di preferenza dell’assembleaN . Una regola divoto potra allora essere rappresentata come una funzione la quale, per qualsiasi in-sieme di politicheX, associ un ordinamento di preferenza socialeÂS a un profilodi preferenze individuali.

CAPITOLO 1Le regole di voto:analisi descrittiva

1.1 La regola della unanimita

In base alla regola dell’unanimita, una alternativax e socialmente preferita a unaalternativay se e solo se tutti gli elettori preferisconox ay. Segue che, dato un

insieme di alternativeX, l’alternativax sara collettivamente scelta se e solo sex el’alternativa preferita da tutti gli elettori.E agevole rilevare la corrispondenza traregola dell’unanimita e criterio del Pareto: qualsiasi scelta effettuata in base allaregola dell’unanimita e efficiente nel senso di Pareto. Una qualunque altra regolache consenta di approvare un’opzione che none preferita all’unanimita violera ilcriterio paretiano.

Il criterio dell’efficienza sembrerebbe dunque spingere per l’adozione dell’u-nanimita quale regola di voto in un’assemblea. D’altronde, la richiesta di consen-so unanime potrebbe rendere il processo decisionale lungo e costoso; al limite,potrebbe impedire la scelta collettiva. Questo succede perche, vigente la regoladell’unanimita, a ciascun individuoe riconosciuto un potere di veto. Se, in ungruppo din persone,n − 1 elettori preferiscono l’opzionex a tutte le altre e unsolo elettore preferisce un’altra opzioney a x, in base alla regola dell’unanimitaquesto gruppo non potra effettuare alcuna scelta.

Proposizione 1.1.La regola dell’unanimita genera un ordinamento di preferenzasociale incompleto.

Ci si puo chiedere cosa accada quando, abbandonando la regola della unanimi-ta, si riduca progressivamente ilquorum, ossia la percentuale di voti necessariaper l’approvazione. In generale, piu elevato il quorum, piu prossima la regola divoto alla soddisfazione dell’efficienza paretiana - minore infatti il numero deglielettori che potrebbero essere danneggiati dalla decisione. Al tempo stesso, piuelevato il quorum, piu lungo e costoso il processo decisionale. Sie in presenza diun trade off: maggiore la capacita di prendere una decisione collettiva (o gradodi decisitivita della regola di voto), minore la capacita di rappresentare compiuta-mente le preferenze e gli interessi coinvolti nella scelta (grado dirappresentativitao democraticita della regola di voto). Come vedremo, si tratta di una tensione che

2 CAPITOLO 1

100%0

6 costi

CE + CDCDCE ) q

q∗

6costi

Figura 1.1 Determinazione percentuale ottima.Modello di Buchanan e Tullock (1962).

percorre profondamente i sistemi di decisione collettiva. Indicando le due voci diquesto trade off con CD (costi di decisione) e CE (costi esterni, ovvero costi sop-portati dalla minoranza),e possibile calcolare la percentuale ottima di voti comequella che minimizza il costo totale dato da CE+CD (si veda la Figura 1.1).

Evidentemente, l’applicazione concreta di questo modello richiede la cono-scenza delle curve CE e CD.

1.2 La regola della maggioranza

Nel caso vi sianon individui e due sole alternative, una regola comunementeaccettatae quella della maggioranza semplice: tra due alternativee scelta quellapreferita dalla maggioranza degli elettori, ovvero da un numeroN di elettori noninferiore al 50% piu uno dell’elettorato:

N ≥ n

2+ 1 (con n pari) (1.1)

N ≥ n− 12

+ 1 (con n dispari) (1.2)

Quando le alternative sono piu di due le cose possono complicarsi.

1.2.1 Il vincitore di Condorcet

Una generalizzazione della regola precedente al caso di piu due opzionie laseguente: datem alterative, vince quell’alternativax che batte tutte le altre in con-

Le regole di voto: analisi descrittiva 3

fronti di coppia secondo la regola della maggioranza semplice. Questa alternativa,se esiste,e chiamata ilvincitore di Condorcet.

Definizione 1.1 (La regola della maggioranza semplice.).Data un’assembleaN e due opzionix e y, x e preferita ay secondo la regola della maggioranzasemplice

x ÂM y (1.3)

se e solo sex riceve piu voti diy.

Definizione 1.2 (Il vincitore di Condorcet). . Dato un insieme di opzioniXx ∈ X e il vincitore di Condorcet se e solo se∀y 6= x ∈ X, x ÂM y.

Al fine di studiare le caratteristiche del voto a maggioranza semplice si suppongache un’assemblea di 3 individui,N = {A,B, C}, sia chiamata a pronunciar-si su tre possibili opzioni,X = {x, y, z}. Si supponga ancora che l’individuoA preferiscax a y e y a z (e, data la transitivita delle preferenze individuali,preferiscax a z); che l’individuo B preferiscay a z e z a x; l’individuo C infinepreferiscax a z e z a y. Le preferenze dei tre individui sono sintetizzate nellatabella seguente:

Posizione Individui

A B C

I x y x

II y z z

III z x y

Ponendo in votazione le tre coppie{x, y}, {x, z} e{y, z} secondo la regola dellamaggioranza si ottengono le relazioni seguenti:

• x ÂM y• x ÂM z• y ÂM z

L’ordinamento di preferenza sociale sara cioex ÂM y ÂM z. Il vincitore di Con-dorcet in questo casoex. Si rilevi l’indipendenza del risultato dall’ordine seguitonelle votazioni.

Si supponga ora che le preferenze dell’individuoC cambino. La tabella seguenteriporta il nuovo profilo delle preferenze individuali.

