APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA PER IL CORSO …stefanomandelli.altervista.org/ANALISI.pdfAPPUNTI DI...

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICAPER IL CORSO DI METODI

MATEMATICI

Stefano Mandelli

2

Dedicato a · · ·

Indice

1 Equazioni differenziali 91.1 Equazioni differenziali del prim’ordine . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Equazioni differenziali a variabili separabili . . . . . . . 101.1.3 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Equzioni differenziali di ordine K lineari a coeffienti costanti . . 121.2.1 Omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Non omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Successioni di funzioni 152.1 Definizione e introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Serie di Funzioni (di potenze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Esercizi di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Teoremi sulle serie di Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Esempi di serie di Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Serie di Funzioni 233.1 Criterio di Leibnitz per le serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Teorema DEL DINI sulle serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Serie di Potenze 274.1 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Sviluppabilità in Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Teoria della Misura secondo Lebesgue 335.1 Plurintervallo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Misura per intervalli aperti e misura per compatti . . . . . . . 345.3 Funzioni 1-lip :distanza da un insieme . . . . . . . . . . . . . . 355.4 Subaddittività degli aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5 Subadditività numerabile sugli aperti . . . . . . . . . . . . . . . 365.6 Misurabilità degli insiemi limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.7 Misura secondo Peano-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.8 Addittività numerabile di insime numerabili limitati [σ - addit-

tività] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.9 Subaddittività numerabile [σ]-Subaddittività . . . . . . . . . . 415.10 Insiemi misurabili illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.11 Misura di aperti illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3

4 INDICE

5.12 Teorema di Carathèodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.13 Insiemi di misura nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.14 Funzioni Misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.15 Misurabilità delle Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.16 Insieme non misurabile di Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.17 Funzioni Misurabili: l’integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . 495.18 Lemma di Fatoù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.19 Funzioni lebesgue integrabili di segno qualunque . . . . . . . . 555.20 Teorema di Lebesgue o della convergenza dominata . . . . . . . 57

6 Integrali Multipli 596.1 Nota importante per il calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Esempi con applicazione della mappatura inversa . . . . . . . . 60

7 Funzioni Implicite 617.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2 Teorema Del DINI (caso bidimensionale) . . . . . . . . . . . . . 627.3 Teorema Del Dini per sistemi di equazioni . . . . . . . . . . . . 637.4 Teorema Del Dini per i sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.5 Teorema di invertibilità locale per f : R→ R . . . . . . . . . . 647.6 Teorema di invertibilità locale per funzioni gnerali . . . . . . . 64

8 Varietà 678.1 Dominio e Dominio-Connesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Prevarietà regolare di dimensione m . . . . . . . . . . . . . . . 678.3 Sostegno della prevarietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4 Cambiamento ammissibile di coordinate . . . . . . . . . . . . . 688.5 Definizione di Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.6 Varietà regolare di dimensione m . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.7 Prevarietà strettamente equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . 688.8 Teorema di Decomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.9 Spazio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.10 Spazio Ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9 Moltiplicatori Di Lagrange (estremi vincolati) 719.1 Ripasso sugli estremi locali (liberi) . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2 Considerazioni geometriche sull’esistenza del moltiplicatore di

Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.3 Teorema sull’esistenza dei moltiplicatori . . . . . . . . . . . . . 72

10 Integrazioni su Varietà 7510.1 Approfondimenti sui cambi ammissibili di parametri . . . . . . 7610.2 Definzione di misura di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.3 Teorema della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.4 Ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

INDICE 5

11 Forme differenziali Lineari 7911.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.2 Definizione topologica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.3 Prime definizioni importanti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.4 Alcuni Esempi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.5 Altre definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.6 Riepilogo forme differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.7 Forme differenziali in insiemi semplicemente-connessi . . . . . . 8311.8 Definizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.9 Le omotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8411.10Teorema sulle forme differenziali esatte . . . . . . . . . . . . . . 85

12 Teoremi di Gauss-Green, della divergenza e di Stokes 8712.1 Un po’ di topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8712.2 Vettori tangente e normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8712.3 Enunciato del teorema di Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . 8812.4 Teorema di integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . 8812.5 Teorema della Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8812.6 Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

13 Spazi LP - Spazi di Hilbert 9113.1 Funzioni Convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9213.2 Il problema della seminorma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9313.3 Spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9313.4 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9313.5 Spazi elementari di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

13.5.1 Isomorfismi di Spazi con Prodotto Interno . . . . . . . . 9713.6 Operatori lineari continui e limitati in uno spazio di Hilbert H 9813.7 Ortogonalità negli spazi a prodotto interno . . . . . . . . . . . 100

13.7.1 Serie ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.7.2 Lemma delle proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113.7.3 somma diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.7.4 Equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10313.7.5 Lemma delle Rappresentazioni di Riesz . . . . . . . . . 10313.7.6 Unicità della proiezione ortogonale . . . . . . . . . . . . 10313.7.7 Proiettori Ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.8 Operatori Aggiunti, Autoaggiunti, Autovalori e Autospazi . . . 10413.9 Basi Hilbertiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

14 La Trasformata di Fourier 10714.1 brevi richiami sugli spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10714.2 alcuni teoremi base degli spazi LP . . . . . . . . . . . . . . . . 10714.3 La trasforazione di Fourier il L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14.3.1 Alcune funzioni ausliarie: . . . . . . . . . . . . . . . . . 11014.3.2 IL PROBLEMADELL’INVERSIONE DELLA F.T.11014.3.3 TEOREMA DI JORDAN: . . . . . . . . . . . . . . . . . 11314.3.4 Prodotto di convoluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11414.3.5 La Trasformata di Fourier in L2(R) . . . . . . . . . . . 114

6 INDICE

15 Teoria delle Distribuzioni 11915.1 Spazi Prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

15.1.1 Convoluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11915.1.2 proietà delle convoluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

15.2 Successioni di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

16 Analisi Complessa 12316.1 Definizone di Derivata e Differenziabilità . . . . . . . . . . . . . 12316.2 Funzioni Olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12416.3 Funzioni Antiolomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12416.4 Integrazione su Cammini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

16.4.1 Invarianza per Omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

17 Appendici 12717.1 Limite superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

18 Equazioni differenziali alle derivate parziali - Modelli fisici vi-branti 13118.1 Problema delle onde monodimensionale . . . . . . . . . . . . . 13118.2 Unicità dell’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Introduzione

Perchè scrivere queste dispense: Queste dispense sono state fatte in primis perl’autore stesso, in quanto studente del corso di laurea in Fisica, dovrà ricordar-si per buona parte della sua vita queste cose basilari, dell’analisi che verrannoriprese in modo pesante nel corso di Metodi Matematici Della Fisica Generalee quindi nei corsi di Meccanica Quantistica e di Meccanica Razionale. Allostesso modo però vuol essere un supporto agevole (infatti in circa 100 pagineè compreso tutto il necessario per capire i corsi successivi) per anche i futuristudenti. L’idea è quindi qeuella di creare una dispensa fatta da uno studenteper gli studenti, la cui utilità non è tanto concentrata per il corso di Analisi3(per quello ci sono ottimi libri tra cui il Molteni-Vignati, il De Marco Analisi 2o il Pagani - Salsa Analisi2 (vecchia edizione)) ma vuol essere un aiuto ai corsidi matematica superiore (Come per esempio il corso di Metodi Matematici)il cui programma inizia subito dando per scontato moltissime cose apprese inAnalisi3.Contentuto: Questa stesura di appunti di Analisi matematica ricopre per buonaparte tutto il programam di AnalisiIII che si svolge a Fisica.La prima parteè dedcicata ai principali metodi di integrazioni delle equazioni differenziali piùcomuni in fisica. Non si entra molto nello specifico e cose scritte sono solo apuro scopo di ricordarsi la regoletta di integrazione. Per approfondire la teoriasi consigliano i libri del prof. G. De Marco e della prof. C. Maderna.Il testo prosegue con una parte dedicata ad un richiamo sulle successioni difunzioni. Vengo dimostrati molto brevemente alcuni teoremi base su questoargomento. La trattazione continua esponedo concetti basilari sulle serie difunzioni e di potenze dimostrando i tipici teoremi che discendono dalla condi-zione di Cauchy. La seconda parte è dedicata alle serie di funzioni. Al concettoimportantissimo (per gli studi superiori) di convergenza Puntuale ed Uniforme.La terza parte è dedicata alla stesura della misura di Lebesgue a cui si da mol-to spazio e viene definita non dal teorema di Charatheodory (quindi definendouna sola misura) ma definendo una doppia esterna ed interna tramite insiemiaperti e compatti. La trattazione di questo argomento nel seguente modo èrisultata molto pensante e come potrete notare, la trattazione si farà caricodi numerose proposizioni e microteoremi che sono essenziali per costruire unquadro generale del tutto. Nonostante questo tipo di definizione di misura, siapiù laboriosa da un punto di vista dell’ordine, risulta più semplice e i collega-menti logici tra i vari argomenti sono di facile intuizione. Dopo aver definitola misura di lebesgue per insiemi non limitati generici, tratteremo le funzioniintegrabili e l’integrale di lebesgue enunciando e dimostrando i due grandi teo-remi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Dopo aver trattato lamisura di Lebesgue, si passerà a definire le funzioni implicite col teorema del

7

8 INDICE

Dini e da qui definiremo l’esistenza dei moltiplicatori di Lagrange per problemidi estremanti vincolati. Successivamente si passerà allo studio delle curve, alleloro classi di equivalenza e all’integrazioni delle forme differenziali sulle curvee superfici. Questa parte è fatta molto alla “fisico” quindi troverete ben pocorigore matematico, ma il più sarà dato all’intuizione e i casi teorici verrannoriconcotti a esempi pratici. Poi l’ultima parte è quella di analisi superiore, incui vengono introdotti spazi di Hilbert, spazi di Banach con le loro caratte-ristiche geometriche e degli esempi di ricostruzione del teorema spettarle perspazi di Hilber separabili. Successivamente si concluderà esponendo in modomolto rigoroso tutta la teoria della trasformata di Fourier prima in L1(R) e poivedendo la sua estensione nei minimi particolari allo spazio L2(R) che è quellopiù interessante e di maggior utilizzo per gli scopi della meccanica quantistica.Ancora da completare è la parte sulle funzioni di variabile complessa e in par-ticolare tutta la sezione di analisi complessa è ancora da sviluppare al meglio.

Stefano Mandelli.26-5-2009

Capitolo 1

Equazioni differenziali

1.1 Equazioni differenziali del prim’ordineIn questo capitolo si richimeranno velocmente tutti i concetti riguardanti leequazioni differenziali del prim’ordine e successivamente la trattazione passe-rà alle equazioni differenziali generiche di ordine k. Si è ritenuto opportunotrattare questo argomento in quanto nei corsi di fisica tutti i fenomeni hannoalla base un’quazione differenziale che ne definisce la dinamica, l’evoluzione eil comportamento. La trattazione in questo capitolo sarà molto “agile” le di-mostrazioni saranno ridotte al minimo indispensabile; si cercherà di insisteremaggiormente sulle metodologie di calcolo e risoluzione.

Un’eqazione differenziale è un’equazione del tipo:

G(x, y′, y′′, · · · , y(k)) = 0 (1.1)

Cioè un’equazione in cui le variabili in gioco non sono parametri reali, mafunzioni. Un’ equazione differenziale si dice scritta in forma normale se vienerappresentato la sua derivata di ordine massimo in funzione alle altre derivateintese come variabili indipendenti, cioè:

y(k) = f(x, y, y′, y′′, · · · , y(k−1)) (1.2)

in particolare noi cominceremo con l’analizzare la teoria delle equzioni differen-ziali di prim’ordine:

y′ = f(x,−→y ) (1.3)

1.1.1 Il problema di Cauchysia dato il seguente problema di couchy: −→y ′ =

−→f (x,−→y )

−→y (x0) = −→y 0(1.4)

dove f : E ⊆ Rn+1 → Rn e (x0, y0) ∈ E allora y = y(x) è soluzione del P.b diCauchy sull’intervalli I se y è soluizione dell’equzione differenzile y′ = f(x, y)

9

10 CAPITOLO 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI

su I e se per x0 ∈ I =⇒y(x0) = y0

Esempio 1:sia a ∈ R e sia dato il seguente problema di Cauchy:

y′ = 2xy2

y(0) = a(1.5)

Cerco tutte le soluzioni: la funzione F ≡ 0 soddisfa la mia eq. differenziale, nanon le condizioni al contorno, risolvo l’integrale:

y′y−2 − 2x = 0 = (1.6)

=d

dx

(− 1y(x)

− x2

)integro (1.7)

− 1y(x)

− x2 = c (1.8)

Da cui usando la condizione iniziale:

y(x) =a

1− ax2(1.9)

Esempio 2:

y′ = 3y

23

y(0) = 0(1.10)

13y′y−

23 = 1

d

dx

(y

13

)= 0

y13 = x+ c =⇒ y(x) = (x+ c)3

1.1.2 Equazioni differenziali a variabili separabiliLe equazioni differenziali a variabili separabili sono eq. differenziali del prim’or-dine nella forma:

y′ = h(x) · k(y) (1.11)

Esempio1: y′ = 4x3

y

y(0) = 2(1.12)

Soluzione:

y′y = 4x3 =⇒∫ y(x)

2

u du =∫ x

0

4s3 ds

12y(x)2 − 2 = x4 =⇒ y(x) = ±

√2x4 + 4 (1.13)

1.1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIM’ORDINE 11

prendo la radice positiva, perchè la soluzione deve essere concorde con lacondizione al contorno:

y(x) = +√

2x4 + 4 (1.14)

Esempio2: y′ = ex−y

y(0) = a(1.15)

Soluzione:

y′ey = ex∫ y

a

(x)eu du =∫ x

0

ex dx

ey(x) − ea = ex − 1 =⇒ y(x) = ln(ea + ex − 1) (1.16)

Esempio2: y′ = 2x

yey

y(1) = 3(1.17)

Soluzione:

∫ y(x)

3

ueu du =∫ x

1

2x dx

(ueu − eu)|y(x)3 = x2 − 1 =⇒ y(x)ey(x) − ey(x) − 3e3 + e3 = x2 − 1

ey(x)[y(x)− 1] = x2 − 1 + 2e3 (1.18)

1.1.3 Equazioni differenziali lineari

Le equazioni differenziali lineari del prim’ordine sono quelle equazioni differen-ziali che vengono scritte nel seguente modo:

y′ + p(x)y = q(x) (1.19)

L’integrale generale di soluzione è il seguente:Se abbiamo il seguente problema di Cauchy:

y′(x) + p(x)y(x) = q(x)y(x0) = y0

(1.20)

Soluzione generale:

y(x) = exp(−∫ x

x0

p(t) dt)·y0 +

∫ x

x0

q(r) exp(∫ r

x0

p(t) dt)dr

(1.21)


1.2 Equzioni differenziali di ordine K lineari acoeffienti costanti

1.2.1 Omogenee

Sia data l’equazione differenziale:

y(k) +k−1∑i=1

aiy(i) = 0 (1.22)

Preso il polinomio caratteristico se:1) Sia λ ∈ R radice del polinomio di molteplicità r allora l’equazione diffe-renziale ha come soluzione una combinazione lineare delle seguenti funzionilinearmente indipendenti (usencti dalla matriche Wronskiana):

c1eλx, c2xe

λx, c3x2eλx, · · · , crxr−1eλx (1.23)

2) Sia z = α+ iβ con z ∈ C radice di molteplicità r del polinomio caratteristicoallora la soluzione è una combinazione lineare delle seguenti funzioni:

eαx cosβx, xeαx cosβx, · · · , xr−1eαx cosβx (1.24)eαx sinβx, xeαx sinβx, · · · , xr−1eαx sinβx (1.25)

Le soluzioni in seno e coseno vanno sempre accoppiate perchè per il teoremafondamentale dell’algebra se (a+ ib) è radice del polinomio caratteristico, lo èanche il suo coniguato, a+ ib lo scrivo col coseno e a− ib col seno.

1.2.2 Non omogenee

Se l’equazione differenziale compare nella sua forma non omogenea:

y(k) +k−1∑i=1

aiy(i) = b(x) (1.26)

allora le sue soluzioni sono una combinazione lineare delle soluzioni della omo-gena più quelle legate al termine noto. In funzione a come è fatto il terminenoto ci sono diverse forme della soluzione:

1. Se b è un polinomio di grado h con h ≥ 0 e λ = 0 non è radice del poli-nomio caratteristico allora nelle soluzioni ci sarà un polinomio anch’essodi grado h.

2. Se b è un polinomio di grado h con h ≥ 0 e λ = 0 è radice del polino-mio caratteristico di molteplicità r ≥ 1 allora tra le soluzioni ci arà unpolinomio di grado (h+r) del tipo:

P (x) = xrQ(x) Q è il polinomio di grado h (1.27)

3. Se b(x) = eµx e µ non è radice del polinomio caratteristico allora tra lesoluzioni c’è una funzione del tipo Ceµx con C ∈ R

1.2. EQUZIONI DIFFERENZIALI DI ORDINE K LINEARI A COEFFIENTI COSTANTI13

4. Se b(x) = eµx e µ è radice del polinomio caratteristico di molteplicità rallora tra le soluzioni c’è una funzione del tipo Cxreµx con C ∈ R

5. Se b(x) = P (x)eµx dove P è un polinomio di grado h e µ non è radice delpolinomio caratteristico allora tra le soluzioni c’è una funzione del tipo:Q(x)eµx dove Q è anch’esso un polinomio di grado h;

6. Se b(x) = P (x)eµx dove P è un polinomio di grado h e µ è radice delpolinomio caratteristico di molteplicità r ≥ 1 allora tra le soluzioni c’èuna funzione del tipo: Q∗(x)eµx dove Q∗ è un polinomio di grado (r+h);

Q∗(x)eµx = xrQ(x)eµx con Q polinomio di grado h (1.28)

7. Se b(x) = eαx[a sinβx+a∗ cosβx] con a, a∗ ∈ R a α± iβ non sono radicidel polinomio caratteristico allora tra le soluzioni c’è una funzione deltipo:

eαx[C sinβx+D cosβx] con C,D ∈ R (1.29)

8. Se b(x) = eαx[a sinβx+ a∗ cosβx] con a, a∗ ∈ R a α± iβ sono radici delpolinomio caratteristico di molteplicità r, con r ≥ 1, allora tra le soluzionic’è una funzione del tipo:

xreαx[C sinβx+D cosβx] con C,D ∈ R (1.30)

Capitolo 2

Successioni di funzioni

2.1 Definizione e introduzione

Le successioni di funzioni sono un argomento che solitamente viene trattatoall’inizio del corso di Analisi Matematica 2 del nuovo ordinamento. L’obbiet-tivo dei teoremi qui di seguito enunciati sta nel radunare in uno spazio moltocompresso tutti i teoremi principali sulle successioni di Funzioni. La teoria diquesti, verrà poi generalizzata e applicata nell’ambito delle serie di funzioni eserie di potenze

th.1 ) sia fn succ. di funzioni limitate su E ⊆ RSe fn limitata ∀n ∈ N e fn −→ f Uniformente su E allora anche f è limitata.

Proof. |fn(x)| < M0 se c.u. ∀x ∈ E abbiamo che: ∀ε > 0 ∃ν0 = ν(ε) :∀n > ν0 : |fn(x)− f(x)| < εfissiamo ε = 1 allora:|fn(x)− f(x)| < 1 quindi:

|f(x)| < |fn(x)− f(x)|+ |fn(x)| < 1 +M0 =⇒ |f(x)| < 1 +M0 (2.1)(2.2)

cdd

th.2 ) Condizione di Cauchy: sia fn succ. di funzioni definita su E ⊆ Rallora converge quando e solo quando:

∀ε > 0∃ν0 : ∀m ≥ n > ν0 : supx∈E|fn − f | < ε (2.3)

Proof.=⇒ )

supx∈E|fm − fn| ≤ sup

x∈E|fm − f |+ |f − fn|

≤ supx∈E|fm − f |+ sup

x∈E|f − fn| < 2ε (2.4)

15

2.2. SERIE DI FUNZIONI (DI POTENZE) 17

Quindi, sfruttando la condizione di Cauchy possiamo ulteriormente affermareche:∀ε > 0 ∃ν : ∀k ≥ h > ν : |fk − fh| ≤ |fk − f |+ |f − fh| < 2ε quindi passandoal limite per x→ x0 possiamo completare la scrittura dicendo che:

|lk − lh| < ε

In questo modo notiamo che la ln è successione di Cauchy, ma siamo inE ⊆ R che è completo quindi sappiamo con certezza che questo limite esiste eper convenzione diciamo che l:

limn→+∞

ln = l (2.10)

Ora è stata dimostata l’esistenza del limite l. Ora bisognerà concentrarsi suldimostrare che:

limx→x0

f(x) = l (2.11)

Ora fissimo un n0 > ν : |fn0(x)− f(x)| < ε quindi |ln0 − l| < ε.In corrispondenza di n0 scegliamo un indice δ > 0 tale che :

∀ε > 0,∀n > n0∀x ∈ E : |x− x0| < δ =⇒ |fn(x)− l| < ε

Ora possiamo scrivere che:|fn(x)− l| ≤ |f(x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− ln0 |+ |ln0 − l| < 3εQuindi ∀x ∈ E per cui |x − x0| < δ =⇒ i due limiti della congettura inizialesono uguali.cdd.

2.2 Serie di Funzioni (di potenze)

Identifichiamo serie di Funzioni, la successione delle somma parziali (o ridotte)delle funzioni fk. Un esempio molto conosciuto in questo ambito è dato dallaserie geometrica:

sn(x) =n∑k=1

xk =1− xn+1

1− xPunt.−→ 1

1− xper x ∈ (−1, 1) (2.12)

(2.13)

Ora diamo delle importanti definizioni di carattere puntuale e successivamentedi carattere uniforme circa la convergenza delle stesse serie di funzioni:

Definizioni puntiali :a)∑+∞k=1 fk converge puntualmente su E ⊆ R ≡ ∀x ∈ E :

∑+∞k=1 fk converge,

cioè ⇐⇒ sn(x) converge puntualmente.


b)∑+∞k=1 fk converge assolutamente su E ⊆ R ≡ ∀x ∈ E :

∑+∞k=1 fk con-

verge assolutamente, cioè ⇐⇒ ∀x ∈ E,∑+∞k=1 |fk(x)| < +∞

Definizioni Uniformi :c)∑+∞k=1 fk converge uniformente in E ≡ sn converge unif. in E (alla funzione

somma)

d)∑+∞k=1 fk converge totalmente in E ≡ ∃Mkk∈N ⊂ R :

α ) |fk(x)| ≤Mk∀n, ∀x ∈ Eβ )

∑+∞k=1Mk < +∞

Cioè quando e solo quando:

+∞∑k=1

mk < +∞ dove mk := supx∈E|fk(x)| (2.14)

OsservazioneSe∑+∞k=1 fk conv. assolutamente =⇒

∑+∞k=1 fk conv. punt. =⇒ fk → 0 pun-

tualmente.

Le implicazioni inverse non sono rispettate. Dei controesempi possono esse-re i seguenti:a) Prendiamo le funzioni costanti fk = (−)k

k

∑+∞k=1 fk conv. Puntualmente per

il criterio di Leibnitz ma non converge assolutamente !b) Prendiamo la serie armonica fk = 1

k nonostante fk → 0 la serie∑+∞k=1

1k non

converge puntualmente !Convergenza Uniforme∑+∞k=1 fk conv. uniformente su E ⊆ R ⇐⇒ sn(x) conv. uniformente alla

funzione somma in E.Ma condizione necessaria e sufficiente affinchè una serie converga è quella diCauchy che possimo scrivere in questo modo:

∀ε > 0 ∃ν0 : ∀m > ν0 , ∀p ≥ 1 , ∀x ∈ E =⇒ |sm+p − sm| < ε

Quindi:

+∞∑k=1

fk conv. unif. in E ⇐⇒ ∀ε > 0 , ∃ν0 , ∀m > ν0 , ∀p ≥ 2 con p ∈ N , ∀x ∈ E =⇒∣∣∣∣∣n+p∑k=n+1

fk

∣∣∣∣∣ < ε (2.15)

La condizione di Cauchy per le serie di funzioni ci permette di introdurre di-rettamente un criterio di convergenza delle serie molto importante. Questo è ilCriterio di Weiestrass:

+∞∑k=1

fk conv. Totalmente in E+∞∑k=1

fk conv. uniformemente in E =⇒

=⇒ fk → 0 unif. (2.16)

2.2. SERIE DI FUNZIONI (DI POTENZE) 19

Proof.Parte1 )∀x ∈ E : |fk(x)| < Mk ∀k ∈ N e sia:∑+∞k=1Mk < +∞ con Mk > 0∀k ∈ N allora:

∀m ≥ n > ν0,∀x ∈ E

∣∣∣∣∣m∑k=n

fk

∣∣∣∣∣ ≤m∑k=n

|fk| ≤m∑k=n

Mk =m∑k=n

|Mk| < ε (2.17)

Nell’ultimo passaggio è stata applicata la condizione di Cauchy alla serie:m∑k=n

Mk infatti per ipotesi converge quindi vale la 1.15 alloram∑k=n

Mk =m∑k=n

|Mk| < ε

Parte2 )∑∞k=n fk conv. Unif. Applico la condizione di Cauchy con m=n

ottenendo:

∀ε > 0 ∃ν0 : ∀n > ν0 , ∀x ∈ E : |n∑k=n

fk| < ε (2.18)

Ma |n∑k=n

fk| = |fn| quindi :|fn| < ε =⇒ fn → 0 (2.19)

Ora dimostreremo tramite l’utilizzo di un controesempio che le implicazioni delcriterio di Weiestrass non valgono nel senso contrario anche per serie di funzionicon termini NON NEGATIVIConsideriamo A ⊂ R e la sua funzione caratteristica χA : R→ R:

per x ∈ A→ χA(x) = 1 altrimenti χA(x) = 0

consideriamo:fk(x) = 1

x · χ[k,k+1] , considerando le funzioni su [1,+∞) abbiamo che :

sup[1,+∞]

fk(x) =1k→ 0 =⇒ fk → 0 in [1,+∞] (2.20)

Per ora abbiamo notato che della nostra fk il termine generico tende a zero.Ora trasportiamo tutto sulle somme e analizzamo la nostra serie:

sn(x) = f1 + f2 + ...+ fn =1xχ[1,n+1](x)

per n→ +∞sn(x)→ 1x

in [1,+∞)

sup[1,+∞]

|s− sn| = sup[1,n+1]

∣∣∣∣ 1x∣∣∣∣ =

1n+ 1

→ 0 per n → +∞ (2.21)

Abbiamo dimostrato che la serie converge uniformemente, ma andando adanalizzare la convergenza totale notiamo che ci sono problemi perchè:

mk = supx∈[1,+∞]

fk =1x

ma la serie:+∞∑k=1

mk = +∞

=⇒ la serie+∞∑k=1

fk non converge totalmente in [1,+∞] (2.22)


Esempio.

prendiamo in considerazione la serie:∑+∞k=1 fk conv assolutamente NON IM-

PLICA il fatto che fk → 0 uniformente:

E = [1,+∞) e le funzioni fk = χ[n,n+1](x) allora: (2.23)sn(x) = χ[n,n+1](x) e la sn → 1 ∀x ≥ 1 (2.24)

Quindi converge assolutamente a 1.Ma possiamo notare che se prendiamo :

mk := supEfk(x) = 1 quindi: (2.25)

mk non tendono a zero =⇒ fk non tente a zero uniformemente.cdd.

2.3 Esercizi di teoria

Dalle nozioni sviluppate sin da ora possiamo autonomamente dire che:a) Se

∑+∞k=1 fk(x) conv. unf. su E =⇒ ∀D ⊆ E Conv. Unif.

b) Se∑+∞k=1 fk(x) conv. unf. su E1 e su E2 =⇒ Conv. Unif. anche su E1 ∪E2

c) Se∑+∞k=1 fk(x)

∑+∞k=1 gk(x) conv. unf. su E =⇒ Con. Unif. su E anche∑+∞

k=1 fk + gk

Proof.a) Ovvia per definizione;b) Ovvia per definizione;c) Un po’ meno ovvia infatti:Se∑+∞k=1 fk(x) converge uniformemente vuol dire che sk(x) converge unifor-

mente; nello stesso modo se∑+∞k=1 gk(x) converge uniformente vuol dire che :

pk(x) convergono uniformente: quindi:

Se(

limk→+∞

sk + limk→+∞

pk

)è un valore finito allora ha valore finito anche

il seguente limite: limk→+∞

sk + gk

2.4 Teoremi sulle serie di Funzioni

Qui di seguito verranno elencati una serie di teoremi sulle serie di funzioni, lacui discendenza è strettaemnte legata ai teoremi sulle successioni di funzioni.Non verrà dimostrato nulla, solo un elenco di enunciati di teoremi sui quali sa-rà fondamentale ragionare per poi prendere spunto per risolvere le esercitazioni.

Th1Sia data s(x) =

∑+∞k=1 fk(x) e converga uniformemente in E. Se ∀k ∈ N ,

∀x ∈ E , |fk| ≤ C ∈ R =⇒ anche la s(x) è limitata in E.Th2Sia data s(x) =

∑+∞k=1 fk(x) che converga unif. su I ⊆ R allora:

2.5. ESEMPI DI SERIE DI FUNZIONI 21

Consideriamo [a, b] ⊆ I , ∀k fk ∈ R[a, b] =⇒ s(x) ∈ R[a, b] in particolare:∫ b

a

s(x)dx =+∞∑k=1

∫ b

a

fk(x)dx (2.26)

Questa proprietà nasce dal fatto che:

limn→+∞

∫ b

a

sn(x)dx = limn→+∞

∫ b

a

n∑k=1

fk(x)dx = limx→+∞

n∑1

∫ b

a

fk(x)dx =

=+∞∑

1

∫ b

a

fk(x)dx (2.27)

Th3Consideriamo I ⊆ R e le funzioni fk : I → R derivabili in I. Se

∑+∞k=1 f

′k

converge uniformente in I e se ∃x0 ∈ I :∑+∞k=1 fk converge, allora la

∑+∞k=1 fk

converge ad una somma derivabile in I e si ha che:

(+∞∑k=1

fk(x)

)′=

+∞∑k=1

f ′k(x) (2.28)

2.5 Esempi di serie di FunzioniQui di seguito verranno presentati i comportamenti di due serie di funzioni chehanno attirato la mia attenzione. Il confronto avviene tra due esempi, studie-remo la serie

∑+∞k=1 x

2 · e−kx successivamente studieremo la serie∑+∞k=1 x · e−kx

e metteremo in evidenza come le due serie, nonostante molto simili differiscanodi un particolare molto importante per i loro compartamenti di convergenzauniforme e totale.

