Appunti Corso Topologia

Appunti di Topologia Generale

(Geometria 3, A.A. 2008-09)

Andrea Loi

Dipartimento di Matematica Universita` di Cagliari Italy

e-mail address: [email protected]

web-page: http://loi.sc.unica.it/

1

Introduzione

I prerequisiti per questo corso di Geometria 3 (Topologia Generale) sono gli

argomenti svolti nei corsi di Algebra 1, Analisi 1, Analisi 2, Geometria 1 e Geo-

metria 2 delle laurea triennale in Matematica. In particolare lo studente dovra`

conoscere i concetti di base della teoria degli insiemi, il concetto di cardinalita`

(insiemi numerabili e non), il concetto di gruppo, funzioni continue in una varia-

bile, le nozioni di base sugli spazi vettoriali e sulle matrici nonche` la teoria delle

coniche e delle quadriche e delle loro forme canoniche. In ogni caso queste note

cercheranno di essere le piu` autocontenute possibile.

2

Indice

1 Richiami 6

1.1 Insiemi e funzioni tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 La completezza di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 La topologia della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Funzioni continue da R in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Spazi metrici 22

2.1 Definizioni e esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Applicazioni continue tra spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Distanze topologicamente equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Altre applicazioni tra spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Topologie e spazi topologici 33


3.2 Interno, chiusura, frontiera and all that Jazz . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Basi 53


4.2 Topologie generate da basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

5 Numerabilita`, proprieta` di separazione e successioni 59

5.1 Numerabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Proprieta` di separazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Successioni in uno spazio topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Applicazioni tra spazi topologici 74

6.1 Applicazioni continue, aperte e chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2 Costruzione di funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3 Continuita` e continuita` sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4 Applicazioni continue e proprieta` di separazione . . . . . . . . . . 82

6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Omeomorfismi di Rn e varieta` topologiche 877.1 Affinita` e isometrie di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 Alcuni sottospazi di R e R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.3 Sottoinsiemi convessi di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.4 Varieta` topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8 Prodotti 103

8.1 La topologia prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9 Spazi connessi 114

9.1 Spazi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2 Connessione per archi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.3 Componenti connesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10 Spazi compatti 129

10.1 Spazi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

10.2 Compattezza negli spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4

10.3 Il lemma dellapplicazione chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.4 Spazi numerabilmente e sequenzialmente compatti . . . . . . . . . 139

10.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

11 Quozienti 143

11.1 La topologia quoziente e le identificazioni . . . . . . . . . . . . . . 143

11.2 Spazi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

11.3 Proprieta` universale del quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

11.4 Dallastratto al concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

11.5 Spazi quoziente, numerabilita` e separabilita` . . . . . . . . . . . . 153

11.6 Lo spazio proiettivo reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5

Capitolo 1

Richiami

In questo capitolo fisseremo le notazioni e ricorderemo alcuni risultati sulla topo-

logia delle retta e delle funzioni continue da R a R che verranno generalizzati neicapitoli successivi a spazi piu` generali.

1.1 Insiemi e funzioni tra insiemi

Dati due insiemi X e Y , la notazione Y X e` usata per denotare che Y e` unsottoinsieme di X. Con questo non escludiamo che X = Y . Se Y X linsiemedegli elementi di X che non appartengono a Y e` denotato con X \ Y , mentrelinsieme vuoto e` denotato con .Il prodotto cartesianoXY di due insiemiX e Y e` linsieme delle coppie ordinate(x, y) con x X e y Y . Quindi

X Y = {(x, y) | x X, y Y }.

Il prodotto cartesiano di una famiglia finita {Xi | i = 1, 2, . . . , n} di insiemi e`definito in modo analogo:

X1 X2 . . . Xn = {(x1, x2, . . . xn) | xi Xi, i = 1, 2, . . . , n}.

6

Una funzione o applicazione f : X Y tra due insiemi X e Y e` una cor-rispondenza che associa ad ogni elemento x X un unico elemento f(x) Y .

Siano X, Y, Z tre insiemi. Date due funzioni f : X Y e g : Y Z si definiscela composizione di g con f la funzione g f : X Z definita come

(g f)(x) = g(f(x)), x X.

La funzione identita` idX : X X e` definita da idX(x) = x per ogni x X.Chiaramente se f : X Y e` una funzione allora

f idX = f, idY f = f.

Una funzione f : X Y e` detta iniettiva se a elementi distinti diX corrispondonoimmagini diverse, cioe` se:

f(x) = f(y) x = y.

Una funzione f : X Y e` detta suriettiva se ogni y Y e` immagine di qualchex X, cioe` se:

y Y x X tale che f(x) = y.

una funzione f : X Y e` detta bigettiva se e` iniettiva e suriettiva. Equivalen-temente f : X Y e` bigettiva se esiste g : Y X tale che:

g f = idX (1.1)

f g = idY (1.2)

La (1.1) si esprime anche dicendo che f ha uninversa sinistra. Una funzione

f : X Y ha uninversa a sinistra se e solo se e` iniettiva.La (1.2) si esprime anche dicendo che f ha uninversa destra. Una funzione

f : X Y ha uninversa a destra se e solo se e` suriettiva.

7

Limmagine della funzione f : X Y , denotata con f(X) oppure con Im(f), e`il sottoinsieme di Y definito da:

Im(f) = f(X) = {y Y | y = f(x) per qualche x X}.

Sia f : X Y una funzione. L immagine f(A) di un qualsiasi sottoinsieme Adi X e` linsieme delle immagini dei punti di A. La controimmagine f1(B) di un

qualsiasi sottoinsieme B Y e` linsieme dei punti di X le cui immagini tramitef sono in B. In simboli

f(A) = {f(x) | x A},f1(B) = {x X | f(x) B}

Quindi una funzione f : X Y induce una funzione, anchessa denotata conf , dallinsieme della parti P(X) di X allinsieme delle parti P(Y ) di Y e unafunzione denotata con f1 dallinsieme P(Y ) a P(X). I tre teoremi che seguonosintetizzano le proprieta` di queste funzioni (che per noi saranno di importanza

vitale per tutto il corso). Le dimostrazioni sono lasciate per esercizio.

Teorema 1 Sia f : X Y una funzione. Allora, per ogni coppia di sottoinsiemiA,B X valgono le seguenti relazioni:

(a) f(A B) = f(A) f(B).

(b) f(A B) f(A) f(B).

(c) f(A \B) f(A) \ f(B).

(d) A B f(A) f(B).

Piu` in generale per ogni famiglia di insiemi {Aj}jJ in X

(e) f(jJAj) = jJf(Aj).

(f) f(jJAj) jJf(Aj)

8

Teorema 2 Sia f : X Y una funzione. Allora, per ogni coppia di sottoinsiemiA,B Y valgono le seguenti relazioni:

(g) f1(A B) = f1(A) f1(B).

(h) f1(A B) = f1(A) f1(B).

(i) f1(A \B) = f1(A) \ f1(B).

(l) A B f1(A) f1(B).

Piu` in generale per ogni famiglia di insiemi {Aj}jJ in Y

(m) f1(jJAj) = jJf1(Aj).

(n) f1(jJAj) = jJf1(Aj).

Come corollario della (i) siccome f1(Y ) = X si ottiene

Corollario 1 Sia f : X Y una funzione e A Y . Allora

f1(Y \ A) = X \ f1(A).

Teorema 3 Sia f : X Y e sia A X e B Y . Allora:

(o) A f1(f(A)).

(p) f(f1(B)) B.

1.2 La completezza di R

Ricordiamo che linsieme dei numeri reali e` completo. La completezza di R e`equivalente al seguente:

Assioma dellestremo superiore: Per ogni insieme A R dei numeri realisuperiormente limitato (cioe` esiste b R tale che b a per ogni a A) esistesup(A) = s R (cioe` s a,a A e se b a,a A, allora s b).

9

Un elemento b tale che b a, per ogni a A e` detto maggiorante dell insiemeA. Quindi lassioma dellestremo superiore si puo` enunciare dicendo che se un

insieme ammette un maggiorante allora linsieme dei maggioranti ha minimo (e

questo minimo e` esattamente sup(A)).

Osservazione 1 Osserviamo che linsieme dei numeri razionali razionale non e`

completo. Infatti il suo sottoinsieme

A = {x Q | x > 0, x2 < 2}

e` limitato superiormente ma non esiste sup(A).

Una conseguenza immediata di questo assioma e` che linsieme dei numeri naturali

N = {1, 2, . . . } R non e` limitato superiormente. Infatti se lo fosse allora perlassioma dellestremo superiore esisterebbe b = sup({N}). Allora b 1 non e` unmaggiorante per N e quindi esiste n0 N tale che b 1 < n0 ossia b < n0 + 1.Ma n0 N implica che n0 + 1 N e quindi b non puo` essere un maggiorante perN.

Altre due conseguenze importantissime dellassioma dellestremo superiore sono

espresse nei teoremi che seguono.

Teorema 4 (Q e` denso in R) Dati due numeri reali distinti a e b esiste unnumero razionale compreso tra di essi.

Dimostrazione: Possiamo sempre supporre a < b. Se a e` negativo e b positivo

il numero zero e` un numero razionale tale che a < 0 < b. Se a oppure b e` zero

si ragiona come segue. Supponiamo a = 0 (il caso b = 0 e` simile), quindi 0 < b.

Vogliamo far vedere che esiste un intero positivo n0 N tale che 0 < 1n0 < b. Se n0non esistesse allora b 1

nper ogni n N. Ossia n 1

bper ogni numero naturale e

questo contraddice il fatto che i numeri naturali non sono superiormente limitati.