Posizione Individui

A B C

I x y z

II y z x

III z x y

Ponendo ancora in votazione le tre coppie{x, y}, {x, z} e{y, z} secondo la regoladella maggioranza si ottiene il seguente risultato:

4 CAPITOLO 1

• x ÂM y• y ÂM z• z ÂM x

In base all’ordinamento di preferenza socialex e preferito ay e y e preferito az. Il presupposto della transitivita vorrebbe che x fosse a sua volta preferito az.In questo casox sarebbe il vincitore di Condorcet. Ma, come si rileva, esiste unamaggioranza che preferiscez ax. L’ordinamento sociale none transitivo e, comeconseguenza, non c’e un’alternativa preferita a tutte le altre. Non c’e un vincitoredi Condorcet. Pertanto, la regola del voto a maggioranza, espresso su coppie dialternative, puo portare a scelte sociali contraddittorie.Questo risultatoe noto comeParadosso del voto a maggioranza o Paradosso diCondorcet.

1.2.2 Il paradosso di Condorcet

Proposizione 1.2 (Paradosso di Condorcet).Pur in presenza di preferenze in-dividuali complete e transitive, il voto a maggioranza puo condurre a un ordina-mento di preferenza sociale intransitivo.

Questo risultato, dovuto a Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, meglio notocome marchese di Condorcet (1743-1794), mostra che, anche se le preferenzedei singoli votanti rispetto alle varie alternative sono complete e transitive, lavotazione a maggioranza puo produrre un ordinamento sociale circolare, in cuiciascuna delle tre alternativee in grado di vincere su tutte le altre (si veda laFigura 1.2).

Poiche la votazione a maggioranza su piu di due alternativee un sistemalargamente applicato in assisi locali, nazionali e sovranazionali, l’interesse delparadossoe evidente.

¾j

x

y

z

*

Figura 1.2 Ordinamento sociale circolare.

1.2.3 Paradosso di Condorcet e unimodalita delle preferenze

E opportuno esaminare i motivi della mancata esistenza di un vincitore globalenel voto a maggioranza.Si supponga che le alternative in votazione siano rappresentabili lungo un’unicadimensione, dal valore piu piccolo a quello piu grande, oppure graficamente dasinistra verso destra. Si pensi, per esempio, a livelli via via crescenti di spesa

Le regole di voto: analisi descrittiva 5

pubblica, oppure a quantita diverse di bene pubblico da produrre. Si suppongapure che sia possibile parlare di distanza tra le diverse alternative: data una coppiadi alternative{x, y}, siad (x, y) la distanza trax ey. E possibile ora introdurre ledefinizioni di politica ideale e di preferenze unimodali.

Definizione 1.3 (Alternative ideali). L’alternativa x ∈ X e l’alternativa idealeper l’individuo i se e solo se,∀y 6= x ∈ X, x Âi y.

Definizione 1.4 (Preferenze unimodali).Un ordinamento di preferenza su uninsieme di opzioni Xe unimodale se e solo se, data l’alternativa idealex ∈ X,per ogni coppia di alternativey, z ∈ X e tali che:(i) y < x ez < x oppure(ii) y > x ez > x,

d (x, y) > d (x, z) ⇔ z  y (1.4)

Per esempio un ordinamento di preferenzae unimodale quando esiste una alter-nativa ideale, e le altre alternative sono classificate in base alla distanza rispet-to a questa. Un profilo di preferenzee unimodale se tutti gli individui hannopreferenze unimodali.

Le Figure 1.3 e 1.4 riportano, rispettivamente, casi di preferenze unimodali emultimodali.

La unimodalita delle preferenze individuali appare ipotesi del tutto plausibilein alcuni contesti, estremamente improbabile in altri. In particolare, la multi-modalita delle preferenzee frequente nei casi in cui lo spazio politico sia mul-tidimensionale - ciascuna opzione rappresenta in verita una pluralita di aspetti edimensioni da valutare - ovvero nel caso si tratti di politiche distributive. Nelseguito sono riportati due esempi atti a esemplificare i due casi.

Esempio 1.1 (Preferenze unimodali).Nel primo esempio, si consideri il voto suuna questione politica unidimensionale: la spesa pubblica per la difesa. Vi sianotre possibili livelli di spesa,(100, 50, 30) , e si ipotizzi che l’intero corpo elet-torale sia diviso in tre gruppi. La politica ideale del primo gruppo sia 100, quelladel secondo sia 50, quella del terzo sia infine 30. Appare del tutto ragionevoleipotizzare che l’ordinamento completo del I gruppo sara 100 Â 50 Â 30, quelladel II gruppo50 Â 30 Â 100, quella del III infine30 Â 50 Â 100.

Il voto a maggioranza su coppie di alternative permettera di ottenere un ordi-namento sociale completo e un vincitore di Condorcet, la politica di spesa ugualea 50.

Esempio 1.2 (Preferenze non unimodali).Si considerino tre individui(A,B,C)i quali debbano dividersi una somma pari a 100. Si supponga vi siano tre opzionipossibili (x, y, z), corrispondenti a tre diverse ipotesi distributive: Assumendomonotonicita e razionalita delle preferenze individuali, il profilo di preferenze diquesta collettivita per le tre opzioni sara il seguente:

6 CAPITOLO 1

-

6

0

B

A

II

C

x z

I

III

y

Posizioni Votanti

A B C

I x y z

II y x y

II z z x

Figura 1.3 Esempio di preferenze unimodali.

• Preferenze diA : x Âa y Âa z• Preferenze diB : y Âb z Âb x• Preferenze diC : z Âc x Âc y

Votando a maggioranza si otterra il seguente risultato:x ÂM y, y ÂM z ez ÂM x! Le preferenze sono multimodali e il voto a maggioranza porta agliesiti paradossali previsti da Condorcet.

Opzioni Individui

A B C

x 50 20 30

y 30 50 20

z 20 30 50

Il seguente teorema stabilisce la rilevanza della unimodalita delle preferenze egeneralizza il risultato dei due esempi precedenti.

Teorema 1.1 (D. Black, 1948).Se le preferenze sono unimodali, allora esiste unvincitore di Condorcet.

Le regole di voto: analisi descrittiva 7

-

6

0

A

B

C

x y z

I

II

III

Posizioni Votanti

A B C

I x y z

II z x y

II y z x

Figura 1.4 Esempio di preferenze multimodali.