Prendiamo la serie:∑+∞k=1 x

2 · e−kx, il termine fk → 0 ∀x ∈ E[0,+∞) prendia-mo un sottoinsime di E[ε,+∞) e notiamo che:

||fk(x)||∞E = 4e−2k → 0

Ora verifichiamo pure in zero. Se in zero fosse valida allora dovrebbe essereverificata la seguente condizione:

0 = s(0) = limx→0+

sn(x) (2.29)

Quindi riscriviamo la sommatoria

s(x) =+∞∑k=1

x2 · e−kx = x2+∞∑k=1

(e−x

)k =x2e−x

1− e−x(2.30)

Alla fine otteniamo:

limx→0+

x2e−x

1− e−x= limx→0+

x2(1− x)1− 1 + x

= limx→0+

x− x2 = 0 (2.31)


Come si può vedere la condizione del limite espressa sopra funziona anchein x = 0 quindi l’intervallo di convergenza unifrome è tutto E[0,+∞)

La faccenda cambia se abbiamo la serie:

+∞∑k=1

x2 · e−kx (2.32)

perchè puntualmente è facile varificare che converge sempre in E = [0,+∞)ma uniformente abbiamo che non è rispettata la seguente condizione in zero:

0 = s(0) = limx→0

sk(x) (2.33)

infatti sviluppando in zero abbiamo che:

s(x) =+∞∑k=1

x · e−kx = x

+∞∑k=1

(e−x

)k =xe−x

1− e−x

limx→0+

xe−x

1− e−x= limx→0+

x(1− x)1− 1 + x

= limx→0+

1− x = 1 !!!! NON CONVERGE!!!!

Quindi bisogna porre attenzione a questi casi particolari.

Capitolo 3

Serie di Funzioni

Ripasso sui criteri di convergenzaIn questa sezione esporremo l’enunciato di alcuni criteri ben noti nell’analisimatematica per stabilire il compoertamento di una serie.

Metodo del confronto asintoticoSiano date le serie:

∑+∞1 an : an > 0 ∀n e

∑+∞1 bn : bn > 0 ∀n allora se:

0 ≤ an ≤ bnAllora:1) Se

∑+∞1 bn converge, anche

∑+∞1 an converge;

2) Se∑+∞

1 an diverge, anche∑+∞

1 bn diverge.

Metodo della radiceSia data la serie:

∑+∞1 an : an > 0 ∀n. Se esiste un α:

α = limn→+∞ a

1nn

1) Se 0 ≤ α < 1 allora∑+∞

1 an Converge2) Se 1 < α ≤ +∞ allora

∑+∞1 an Non converge

Metodo del rapporto

Sia data la serie:∑+∞

1 an : an > 0 ∀n. Se esiste un α:

α = limn→+∞

an+1

an(3.1)

23

24 CAPITOLO 3. SERIE DI FUNZIONI

1) Se 0 ≤ α < 1 allora∑+∞

1 an Converge2) Se 1 < α ≤ +∞ allora

∑+∞1 an Non converge

Criterio di Condensazione

Sia an > 0 tale che an ≥ an+1∀n, Allora le due serie:

∑+∞1 an ,

∑+∞1 2na2n

hanno lo stesso carattere.

3.1 Criterio di Leibnitz per le serie

Sia data la serie∑+∞

1 (−)kβk con βk > 0∀n e:1) βk ↓ 02) βk ≥ βk+1

La serie converge s =∑+∞

1 (−)kβkIn più c’è un piccolo corollario del Criterio di Leibnitz che torna molto utilenelle serie di funzioni:sn =

∑n1 (−)kβk possiamo effettuare una stima di |s− sn| in quanto:

|s− sn| ≤ βk+1

Questa stima tornerà utile nelle serie di funzioni. Infatti ora estendiamo il Cri-terio di Leibnitz alle serie di funzioni ottenendo:Se∑+∞

1 (−)k bk(x) con x ∈ E allora:Se ∀x ∈ E : b(x) ↓ 0 tende puntualmente alla funzione nulla sue E allora laserie di funioni converge puntualmente su E.Ora ritorna utile la stima precednete vista per le serie di numeri:

supE|s− sn| ≤ sup

E(bk+1(x))→ 0 (3.2)

Allora se vale anche l’ipotesi iniziale del teorema possiamo dire che convergeuniformente in E.

3.2 Teorema DEL DINI sulle serie

1) I = [a, b] intervallo chiuso limitato;2) fk : [a, b]→ R funzione continua ∀k ∈ N;3) fk(x) ≤ fk+1 ∀k ∈ N e ∀x ∈ I (ma più in generale monotona rispetto a k);4) fk converge puntualmente ad una funzione f : [a, b]→ R;5) f è continua in [a, b].Allora vale che fk converge uniformente ad f in I

3.3. ESEMPI 25

3.3 Esempi

1)∑+∞

1xk

k

Deve essere: xk

k → 0 quindi E = [−1, 1]Ora vedo la convergenza puntuale. Mth. della radice:k√|xkk | → |x| : |x| < 1. Ora vediamo agli estremi;

x=1 →∑+∞

11k è la serie armonica, diverge;

x=-1 →∑+∞

1(−)k

k Converge per il criterio di Leibnitz.Quindi converge puntualmente in [-1,1).Convergenza Uniforme:Per verificare la convergenza uniforme consideriamo l’intervallo [−r, r] : r ∈(0, 1) |x

k

k | = |xk|k ≤

rk

k ma∑+∞

1rk

k < +∞ dimostrabile semplicemente con ilcriterio della radice, quindi:

∑+∞1

xk

k Converge in I = [−r, r] con r ∈ (0, 1)

Vediamo agli estremi:Perx ∈ [−1, 0] , poniamo x = −|x| quindi:

∑+∞1

(−)k|x|kk ponendo bk(x) = (−)k|x|k

k

Notiamo che bk(x) 0 quindi per il criterio di Leibnitz 0 ≤ supx∈[−1,0]|bk(x)| ≤1k → 0 quindi converge uniformente anche in [−1, 0] !

Perx ∈ [0, 1] ,abbiamo visto che su tutti i compatti del tipo [−r, r] conr ∈ (0, 1) la seie converge TOTALMENTE, ma in 1 non converge !!! per-chè avremo la serie armonica. Quindi l’intervallo di convergenza uniforme èE′ = [−1, r] con r < 1.

26 CAPITOLO 3. SERIE DI FUNZIONI

Capitolo 4

Serie di Potenze

Le serie di potenze sono definite in modo generico dalla seguente scrittura:

∞∑k=1

ak(x− x0)k (4.1)

Una serie così descritta viene anche detta: Serie di potenze centrata in x0, ocon punto iniziale x0 con x0 ∈ RPer le serie di potenze centrate in zero (con x0 = 0) abbiamo che:∃ρ tale che nell’intervallo simmetrico [−ρ, ρ] la serie converge.

Th1Sia data la serie di potenze:

∑∞k=1 ak ·xk convergente. Prendiamo un t ∈ R\0

Allora la serie converge totalmente su ogni compatto [−r, r] contenuto in:(−|t|, |t|) in particolare la serie di potenze converge assolutamente in (−|t|, |t|).

Proof.Sia [−r, r] ⊆ (−|t|, |t|) , considero x ∈ [−r, r] e ottengo che:

|akxk| = |aktkxkt−k| ≤ |aktk| ·(r|t|

)kma

a) |akxk| converge quindi è infinitesima, quindi è limitata: ∃M > 0 :|akxk| < M

b) Poi notiamo: dato che [−r, r] ⊂ (−|t|, |t|) allora: 0 < r|t| ≤ 1 =⇒ quindi:

|aktk| ·(r|t|

)k≤M

(r|t|

)kMa la serie M

∑∞1

(r|t|

)kè la serie gemetrica di ragione <1 (per la prop. b) )

quindi converge!

Quindi la serie iniziale∑∞k=1 ak · xk converge totalmente nei compatti del tipo

[−r, r] ⊂ (−|t|, |t|)Per la convergenza assoluta per raggiungere l’asserto basta basarsi sul teorema8.5 pag 350 G. Ricci.

Th2 Raggio di convergenza

27

28 CAPITOLO 4. SERIE DI POTENZE

Data una serie di Potenze:∑∞k=1 ak · xk

∃ρ ∈ [0,+∞] tale che:a) La serie di potenze converge assolutmaente per |x| < ρ;b) La serie di potenze non converge assolutamente per |x| > ρ;c) Se ρ = 0 converge solo in zero;d) Se0 < ρ < +∞ la serie converge in x ∈ (−ρ, ρ) e converge totalmente neicompatti;e) Se ρ = +∞ la serie converge ∀x ∈ R e converge totlamente nei suoi compatti.

Proof.Tutte le implicazioni fin’ora elencate sono deducibili dal teorema 1. In parti-colare è da notare che:1) Se |x| < ρ =⇒ ∃t ∈ A : |x| < t [per la prop. dell’esetremo sup.] =⇒∑∞

0 akxk conv in x ∈ (−t, t) =⇒ per il TEO1 la serie di potenze converge in

x;2) Se |x| > ρ supponiamo p.a. che la serie converga =⇒ per il TEO1 la seriedeve convergere puntualmente in (-|x|,|x|). Ma questo per ipotesi non può avve-nire in quanto se converge per |x| < ρ nell’intervallo (−|x|,−ρ)U(ρ, |x|) non c’ènessun punto che soddisfa l’asserto inizile quindi abbiamo raggiunto un assurdo.

Teorema di Cauchy −Hadamar e criterio di D′AlembertData una serie di potenze definita nel seguente modo:

∑∞k=0 akx

k allora ∃ρ ∈ [0,+∞] : la serie di potenze converge.

1- Se ∃ l := limk→∞

|ak|1k =⇒ ρ =

1l

(4.2)

2- Se ∃ l := limk→∞

|ak+1|ak

=⇒ ρ =1l

(4.3)

Proof.Fissiamo un x ∈ R applichiamo il criterio della radice alla serie numerica (nu-merica perchè x è fissato)

∑∞k=0 akx

k

k

limk→∞

√|akxk| =

k

limk→∞

√|ak||x| = lim

k→∞|ak|

1k · |x| =

= |x| · l =⇒ |x| · l < 1 converge la serie (4.4)

quindi ρ = 1l

In modo del tutto analogo si dimostra anche il caso per il teorema del rapporto.

Cauchy Hadamar GeneralizzatoIl teorema di Cauchy-Hadamar esposto precedentemente funziona solo se il li-mite l esiste, altrimento non si può eseguire un confronto. Si dimostra allostesso modo che si può sostituire il limite, col limite superiore, in particolare:Nozioni sulla classe limite: 1

1Per approfondimenti si faccia riferimento all’appendice A

29

Siaxn ∈ R , allora definiamo classe limite della successione:

Λ(xn) := [a ∈ R : a è limite di qualche sottosuccessione di xn]

Quindi il limxn := sup Λ(xn)Quindi i criteri di Cauchy-Hadamar e D’Alembert possono essere riscritti nelseguente modo:

1) l := lim|ak|1k

2) l := lim |ak+1||ak|

• Se l<1 la serie converge;

• se l>1 la serie non converge, perchè ak non tende a zero.

Questo teorema sarà di fondamentale importanza per capire la relazione esisten-te tra il raggio di convergenza di una serie di potenze e il raggio di convergenzadella sua derivata. In farticolare noteremo che sono uguali.

Teorema raggio di convergenza della derivata∑∞k=0 akx

k e la la sua derivata :∑∞k=1 kakx

k−1 hanno entrmabe lo stesso rag-gio di convergenza:

ProofEntrambe convergono in x=0, per x 6= 0, scriviamo la derivata come:

∞∑k=1

akxk−1 =

1x·∞∑k=1

kakxk (4.5)

Applichiamo il criterio di Cauchy-Hadamar:

1ρ′

= lim supk→+∞

|kak|1k = lim sup

k→+∞|k| 1k |ak|

1k = lim sup

k→+∞|ak|

1k =

1ρ

(4.6)

=⇒ ρ′ = ρ (4.7)(4.8)

In questo modo abbiamo dimostrato che i due raggi di convergenza della seriedata e della sua derivata, sono uguali.

Teorema di AbelSia data la seguente serie

∑∞0 akx

k di raggio di convergenza ρ. Se la serie∑∞0 akρ

k converge in ρ allora la serie di potenze converge uniformente in [0, ρ](In modo analogo si da la definizione per −ρ).

Esempio

arctan(x) =∞∑0

(−)kx(2k+1)

2k + 1(4.9)


Per x = 1 ) la serie:∞∑0

(−)k1

2k + 1converge per Leibnitz (4.10)

Allora per il teorema di Abel, la serie converge uniformente in [0,1], quindipossimao scrivere:

arctan(1) =∞∑0

(−)k1

2k + 1=π

4(4.11)

Questa serie numerica ci permette di avere una stima di π. Grazie al teoremadi Lagrange possiamo anche valutare l’errore sulla stima dopo l’ennesima ite-razione.

4.1 Serie di TaylorPrendiamo una funzione f ∈ C∞ : f : I ⊆ R aperto, prendiamo un x0 ∈ I(definito come centro di sviluppo) e quindi possiamo scrivere il polinomio diTaylor:

Pn(x) =n∑i=0

f (i)(x0)i!

(x− x0)i (4.12)

Pn(x) è la somma parziale della serie∞∑i=0

f (i)(x0)i!

(x− x0)i (4.13)

Questa serie convege sempre in x = x0

Teorema

f(x) =∞∑k=0

ak · (x− x0)k ∀x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ) =⇒ ak =f (k)(x0)

k!(4.14)

ProofSe abbiamo che:

f ∈ C∞ ∀x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ) (4.15)

Quindi la derivata ennesima ∀m > 0 ∈ N della funzione f nel punto può essereespressa in questi termini:

f (n)(x) =∞∑m

i(i− 1)(i− 2)....(i−m+ 1)ai(x− x0)i−m (4.16)

Ponendo x = x0 tutti i termini vanno a zero tranne f (k)(x) = k! · ai perchè ri-mane solo il temine della sommatoria per cuim = i, da cui si ricava banalmente:

ak =f (k)(x)k!

(4.17)

Che è il nostro asserto.

4.2. SVILUPPABILITÀ IN SERIE DI TAYLOR 31

4.2 Sviluppabilità in Serie di TaylorEsempiCi sono esempi di serie di funzioni la cui serie di Taylor converge, ma non con-verge alla funzione somma: Un tipico esempio è dato dalla seguente funzione:

f(x) = e−1x2 per x 6= 0

f(x) = 0 per x = 0

La cui serie di Tailor converge alla funzione identicamente nulla. A tal pro-posito si rende utile enunciare e dimostrare un criterio di sviluppabilità dellefunzioni in serie di taylor in modo tale che la serie stessa converga alla funzionesviluppata.Di concetti di convergenza possiamo come sempre esprimerne due, uno globalee uno “in piccolo” cioè una teoria di sviluppabilità locale entro un certo intornodi un punto.

Definizione Globale

f è sviluppabile in serie di Taylor centrata in x0 ∈ I se la serie di taylor con-verge alla funzione somma s = f quindi: ∀x ∈ I : f(x) =

∑∞0

f(n)(x0)n! (x−x0)n

Definizione Locale

Sia f ∈ C∞(I), f è analitica quando e solo quando ∀x0 ∈ I ∃U(x0) : f èsviluppabile in serie di taylor centrata in x0.

Da qui si arriva a definire un teorema importante sulla sviluppabilità dellefunzioni analitiche:

Teorema: Funzioni AnaliticheSia f sviluppabile in serie di Tayor su un intevallo aperto I centrata in qualchex0 ∈ I, allora f è ANALITICA in I.

ProofDa fare.

Teorema: Criteri di sviluppabilitàa) (Sviluppabilità Glogale) I ⊆ R intervallo aperto, f ∈ C∞(I), se |f (m)(x)| ≤A · Bm ∀m ≥ 0, ∀x ∈ I =⇒ ∀x0 ∈ I la funzione f è sviluppabile in tutto I inserie di taylor centrata in x0

b) (Sviluppabilità locale) I ⊆ R intervallo aperto, f ∈ C∞(I), se |f (m)(x)| ≤A ·Bm ·m! ∀m ≥ 0, ∀x ∈ I =⇒ f è analitica in I

Criterio Globale: ProofFissiamo un x0 ∈ I , prendiamo un x ∈ x 6= x0 e usiamo il teorema di lagrange,e lo sviluppo in serie con il resto di Lagrange che ci permette di scrivere:

Preso un ξ arbitrario : ξ ∈ (x0, x)


|s(x)− Pn(x)| ≤∣∣∣∣f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!

∣∣∣∣ ≤ A ·B(n+1)

(n+ 1)!|x− x0|(n+1) =

=A · (B|x− x0|)(n+1)

(n+ 1)!→ 0 per n→∞ (4.18)

Quindi converge se |f (n)(ξ)| ≤ ABn

Criterio Locale: ProofIl proseguimento della dimostrazione è identico a quello sopra solo che:|s(x)−Pn(x)| ≤ · · · ≤ A·B(n+1)

(n+1)! (n+ 1)!|x− x0|(n+1) = A · (B|x− x0|)(n+1) → 0quando e solo quando B|x−x0| < 1 quindi per un intorno x ∈ U(x0− 1

B , x0+ 1B )

Funzioni analitiche: Principio di identitàf, g analitiche in un intervallo aperto I ⊆ R, supponiamo che ∃xn ∈ I :xn → x0 ∈ I con xn 6= x0, ∀n ∈ N , e supponiamo che f(xn) = g(xn) =⇒ f = g.

Capitolo 5

Teoria della Misura secondoLebesgue

Iniziamo il nuovo argomento dando alcune definizioni fondamentali:Prendiamo un intervallo chiuso in Rn I = [a1, b1] × ..... × [an, bn] ⊆ Rn Lamisura di I sarà il valore del volume n-dimensionale:

m(I) :=n∏i=1

(bi − ai) (5.1)

5.1 Plurintervallo:Plurintervallo(chiuso) in Rn Def. P = ∪Nk=1In dove In sono intervalli chiusi.Ora dobbiamo definire bene la misura del pluri-intervallo per farlo dobbia-mo considerare insiemi che non si sovrappongano. Definiamo una griglia disuddivisione in piani iperbolici:

H(i) = x ∈ Rn : xi = a (5.2)

Definiamo griglia come una unione FINITA di piani iperbolici, tali che, perogni asse ve ne siano almeno 2 ad esso perpendicolari.Una griglia determina unnumero finito di intervalli non attraversati da nessun iperpiano.

Se noi abbiamo un pluriintervallo→ riesco a definire una griglia

Oltretutto abbiamo che:∀ plurintervallo P∃ almeno una (non unica!) griglia tale che P sia unione di“alcuni” intervalli identificati dalla nostra griglia (g). Quindi posso definire ilvalore del pluriintervallo come unione di intervalli (appartenenti alla griglia)che NON SI SOVRAPPONGONO.

Def.

P = ∪Nj=1Ij dove gli Ij sono determinati da una griglia. La nozioni di misuranasce quindi come:

m(P ) =N∑j=1

m(Ij) (5.3)

33

34 CAPITOLO 5. TEORIA DELLA MISURA SECONDO LEBESGUE

Si può dimostrare che la misura del plurintervallo non dipende dalla grigliascelta. Infatti se prendiamo un raffinamento di quella griglia (per esempioaggiungendo al reticolo, un iperpiano) ma la somma, per definizione, rimanecostante.

Definizione di APERTO DI UN INSIEMEPrediamo in esame E ⊆ RnEo := x ∈ E : ∃ un intorno U(x) per cui U(x) ⊂ EEsercizio: Dimostrare: Ec = Rn \ Ee dimostrare che : Eo = (Ec)c)

Osservazioni

P1 , P2 Plurintervalli Allora:a)P1

o ∩ P2o = =⇒ m(P1 ∪ P2) = m(P1) +m(P2);

b)In generale m(P1 ∪ P2) ≤ m(P1) +m(P2);c)Se P1 ⊆ P2 =⇒ m(P1) ≤ m(P2);d)∀P , ∀ε > 0 , ∃P1, P2 :

• P1 ⊂ P o,m(P )− ε ≤ m(P1) ≤ m(P ) + ε

• P ⊂ P2,m(P )− ε ≤ m(P2) ≤ m(P2) + ε

5.2 Misura per intervalli aperti e misura per com-patti

0) m() = 0;1)Sia A aperto : m(A) = supm(P ) : P plurintervalli : P ⊂ A;1-bis) Sia K compatto : m(K) = infm(P )P plurintervalli : k ⊂ P o;Per K = P plurintervallo, questa definizione on è in contraddizione con laprop(d)2) m(P o) = m(P ) si veda prop(d)3) Monotonia sugli aperti: A1 ⊆ A2 aperti =⇒ m(A1) ≤ m(A2)perchè sarebbe il sup dei pluritervalli contenuti in A1 che sono contenuti anchein A2

Lo stesso per i compatti: K1 ⊆ K2 compatti =⇒ m(K1) ≤ m(K2)Se ho un pluritenrvallo che contineneK2 allora come minimo conterrà ancheK1

Lemma: Monotonia mista tra aperti e compatti:Sia A aperto e K compatti : A,K ⊆ Rn allora:a) A ⊆ K =⇒ m(A) ≤ m(K);b) K ⊆ A =⇒ m(K) ≤ m(A);Proof.

a) prendiamo due Plurintervalli: P e P con P ⊂ A e K ⊂ P allora:

P ⊂ A ⊂ K ⊂ P o ⊂ P (5.4)

5.3. FUNZIONI 1-LIP :DISTANZA DA UN INSIEME 35

per plurintervalli la monotonia c’è =⇒ m(P ) ≤ m(P )ma supPm(P ) ≤ infPm(P )Da cui m(A) ≤ m(K)

b) prendiamo un x ∈ K. Considero l’intervallo Ix : x ∈ Iox, Ix ⊂ ALa famiglia Iox : x ∈ K è una copertura del compatto Kallora ∃x1, x2, ....., xn ∈ K : K ⊂ ∪ni=1I

ox = E se considero la chiusura:

P =n⋃i=1

Ix (5.5)

E’ un plurintervallo quindi:

K ⊂ E ⊂ P o ⊂ P ⊂ Am(K) ≤ m(P o) ≤ m(A)

m(K) ≤ m(A) (5.6)

5.3 Funzioni 1-lip :distanza da un insiemex ∈ Rn, r > 0 Br(x) := y ∈ Rn : ||x− y|| < r definizione di intorno sferico.E 6= ∅d(x,E) = inf||x, y|| : y ∈ E quindi la funzione x → d(x,E) è 1-Lip. inparticolare è continua.

|d(x,E)− d(z, E)| ≤ ||x− z|| (5.7)

5.4 Subaddittività degli apertiA,B ⊂ Rn aperti =⇒ m(A ∪B) ≤ m(A) +m(B)Per dimostrare questa asserzione ci serve prima dimostrare un lemma topolo-gico che ritornerà utile nella dimostrazione della subaddittività degli aperti:

Lemma TopologicoDati due insiemi aperti A e B non disgiunti, e un insieme compatto K t.c.K ⊂ (A ∪B) =⇒ ∃ un numero r > 0 tale che ∀x ∈ KBr(x) è tutta contenutain A oppure in B.

Proof. K Compatto , A,B aperti allora:K ⊂ (A ∪B) =⇒ ∃r > 0 tale che ∀x ∈ K : (Br(x) ⊂ A oppure Br(x) ⊂ B)Considero la funzione così definita:

f(x) = d(x,Ac) + d(x,Bc)→ è continua in tutto Rn (5.8)

f(x) > 0∀x ∈ K Per il teorema di Weiestrass:

∀x ∈ K : f(x) ≥ inff(K) = min f(K) := M > 0 (5.9)

Considerando un x ∈ K arbitrio abbiamo 2 possibilità:fissato r = M

2


1. d(x,Ac) > M2

2. d(x,Bc) > M2

infatti f(M/2) = MSe la distanza dal complementare è maggiore di M2allora BM

2(x) ⊂ A oppure in B. Quindi il nostro r = M

2Ora basandoci sul lemma topologico diventa semplice dimostrare la subaddit-tività degli aperti:P , plurintervallo qualsiasi, P ⊂ A∪B, g una griglia tale che : P = ∪Nj=1Jj dovei Jj sono determinati dalla griglia g e sia il diam(Jj) < r del lemma topologicoallora abbiamo che per le ipotesi dello stesso lemma topologico: ∀j : Jj ⊂ Aoppure Jj ⊂ B quindi:

P1 =⋃

j∈[1,N ],Jj⊂A

Jj e P2 =⋃

j∈[1,N ],Jj⊂B

Jj (5.10)

sia P = P1 ∪ P2 e P1 ⊂ A,P2 ⊂ B allora:

m(P ) ≤ m(P1) +m(P2) (5.11)

passando al sup:

m(P ) ≤ m(P1) +m(P2) ≤ m(A) +m(B) (5.12)

quindi:

m(A ∪B) ≤ m(A) +m(B) (5.13)

Come dimostrato vale la subadditività finita sugli aperti, più in generale ab-biamo che:

m(N⋃i=1

Ai) ≤N∑i=1

m(Ai) (5.14)

questo risultato lo si ottinene dal precedente per induzione. Ora estendiamo ilconcetto per unioni numerabili di insiemi.

5.5 Subadditività numerabile sugli aperti

Prendiamo la famiglia di insiemi aperti Ak+∞k=1 ⊂ Rn =⇒ m(∪Ak∞i=1) ≤∑∞i=1m(Ak)

Proof.Prendiamo un nostro plurintervallo P ⊂

⋃∞i=1Ak ma P è compatto e

⋃∞i=1Ak

è una sua copertura, quindi posso estrarre (per definizione di compatto) unasua sottocopertura finita, quindi ∃N : P ⊂

⋃Ni=1Ak quindi:

m(P ) ≤ m(N⋃i=1

Ak) ≤N∑i=1

m(Ak) ≤∞∑i=1

m(Ak) (5.15)

5.6. MISURABILITÀ DEGLI INSIEMI LIMITATI 37

Passando al sup : supm(P ) = m(∞⋃i=1

Ak) allora:

m(∞⋃i=1

Ak) ≤∞∑i=1

m(Ak) (5.16)

Lemma Superadditività sui compattiPresi due compatti disgiunti, H,K : H ∩K = allora:

m(K ∪H) ≥ m(K) +m(H) (5.17)

Dimostrazione pagina 455 FMS (ma c’è un errore) ... quando si ha tempocontrollarlo.

5.6 Misurabilità degli insiemi limitatiDi un insieme possiamo definire una misura interna e una misura esterna:

me(E) = infm(A) : Aaperto, E ⊆ A (5.18)mi(E) = supm(K) : Kcompatto,K ⊆ E (5.19)

Osservazioni:

1. me, mi sono monotone;

2. mi(E) ≤ me(E);1

3. Se E è aperto =⇒ mi(E) = m(E);

4. Se E è compatto =⇒ me(E) = m(E);

Definizione:Preso E ⊂ Rn Limitato E è misurabile ⇐⇒ mi(E) = me(E)

Osservazione1:E misurabile ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃K compatto, A aperto : K ⊆ E ⊆ A =⇒m(A)−m(K) < ε

Osservazione2:Ogni Aperto limitato e ogni compatto sono misurabili.Proof.a) A aperto limitato:-)me(A) = m(A) = supP⊆Am(P ) ≤ supK⊆Am(K) = mi

-) Ma sappiamo che mi(A) ≤ me(A)quindi si ricava l’asserto: me(A) = mi(A) se A è aperto e limitato.b) Compattezza Nello stesso modo.

1infatti: ∀K ⊇ E∀A ⊇ E : m(K) ≤ m(A) (per monotonia)=⇒ ∀A ⊃ E , mi ≤ m(A) =⇒ mi(E) ≤ me(E)


5.7 Misura secondo Peano-JordanRispetto alla misura di Lebesgue possiamo definire anche un metodo di misurapiù semplice. Questa nozione di musura è detta di Peano-Jordan(P-J) ed èmolto simile alla misura secondo Reimann in quando si approssima con unplurintervallo esterno ed uno interno per poi passare al limite. Vedremo qui diseguito che questo tipo di misura ha dei limiti. Alcune cose che sono misurabilisecondo la teoria di Lebesgue NON sono misurabili con la teoria di Peano-Jordan.Consideriamo la misura “superiore” come:

m(E) := infP⊇E

m(P ) (5.20)

e una misura “inferiore“ come:

m(E) := supP⊆E

m(P ) (5.21)

Da questa definizione riusciamo a mettere in evidenza i limiti della misura se-condo P-J:

m(E) ≤ mi(E) ≤ me(E) ≤ m(E) (5.22)

Quindi se m(E) = m(E) per la catena di disugualianze abbiamo che mi(E) =me(E) quindi se E è misurabile secondo P-J allora è anche misurabile secondoLebesgue. Ma NON vale l’implicazione inversa. Se E è misurabile secondoLebesgue non è detto che lo sia anche secondo P-J.Lemma(subaddittività di me e superadditività di mi)Prendiamo: E,F ⊆ Rn limitati:a) me(E

⋃F ) ≤ me(E) +me(F );

b) Se E⋂F = ∅ =⇒ mi(E

⋃F ) ≥ mi(E) +mi(F ).

Proof.Per dimostrare questo Lemma verrà sfruttata la subaddittività sugli aperti:a) ∀ε > 0 , ∃A ⊇ E , B ⊇ F aperti :

m(A) < me(E) + ε (5.23)m(B) < me(F ) + ε (5.24)

(A ∪B) ⊃ (E ∪ F ) per definizione di misura esterna:me(E ∪ F ) ≤ m(A ∪B) ≤ m(A) +m(B) < me(E) +m(F ) + 2εPassando al limite ε→ 0+ ottengo la disugualianza non stretta.b) Simile,(solo che prendo i compatti).