Consideriamo il caso in cui a < b con a e b positivi. Allora b a e` positivo e

10

quindi con un ragionamento simile a quello appena fatto esiste n0 N tale che0 < 1

n0< b a cioe`

a+1

n0< b.

Sia m0 il minimo intero positivo tale chem0n0

b (infatti esiste m N tale chemn0 b altrimenti N sarebbe limitato superiormente). Ne segue che m01

n0< b.

Vogliamo dimostrare che

a n allora am < bm bn e se m n allora am an < bn.Questo significa che bn e` un maggiorante per linsieme A = {a1, a2, . . . } degliestremi sinistri. Per lassioma dellestremo superiore di R esiste sup(A) = s.Chiaramente an s bn per ogni n e quindi s In per ogni n.

11

Osservazione 2 La proprieta` degli intervalli nidificati non e` valida se si conside-

rano intervalli che non sono chiusi e limitati. Per esempio la famiglie di intervalli

(0, 1k] e [k,+), k N sono nidificate ma non soddisfano la tesi del Teorema 5.

Osservazione 3 Il punto s descritto nel Teorema 5 potrebbe non essere unico. Si

pensi al caso che tutti gli Ij siano uguali a I1. In questo caso jIj = I1 e` costituitoda un numero infinito di punti (quelli di I1). Anzi il punto s e` unico se e solo se

limj |Ij| = 0, dove Ij denota la lunghezza dellintervallo Ij, cioe` Ij = bj aj.

1.3 La topologia della retta

Insiemi aperti. Sia A R un sottoinsieme dei numeri reali R. Si dice che xe` interno ad A se e solo se esiste > 0 tale che l intervallo (x , x + ) e`contenuto in A:

x (x , x+ ) A.Linsieme A e` aperto se e solo se ogni suo punto e` interno.

Esempio 1 Lintervallo (a, b) e` aperto (cos` come R, (0,+) sono aperti).

Esempio 2 Lintervallo [a, b] non e` aperto (cos` come non sono aperti [0,+) e[0, 1))

Esempio 3 Linsieme vuoto e` un insieme aperto (non vi e` alcun punto in che non sia un punto interno).

Valgono i seguenti fatti di facile verifica:

(a) Lunione di insiemi aperti di R e` aperto

(b) Lintersezione di un numero finito di insiemi aperti di R e` un aperto.

Osservazione 4 La condizione (b) non puo` essere eliminata. Si pensi ad esempio

alla famiglia di aperti An = ( 1n , 1n) con n N. Allora nAn = {0} che non e`aperto.

12

Punti di accumulazione. Sia A un sottoinsieme di R. Un punto x R e`un punto di accumulazione di A se ogni insieme aperto U contenente x contiene

un punto di A differente da x. In altre parole, per ogni aperto U , x U ,A (U \ {x}) 6= . Linsieme dei punti di accunulazione sara` denotato con D(A).Linsieme D(A) e` detto derivato di A. Si osservi che se x e` di accumulazione per

A allora ogni aperto (e quindi ogni intervallo) contenente x contiene infiniti punti

di A.

Esempio 4 Sia A = {1, 12, 13, . . . } allora 0 e` un punto di accunulazione per A.

Esempio 5 Ogni punto x R e` un punto di accumulazione per linsieme deinumeri razionali Q.

Esempio 6 Linsieme degli interi Z non possiede punti di accumulazione. Inaltre parole D(Z) = .

Lultimo esempio mostra che anche se un insieme e` infinito non e` detto che abbia

un punto di accumulazione. Il seguente teorema fornisce una condizione generale

affinche questo capiti.

Teorema 6 (BolzanoWeierstrass) Sia A un insieme infinito e limitato di nu-

meri reali. Allora A possiede almeno un punto di accumulazione.

Dimostrazione: Sia I1 un intervallo contenente A. Dividiamo I1 a meta` cioe`

se I1 = [c1, d1] allora prendiamo i due intervalli [c1,c1+d1

2] e [ c1+d1

2, d1]. Almeno

uno di questi due intervalli, chiamiamolo I2, dovra` contenere infiniti punti di A.

Dividiamo I2 a meta`, cioe` in due intervalli chiusi e limitati come sopra . Almeno

uno di questi intervalli chiusi , chiamiamolo I3, dovra` contenere infiniti punti di

A. Iterando questo procedimento possiamo quindi trovare degli intervalli chiusi

e nidificati I1 I2 Ij ognuno dei quali contiene infiniti punti di A ela lunghezza di Ij tende a zero al crescere di j. Per il Teorema 5 esiste un punto

p comune a tutti gli intervalli. Il punto p e` ovviamente di accumulazione per lin-

sieme A. Infatti se (a, b) e` un aperto che contiene p esistera` un j0 suffcientemente

grande tale che p Ij0 (a, b) e allora (a, b) contiene infiniti punti di A.

13

Insiemi chiusi Un sottoinsieme C di R e` detto un insieme chiuso se il suocomplementare R \ C e` aperto.

Teorema 7 (caratterizzazione dei chiusi di R) Un sottoinsieme C R e` chiusose e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Dimostrazione: lasciata per esercizio (senza consultare gli appunti di Analisi!)

Esempio 7 Lintervallo [a, b] e` chiuso visto che il suo complementare (, a)(b,+) e` aperto essendo lunione di due insiemi aperti.

Esempio 8 Linsieme A = {1, 12, 13, . . . } non e` chiuso in quanto 0 e` un punto di

accumulazione per A, il quale non appartiene ad A.

Esempio 9 Linsieme vuoto e R sono insiemi chiusi dal momento che i lorocomplementari e cioe` R e sono aperti.

Ricordiamo che una classe di insiemi A = {Ai} ricopre un insieme A se A e`contenuto nellunione degli elementi di A, cioe` A iAi. EquivalentementeA ricopre A se per ogni x A esiste un indice i0 tale che x Ai0 . Il seguenteteorema e` senza dubbio il teorema piu` importante sugli intervalli chiusi e limitati.

Teorema 8 (HeineBorel) Sia A = [a, b] un intervallo di R chiuso e limitatoe sia A = {Ai}iI una famiglia di sottoinsiemi aperti di R che ricopre A, cioe`A iIAi. Allora A contiene una sottofamiglia finita {Ai1 , . . . , Aim} che ricopreA, cioe` A Ai1 Aim.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo non si possa estrarre da A un rico-primento finito di [a, b]. Allora dividiamo A = I1 a meta` cioe` prendiamo i due

intervalli [a, a+b2] e [a+b

2, b]. Almeno uno di questi due intervalli, diciamo I2, non

puo` essere ricoperto da un numero finito di elementi di A. Dividiamo I2 a meta`,cioe` in due intervalli chiusi e limitati come sopra . Almeno uno di questi due in-

tervalli, diciamo I3 non puo` essere ricoperto da un numero finito di elementi di A.

14

Iterando questo procedimento possiamo trovare degli intervalli chiusi e nidificati

I1 I2 Ij ognuno dei quali non puo` essere ricoperto da un numerofinito di elementi di A e la lunghezza di Ij tende a zero al crescere di j. Per ilTeorema 5 esiste un punto p comune a tutti gli intervalli. In particolare p I1 equindi esiste un insieme aperto Ai0 A che contiene p. Ma allora esiste j0 taleche p Ij0 Ai0 e quindi Ij0 puo` essere ricoperto da Ai0 e questo contraddice lacostruzione degli Ij.

Osservazione 5 Nel teorema precedente occorre che siano soddisfatte entrambe

le condizioni, cioe` che lintervallo sia chiuso e limitato (si veda lEsercizio 3).

Successioni. Denotiamo con N+ linsieme dei numeri naturali positivi. Unap-plicazione f : N+ R si chiama una successione di elementi di R. Per ognin N+ limmagine xn = f(n) si chiama n-esimo termine della successione f .Lusuale definizione di successione convergente e` la seguente. La successione xn

si dice convergente al punto x R e si scrivera`

limn

xn = x,

(e x si dice limite della successione) se per ogni > 0 esiste un intero positivo n0

tale che |xn x| < per ogni n n0.Possiamo anche enunciare la convergenza in modo equivalente in termini di aperti

dicendo che limn xn = x se per ogni aperto U contenente x esiste n0 N+ taleche xn U per ogni n n0.Una sottosuccesione di xn di R e` una successione xnk , k = 1, 2 ottenuta incorrispondenza di una successione crescente di interi positivi

n1 < n2 < n3 < . . . .

Equivalentemente una sottosuccessione della successione f : N+ R e` una suc-cessione ottenuta come composizione f : N+ R dove : N+ N+ e`unapplicazione crescente.

15

Non e` detto che una succesione sia convergente (per esempio?), e` pero` molto im-

portante capire quando esiste una sua sottosuccessione convergente. Osserviamo

che se xn converge a x0, allora x0 e` un punto di accumulazione dellinsieme {xn}.Il viceversa non e` vero (per esempio?). A questo riguardo abbiamo il seguente

teorema e il suo fondamentale corollario.

Teorema 9 Se linsieme delle immagini {xn} di una successione xn contiene unpunto di accumulazione x0, allora xn contiene una sottosuccessione xnk conver-

gente a x0.

Dimostrazione: Dato che x0 e` un punto di accumulazione per {xn}, ognunodegli intervalli aperti

U1 = (x0 1, x0 + 1), U2 = (x0 12, x0 +

1

2), . . .

contiene un numero infinito di elementi dellinsieme {xn} e quindi della succes-sione xn. Costruiamo una sottosuccessione xnk come segue:

sia xn1 un punto qualunque di U1;

sia xn2 con n2 > n1 un punto che sta in U2;

sia xn3 con n3 > n2 un punto che sta in U3.