Si noti che la unimodalita del profilo di preferenzee una condizione sufficiente manon necessaria per l’esistenza di un Vincitore di Condorcet. Se vie unimodalita,certamente non vi saranno cicli. Se non vie unimodalita, e probabile, ma noncerto che vi sia un ciclo. Quantoe probabile? La probabilita che vi sia un cicloaumenta con il numero delle politiche (alternative). D’altronde, a parita di nu-mero di politiche, maggiore l’omogeneita delle preferenze individuali , minore lapossibilita di cicli.

1.2.4 Il teorema dell’elettore mediano

Data un’assemblea e un insieme di opzioni rappresentabili lungo una dimensione,si definisce elettore mediano l’elettore tale che la meta dei componenti l’assem-blea preferisce opzioni a sinistra e la meta opzioni a destra rispetto a quella da luipreferita.

Definizione 1.5 (Elettore mediano).Sia dato un insieme di politiche unidimen-sionali X e un ’assembleaN composta dan individui; sia x∗i ∈ X la politicaideale di un generico individuoi appartenente all’assembleaN e siaX∗ l’in-sieme delle politiche ideali. Si consideri ora un individuom ∈ N , la cui politica

8 CAPITOLO 1

ideale e indicata daxm. Sia NR il numero di individui la cui politica idealee maggiore dixm ∈ X∗ (in formule, NR = |{i ∈ N : x∗i ≥ xm}|) e sia NL

il numero di individui la cui politica idealee minore dixm ∈ X∗(in formule,NL = |{i ∈ N : xm ≥ x∗i }|). L’individuo m ∈ N e l’elettore mediano se e soloseNR ≥ n

2 eNL ≥ n2 .

Teorema 1.2 (Teorema dell’elettore mediano).Dato uno spazio politico unidi-mensionale e un profilo di preferenze unimodali, la politica ideale dell’elettoremediano sara la politica vincente con la regola della maggioranza.

Per illustrare il teorema, si consideri un’assemblea di 15 individui che debba de-cidere la quantita ottimale di un bene pubblico da produrre. Il costo medio diproduzioneCM , che si assume essere costante, sara diviso in parti uguali tra icomponenti l’assemblea: siaCMi = CM

15 il costo medio procapite, coincidentecon il costo marginale individuale. Per ciascun individuo la quantita ottima saraindividuata dall’uguaglianza tra costo marginaleCMi e beneficio marginale. Sup-poniamo esistano 5 gruppi di individui nell’assemblea, ciascun gruppo caratteriz-zato da una uguale funzione del beneficio marginale. La struttura dei gruppie laseguente:

Gruppi I II III IV V

Numero componenti 2 3 2 1 7

La Figura 1.5 riporta le funzioni di benefico marginale individuale per ciascungruppo. Le intersezioni con la curva del costo marginale individualepermettono di individuare le quantita ottimali per ciascun gruppo di elettori:(xI , xII , xIII , xIV , xV ). Per ciascun individuo, la quantita ottimale corrispondeall’uguaglianza tra beneficio e costo marginale: allontanandosi progressivamentedal punto di ottimo, si allarga la forbice tra costi e benefici unitari e dunque siriduce il surplus. Le preferenze degli agenti sono quindi di tipo unimodale.

Supponiamo ora si voti per decidere la quantita di bene pubblico da produrre.Ci sono diverse modalita di applicazione della regola della maggioranza, le qualipero portano a risultati equivalenti. Supponiamo si voti su incrementi succes-sivi di produzione: si inizia votando sulla opportunita di produrre la quantita xI ,quindi si prosegue con la votazione suxII , e cosı via. Ciascun elettore valuterapositivamente la proposta fino a quando il beneficio marginale supera o eguaglia ilcosto marginale. Dunque, la prima proposta sara approvata all’unanimita: in cor-rispondenza dixI tutti gli individui hanno beneficio marginale maggiore o ugualeal costo marginale; la seconda (il passaggio daxI axII) sara approvata dai gruppiII, III, IV e V ma avra il voto contrario del gruppo I: dunque la proposta passeracon una maggioranza di 13 contro 2.E agevole verificare che saranno accettati amaggioranza tutti gli incrementi fino alla quantitaXIV . L’ultima votazione riguar-da il passaggio daxIV a xV : voteranno contro i membri dei gruppi I, II, III, eIV; voteranno a favore i membri del gruppo V. Dunque la proposta sara battutacon una maggioranza di 8 contro 7. In definitiva, sara scelta la quantitaxIV . Unaprocedura alternativa consiste nel mettere in votazione a maggioranza le diverse

Le regole di voto: analisi descrittiva 9

quantita0

costi

costo medio

N

xV

BMV (7)

xIII xIVxII

BMI (2)

costo medio

BMIV (1)

benefici

?

-

BMIII (2)

xI

6

66

66

BMII (3)

6

6

Gruppi Alternative sottoposte al voto

xI xII xIII xIV xV

I (2 componenti) si no no no no

II (3 componenti) si si no no no

III (2 componenti) si si si no no

IV (1 componenti) si si si si no

V (7 componenti) si si si si si

Totale favorevoli 15 13 10 8 7

Totale sfavorevoli 0 2 5 7 8

Figura 1.5 Teorema dell’elettore mediano.

quantita di bene pubblico a due a due, individuando cosı il vincitore globale: lostudente potra verificare chexIV risulta essere l’unica alternativa che batte tuttele altre nei confronti di coppia. In sintesi, con il voto a maggioranza prevalel’alternativa xIV , che e l’alternativa preferita dall’unico componente del grup-po IV: l’elettore mediano, cioe quell’elettore che occupa la posizione mediananella distribuzione delle preferenze per il bene pubblico tra i componenti l’assem-blea. Risulta cioe dimostrata la prevalenza dell’elettore mediano: pur in assenzadi votazione o di simulazione della votazione, il teorema dell’elettore medianoavrebbe potuto indicarci i risultati del voto.