CorollarioSe E,F limitati misurabili: E ∩ F = ∅ =⇒ E ∩ F è misurabile:m(E) := me(E) = mi(E) =⇒ m(E ∪ F ) = m(E) +m(F )

Proof.

me(E⋃F ) =≤ m(E) +m(F ) ≤ mi(E

⋃F ) ≤ me(E

⋃F ) (5.25)

5.7. MISURA SECONDO PEANO-JORDAN 39

Tra il primo e l’ultimo termine c’è ugualianza, quindi le disugualianze nonstrette in mezzo diventano tutte ugualianze.

OsservazioneE,F misurabili e limitati, sia definita la loro differenza come: E \F = (E

⋂F c)

misurabile ed F ⊆ E =⇒ m(E \ F ) = m(E)−m(F )

Proof. m(E) = m(F⋃

(E \ F )) sono misurabili disgiunti quindi:m(E) = m(F

⋃(E \ F )) = m(F ) +m(E \ F ) =⇒ m(E \ F ) = m(E)−m(F )

LemmaE,F, Limitati misurabili allora anche \F , E

⋃F ed E

⋂F , sono misurabili:

Proof.Caso di E \ F :∀ε > 0 ∃H,K compatti e A,B aperti tali che :-)H ⊆ E ⊆ A,m(A)−m(H) < ε-)K ⊆ F ⊆ B,m(B)−m(K) < ε

(H \B) = (H⋂Bc) ⊆ (E \ F ) ⊆ (A

⋂Kc) = (A \K)

Ora devo vedere se A \K e H \B sono numerabili per applicare la definizioneprecedente. A tale scopo definisco un insieme D dato da:

D := (A \K) \ (H \B)

che riscrivendolo in forma più agevole:

D = (A⋂Kc) \ (H

⋂Bc) = (A

⋂Kc)

⋂(H⋂Bc)c = (A

⋂Kc)

⋂(Hc

⋃B)

Ma (A⋂Kc) e (Hc

⋃B) sono APERTI ! quindi D è misurabile e posso scrivere:

m(D) = m(A \K)−m(H \B)

Ora riscrivendo l’insieme D in un modo migliore (per esempio usando la pro-prietà distributiva dell’intersezione), arriviamo a dire che:

D = (A⋂Kc⋂Hc)

⋃(A⋂Kc⋂B) ⊆ (A

⋂Hc)

⋃(B⋂Kc)

Quindi ora diventa semplice in quando:m(D) ≤ m((A

⋂Hc)

⋃(B⋂Kc)) = m((A\H)

⋃(B \K)) ≤ m(A\H)+m(B \

K) = m(A)−m(H) +m(B)−m(K) < 2ε =⇒ (E \ F ) è misurabileOra diventa banale dimostrare anche gli altri casi:

Caso di E⋃F :

E⋃F = E

⋃(F\E) sono misurabili e disgiunti allora anche E

⋃F è misurabile.

Caso di E⋂F :

E⋂F = E

⋃(E \ F ) sono misurabili, allora è misurabile E

⋂F .


5.8 Addittività numerabile di insime numerabililimitati [σ - addittività]

Pendiamo ∀k ∈ N tutt gli Ek insiemi misurabili, limitati e disgiunti a due adue tali che:

E :=∞⋃k=1

Ek sia limitato (5.26)

Allora E è misurabile e ha misura:

m(E) =∞∑k=1

m(Ek) (5.27)

Proof.Per dimostrare questo teorema partiremo considerando le somme parziali dellaserie delle misure:

N∑k=1

m(Ek) = m(N⋃k=1

Ek) = mi(N⋃k=1

Ek) ≤ mi(E) ∀N ∈ N (5.28)

per N → +∞ otteniamo che:∞∑k=1

m(Ek) ≤ mi(E) (5.29)

Stesso modo, ∀ε , ∀k ∈ N sia Ak ⊇ Ek un aperto tale che:

m(Ak) ≤ m(Ek) +ε

2k(5.30)

Per la subaddittività numerabile di m sugli aperti si ha allora:

me(E) ≤ m(∞⋃k=1

Ak) ≤∞∑k=1

m(Ak) ≤∞∑k=1

m(Ek) + ε (5.31)

Per l’arbitrarietà di ε =⇒ me(E) ≤∑∞k=1m(Ek)

Quindi abbiamo che:∞∑k=1

m(Ek) ≤ mi(E) (5.32)

e poi abbiamo che:

me(E) ≤∞∑k=1

m(Ek) (5.33)

dato che:

mi(E) ≤ me(E) =⇒∞∑k=1

m(Ek) ≤ mi(E) ≤ me(E) ≤∞∑k=1

m(Ek) (5.34)

Ma primo e ultimo termine sono identici, quindi l’identità passa a tutta lascrittura arrivando a dire:

m(E) =∞∑k=1

m(Ek) (5.35)

5.9. SUBADDITTIVITÀ NUMERABILE [σ]-SUBADDITTIVITÀ 41

5.9 Subaddittività numerabile [σ]-SubaddittivitàDal teorema precedente si può arrivare a generalizzare per insiemi non mutual-mente disgiunti la subaddittività numerabile dell’unione di insiemi misurabili,solitamente conosciuta come [σ - subaddittività]Ek limitati misurabili con

⋃∞1 Ek limitata =⇒

⋃∞1 Ek è misurabile e vale la σ

- subaddittività quindi:

m(∞⋃1

Ek) ≤∞∑1

m(Ek) (5.36)

Proof.Prendiamo i seguenti insiemi così definiti:F1 = E1

F2 = E2 \ E1

F3 = E3 \ (E1

⋃E2)

· · ·Fk = Ek \ (

⋃∞i=1Ei) → sono misurabili per il teorema visto in precendenza

sulla differenza di insiemi misurabili quindi :

(∞⋃i=1

Ei) = (∞⋃i=1

Fi) è misurabile (5.37)

Quindi si arriva all’asserto in quanto per monotonia abbiamo che Fk ⊆ Ek:

m(∞⋃i=1

Ei) =∞∑1

m(Fk) ≤∞∑1

m(Ek) (5.38)

5.10 Insiemi misurabili illimitatiDefinizioneSia E ⊆ Rn generico (limitato o non limitato) allora: E è misurabile SE ∀r > 0∃Br(0) : E

⋂Br(0) è misurabile.

1. Per E limitato questa definizione coincide con la precedente (l’r lo possosciegliere in modo arbitrario, e se E e limitato, lo posso scegliere in modotale che la bolla contenga tutto E;

2. Rn è miusurabile;

3. Ogni aperto A ⊆ Rn è misurabile.

DefinizioneSia dato E misurabile =⇒

=⇒ m(E) := limr→+∞

m(E⋂Br(0)) (5.39)

questo limite esiste per monotonia. Quindi posso scrivere il sup:

=⇒ m(E) := supr>0

m(E⋂Br(0)) ∈ [0,+∞] (5.40)


5.11 Misura di aperti illimitatiSia A ⊆ Rn , aperto allora m(A) ha la stessa forma della misura scrittaprecedentemente cioè:

m(A) := supP⊆A

m(P ) = supr>0

m(A⋂Br(0)) = µ (5.41)

Proof.Prima considerazione:

1µ = supr>0

(sup

P⊆(ATBr(0))

m(P )

)≤ m(A) (5.42)

Seconda consiederazione:Prendiamo un t < m(A) arbitrario per la proprietà del sup allora esisterà unplurintervallo contenuto in A tale che la il sup della misura dei plurintervallisia maggiore di t:

∃P ⊆ A : m(P ) > t =⇒ t < m(P )

≤ m(A⋂Br(0))

per P ⊆ (A⋂Br(0)) (5.43)

Quindi otteniamo che t < µ (passando al sup).Facendo il limite per t→ m(A)− abbiamo che m(A) ≤ µMettendo insieme le due disugualianza otteniamo l’assserto cioè:

m(A) = µ

TEOREMA RIASSUNTIVOSiano dati E , Ek ⊂ Rn misurabili allora:

1. Gli aperti (A) e i compatti (K) di Rn sono misurabili;

2. ∅ e Rn sono misurabili;

3. Ec ,⋃∞

Ek ,⋂∞

Ek sono misurabili;

4. E1 ⊂ E2 =⇒ m(E1) ≤ m(E2);

5. m(⋃∞

Ek) ≤∑∞

m(Ek) [σ - subaddittività];

6. Se gli Ek sono mutualmente disgiunti: m(⋃∞

Ek) =∑∞

m(Ek) [σ -addittività];

7. Se E è misurabile =⇒ mi(E) = me(E) = m(E);

8. ∀v ∈ Rn : m(E + v) = m(E) dove E + v := ∀x ∈ E : x+ v [invarianzaper traslazione];

9. ∀λ > 0m(λE) = λnm(E) [omogeneità di grado n];

5.11. MISURA DI APERTI ILLIMITATI 43

10. m(E) = 0, prendoF ⊆ E =⇒ F è misurabile e m(F ) = 0 [completezzadella misura di Lebesgue];

11. E1 ⊂ E2 ⊂ E3 ⊆ · · · =⇒ m(⋃∞

Ek) = limk→+∞ m(Ek) = sup

k∈N m(Ek)

12. E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊇ · · · supponendo m(E1) < +∞ =⇒ m(⋂∞

Ek) = limk→+∞

m(Ek) = = infk∈N m(Ek)

Proof.

1) e 2) già dimostrate ;

3) Per dimostrare che Ec è misurabile applichiamo la definizione: per esse-re misurabile Ec dev’essere misrabile Ec

⋂Br(0). Ma quest’ultimo insiseme

possiamo scriverlo come Br(0)\ (E⋂Br(0))Br(0) ed E sono misurabili, quindi

Ec è misurabile.Usando i teoremi di De Morgan si riescono a dimostrare anche i casi dell’inter-sezione e dell’unione infatti:

∞⋂Ek =

(∞⋃Eck

)c(5.44)

Per i teremi precenti questa scrittura identifica insiemi tutti misurabili.

10) m(E) = 0 e F ⊆ E generici (lititati o illimitati) allora notiamo che dalladefinizione di misurabile:

F⋂Br(0) ⊆ E

⋂Br(0)

m(E⋂Br(0)) = 0 quindi

m(E⋂Br(0)) = me(E

⋂Br(0)) = inf

A⊇(FTBr(0))

m(A) (5.45)

Da qui si deduce che:∀ε > 0∃A aperto ⊇ (E

⋂Br(0)) :me(E

⋂Br(0)) = infA⊇(E

TBr(0))m(A)

A ⊇ F⋂Br(0) =⇒ me(F

⋂Br(0)) ≤ m(A) < ε

Quindi :∀ε > 0 me(F

⋂Br(0)) = 0 , mi(F

⋂Br(0)) = 0 =⇒ F

⋂Br(0) è misurabile.

F è misurabile di misura nulla.11)Consideriamo le seguenti ”corone”:E1, E2 \E1, E3 \E2, · · · , Ek \Ek−1 questi insiemi sono mutualmente disgiunti(a due a due) quindi :

m(∞⋃Ek) =

∞∑m(Ek \ Ek−1) con E0 = ∅

limn→+∞

[m(E1) +n∑2

m(Ek \ Ek−1)] = limn→+∞

[n⋃2

Ek

]+m(E1) =

= limn→+∞

m(En) (5.46)

da cui segue l’asserto applicando il Sup.


12)Consideriamo i seguenti insiemi:E1 \ E1 ⊆ E1 \ E2 ⊆ E1 \ E3 · · ·

∞⋃(E1 \ Ek) = E1 \

∞⋂(Ek) Da qui possiamo scrivere:

m(E1)−m

(∞⋂(Ek)

)= m

(E1 \

∞⋂(Ek)

)= lim

k→+∞m(E1 \ Ek)

= m(E1)− limk→+∞

m(Ek) (5.47)

Da cui segue l’asserto.

5.12 Teorema di CarathèodoryUn altro modo per definire la misura di un insieme è col teorema di Caratheo-dory che, utilizzando solo la nozione di misura esterna, permette di semplificarenotevolmente le cose.

E ⊆ Rn è misurabile ⇐⇒ ∀S ⊆ Rn : me(S) = me(S⋂E) +me(S \ E)

5.13 Insiemi di misura nullaQui di seguito verranno elencate una serie di proprietà tipiche degli insiemi dimisura nulla:

1. Sia m(E) = 0 , Sia F ⊆ E =⇒ m(F ) = 0;

2. Sia m(Ek) = 0 , ∀k ∈ N =⇒ m(⋃∞

1 Ek) = 0 (segue dalla subadditività);

3. m(Eo) = 0 =⇒ E è misurabile=⇒ m(E \ Eo) = m(E) = m(E

⋃Eo) usando la subadditività:

m(E) ≤ m(E⋃Eo) =⇒ m(E) = m(Fo) + m(E) ≥ m(E

⋃Eo) =⇒ E =

(E \ Eo)⋃

(Eo⋂E) =⇒ m((E \ Eo)

⋃(Eo

⋂E)) = 0;

4. Ogni insieme al più numerabile Finito o Numerabile E ⊂ Rn ha misuranulla:m(x) = 0;

5. ∃C ⊂ R compatto : card(C) = card(R) = χ1 =⇒ m(C) = 0; Ternariodi Cantor

6. ∀ε > 0 ∃ Aε ⊆ R aperto : m(Aε) ≤ ε e Aε = R;per esempio: m(Q) = 0 = infA⊇Qm(A) =⇒ ∀ε > 0 ∃ Aε ⊃ Q :m(Aε) ≤ ε =⇒ Aε ⊇ Q = R;

7. Sia P una proprietà dei punti di Rn diciamo che P vale QAUSI OVUN-QUE in Rn se :m(x ∈ Rn : x non soddisfa P)=0 e si abbrevia con q.o. (oppure a.e.)

5.14. FUNZIONI MISURABILI 45

Esempiof(x) = g(x) q.o. x ∈ E ⊆ Rn misurabile =⇒ m(x ∈ E : f(x) 6= g(x)) = 0

5.14 Funzioni MisurabiliSiano X,Y insiemi generici , sia f : X → Y . Prendo dei sottoinsiemi di Y :A,Aα ⊆ Y Allora:

• f−1(Ac) = [f−1(A)]c;

• f−1(⋃αAα) =

⋂f−1(Aα);

• f−1(⋂αAα) =

⋂f−1(Aα);

AVVERTENZAQuesti discorsi valgono in generale per le CONTROIMMAGINI, ma non per leimmagini!!!!!

5.15 Misurabilità delle FunzioniSia data f : Rn → R dove R = [−∞,+∞] allora è misurabile se f soddisfa unadelle seguenti proposizioni EQUIVALENTI:

1. ∀t ∈ R f−1((t,+∞]) = x ∈ Rn : f(x) > t è misurabile;

2. ∀t ∈ R f−1([t,+∞]) = x ∈ Rn : f(x) > t è misurabile;

3. ∀t ∈ R f−1([−∞, t)) = x ∈ Rn : f(x) > t è misurabile;

4. ∀t ∈ R f−1([−∞, t]) = x ∈ Rn : f(x) > t è misurabile;

5. f−1(−∞) , f−1(+∞) , f−1(A) (dove A ⊆ R aperto) sono misurabili;

6. ∀A ⊆ R aperto: f−1(A) è misurabile;

Proof.1 =⇒2: [t,+∞] = ∩∞1 (t− 1/n,+∞]=⇒si raggiunge l’arsserto;2 =⇒1: (t,+∞] = ∪∞1 [t+ 1/n,+]=⇒si raggiunge l’asserto;Per le altre si unsano le proprietà dei complementari:1 =⇒4: [-∞,t] = (t,+∞]C1-4 =⇒5: +∞=[-∞,+∞)= ∪∞1 [−∞, n)C

A ⊆ R aperto =⇒A= ∪∞1 (an, bn)con (an, b, n ∈ R) =⇒A=∪∞1 [(an,+∞)⋂

[−∞, bn)]⇐= (t,-∞]=(t,+∞)

⋃+∞

TeoremaSiano date lefunzioni f, g, fk : Rk → R con (k ∈ N) supponiamoche siano fun-zioni misurabili allora sono misurabili le seguenti funzioni:


1. c · f con (c ∈ R);

2. f + g;

3. fg ;

4. S = supk fk ; S(x) = supk∈N fk(x);

5. s = infk fk;

6. L = lim supk→+∞ fk ; l = lim inf k → +∞fkProof.somma: f(x) + g(x) > t ⇐⇒t− g(x) < f(x) ⇐⇒∃q ∈ Q : t− g(x) < q < f(x)⇐⇒f(x) > q; g(x) > t − q =⇒f + g > t = (f + g)−1((t,+∞]) =⇒f + g >t = f > g

⋂g > t− q

Unione misurabile di insiemi misurabili =⇒è misurabile.

prodotto: Dimostriamo inizialmente che f2 è misurabile:f misurabile =⇒f2 misurabile f2 > t se t<0 =⇒∀x ∈ Rse t >0 =⇒f ≥

√t⋃f ≤ −

√t. Sono tutti insiemi misurabili, quindi f2 è

misurabile.Il prodotto possiamo vederlo in questo modo:

f · g = 12 [(f + g)2 − f2 − g2]

Per il teorema precednete (f+g) è misurabile, e per il lemma appena dimostra-to, quindi, è misurabile pure il suo quadrato, f2 e g2 sono misurabili sempreper il lemma, allora f · g è misurabile.

Sup:

S > t =∞⋂k=1

fk > t =⇒ S(x) > t ⇐⇒ ∃k ; fk(x) > t (5.48)

Limsup:

L(x) = lim supk→∞

fk(x) = infn∈N

( supk≥m

fk(x)) → è tutto misurabile. (5.49)

Corollario1) f, g misurabile =⇒sono misurabili anche maxf, g;in più si noti che:f+ = maxf, 0f− = −minf, 0 = max−f, 0 = (−f)+

f = f+ − f−|f | = f+ + f−

2) f = g q.o. misurabile in Rn, fmisurabile =⇒gmisurabile;3)fk misurabile , fk → f puntualmente in Rn =⇒f è misurabile

f(x) = limkfk(x) = lim sup

k

(supkfk(x)

)(5.50)

DEFINIZIONESia f : E → R con E ⊆ Rn f misurabile in E se ∀t ∈ R =⇒f−1((t,+∞])

⋂E

è misurabile

5.16. INSIEME NON MISURABILE DI VITALI 47

5.16 Insieme non misurabile di VitaliE’ opportuno in questo ambito introdurre un nuovo concetto. Quello di classe di equivalenza.Definiamo:

x ∼ y ⇐⇒x− y ∈ Q con x, y ∈ R

Le proprietà delle classi di equivalenza sono le seguenti:

• Riflessiva : x ∼ x;

• Simmetrica : x ∼ y = y ∼ x ;

• Transitiva : x ∼ y , y ∼ z =⇒x ∼ z

La transitiva è ovvia in quanto: x-z=(x-y)+(y-z) quindi si raggiunge l’asserto.Allora questo ci dice che R è divisibile in classi di equivalenza, e lo indichiamocon la seguente scrittura: (R/ ∼).costruzione dell’insieme:Da ogni classe di equivalenza scegliamo un rappresentante appartenente a (0,1).Definiamo:

E:=Insieme di tutti i rappresentanti

Se io ho x ∈ R la sua classe di equivalenza sarà E := x+ q : q ∈ Q =⇒Tra 0e 1 trovo un rappresentante. =⇒E ⊂ QScelto l’insieme Q0 = Q

⋂(−1, 1) che rappresenta tutti i razionali tra -1 e 1.

Prendo un q ∈ Q0 e costruisco F :

F =⋃q∈Q0

(q + E) ⊆ (−1, 1) + (0, 1) = (−1, 2) =⇒ F ⊆ (−1, 2) (5.51)

Se il nostro x iniziale x ∈ (0, 1) apparterrà a qualche classe di equivalenza,quindi ∃ e ∈ E : x − e = q ∈ Q =⇒q ∈ (0, 1) , e ∈ (0, 1) =⇒q − e =(0, 1) + (−1, 0) = (−1, 1) =⇒q − e ∈ (−1, 1) =⇒q ∈ Q0 =⇒q + e ∈ q + E=⇒x ∈ FQuindi arriviamo a dire che :

(0, 1) ⊆ F ⊆ (−1, 2)

Dopo aver costruito E e F, ora dimostriamo che E non è misurabile.Per assurdo supponiamo E MISURABILE =⇒:=⇒q + E è misurabile2 ∀q ∈ Q0 =⇒F è misurabile.

1 ≤ m(F ) ≤ 3

Osserviamo:per q1, q2 ∈ Q0 con q1 6= q2 =⇒che (q1 + E)

⋂(q2 + E) = ∅. Infatti prendiamo

un y ∈ (q1 + E)⋂

(q2 + E) =⇒y = q1 + e1 = q2 + e2 =⇒e1 − e2 = p ∈ Q0 mae1 − e2 ∈ E ; quindi E conterrebbe due elementi distinti di una stessa classe

2q+E è misurabile perchè l’impotesi (di assurdo) E misurabile è invariante per traslazione.Se è misurabile E saranno misurabili anche i suoi traslati di un numero razionale.


di equivalenza in quanto risulterebbe e1 ∼ e2 il che, per come è costruito E,risulta essere un assurdo.

La mutua disgiunzione degli insiemi scritti precedentemente implica che

m(F ) =+∞∑q∈Q0

m(q + E) (5.52)

Ma questo è un ASSURDO !!!! Dalle considerazione di prima abbiamo vistoche m(f) < +∞ qui invece otteniamo che la misura di F è definita con quellasommatoria di infiniti termini costanti3 e con questa definizione arrivo all’as-surdo che : m(f) = +∞ quando invece so che 1 ≤ m(F ) ≤ 3Arrivo quindi a dimostrare che E non è misurabile pur essendo un sottoinsieme di R.Col teorema di Fubini-Tonelli arriveremo ad estendere questa definizione a tuttoRn

Ternario di CantorRitorniamo agli insiemi a misura nulla. Tra questi insimi ve ne sono alcuni conproperità interessanti, uno di questi è il Ternario di Cantor.Costruiamo una successione di insiemi tali che:

C0 = [0, 1], C1 = C0 \ [ 13 ,

23 ]ecc.....

Quindi si arriva facilmente a bigcapire che :

C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3......tutti compatti 6=

TERNARIO DI CANTOR:

C =+∞⋂k∈N

Ck (5.53)

m(C0) = 1m(C1) = 2

3...m(Ck) = 1−

∑k−1i=0

2i

3i+1

Si può dimostrare che:

m(C) = limk→+∞

m(Ck) = 1−∞∑i=0

2i

3i+1= 1− 1

3113

= 1− 1 = 0 (5.54)

3E ha misura sua, il traslato di q è disgiunto quindi sommo infinite volte la misura di E

5.17. FUNZIONI MISURABILI: L’INTEGRALE DI LEBESGUE 49

Proprietà del ternario di Cantor

a) C è compatto, C 6= ∅;b)m(C) = 0;c) card(C) = card(R);d) Co = ∅;e) C non ha punti isolati;

Proprietà C: S = le successioni in 0,1.x ∈ C → 0-1-0-1-0-1-1 ( se interseca il ternario a destra o a sinistra) =⇒card(C) =card(S) = card(P (N)) =⇒card(C) è del continuo.

5.17 Funzioni Misurabili: l’integrale di LebesgueDefiniremo per prima cosa il concetto di funzione semplice:

f : Rn → R è misurabile ⇐⇒:

⇐⇒∀t ∈ Rf−1((t,+∞]) è misurabile;⇐⇒∀A ⊂ R aperto f−1(A) , f−1(+∞) , f−1(−∞) sono misurabili.quindi Una funzione SEMPLICE è così definita:

s : Rn → R

è una funzione semplice se s è misurabile e I=s(Rn) è un insieme finito.

se I è un insieme finito allora posso scriverlo nel seguente modo: I=s(Rn):=c1, c2, ..., cncon ci 6= cj per i 6= jSe prendiamo Ei = s−1(c1) è misurabile.Per semplicità consideriamo la seguente funzione:

s(x) =N∑i=1

ciχEi(x) (5.55)

se x ∈ E=⇒s(x) = x dove Ei sono mutualmente disgiunti. Ma vale anche ilviceversa:

se abbiamo s(x) =∑Ni=1 ciχEi(x)con Ei misurabili =⇒s(x) è semplice.

TEOREMAEnunciamo il teorema per funzioni positive:sia f : Rn → [0,+∞] misurabile =⇒∃ una successione crescente di funzionisemplici che converge puntualmente a f .=⇒∃skk∈N funz. semplici : 0 ≤ s(s) f puntualemnte in Rn, cioè:a) 0 ≤ sk ≤ sk+1 in Rn per ogni k ∈ N; b) ∀x ∈ Rn f(x) = limk→+∞ sk(x);c) In più fk(x)→ f(x) in modo uniforme, in ogni insieme in cui f è limitata.

∀n ≥ 1 condisederiamo le funzioni gn : R→ [0,+∞) definite come segue:


gn(y) = 0sey < 0oy = −∞gn(y) = 1

2n [2ny]se0 ≤ y < 2n

gn(y) = 2nsey ≥ 2noy = +∞

Ogni gn assumesolo un valore finito di valori e presenta discontinuità nei puntiy = k

2n [con k = 1, ..., 4n , in cui è continua da destra per n → ∞ si ha chegn(y) ↑ y e per ogni a ∈ R l’insieme g−1

n ((−∞, a)) è un aperto di R. Da questosegue che le funzioni:

s(x) = 0 se x ∈ Ecs(x)=(gn o f) se x ∈ E

sono semplici, misurabili nulle in Ec e soddisfano 0 ≤ sn ↑ fRiasumendo:sk → f puntualmente su x ∈ Rn allora:

a)f(x) = +∞ =⇒x ∈ Ek∀k ∈ N =⇒sk(x) = k → +∞ = f(x);

b)f(x) < +∞ =⇒∃k0 ∈ N : f(x) < k0

∀k ≥ k0 : f(x) ≤ k =⇒∃i : f(x) ∈]i−12k, i

2k

)=⇒sk(x) = i−1

2k=⇒0 ≤

f(x)− sk(x) < 12k∀k > k0 =⇒sk → f

Integrale di Lebesgue per funzioni non negativef ≥ 0

sia s =∑Ni=1 ci · χEi la nostra funzione semplice. Allora:

∫Rns =

N∑i=1

ci ·m(Ei) (5.56)

Con la convenzione che 0·m(Ei) = 0 anche se ci troviamo davanti ad una formadi indecisione del tipo: 0 · ∞.Oppure possiamo scrivere:

∫E

s =N∑i=1

cim(Ei⋂E) =

∫Rn

N∑i=1

ciχ(EiTE) (5.57)

Ma sappaiamo che :

χEiTE = χEi · χE (5.58)

Quindi:

∫E

s =∫Rns · χE (5.59)


Definizione:Sia f : Rn → [0,+∞] misurabile =⇒per ogni funzione di questo tipo possodefinire l’integrale:Sia E ⊆ Rn

∫E

f := sup∫

E

s : s semplice ,0 ≤ s ≤ f,∈ E

(5.60)

Prime proprietà:Siano f, g ≥ 0 misurabili ed un c ≥ 0, siano E,F ⊆ Rn allora:

1.∫Ef =

∫Rnf · χE ;

2. f ≤ g in E=⇒∫Ef ≤

∫Eg Quindi se f = g abbiamo che

∫Ef =

∫Eg ;

3. Monotonia sugli insiemi di integrazione: sia E ⊆ F=⇒∫Ef ≤

∫Ff ;

4.∫E

(c · f) = c ·∫Ef

5. f = 0 in E=⇒∫Ef = 0

ProposizioneSia s ≥ 0 semplice, Ek ⊆ Rn (k ∈ N) misurabili e mutualmente disgiunti. Sia

E =∞⋃k=1

Ek =⇒∫E

s =∞∑k=1

∫Ek

s (5.61)

Proof.Prendiamo s semplice:

s(x) =N∑1

ciχFi (5.62)

Allora l’integrale di s sull’insieme E possiamo scriverlo come:4

∫E

s =N∑i=1

ci ·m(Fi⋂E) =

N∑i=1

ci ·

( ∞∑k=1

m(Fi⋂Ek)

)

=∞∑k=1

(N∑i=1

ci ·m(Fi⋂Ek)

)=∞∑k=1

∫Ek

s (5.63)

Note:1)(Fi

⋂E) = ∪∞K=1Fi

⋂Eksono mutualmente disgiunti;

2)∑Ni=1 ci ·m(Fi

⋂Ek) =

∫Eks

4Basta usare le proprietà prima elencate


Teorema della convergenza Monotona (o di Beppo-Levi)Questo Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, vale solo nelcaso in cui le nostre funzioni siano a valori positvi, infatti il teorema dice che:Sia E ⊂ Rn misurabile fk : E → [0,+∞] misurabili in E e in modo tale chesoddisfino:

f1 ≤ f2 ≤ f3 ≤ · · · in E (5.64)

Chiamiamo:

f(x) = limk→+∞

fk(x) con k ∈ N e x ∈ E =⇒∫E

f = limk→+∞

∫E

fk (5.65)

Proof.Dimostriamo il teorema su tutto Rn supponendo che E = Rn ed estendendo fa Rn fcendo in modo tale che su Ec la funzione abbia valore 0.Per la monotonia dell’integrale abbiamo che:

∫Rnf1 ≤

∫Rnf2 ≤

∫Rnf3 ≤ · · · ≤

∫Rnf (5.66)

Allora:

∃ limk→∞

∫Rnfk ≤

∫Rnf (5.67)

L’esistenza di questo limite è suggerito dalla monotonia delle fk, infatti se leipotesi del teorema valgono, allora eiste il limite delle fk per monotonia, seesite il limite delle fk allora essiterà pure il limite per l’integrale.