Si noti che possiamo sempre scegliere un elemento della successione xnj dato che

in ogni Uj cadono infiniti punti della successione xn. Mostriamo che xnk converge

a x0. Chiaramente xnk e` una sottosuccessione di xn. Sia U un insieme aperto

contenente x0. Allora U contiene un intervallo (x0 , x0 + ) U , per qualche > 0. Sia k0 N tale che k0 > 1 . Allora

Uk0 (x0 , x0 + ) U.

Percio` se k > k0 allora xnk Uk Uk0 (x0, x0+) U , ossia limk xnk =x0.

16

Corollario 2 Ogni successione limitata di numeri reali contiene una sottosuc-

cessione convergente. Equivalentemente una successione di punti di un intervallo

[a, b] in R contiene una sottosuccessione convergente.

Dimostrazione: Se linsieme {xn} e` finito allora la successione xn contiene unasottosuccessione convergente (fatta tutta di termini costanti). Se {xn} e` infinitoper il Teorema di BolzanoWeierstrass linsieme limitato {xn} contiene un puntodi accumulazione. Ma allora per il Teorema 9 la successione xn contiene una

sottosuccessione convergente. Lultima affermazione segue del fatto che [a, b] e`

limitato (e quindi posso applicare il teorema) e chiuso (e quindi contiene i suoi

punti di accumulazione).

1.4 Funzioni continue da R in R

La classica definizione di funzione continua si enuncia dicendo che una funzione

f : R R e` continua in un punto x0 se per ogni > 0 esiste = > 0 tale che:

se |x x0| < allora |f(x) f(x0)| < . (1.3)

Si dice poi che f : R R e` continua se e` continua in ogni punto x R.Si osservi che |x x0| < significa x0 < x < x0 + , ossia x appartieneallintervallo aperto (x0 , x0 + ). Similmente |f(x) f(x0)| < significa chef(x) appartiene allintervallo aperto (f(x0) , f(x0) + ). Percio` dire che

|x x0| < implica |f(x) f(x0)| <

significa che

x (x0 , x0 + ) implica f(x) (f(x0) , f(x0) + )

che a sua volta e` equivalente a

f((x0 , x0 + )) (f(x0) , f(x0) + ).

17

Dal momento che un insieme aperto di R che contiene un punto contiene sempreun intervallo contenente quel punto possiamo riformulare la definizione di funzione

continua come segue. Una funzione f : R R e` continua nel punto x0 Rse per ogni insieme aperto Vf(x0) contenente f(x0) esiste un insieme aperto Ux0contenente x0 tale che f(Ux0) Vf(x0).In effetti possiamo esprimere la continuita` di una funzione usando solo aperti

come mostra il seguente importante teorema.

Teorema 10 Una funzione f : R R e` continua se e solo se la controimmaginedi un insieme aperto e` un insieme aperto.

Dimostrazione: Sia f : R R continua e sia V un sottoinsieme aperto di R.Vogliamo dimostrare che f1(V ) e` aperto. Sia x f1(V ), allora f(x) V .Per definizione di funzione continua esiste Ux un aperto contenente x tale che

f(Ux) V . Quindi si ottiene che:

Ux f1(f(Ux)) f1(V ).

Abbiamo quindi dimostrato che per ogni x f1(V ) esiste un aperto Ux tale che

x Ux f1(V ).

Quindi

f1(V ) = xf1(V )Ux.Percio` f1(V ) puo` essere scritto come unione di insiemi aperti e quindi e` esso

stesso un aperto. Viceversa, supponiamo che la controimmagine di un aperto sia

un aperto. Vogliamo dimostrare che f e` continua in ogni punto x R. Sia x Rfissato e sia Vf(x) un insieme aperto contenente f(x). Allora Ux = f

1(Vf(x)) e`

un insieme aperto contenente x con la proprieta` f(Ux) = f(f1(Vf(x))) Vf(x).

Quindi f e` continua in x, per larbitrarieta` di x.

Ricordiamo infine due importantissimi teoremi riguardanti funzioni definite in un

intervallo limitato [a, b], a < b.

18

Teorema 11 (del valor medio) Sia f : [a, b] R una funzione continua. Alloraf assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

Dimostrazione: Possiamo supporre che f(a) sia minore di f(b). Sia y0 R taleche f(a) < y0 < f(b). Vogliamo trovare un punto p [a, b] tale che f(p) = y0.Sia g : [a, b] R la funzione continua definita da g(x) = f(x) y0. Questafunzione soddisfa g(a) < 0 < g(b) quindi stiamo cercando un punto p [a, b] taleche g(p) = 0. Quindi ci siamo ricondotti a dimostrare che se g e` una funzione

continua in ogni punto dellintervallo [a, b] e se g(a) < 0 < g(b) allora, esiste

p [a, b] tale che g(p) = 0. Sia A linsieme dei punti di [a, b] per cui g e` negativa,cioe`

A = {x [a, b] | g(x) < 0}.Linsieme A non e` vuoto in quanto a A soddisfa g(a) < 0. Sia p = sup(A) (cheesiste per lassioma dellestremo superiore). Chiaramente a p b (in quantop e` il piu` piccolo dei maggioranti di A e g(b) > 0). Vogliamo dimostrare che

g(p) = 0. Se g(p) < 0 allora per il Teorema della permanenza del segno (Esercizio

7) esiste > 0 tale che la funzione g e` negativa in (p , p + ) [a, b]. Quindi(p , p + ) A e questo contraddice il fatto che p e` un maggiorante. Daltraparte g(p) > 0 sempre per il Teorema della permanenza del segno esiste > 0 tale

che la funzione g e` positiva in (p , p+) [a, b]. Quindi (p , p+)A = equesto contraddice il fatto che p e` il piu` piccolo dei maggioranti. Quindi g(p) = 0.

Teorema 12 (Weierstrass) Sia f : [a, b] R una funzione continua. Allora fe` limitata, cioe` esistono due numeri reali m,M m < M tali che m f(x) M, x [a, b].

Dimostrazione: Sia p [a, b]. Allora esiste un intervallo aperto Sp contenentep tale che f sia limitata in Sp (perche?). Gli intervalli Sp sono un ricoprimento

aperto di [a, b]. Per il Teorema di HeineBorel questo ricoprimento ammette un

sottoricoprimento finito, cioe` esistono Sp1 , . . . , Spk tali che [a, b] kj=1Spj e f e`limitata in ognuno dei Spj . Quindi f e` limitata in [a, b] (perche?).

19

Conclusione Tutti i concetti definiti in questo capitolo possono essere espressi

usando la distanza Euclidea (|xy|, x, y R) o addiritura usando solo gli insiemiaperti. Nel prossimo capitolo cercheremo di generalizzare questo fatti a spazi con

una distanza i cosidetti spazi metrici. Dopo aver capito che molte cose (anche se

non tutte) funzionano per gli spazi metrici ci dimenticheremo anche della distanza

e passeremo, nel Capitolo 3, al mondo degli spazi topologici (che includono come

caso molto particolare gli spazi metrici) e dove quello che conta veramente sono

gli insiemi aperti!

1.5 Esercizi

Esercizio 1 Dimostrare i Teoremi 1, 2 e 3.

Esercizio 2 Verificare con degli esempi che le inclusioni nei Teoremi 1, 2 e 3

possono essere strette e capire sotto quali condizioni (iniettivita` e suriettivita

della f).

Esercizio 3 Si dimostri che il Teorema di Heine-Borel non e` valido per intervalli

aperti e limitati e per intervalli chiusi ma illimitati.

Esercizio 4 Dimostrare il Teorema 7.

Esercizio 5 Si dimostri che C R e` chiuso se e solo se per ogni successionexn C convergente ad un punto x, il punto x appartiene a C.

Esercizio 6 Si dimostri che il Teorema 12 (di Weierstrass) non e` valido per

intervalli aperti (a, b).

Esercizio 7 (Teorema della permanenza del segno) Sia f : R R una funzionecontinua in un punto p R. Si dimostri che se f(p) > 0 (risp. f(p) < 0) alloraesiste un intervallo aperto S contenente p tale che f e` positiva (risp. negativa)

per ogni punto di S.

20

Esercizio 8 Sia f : R R una funzione continua tale che f(q) = 0 per ogniq Q. Si dimostri che f(x) = 0 per ogni x R.

Esercizio 9 Si costruiscano due funzioni f : R R e g : R R che non sianocontinue in nessun punto e tali che la loro somma f+g sia continua in ogni punto

di R.

Esercizio 10 Si consideri una funzione f : R R tale che f(x) = 0 se x e`irrazionale e f(x) = 1

bse x = a

be` razionale (dove a

be` lunico modo per scrivere

il numero razionale x come quoziente di numeri interi a e b primi fra loro). Si

dimostri che f e` continua in ogni punto irrazionale mentre e` discontinua in ogni

punto razionale.

21

Capitolo 2

Spazi metrici

La nozione di continuita` di una funzione reale richiamata alla fine del capitolo

precedente si puo` generalizzare facilmente al caso di applicazioni f : Rn Rm,dove Rp denota il prodotto cartesiano di R per se stesso p volte. Infatti bastasostituire il modulo con la norma nella (1.3) (come?). In effetti possiamo definire

il concetto di continuita` tra spazi molto piu` generali, gli spazi metrici che sono

largomento di questo capitolo.