Si rilevi la differenza tra alternativa preferita dall’elettore mediano e alternati-va mediana. Nell’esempio precedente l’alternativa preferita dall’elettore medianoe la quantitaxIV , l’alternativa mediana inveceexIII .

10 CAPITOLO 1

Esempio 1.3.Si consideri una societa in cui gli individui abbiano delle preferenzeunimodali intorno al livello di spesa pubblica. Nella tabella seguente per ciascungruppo di elettorie riportata la numerosita del gruppo e la politica ideale.

Votanti per gruppo 3 3 3 2 1 1 2 1 2 1 1

Spesa pubblica ideale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Il vincitore di Condorcet corrispondera all’alternativa preferita dall’elettore medi-ano, cioe la politica 3. L’alternativa mediana invecee 5.

Il teorema dell’elettore mediano ha una estrema importanza per analisi di caratterepredittivo. Data un’assemblea elettorale e un insieme di politiche possibili, sarasufficiente conoscere la politica ideale dell’elettore mediano per prevedere l’esi-to di un voto a maggioranza. Rimarrebbe la difficolta di conoscere le politicheideali di tutti i componenti l’assemblea, al fine di individuare l’elettore mediano.Tuttavia, queste informazioni non sono sempre necessarie: la posizione medi-anae individuabile spesso sulla base di altre variabili individuali osservabili. Unesempio servira a illustrare il punto.

Supponiamo si tratti di decidere la quantita di risorse pubbliche da destinarealle politiche sociali, e supponiamo che il livello ideale di spesa sociale sia, perogni individuo, funzione decrescente del reddito: i piu ricchi preferiranno menospesa sociale, e viceversa. Per conoscere il livello di spesa sociale che sara votatoa maggioranza none necessario simulare le votazioni; sara sufficiente conoscerela politica ideale che occupa la posizione mediana tra le politiche ideali dei com-ponenti la societa. Ma, data la relazione tra livello del reddito e preferenze sullaspesa sociale, la posizione mediana tra le politiche ideali coincidera con la politicapreferita dall’individuo che occupa la posizione mediana nella distribuzione deiredditi della societa. Sara quindi sufficiente conoscere la distribuzione dei redditi,e le preferenze dell’individuo che occupa la posizione mediana, per prevedere illivello di spesa sociale che sara votato a maggioranza.

1.3 L’intensita delle preferenze

Nella descrizione del voto a maggioranza le decisioni collettive si sono basate su-gli ordinamenti di preferenza degli individui. In altre parole, la base informativaesclusiva delle decisioni di gruppoe stata costituita dalle preferenze individua-li. Ora, un ordinamento di preferenza traduce la desiderabilita individuale (o ilbenessere individuale) delle diverse opzioni in informazioni di carattere esclu-sivamente ordinale. Ogni informazione circa l’intensita delle preferenze vieneesclusa alla radice. Questa parsimonia informativa puo condurre un’assembleaad assumere decisioni altamente indesiderabili. Illustriamo il problema con unesempio.

Esempio 1.4.Supponiamo che si debba votare tra due opzionix e y, e che leutilit a di tre individui (A, B, C) componenti la collettivita siano le seguenti:

Le regole di voto: analisi descrittiva 11

x y

Benefici A 1000 200

Benefici B −400 100

Benefici C −500 −400

Benefici sociali 100 −100

In questo caso se si votasse a maggioranza trax e non x, x verrebbe rigettataanche se il beneficio nettoe positivo; se si votasse tray e nony, y verrebbeaccettata anche se il beneficio nettoe negativo. Inoltre, se si dovesse scegliere trax ey, secondo la votazione a maggioranza si sceglierebbey anche sex comportaun beneficio netto maggiore. La ragione di queste potenziali inefficienze del votoa maggioranza risiede nel carattere puramente ordinale delle informazioni regi-strate con questa modalita di voto. Esiste una regola attraverso cui tener conto diinformazioni di natura cardinale sulla desiderabilita delle diverse opzioni?

1.4 Il logrolling

Un metodo indiretto per rivelare l’intensita delle preferenze, dunque estrarre in-formazioni di natura cardinale,e il log-rolling, ossia lo scambio di voti.E statosuggerito che, allo stesso modo in cui nei mercati privati l’intensita delle prefe-renze viene rivelata mediante il meccanismo del prezzo, si potrebbe tener contodell’intensita delle preferenze mediante la compravendita del voto.

Supponiamo ci siano tre individui A, B e C che debbano scegliere tra:x, pro-durre un bene che beneficia B (oppure no); ey, produrre un bene che beneficia C(oppure no). Supponiamo che il costo sia di 600 euro e sia egualmente distribuito,200 euro a testa, e i benefici siano pari a 700 euro. Avremo dunque:

x non x y non y

Benefici A -200 0 -200 0

Benefici B 500 0 -200 0

Benefici C -200 0 500 0

Benefici sociali +100 0 +100 0

Dunque, siax chey implicano un beneficio sociale positivo, ma sarebbero bocciatidal voto a maggioranza. Si suggerisce dunque che se B e C potessero “barattare”il voto, si rifletterebbe l’intensita delle preferenze e si otterrebbero decisioni piuefficienti: B voterebbe Si pery e C voterebbe Si perx, poiche il loro vantaggionetto sarebbe di 300 euro, e si raggiungerebbe la scelta efficiente.

Tuttavia, anche il logrolling puo portare a scelte inefficienti. Lo scambio delvoto impone infatti un costo agli altri individui non coinvolti nello scambio, eche non viene considerato nelle scelte individuali (si tratta di una esternalita). Inparticolare, non vie nessuna garanzia che il vantaggio dello scambio di voto traB e C superi il costo imposto a A. Supponiamo per esempio che il costo del benesia di 900 invece di 700:

12 CAPITOLO 1

x y

Benefici A -300 -300

Benefici B 400 -300

Benefici C -300 400

Benefici sociali -200 -200

Il beneficio netto per B e C nel caso siax chey vincanoe sempre positivo, +100,ma il benefico totale nettoe negativo, quindi lo scambio del voto ha portato a unadecisione inefficiente.