Prendo s semplice T.c. 0 ≤ s ≤ f , quindi s potrebbe anche essere ugulalea f in alcuni punti, quindi prendiamo un α ∈ (0, 1) e contraiamo le distanteusando α come costante moltiplicativa.Definiamo un insieme E0 t.c.a) E0 6= ;b) L’insime è così definito: Ek=x ∈ Rn : fk(x) ≥ αs(x) = (fk−αs)−1([0,+∞])→questi insiemi sono misurabili ed inscatolati allora: E0 ⊆ E1 ⊆ E2 · · ·si può dimostrare che ∪∞1 Ek = Rnquindi discendono queste relazioni:

∫Rnfk ≥

∫Ek

fk ≥ α

∫Ek

s = α ·k∑i=1

∫Ei\[Ei−1]

s = lim∫Rnfk ≥ α ·

k∑i=1

∫Ei\[Ei−1]

s =

= α ·∫∪∞1 Ei\[Ei−1]

s = α ·∫Rns (5.68)

Quindi abbiamo che:lim∫fk ≥ α

∫s∀α(0, 1)∀0 ≤ s ≤ f

Facendo tendere banalmente α→ 1− abbiamo la relazione cercata:

lim∫fk ≥

∫s (5.69)


Passando al sup:

lim∫fk ≥

∫f =⇒ lim

∫fk =

∫f (5.70)

Teoremi dimostrabili con la convergenza monoto-naSe E misurabile, f, g funzioni non negative misurabili in E allora

∫E

(f + g) =∫Ef +

∫Eg

Proof.Il seguente teorema verrà dimostrato solo per funzioni semplici. Supponendo fe g semplici allora se:

0 ≤ sk f

0 ≤∼sk g (5.71)

allora:

=⇒ (sk+∼sk) (f + g) (5.72)

∫E

(sk+∼sk) =

∫E

sk +∫E

∼sk= B.L.=⇒passo al limite

=∫E

(f + g) =∫E

f +∫E

g (5.73)

Corollario:fk ≥ 0 misurabili in E (con E misurabile) =⇒

∫E

∑∞1 fk =

∑∞1

(∫Efk)

La cui dimostrazione è molto banale in quanto basta giocare su alcune proprie-tà fondamentali:Chiamiamo: Sm =

∑m1 fk allora:

∫E

∞∑1

fk = limm→+∞

∫E

Sm = limm→+∞

m∑1

∫E

fk =∞∑1

∫E

fk (5.74)

Corollario2:fk ≥ 0 misurabili non negative in E misurabile, se abbiamo che:

f1 ≥ f2 ≥ f2 · · · ≥ 0 (5.75)

Chiamiamo:

f(x) := limk→+∞

fk(x) (5.76)

Allora se∫E

f1 < +∞ =⇒∫E

f = limk→+∞

∫E

fk (5.77)


Anche questo è molto semplice da dimostrare, costuiamo delle funzioni gk taliche:

gk = f1 − fk (5.78)

queste tenderanno a:

g = f1 − f (5.79)

ma in modo modo monotono crescente: infatti 0 ≤ gk gIn questo modo posso usare il Teorema della Convergenza Monotona e scrivere:

∫E

f1 =∫E

gk +∫E

fk (5.80)

Passo al limite:∫E

f1 =∫E

g + limk→+∞

∫E

fk =⇒ limk→+∞

∫E

fk =∫E

f1 −∫E

g (5.81)

In questo modo sappiamo per le impotesi che la quantità:∫Ef1 −

∫Eg =∫

Ef1 − g =

∫Ef quindi si è dimostrata la conidizone di necessità del fatto

che l’integrale della f1 sia finito altrimenti la quantità:∫Ef1 −

∫Eg potrebbe

rappresentare un caso di indecisione.

Altre proprietà deducibili dal TCM

Se f ≥ 0 misurabile, e siano dati degli Ek misurabili allora:1) Se gli Ek sono mutualmente disgiunti, E = ∪∞1 Ek =⇒

∫Ef =

∑∞1

∫Ekf

2) Se ho E1 ⊃ E2 ⊃ E2 · · · ⊃ E = ∪∞k=1Ek Allora:=⇒

∫Ef = limk→+∞

∫Ekf

3) Se E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊃ · · · , E =⋂∞k=1Ek aggiungendo l’ipotesi che

∫E1f <

+∞ Allora posso dire∫Ef = limk→+∞

∫Ekf

Teorema di equivalenza tra la classa <(·) e L(·)

1) Se f ∈ <[a, b] =⇒f ∈ L[a, b] con∫

[a,b]f =

∫ baf

2) I ⊆ R intervallo NON compatto, f ≥ 0 tale che ∃ l’integrale improprio diReimann in (<)

∫If =⇒∃(L)

∫If = (<)

∫If

5.18 Lemma di Fatoù

Abbiamo E ⊆ Rn misurabile, fk : E → [0,+∞] misurabile in E possiamodefinire :

f(x) = lim infk→∞

fk (5.82)

5.19. FUNZIONI LEBESGUE INTEGRABILI DI SEGNO QUALUNQUE55

Allora questo implica che:∫E

lim infk→∞

fk ≤ lim infk→∞

∫E

fk (5.83)

Proof.Per prima cosa definiamo le nostre funzione gk nel seguente modo:

gk = limk→+∞

(infj≥k

fj

)(5.84)

queste funzioni sono misurabili, non negative e gk ≤ gk+1 ∀k ∈ N quindi gk fquindi posso usare il Teorema della Convvergenza Monotona (TCM):∫

E

limk→+∞

gk = limk→+∞

∫E

gk =∫E

f ≤ lim infk→+∞

∫E

fk5 (5.85)

Nel lemma di Fatoù ci può essere anche solo uno strettamente minore infatti unesempio chiarisce scubito il concetto:fk = k · χ(0, 1k ) allora si può ben notare che:

∫Rfk = 1 ∀k ∈ N mentre non è

così per l’integrale del limite infatti si può semplicemente notare che il limitedelle fk è zero: fk → 0 per k → +∞ quindi abbiamo che:

∫R

f = 0 < lim infk→+∞

∫R

fk = 1 (5.86)

Cenni su insiemi di misura nullaQui di seguito una veloce carrellata su alcune proprietà interessanti di alcuniinsiemi di misura nulla:Sia data la funzione f : Rn → [0,+∞] misurabile e sia dato l’insieme E ⊆ Rnmisurabile allora:1)Se m(E) = 0 =⇒

∫Ef = 0 ; 6

2)Se m(E0) = 0 =⇒∫E

SE0f =

∫Ef =

∫E\E0

f ;7

3)Se∫Ef = 0 =⇒f = 0 q.o. in E;

4)Criterio di integrabilità secondo Reimann:f : [a, b]→ R Allora: f ∈ <[a, b] ⇐⇒f limitata e q.o. continua in [a, b] 8

5.19 Funzioni lebesgue integrabili di segno qua-lunque

Sia E misurabile e sia f : Rn → R misurabile (oppure f : E → R con E ⊆ Rnmisurabile) definiamo:

f+ := maxf, 0f− := minf, 0

6segue dal fatto che ∀s semplice tale che 0 ≤ s ≤ f alloraRE s = 0

7Dim: ESE0 = E

S(E0 \ E) ma (E0 \ E) è sottoinsieme di E0 quindi m(E0 \ E) = 0

quindi:RE

SE0

f =RE f +

RE0\E

f ma l’ultimo integrale è zero =⇒RE0

SE f =

RE f

8Questo perchè l’insieme x ∈ R : f non continua in x ha misura nulla


Allora deduciamo che:

f+ + f− = |f |f+ − f− = f

Dato che necessita la linearità dell’integrale allora impongo che l’integrale esiste(ma potrebbe divergere) quando:∫

E

f =∫E

f+ −∫E

f− (5.87)

con la condizione che o∫Ef+ < +∞ oppure

∫Ef− < +∞. Se divergono

entrambi gli integrali allora∫Ef non esiste.

Dico che f è Lebesgue integrabile su E misurabile (e lo indico con f ∈ L(E))se è soddisfatta la seguente condizione:∫

E

|f | < +∞ (5.88)

In questo caso si dice anche che: f è sommabile in E ⇐⇒∫E|f | < +∞.

Da qui possiamo dedurre una importante proprietà dello spazio vettoriale dellefunzioni Lebesgue integrabili in particolare:Sia E misurabile e sia L(E) il campo vettoriale delle funzioni Lebesgue inte-grabili allora l’applicazione che ha come mappa:

f 7−→∫E

f (5.89)

è un’applicazione lineare infatti si può banalmente notare che dato un E misu-rabile:1)∫Ec · f = c ·

∫Ef → Ovvia;

2)∫E

(f + g) =∫Ef +

∫Eg;

La seconda implicazione la si può verificare in modo molto semplice basandosisulle proprietà delle funzioni f e g, infatti se f e g sono funzioni sommabili allora:

|f + g| ≤ |f |+ |g| (5.90)

Passando all’integrale: ∫E

|f + g| ≤∫E

|f |+∫E

|g| (5.91)

Quindi si può dedurre che se f e g sono sommabili anche (f + g) è sommabile.Riscrivendo (f + g):

(f + g)+ − (f + g)− = f+ − f− + g+ − g− =⇒=⇒ (f + g)+f− + f− = (f + g)−f+ + f+ (5.92)

L’integrale è additivo per funzioni positive allora:∫E

(f + g)+

∫E

f− +∫E

f− =∫E

(f + g)−∫E

f+ +∫E

f+ (5.93)

5.20. TEOREMA DI LEBESGUE O DELLA CONVERGENZA DOMINATA57

tutte le quantità scritte sono quantità finite quindi possimo banalmente riordi-nare tutte le varie parti per ottenere la condizione iniziale che:

∫E

(f + g) =∫E

f +∫E

g (5.94)

Una properietà interessante dell’integrale è la seguente:Sempre sotto le ipotesi di lavorare con un insieme E misurabile, con una fun-zione f misurabile in E allora possiamo dire che |

∫Ef | ≤

∫E|f |

La dimostrazione è semplice in quanto si basa sul teorema già citato per lefunzioni positive:

∣∣∣∣∫E

f

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫E

f+ −∫E

f−∣∣∣∣ 9 ≤

∣∣∣∣∫E

f+

∣∣∣∣+∣∣∣∣∫E

f− =∣∣∣∣

=∫E

(f+ + f−)10 =∫E

|f | (5.95)

5.20 Teorema di Lebesgue o della convergenzadominata

Ora, dopo questa introduzione siamo pronti per poter affrontare il secondogrande teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Ipotesi: sapendo che :a) q.o. x ∈ E ∃f(x) = limk→+∞ f(x);b) Se ∃g ∈ L(E) : ∀k ∈ N|fk| ≤ g q.o.;Tesi:=⇒

∫Ef = limk→+∞

∫Efk e

∫E|fk − f | → 0

Proof.Supponiamo che:a11) fk → f puntualmente;b12) |fk| ≤ g∀x ∈ EDalla proposizione b) si deduce che: =⇒|f | ≤ g in E , quindi questo fatto midice che ho una maggiorante integrabile anche su:

|fk − f | ≤ |fk|+ |f | ≤ 2g

cerco di costruire delle funzioni non negative:

hk := 2g − |fk − f | ≥ 0 e misurabili in E

11Queste due supposizioni sono più che legittime. In pratica al posto del q.o. presentenelle ipotesi ampliamo le ipotesi ad ogni x dell’insieme su cui si lavora. La legittimità delpassaggio è data dal fatto che butto via un integrale fatto su un insieme di misura nulla, cheè stato dimostrato precedentemnte essere uguale a zero.

12vedasi nota precedente


si noti che: hk → 2gUsando il lemma di Fatoù =⇒:

2∫E

g ≤ lim infk→+∞

∫E

hk = lim infk→+∞

∫E

2g − |fk − f | =

= 2∫E

g + lim infk→+∞

(−∫E

|fk − f |)

=

=∫g − lim sup

k→+∞

∫|fk − f | =⇒ lim sup

k→+∞

∫E

|fk − f | ≤ 0 (5.96)

Con qesto posso dire che 0 ≤ limk→+∞∫E|fk−f | 13 ≤ limk→+∞

∫E|fk−f | ≤ 0

ma questa è una catena di ugualianze, quindi :Λ contiene un solo elemento, il limite.=⇒lim(· · · ) = lim(· · · ) = 0 =⇒limk→+∞

∫E|fk − f | = 0

Quindi è dimostrato l’asserto in quanto: 0 ≤ |∫Efk −

∫Ef | = |

∫E

(fk − f)| ≤∫E|(fk − f)| → 0

Per il teorema del confronto:=⇒

∫Efk →

∫Ef

Paraphelia matematica:Sia dato E ⊆ Rn misurabile sia data una funzione f : E → R misurabile in Eallora le seguenti proposizioni sono equivalenti ed autoimplicabili:1)f = 0 q.o. in E;2)∫E|f | = 0;

3)Se ∃∫Ef = 0 =⇒∃

∫Ff∀F ⊆ E, allora f = 0 in E;

Il fatto che 3→ 1 è interessante in quanto: se ∃∫Ef = 0 =⇒∃

∫Ff ∀F ⊆ E e

vale∫Ff = 0. Definendo:

F+ := x ∈ E : f ≥ 0F− := x ∈ E : f < 0

quindi abbiamo che E=F+⋃F− usando l’addittività dell’integrale di lebesgue

sugli insiemi misurabili abbimo che:∫F+

f = 0 =⇒ f = 014 (5.97)

Lo stesso ragionamento lo si esegue per∫F−

fraggiungendo l’implicazione 3→ 1

13Questa relazione è vera n quanto gli integrali sono tutti maggiri di zero.

Capitolo 6

Integrali Multipli

sia Φ : A→ B con E ⊆ B , f : E → Rn

Se Φ è differenziabile in x vuol dire che posso trovare una applicazione linearetale che:

dΦ(x) : Rn → Rn (6.1)

La JacΦ(x) è una matrice n× x del tipo:

JacΦ(x) =[∂Φi∂xj

(x)]i,j

(6.2)

Se il det(JacΦ(x)) 6= 0 =⇒che Φ è invertibile !Sia E∼ ⊂ A e E ⊂ BSupponiamo Φ di classe C1 =⇒derivate parziali continue =⇒è differenziabileSupponiamo che Φ∀x ∈ A :det(JacΦ(x)) 6= 0 =⇒Φ−1 : B → A:=⇒:1) Se E è compatto/misurabile ⇐⇒E∼ è compatto/misurabile;12) Se f è continua/misurabile in E ⇐⇒foΦ è continua /misurabile in E∼3) f è integrabile in E⇐⇒(foΦ)|det(HΦ)| è integrabile in E∼ e l’integrale vale:

∫E

f(x)dx =∫E∼

f(Φ(u)) |det(HΦ)| du (6.3)

6.1 Nota importante per il calcoloSe ho un insieme di misura nulla, e f definita su qeull’insieme e che sia anchemisurabile e integrabile secondo lebesgue, allora il valore dell’integrale è nul-lo. Questo è molto ultile nel calcolo perchè se ho una funzione definita su unchiuso so benissimo che l’integrale calcolato sul chiuso e sul chiuso meno la suaforntiera (insieme di misura nulla) è lo stesso. Questo mi permette di usarespesso i teoremi appena citati.In alcuni casi però potrebbe essere utile usare la Jacobiana inversa, per esempio

1Questo è vero in generale se Φ è omeomorfismo

59

60 CAPITOLO 6. INTEGRALI MULTIPLI

nel seguente esempio:

6.2 Esempi con applicazione della mappatura in-versa

Esercizio :∫∫E

x3y dxdy in E := x ≥ 0, y ≥ 0,∣∣x2 − y2

∣∣ < 2 < x2 + y2 < 3 (6.4)

possiamo notare che effettuando questa sostituizione:

Φ−1 =x2 − y2 = ux2 + y2 = v

(6.5)

In questo modo il mio insieme di integrazione diventa:

E∗ = |u| < 2 < v < 3 (6.6)

Quindi:

E =−2 < u < 22 < v < 3 (6.7)

La mia jacobiana inversa è:

Jac(Φ−1(x)) =(

2x −2y2x 2y

)=⇒ det(Jac(Φ−1(x))) = 8xy (6.8)

Un teorema ci assicura che: det(Jac(Φ))=(det(Jac(Φ))−1)−1

Quindi: det(Jac(Φ)) = 18uv

sostituendo, l’integrale da calcolare diventa:

18

∫ 3

2

∫ 2

−2

u+ v

2dudv (6.9)

Che è di banale integrazione.

Capitolo 7

Funzioni Implicite

7.1 DefinizioneAbbiamo una equazione non lineare in 2 variabili:F (x, y) = 0 → dobbiamo bigcapire come sono fatte le soluzioni, cioè arrivare abigcapire come è fatto l’insieme:

Z := (x, y) ∈ R2 : F (x, y) = 0

Già a priori si possono stabilire alcune forme di Z, in funzione ad alcuni casiparticolari:

• F = 0 =⇒Z = R2;

• F (x, y) = x2 + y2 + 1 =⇒Z =;

• F (x, y) = x2 + y2 =⇒Z = 0 , Z = (0, 0)

• F (x, y) = x2 + y2 − 1 =⇒Z = crf di raggio 1 =⇒y = ±√

1− x2

Breve Definizione:Se prendiamo un punto dell’inzieme Z =⇒F (x0, y0) = 0 =⇒∃U, V intorni di x0

e y0 tali che : inU × V : F (x, y) = 0 =⇒y = f(x) dove f : U → V

Scriviamo alcuni concetti utili (visti nei corsi precedenti) per bigcapire me-glio gli argomenti che si tratteranno, soprattutto per bigcapire bene il TeoremaDEL DINI.Ripasso Utile:

• Fx = ∂F∂x ;

• U(x0):=Bδ(x0):δ>0;

• Sia (X, d) Spazio metrico, g : X → R , x0 ∈ X , con g continua in x0 ese abbiamo che g(x0) > 0 =⇒∃δ > 0 : ∀x ∈ Bδ(x0)=⇒g(x) > 0 (teoremadi permanenza del segno)

• g(t) = F (φ(t), ψ(t)) dove F, φ e ψ ∈ C1 =⇒=⇒g′(t) = Fx(φ(t))φ′(t) + Fy(ψ(t))ψ′(t) (th. di Lagrange)

61

62 CAPITOLO 7. FUNZIONI IMPLICITE

7.2 Teorema Del DINI (caso bidimensionale)

Ipotesi: Sia dato A ⊆ R2 , F : A → R continua su tutto A, tale che Fy 1 ∃e sia continua in A. Se abbiamo un punto (x0, y0) ∈ A tale che F (x0, y0) = 0e Fy(x0, y0) 6= 0; (cioè il punto (x0, y0) risolve la nostra equazione) allora èverificato che:a) ∃ intorni U ∈ U(x0) e V ∈ V (x0) : ∀x ∈ U ∃!y = f(x) ∈ V : F (x, y) = 0;b) la funzione f : U → V è una funzione continua ∀x ∈ U ;c) Se F ∈ Ck(A) per qualche K ∈ N allora anche la classe di f è f ∈ Ck(U),inoltre abbiamo che:

f ′(x) = −Fx(x, f(x))Fy(x, f(x))

(7.1)

Proof.a) Supponiamo Fy(x, y) > 0=⇒per il teorema di permanenza del segno ∃α, β > 0 tale che∀ (x, y) ∈ (x0 − α.x0 + α)× (y0 − β, y0 + β) : Fy(x, y) > 0Siccome F (x0, ·) è strettamente crescente in (y0 − β, y0 + β) e si annulla in y0

=⇒F (x0, y0 + β) > 0 e F (x0, y0 − β) < 0Dalla continuità di f in U possiamo dire :∃α1 ∈ (0, α) : ∀x ∈ (x0−α1.x0 +α1)si ha F (x, y0+β) > 0 e F (x, y0−β) < 0 =⇒U(x0−α1.x0+α1), V (y0−β.y0+β)In questo modo andiamo a dimostrare che l’asserto vale per ogni famiglia diintorni U ∈ U(x0). Sia x ∈ U siccome F (x, ·) è strettamente crescente in Ve F (x, y0 + β) > 0 e F (x, y0 − β) < 0 allora ∃! (per la monotonia) y ∈ V :F (x, y) = 0 2

b) Fissato un qualsiasi x∗ ∈ U Sia ε > 0 sufficentemente piccolo, in mododa avere:f(x0)± ε ∈ V (così i nostri f(x∗)± ε rimangono all’interno del nostro intornoV) F (x∗, f(x∗)) = 0 =⇒F (x∗, f(x∗)±ε) > 0 (o minire di zero il caso col meno)=⇒∃W ∈ U(x∗) tale che : W ⊂ Ue∀x ∈ W : F (x, f(x∗) ± ε) < o > 0 =⇒permonotonia di F (x, ·) =⇒f(x) ∈ (f(x∗)− ε, f(x∗) + ε)Quindi dimostrare che l’implicità è continua è banale perchè segue subito dal-la dimostrazione dell’esistenza della stessa funzione implicita infatti, per mo-strare la continuità di f basta provarla nel punto x0 infatti ogni altro punto(x, y) ∈ Z(f)

⋂(U × V ) è nella stessa situazione di (x0, y0) e lo stesso ragiona-

mento può esservi ripetuto ; la continuità è quindi immediata:Fissato ε > 0 , V0 = [y0 − r, y0 + r] può essere scelto con r ≤ ε, quindi in corr-sipondenza di V si trova un U come nel caso a) =⇒ f(U) ⊆ [y0 − r, y0 + r] ⊆[y0 − ε, y0 + ε]

c) Fissiamo k = 1 F ∈ C1(A)prendiamo un qualsiasi x ∈ U , h 6= 0 : x+ h ∈ U =⇒=⇒0 = F (x+h, f(x+h))−F (x, f(x)) =⇒Uso Lagrange ∃(ξ, η) ∈ al segmento((x+ h, f(x+ h)), (x, f(x))) =⇒= Fx(ξ, η)h+ Fy(ξ, η)(f(x+ h)− f(x))Notiamo che Fy(ξ, η) > 0 per supposizione quindi dividiamo tutto per quella

1y sarà la variabile da calcolare in funzione di x2quindi esiste y = f(x) : F (x, y) = 0

7.3. TEOREMA DEL DINI PER SISTEMI DI EQUAZIONI 63

quantità e otteniamo:

f(x+ h)− f(x)h

= −Fx(ξ, η)Fy(ξ, η)

(7.2)

quando h→ 0 =⇒(x+ h, f(x+ h))→ (x, f(x)) =⇒(ξ, η)→ (x, f(x)) quindi:

−Fx(ξ, η)Fy(ξ, η)

→ −Fx(x, f(x))Fy(x, f(x))

(7.3)

f ′(x) = −Fx(x, f(x))Fy(x, f(x))

(7.4)

Per k>1 si procede per induzione derivando la formula della derivata prima chesi ottine per il caso k=1.

7.3 Teorema Del Dini per sistemi di equazioniSiano x := x1, · · · , xn e y := y1, · · · , yh vettori di Rn Allora:

(x, y) ∈ [Rn ×Rh] = Rh+n

Ho un sistema si h equazioni:

F1(x, y) = 0 · · · F1(x, y) = 0· · ·· · ·· · ·

Fh(x, y) = 0 · · · Fh(x, y) = 0

quindi si noti che Fi : E ⊆ Rn → R quindi le Fi sono tutte funzioni scalari,possiamo però radunarle in una sola funzione vettoriale:

F (x, y) = 0

che rappresenta il nostro sistema.Descrivendo la matrice jacobiana della F (x, y) risulta un oggetto così composto:La parte sinistra della matrice sarà una matrice n × h mentre la parte destrasarà una matrice h× h la dove parte destra e sinistrano rapprensentano:Parte Sinistra : JacxF (x, y)Parte Destra : JacyF (x, y)Dove:

JacyF (x, y) =∂(F1, ..., Fh)∂(y1, ..., yh)

=[∂Fi∂yj

]1≤i,j≤h

(7.5)

7.4 Teorema Del Dini per i sistemiSiano n, h ∈ N , A ⊆ Rn+h aperto, F : A → Rh di classe C1. Dato un(x0y0

) ∈ A : F (x0y0) = 0 e det(JacyF (x0, y0

)) 6= 0 Allora:a)∃ intorni circolari U ∈ U(x0) e V ∈ V (x0) tali che : ∀x ∈ U∃!y =: f(x) ∈ V: F (x, y) = 0


b)La funzione vettoriale f : U → V è di classe C1.c)Se F ∈ Ck(A;Rh) allora anche f ∈ Ck(U,Rh)d)∀x ∈ UJacf(x) = −[JacyF (x, f(x))]−1 [JacxF (x, f(x))]La Dimostrazione è identica al caso bidimensionale.

Esempio di una funzione scalare:Sia F : A ⊆ Rn → R di classe C1 con ∇F (x) 6= 0∀x ∈ Asia : Zc := x ∈ A : F (x) = C (oppure : F (x)− C = 0) se prendo un x ∈ Zc, siccome il ∇F 6= 0 =⇒∃k : Fxk(x) 6= 0. quindi per il teorema Del Dini =⇒∃Iaperto : x ∈ I : u ∈ Zc ⇐⇒uk = f(x1, ...xk−1, xk+1, ...xn)

7.5 Teorema di invertibilità locale per f : R→ R

Sia A ⊆ R , f : A→ R e sia f ∈ C1(A) e sia x0 ∈ A : f ′(x0) 6= 0 se f ′(x0) 6= 0allora esiste tutto un intorno in cui f ′(x0) 6= 0=⇒∃I int aperto : x0 ∈ I ⊆ A , f(I) = J è un intorno aperto tale che ∀y ∈ J=⇒(f−1)′(y) = 1

f ′(f−1(y)) = 1f ′(x) ∀x ∈ I

Definizione di DIFFEOMORFISMOSiano A,B ⊆ Rn aperti e f : A→ B è un diffeomorfismo da A→ B quando esolo quando :1)f è biunivoca e f , f−1 ∈ C1

2)f : A → Rn è locamente invertibile in x0 ∈ A ≡ ∃I intorno aperto di x0 :fI : I → f(I) è biunivoca.3)f : a→ Rn è diffeomorfismo locale in x0 ∈ A ≡ ∃I ⊆ A intorno di x0 : f(I)aperto e f è un diffeomorfismo da I → f(I)

7.6 Teorema di invertibilità locale per funzionignerali

Sia A ⊆ Rn aperto, f : A→ Rn di classe C1 , x0 ∈ A tale che det[Jac(f(x0))] 6=0 , y0 := f(x0) Allora esistono intorni aperti I di x0 e J di y0 tali che :f(I) = J ed f è in diffeomorfismo tra I e J . In più abbiamo che ∀y ∈ J :Jac((f−1))(y) = [Jac(f(f−1(y)))]−1 = [Jac(f(x))]−1

Proof.

f(x) = y⇐⇒f(x)− y = 0=⇒F (x, y) = 0

x ∈ A ; y ∈ Rn siano A∼ = A×Rn = R2n ; F ∈ C1(A∼,Rn)F (x, y) = f(x0)− y0 = 0JacxF (x0, y0

) → ci saranno solo le derivate di f quindi in realtà è un Jacxf=⇒det(Jacx(F (x0, y0

))) = det(Jacx(f(x0))) 6= 0 =⇒Vale il teorema Del Dini=⇒∃U ∈ U(x0) , V ∈ V (y

0) : ∀ y ∈ V ∃! x := g(y) ∈ U : F (x, y) = 0 quindi

f(x) = y e la funzione g ∈ C1

Potrebbe però esistere un x1 tale che mi viene sparato chissà dove, allora di-minuisco U :I := g(V ) = f−1(V ) aperto , x0 ∈ If è una corrispondenza Biunivoca tra I e

7.6. TEOREMA DI INVERTIBILITÀ LOCALE PER FUNZIONI GNERALI65

V f−1 = g ∈ C1 =⇒f è diffeomorfismo tra I e VSempre per il teorema Del Dini :Jac(f−1(y)) = −[Jac(f(f−1(y)))]−1 [−Id] = [Jac(f(f−1(y)))]−1

Corollario Se A ⊆ Rn è aperto f : A → Rn di classe C1 con det[Jacf(x)] 6= 0∀x ∈ A =⇒f(A) è un aperto (inRn) e f è un diffeomorfismo locale in A, infattiprendo un y ∈ f(A) =⇒∃x0 ∈ A : f(x0) = y

0dal teorema precedente so che

=⇒∃J intorno di y0: J ⊂ f(A)

Capitolo 8

Varietà

8.1 Dominio e Dominio-Connesso

Un dominio di Rn è un insieme che è la chiusura di un aperto A ⊆ Rn.Un dominio − connesso è un insieme che è la chiusura di un aperto-connessoA ⊆ RnEsempio:L’insieme E ⊆ R2 definito come E1 = (x, y) : x2+y2 ≤ r2, E2 = (x, y) : (x−x0)2 +(y−y0)2 ≤ r2 : E = E1

⋃E2 dove x0 = r non è un dominio−connesso

ma è un dominio di Rn. Ovviamente ogni dominio − connesso è un dominioed è anche connesso.1

8.2 Prevarietà regolare di dimensione m

Definiamo prevariet regolare di dimensionem una funzione Φ : D ⊆ Rm → Rn

con n ≥ m tale che:

1. D è un dominio− connesso;

2. Φ può essere estesa a C1 in qualche aperto contenente D;

3. Φ ristretta a Do è iniettiva;

4. Il Jac(Φ) ha rango massimo (quindi m) per ogni pnto di Do.

8.3 Sostegno della prevarietà

Viene definito sostegno della prevariet l’insieme Img(Φ) := Φ(D). Qindi l’in-sieme immagine della nostra varietà.2Esempi:

1La terminologia può trarre in inganno quindi si consiglia di ragionare bene su ogni singolaparola scritta.