2.1 Definizioni e esempi

Uno spazio metrico e` un insieme non vuoto X su cui e` definita una distanza o

metrica, cioe` unapplicazione

d : X X R

tale che per ogni x, y, z X

(d1) d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 se e solo se x = y (positivita`);

(d2) d(x, y) = d(y, x) (simmetria);

(d3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (disuguaglianza triangolare).

22

Uno spazio metrico e` quindi una coppia (X, d). Se d e d sono distanze diverse

allora gli spazi metrici (X, d) e (X, d) sono da considerarsi diversi.

Negli esempi che seguono descriviamo vari esempi di spazi metrici. Rinviamo lo

studente agli esercizi alla fine del capitolo per la verifica che le distanze definite

in questi esempi siano effettivamente distanze.

Esempio 10 I numeri reali R con la metrica d(x, y) = |x y| sono uno spaziometrico. Piu` in generale Rn con la metrica Euclidea

deucl(x, y) = x y,dove

x y = n

j=1

(xj yj)2.

Esempio 11 Sempre in Rn definiamo la seguente metrica

d(x, y) =n

j=1

|xj yj|.

Esempio 12 Unaltra metrica in Rn si ottiene ponendo

d(x, y) = maxj{|xj yj|}.

Esempio 13 (metrica discreta) SiaX un insieme non vuoto arbitrario. Possiamo

sempre definire una metrica su X ponendo:

ddis(x, y) =

{0 se x = y

1 se x 6= y (2.1)

Questa si dice metrica discreta su X.

Esempio 14 (metrica indotta) Sia X uno spazio metrico con metrica dX e Y un

sottoinsieme non vuoto. Se poniamo

dY (x, y) = dX(x, y), x, y Y (2.2)si definisce una metrica su Y detta restrizione di dX a Y . Lo spazio metrico (Y, dY )

si chiamera` sottospazio di (X, dX), e questo e` chiamato lo spazio ambiente.

23

Esempio 15 Per ogni spazio metrico X con metrica d e per ogni r > 0, ponendo

dr(x, y) = rd(x, y) si ottiene una metrica su X.

2.2 Applicazioni continue tra spazi metrici

Diamo ora la definizione di applicazione continua tra spazi metrici. Diremo che

unapplicazione f : X Y tra due spazi metrici, con distanze dX e dY ri-spettivamente, e` continua nel punto x X se per ogni > 0 esiste taleche

dY (f(x), f(y)) <

per ogni y X tale che dX(x, y) < . La f verra` detta continua se e` continuain ogni punto di X. Questa definizione e` chiaramente una generalizzazione della

nozione di continuita` definita per funzioni da R in R dove sia nel dominio che nelcodominio si utilizza la metrica Euclidea.

Esempi di applicazioni continue sono le funzioni costanti, la funzione identita` tra

uno spazio metrico e se stesso e linclusione di un sottospazio metrico nel suo

ambiente (perche?).

Definiamo ora il concetto di insieme aperto. SiaX uno spazio metrico con metrica

d. Siano x X e r > 0. Il disco aperto di centro x e raggio r e`

Dr(x) = {y X | d(x, y) < r}.

Un sottoinsieme di X si dice aperto rispetto alla metrica d se e` unione di dischi

aperti, oppure e vuoto. Con questa definizione lintero spazio X ed i dischi aperti

sono insiemi aperti. Una definizione equivalente di insieme aperto e` la seguente.

Proposizione 1 Un sottoinsieme S X e` aperto se e solo se per ogni x Sesiste r(x) > 0 tale che Dr(x)(x) sia contenuto in S.

Dimostrazione: Se S e` aperto, S = iIDi, dove Di sono dischi aperti. Siax S allora esiste i0 tale che x Di0 S. Viceversa se per ogni x S esister(x) > 0 tale che Dr(x)(x) S allora S = xXDr(x)(x).

24

Proposizione 2 Sia X uno spazio metrico. Valgono le seguenti proprieta`:

e X sono aperti;

lunione di una qualunque famiglia di insiemi aperti e` un insieme aperto;

lintersezione di due (e quindi di un numero finito) di insiemi aperti e`aperto.

Dimostrazione: lasciata per esercizio.

Come per il caso delle funzioni da R in R la continuita` tra spazi metrici puo` essereespressa in termini di insiemi aperti.

Teorema 13 Unapplicazione f : X Y tra due spazi metrici e` continua se esolo se per ogni aperto V di Y f1(V ) e` aperto in X.

Dimostrazione: Siano dX e dY le due distanze su X e Y rispettivamente. Sup-

poniamo f continua, V un aperto non vuoto di Y e x f1(V ). Quindi f(x) V ,essendo V aperto esiste > 0 tale che D(f(x)) V . Per la continuita` di f in xesiste > 0 tale che

f(D(x)) D(f(x)).Ma allora

D(x) f1(f(D(x))) f1(D(f(x))) f1(V ).

0.5 e` arbitrario ne segue che f1(V ) e` aperto. Supponiamo viceversa che la

controimmagine tramite f di qualsiasi aperto di Y sia un aperto di X. Allora

per ogni > 0, D(f(x)) e` un aperto di Y e quindi f1(D(f(x))) e` aperto in X.

Poiche` x f1(D(f(x))) esiste > 0 tale che

D(x) f1(D(f(x))),

cioe` per ogni y X tale che dX(x, y) < si ha

dY (f(x), f(y)) <

e quindi f e` continua in x. Siccome x e` arbitrario segue che f e` continua.

25

2.3 Distanze topologicamente equivalenti

Puo` capitare che due distanze d1 e d2 diverse su uno spazio topologico X defi-

niscano gli stessi insiemi aperti. In questo caso diremo che d1 e d2 sono topo-

logicamente equivalenti. Un criterio molto utile per capire se due distanze sono

topologicamente equivalenti e` il seguente.

Proposizione 3 Due distanze d1 e d2 su uno spazio metrico X sono topologica-

mente equivalenti se e solo se per ogni x X sono verificate le due condizioniseguenti:

(a) Per ogni disco aperto D1r(x) rispetto alla metrica d1 esiste un disco aperto

D2s(x) rispetto alla metrica d2 tale che D2s(x) D1r(x);

(b) Per ogni disco aperto D2r(x) rispetto alla metrica d2 esiste un disco aperto

D1s(x) rispetto alla metrica d1 tale che D1s(x) D2r(x).

Dimostrazione: Sia U un aperto rispetto alla metrica d1. Per la Proposizione

1 per ogni punto x X esiste D1r(x) tale che x D1r(x) U . Per la (a) esiste undisco D2s(x) rispetto alla metrica d2 tale che D

2s(x) D1r(x) e quindi U e` aperto

anche rispetto alla metrica d2. Se invece U e` un aperto rispetto alla metrica d2

per la Proposizione 1 per ogni punto x X esiste D2r(x) tale che x D2r(x) U .Per il punto (b) esiste un disco D1s(x) tale che D

1s(x) D2r(x) e quindi U e` aperto

anche rispetto alla metrica d2.

Esempio 16 La metrica dr definita nellEsempio 15 e` equivalente alla metrica

d. Infatti per ogni > 0 si ha:

D(x) = {y X | d(y, x) < } = {y X | rd(y, x) < r} = Drr(x),

dove abbiamo denotato con D e Dr i dischi aperti rispetto a d ed a dr rispetti-

vamente. Segue che la famiglia dei dischi aperti rispetto a d e` la stessa di quella

dei dischi aperti di dr. Quindi d e dr sono topologicamente equivalenti.

26

Esempio 17 Un altro esempio interessante e` dato dalle distanze deucl, d e d su

Rn degli Esempi 10, 11 e 12. Queste distanze sono topologicamente equivalenti.Usiamo le seguenti notazioni per i dischi di raggio r e centro x nelle tre distanze.

Il disco di centro x e raggio r rispetto alla metrica Euclidea deucl verra` denotato

con Br(x) e si chiamera` la n-palla Euclidea aperta di raggio r:

Br(x) = {y Rn | deucl(x, y) = x y < r}

Il disco di centro x e raggio r rispetto alla metrica d verra` denotato con Rr(x) e

si chiamera` l n-rombo Euclideo aperto di diagonali di lunghezza2r (parallele agli

assi):

Rr(x) = {y Rn | d(x, y) =n

j=1

|xj yj| < r}

Il disco di centro x e raggio r rispetto alla metrica d verra` denotato con Qr(x)

e si chiamera` l n-cubo Euclideo aperto di spigolo di lunghezza 2r:

Qr(x) = {y Rn | d(x, y) = maxj{|xj yj|} < r} = {y Rn | |xj yj| < r}.

Per dimostrare che le distanze deucl, d e d sono topologicamente equivalenti

useremo la Proposizione 3. In effetti mostreremo che per ogni r > 0 e per ogni

x Rn valgono le seguenti inclusioni.Q r

n(x) Rr(x) Br(x) Qr(x).

Sia z Q rn(x) questo significa che maxj |xj zj| < rn . Allora

nj=1

|xj zj| < nmaxj|xj zj| < nr

n= r

e quindi z Rr(x).Sia z Rr(x) questo significa che

nj=1 |xj zj| < r. Allora

nj=1

(xj zj)2 =n

j=1

|xj zj|2 < (n

j=1

|xj zj|)2 < r2,

27

ossian

j=1(xj zj)2 < r e quindi z Br(x).Infine sia z Br(x) questo significa che

nj=1(xj zj)2 < r2. Allora per ogni

j = 1, . . . , n,

|xj zj|2 n

j=1

(xj zj)2 < r2

e dunque |xj zj| < r. Ne segue che maxj |xj zj| < r e quindi z Qr(x).