Il logrolling puo portare a costi elevatissimi di inefficienza nelle decisionipubbliche, specialmente quando si debba decidere tra progetti il cui costo siadiviso tra molte parti.

Un secondo limite del logrolling concerne la stabilita dell’equilibrio. Il log-rolling non risolve il problema dei cicli.Si consideri l’esempio precedente:

x non x y non y

Benefici A -200 0 -200 0

Benefici B 500 0 -200 0

Benefici C -200 0 500 0

Benefici sociali +100 0 +100 0

Ora si supponga abbiano luogo gli scambi.

Scambi Coppiavincente

Coppiaperdente

Votanti chescambiano

Benefici A Benefici B Benefici C

1 x,y non x, non y B e C -400 300 300

2 x, non y x,y A e B -200 500 -200

3 non x, non y x, non y A e C 0 0 0

La situazione di partenza e data dalla coppia (non x, non y).Poiche (x, y)Â (non x, non y), lo scambio n.1 sara effettuato. Tuttavia, la coppia(x, non y) e preferita alla coppia (x, y), dunque un secondo scambio sara effettua-to. Infine, (non x, non y) Â (x, non y), quindi un terzo scambio sara effettuato.Ma (non x, non y) era la situazione di partenza, dominata dalla coppia (x, y):(x, y) Â (non x, non y). Si e in presenza di un ciclo!

Dunque, il sistema di voto a maggioranza semplice, anche attraverso il log-rolling, puo generare cicli e quindi puo risultare nell’assenza di un vincitore.

Rivolgiamo ora la nostra attenzione a delle regole di voto che assicurinosempre un vincitore.

1.5 Il voto a maggioranza sequenziale

Una possibile soluzione al paradosso di Condorcete rappresentata dal voto amaggioranza sequenziale: secondo questa regola, dopo il voto a maggioranzasu una coppia di alternative, l’alternativa sconfitta viene eliminata, mentre la

Le regole di voto: analisi descrittiva 13

vincente viene opposta a un’altra; questo processo continua fino a quando nonsiano esaurite le opzioni disponibili. Evidentemente, un aspetto decisivo in questaprocedurae l’ordine di votazione.

Esempio 1.5.Le preferenze di tre individui{A, B, C} su tre alternative{x, y, z}sono sintetizzate nella tabella seguente:

Posizione Individui

A B C

I x y z

II y z x

III z x y

Si considerino ora i tre possibili ordini di voto, individuando i relativi vincitori:

1. Ordine del giorno 1:x controy, il vincente controz.

• x controy : x ÂM y → y eliminata• x controz : z ÂM x → x eliminata• Risultato finale : vincez.

2. Ordine del giorno 2:x controz, il vincente controy.

• x controz: z ÂM x → x eliminata• z controy: y ÂM z → z eliminata• Risultato finale : vincey.

3. Ordine del giorno 3:z controy, il vincente controx.

• z controy: y ÂM z → z eliminata• x controy: x ÂM y → y eliminata• Risultato finale : vincex.

Un problema di questa regolae l’arbitrarieta del risultato o “dipendenza dal sen-tiero”: a seconda dell’o.d.g. adottato, tutte le opzioni potrebbero risultare vincitri-ci. Dunque la scelta dipende dal caso oppure dall’abilita di chi gestisce l’o.d.g, nelcaso conosca le preferenze individuali. Tipicamente, le opzioni votate per ultimehanno minor probabilita di essere battute e quindi eliminate: il presidente dellacommissione, cioe chi decide l’ordine del giorno,e incentivato a far votare la pro-pria opzione preferita alla fine. Questo risultato spiega in parte l’importanza dellebattaglie procedurali che hanno luogo nelle assemblee sull’ordine delle votazioni.

La dipendenza del risultato dall’ordine di votazione none l’unico limite diquesta regola decisionale.

Esempio 1.6.Supponiamo ci siano 4 alternative(x, y, z, s), e il seguente profilodi preferenze:

14 CAPITOLO 1

Posizione Individui

A B C

I x z y

II y x s

III z y z

IV s s x

Supponiamo si voti con il seguente ordine del giorno: primax controy, il vin-cente controz, il vincente contros. L’opzione socialmente preferita, dato il pro-filo di preferenze, sarebbes. Si noti tuttavia chey e preferita as da tutti e tregli individui: la regola della maggioranza sequenziale viola il principio Pare-tiano o dell’unanimita! Tutti preferisconoy a s, e tuttavia questa regola conducel’assemblea a sceglieres.

Sembra proprio che il paradosso di Condorcet non lasci scelta. O si votano tuttele alternative una contro l’altra, e allora puo succedere che nessuna ottenga lamaggioranza. Oppure si votano le varie alternative in un certo ordine, e allorala vincitrice dipende dall’ordine scelto. Come se cio non bastasse, un particolareordine di votazioni puo permettere a un’alternativa di vincere anche quando neesista un’altra che lee unanimemente preferita.

Un ulteriore problema del voto a maggioranza sequenzialee il seguente. Siconsideri il caso dell’Esempio 1.6, e si assuma il seguente ordine del giorno:ycontroz, il vincente controx, il vincente contros.

Se tutti i votanti votassero sinceramente,x vincerebbe. Consideriamo ora ilvotante C. Per C,x e la peggiore opzione possibile; se votasse perz invece chepery nel primo voto, alla fine vincerebbes, che egli preferisce ax. L’individuo Cha incentivo a votare in maniera strategica, cioe a votare in maniera non sincera.In questo caso si dice che il sistema a maggioranza sequenziale none a prova distrategia (strategy-proof): non c’e un incentivo per gli individui a votare secondole loro vere preferenze.

Definizione 1.6.Una regola di votoe a prova di strategia quando ogni agente haincentivo a rivelare correttamente le proprie preferenze.