2D’ora in poi il sostegno di una qualsiasi prevarietà o varietà varra indicato con Γ

67

68 CAPITOLO 8. VARIETÀ

• Φ : D := [0, 2π]→ R2 , Φ :=(

sinϑcosϑ

)è una prevarietà di grado 1 che ha come sostegnoΓ := (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 = 0

8.4 Cambiamento ammissibile di coordinateChiamiamo Cambiamento ammissibile di coordinate una funzione ψ : A ⊆Rm → Rn definita in un aperto A che risulti di classe C1, invertibile sulla suaimmagine e con inversa di classe C1. Un cambiamento ammissibile è quindi difatto un diffeomorfismo tra l’aperto A ⊆ Rm e la sua immagine. Dal teoremadella mappa Aperta3 segue che ψ(A) è a sua volta un aperto e quindi ancheψ−1 è un cambiamento ammissibile

8.5 Definizione di EquivalenteDate due prevarietà Φ1 e Φ2 definite rispettivamente sui domini − connessiD1 e D2 di Rm diciamo che Φ1 è equivalente e lo indichiamo con ∼ a Φ2

(Φ1 ∼ Φ2) se hanno il medesimo sostegno e se esiste un cambiemnto ammissibiledi coordinate ψ : A ⊆ Rm → Rm (A aperto), tale che D1 ⊆ A e D2 ⊆ ψ(D1)4

8.6 Varietà regolare di dimensione mChiamiamo varietà regolare di dimensione m una classe di equivalenza secondola relazione ∼ di prevarietà regolari

8.7 Prevarietà strettamente equivalentiDate due prevarietà φ1 e φ2 definite rispettivamente in domini-connessiD1 eD2

di Rm diciamo che φ1 è strettamente equivalente a φ2 (φ1o∼ φ2)⇐⇒hanno lo

stesso segno ed esiste un cambiamento ammissibile di coordinate ψ : A ⊆ Rm →Rm (A aperto) tale che D1 ⊆ A, D2 ⊂ φ(D1) e il determinante det(Jac(ψ)) > 0in ogni punto di Do

15 Da qui si nota con facilità che la classe ∼ è composta da

solo due classi di o∼ in funzione del segno del determinante del jacobiano.

8.8 Teorema di DecomposizioneSia Φ una prevarietà regolare di dimensione m , ne siano D il suo dominio eV ⊆ Rn il suo sostegno con n ≥ m . Sia V o quella parte di V che è immaginedi Do . sia p ∈ V o un punto qualsiasi. Allora è possibile decomporre Rn comeprodotto cartesiano di Rm ×Rn−m e determinare due aperti U e W ∈ Rn taliche :i) p ∈ Φ(U);

3La cui dimostrazione è fatta nella sezione delle funzioni implicite4Φ1 ∼ Φ2 ⇐⇒Φ1 = Φ2oψ per qualche cambiamento ammissibile di coordinate5Quindi: φ1

o∼ φ2 ⇐⇒φ1 = φ2oψ per qualche ψ : Jac(ψ) > 0

8.9. SPAZIO TANGENTE 69

ii)l’insieme Φ(U) è il grafico di una funzione φ : W → Rn−m di classe C1

Proof : Omessa.

Altre definizioni sulle prevarietà

• Sia Φ una prevarietà regolare di dimensione m, ne siano D il sominio V ilsostegno, con V o indichiamo quella parte di V che è immagine dell’internoDo di D.

• Sia Φ una prevarietà regolare di dimensione m; ne siano D il dominio eV il sostegno. Definiamo Prevarieta′ aperta regolare di dimensione mla restrizione di Φ al dominio Do. Il sostegno della prevarietà aperta èquindi l’insieme V o

Teorema di decomposizione per prevarietà aperteregolari

Sia Φ una prevarietà aperta regolare di dimensione m , ne siano Do il dominioe V o ⊆ Rn il sostegno. Sia p ∈ V o un punto qualsiasi. Allora è possibiledecomporre Rn come prodotto cartesiano di Rm × Rn−m e determinare dueaperti U e W ∈ Rm ed una funzione ψ : W ×Rn−m → Rn−m di classe C1 taleche:

1. p ∈ φ(U);

2. ψ(q) = 0 ⇐⇒q ∈ φ(U);

3. (RankJac(ψ))(q) = n−m ∀q ∈ φ(U)

Teorema

Sia A ⊆ Rn aperto sia n > m sia ψ : A → Rn−m una funzione di classe C1.Supponiamo che ψ(p) = 0 per un certo p ∈ A e che il Jac(ψ)(p) abbia rangon−m. Allora l’insieme degli zeri di ψ è localmente il sostegno di una prevarietàaperta regolare di dimensione m

8.9 Spazio tangente

Sia φ una prevarietà aperta regolare di dimensione m, ne siano Do il dominioe V o ⊆ Rn il sostegno. Sia p un punto in V o. Chiamiamo Spazio Tangente aV o in p , indicato con TpV o l’insieme dei vettori v ∈ Ep6 per i quali esiste unε > 0 e una mappa L : (−ε, ε) ∈ R→ Rn di classe C1 tale che:

L(0) = p , L′(0) = v , L(t) ∈ V o ∀t ∈ (−ε, ε)6Insieme dei vettori fuoriuscienti da p. In Ep è definita somma (regola del parallelogram-

mo) e moltiplicazione per scalare. L’insieme di tutti gli spazi Ep di Rn conferisce ad Rn lastruttura che in Algebra è detta affine

70 CAPITOLO 8. VARIETÀ

Teorema sullo spazio tangenteSia φ una prevarietà aperta regolare di dimensione m e ne siano Do il dominioe V o il sostegno. Sia p un punto di V o. Allora TpV o è uno spazio vettoriale didimensione m (quindi uguale alla dimensione della prevarietà).Proof. Dimostrazione Omessa

8.10 Spazio OrtogonaleSia φ una prevarietà aperta regolare di dimensione m, ne siano Do il dominio eV o il sostegno. Sia p un punto di V o . Sia v un vettore di Ep. Per definizione vè diretto otogonale a V in p quando v è ortogonale a TpV o Sia φ una prevarietàaperta regolare di dimensione m, ne siano Do il dominio e V o il sostegno. Sia pun punto di V o . Sia v un vettore di Ep. Per definizione v è diretto otogonalea V in p quando v è ortogonale a TpV o

Teorema sullo spazio ortogonaleSia φ una prevarietà aperta regolare di dimensione m, ne siano Do il dominioe V o ⊆ Rn il sostegno, con n > m. Sia p un punto di V o. Sia ψ : A ⊆ Rn →Rn−m una mappa di classe C1 definita in un aperto A il cui annullarsi descrivei punti di V o in un intorno aperto di p e la cui jacobiana ha rango n −m inp. Allora l’insieme dei vettori di Ep ortogonali a V in p è uno spazio vettorialegenerato dai vettori trasposti delle righe di (Jac(ψ))(p).Proof. Dimostrazione Omessa

Capitolo 9

Moltiplicatori Di Lagrange(estremi vincolati)

L’obiettivo di questa sezione è riuscire a determianre gli estremanti di unafunzione su insiemi che non siamo aperti. I teoremi ben noti, sullo studio difunzione tramite il suo jacobiano e il suo hessiano funzionano solo su funzionidefinite su insiemi aperti. Se per esempio dobbiamo determinare gli estremantidi una funzione su un compatto K (supponendo di lavorare in Rn, quindi su unchiuso e limitato) allora dobbiamo studiare la funzione nell’aperto A ⊆ K e poieffettuare una valutazione degli estremanti sulla ∂K. Il primo punto si effettuacon il normale studio del jacobiano e dell’hessiano, mentre per la seconda perte,è necessario operare con i moltiplicatori di Lagrange.

9.1 Ripasso sugli estremi locali (liberi)

Sia E ⊆ Rn , f : E → R, x0 ∈ E, x0 è un punto di massimo relativo (locale)di f in E ≡ ∃U ∈ U(x0) : ∀x ∈ U

⋂E : f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈ E

Nel caso E aperto =⇒abbiamo estremanti liberiSe abbiamo estremi Vincolati:E := x : F (x) = 0 dove F : E → R

Esempio banale:2

F (x, y) = x2 + y2 − r2

è una circonferenza, se consideriamo la parametrizzazione :x = r · cos θy = r · sin θ

φ(θ) = f(r · cos θ, r · sin θ) ora si massimizza in [0, 2π] e la questione è banale.

9.2 Considerazioni geometriche sull’esistenza delmoltiplicatore di Lagrange

A seguito di queste ipotesi:Supponiamo A ⊆ R2 aperto, F, f : A → RF, f ∈ C1(A) supponiamo che

71

72CAPITOLO 9. MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE (ESTREMI VINCOLATI)

JacF (x, y) 6= 0 1 ∀x ∈ AE := (x, y) ∈ A : F (x, y) = 0 2 allora notiamo che prendendo la tangentealla curva3 descritta dall’insieme E, nel punto x0 per la definizione di derivatapiù ci avvicinaimo al punto x0 più curva e tangnete tendono a confondersi.Quindi posso considerarla come una funzione costante nella direzione v. Perqeusto le derivate direzionali lungo la direzione vsaranno tutte nulle. Da questootteniamo una considerazione molto interessante. Da come è definita la derivatadirezionale otteniamo che:

0 = DvF (x0) =< ∇vF (x0), v >

=⇒v e ∇F (x0) sono ORTOGONALI! così allo stesso modo per la funzioneimplicità definita in U(x0) infatti otteniamo anche in questo caso:

0 = Dvf(x0) =< ∇vF (x0), v >

=⇒v e ∇F (x0) sono ORTOGONALI!=⇒∃λ ∈ R : ∇f(x0) = λ · ∇F (x0) (sono lin. dip.)

9.3 Teorema sull’esistenza dei moltiplicatoriIp: A ⊆ R2 aperto, F, f : A→ RF, f ∈ C1(A) supponiamo che JacF (x, y) 6= 0(in verità sarebbe un∇F (x) 6= 0) ∀x ∈ A. Supponiamo che x0 sia estremante dif in E =⇒∃λ ∈ R : ∇f(x0) = λ∇F (x0) e i vincoli per trovare λ sono i seguenti:

F (x, y) = 0fx(x, y) = Fx(x, y)fy(x, y) = Fy(x, y)

(9.1)

Proof.Sia DF (x0, y0) 6= (0, 0) =⇒Fx(x0, y0) 6= 0 oppure Fy(x0, y0) 6= 0In questo caso supponiano che Fy(x0, y0) 6= 0=⇒per il teorema Del Dini =⇒∃U ∈ U(x0) , V ∈ V (y0) : in U × V abbiamoche:

F (x, y) = 0⇐⇒ y = g(x) (9.2)

per il teorema del dini sappiamo che la funzione implicita y = g(x) è di classeC1 quindi definiamo:

φ(x) = f(x, g(x))x ∈ U (9.3)

la φ ∈ C1(U), e x0 è estremante di φ ∈ Uper il Teorema di Fermat =⇒φ′(x0) = 0

0 = φ′(x0) = fx(x0, g(x0)) + fy(x0, g(x0)) · g′(x0)

= fx(x0, g(x0))− fy(x0, g(x0)) · Fx(x0, g(x0))Fy(x0, g(x0))

(9.4)

1in verità sarebbe un ∇F (x) 6= 02l’insieme E potrebbe essere ad esempio una curva in R2

3Il tutto diventa molto semplice se il lettore si mette con carta e penna a disegnare

9.3. TEOREMA SULL’ESISTENZA DEI MOLTIPLICATORI 73

in (x0, y0)=⇒fx = fy · FxFy se Fx 6= 0 =⇒

fxFx

=fyFy

= λ (9.5)

fx = λFxfy = λFyF = 0

(9.6)

Se Fx = 0 =⇒fx = 0 e il nostro sistema diventa fx = λFx che è vera ∀λ ∈ Rin questo caso scelgo λ = fx

Fxquindi il mio sistema risulta soddisfatto. Quindi

esiste λ e viene chiamato Moltiplicatore di Lagrange

Applicazione

Data la funzione f(x, y) = ex2+y2

e dato il vincolo φ(x, y) := x3+y3−1 Trovaregli estremi di f sul vincolo φ

Si può effettuare subito un’osservazione a priori: si può notare che la f(x, y)è strettamente crescente, quindi per studiarne i punti estremali, è sufficientestudiare il comportamento dell’esponente: ψ(x, y) = x2 + y2. Sfutto il teoremaappena dimostrato sui moltiplicatori di Lagrange:

φ(x, y) = 0∇ψ = λ∇φ =⇒

x3 + y3 = 12x = 3λx2

2y = 3λy2(9.7)

Prima di dividere e trovare l’espressione del moltiplicatore, verifichiamo il casoin cui x e y siano uguali 0. Se non lo facessimo, rischieremmo di non accorgercidi 2 possibili soluzioni. Infatti sostituendo x = 0 e y = 0 il sistema risultasoddisfatto per i punti P1(0, 1) e P2(1, 0). P1 e P2 sono due possibili estremanti.Ora divido:

23x = λy = x

2y3 = 1(9.8)

da cui si trova un terzo punto: P3 =(

2−13 , 2−

13

)Per distinguere quali tra

questi sono massimi e minimi, disegnamo il vincolo y = (1− x3)13 e disegnamo

le curve di livello della ψ che sono dei cerchi concentrici all’origine. E’ facilenotare che nei punti (0,1) e (1,0) la curva è tangente esterna alle linee di livelloquindi vuol dire che la ψ passa da una zona in cui è minore a cui è maggiorequindi si hanno due minimi relativi. Mentre nel punto P3 la tangenza alle lineedi livello è interna allora si ha un punto di massimo. Questo ragionamento èfacile capirlo se si scrive la norma della distanza della ψ dal vincolo.

74CAPITOLO 9. MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE (ESTREMI VINCOLATI)

Capitolo 10

Integrazioni su Varietà

Dobbiamo definire cos’è una curva in Rn e una sua parametrizzazione.Parametrizzazione di una curva ≡ una qualsiasi funzione continua φ : I → Rn

dove I ⊆ R è un intervallo φ(t) = (φ1(t), · · · , φn(t))t ∈ I 1

DefinizioniSostanzialmente le difinizioni che attribuiamo alla parametrizzazione di unaclasse di equivalenza sono le stesse di una varietà (in quanto è anch’essa unavarietà !) quindi riepilogandoi velocmente:

• Sostegno di φ ≡ Γ := φ(I)(⊆ Rn);

• φ è una curva curva chiusa se ≡ I = [a, b] =⇒φ(a) = φ(b) 2

• φ è una curva semplice ≡ [t1, t2 ∈ It1 6= t2 se t1 ∈ Io =⇒φ(t1) 6= φ(t2)]3

• φ è una curva regolare ≡ φ ∈ C1(I) e ∀t ∈ I : φ′(t) 6= 0 per ogni curvaregolare c’è un vettore non nullo tangente

Esempi:1) Supponiamo che φ′(t0) identifichi la nostra velocità della particella. Questaidentifica il vettore tangente alla curva in φ(t0). Il versore tangente sarà quindi:

T (t0) =φ′(t0)||φ′(t0)||

(10.1)

la retta tangente sarà una parametrizzazione di questo tipo:

x = x(t) := φ(t0) + φ′(t0) · (t− t0) con t ∈ R (10.2)

Se abbiamo una particella ferma:φ(t) = (0, 0) , t ∈ [0, 1] curva in R2, chiusa , non semplice , non regolare eΓ = 0, 02) abbiamo le seguenti parametrizzazioni:

1per esempio possno rappresentare le varie coordinate della particella al tempo t2Ma non deve essere necessariamente iniettiva3quindi: φ : I \ inf I e φ : I \ sup I sono iniettive

75

76 CAPITOLO 10. INTEGRAZIONI SU VARIETÀ

φ(t) = (cos t, sin t) con t ∈ [0, 2π]ψ(t) = (cos(3/2t), sin(3/2t)) con t ∈ [0, 2π]La prima parametrizzione ha come sostegno una circonferenza. la seconda pa-rametrizazione ha come sostegno sempre una circonferenza ma cambia il fattoche viene percorsa una volta e mezza !! (in queanto, se pensiamo alle nostreparametrizzazione come legate ad un moto di una particella, la seconda pa-raemtrizzazione rappresenta il modo di una particella più veloce, quindi nellostesso intervallo di tempo [0, 2π] compieranno percorsi diversi)Alla luce di questo, possiamo notare che la φ è chiusa e semplice mentre la ψnon è ne chiusa ne semplice.

3) Curva di peano:∃ curva φ : [0, 1]→ R2 t.che φ([0, 1]) = [0, 1]× [0, 1]costruiamo una successione di curve così composte: (l’esempio si riferisce allacurva di Hilbert, ma è simile in tutti i casi)

ottengo questa successione delle φ(k) : [0, 1]→ R3 si può dimostrare facilmenteche φ(k) → φ di peano, uniformente. La curva di peano non è derivabile innessun punto.

10.1 Approfondimenti sui cambi ammissibili diparametri

Definiamo φ : [a, b] → Rn, ψ : [α, β] → Rn curve =⇒φ ∼ ψ ≡ ∃ g : [a, b] →[α, β] biunivoca, di classe C1, con la derivata φ′(t) 6= 0∀t ∈ [a, b] tale cheφ(t) = ψ(g(t)) ∀t ∈ [a, b] (=⇒φ = ψog)la funzione f è invertibile =⇒anche g−1 è un cambiamento ammissibile di pa-rametri.Se abbiamo 3 curve e abbiamo che φ ∼ ψ , ψ ∼ η =⇒φ ∼ ηL’applicazione ∼ gode della properità riflessivaAllora ne deduciamo che∼ è effettivamente una relazione di equivalenza.Manitienele proprietà semplice, chiusa regolare. Le nostre curve sono rappresentate daClassi di equivalenza (o varietà).

DefinizioneStrettaemnte equivalente (o strettamnte crescente)φ o∼ ψ ≡ φ ∼ ψ con un cambiamento di parametri strettamente crescente.Curva orientata ≡ classe di equivalenza “ o∼′′ qindi ogni classe di equilaenza

10.2. DEFINZIONE DI MISURA DI UNA CURVA 77

ha due orientazioni, in funzione al segno della derivata (sarebbe meglio direjacobiano) di g(t) cioè del cambiamento ammissibile di parametri.

10.2 Definzione di misura di una curvaSia φ : [a, b]→ Rn paramentrizzazione di una curva (o prevarietà)Allora posso spezzare la mia curva in tanti segmenti. e poi fare la somma deivari segmenti. In questo modo ottengo un valore approssimato della lunghezza.Raffinando sempre di più la partizione otterrò approssimazioni sempre migliori.Quindi:

L(φ) = supPl(P, φ) (10.3)

sia P la partizione in segmenti: P = a = t0 < t1 < · · · < tN = b definisco lalughezza della spezzata come banalmente la somma delle norme di ogni singolosegmentino:

l(spezzata) =N∑i=1

||φ(ti)− φ(ti−1)|| (10.4)

Se L < +∞ allora diciamo che φ è rettificabile.

Osservazione:Se φ è lipschitziana =⇒è rettificabile:Proof.Prendiamo:

L(P, φ) =N∑i=1

||φ(ti)− φ(ti−1)|| ≤M ·N∑i=1

(ti − ti−1)

= M(b− a) < +∞ =⇒ la φ è rettificabile.4 (10.5)

10.3 Teorema della misuraSe φ : [a, b] → Rn è di classe C1 allora φ è rettificabile e vale la seguenteugualianza:

L(φ) =∫ b

a

||φ′(t)|| dt (10.6)

Proof.Dimostrazione da fare, cercare di sistemare quella del FMS col molteni vignati

Osservazione:Direttamente dal teorema appena esposto segue una osservazione molto inte-ressante che ci fa ben bigcapire come l’integrazione su una parametrizzazione(o prevarietà) sia indipendente dalla parametrizzazione stessa e dipenda solodalla Curva (o varietà)Infatti se abbiamo una φ e una ψ di classe C1 e abbiamo che:

φ ∼ ψ =⇒ L(ψ) = L(φ) (10.7)

78 CAPITOLO 10. INTEGRAZIONI SU VARIETÀ

Proof.φ(t) = ψ(g(t)) dove g : [a, b] → [α, β] è un cambiamento ammissibile dicoordinate quindi:

L(φ) =∫ b

a

||φ′(t)|| =∫ b

a

||ψ′(g(t))|| · |g′(t)| dt = † (10.8)

Se g′(t) > 0 allora facendo una banale sostituzione s = g(t) =⇒ds = g′(t)dt:

† =∫ β

α

||ψ′(s)||ds = L(ψ) (10.9)

Se g′(t) < 0 allora con una sostituzione identica alla precedente:

† = −∫ α

β

||ψ′(s)||ds = L(ψ) (10.10)

Quindi è dimostrato l’asserto, L(φ) = L(ψ), la lunghezza dipende dalla curvae non dalla parametrizzazione.

Definizione:γ è una curva regolare a tratti ≡ ∃ φ : [a, b]→ Rn prevarietà di γ per qualchepartizione a = a0 < a1 < · · · < an di [a, b] tale che ∀i = 1, · · · ,Mlaφ|[ai−1,ai]

è regolare.

10.4 Ascissa curvilineaSia φ reglare, φ[a, b]→ Rn , t 7−→ s = s(t) =

∫ ta||φ′(τ)||dτ

0 = s(a) ≤ s(t) ≤ s(b) = L(φ) (10.11)

In questo modo abbiamo che s(t2)− s(t1) = L(φ|[t1,t2]). Questo cambiamentodi variabile particolare è definito ascissa curvilinea

Capitolo 11

Forme differenziali Lineari

11.1 IntroduzioneIntroduciamo le forme differenziali linaere, dando alcune essernziali definizionicome quella di forma lineare.

11.2 Definizione topologica:Un aperto A ∈ τ è connesso se A non può essere scritto come unione di dueaperti non vuoti disgiunti. Quindi A = A1

⋃A2 , A1

⋃A2 = ∅ =⇒A1 = ∅

(A2 = A) oppure A2 = ∅ (A1 = A)

11.3 Prime definizioni importanti:Prendiamo lo spazio duale di Rn (Rn)∗ =⇒anche il duale ha una base. Le basidel duale di Rn sono dei funzionali del tipo: dxi : Rn → R.La base canonica di (Rn)∗ è (dx1, · · · , dxn), quindi ogni elemento L ∈ (Rn)∗

può essere scritto come combinzaione lineare:

L =n∑i=1

aidxi (11.1)

Definizione:A ⊆ Rn aperto. Chiamiamo forme differenziali lineari in A ogni funzionedel tipo:

ω : A→ (Rn)∗

Quindi preso un x ∈ A abbiamo che:

x 7−→ ω(x) ∈ (Rn)∗

ω(x) =n∑i=1

ai(x)dxi dove ai : A→ R (11.2)

79

80 CAPITOLO 11. FORME DIFFERENZIALI LINEARI

ω è di classe Ck ≡ ∀i : ai ∈ Ck(A)

11.4 Alcuni Esempi:1. Supponiamo di lavorare in R2 allora: ω(x, y) = a(x, y)dx+ b(x, y)dy;

2. f : A → R differenziabile in A , df : x ∈ A 7−→ df(x) è una forma diffe-renziale e le sue coordiante sono le derivate parziali.

df(x)(h) =< Df(x), h >=n∑i=1

∂f(x)∂xi

hi =

[n∑i=1

∂f(x)∂xi

dxi

](h) (11.3)

perchè hi = dxi(h)

11.5 Altre definizioniDefinizione:Se ω = df diciamo che f è una funzione primitiva di ω. Se ω ammette primitivain A diciamo che ω è esatta=⇒ω(x, y) = a(x, y)dx+ b(x, y)dy sarà esatta (in A ⊆ R2 aperto) ⇐⇒∃f : A→ R differenziabile1 con ∂f(x,y)

∂x = a(x, y) e ∂f(x,y)∂y = b(x, y) ∀(x, y) ∈ A

Teorema:Supponiamo di avere A ⊆ Rn aperto connesso, ω e f differenziabile in A. Se fè una primitiva di ω ∈ A allora ogni altra primitiva di ω è della forma :

g(x) = f(x) + c con (x ∈ A) e c ∈ R

Definizione:Integrale di una forma differenziale.Sia φ : [a, b] → Rn una parametrizzazione di una curva regolare (o regolare atratti), ω forma differenziale in A. sia Γ := φ([a, b]) ⊂ A. Se ω =

∑ni=1 aidxi,

definiamo: ∫γ

ω :=∫ b

a

ai(φ(t)) · φ′i(t)dt (11.4)

Osservazione:dato che φ è lineare posso fare questo:

∫γ

ω =∫ b

a

ai(φ(t)) · φ′i(t)dt =∫ b

a

ai(φ(t)) ·(

φ′i(t)||φ′(t)||

)· ||φ′(t)||dt (11.5)

Possiamo ben notare che φ′i(t)||φ′(t)|| è il versore tangente in φ(t) quindi riscrivendo

l’integrale notiamo che: ∫γ

ω =∫γ

ω(φ(·))(T (·)) (11.6)

1derivabile ? ... tanto è scalare.... no perchè A ∈ R2

11.5. ALTRE DEFINIZIONI 81

dove T (·) indica il versore tangente. Quindi l’integrale di linea dipende dallaparametrizzazione, in particolare dipende dalla direzione in cui si integra. Perdefinire univocamente l’uintegrale di una forma differenziale, bisogna quindidichiarare la direzione di integrazione. Sempre per lo stesso motivo se γ è unacurva orientata, allora l’integrale non dipende più dalla paraemtrizzazione φ.

Teorema:A suseteq Rn aperto connesso , ω forma differenziale continua in A =⇒sonouguali le seguenti affermazioni:

1. ω è esatta;

2. γ1 , γ2 curve orientate in A con lo stesso punto iniziale e lo stesso puntofinale =⇒

∫γ1ω =

∫γ2ω (quindi il campo degli elementi è conservativo);

3. Se γ è una curva chiusa e orientata in A =⇒∫γω = 0

Proof.

2=⇒3: Ovvia 2

1=⇒2: Supponiamo che ω sia esatta quindi: ω = df =∑ni=1

∂f∂xi

dxi. Pren-diamo la parametrizzazione φ : [a, b]→ Rn allora per γ definita in A abbiamoche: ∫

γ

ω =∫ b

a

n∑i=1

∂f

∂xi(φ(t)) · φ′(t) dt = f(φ(b))− f(φ(a)) (11.7)

3

2=⇒1: Data la seguente figura:

Sia x0 fissato in A. Prendiamo un x ∈ A. x ∈ A → γ polinomiale da x0 a x=⇒f(x) =

∫γω quindi f : A→ R sia γ∼ = γ + σ allora abbimo che:

limh→0

1h

(f(x+ hei)− f(x)) = limh→0

∫σ

ω (11.8)

2Il lettore semplifichi la questione disegnando una curva chiusa orientata e noterà che:presi un x1 e x2 sulla curva diversi tra loro. Sia γ1 la curva compresa tra x1 e x2 mentreγ2 sia diretta sempre da x1 a x2 ma in direzione opposta, a questo punto abbiamo che: Seω è esatta l’integrale della f.d. dipende solo dal punto iniziale e finale. Ma dato che γ1 e γ2hanno gli stessi punti iniziale e finali (a meno di un segno) abbiamo la seguente ugualianza:Rγ1ω =

Rγ2ω se γ1 = γ1 =⇒

Rγ ω = 0

3Ma banalmende abbiamo che:Pni=1

∂f∂xi

(φ(t)) · φ′(t) = ddt

[f(φ(t))] quindi:


4

Parametrizzo σσ(t) = x+ t ∗ ei con t ∈ [0, h]quindi diventa:

limh→0

1h

∫ h

0

n∑j=1

aj(σ(t))σ′(t)dt = limh→0

1h

∫ h

0

ai(x+ t · ei)dt =

= (Hospital) limh→0

ai(x+ tei) = ai(x) ∀i ∈ N (11.9)

=⇒ ∂f

∂xi= ai ∈ C0(A) =⇒ f ∈ C1(A) =⇒

=⇒ df = ω =⇒ f è una primitiva della forma differenziale ω(11.10)

Definizione:Si definisce:

ω =n∑i=1

aidxi (11.11)

formadifferenzale lineare in A ⊆ R e ω ∈ C1. In oltre se ω è chiusa allora =⇒

∂xjai = ∂xiaj ∀i, j (11.12)

se siamo in R3

ω(x, y, z) = a(x, y, z) + b(x, y, z) + c(x, y, z) (11.13)

allora ω è chusa se:(∂c

∂y− ∂b

∂z,∂a

∂z− ∂c

∂x,∂b

∂x− ∂a

∂y

)= 0 (11.14)

Quindi ω è chiusa solo se il campo F è irrotazionale : ∇× F = 0

Osservazione:sia ω ∈ C1(A ⊆ Rn), sia ω esatta =⇒ω è chiusa MA NON VALE IL VICE-VERSA !!!!Osservazione 2:se ω = df(∂xif) se f ∈ C2 =⇒vale Th. di Swartz:

∂

∂xi

(∂f

∂xj

)=

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)(11.15)

4questo passaggio è giustificato dal fatto che: f(x + hei) =Rγ∼ ω mentre f(x) =

Rγ ω.

Da come è difinita γ∼ si giustifica il passaggio.

11.6. RIEPILOGO FORME DIFFERENZIALI LINEARI 83

11.6 Riepilogo forme differenziali lineari

A ⊆ R2 aperto , F = (F1, F2) : A → R2 a questo campo è assoiata la formadifferenziale :

ω = F1dx+ F2dy

Se γ è orientata e φ è una sua parametrizzazione definita: φ : [a, b]→ allora:∫γ

ω =∫γ

F1dx+ F2dy =∫ b

a

(F1(φ1(t))φ′1(t) + F2(φ2(t))φ′2(t)) dt (11.16)

Normalizzando tenendo conto del fatto che I = (T1, T2) e a sua volta Ti = φ′i||φ′i||

si può scrivere anche:∫γ

ω =∫ b

a

< F (φ), I(phi) > ||φ′|| dt (11.17)

Oppure un’altra forma notevole in cui ritroviamo scritto l’integrale sono leseguenti:

W =∫γ

< F, ds > (11.18)

Che è la tipica descrizione del lavoro in Fisica.

11.7 Forme differenziali in insiemi semplicemente-connessi

Ora vedremo che in casi molto particolari è possibile stabilire un’implicazionediretta tra una forma differenziale chiusa e una forma differenziale esatta.Questiinsiermi molto particolare in cui è possibile estendere il terema precendenteanche all’implicazione inversa sono gli insiemi semplicemente−connessi di cuiora ne diamo una definizione e mostriamo alcune importanti proprietà.