2.4 Altre applicazioni tra spazi metrici

Diremo unapplicazione f : X Y tra spazi metrici e` uniformemente continuase per ogni esiste tale che dY (f(x), f(y)) < per ogni dX(x, y) < .

Diremo che f : X Y e` M-Lipschitziana se esiste una costante M > 0 (M sichiama costante di Lipschitz)

dY (f(x), f(y)) MdX(x, y), x, y X.Diremo che f e` Lipschitiziana se e` Lipschitiziana in ogni punto di X.

Proposizione 4 Se f : X Y e` M-Lipschitiziana allora f e` uniformementecontinua. Se f e` uniformemente continua allora f e` continua.

Dimostrazione: lasciata per esercizio.

Unapplicazione lineare L : Rn Rm e` continua rispetto alle distanze Euclidee.Per dimostrarlo possiamo usare invece la metrica Euclidea su Rn e Rm la metricad in quanto questa e` topologicamente equivalente a quella Euclidea. Possiamo

anche supporre che L non sia identicamente nulla altrimenti la continuita` di L e`

immediata essendo una funzione costante. Sia aij e` la matrice che rappresenta L

rispetto alla base canonica. Allora

d(L(x), L(y)) = |nj=1 a1j(xj yj)|+ + |nj=1 amj(xj yj)| nj=1 |a1j| |xj yj|+ +

nj=1 |amj| |xj yj|

(maxj |a1j|)n

j=1 |xj yj|+ + (maxj |amj|)n

j=1 |xj yj| Mmd(x, y),

28

dove M = max |aij| > 0 (L e` strettamente positivo in quanto L non e` lapplica-zione nulla). Segue che L e Mm-Lipschitziana e quindi L e` continua.

In particolare siano 1 i1 < i2 < < im n. Allora la proiezione

pi1,...,im : Rn Rm, x 7 (xi1 , . . . , xim),

essendo lineare e` continua.

Unapplicazione f : X Y tra due spazi metrici e` unisometria se f e` biunivocae

dY (f(x), f(y)) = dX(x, y).

Chiaramente unisometria e` continua (essendo 1-Lipschitziana) e anche la sua

inversa e` continua. In particolare la traslazioni di Rn sono continue. Due spazimetrici si dicono isometrici se esiste un isometria f : X Y . Ldentita` diuno spazio metrico in se stesso, linversa di unisometria, e la composizione di

due isometrie sono altrettante isometrie. Quindi lisometria e` una relazione di

equivalenza tra spazi metrici.

Siano X e Y due spazi metrici. Unapplicazione bigettiva f : X Y si dice unomeomorfismo se e` continua e se anche la sua inversa f1 : Y X e` continua.Ogni isometria e` un omeomorfismo ma esistono omoeomorfismi che non sono

isometrie. Per esempio lapplicazione esponenziale exp : R (0,+), x 7 ex e`un omeomorfismo perche ha inversa continua

log : (0,+) R, y 7 log(y).

Ma exp non e` unisometria infatti manda lintervallo illimitato (, 0] nellintervallo limitato (0, 1].

Due spazi metrici X e Y si dicono omeomorfi se esiste un omeomorfismo f : X Y . Non e` difficile verificare che lomeomorfismo e` una relazione di equivalenza

tra spazi metrici.

Conclusione A questo punto potremo definire i concetti analoghi a quelli del caso

di R come: insiemi chiusi, punti di accumulazione, punti interni, successioni,...

29

Faremo tutto questo (e molto di piu`) nei prossimi capitoli per gli spazi topologici

dei quali gli spazi metrici sono un caso particolare.

2.5 Esercizi

Esercizio 11 Dimostrare che le distanze definite negli Esempi 10, 11, 12, 13, 14,

15. sono effettivamente distanze.

Esercizio 12 Dimostrare che i numeri razionali Q (con la metrica indotta daquella Euclidea) e i numeri reali R (con la metrica Euclidea) non sono omeomorfi.

Esercizio 13 Dimostrare la Proposizione 4. Trovare esempi di funzioni continue

ma non uniformemente continue e uniformemente ma non Lipschiziane.

Esercizio 14 Dimostrare che ponendo

d(x, y) = minj{|xj yj|}

non si definisce una metrica in Rn.

Esercizio 15 Sia (Y, d) uno spazio metrico ed f : X Y unapplicazine inietti-va. Sia : X X R cos` definita:

(x, y) = d(f(x), f(y)).

Si dimostri che e` una metrica su X e che f : (X, ) (f(X), df(X)) e`unisometria, dove df(X) denota la metrica indotta su X dalla metrica d di Y .

Esercizio 16 Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R2 e di R3 sono apertirispetto alla metrica Euclidea.

{(x, y) R2 | x = y}, {(x, y) R2 | xy 6= 0}, {(x, y) R2 | y 6= 0}

{(x, y, z) R3 | x = y}, {(x, y) R3 | x2 + y2 + z2 < 1}.

30

Esercizio 17 Si dimostri che

{(x, y, z) R3 | x2 + y2 < 1}

{(x, y, z) R3 | 1 < x2 + y2 + z2 < 2}sono sottoinsiemi aperti di R3 (rispetto alla topologia Euclidea)

Esercizio 18 Dimostrare che i seguenti insiemi di Rn non sono aperti.

Zn, Qn, {x Rn | x 1}, {x Rn | x = 1}

Esercizio 19 Siano A e B due sottospazi vettoriali di Rn entrambi di dimensionek. Dimostrare che A e B sono omeomorfi.

Esercizio 20 Dimostrare la Proposizione 2.

Esercizio 21 Sia (X, d) uno spazio metrico e y X. Dimostrare che lapplica-zione d : X R, x 7 d(x, y) e` continua.

Esercizio 22 Sia (X, d) uno spazio metrico. Mostrare che in generale linterse-

zione di una famiglia di insiemi aperti non e` necessariamente un aperto.

Esercizio 23 Siano d1 e d2 due distanze su un insieme X. Supponiamo che

esistano due numeri positivi a e b tale che

ad1(x, y) d2(x, y) bd1(x, y), x, y X.

Dimostrare che le distanze d1 e d2 sono topologicamente equivalenti. Cosa si puo`

affermare della funzione identita` idX : X X rispetto alle metriche d1 e d2?

Esercizio 24 Dimostrare che le distanze degli Esercizi 10, 11 e 12 soddisfano le

seguenti relazioni disuguaglianze

d(x, y) deucl(x, y) d(x, y) nd(x, y),x, y Rn.

Dare una dimostrazione alternativa (a quella fornita nellEsempio 17) del fatto

che d, deucl e d sono topologicamente equivalenti.

31

Esercizio 25 Dimostrare che se X e` uno spazio metrico con metrica d, anche

: X X R(x, y) =

d(x, y)

1 + d(x, y)

e` una metrica su X. Verificare che e` limitata, cioe` (x, y) e` sempre minore

di una costante per ogni x, y X. Dimostrare inoltre che e` topologicamenteequivalente alla metrica d.

Esercizio 26 Siano d1 e d2 distanze topologicamente equivalenti su un insieme

X. Dimostrare che lidentita` di X in se stesso e` un omeomorfismo se si considera

il dominio con la metrica d1 e il codominio con la metrica d2.

Esercizio 27 Descrivere i dischi di centro x X e raggio r > 0 per la metricadiscreta (cfr. Esempio 13).

Esercizio 28 Disegnare i dischi di centro x X e raggio r > 0 per le distanzedegli Esempi 10, 11 e 12 nel caso n = 1 e n = 2.

Esercizio 29 Un sottoinsieme S di uno spazio metrico (X, d) si dice limitato se

esistono x X e r > 0 tali che S Dr(x). Dopo aver descritto due esempi inRn di insiemi limitati e non, dimostrare che:

(a) ogni sottoinsieme finito di uno spazio metrico e` limitato;

(b) lunione di una famiglia finita di sottoinsiemi limitati di uno spazio metrico

X e` un sottoinsieme limitato di X.

32

Capitolo 3

Topologie e spazi topologici


Sia X un insieme non vuoto. Una topologia su X e` una classe non vuota T disottoinsiemi di X, cioe` T P(X) (dove P(X) denota linsieme delle parti di X)soddisfacenti le seguenti proprieta`:

Top1. , X T ;

Top2. Lunione di un numero qualsiasi di insiemi di T appartiene a T ;

Top3. Lintersezione di due insiemi qualsiasi di T appartiene a T .

Gli elementi di T si chiamano insiemi aperti o aperti della topologia T . Se latopologia T e` chiara dal contesto parleremo di aperti senza specificare T . Leproprieta` precedenti si esprimono quindi dicendo che linsieme vuoto e X sono

aperti, lunione di una qualsiasi famiglia di aperti e` un aperto e lintersezione di

due aperti (e quindi di un numero finito di aperti) e` un aperto.

Osservazione 6 Osserviamo che la proprieta` T e` superflua. Infatti, seUj T allora jUj = , cioe` lunione sulla famiglia vuota e` linsieme vuoto.

33

Uno spazio topologico e` un insieme X in cui e` stata assegnata una topologia T ,e sara` denotato con (X, T ) o semplicemente con X sottointendendo la topologiaper comodita` di notazione quando sara` chiara dal contesto. Gli elementi di X si

diranno punti e linsieme X supporto dello spazio topologico (X, T ).Se T e T sono due topologie su un insieme non vuoto X, diremo che T e` menofine di T o che T e` piu` fine di T se ogni aperto di T e` anche aperto di T . Inquesto caso scriveremo T < T . Puo` anche accadere che due topologie non sianoconfrontabili (cioe` non e` detto che una sia piu` fine o meno fine dellaltra) come

vedremo negli esempi che seguono. Quindi linsieme delle topologie su uno spazio

X e` un insieme parzialmente ordinato dalla relazione dordine

C3. lunione di due insiemi qualsiasi di F appartiene a F .

definisce una topologia T su X ponendo U T (cioe` U e` aperto) se e solo seX \ U F . Quindi T e` una (lunica) topologia su X nella quale F e` la famigliadegli insiemi chiusi.