1.6 Il sistema maggioritario a turno unico

Con questo metodo, si presentano tutte le alternative simultaneamente, ciascunvotante dichiara la propria alternativa preferita, e vince quella che riceve il mag-gior numero di voti. A differenza dei metodi precedenti, in cui era richiesta laconoscenza dell’intero ordinamento di preferenza di ciascun elettore, in questocasoe sufficiente conoscere l’insieme delle alternative ideali.

Questo sistema garantisce l’esistenza di un vincitore, il quale risulta essereindipendente dall’ordine seguito nella votazione. Inoltree soddisfatto il criteriodell’unanimita.

Le regole di voto: analisi descrittiva 15

Anche questo sistema, tuttavia, presenta dei limiti rilevanti. In primo luogo ilvincitore con il maggioritario potrebbe non essere il vincitore di Condorcet, cioel’opzione che batte tutte le altre in confronti diretti a maggioranza.

Esempio 1.7.Si considerino quindici votanti, che debbano scegliere rispetto allealternativex, y e z. Supponiamo che gli ordini di preferenze individuali siano iseguenti:

• 6 votanti preferisconox ay, ey az;• 4 votanti preferisconoy az, ez ax;• 5 votanti preferisconoz ay, ey ax.

Posizione N. votanti

6 4 5

I x y z

II y z y

III z x x

Quando si pongano in votazione le alternative con il maggioritario a turno unico,x vince suz per 6 a 5, ez vince suy per 5 a 4:e scelta l’alternativax. Quandoinvece si pongano in votazione le alternative a maggioranza, alloray vince suzper 10 a 5,z vince sux per 9 a 6, e coerentementey vince sux per 9 a 6:e sceltal’alternativay. I due sistemi di votazione producono dunque ordinamenti socialidiversi, e diversi vincitori.

Un secondo limite del sistema maggioritario a turno unico risiede nella possibilitache risulti vincitrice un’opzione chee fra le meno preferite dagli elettori.

Esempio 1.8.Si considerino diciassette votanti, che debbano scegliere rispettoalle alternative(x, y, z, s, t) . La tabella seguente riporta le preferenze per i diversigruppi.

Posizione N. votanti

5 2 3 3 4

I x y z s t

II y z y y y

III z s s z z

IV s t t t s

V t x x x x

Il sistema maggioritario scegliex. Ma x e giudicata l’opzione peggiore da 12votanti su 17! Per ogni altra alternativa, vie una maggioranza che la preferiscead x. In generale, i limiti dei sistemi maggioritari dipendono dal fatto che nel-la votazione si considera soltanto una parte dell’informazione contenuta nei vari

16 CAPITOLO 1

ordini di preferenza individuali: precisamente, l’alternativa ideale. In effetti, ilsistema maggioritarioe indicato solo nel caso di due alternative. Questa consid-erazione porta a formulare il prossimo meccanismo di voto.

1.7 Il sistema maggioritario a doppio turno

Con questo metodo, nel primo turno ciascun individuo vota per un’unica alter-nativa. Se esiste un’alternativa con una maggioranza superiore al 50% dei voti,questae l’alternativa vincente. Altrimenti, si vota una seconda volta a maggio-ranza semplice per le due opzioni che nel primo turno hanno ottenuto il maggiornumero di voti. Il vincitore di questo secondo turno vince l’elezione.Anche questo sistema garantisce l’esistenza di un vincitore, il quale risulta essereindipendente dall’ordine seguito nella votazione. Inoltree soddisfatto il criteriodell’unanimita.

Anche con il maggioritario a doppio turno il vincitore potrebbe non coin-cidere con il vincitore di Condorcet, cioe l’opzione che batte tutte le altre in con-fronti diretti a maggioranza. Nel caso dell’Esempio 1.8 il sistema maggioritario adoppio turno porterebbe a scegliet invece diy).

Il maggioritario a doppio turno puo, inoltre, dar luogo al paradosso descrittodall’Esempio 1.9:

Esempio 1.9.Si considerino diciassette votanti, che debbano scegliere rispettoalle alternative(x, y, z). La tabella seguente riporta le preferenze per i diversigruppi.

Posizione N. votanti

6 5 4 2

I x z y y

II y x z x

III z y x z

Al primo turno le opzionix e y ricevono il massimo numero di voti; al secondoturno si vota trax ey e vincex.

Supponiamo ora che le preferenze dei due elettori dell’ultimo gruppo cambi-no, diventando le seguenti:x  y  z.

Votando,x e z vincerebbero la prima tornata, ez la seconda. Dunque, nono-stante la gente abbia cambiato le proprie preferenze in favore dix rispetto diy, xnon vince piu e invece vincey. None rispettata la seguente proprieta.

Monotonicit a: se l’opzionex vince secondo una certa regola elettorale, e l’in-tensita della preferenza perx aumenta per qualche elettore senza diminuire pernessun altro,x deve continuare a vincere.

Le regole di voto: analisi descrittiva 17

Infine il sistema maggioritario none a prova di strategia: con riferimento all’E-sempio 1.9, i due votanti dell’ultimo gruppo avrebbero incentivo a scegliere comenel primo caso, ammesso che le vere preferenze siano come nel secondo.

1.8 Il metodo di Borda

Il metodo di Bordae il piu semplice tra i sistemi di voto ponderato, sistemi chepermettono l’espressione della intensita delle preferenze individuali sulle diversealternative attraverso l’esplicita attribuzione di pesi.

Supponiamo ci sianon alternative. Ciascun votante, classificando le alterna-tive in base alle proprie preferenze, attribuisce alla prima in classifican punti, allasecondan− 1 punti, alla terzan− 3, e cosı via. Vince l’alternativa che registra ilmaggior punteggio.

Esempio 1.10.Le preferenze di tre agenti{A,B,C} rispetto a 4 alternative{x, y,z, s} sono:

• Preferenze diA : x Âa y Âa z Âa s;• Preferenze diB : y Âb z Âb s Âb x;• Preferenze diC : z Âc s Âc x Âc y.