11.8 Definizione:

A ⊆ Rn aperto lo si definisce semplicemente− connsesso se ogni curva chiusaγ ∈ A pu essere trasformata in un punto tramite una deformazione continua inA Una sfera è un insieme semplicemente connesso:

Alcuni esempi di insiemi non semplicemente-connessi:

Nastro di Moebius:


Bottiglia di Klein:

Il toroide:

11.9 Le omotopie

Siano X e Y due spazi topologici allora definiamo omotopia tra due funzionicontinue f e g da X a Y la funzione continia H : [0, 1] × [a, b] ⊆ X → Y taleche:H(0, x) = f(x) ∀x ∈ XH(1, x) = g(x) ∀x ∈ XH(λ, a) = H(λ, b) ∀λ ∈ [0, 1]

Osservazione:Sono semplicemente connessi i seguenti tipi di insiemi:1) Insiemi stellati:(A stellato ⇐⇒∃x0 ∈ A : ∀x ∈ A il segmento [x0, x] ⊂ A)Quindi è chiaro che ogni curva di A può essere deformata con coninuità.Esempio grafico:

11.10. TEOREMA SULLE FORME DIFFERENZIALI ESATTE 85

è chiaro che la H(λ, t) = (1− λ) · φ(t) + λ · x0 è continua.

2)Gli insiemi convessi perchè ∀x1 , x2 ∈ A si ha sempre che il segmento[x1, x2] ⊂ A

11.10 Teorema sulle forme differenziali esatteSe A ⊆ Rn aperto semplicemnte connesso e ω forma differenziale in A di classeC1, allora ω è esatta in A ⇐⇒ω è chiusa in A

Capitolo 12

Teoremi di Gauss-Green,della divergenza e di Stokes

12.1 Un po’ di topologia

Sia D ⊆ R2 si definisce dominio in R2 se D = A con A aperto. (⇐⇒D = (Do))1

D viene definito dominio − connesso se è la chiusura di un aperto connessoquindi D = A con A aperto connesso.

D vine definito Dominio normale rispetto all’asse x ≡ D = (x, y) : x ∈[a, b, α(x) ≤ y ≤ β(x)] con α e β continue.

D viene definito Dominio normale (rispetto a x) regolare se nella definizio-ne precedente α e β sono di clase C1 su [a, b]

D è un dominio regolare≡D è un dominio e può essere scritto comeD = ∪Mi=1Di

con Di domini normali regolari.

12.2 Vettori tangente e normaleSia D ⊆ R2 dominio regolare f, g ∈ C1(D) (quindi → f ∈ C1(D) ≡ f ∈C1(D) , f ∈ C1(Do) perchè le derivate parziali ∂xf e ∂yf sono estendibilicon coninuità a tutto D. Se D è un dominio regolare =⇒∂D è una unione diun numero FINITO di curve chiuse regolari a tratti. Quindi c’è la necessitàdi definire il vettore tangente e normale: Se definisco il vellore tangente allparametrizzazione ho di conseguenza subito la definizione del vettore normale:

T = (T1, T2) =⇒N = (T2,−T1)

Il vettore norlmale per convenzianza è preso uscente da ∂DOppure possiamo vedre nel seguente modo: ∂D è orientato nel verso tangente

1Per esempio una sfera meno un segmento non è un dominio

87

88CAPITOLO 12. TEOREMI DI GAUSS-GREEN, DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

in modo tale che il versore normale sia uscente. Quindi definire il versonrenormale a ∂D è di fondamentale importanza per dare un orientamento allacurva (o varietà). Se il versore normale esce dal bordo, convenzionalmente sidice che il bordo (∂D) ha orientamento positivo e lo si indica con +∂D

12.3 Enunciato del teorema di Gauss-GreenDi seguito è mostrato l’enunciato del torema:∫∫

D

∂f

∂xdxdy =

∫+∂D

f dy (12.1)

e abbiamo che: ∫ ∫D

∂f

∂ydxdy = −

∫+∂D

f dx (12.2)

Quindi un integrale di superficie diventa banalmente un semplice integrale dilinea. Stessa cosa del caso in R1 col terema di Torricelli-Barrow, L’integrale dilinea diventa una valutazione della funzione agli estremi.

12.4 Teorema di integrazione per parti

∫∫D

f∂g

∂xdxdy =

∫+∂D

f · gdy −∫∫

D

∂f

∂xgdxdy (12.3)

∫∫D

f∂g

∂ydxdy = −

∫+∂D

f · gdx−∫∫

D

∂f

∂ygdxdy (12.4)

Proof.Scriviamo l’integrale come:

∫∫D

∂

∂x(fg) =

∫+∂D

fg (12.5)

Il primo inte4grale possiamo vederlo come:∫ ∫D

∂

∂x(fg) =

∫ ∫D

(fgx + fxg) (12.6)

Si isola l’integrale di interesse e si raggiunge l’asserto.

12.5 Teorema della DivergenzaIl teorema della divergenza è molto usato in fisica specie nello studio dei campielettrostatici prima, mangetici poi ed infine combinando le teorie con l’elettro-magnetismo. Dato un campo di forze (per esempio) e data una superficie D cipemette di calcolaene il flusso del campo stesso ingnorando la superficie stessae andando ad integrare solo lungo la sua frontiera.

12.6. TEOREMA DI STOKES 89

Enunciato: ∫∫D

(∇ ·−→F)dxdy =

∫+∂D

<−→F , n > (12.7)

Proof :

∫∫D

(∇ ·−→F)dxdy =

∫∫D

(∂−→F1

∂x+∂−→F2

∂y

)dxdy

G.−G.=∫

+∂D

F1 dy −∫

+∂D

F2 dx =

=∫

+∂D

< (−F2, F1), (T1, T2) > ds =

=∫

+∂D

(F1T2 − F2T1) ds =

=∫

+∂D

< (F1, F2), (T2,−T1) > ds =∫

+∂D

<−→F , n > ds (12.8)

Se al posto di avere delle superfici normate dovessi essere costretto ad integralrelugo una cerca direzione −→v in cui è definita la derivata direzionale D−→v , avreiche: ∫∫

D

D−→v f dxdy =∫

+∂D

f < −→v , n > ds (12.9)

Proof :

∫∫D

< −→v ,−→∇f > dxdy =

∫∫D

〈(v1

v2

),

(∂f∂x∂f∂y

)〉 dxdy =

= v1

∫∫D

∂f

∂xdxdy + v2

∫∫D

∂f

∂ydxdy =

= v1

∫+∂D

fdy − v2

∫+∂D

fdx =

=∫

+∂D

f(v1− v2)ds =

=∫

+∂D

f < −→v , n > ds (12.10)

12.6 Teorema di StokesIl teorema di Stokes prende il problema da punto di vista opposto di quellodella divergenza. Se noi abbiamo la necessità di calcolarci il lavoro di una forzalungo una linea γ possiamo ottenere ugual risultato integrando il rot

−→F sulla

superficie delimitata dalla linea γ e quindi avere:∫+∂D

F1dx+ F2dy =∫∫

D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

∫∫D

rot−→F dxdy (12.11)

La dimostrazione è stata omessa perchè banalmente deducibile dal teoremadella divergenza.

90CAPITOLO 12. TEOREMI DI GAUSS-GREEN, DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

Capitolo 13

Spazi LP - Spazi di Hilbert

Caso di ∞-dimensionale Nel caso di spazi infinito dimensionale, l’obiettivo èquello di creare un insieme con determinate caratteristiche metriche, che abbiacome idea base quella di non perdere la completezza. Come può facilmentesuggerire l’intuizione la seguente scrittura:∫ 1

0

|f |dx (13.1)

fornusce una stima della grandezza della funzione f quindi possiamo pensare diprendere come misura della grandezza proprio l’integrale del modulo. Quindipartendo dalle definizioni principali:Sia X ⊆ Rn con X misurabile e µ la misura di Lebesgue su X Definiamoesponenti coniugati due numeri p e q se :

p+ q = pq cioè1p

+1q

= 1 oppure p(q − 1) = q con p, q ∈ R+0 (13.2)

Definisco il mio spazio:

Dp(X,µ) = f : X → C, f misurabili :∫X

|f |dµ <∞ (13.3)

Quindi lo spazio formato da tutte le funzioni misurabili in senso di lebesgue.Voglio ora che questo insieme ora caotico di elementi prenda una stuttura dispazio normato, quindi devo almeno definire una norma. Prima di definirlaperò è bene dimostrare due disugualianze molto importanti nell’analisi degliSpazi Lp queste sono le disugualianze di Holder e di Minkowsky.

Disugualianza di Holder:date due Funzioni f, g : X → [0,+∞]

∫X

fg dµ ≤∫

X

fp dµ

1p∫

X

gq dµ

1q

(13.4)

che per il caso per P=2 diventa la disugualianza di Coauchy-Swarz.

91

92 CAPITOLO 13. SPAZI LP - SPAZI DI HILBERT

Disugualianza di Minkowsky:

(∫X

(f + g)p dµ) 1p

≤(∫

X

fp dµ

) 1p

+(∫

X

gp dµ

) 1p

(13.5)

in Rn la disugualianza di Minkowsky non è altro che la disugualianza triango-lare. quindi deduciamo la definizione i norma:

||x||P =∑

|xi|p 1p

(13.6)

13.1 Funzioni Convesse

Dati: −∞ ≤ a < b ≤ +∞ I = (a, b) φ : (a, b)→ R allora abbiamo che la nostrafunzione φ è convessa se:

φ((1− λ)x+ λy) ≤ (1− λ)φ(x) + λφ(y) (13.7)

se la φ è convessa allora è differenziabile e φ è monotona crescente

Dimostriamo la disugualianza di Holder:chaimo A = (

∫Xfp dµ)

1p e B = (

∫Xgq dµ)

1q

Normalizzaimo la nostra scrittura e chiamiamo:

F =f

Ae chiamiamo G =

g

B(13.8)

in questo modo ottenuamo che:∫X

FP dµ = 1 e poi:∫X

Gq dµ = 1 (13.9)

Sia x ∈ X se 0 < F (x) < +∞ e se la 0 < G(x) < +∞ allora:

F (x)G(x) ≤ 1pF (x)P +

1qG(x)q (13.10)

ora integro e sostituisco: ∫X

FGdµ ≤ 1 (13.11)

∫X

fg dµ ≤∫

X

fp dµ

1p∫

X

gq dµ

1q

(13.12)

Teorema:Siano p e q esponenti congiunti con p>1 e sia:f ∈ Dp e g ∈ Dq allora ho che:

fg ∈ D1 e ho che ||fg||1 ≤ ||f ||p · ||g||q

13.2. IL PROBLEMA DELLA SEMINORMA 93

13.2 Il problema della seminormaNella sezione precedente abbiamo definito come norma la seguente scrittura:

||f ||p =∫X

|f |p dµ (13.13)

Ma questa è una norma ? Si può notare che questa scrittura non definisce unanorma perchè:-)Vale la prop. triangolare (dalla disugualianza di Minkowsky); -)E’ omogeneapositiva; -) NON E’ zero quando e solo quando f ≡ 0 ma è più debole, infattifinche la norma si annulli è sufficiente che f ≡ 0 q.o. in X quindi che sia diversada zero in un insieme finito di punti o più in generale è sufficiente che siadiversa da zero su di un insieme di misura nulla. Questo è un problema ! alloraci riconduciamo non più a DP ma consideriamo lo spaizio DP /sim dove ∼ rappresenta la seguente classe di equivalenza:

f ∼ g ⇐⇒ differiscono per un numero di punti il cui insieme è di misura nulla(13.14)

Allora definiamo la classe di equivalenza in questo modo:

[f ] = [g] =⇒ m(A) = 0 dove A = x ∈ X : f(x) 6= g(x) (13.15)

In questo modo lo spazio Dp/ ∼ è uno spazio normato e viene chiamato Lp

13.3 Spazio metricoSia X-K spazio vettoriale è metrico se su X è definita un’ applicazion d :X ×X → R

• d(x, y) = d(y, x);

• d(x, z) = d(x, y) + d(y, z);

• d(x) ≥ 0 e d(x) = 0 ⇐⇒x = 0;

La funzione d definita in questo modo è detta distanza. Dalla nozione didistanza nasce la definizone di bolla aperta:

Br(a) = x ∈ X : d(x, a) < r (13.16)

Questa scrittura indica proprio la bolla di raggio r centrata in a a meno dellafrontiera. Quindi è un aperto “elementare”. Da questa definizone possiamovedere tutti gli insieme aperti come unione di bolle aperte.

13.4 Successioni convergentiPer definire la convergenza di una successione in Lp si usa sempre la solita, vec-chia ma soprattutto universale definizione di limite che possiamo vedere quidiseguito scritta in forma topologica e metrica:

Forma metrica:

xn → x allora ∀ε > 0 ∃ν > 0 : ∀n > ν d(xn, x) < ε (13.17)


Forma topologica: Dato un insieme topologicoX ∈ τ e definita comeBr(a) con a ∈X la classe di bolle aperte di X allora abbiamo che:

∀Bε(xL) con ε > 0 ∃ν > 0 : ∀n > ν x ∈ Bε(xL) (13.18)

Quindi riassumendo se abbiamo il nostro spazio LP (X,µ) normato dalla norma||f ||P =

(∫X

∣∣fP ∣∣ dµ) 1p allora definisco una distanza d(f, g) = ||f − g||P Ho che

fn → f ∈ LP ⇐⇒ ||fn − f ||P → 0In particolare se la nostra successione fn è di Cauchy abbiamo che è verificatala seguente condizione:

∀ε > 0 ∃ν > 0 : ∀m,n > ν =⇒ ||fm − fn||P < ε (13.19)

ma se riscriviamo la cond. di Cauchy tenendo conto di come abbiamo definitola nostra norma diventa: ∫

X

|fm − fn|P dµ < ε (13.20)

Quindi trovare una f ∈ LP per cui valga questa condizione è un lavoro moltocomplesso. In aiuto ci vengono alcuni importanti teoremi sulle sottosuccessioni.

TEOREMI SULLE SOTTOSUCCESSIONI

Sia dato (E, d) uno spazio metrico allora se : xn è una successione di Cauchy=⇒∃xn1 : d(xni+1 , xni) <

12i Quindi per indizione possimao costruire uan

successione, con indice ni tale che :

Fissato ε =12i

=⇒ ∃ni > n1 : ∀ni,m > n1 , d(xni , xni+1) <12i

(13.21)

Lemma di Fatoù

Qui di seguito si ricorda il Lemma di Fatoù che tornerà utile nella dimostrazionedel teorema di Riesez − Fiseher:

Abbiamo E ⊆ Rn misurabile, fk : E → [0,+∞] misurabile in E possiamodefinire :

f(x) = lim infk→∞

fk (13.22)

Allora questo implica che:∫E

lim infk→∞

fk ≤ lim infk→∞

∫E

fk (13.23)

Il teorema comapre già dimostrato nella parte sull’integrale di Lebesgue. Nono-stante tutto si ricorda al lettore che la dimostrazione era molto banale, perchèsi basava sul fatto di definire delle gk opportune (in modo tale che fossero ilinf delle fk) poi si mostrava che la successione delle gk era monotona crescente

13.4. SUCCESSIONI CONVERGENTI 95

allora si poteva applicare il teorema di Beppo-Levi (o Teorema della Conver-genza Monotona) e si raggiungeva così l’asserto.Un caso particolare di questo teorema, che ci servirà a noi è il seguente:

fn(x)→ f(x) q.o. in X. Se∫X

fn dµ < M =⇒∫X

f dµ < M (13.24)

Teorema: Lp(µ) è uno spazio metrico completo per 1 ≤ p ≤ ∞ e per ognimisura positiva µ

Proof. Assumiamo per prima cosa che 1 ≤ p < ∞. Sia fn una successionedi Cauchy in LP (µ). Allora ch’ una sottosuccessione fni per cui vale:∣∣∣∣fni+1 − fni

∣∣∣∣ < 12i

(13.25)

Costruiamo le nostre gk nel seguente modo e poi vediamo che considerazionefare:

gk =k∑i=1

∣∣fni+1 − fni∣∣ quindi sia g =

∞∑i=1

∣∣fni+1 − fni∣∣ (13.26)

Dalla 12.25 e dalla disugualianza di Minkowsky dimostriamo che ||gk||P < 1per k = 1, 2, 3... Inoltre usando il lemma di Fatoù per la successione delle gPk otteniamo che ||g||P < 1 in particolare sapendo come è definita la norma essapendo che tutte le funzioni in gioco sono funzioni positive possiamo dire chela g(x) < +∞ q.o. quindi la serie: infatti sviluppando bene i conti:

||gk||P ≤N∑i=1

∣∣∣∣fni+1 − fni∣∣∣∣ ≤ N∑

i=1

12i≤∑i=1

∞ 12i

= 1 (13.27)

Per il lemma di Fatoù posso far vedere che:∫X

lim infk→∞

|gk(x)|P dx ≤ lim infk→∞

∫X

|gk(x)|P dx ≤ 1 (13.28)

Da qui deduco che la mia |g(x)| < +∞ q.o. in X

Considero la sottosuccessione:

fn1(x) +∞∑i=1

fni+1(x)− fni(x) (13.29)

converge assolutamente per ogni x ∈ X. A questo punto chiamiamo definiamola nostra serie convergente come la nostra f(x). Ammettiamo che f(x)=0 su uninsieme di “resto” di misuta nulla.quindi otteniamo che:

fni +k−1∑i=1

fni+1(x)− fni = fnk (13.30)

possiamo osservare che :

f(x) = limi→∞

fni(x) q.o. in X (13.31)


Abbiamo trovato una funzione f che è limitata puntualmente quasi ovunquedella fni ora dobbiamo provare che questa f è il limite in Lp della fnScegliamo un ε > 0. Allora ∃N tale che ||fn − fm||P < ε ∀m,n > N . Allorausando il lemma di Fatoù:∫

X

|f − fm|P dµ ≤ lim infi→∞

∫X

∣∣fni+1(x)− fni∣∣P dµ ≤ εP (13.32)

Quindi dall’espressione qui sopra possiamo concludere che f − fm ∈ Lp cosìanche f = (f − fm) + fm ed infine abbiamo che ||f − fm||P → 0 per m→∞ equesto completa la dimostrazione per il caso 1 ≤ p <∞

13.5 Spazi elementari di Hilbert

Definizione:SiaH un K-Spazio Vettoriale, è chiamato “spazio a prodotto interno” se ad ognicoppia di vettori x e y ∈ H è associato un elemnto di H definito come 〈x|y〉che veine chiamto: prodotto scalare. Il prodotto scalare gode delle seguentiproprietà:

• 〈x|y〉 = 〈x|y〉 per x, y ∈ H;

• 〈x+ y|z〉 = 〈x|z〉+ 〈y|z〉 per x, y ∈ H;

• 〈αx|y〉 = α〈x|y〉 con α ∈ R e x, y ∈ H

• 〈x|x〉 ≥ 0 ∀x ∈ H

• 〈x|x〉 = 0⇐⇒ x = 0

Stando alla definizone di norma notiamo che la norma indotta dal prodottoscalare è la seguente:

||x||2 = 〈x|x〉 (13.33)

Vale la disugualianza di Holder, ma per il caso di P=2 quindi non è altro chela conosciutissima disugualinza di Swartz:

|〈x|y〉| ≤ ||x|| · ||y|| per ogni x, y ∈ H (13.34)

Vale la disugualinza triagolare:

||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| (13.35)

Proof:√||x+ y||2 =

(√〈x+ y|x+ y〉

)2

=(√〈x|x〉+ 〈x|y〉+ 〈x|y〉+ 〈y|x〉

)2

=

=(√〈x|x〉+ 〈x|y〉+ 2〈x|y〉

)2

≤ ||x||+ ||y||+√

(2〈x|y〉)2≤

≤√||x||+ ||y||+ 2 ||x|| · ||y|| =

√(||x||+ ||y||)2 (13.36)

13.5. SPAZI ELEMENTARI DI HILBERT 97

Data la nozione di norma possiamo definire una distanza. Così H è sparziometrico ed è anche completo.

TEOREMA:La funzione x 7→ ||x|| è una norma di H che verifica l’identità del parallelo-gramma.

∣∣∣∣∣∣∣∣x+ y

2

∣∣∣∣∣∣∣∣2 +∣∣∣∣∣∣∣∣x− y2

∣∣∣∣∣∣∣∣2 =12

(||x||2 + ||y||2

)(13.37)

Proof.Ovvia Basta usare le proprietà della norma descritte precedentemente.

Ogni spazio di Hilbert H è uno spazio metrico, dove la metrica è quellaindotta dalla norma:

d(x, y) := ||x− y|| =√〈x− y|x− y〉 (13.38)

Esempio - che secondo me non ha molto senso-RIVEDERE

Prendiamo lo spazio L2(µ), è lo spazio delle classi di equivalenza delle funzionia quadrato sommabile a valori complessi Lebesgue misurabili, quindi per cui èvalida la seguente definizione: f ∈ L2 se

∫X|f | dµ < +∞. La completezza di

L2(µ) è il caso speciale per p=2 dal teorema di completezaza degli spazi LP (µ),la disigualinaza di Schwarz (il caso per p=2 di quella più generica di Holder):∣∣∣∣∫

X

fg

∣∣∣∣ ≤ (∫X

|f |2 dµ) 1

2(∫

X

|g|2 dµ) 1

2

(13.39)

consente di definire il prodotto interno:

〈f |g〉 =∫X

fg dµ (13.40)

Quando µ è la misura di lebesgue ristretta ad un sottoinsieme misurabile Ω diRn la notazione comune per gli spazi di lebesgue sarebbe LP (Ω)

13.5.1 Isomorfismi di Spazi con Prodotto InternoUn isomorfismo daH ad uno psazio a prodotto interno K è una biiezione lineareΦ che conserva i prodotti interni, ossia tale che:

〈Φx|Φy〉K = 〈x|y〉H (13.41)

Teorema: Ogni isometria lineare suriettiva Φ : H → K è un isomorfismo

Proof.Ogni prodotto interno gode della proprietà di polarizzazione:

〈x|y〉 =14

(||x+ y||2 − ||x− y||2 + i ||x+ iy||2 − i ||x− iy||2

)(13.42)

Ogni isometria è iniettiva quindi questo completa la dimostrazione.


13.6 Operatori lineari continui e limitati in unospazio di Hilbert H

Siano X e Y spazi metrici sia definita una applicazione lineare f : X → Y ;f è continua nel p ∈ X se per ∀ intorno V (f(p)) ⊂ Y ∃ un intorno Up ⊂ Xdel punto p tale che f(Up) ⊂ V (f(p)) questa è proprio la definizione base, dalpunto di vista topologico, di continuità dell’applicazione f . 1 Se f è continua,vale la definizione appena scritta quindi: f−1(V ) è aperto in X per il teoremadella amppa aperta che è diretta conseguenza del teorema di invertibilità locale.Ora supponiamo X e Y spazi metrici su H(R, C), supponiamo che sia definitol’operatore A : X → Y e che A abbia le proprietà di essere lineare quindi:A(λx+γy) = λAx+γAy. Posso definire una norma sia nello spazio di parenzache in quello di arrivo:

dx(α, β) = ||α− β||dy(δ, γ) = ||δ − γ|| (13.43)

Definisco lo spazio degli operatori lineari continui:

B(X,Y ) = A : X → Y t.c. A operatore lineare continuo (13.44)

Sia An ∈ B(X,Y ) e sia A operatore lineare da X in Y allora è vero che An →A∀x ∈ X. Per dimostrare questo devo definire una convergenza uniforme.Quella che si usava per le serie di funzioni non vale più perchè è facile notareche:

supx∈X||A−An|| = +∞ (13.45)

quindi non mi da alcuna infomazione sulla limitatezza di quella scrittura, perchèdata la linearità dell’operatore A posso prendere un arbitrario coefficiente λ ∈ R(quindi effettuare una trasforamzione nello spazio X) ma questo mi farebbetendere il limite del sup a +∞. Un modo per stabilire la limitatezza deglioperatori negli spazi di Hilbert è il seguente:

A è limitato se è limitato l’operatore: φA =||Ax||||x||

(13.46)

In questo modo si elimina la dipendenza da λ, infatti:

φA =||λAx||||λx||

=|λ| ||Ax|||λ| ||x||

=||Ax||||x||

con λ ∈ R (13.47)

Quindi A è limitato quando e solo quando:

supX

||Ax||||x||

<∞ (13.48)

Se A è limitato allora possiamo dire che:Teorema: Se A è limitato implica che le seguenti affermazioni sono equivalen-ti:

1Notare come si costruisce la definizione di continuità, si parte dall’insime V (f(p)) quindiun’intorno nella così detta anti-immagine e da questa si trova un Up che soddisfa il fattoessenziale che f(Up) ⊂ V (f(p))

13.6. OPERATORI LINEARI CONTINUI E LIMITATI IN UNO SPAZIO DI HILBERTH 99

a) A limitato;b) A uniformente continuo;c) A continuo in un punto;

Dimostrazione. a=⇒b)Siano x1 e x2 ∈ X allora:

||Ax1 −Ax2||y = ||A(x1 − x2)||y ≤ ||A|| ||x1 − x2|| (13.49)

infatti da come abbiamo definito la norma abbiamo che ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| quin-di se l’operatore A è limitato è continuo ed è pure Lipscitziano.

c=⇒a)Da rivedere meglio la dimostrazione.

B(X,Y) è uno spazio metrico completo

Teorema: Se Y è completo allora B(X,Y) è uno spazio completo.Consideriamo il caso in cui abbiamo B(X, C) e sia X∗ il duale di X allora se Xè spazio di Hilbert posso scrivere B(H)2 e il suo operatore A : H → C è semprecontinuo:

Dimostrazione. Siano A,B limitati tale che A+B limitato e ||A+ b|| ≤ ||A|| +||B|| questo implica che:

||(A+B)(x)||y = ||Ax+Bx|| ≤ ||Ax||+ ||Bx|| ≤≤ ||A|| ||x||+ ||B|| ||x|| == (||A||+ ||B||) ||x|| (13.50)

se considero:(||A||+ ||B||) = m allora quella sopra è la definizione di operatorelimitato, quindi continuo.

Seconda parte:Se Y è completo allora B(X,Y) è completo:Considero An di Couchy =⇒∀E > 0 ∃ν : ||An −Am|| < E se n,m > νSia x ∈ X considero A→ An questa successione è di couchy perchè:

||Anx−Amx||y ≤ ||An −Am|| ||x|| (13.51)

Ma il termine ||An −Am|| è arbitrario allora scelgo ||An −Am|| < E e ho quindiche la successione è di couchy per ogni x ∈ X.Il limite della successione è definito in modo banale:

Ax = limn→+∞

Anx (13.52)

Poi si mostra che A è lineare e la dimostrazione è conclusa.

2In verità questo lo posso scrivere anche solamente se X è pre-Hilbertiano.


13.7 Ortogonalità negli spazi a prodotto internoSia H spazio di Hilbert, siano x, y ∈ H , diciamo che x⊥y ⇐⇒〈x|y〉 = 0. SianoA,B due sottospazi tali che A,B ⊆ X li definiamo ortogonali, se i loro insiemisono mutualmente ortogonali, cioè presi due elementi qualsiasi a ∈ A e b ∈ Brisulta sempre 〈a|b〉 = 0. In X possiamo definire un operatore lineare dalleproprietà molto particolari, che si vedranno più avanti:

Ly(x) = 〈x|y〉 (13.53)

si dimostra che Ly è continuo e limitato:

Dimostrazione.

|λy(x)| = |〈x|y〉| ≤ ||x|| · ||y|| ∀x ∈ H =⇒ |λy(x)| ≤ ||y|| (13.54)

Quindi λy è limitato, quindi continuo.

Un altro funzionale lineare importante che vale la pena citare, con le sueproprietà è l’operatore lineare di Risez, che è così definito:

· Rz : Y → H∗ Quindi gli elementi in gioco sono i seguenti:· y 7→ λy Dove: y ∈ Y e λy ∈ H∗ (13.55)

Rz è iniettivo, perchè:

Presi: y1 6= y2λy1(x) 6= λy2(x) =⇒ 〈x|y2 − y1〉 = 0 (13.56)

Sia y ∈ H se prendo l’insieme Y ⊥ := x ∈ H : x⊥y questo implica che:

Y ⊥ = ker(λy) = 〈λ−1y 0|λy(x)〉 = 0 (13.57)

allora Y ⊥ è un insieme chiuso. Questo risultato ci sarà ultile più avanti.

13.7.1 Serie ortogonaliLa teoria sulle serie ortogonali, come vedremo tra breve, non è altro che una ge-neralizzazione del teorema di piotagora per spazi a dimensione infinita. Infattinel caso banale se sia x, y ∈ C allora abbiamo che:

||x+ y||2 = ||x||2 + ||y||2 + 2Re〈x|y〉 (13.58)

Ma se x⊥y allora abbiamo la scrittura nota a tutti:

||x+ y||2 = ||x||2 + ||y||2 (13.59)

O più in generale: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣N∑i=1

xi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=N∑i=1

||xi||2 (13.60)

Se ci mettiamo in uno spazio di hilbert H vale ancora tutta la teoria degliinsiemi ortogonali.