Esempio 21 (intersezioni di topologie) Sia Tj, j J una famiglia di topologiesu un insieme non vuoto X. Allora lintersezione jJTj di queste topologie e`ancora una topologia su X. Infatti siccome tutte le topologie Tj contengono e X, allora , X jJTj; per verificare la Top2 sia {Ak}kK e` una famiglia dielementi di jJTj, cioe` Ak jJTj per ogni k. Allora Ak Tj,j. Siccome le Tjsono topologie allora kAk Tj,j e quindi kAk jTj; infine per verificare laTop3 siano A1 e A2 in jJTj questo implica che A1, A2 Tj, j e siccome tuttele Tj sono topologie A1 A2 Tj,j e quindi A1 A2 jJTj. Chiaramentela topologia jJTj e` meno fine di ognuna delle Tj ed e` la topologia piu` fine conquesta proprieta`, cioe` se T e` una topologia su X tale che jJTj T Tj,j J allora T = jJTj.

Esempio 22 (topologie generate da famiglie di insiemi) Data F P(X) unafamiglia di sottoinsiemi di X possiamo definire la topologia generata da F comelintersezione di tutte le topologie T che contengono F . Denoteremo questatopologia con F. In simboli

F = FT T .

Questa topologia e` chiaramente la topologia meno fine tra tutte quelle che con-

tengono F (questa e` in effetti una topologia perche intersezione tra topologie).Osserviamo anche che gli elementi di F sono aperti in questa topologia.

Esempio 23 (lunione di due topologie non e` una topologia) Sia X = {a, b, c}un insieme con tre elementi e siano T1 e T2 le topologie su X definite come

T1 = {X, , {a}}, T2 = {X, , {b}}.

35

Allora

T1 T2 = {X, , {a}, {b}}non e` una topologia in quanto linsieme {a, b} = {a}{b} non appartiene a T1T2contravvenendo alla Top2 della definizione di topologia.

Esempio 24 (topologia sullunione disgiunta di due spazi topologici) Indichere-

mo la somma disgiunta tra due insiemi X1 e X2 con X1unionsqX2. La somma disgiuntadi due insiemi X1 e X2 e` per definizione

X1 unionsqX2 = X1 {0} X2 {1}.Intuitivamente X1 unionsqX2 e` una giustapposizione disgiunta di una copia di X1 e diuna copia di X2 che non possiamo scrivere come X1X2 perche X1 e X2 non sononecessariamente disgiunti, come quando, ad esempio X1 = X2 e X1 X2 = X1 e`costituito da una sola copia di X1. Dati due spazi topologici (X1, T1) e (X2, T2)possiamo definire in modo naturale una topologia, che denoteremo con T1 unionsq T2sullunione disgiunta di X1 e X2. La topologia T1 unionsq T2 e` definita come

T1 unionsq T2 = {A1 unionsq A2 | A1 T1, A2 T2}.Lo spazio topologico (X1 unionsq X2, T1+ T2) e` detto lunione toplogica disgiunta deglispazi topologici (X1, T1) e (X2, T2). In modo analogo si definisce una topologiasulla somma disgiunta di un numero arbitrario di spazi topologici.

Esempio 25 (topologia metrica) Ogni spazio metrico e` uno spazio topologico.

Gli aperti sono definiti come quegli insiemi tali che per ogni punto esiste un disco

centrato in quel punto di raggio positivo che e` contenuto nellinsieme. La topo-

logia indotta dalla metrica d verra` denotata con Td. In particolare la topologiaeuclidea E di Rn, e` quella indotta dalla metrica euclidea.

Esempio 26 (spazi metrizzabili) Uno spazio topologico (X, T ) e` detto metriz-zabile se esiste su X una metrica d che induce la topologia T , cioe`, usando lenotazioni dellEsempio 25, T = Td. Osserviamo Td = Td non implica necessaria-mente che d = d

. Segue dal paragrafo 2.3 del Capitolo 2 che due metriche topo-

logicamente equivalenti su un insieme non vuoto X inducono la stessa topologia

36

su X. Osserviamo infine che uno spazio discreto (X, Tdis) e` sempre metrizzabile.Infatti la metrica discreta induce la topologia discreta (giustificare).

Osservazione 7 (il problema della metrizzazione) Capire se un dato spazio to-

pologico e` metrizzabile non e` in generale semplice. Una soluzione parziale di

questo problema e` stata fornita da Urysohn, come conseguenza del famoso lem-

ma che prese il suo nome (ne daremo un cenno nel Capitolo 6, Teorema 17). Ma

il problema fu risolto completamente solo negli anni 50 da diversi matematici in

modo indipendente.

Esempio 27 (spazi non metrizzabili) Non tutti gli spazi sono metrizzabili. In

uno spazio metrico (X, d) (con almeno due elementi) per ogni coppia di punti

x 6= y esistono sempre due aperti disgiunti contenenti x e y. Infatti, postor = d(x,y)

2i dischiDr(x) e Dr(y) sono disgiunti. Quindi linsiemeX = {a, b} con la

topologia T = {X, , {a}} non soddisfa questa proprieta` e conseguentemente none` metrizzabile. Altri esempi di spazi non metrizzabili si possono costruire tenendo

presente il seguente fatto: ogni spazio metrizzabile (X, Td) a supporto finito e`discreto, cioe` T = Tdis. Infatti se X = {x1, . . . , xn} e mj < min d(xj, xk), j 6= kalloraDmj(xj) (il disco di centro xj e raggiomj) contiene solo xj. Quindi linsieme

{xj} e` un insieme aperto j e quindi Td = Tdis (cf. Esempio 19). Quindi unospazio topologico (X, T ) a supporto finito tale che T 6= Tdis non e` metrizzabile.

Esempio 28 (talismano contro le false interpretazioni) Se (X, d) e` uno spazio

metrico. Allora anche (X, ) e` uno spazio metrico, dove

(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

Inoltre le topologie su X indotta da e d coincidono, cioe` Td = T (si vedalEsercizio 25 del Capitolo 2). Osserviamo che per la metrica tutti gli insiemi

sono limitati (infatti tutte le distanze in sono minori di 1), In particolare il fatto

che una metrica sia limitata non si riflette sulla topologia.

Esempio 29 (la topologia indotta dalla topologia metrica) Sia (X, Td) uno spaziometrizzabile con metrica d e sia Y X un sottoinsieme qualsiasi (non vuoto) di

37

X. La restrizione della metrica d a Y induce una metrica dY su Y . La topologia

TdY si dice topologia indotta da X su Y . Segue che

DY,r(y) = Dr(y) Y,

dove DY,r(y) e Dr(y)Y sono i dischi di centro y e raggio r in Y e in X rispettiva-mente. Segue che gli aperti di Y sono tutti della forma Y A dove A e` un apertodi X. Osserviamo che un aperto in Y non e` necessariamente aperto in X. Per

esempio lintervallo Y = [0, 1] R = X e` aperto in se stesso ma (ovviamente)non aperto in X.

Esempio 30 (la topologia indotta) Se S e` un sottoinsieme non vuoto di uno

spazio topologico (X, T ) si puo` considerare la famiglia TS dei sottoinsiemi di Sdella forma SA, al variare di A tra gli aperti di X. Non e` difficile vedere che TSe` una topologia su S che chiameremo topologia indotta da X su S. Considerato

come spazio topologico con la topologia indotta, S si chiama sottospazio topologico

o brevemente sottospazio di X. Nel caso particolare che X sia metrizzabile come

nellesempio precedente la topologia indotta da X su S e` quella indotta dalla

metrica. Torneremo sul concetto di topologia indotta dopo aver sviluppato il

concetto di funzione continua nel Capitolo 6.

Esempio 31 (la topologia cofinita e la topologia conumerabile) SiaX un insieme

non vuoto e Tcof P(X) la famiglia di sottoinsiemi di X costituita dallinsiemevuoto, daX e dagli insiemi il cui complementare e` finito. Si verifica facilmente che

Tcof e` una topologia su X che si chiama topologia cofinita. La topologia cofinitaTcof su R e` strettamente meno fine della topologia euclidea (ogni aperto di Tcofe` aperto per la topologia euclidea) mentre lintervallo (0, 1) non e` aperto in Tcofin quanto il suo complementare non e` finito). Osserviamo infine che Tcof = Tdisse e solo se X ha supporto finito (giustificare). Piu` in generale sia X un insieme

non vuoto e Tcon P(X) la famiglia di sottoinsiemi di X costituita dallinsiemevuoto da X e dagli insiemi il cui complementare e` numerabile oppure finito. Si

dimostra facilmente Tcon e` una topologia su X. Questa topologia sara` chiamatala topologia conumerabile su X.

38

Esempio 32 (Le topologia is e id su R) La famiglia

is = {(, b)| b R} {} {R}e` una topologia su R strettamente meno fine della topologia euclidea (ogni insiemedi is e` aperto per la topologia euclidea, ma (0, 1) e` un aperto per la topologia

euclidea ma non per is). Analogamente la famiglia

id = {(a,+)| a R)} {} {R}e` una topologia su R strettamente meno fine della topologia euclidea Osservia-mo infine che le topologie is e id non sono confrontabili. Infatti, per esempio,

(, 0) is, (, 0) / id e (0,+) id, (0,) / is.