Ora vediamo il punteggio attribuito alle 4 alternative con il metodo di Borda:

x y z s

A 4 3 2 1

B 1 4 3 2

C 2 1 4 3

Totale 7 8 9 6

In questo caso vince l’alternativaz.

Il metodo di Borda none a prova di strategia. Nel caso dell’esempio precedente,l’individuo A ha incentivo a mentire: dichiarando (strategicamente) di preferireyax es az, farebbe vincerey invece diz.

Supponiamo ora che le preferenze dell’individuo A cambino effettivamente ediventino le seguenti:y Âa x Âa s Âa z. L’esito di questo cambiamento sara cheora il vincitoreey invece diz. Si noti che la preferenze di tutti gli individui - e inparticolare dell’individuoA - tray ez none cambiata:e cambiata la posizione diy e diz rispetto ad altre alternative, ma none cambiata in alcun modo la preferen-za tra le due. E tuttavia l’ordinamento sociale tray ez e cambiato. Si puo ritenereche questa proprieta sia indesiderabile. Quando si verifica questo caso allora laregola di voto non rispetta la seguente proprieta:

Indipendenza dalle Alternative Irrilevanti (IAI): la preferenza sociale tra duealternativex e y deve dipendere solo dalle preferenze individuali su tali alterna-tive.

CAPITOLO 2

L’approccioassiomatico deduttivo

I paragrafi precedenti hanno dimostrato la difficolta di disegnare una regola divoto soddisfacente. Tutte le regole di voto considerate, pur presentando pregi

di rilievo, si caratterizzano per limiti e difetti.In questo paragrafo si seguira un percorso inverso: si formuleranno delle

proprieta eticamente desiderabili (assiomi), e ci si porra la seguente domanda:quale regola (o quale insieme di regole) di voto soddisfa queste proprieta di base?Si tratta cioe di dedurre, attraverso un processo logico, il meccanismo di decisionecollettiva da alcuni principi largamente condivisibili.

Il metodo assiomatico, introdotto nella teoria delle scelte collettive da K. Ar-row (1951), scompone una regola di voto in un insieme di assiomi elementari,ottenendo in tal modo due diversi risultati: rende trasparenti i giudizi di valoreimpliciti in una regola di voto; rende chiaro e rigoroso il confronto tra meccanis-mi di voto alternativi.E dunque un contributo molto ricco alla riflessione logica eal confronto ragionato.

2.1 Il teorema dell’ impossibilita di Arrow

Si tratta del risultato piu importante nella teoria delle scelte collettive, sia per ilmetodo assiomatico per la prima volta introdotto in questo campo di studi, sia peril risultato sorprendente e paradossale messo in luce.

Il modello e quello gia utilizzato nelle pagine precedenti: una assembleaNcomposta dan individui deve scegliere tram politiche alternative, appartenentiall’insiemeX. Ciascun individuoi in N e dotato di un ordinamento di preferen-za, completo e transitivo, sull’insiemeX. Âi e l’ordinamento di preferenza del-l’elettore i, {Â1, ...,Ân} il profilo di preferenzeindividuali eÂS l’ordinamentodi preferenza sociale. Una regola di votoe una funzione la quale, per qualsiasi in-sieme di politicheX, associ un ordinamento di preferenza socialeÂSa un profilodi preferenze individuali.

Arrow K. (1951) formula il seguente problema: esiste una regola di voto la

20 CAPITOLO 2

quale soddisfi contemporaneamente un insieme di proprieta desiderabili?

Le proprieta desiderabili (assiomi) proposti da Arrow sono i seguenti:

1. Completezza e transitivita dell’ordinamento di preferenza collettivoÂS ;2. Dominio non ristretto : ammissibilita di qualsiasi ordinamento di preferenza

individuale, purche completo e transitivo;3. Unanimit a: se per tutti gli individui xe preferito a y, allora anche per la societa

x deve essere preferito a y;4. Assenza di dittatura: non esiste alcun individuoi in N il cui ordinamento

di preferenzaÂi suX coincide sempre e comunque con l’ordinamento socialeÂS ;

5. Indipendenza dalle alternative irrilevanti : la preferenza sociale tra due alter-native x e y deve dipendere solo dalle preferenze individuali su tali alternative.

Arrow (1951) dimostra che i 5 assiomi precedenti sono tra loro incompatibili.

Teorema 2.1 (Teorema di Impossibilita di Arrow). Non esiste alcuna regola divoto la quale soddisfi le condizioni 1-5.

Per una semplice dimostrazione, si veda Dardanoni (2002).Dunque, non esiste alcuna regola di voto la quale possa soddisfare contem-

poraneamente le cinque proprieta formulate. Ogni regola di voto, secondo Arrow,deve necessariamente violare almeno una di queste proprieta. Per esempio, la re-gola dittatoriale, in cui un individuo sceglie per tutti, rispetterebbe tutte le altrecondizioni.

Il teorema svela l’esistenza di una difficolta profonda dei sistemi democratici,rendendo tra l’altro manifesta l’esistenza di un conflitto tra esigenze di rappresen-tativita democratica delle regole di voto (espresse dagli assiomi 3 e 4) ed esigenzedi decisivita delle stesse (espresse dagli assiomi 1 e 2). Si tratta di un risultato cer-tamente negativo. Tuttavia, il senso dei risultati assiomatici di impossibilita nonequello di suggerire la rinuncia alle richieste di fondo che sottendono le proprietaformulate. Un risultato di impossibilita individua il limite estremo cuie possibilespingersi con le diverse richieste espresse dagli assiomi. Indebolendo uno o piuassiomi, soluzioni positive sono possibili. E in effetti la ricchissima letteraturanata dal teorema di Arrow ha dimostrato come, indebolendo uno qualsiasi degliassiomi originari,e possibile ottenere risultati positivi, cioe regole elettorali. Ilteorema pero permette di individuare in maniera rigorosa a cosa si sta rinuncian-do con una qualsiasi delle regole di voto possibili.E quindi da interpretare comeuna paradigma di riferimento: ogni regola di votoe ora confrontabile con qualsiasialtra in un’unica griglia interpretativa.