∀Ω ⊂ H : Ω⊥ = (Ω)⊥ (13.61)

13.7. ORTOGONALITÀ NEGLI SPAZI A PRODOTTO INTERNO 101

il tutto è isomorfo a:

(span(Ω))⊥ = (span(Ω))⊥ (13.62)

quindi se prendiamo una serie ortogonale xi+∞13 e volessi studiare la cover-

genza di questa serie:

s =+∞∑i=1

xi : Sn :=n∑i=1

xi ∈ H (13.63)

Mi trovo nel caso di studio della convergenza che è il più complicato possibile,fortunatamente ci viene in aiuto questo gradissimo teorema:

Teorema sulle serie ortogonali in H :Sia H spazio di Hilbert completo e sia

∑+∞i=1 xi una serie ortogonale allora per

studiare la sua convergenza posso dire:

+∞∑i=1

xi converge ⇐⇒+∞∑i=1

||xi||2 converge (13.64)

Quindi GRANDISSIMA SVOLTA, da una serie complicatissima il cui studiodella convergenza non sarebbe affatto banale ci siamo ridotti allo studio dellaconvergenza di una serie a termini reali, in quanto ||xi||2 ∈ R+ che è il casso piùbanale possibile. Quindi anche in spazi di hilbert con dimensione infinita abbia-mo una versione ampliata del “teorema di pitagora”, e otteniamo l’ugualianzadi Bessel-Parceval : ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∞∑i=1

xi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=∞∑i=1

||xi||2 (13.65)

13.7.2 Lemma delle proiezioni

Nelgli spazi infinito dimensionali è molto complicato definire il concetto diproiezione ortogonale. In molti casi non esiste neanche, perchè se definiamola priezione ortognale di un cerco x su un certo spazio H , come il punto diminor distanza tra lo spazio e il punto x non possiamo essere certi dell’esistenzadel minimo di quella funzione neppure se H è chiuso e limitato. Il teorema diHeine-Borel vale solo se siamo in spazi isomorfi a Rn di dimensione finita. Quiinvece cade tutto. Un controesempio miciadiale che mette in risalto tutta lacomplessità di definire il concetto di compattezza in questi spazi è il seguente:

Prendiamo l2 = x1, ...xn, ... Sia S1 := x ∈ l2 : ||x|| = 1

Abbiamo che: dato che posso definire un orperatore di norma n(x) : l2 → R

che mappa in questo modo:

x 7→ ||x||

3Cioè una serie in cui i vettori sono tutti mutualmente ortogonali o per meglio dire:∀m,n ∈ N presi xm, xn ∈ l2 ho che 〈xm|xn〉 = 0


l’operatore n(x) è banalmente continuo, quindi S1 è l’anti-immagine di un unchiuso generato da uan funzione continua, allora S1 è chiuso e limitato perchèavremo che n(x)−1 = S1. Ma detto questo possiamo notare che:

||ei − ej ||2 = 2 ∀i, j ∈ N

Quindi lo psazio S1 è fatto da tutti PUNTI ISOLATI di distanza costante√

2 !!!Allora per ogni copertura di S1 non posso trovare sempre una sottocoperturafinita che mi ricopra l’intero spazio S1, infatti basta che prenda le bolle apertedi raggio

√2 e mi trovo in una condizione nella quale non riesco ad estrarre

una sottocopertura finita. Quindi cade proprio la definizione di compatto. Lospazio S1 non è compatto allora questo implica il fatto che non è così semplicestabilire l’esistenza e l’unicità della proiezione ortogonale, perchè questo lopotrei fare facilmente se lo spazio fosse compatto (applicando i teoremi sullefunzioni continue che valgono nei compatti sarebbe un gioco da ragazzi) maquesto non è possibile. Bisognerà trovare strade alternative.

13.7.3 somma direttaSia X spazio vettoriale e V,W sottospazi d X. Si dice che X si decompone inW e V se

X = V ⊕W (13.66)

Due sottospazi tali che: X = V ⊕W e V ∩W = ∅ si dicono in Somma diretta.La somma diretta è un operatore definito come:

(v, w) 7→ (v + w) dove w ∈W , v ∈ V (13.67)

Sia H spazio con protto interno, m sottospazio vettoriale. Sia x ∈ H. Un puntoP ∈ m è detto proiezione ortogonale dell’elemento x di H sul sottospazio m.La condizone riscritta in modo formale è la seguente:

P ∈ m (x− P ) ∈ m⊥ =⇒ 〈(x− P )|z〉 = 0 ∀z ∈ m (13.68)

Se per ogni z appartenente al sottospazio m è verificata la nullità del prodottoscalare, allora P raprresenta il piede della perpendicolare condotta da H su mdell’elemento x ∈ H

LEMMA 1: H spazio con prodotto interno, siano m e W sottospazi vetto-riali di H se H = m⊕W allora c’è un legame diretto tra m⊥ eW in particolarem⊥ = W : .

Dimostrazione. si verifica facilmente che m⊥ ⊃W successivamente se si consi-dera:∀ v ∈ m⊥ , α ∈W e β ∈ m osservando che v = α+ β =⇒

〈v|β〉 = 〈α|β〉+ 〈β|β〉 = 〈α|β〉+ ||β|| (13.69)

ma per come ho scelto v, α e β appartengono ad insimi ortogonoli tra loroquindi i due prodotti scalari mi si annulla, deducendo che la ||β|| = 0. Ma sela ||β|| = 0 ottengo che:

〈v|β〉 = 〈α|β〉 =⇒ v = α (13.70)

13.7. ORTOGONALITÀ NEGLI SPAZI A PRODOTTO INTERNO 103

quindi m⊥ ⊂WMettendo insieme le due condizioni, una appena ottenuta e l’altra dedottaall’inizio arrivo a poter dire che:m⊥ = W

13.7.4 EquivalenzaSia H spazio di Hilbert ed M un sottospazio vettoriale di H =⇒:PROPOSIZIONE1: Se M è un chiuso e se M 6= H allora esiste un y ∈ H taleche y 6= 0 e tale che y⊥M

PROPOSIZIONE2: M è denso in H ⇐⇒M⊥ = 0

Dimostrazione. Uso il lemma delle priezioni:

M⊥ = (M⊥) =⇒ H = M ⊕ (M⊥) = M ⊕M⊥ =⇒M = H =⇒M⊥ = 0

13.7.5 Lemma delle Rappresentazioni di RieszSia H uno spazio di Hilbert e λ un funzionale lineare continuo su H =⇒∃!y ∈ Hche rappresenjta λ cioè:

λy(x) = 〈x|y〉 con (x ∈ H) (13.71)

Supponiamo λ ≡ 0 =⇒λ(x) = 〈x|y〉 è verificata da y = 0. Se così non fosseil Ker(λ) 6= H ma dato che Kerλ è un chiuso, questo implica che (Ker(λ))⊥

contiene un elemnto z 6= 0, dato che:

(Ker(λ))⊥ ∩Ker(λ) = 0 =⇒ λ(z) 6= 0 (13.72)

Dimostrazione. Supponiamo quindi che λ(z) = 1. Per ogni x ∈ H ha quindiuna rappresentazione:

x = λ(x)z + w con w ∈ Ker(λ) ∀w ∈ Ker(λ) ho che 〈w|z〉 = 0 (13.73)

se considero ora il prodotto scalare tra:

〈x|z〉 = 〈λ(x)z + w|z〉 = 〈λ(x)z|z〉+ 〈w|z〉 = λ(x)〈z|z〉 = λ(x) ||z||2 (13.74)

Infine per l’unicità: se y è un vettore di H per cui il prodotto interno siahermitiano: 〈x|y〉 = 〈x|y〉 =⇒∀x ∈ H se z = y − y =⇒∀x preso ho che :〈z|z〉 = ||z||2 = 0 =⇒z = 0 ASSURDO ! quindi esiste un unico y.

13.7.6 Unicità della proiezione ortogonaleSi prendono le intersezioni con tante bolle e si verifica che facendo variaire il orodiametro alla fine rimane un solo punto che sosddisfa la condizione richiesta.Questo è verificato dal fatto che si dimostra che la successione dei diametridelle bolle sferiche è una successione di Cauchy in uno spazio metrico completo,quindi convergerà al valore della distanza “ortogonale“.4

4Nota per l’autore: Inserire una dimostrazione semplificata rispetto a quella di Valz Gris.


13.7.7 Proiettori OrtogonaliInserire un po’ di proprietà sui proiettori ortogonali

13.8 Operatori Aggiunti, Autoaggiunti, Autova-lori e Autospazi

Per introdurre la teoria degli operatori negli spazi di Hilbert ci ricolleghiamo alLemma delle Rappresentazioni di Riesz però applicato a H e al suo duale H∗.Siano H e H∗, sia λ ∈ H∗ : ∃ ! y : λy(x) = 〈x|y〉. Si ricorda inoltre che lanorma di un operatore è definita nel seguente modo:

||λ|| = supx 6=0

|λ(x)|||x||

(13.75)

In particolare per questo caso, riprendedo un risultato già ottenuto nella partein cui si è studiati gli operatori è il seguente:

||λ(x)|| = supx 6=0

|λ(x)|||x||

= ||y|| (13.76)

Questi riusltati appena elencati ci mostrano una cosa molto interessante. Ilfatto che ||λ|| = ||y|| ci dice che H e H∗ sono isometrici, quindi una successionedi Cauchy in H viene mandata in una successione di Cauchy su H∗ quindi seH è completo lo è anche H∗Prendiamo ora un operatore lineare continuo (indi limitato) A ∈ B(H) se esisteun operatore lineare B ∈ B(H) tale che

〈Ax|y〉 = 〈x|By〉 (13.77)

allora si dice che B è l’Aggiunto di A. Qundo B esiste è unico.

THEOREMA:Ogni operatore A ∈ B(H) possiede un operatore aggiunto.

Dimostrazione. Sia y ∈ H sia λy(x) := 〈Ax|y〉 posso vederla come la composi-zone di due funzioni:

x 7→ Ax z 7→ 〈z|y〉 (13.78)H → H H → C

|λy(x)| = |〈Ax|y〉| ≤ ||Ax|| · ||y|| ≤ ||A|| · ||x|| · ||y|| (13.79)

considerando: ||A|| · ||y|| = m arrivo a dire che:

|λy(x)| = m ||x|| (13.80)

Applicando il lemma delle rappresentazioni di Riesz a λy(x) = 〈Ax|y〉 lo possoscrivere come:

〈Ax|y〉 = 〈x|y∗〉 (13.81)

quindi esiste un vettore y∗ fatto in modo tale che sia verificata la relazione:

y 7→ y∗ = A†y (13.82)

A† è lineare continuo limitato

13.9. BASI HILBERTIANE 105

1) A† Lineare:

〈Ax|y1 + y2〉 = 〈Ax|y1〉+ 〈Ax|y2〉 = 〈x|y∗1〉+ 〈x|y∗2〉 = 〈x|y∗1 + y∗2〉 (13.83)

2) A† Continuo:

Bho! (13.84)

3) L’aggiunto di A† è se stesso:

||y∗|| = ||λy|| =⇒ ||y∗|| ≤ ||A|| ||y|| (13.85)∣∣∣∣A†y∣∣∣∣ ≤ ||A|| · ||y|| ∀y

poi impostiamo che:

〈Ax|y〉 = 〈x|A†y〉 (13.86)

quindi : ∣∣∣∣A††∣∣∣∣ ≤ A† =⇒ ||A|| ≤∣∣∣∣A†∣∣∣∣ (13.87)

mettendo insieme le relazioni 13.85 e 13.87 otteniamo che:

||A|| =∣∣∣∣A†∣∣∣∣ (13.88)

Esempio:Un interessante esempio mostra ora come il teorema spettrale valido per il casofinito dimensionale, non sia più valido:Sia Q un operatore lineare autoggiunto, continuo e limitato. Trovare lo spettrodi questo operatore in L2(0, 1)Notiamo che:

〈Qf |g〉 =∫ 1

0

xfgdx =∫ 1

0

f(xg)dx = 〈f |Qg〉 (13.89)

Q come detto prima è autoaggiunto e limitato:

xf(x) = λf(x) =⇒ (x− λ)f(x) = 0 (13.90)

il che implica che f(x) = 0q.o. quindi ricavo che l’operatore Q non ha autovalori.

13.9 Basi HilbertianeDefinire delle basi hilbertiane del mio spazio infinito dimensionale è una neces-sità che discende direttamente dal poter utilizzare dal punto di vista geometricole proprietà di questo spazio funzionale. Per poter fare geometria è necessa-rio avere delle basi a cui riferire delle coordinate. Un sistema ortonomale chepermette di diagonalizzare gli operatori definiti in uno spazio LP è presempioquello dei polinomi di Legendre, oppure i polinomi trigonometrifci di fourier.

Capitolo 14

La Trasformata di Fourier

14.1 brevi richiami sugli spazi Lp

supponiamo 1 ≤ p <∞. Una funzione f(x) definita in X si dice di classe Lp seesiste finito l’integrale: ∫

X

|f(x)|P dx <∞ (14.1)

La norma di LP è definita come:

||f ||P =(∫

X

|f |dx)1/p

(14.2)

14.2 alcuni teoremi base degli spazi LP

1) Lp è completo:Siano f1, f2, · · · , fn · · · funzioni di Lp se

limn,m→ +∞

||fn − fm||P = 0 (14.3)

allora esiste una funzione f ∈ Lp tale che

limn→ +∞

||f − fn||P = 0 (14.4)

2) Continuità in media delle f ∈ Lp:se f ∈ Lp allora

limt→0

∫X

|f(x+ t)− f(x)|pdx = 0 (14.5)

3) Disigualianza triangolare:

Se f, g,∈ Lp =⇒ ||f + g||P ≤ ||f ||P + ||g||P (14.6)

4) Disigualianza di Swartz (caso semplificato in L2 della disugualianza di Hol-der) ∫

X

fg dµ ≤∫

X

fp dµ

1p∫

X

gq dµ

1q

(14.7)

107

108 CAPITOLO 14. LA TRASFORMATA DI FOURIER

14.3 La trasforazione di Fourier il L1

per ogni f∈ L1 cioè tale che esista finito l’integrale∫ +∞−∞ |f | dx l’integrale:(∫ +∞

−∞eiωxf(x) dx

)esiste per ogni valore di ω (14.8)

Definiamo allora la trasformata di Fouerir F(x) di una funzione f ∈ L1 nelseguente modo:

F (ω) =1√2π

∫ +∞

−∞eiωxf(x) dx (14.9)

Cioè è immediata conseguenza del fatto che per ω ∈ R se considero:∣∣eiωxf(x)∣∣ = |f(x)| (14.10)

allora ho che:∣∣∣∣∫ +∞

−∞eiωxf(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞

−∞

∣∣eiωxf(x)∣∣ dx ≤ ∫ +∞

−∞|f(x)| dx <∞ (14.11)

Dalla scrittura qua sopra deduciamo che la nostra F (ω) è una funzione limitataperchè, indipendentemnte da ω abbiamo che:

|F (ω)| = 1√2π

∫ +∞

−∞|f(x)| dx <∞ che è il risutalto ottenuto prima.

Inoltre è immediato dimostrare anche la F(x) è una funzione continua su tuttol’asse reale. Infatti per ogni ω ed h reali avremo che:

F (ω + h)− F (ω) =1√2π

∫ +∞

−∞eiωx(eihx − 1)f(x) dx (14.12)

quindi:

|F (ω + h)− F (ω)| ≤(

1√2π

∫ +∞

−∞

∣∣eihx − 1∣∣ · |f(x)| dx

)h→0−→ 0 (14.13)

Teorema di Traslazione:Siano a e b due numeri reali fissati in modo arbitrario. Se f(x) ∈ L1 ed F (ω) ela sua trasformata di Fourier, allora la trasformata di f(x+ a) è F (ω) · e−iaω.Inoltre F (ω + b) è la trasformata di eibxf(x) quindi vuol dire che che tutte lefunzioni traslate di una trasformata sono ancora una trasformata.Proof.

1√2π

∫ +∞

−∞eiωxf(x+ a) dx =

1√2π

∫ +∞

−∞eiω(x−a)f(x) dx = e−iaωF (ω)(14.14)

la sostituzione fatta è banalmente un x = (x−a). Allo stesso modo si dismostail caso:

F (ω + b) =1√2π

∫ +∞

−∞eiωx

[eibxf(x)

]dx (14.15)

14.3. LA TRASFORAZIONE DI FOURIER IL L1 109

Teorema di Reimann-LebesgueSe f ∈ L1 allora:

limω→±∞

F (ω) ≡ limω→±∞

1√2π

∫ +∞

−∞eiωxf(x)dx = 0 (14.16)

Dimostrazione. Sapendo la nostra trasformata di foureir possimao scriverlanormalmente:

F (ω) =1√2π

∫ +∞

−∞eiωxf(x)dx (14.17)

La −F (ω) per le proprietà dei complessi sarà banalmente defina in questomodo:

−F (ω) =1√2π

∫ +∞

−∞eiω(x+π/ω)f(x)dx =

=1√2π

∫ +∞

−∞eiωxf(x− π/ω)dx (14.18)

Stroendo la 13.18 dalla 13.17 si avrà che:

2F (ω) =1√2π

∫ +∞

−∞eiωx [f(x)− f(x− π/ω)] dx (14.19)

Maggiornado il lavore assoluto:

2 |F (ω)| ≤ 1√2π

∫ +∞

−∞|f(x)− f(x− π/ω)| dx (14.20)

Ma per il teorema di Continuità delle funzioni f ∈ Lp (Teorema 2) so che:

limω→±∞

∫ ∞−∞|f(x)− f(x− π/ω)| dx = 0 (14.21)

e da questo si ottiene il riusltato.

Corollario interessante:Se f ∈ L1 allora sono verificate le seguenti ugualianze:

limu→±∞

∫ +∞

−∞f(x) sin(ux) dx = 0 lim

u→±∞

∫ +∞

−∞f(x) cos(ux) dx = 0

I risultati fin’ora raggiunti sono notevoli. Abbiamo visto che presa un funzionein L1(Rn) è sensato scrivere l’integrale di fuorier di quella espressione. Abbiamovisto che la trasformata di fourier della funzione f [ se f è sempre in L1(Rn)] èuna funzione sempre in L1(Rn) contunua, limitata, e tende a zero all’infinito.Le proprietà non valvogono in modo simmetrico, infatti presa una funzione diL1 tale che sia continua, limitata tentende bene a zero all’infinito, non è dettoche questa sia la trasformata di fourier di un funzione f sempre in L1(Rn).


14.3.1 Alcune funzioni ausliarie:Nelle dimostrazioni dei teoremi di inversione e di estensione dell trasformatadi Fourier a tutto L2 è utile introdurre una classe di funzioni H(λt) positi-ve con trasformata di Fourier positiva, il cui integrale sia facile da calcolare.Definiamo:

H(λt) = e−λ|t| (14.22)

definiamone la sua trasformata di Fourier:

hλ(x) =∫R

H(λt)eixt dt (λ > 0) (14.23)

Da semplici conti si può calcolare il valore dell’integrale:

hλ(x) =

√2π

λ

λ2 + x2(14.24)

Svolgendo sempre facili conti si può notare che la hλ è pure normalizzata a 1:∫R

hλ(x)dx = 1 (14.25)

Una osservazione molto interessante e che ritornerà molto utile nei teoremisuccessivi è la seguente:

(f ∗ hλ)(x) =∫R

H(λt)F (t)eixt dt (14.26)

Dimostrazione.

(f ∗ hλ)(x) =∫R

f(x− y) dy∫R

H(λt)eity dt =∫R

dtH(λt)∫R

dyf(x− y)eity =

=∫R

H(λt) dt∫R

f(p)eit(x−p) dp =∫R

H(λt)eitx dt∫R

f(p)e−itp dp =

=∫R

H(λt)F (t)eitx dt (14.27)

14.3.2 IL PROBLEMADELL’INVERSIONE DELLA F.T.Per la trasformata di Fouerier esiste una formula di invesione ed è la seguente:

F (u) =1√2π

∫Rne−inxf(x)dx (14.28)

f(x) =1√2π

∫RneinxF (u)du (14.29)

dove la F(u) è la mia trasfrormata di fourier e la f(x) rappresenta la tasformatainversa.Per dare senso alla 14.23 inziamo commentando alcuni Lemmi utili:


LEMMA1:Sia α(t) una funzione a variazione limitata1 in [0, δ] per un certo δ > 0. Allora

limR→∞

1π

∫ δ

0

α(t)sin(Rt)

t=

12α(0+) (14.30)

Si può dimostrare che ogni funzione a variazione limitata può essere espressacome la differenza di 2 funzioni limitate NON decrescenti, quindi è sufficientedimostrare il lemma nel caso in cui α è non descrente e limitata in [0, δ]

CASO1: α(0+) = 0Doto un ε > 0 è possibile identificare un ν tale che 0 < ν < δ tale che |α(t)| ≤ εper 0 < t < ν . Usando ora il teorema della media integrale, possiamo dire cheesiste uno ξ in [0, ν] tale che:∫ ν

0

α(t)sin(Rt)

tdt = α(0+)

∫ ξ

0

sin(Rt)t

dt+ α(ν−)∫ ν

ξ

sin(Rt)t

dt =

= α(ν−)∫ ν

ξ

sin(Rt)t

dt = α(ν−)∫ νR

ξR

sin(Rt)t

dt

Ora se scelgo una A tale che:∣∣∣∫ ba sin(t)

t dt∣∣∣ ≤ A per ogni intervallo (a, b) allora:∣∣∣∣∫ ν

0

α(t)sin(Rt)

tdt

∣∣∣∣ ≤ A ∣∣α(ν−)∣∣ ≤ εA (14.31)

Si ottiene che:∣∣∣∣∣∫ δ

0

α(t)sin(Rt)

tdt

∣∣∣∣∣ ≤ εA+

∣∣∣∣∣∫ δ

ν

α(t)sin(Rt)

tdt

∣∣∣∣∣ (14.32)

si nota che α(t)/t è integrabile in [ν, δ] poichè α è limitata in [0, δ]. Per ilcorollario precednete quindi si ha che :

limR→∞

∫ δ

ν

sin(Rt)t

dt = 0 (14.33)

Dalla 14.26 si e dalla 14.27 si conclude che:

lim supR→∞

∣∣∣∣∣∫ δ

0

α(t)sin(Rt)

tdt

∣∣∣∣∣ ≤ εA (14.34)

usnado l’arbitrarietà di epsilon posso gingo a dire:

limR→∞

1π

∫ δ

0

α(t)sin(Rt)

tdt = 0 =

12α(0+) (14.35)

CASO2: α(0+) 6= 0Poniamo β(t) = α(t) − α(0+) allora questo implica che β(0+) = 0 quindipossiamo riutilizzare i riultati ottenuti per il caso precedente in particolar modo:

limR→∞

∫ δ

0

β(t)sin(Rt)

tdt = 0 (14.36)

1f(x) è a variazione limitata in (a, b) se er ogni partizione di (a, b) x1, x2, · · · , xn si haPn1 |f(xk)− f(xk−1)| < M


Si può verificare che :

1π

∫ δ

0

sin(Rt)t

dt =1π

∫ Rδ

0

sin(Rt)t

dt→ 12per R→∞ (14.37)

infine, da come è stata considerata β(t) possiamo scrivere che:

1π

∫ δ

0

α(t)sin(Rt)

tdt =

1π

∫ δ

0

β(t)sin(Rt)

tdt+ α(0+)

1π

∫ δ

0

sin(Rt)t

dt(14.38)

Questa condizione con quelle precedenti portano a dire che:

limR→∞

1π

∫ δ

0

α(t)sin(Rt)

tdt =

12α(0+) (14.39)

Quindi mettendo insime il riusltato del caso 1 è del caso 2 abbiamo propriol’enunciato del nostro lemma, quindi la proposizone 14.24 risulta dimostrata.

Dimostrazione alternativa: La dimostrazione presentata precedentemen-te del teorema di inversione è rigorosa e molto stabile. Allos stesso modoperò, possimo costruire una seconda dimostrazione molto più semplice basatasulle proprietà delle funzioni ausiliarie enunciate nella sezione 14.3.1. Infattipossiamo scrivere:

Dimostrazione. Se f ∈ L1 e F ∈ L1 e se:

g(x) =∫R

F (u)eiux dt (14.40)

allora g ∈ C0 e f(x) = g(x) infatti:

(f ∗ hλ)(x) =∫R

H(λt)F (u)eixu du (14.41)

L’integranda è limitata dal modulo di |F (u)| e dato che H(λt)→ 1 al tendere diλ→ 0 l’integrale converge ad una funzione che per ora chiamiamo g(x) ∀x ∈ R1

per il teorema di Lebesgue della convergenza dominata.Sapendo che se 1 ≤ p ≤∞ e se la f ∈ Lp allora ho che :

limλ→0||f ∗ hλ − f || = 0 (14.42)

questo dice che quanto fatto fin’ora ha senso, la g esiste veramente e possiamoanche notare che se λn è una succ. di Cauchy con limite 0 quindi λn → 0allora :

limn→∞

(f ∗ hλn)(x) = f(x) q.o. (14.43)

Quindi f(x) = g(x) qusi ovunque. Il fatto che g(x) ∈ C0 segue direttamente dalfatto che se una funzione generica f se è il L1 allora è in C0 e ||F ||∞ ≤ ||f ||1


14.3.3 TEOREMA DI JORDAN:Se f ∈ L1 è a varaizione limitata in un intorno del punto x, allora:

limR→∞

1√2π

∫ R

−Re−iuxF (u)du =

12

[f(x+) + f(x−)] (14.44)

Dimostrazione. per ogni R>0 possiamo porre:

SR(x) =1√2π

∫ R

−Re−iuxF (u)du =

12π

∫ R

−Re−iuxdu

∫ +∞

−∞eiutf(t)dt (14.45)

dato che la f ∈ L1(R) allora l’integrale doppio scritto nella formula 14.35 èassolutamente convergente. Essendo assolutamente convergente, vale il th. diFubini, posso invertire l’ordine di integrazione:

SR(x) =1

2π

∫ +∞

−∞f(t)dt

∫ R

−Reiu(x−t)du =

1π

∫ +∞

−∞f(t)

sin(R(x− t))x− t

dt =

=1π

∫R

f(x− t) sin(Rt)t

dt (14.46)

Infine, scomponendo la f nelle sue componeti pari e dispari, cioè ponendoidenticamente:

f(x− t) =12

[f(x− t) + f(x+ t)] +12

[f(x− t)− f(x+ t)] (14.47)

si ha che:

SR(x) =1π

∫ ∞0

[f(x− t) + f(x+ t)]sinRtt

dt = I1 + I2 dove:

I1 =1π

∫ δ

0


dt

I2 =1π

∫ ∞δ


dt (14.48)

e il δ è un δ > 0 : f risulti a variazione limitata in [x− δ, x+ δ]. Per il lemmaprecednete abbiamo che:

limR→∞

I1 ≡ limR→∞

1π

∫ δ

0


dt =12

[f(x−) + f(x+)]

per il secondo integrale, dato che [f(x-t)+f(x+t)]/t è integrabile per 0 ≤ x <∞ho che per il corollario di Reimann-Lebesgue:

limR→∞

I2 =1π

∫ ∞δ

[f(x− t) + f(x+ t)]t

sinRt dt = 0 (14.49)

Quindi mettendo insieme tutti i risultati raggiunti si ottiene la tesi del th. diJordan:

limR→∞

SR = limR→∞

I1 + limR→∞

I2 =12

[f(x−) + f(x+)] (14.50)

c.v.d.


14.3.4 Prodotto di convoluzioniSe f, g ∈ L1(R) se esiste l’integrale :

h(x) =∫R

f(x− t)g(t)dt (14.51)

chiamiamo h(x) prodotto di convovoluzioni di f e ge possiamo anche scriverlacome h = f ∗ gUsando il teorema di Fubini è semplicissimo dimostrare che l’integrale h(x)esiste per quasi tutti gli x, ed h(x) è una funzione id L1(R)Le convoluzioni sono commutative ed associative:

f ∗ g = g ∗ f (14.52)(f ∗ g) ∗ k = f ∗ (g ∗ k) (14.53)

vedere la commutatività della convuluzione è banalissimo infatti basta effettu-rare questa sostituzione: s = x-t, e otteniamo:∫

R

f(x− t)g(t)dt =∫R

g(s− x)f(s)dt (14.54)

Posso farlo perchè quel prodotto scalare è hermitiano quindi se inverto l’ordineinverto anche il sengo.

TEOREMA DI CONVOLUZIONE:siano f, g ∈ L1(R) e sia h = f ∗ g, allora indicando con H(u), F(u) e G(u) letrasformate di Fourier rispettivamente delle h(x) , f(x) , g(x) si ha che :

H(u) = F (u) ·G(u) (14.55)

Dimostrazione. La dimostrazione di questo teorema è banale infatti basta ap-plicare le definizioni fin’ora esposte:Quindi per ogni u abbiamo che :

H(u) =∫R

eiuxh(x)dx =∫R

eiuxdx

∫R

f(x− t)g(t)dt =

=∫R

g(t)dt∫R

eiuxf(x− t)dx =∫R

g(t)dt∫R

eiu(x+t)f(x)dx =

=∫R

eiutg(t)dt∫R

eiuxf(x)dx = G(u) · F (u) (14.56)

Nel secondo passaggio per passare da eiuxf(x − t) alla scrittura equivalente:eiu(x+t)f(x) si è fatta una banale sostituzione del tipo x = x+ tDato che f, g ∈ L1(R) quindi tutti gli integrali convergono assolutamente. Si èpotuto applicare il th. di Fubini ripetutamente raggiungnerndo all’asserto.

14.3.5 La Trasformata di Fourier in L2(R)

Nei paragri precedenti si è parlato della trasformata di fouerier per funzioniL1(R). Qui ora ci proponiamo di dare alcuni primi risultati della trasformatadi fouerier a L2(R) cioè alle funzioni f a quadrato sommabile. Cominciamo ad


analizzare il caso in cui f ∈ (L1(R) ∩ L2(R)).

Teorema: se f ∈ (L1(R) ∩ L2(R)) allora la sua trasforata di fouerier è inL2(R) e vale l’ugualianza di Parseval:∫

R

|F (u)|2 du =∫R

|f(x)|2 dx (14.57)

Dimostrazione. Omessa

TEOREMA DI PLANCHEREL: Dato che la misura di lebesgue su R1

è una misura positiva infinita, L2 non è un sottoinsieme di L1 e la definizo-ne della Trasformata di Fouerier data nella formula 14.8 non è direttaemnteapplicabile alle funzioni di L2(R). La definione comunque è inizialmente ap-plicabile a quelle funzioni appartenenti a L1 ∩ L2. Per questo tipo di funzionicome abbiamo visto vale l’ugualinaza di parceval quindi ||F (u)||2 = ||f ||2 que-sta isometria di L1∩L2 in L2, può essere estesa a tutto L2, questa estensione cipermetterà di definire la trasformata di Fourier a tutte le funzioni f ∈ L2(R).La trasformata di Fourier estesa a tutte le f di L2(R) viene anche chiamataanche Trasformata di Pancherel. Nasce quindi una L2-teoria della Trasfor-mata di Fouerier che ha la grande propeirtà di essere molto più simmetricadel caso di L1(R). Infatti rispetto a L1(R) in L2(R) come è stato possibiledall’ugualianza di Parceval, F (u) e f(x) giocano lo stesso peso.