3.2 Interno, chiusura, frontiera and all that Jazz

Sia X uno spazio topologico e S un sottoinsieme di X. Un punto x X si diceinterno a S se esiste un aperto U contenente x e U S. Il punto x X si diceesterno se esiste un aperto U contenente x tale che U S = . Equivalentementeun punto x X e` esterno a S se x e` interno a X \ S. Un punto x X si dice dipunto di frontiera di S se x non e` ne` interno ne` esterno a S. Quindi un punto x

e` di frontiera se per ogni aperto U contenente x, U S 6= e U (X \ S) 6= .Linsieme dei punti interni (risp. esterni, di frontiera) di S verra` indicato con

Int(S) (risp Est(S), Fr(S)). Dalla definizione di punto interno segue che un

punto interno sta in S e quindi

Int(S) S.Inoltre Est(S) = Int(X \ S) X \ S e quindi

Est(S) S = .Lo spazio topologico X si puo` scrivere come unione disgiunta dei tre insiemi

appena definiti cioe`

X = Int(S) Est(S) Fr(S). (3.1)

39

Osservazione 8 Osserviamo che mentre la frontiera Fr(S) e` sempre disgiunta

da Int(S), Fr(S) S puo` essere sia vuoto che diverso dal vuoto. Per esempio,lintervallo se S = [a, b) X = R con la topologia usuale Fr(S) = {a, b}, a S,mentre b / S. Notiamo inoltre che

Fr(S) = Fr(X \ S).

Giocando con i concetti appena definiti possiamo fornire delle definizioni equiva-

lenti di aperto e chiuso per uno spazio topologico.

Proposizione 5 (caratterizzazione degli aperti) Sia S un sottoinsieme di uno

spazio topologico X. Allora:

(a) Int(S) e` lunione di tutti gli aperti contenuti in S, cioe` il piu` grande aperto

contenuto in S;

(b) S e` aperto se e solo se S = Int(S);

(c) S e` aperto se e solo se S Fr(S) = .

Dimostrazione: per la (a), sia U un qualunque aperto contenuto in S. Per far

vedere che U e` contenuto in Int(S) bisogna mostrare che ogni punto x U e`interno a S. Ma questo e` chiaro dal momento che U funge da aperto contenente

x e contenuto in S. Mostriamo ora che Int(S) e` aperto. Sia x Int(S) quindiesiste un aperto Ux contenente x e Ux S. Dalla (a) segue che Ux Int(S).Quindi Int(S) =

xInt(S)Ux e` aperto perche unione di aperti.

Per dimostrare la (b), sia S un aperto. Allora il piu` grande aperto contenuto in

S e` S stesso. Quindi da (a) segue che S = Int(S). Se invece Int(S) = S essendo

Int(S) aperto anche S lo e`.

Per dimostrare la (c), possiamo limitarci a dimostrare (usando la (b)) che S =

Int(S) se e solo se S Fr(S) = . Se S = Int(S), allora dalla Int(S) Fr(S) = (che e` sempre vera) si ha SFr(S) = . Viceversa supponiamo che SFr(S) = .Per x S esiste un aperto U contentente x interamente contenuto in Int(S) (senon esistesse un tale U , x sarebbe un punto di frontiera per S) e quindi x Int(S).Essendo x arbitrario e siccome Int(S) S si deduce che S = Int(S).

40

Proposizione 6 (caratterizzazione dei chiusi) Sia S un sottoinsieme di uno

spazio topologico X. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

(a) S e` chiuso (cioe` il suo complementare e` aperto);

(b) Est(S) = X \ S;

(c) S = Int(S) Fr(S);

(d) Fr(S) S.

Dimostrazione:

(a) (b) siccome stiamo assumendo che S sia chiuso e cioe` X \S e` aperto, segueche Int(X \ S) = X \ S (per la (b) della proposizione precedente). Daltra parteInt(X \ S) = Est(S) quindi Est(S) = X \ S.(b) (c) la condizione Est(S) = X\S insieme a (3.1) implica S = Int(S)Fr(S).(c) (d) ovvia.(d) (a) se Fr(S) S segue che Fr(S) (X \ S) = e dal fatto che Fr(S) =Fr(X \ S) si deduce che Fr(X \ S) (X \ S) = e quindi X \ S e` aperto per la(c) della proposizione precedente.

Loperazione che consiste nel prendere linterno di un sottoinsieme di uno spazio

topologico X puo` essere interpretata come lapplicazione Int : P(X) P(X),chiamato operatore di interno, che porta un sottoinsieme S nellaperto Int(S).

Sorge spontaneo chiedersi se esiste un operatore analogo alloperatore di interno

che ad un insieme S di uno spazio topologico X associa un insieme chiuso. La

risposta e` si. Definiamo S come il piu` piccolo sottoinsieme chiuso contenente

S o come lintersezione di tutti i chiusi contenenti S. Linsieme S si chiama la

chiusura di S. Notiamo che S e` chiuso perche intersezione di chiusi (Esempio 20).

I punti di S si chiamano punti di aderenza di S. Notiamo che se S T X alloraS T X. La proposizione che segue fornisce alcune proprieta` delloperatoredi chiusura.

Proposizione 7 Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X.

41

(a) S e` chiuso se e solo se S = S.

(b) S = X \ Est(S);

(c) S = Int(S) Fr(S) = S Fr(S).

Dimostrazione: La (a) e` immediata. Per dimostrare la (b) osserviamo che

Est(S) e` un aperto che non ha punti in comune con S (infatti e` uguale a Int(X\S))e quindi S X \ Est(S). Questo implica che S X \ Est(S) in quanto Se` il piu` piccolo chiuso contenente S. Resta quindi da dimostrare linclusione

X \Est(S) S o equivalentemente X \S Est(S). Osserviamo ora che X \S e`un aperto contenuto in X\S e quindi sara` anche contenuto in Est(S) = Int(X\S)(che e` il piu` grande aperto contenuto in X \S) e questo conclude la dimostrazionedella parte (b). La (c) segue dalla (b). Infatti S = X \ Est(S) e X = Int(S) Est(S)Fr(S) implicano che S = Int(S)Fr(S). Daltra parte S S e Fr(S) Simplicano che SFr(S) S = Int(S)Fr(S) SFr(S) e quindi S = SFr(S).

Dato un sottoinsieme S X di uno spazio topologico, un punto x X sidice punto di accumulazione dellinsieme S se ogni aperto contenente x contiene

almeno un punto di S diverso da x, cioe` se per ogni aperto U contenente x,

(U \ {x}) S 6= .

Linsieme dei punti di accumulazione di S si chiama il derivato di S e si denota

con D(S). Notiamo che

Fr(S) \ S D(S).La chiusura puo` essere espressa in termini del derivato di S.

Proposizione 8 Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora

S = S D(S).

Inoltre un punto x X e` aderente a S (cioe` x S) se e solo se per ogni apertoU contenente x, U S 6= .

42

Dimostrazione: Dimostriamo prima linclusione S D(S) S. Dal momentoche S S basta far vedere che D(S) S che segue immediatamente da D(S) Est(S) = (per definizione di D(S) e Est(S)) e da S = X \ Est(S) (per il punto(b) della proposizione precedente). Dimostriamo ora linclusione S S D(S).Sia x S, se x S non ce` niente da dimostrare. Assumiamo quindi chex / S. Quindi per la (c) della proposizione precedente x Fr(S). SiccomeFr(S) \ S D(S) segue che x D(S).Per dimostrare lultima parte della proposizione notiamo che unimplicazione e`

ovvia, cioe` se x S allora o x appartiene a S oppure a D(S) in ogni caso unqualunque aperto contenente x interseca S. Viceversa se un qualunque aperto

contenente x interseca S allora x non e` un punto esterno a S, cioe` x / Est(S) =X \ S e quindi x S. Concludiamo le teoria relativa a questo paragrafo con il concetto di densita`. Sia

S X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Diremo che S e` denso in Xse la sua chiusura coincide con X, cioe` S = X. La seguente proposizione descrive

alcune condizioni equivalenti alla densita`.

Proposizione 9 Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora le

seguenti condizioni sono equivalenti.

(a) S e` denso in X;

(b) Int(X \ S) = ;

(c) S interseca ogni insieme aperto non vuoto.

Dimostrazione: (a) (b) ricordiamo le (oramai familiari) uguaglianze

Int(X \ S) = Est(S) = X \ S.

Se vale (a) ossia se S = X allora Int(X \ S) = .(b) (c) supponiamo per contraddizione che la (c) sia falsa cioe` che esista uninsieme aperto non vuoto U tale che U S = . Vogliamo far vedere che la (b) e`

43

falsa cioe` Int(X \S) 6= . Infatti se esistesse un tale aperto U allora U Est(S).Ma allora Est(S) = Int(X \ S) 6= .(c) (a) Sia x X. Mostriamo che x S, e quindi X = S. Per la (c)qualunque aperto del punto x deve intersecare S e questo, per la seconda parte

della Proposizione 8, implica che x S.

Esempio 33 In R con la topologia usuale tutti gli insiemi finiti, gli intervallichiusi [a, b] e le loro unioni finite sono chiusi (come abbiamo visto nel Capitolo 1).

Ogni sottoinsieme finito di R ha derivato vuoto e interno vuoto e quindi coincidecon la sua frontiera. Se a < b e S e` uno degli intervalli (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]

allora: Int(S) = (a, b), Fr(S) = {a, b}, D(S) = [a, b].