2.1.1 Il teorema di Arrow e il benessere sociale

Il risultato dimostrato con il teorema di Arrow, e in genere la teoria delle sceltecollettive, e suscettibile di una interpretazione diversa da quella discussa fino a

L’approccio assiomatico deduttivo 21

ora. Piuttosto che di analisi dei processi decisionali che hanno luogo in una as-semblea di individui, il problema formulato da Arrow puo essere interpretato nelsenso di una modalita per aggregare gli interessi individuali in una espressionedell’interesse collettivo. Una regola di voto sarebbe, in questa interpretazione,una funzione che permette di passare dai livelli di interesse o benessere individu-ale a un livello di benessere collettivo: ossia una funzione del benessere socialewelfarista e individualista (si veda Longobardi-Peragine, 2005, cap.II). In que-sta interpretazione, il teorema segnalerebbe una difficolta nella costruzione di unanozione robusta e coerente di benessere sociale. Tuttavia, sotto questo profilointerpretativo gli assiomi proposti da Arrow appaiono meno cogenti. Appare inparticolar modo discutibile l’ultimo degli assiomi di Arrow, l’Indipendenza dalleAlternative Irrilevanti. Questo assioma in buona sostanza sancisce la parsimoniainformativa della regola di voto. Con l’assioma IAI non solo si esclude che la re-gola possa andare al di la di informazioni meramente ordinali circa le preferenzedegli individui; si esclude anche, in maniera decisiva, che sia possibile confrontarele posizioni dei diversi individui. Come dimostrato da Sen (1970), se si traduce lateoria di Arrow nel linguaggio delle utilita individuali, l’assioma IAI stabilisce chele utilita individuali siano ordinali e non confrontabili. Ora, evitare il confrontoed eventualmente la compensazione tra le posizioni dei diversi individui puo ap-parire scelta plausibile nelle regole di voto democratico. Tuttavia, questa sceltaappare moto piu discutibile quando si tratti di aggregare gli interessi individuali inun’unica nozione di bene o utilita collettiva. In questo campo, infatti, la nozionedi bene collettivo nasce - deve nascere - da uno sforzo di mediazione e di sintesidi interessi diversi. Ma rinunciando ai confronti inter-personali (con l’assiomaIAI), si rinuncia esattamente alla mediazione degli interessi; non stupisce quindiche in un contesto informativo talmente povero risulti impossibile una nozione dibenessere collettivo che sia sintesi degli interessi individuali.

Dunque, se interpretato nel senso del benessere sociale, il teorema di Arrownon dimostrerebbe l’impossibilita di una definizione coerente e condivisa di be-nessere collettivo. Piuttosto, sarebbe una prova della impossibilita di basare lanozione di benessere sociale su di una classe di informazioni individuali limitata.In aggiunta, il teorema mostra che la determinazione di che cosa sia possibile eche cosa no puo dipendere in modo cruciale da quelle che sono le informazioni dicui si tiene effettivamente conto nel prendere decisioni sociali.

2.2 Il teorema dell’ impossibilita di Gibbard-Satterthwai-te

Utilizzando lo stesso modello proposto da K. Arrow, Gibbard (1973) e Satterth-waite (1975) propongono i seguenti assiomi:

1. Decisivita dell’ordinamento di preferenza collettivoÂS : si richiede semplice-mente l’esistenza di un vincitore, e non di un ordinamento completo tra tutte lealternative sub-ottimali;

2. Dominio non ristretto ;

22 CAPITOLO 2

3. Assenza di dittatura;4. A prova di strategia.

Teorema 2.2 (Teorema di Gibbard- Satterthwaite).Non esiste alcuna regoladi decisione collettiva la quale soddisfi le condizioni 1-4.

Il teorema di Gibbard-Satterthwaite ha aperto la strada a una letteratura scientifi-ca molto ampia, nel campo dell’economia pubblica, in cui si cerca di disegnareregole e meccanismi pubblici in grado di incentivare gli agenti privati, individui eimprese, che in diversi contesti hanno rapporti con il settore pubblico, a rivelarecorrettamente le informazioni di cui dispongono.

2.3 Il teorema di May

Utilizzando lo stesso modello proposto da K. Arrow, May (1952) propone i seguen-ti assiomi:

1. Simmetria: le identita degli individui sono irrilevanti;2. Neutralit a: il nome delle alternative non altera il risultato (qualsiasi permu-

tazione applicata a tutte le preferenze individuali determina la stessa permu-tazione della preferenza sociale);

3. Monotonicit a.

Teorema 2.3 (Teorema di May).Il voto a maggioranza semplicee l’unica regoladi voto che soddisfa le proprieta 1-3.

Suggerimenti per ulteriori letture

I testi classici, gia’ citati nel testo, rimangono:

Arrow, K. (1951). Social Choice and Individual Values. New York: Wiley. (2aed., 1963).

Buchanan, J. e Tullock, G. (1962). The Calculus of Consent. The University ofMichigan Press, Ann Arbor.

Gibbard, A. (1973). “Manipulation of voting schemes”.Econometrica41: 587-601.

May, K. (1952). “A set of independent, necessary and sufficient conditions forsimple majority decision”.Econometrica20: 680-84.

Satterthwaite, M. A. (1975). “Strategy-proofness and Arrow’s conditions: ex-istence and correspondence theorems for voting procedures and social welfarefunctions”.Journal of Economic Theory10: 187-217.

Sen, A.K.(1970). Individual choice and Social Welfare. Holden-Day San Fran-cisco.

Si consiglia anche la lettura dei seguenti testi:

Dardanoni, V. (2002). “A pedagogical proof of Arrow’s impossibility theorem”.Social Choice and Welfare.

Roemer, J. (2001). Political Competition. Harvard University Press.

Sen, A.K. (1986). Scelta, benessere, equita. Il Mulino, Bologna.