Possiamo associare ad ogni funzione f(x) ∈ L2 una funzione F (u) anch’es-sa in L2 tale che si abbaino fissate le seguenti proprietà:

a) F (u) è la trasfomata di fouerier secondo la vecchia definzione della miafunzione di partenza f QUANDO E SOLO QUANDO f ∈ L1 ∩ L2;b)Per ogni f ∈ L2 è verificata l’uagualizna di Parceval: ||F (u)||2 = ||f(x)||2;c) La mappatura f 7→ F è un isomrfismo in uno spazio H da L2 su L2;d)La seguente relazione di simmetria esistente tra f e F

ϕA(x) =∫ R

−Rf(x)e−iuxdx ψA(u) =

∫ R

−RF (u)eiuxdu (14.58)

implica che ||ϕA − F ||2 → 0 e che ||ψA − f ||2 → 0

Dimostrazione. Dato che L1 ∩ L2 è denso2 in L2 la propeirtà a) e b) sonodeterminate dall’unicità della mappatura f 7→ F La propeirtà d) viene spessochiamata Teorema di inversione in L2.Per prima cosa consideriamo la relazione di Parceval:

||F ||2 = ||f ||2 (f ∈ L1 ∩ L2) (14.59)

2dire che L1TL2 è denso in L2 vuol dire che ogni elemento di L2 è ricostruibile come

limite di una serie di funzioni fn ∈ L1TL2. infatti possiamo mostrare che presa un

f ∈ L1,2 possiamo dire che : limn→∞RR|fn|2 dµ =

RR

limn→∞ |fn|2 dµ =RR|f(x)|2 dµ(x)

per il teorema di Lebesgue. da cui è poi facile dedurre che ogni funzione L2 è identificabilecome funzione limite di una successione di funzioni in L1,2. Quindi L1 ∩ L2 è denso in L2


Per semplicità di notazione chiamiamo L1,2 l’insieme L1 ∩ L2. Fissiamo una fin L1,2 , poniamo F (u) = f(−x) e definaimo g = f ∗ F , allora:

g(x) =∫R

f(x− y)f(−y)dy =∫R

f(x+ y)f(y)dy (14.60)

Oppure scritta in una notazione spesso usata sui libri di analisi funzionale:

g(x) = (f−x,f ) (14.61)

dove il prodotto interno è preso quello dello spazio di Hilber L2 e con f−x sivuole indicare la traslata di f . Per il teroema di traslazione enunciato ad inziocapitolo, abbiamo che la mappa x 7→ f−x è una mappa continua di R in L2, lacontinuità del prodotto interno implica che g è una funzione continua. Dalladisugualianza di Swartz otteniamo anche che:

|g(x)| ≤ ||f−x||2 ||f ||2 = ||f ||22 (14.62)

quindi si osserva che g è limitata . Dato che g ∈ L1 , f ∈ L1 e F ∈ L1 possiamoscrivere:

(g ∗ hλ)(0) =∫R

H(λt)G(t)dt (14.63)

dato che la g è continua e limitata allora:

limλ→0

(g ∗ hλ)(0) =∫R

H(λt)G(t)dt = g(0) = ||f ||22 (14.64)

Si può dimostrare3 che G(u) = |F |2 ≥ 0 e anche che H(λt) cresce a 1 al tenderedi λ a zero4. Il teorema della convergenza monotona ci permette quindi discrivere:

limλ→0

∫R

H(λu)G(u)du =∫R

|F (u)|2 du (14.66)

Ora dai risultati precedneti possamo concludere che la F ∈ L2 e che le normesi mantengono. Questo è un punto gruciale della dimostrazione. Sia dato Ylo spazio di tutte le Trasformate di Fouerier F delle funzioni f ∈ L1,2 la 14.49ci dice che Y ⊂ L2. possimao affermare che Y è denso in L2 per esmepioprendendo Y ⊥ = 0. Le funzioni x → eiαxH(λx) sono in L1,2 ∀ α ∈ R e perogni λ > 0 abbiamo che la sua trasformata di fouerier è :

hλ(α− t) =∫R

eiαxH(λx)e−ixtdx (14.67)

3

Dimostrazione. Se f ∈ L2 allora =⇒che se g(x) = f(−x) allora G(u) = F (u) infatti bastaandare a sostituire nella definizione di trasformata di Fourier:

F (u) =

ZR

f(x)eiux dx =

ZR

g(−x)e−iux dx =

ZR

g(x)eiux dx = G(u) (14.65)

4Si veda sezione 14.3.1


sono conseguentemente in Y . Se w ∈ L2, w ∈ Y ⊥ segue che:

(hλ ∗ w)(α) =∫R

hλ(α− t)w(t)dt = 0 (14.68)

questo vale per ogni α. Infatti abbiam preso w in Y ⊥, quindi dato che se1 ≤ p < ∞ e f ∈ Lp allora limλ→0 ||f ∗ hλ − f || = 0 e dal fatto che Y è densoin L2 allora facendo il prodotte hermitiano tra una oggetto in L1

⋂L2 e Y ⊥

significa fare il prodotto scalare tra du oggetti ortogonali, quindi il risultato èzero. Ora introduciamo la notazione temporanea: Ff = F (u). Come è statoprovato precendentemente il mio opetatore F è una isometria da un sottospaziodenso in L2 chiamato L1,2 verso un altro sottospazio denso in L2 chiamato Y .Il mio operatore F però può essere esteso a isometria di tutto L2 su tutto L2,questo dal fatto che è possibile dimostrare5 che se X,Y sono spazi metrici eX è completo, se F : X → Y è UNIFORMEMENTE continuo , se X ha unsottoinsieme denso X0 sui cui F(X0) è denso in Y allora F è una isometria traX e Y . L’operatore esteso lo identifichiamo nel seguente modo: F allora sescriviamo Ff otteniamo le propeirtà a) e b), la propeità c) segue direttamentedalla b) dalla dimostrazione della formula di Parceval.∫

R

f(x)g(x)dx =∫R

F (t)G(t)dt (14.69)

che vale così per ogni f ∈ L2 e per ogni g ∈ L2. Per dimostrare la d), prendiamola funzione caratteristica dell’insieme A = [−A,A] che denotiamo con χA. Lafunzione χAf ∈ L1,2. in particolare se f ∈ L2 e abbiamo che:

ϕA(u) =∫R

χAf(x)eiuxdx (14.70)

con ||f − χAf || → 0 al tendere di A→∞ allora segue dalla propeità b) che:

||F − ϕA||2 = ||(f − χAf)∧||2 → 0 (14.71)

al tendere di A → ∞ L’altra metà della d) si dimostra nello stesso identicomodo.

5

Dimostrazione. La conseguenza di questa proprietà è puramente topologica:Se f è una isometria su X è una conseguenza immediata della continuità uniforme di f .Prendiamo un y ∈ Y , dato che f(X0) è denso in Y , c’è una successione f(xn) → y pern→∞, la convergenza uniforme mi dice che questa è una successione di Cauchy. Dato che fè una isometria allora deve esistere in X una rispettiva successione di Cauchy xn ∈ X taleche f(xn) → y ∈ Y ma noi per ipotesi abbiamo preso lo spazio metrico X compelto, quindila successione di Cauchy considerata converge ad un qualche limite x ∈ X e la continuità cidice che f(x) = lim f(xn) = y

Capitolo 15

Teoria delle Distribuzioni

In questo capitolo introdurremo alcuni argomenti principali della teoria del-le distribuzioni in particolare, in primis si presenteranno alcuni concetti basecome quello delle successioni di Dirac, si riprenderanno alcune proprietà delleconvoluzioni ed infine si darà una definizione distribuizione, cercando di capirein che modo generalizzano le funzioni ed infine presentare anche le definzionidi derivate di una distribuzione e il teorema del calcolo per le distribuzioni.

15.1 Spazi Prodotto

15.1.1 ConvoluzioniSapendo dal teorema di Fubini ch se consideriamo (X,S, µ) e (Y,F , λ) spazimetrici con una σ −misura finita. Sia f una funzione misurabile definita inX × Y allora:

i) Se 0 ≤ f ≤ ∞ e se

φ(x) =∫Y

fxdλ ψ(x) =∫X

fydµ (x ∈ X, y ∈ y) (15.1)

allora φ e S −misurabile e ψ è F −misurabile∫X

φdµ =∫X×Y

fd(µ× λ) =∫Y

ψdλ (15.2)

(15.3)

ii) Se f ∈ L1(µ × λ) e sia fx ∈ L1(λ) per quasi ogni x ∈ X e fy ∈ L1(µ) perquasi ogni y ∈ Y allora le funzioni φ e ψ sono definite dalla 15.1 quasi ovunque,sono rispettivamente in L1(µ) e L1(λ) e vale la 15.2Ora possiamo dare una definizione di convoluzione e dimostrare un fondamen-tale teorema:

siano f ∈ L1 e g ∈ L1 definisco la convoluzione tra f e g (e la identificocome (f ∗ g)) come l’integrale:

(f ∗ g) =∫R

f(x− y)g(y) dλ(y) (15.4)

119

120 CAPITOLO 15. TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI

In genrale questo integrale non esiste quindi dobbiamo identificare bene gli in-tervalli in cui questa scrittura esiste, infatti per un x fissato l’integrale esiste,ma per ogni x? Abbiamo il prodotto di due funzioni di L1 e questo non neces-sariamente restituisce una funzione di L1 quindi:

TEOREMA:Supponiamo che f ∈ L1(R1) e g ∈ L1(R1) allora:∫

R

|f(x− y)g(y)| dλ(y) <∞ (15.5)

per quasi ogni x. Per queste x, definisco

h(x) =∫R

f(x− y)g(y) dλ (15.6)

ALLORA h(x) ∈ L1 e si ha che:

||h||1 ≤ ||f ||1 · ||g||1 (15.7)

Dimostrazione. Vogliamo usare il teorema di Fubini per dimostrare che l’inte-grale 15.5 esiste. Per prima cosa consideriamo la funzione

F (x, y) = f(x− y)g(y) (15.8)

è una funzione boreliana di R2 ! Allora definisco due funzioni:

φ : R2 → R e una seconda ψ : R2 → R tale cheφ(x, y) = x− y ψ(x, y) = y (15.9)

Allora f(x − y) = (f o φ)(x, y) e la g(y) = (g oψ)(x, y).Dal fatto che φ e ψsono Boreliane allora anche la loro composizone (f o φ) e (g oψ) rappresentanofunzioni Boreliane.1 Ora possiamo osservare che :∫

R

dy

∫R

|Fx, y| dx =∫R

|g(y)| dy∫R

|f(x− y)| dx = ||f ||1 ||g||1 (15.10)

là dove:∫R|f(x− y)| dx = ||f ||1

Per ogni y ∈ R, dall’invarianza per traslazione della misura di lebesge. Inquesto modo F ∈ L1(R2) e il th. di fubini mi permette di scambiare l’ordinedi integrazione:

||h||1 =∫R

|h(x)| dx ≤∫R

dx

∫R

|F (x, y)| dy =

=∫R

dy |g(y)|∫R

dx |f(x− y)| = ||g||1 ||f ||1 (15.11)

ottendo quindi la propozione di partenza: ||h||1 ≤ ||f ||1 · ||g||11Questo è vero perchè in genrale se f è misurabile , e se Z è un genrico spazio topologico

allora se g : Y → Z è una mappa boreliana e se h è definita comeh = g o f . Allora h : X → Zrappresenta pure lei una mappa Boreliana.Dimostrazione: Se V è un aperto in Z, allora g−1(V ) è un aperto in Y e abbiamo che:h−1(V ) = f−1(g−1(V ))

15.2. SUCCESSIONI DI DIRAC 121

15.1.2 proietà delle convoluzioniQui di seguito un elenco delle principali proprietà delle convoluzioni:

1. Commutatività : (f ∗ g) = (g ∗ f) ;

2. Associatività : (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) ;

3. Distributività : f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h ;

4. Moltiplicazione per scalare: α(f ∗ g) = (αf) ∗ g = f ∗ (αg)

5. Regola di differenziazione: D(f ∗ g) = (Df) ∗ g = f ∗ (Dg) ;

15.2 Successioni di DiracDefinisco successione di Dirac, la seguente successione di funzioni:Una successione di funzioni φk : φk : X → Y con X,Y spazi metrici tale che:

· φk(x) ≥ 0 (15.12)

·∫Rnφk(x) dλ = 1 (15.13)

· ∀δ > 0 si ha che limk→+∞

∫||x||>δ

φk dλ = 0 (15.14)

Teorema di approssimazione

Sia f ∈ CKc (Rn) dove 0 ≤ k <∞. Sia ρ ∈ C∞c (Rn) tale che :

ρ ≥ 0 ; supp ρ ⊂ |x| ≤ 1 ;∫Rnρdµ = 1 (15.15)

Sia un ε > 0 e posto che:

fε(x) = ε−n∫Rnf(y)ρ

(x− yε

)dy (15.16)

Allora fε ∈ C∞c (Rn) e il suo supportoè contenuto in un ε− vicino al supportodi f e abbiamo che ∂αfε converge uniformemente a ∂αf per ε→ 0

122 CAPITOLO 15. TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI

Capitolo 16

Analisi Complessa

In questa sezione descriveremo alcuni concetti basilari delle funzioni a variabilecomplessa. Ridefiniremo alcuni concetti già visti nell’analisi Reale. La tratta-zione sarà agile e sintetica in quanto questo lavoro non si preoccupa di esseretesto completo di analisi ma verranno dati gli elementi basilari (col dovuto for-malismo) all’introduzione di questo grandissimo e vastistimo argomento. Laprimissima cosa da definire sarà il concetto di derivata, dopo il quale, osserve-remo gli sviluppi di taylor, funzioni olomorfe e infine osservare alcuni criteri diconvergenza delle serie di Laurent.

16.1 Definizone di Derivata e DifferenziabilitàSia D un aperto di C e sia f : D → C una funzione complessa a valori complessiallora:Si dice che f è derivabile nel punto z ∈ D se esisite in C il limite:

f ′(z) = limw→z

f(w)− f(z)w − z

(16.1)

riscrivendo il rapporto incrementale per la parte Reale e per la parte immagi-naria, otteniamo dopo alcuni conti l’L’identità di Cauchy-Reimann :

∂xf(z) =1i∂yf(z) (16.2)

L’identità di cauchy reimann sostanzialmente è deducibile dal fatto che se noi-la nostra funzione di vbariabile complessa la scriviamo come f(z) = u(x, y) +iv(x, y) e prendiamo i due rapporti incrementali, lungo l’asse reale e l’imma-ginario otteniamo proprio la definizione di derivata parziale delle mie funzioniu(x, y) e v(x, y) ! Questa è una grande idea perchè posso definire la differen-ziabilità della mia funzione f(z) in questo modo:Incremento sull’asse reale, sia h ∈ R

limh→0

f(z + h)− f(z)h

= limh→0

f((x+ h) + iy)− f(x+ iy)h

=

= limh→0

u(x+ h, y)− u(x, y)h

+ iv(x+ h, y)− v(x, h)

h=

= ∂xu(x, y) + i∂xv(x, y) (16.3)

123

124 CAPITOLO 16. ANALISI COMPLESSA

Incremento sull’asse complesso, sia k ∈ R

limk→0

f(x+ i(y + k))− f(x+ iy)ik

=1i

limk→0

u(x, y + k)− u(x, y)k

+ iv(x, y + k)− v(x, h)

k=

=1i

(∂yu(x, y) + i∂yv(x, y)) (16.4)

Per essere derivabile devono essere uguali le due derivate, quindi esce l’identitàdi C-R.Detto questo possiamo affermare la seguente proposizione:Sia f : D → C funzione complessa a valori complessi, f(z) = u(x, y) + iv(x, y)con u, v, x, y reali, e sia x + iy ∈ D. La funzione f è derivabile in sensocomplesso in z = x+ iy se e solo se u e v sono entrambe differenziabili in sensoreale in (x,y)∈ R2 ed in più le derivate parziali devono verificare l’identità diCauchy Reimannl’identità di Cauchy Reimann citata nel punto 1.2 può essere riscritta per uncaso reale come:

∂xu(x, y) = ∂yv(x, y) ∂yu(x, y) = −∂xv(x, y) (16.5)

dove u(x, y) = Re(f(z)) mentre v(x, y) = Im(f(z))

16.2 Funzioni OlomorfeSia D un aperto di C in cui sia definita una funzione f : D → C. La funzionef si dice Olomorfa se ∀z ∈ D è derivabile in senso complesso e se ∀z ∈ D siha che f ′(z) ∈ C0

In poche parole la funzione f è Olomorfa in D se nell’aperto considerato èdi classe C1.Usando un po’ di terminologia spesso, viene definito con:

1. H(D) lo spazio delle funzioni Olomorfe su un aperto D ⊆ C considerato;

2. Una funzione f si dice intera se è Olomorfa su tutto C

16.3 Funzioni AntiolomorfeDato D ⊆ C aperto definiamo antiolomorfa in D ogni funzione f : D → C

tale che la sua conigata f : D → C definita come f(x+ iy) = u(x, y)− iv(x, y)è Olomorfa.Proposizioni: Sia f : D → C con D ⊆ C aperto e f ∈ C1 sui reali, allora:

1. f è antiolomorfa se e solo se ∂f(x+ iy) = 0 cioè se e solo se è verificatoche:

∂xu(x, y) = −∂yv(x, y) ∂yu(x, y) = ∂xv(x, y) (16.6)

2. f è allo stesso tempo Olomorfa e Antiolomorfa se è localmente costantesulle componenti connesse del domonio D

16.4. INTEGRAZIONE SU CAMMINI 125

16.4 Integrazione su CamminiSe abbiamo una situazione in cui D ⊂ C ed f : D → C è continua si può consi-derare la forma differenziale complessa f(z)dz. Ci interessa definire l’integraledi tale forma lungo un cammino stabilito. Un cammino è una curva chenoi possiamo pensare parametrizzata nel seguente modo:

α : [a, b]→ D (16.7)

α è un cammino in D. α si pensa che sia anche continua a tratti. Per definizionedi integrale di una curva possiamo formalizzare il tutto dicendo:∫

α

f(z)dz =∫ b

a

f(α(t))α′(t) dt (16.8)

DISUGUAGLIANZA FONDAMNETALE: Se D è aperto di C, f : D → C ècontinua, α : [a, b] → D è un cammino in D e sia ||f ||α denota il massimomodulo della funzione f sul sostegno α(t) con t ∈ [a, b] si ha che:∣∣∣∣∫

α

f(z)dz∣∣∣∣ ≤ ∫

α

|f(z)| |dz| ≤ ||f ||α V (α) (16.9)

Dimostrazione. La dimostrazione è molto banale:∣∣∣∣∫α

f(z)dz∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(α(t))| |α′(t)| |dt| ≤∫ b

a

||f ||α |α′(t)| |dt| =

= ||f ||α∫ b

a

|α′(t)| |dt| = ||f ||α V (α) (16.10)

Dove V (α) rappresenta la lunghezza del cammino α in D.

16.4.1 Invarianza per OmotopiaCome per gli integrali di linea di campi vettoriali a componenti reali si è di-mostrato l’invarianza dell’integrale per omotopia, lo stesso vale anche nellatrattazione di funzioni complesse integrate lungo due cammini omotopi, in par-ticolare:Sia D aperto di C ed f : D → C olomorfa. Se α e β sono due circuiti di Domotopi in D allora è soddisfatta l’ugualinza:∫

α

f(z)dz =∫β

f(z)dz (16.11)

Dimostrazione. Per il teorema già citato sull’invarianza dell’integrale per omo-topia. Guardare la sezione dei domini aperti− connessi nel Capitolo 11

FORMULA DI CAUCHY PER IL CERCHIO:. Sia D ⊆ C aperto e siaf : D → C olomorfa. Se a ∈ D ed r>0 sono tali che il disco chiuso di centro ae raggio r è contenuto in D si ha che:

f(z) =1

2πi

∫B(a,r]

f(ζ)ζ − z

dζ (16.12)

dove B(a, r] indica l’integrale esteso al bordo del cerchio di centro a e raggio roppure possiamo vederlo come: γ(t) = a+ reit dove t ∈ [0, 2π]

126 CAPITOLO 16. ANALISI COMPLESSA

Dimostrazione. Fisso uno z ∈ B(a, r[ si considera la funzione g : D → C

definita in questo modo:

g(ζ) =f(ζ)− f(z)

ζ − zse ζ ∈ D \ z; g(z) = f ′(z) (16.13)

Ora contaggo il cerchio γ sul punto z con omotetie di rapporto tendente a zero.I cerchi diventano quindi descritti:

γλ(t) = z + λ(γ(t)− z) al variare di λ ∈ [0, 1] (16.14)

Per λ = 1 ho il cerchio completodi raggio r e centro a, per λ = 0 ho cheγ0(t) = zIntegrando la funzione g(ζ) possimao notare che:

I(λ) =∫γλ

g(ζ)dζ =(∫ 2π

0

g(z + λ(γ(t)− z))λγ′(t) dt)

λ ∈ [0, 1] (16.15)

I γλ sono tutti circuiti omotopi g(ζ) è limitata nel cerchio compatto di centro ae raggio r. SiaM il suo massimo modulo nel compatto considerato, osservandoanche che:

|I(λ)| ≤∫γλ

|g(ζ)| |dζ| ≤∫γλ

M |dζ| = M2πrλ (16.16)

se λ → 0+ =⇒I(λ) → 0 quindi I(0) = I(1) = 0. quindi posso ugualiare esvincolarmi dagli estremi:∫

γ

f(ζ)− f(z)ζ − z

dζ = 0 =⇒∫γ

f(ζ)ζ − z

dζ =∫γ

f(z)ζ − z

dζ (16.17)

FORMULA DI CAUCHY PER LE DERIVATE SUCCESSIVE: Sia D ⊆ Caperto e f : D → C olomorfa, allora si ha che per ogni discho chiuso B(a, r] ⊆ De ∀n ∈ N:

f (n)(z)n!

2πi

∫∂B(a,r]

f(ζ)(ζ − z)n+1

per z ∈ B(a, r[ (16.18)

Cioè derivate di funzioni olomorfe sono funzioni olomorfe.

Dimostrazione. Derivando successivamente sotto il segno di integrale ottengoche:

dm(1/(ζ − z))dzn

=n!

(ζ − z)n+1(16.19)

per induzione su n si arriva all’asserto.

Capitolo 17

Appendici

127

128 CAPITOLO 17. APPENDICI

Appendice A

17.1 Limite superioreData un successione xn ∈ R, sia l’insieme Λ(xn) la classe limite dellasuccessione, cioè l’insieme degli a ∈ R che sono limite di una qualche sottosuc-cessione di xnDefinizione: Definisco Limite superiore (o massimo limite) la seguente scrit-tura:

s := sup Λ(xn) lim supn→+∞

xn(∈ R) (17.1)

Proprietà interessanti del massimo limite:

• s ∈ Λ(xn) allora il limite superiore della successione se essite è ilmassimo della classe limite;

• s = infn(supkxk : k ≥ n) = limn→∞(supkxk : k ≥ n);

• Sia a ∈ R allora:

se s < a =⇒xn < a ∀n > ν;

se s > a =⇒xn > a Per infiniti indici.

Poof.1) Fissiamo una successione zn ∈ R talche che zn → S. Posso costruireuna seccessione di indici che mi tornano utili per costuire una sottosucessioneconvergente nel seguente modo:se z1 < s allora per la proprietà dell’estremo superiore ∃a1 ∈ Λ : z1 < a1 ≤ s.L’intervallo (z1, s + 1) è un intorno di a1 allora esiterà un indice n1 : xn1 ∈(zn, s+ 1)Seguita il passaggio K volte alla fine ottengo una successione di indici:

n1 < n2 < n3, · · · tale che: xnk ∈(zk, s+

1k

)(17.2)

ma zk → s per ipotesi e s + 1k → s quindi per il teorema del confornto anche

xnk → s allora s ∈ Λ2) Denoto con σn := supkxk : k ≥ n osservo che la successione σn è noncrescente allora ammette limite e quindi soddisfa le definizioni:

σ = limn→∞

σn = infnσn (17.3)

129

130 CAPITOLO 17. APPENDICI

Per come è stato definito σ1 possiamo dire che ∃k1 ∈ N tale che xk1 < σ1 − 1allo stesso modo:Per come è stato definito σk1+1 possiamo dire che ∃k2 ∈ N tale che xk2 < σk1− 1

2allo stesso e così via, costruisco una successione di indici:

k1, k2, .... (17.4)

tali che:

σkj−1 − 2(j−1) < xkj ≤ σkj−1 (17.5)

per il teorema del confronto ho che xkj → σ =⇒σ ∈ Λ =⇒per come è statodefinito che σ ≤ s.Ma possiamo dire anche che ∀a ∈ R con a < s∃b ∈ Λ con a < b ≤ s essendob limite di una sottosuccessione xn deve essere che xnk > a∀k > ν =⇒sideduce che σn = supxk : k ≥ n > a∀n ∈ N e dato che σn → σ ho che σ > a.ma a ∈ (−∞, s) allora ho che σ ≤ s. Mettendo insieme anche la condizioneprecedente su σ abbiamo che :

σ = s (17.6)

Capitolo 18

Equazioni differenziali allederivate parziali

18.1 Problema delle onde monodimensionaleIl prblema dele onde rientra in molti ambiti fisici di particolare interesse. Consemplici conisiderazioni di dinamica, si può osservare che il moto di una cordavibrante lasciata libera di muoversi sotto certe condizioni inziali e condizionial bordo, ha una dinamica descritta da questa equazione:

∂2u(x, t)∂t2

− v2 ∂2u(x, t)∂x2

= 0 (18.1)

le cui condizioni iniziali e le condiziooni al bordo sono:u(x, 0) = f(x)∂u(x,0)∂t = g(x)u(0, t) = 0u(l, t) = 0

(18.2)

Trovo la soluzione particolare e poi la confronto con le condizione al contor-no. Per risolvere il problema appena presentato, è utile eseguire la seguentesostituzione:

ξ = x+ ct (18.3)η = x− ct

in questo modo l’eq. 18.1 diventa:

∂2u(ξ, η)∂t2

− v2 ∂2u(ξ, η)∂x2

= v2

[∂2u

∂ξ2− 2

∂u

∂ξ

∂u

∂η+∂2u

∂η2

]−[∂2u

∂ξ2+ 2

∂u

∂ξ

∂u

∂η+∂2u

∂η2

]=

= 4∂2u

∂ξ∂η= 0 (18.4)

Per sviluppare si è usato semplicemente la regola di derivazione a catena. Unascrittura che siddisfa questa equazione è:

u(ξ, η) = p(ξ) + q(η) (18.5)

131

132CAPITOLO 18. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

Per trovare l’integrale generale impongo le condizioni iniziali.p(x) + q(x) = f(x)cp′ − cq′ = g(x) (18.6)

Derivo la prima eqzione e sostituisco ottenendo:

p′ + q′ = f ′ =⇒ c(f ′ − q′)− cq′ = g =⇒ q′(η) =12f ′(η)− 1

2c

∫ η

0

g(x)dx

Poi dato che p = f − q Allora:

p(ξ) = f(ξ)− 12f(ξ) +

∫ ξ

0

g(x) dx =12f(ξ) +

∫ ξ

0

g(x) dx (18.7)

La soluzione:

u(x, t) = p(x+ ct) + q(x− ct) =12

[f(x+ ct)− f(x− xt)] +12c

∫ x+ct

x−ctg(x) dx

Questa equazione è soluzione dell’equzzione delle onde se è di classe D2 e seg è di classe D1 e in più deve soddisfare le condizioni iniziali. Per torvarela soluzione generale devo considerare le condizioni al bordo, quindi vedere ilcomportamento per x = 0 e x = l

p(ct) + q(−ct) = 0 x = 0 (18.8)p(l + ct) + q(l − ct) = 0 x = l (18.9)

Chiamo γ = −ct

p(−γ) = −p(γ) (18.10)(18.11)

Nella seconda equzione invece pongo λ = l + ct ottenendo:

p(λ) = −q(2l − λ) (18.12)

e successivamente ottiniamo le q(η) e le p(ξ) andando a sostituire

18.2 Unicità dell’equazione delle onde

∂2u∂t2 − c

2 ∂2u∂x2 = F (x, t)

u(x, 0) = f(x);∂u∂t (x, 0) = g(x);u(0, t) = f3(x);u(l, t) = f4(x);

(18.13)

Per dimostrarne l’unicità uso il teorema di conservazione dell’energia, quin-di moltiplico scalarmente ambo i membri per ∂u

∂t

ρ∂u

∂t

[∂2u

∂t2− c2 ∂

2u

∂x2

]=

∂

∂t

[ρu∂2u

∂t2− ρc2u∂

2u

∂x2

]− ∂

∂x

[T0∂u

∂x

∂u

∂t

]=

=∂

∂t

[12ρ

(∂u

∂t

)2

− 12T0

(∂u

∂x

)2]− ∂

∂x

[T0∂u

∂x

∂u

∂t

]

18.2. UNICITÀ DELL’EQUAZIONE DELLE ONDE 133

integro per t>0:

12

∫ l

0

ρ

(∂u

∂t(x, t)

)2

+ T0

(∂u

∂x(x, t)

)2dx = 0 (18.14)

(oppure)∫ t

0

∫ l

0

F (x, t)ρ∂u

∂tdxdt per l’integrale generale (18.15)

Tutti gli altri contibuti temporalei al bordo ed iniziali sono stati tutti annullati,ponendo uguali a zero condizioni iniziali e condizioni al bordo. Ora prendo duesoluzioni u1 e u2 chiamo ν = u1 − u2 e imponendo il bilancio di energia per ledue situazioni ho la condizione che:

12

∫ l

0

ρ

(∂ν

∂t(x, t)

)2

+ T0

(∂ν

∂x(x, t)

)2dx = 0 (18.16)

I termini sono tutti sono positivi e l’integrale è nulla l’integranda. Quindi hoν = costante = 0 da cui u1 = u2

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA PER IL CORSO …stefanomandelli.altervista.org/ANALISI.pdfAPPUNTI DI...

Documents

Transcript of APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA PER IL CORSO …stefanomandelli.altervista.org/ANALISI.pdfAPPUNTI DI...