Esempio 34 Nello spazio topologico Rn con la topologia Euclidea, sia Br(x) ={y Rn| xy < r} ln palla aperta di centro x e raggio r. Cerchiamo linterno,lesterno, la frontiera, la chiusura e il derivato di Br(x). Essendo la palla aperta

Int(Br(x)) = Br(x). Siano

F = {y Rn| x y = r}, E = {y Rn| x y > r}.

Mostriamo che E = Est(Br(x)) e F = Fr(Br(x)). Ovviamente si ha

Rn = Br(x) E F = Br(x) Est(Br(x)) Fr(Br(x)),

dove le unioni sono disgiunte. Quindi basta dimostrare E Est(Br(x)) e F Fr(Br(x)).

Verifichiamo che E Est(Br(x)). Sia y E e s = x y r. Basta provareche Bs(y) Br(x) = . Se per assurdo esistesse z Bs(y) Br(x) allora

x y x z+ z y < r + s = x y

che e` assurdo e quindi E Est(Br(x)).Verifichiamo ora che F Fr(Br(x)). Sia y F e sia B(y) una palla di raggio > 0 e centro arbitrario y F . Vogliamo verficare che B(y) interseca sia punti

44

di Br(x) sia punti dellesterno di Br(x). Sara` sufficiente verificare che esistono due

punti z, w B(y) tali che z Br(x) (cioe` z x < r) e w E Est(Br(x))(cioe` w x > r). Per fare questo consideriamo ia retta che unisce x a y; le sueequazioni parametriche sono {zt = tx+ (1 t)y, t R}. Si ottiene

zt x = tx+ (1 t)y x = |1 t|y x = |1 t|r

e

zt y = tx+ (1 t)y y = |t|x y = |t|r.Sia ora z = zs e w = zs, dove s e` un numero reale positivo piu` piccolo del

minimo tra 1 e r, cioe` 0 < s < min{1,

r}. Allora

z x = zs x = (1 s)r < r

e

z y = zs y = sr < rr = ,

cioe` z Br(x) B(y). Analogamente

w x = zs x = (1 + s)r > r

e

w y = zs y = | s|r = sr < rr = ,

cioe` w E B(y) Est(Br(x)) B(y).Segue che:

Br(x) = Br(x) Fr(Br(x)) = Br(x) F = {y Rn| x y r}.

Infine si ha

D(Br(x)) = Br(x).

Infatti sia y Br(x) = Br(x)F . Allora, per ogni > 0 e per t sufficientementepiccolo risulta zt (B(y) \ {y}) Br(x) (se y Br(x) questo e` ovvio se y Fsegue dalla costruzione precedente). Di conseguenza Br(x) D(Br(x)), cioe`D(Br(x)) = Br(x).

45

Esempio 35 Linsieme dei numeri razionali soddisfa: Int(Q) = , Est(Q) = ,Fr(Q) = R. Si osservi che Q e` denso in R cioe` Q = Q Fr(Q) = R e D(Q) = R.

Esempio 36 Sia R con la topologia cofinita Tcof dove gli insiemi chiusi sono Re gli insiemi finiti. Allora se a < b si ha (a, b) = R, Int ((a, b)) = , Fr ((a, b)) =D ((a, b)) = R.

3.3 Esercizi

Esercizio 30 Sia X = {a, b, c, d, e}. Si determinino le topologie su X generateda

S1 = {{a}, {a, b, c}, {c, d}}, S2 = {{a, b, c}, {b, c, d}, {a, b, c, e}}S3 = {{b, c}, {a, b, c}, {b, c, d}},S4 = {{b}, {b, c}, {b, c, d}}

Esercizio 31 Sia X = {a, b, c, d, e}. Si determini per ognuna delle seguenti classidi sottoinsiemi di X se si tratta di una topologia su X:

T1 = {X, , {a}, {a, b}, {a, c}}

T2 = {X, , {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}}T3 = {X, , {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}}

Esercizio 32 Sia T una topologia su un insieme X costituita da quattro insiemi:T = {X, , A,B}, dove A e B sono sottoinsiemi propri distinti non vuoti di X.Quali condizioni devono soddisfare A e B.

Esercizio 33 Si elenchino tutte le topologie su X = {a, b, c} costituite esatta-mente da quattro elementi (si confronti il risultato con lesercizio precedente).

Esercizio 34 Sia En la classe dei sottoinsiemi di N costituita da N da e da tuttii sottoinsiemi di N della forma En = {n, n+1, n+2, . . . }, n N. Si dimostri cheEn e` una topologia e si elenchino gli aperti contenenti il numero 6 N.

46

Esercizio 35 Sia T la famiglia di sottoinsiemi di R2 costituita dallinsieme vuo-to, da R2 e dagli insiemi il cui complementare e` unione di un numero finito dipunti e di un numero finito di rette. Dimostrare che T e` una topologia su X.Dimostrare inoltre che

Tcof < T < E ,dove Tcof e` la topologia cofinita e E e` la topologia euclidea.

Esercizio 36 Dimostrare che le seguenti famiglie di insiemi di R non sono topo-logie su R.

T1 = {(q,+)| q Q)} {} {R}T2 = {(, a]) | a R)} {} {R}

T3 = {(a, b)| a < b, a, b R)} {} {R}

Esercizio 37 Sia S = {(x, y) R2| 1 x, y < 1}. Trovare un sottospazio Xdi R2 contenente S nel quale S, rispetto alla topologia indotta da X, sia:

aperto e chiuso;

chiuso ma non aperto;

aperto ma non chiuso.

Esercizio 38 Dimostrare che la famiglia

T = {X, , {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}

definisce una topologia su X = {a, b, c, d, e}. Trovare linterno, lesterno, lafrontiera, la chiusura e il derivato del sottoinsieme S = {a, b, c} X.

Esercizio 39 In uno spazio topologico X siano E un sottoinsieme denso e U un

aperto. Dimostrare che E U U .

Esercizio 40 Sia X uno spazio topologico. Dimostrare che la topologia su X e`

quella discreta se e solo se per ogni sottoinsieme A di X, D(A) = .

47

Esercizio 41 Sia (X,= {x X| x < q} {x X| p < x}.Si noti che la topologia dordine su R coincide con quella Euclidea. Dimostrareche la relazione R su R2 definita da: (a, b)R(c, d) se e solo se a < c oppure a = ce b < d definisce un ordinamento totale su R2 chiamato ordine lessicografico. SiaT la topologia dordine su R2 generata da R. Siano P = (0, 0) e Q = (1, 1).Descrivere i punti dellaperto < P,Q > nello spazio topologico (R2, T ).

Esercizio 42 Sia (X, d) uno spazio metrico e Dr(x) un suo disco. Si dimostri

che valgono le seguenti inclusioni:

Est(Dr(x)) {y X| d(x, y) > r}Fr(Dr(x)) {y X| d(x, y) = r}Dr(x) {y X| d(x, y) r}

e che possono essere strette. (Si confronti con lEsempio 34). (Suggerimento: per

mostrare che le inclusioni sono in generale strette si consideri il disco di centro

lorigine e raggio unitario D1(0) = B1(0) X nello spazio metrico (X, d) doveX = {(x, y) R2| y 1, y 0}

e d e` la metrica indotta da quella Euclidea di R2).

Esercizio 43 Sia S un sottoinsieme di uno spazio metrico (X, d). Si dimostri che

la chiusura S di S e` linsieme S = {x X| d(x, S) = 0}, dove d(x, S) e` lestremoinferiore delle distanze d(x, s) al variare di s S. Si deduca che un sottoinsiemeC di uno spazio metrico (X, d) e` chiuso se e solo se {x X| d(x,C) = 0} C.

48

Esercizio 44 Si dimostri con un esempio esistono insiemi chiusi A,B disgiunti

tali che d(A,B) = 0, dove d(A,B) e` lestremo inferiore delle distanze d(a, b) al

variare di a A e b B.

Esercizio 45 Si dimostri che dati comunque due sottoinsiemi A e B di uno spazio

topologico X si ha:

Fr(A B) Fr(A) Fr(B)Int(A B) Int(A) Int(B), Int(A B) = Int(A) Int(B)

Est(A B) = Est(A) Est(B), Est(A B) Est(A) Est(B)D(A B) = D(A) D(B), D(A B) D(A) D(B)

A B = A B, A B A B.Trovare inoltre esempi dove le inclusioni sono strette. (Suggerimento: provare

con sottoinsiemi di R).

Esercizio 46 Trovare esempi di sottoinsiemi A,B di uno spazio topologico X

dove Fr(AB) non e` incluso in Fr(A)Fr(B) e dove Fr(A)Fr(B) non e` inclusoFr(A B). (Suggerimento: provare con sottoinsiemi di R).

Esercizio 47 Sia S un sottospazio di uno spazio topologico (X, T ) e A S.Indichiamo con TS la topologia su S (indotta da T ). Denotiamo con IntS(A),EstS(A), FrS(A), DS(A) rispettivamente, linterno, lesterno, la frontiera e il

derivato di A rispetto a TS. Dimostrare che:(a) IntS(A) S Int(A), (b) EstS(A) = S Est(A),(c) FrS(A) S Fr(A), (d) DS(A) = S D(A).

Trovare inoltre un esempio dove le inclusioni (a) e (c) sono strette. (Suggerimento:

provare con S = A = Q).

Esercizio 48 Sia X = {x R2| x2 > 0, x 1}. Dire quali dei seguentisottoinsiemi sono chiusi in X con la topologia di sottospazio di R2:

{x R2| x2 > 0, x = 1}, {x R2| x2 12, x < 1},

49

{(0, t) R2 | 0 < t < 1}, {(t, t) R2| 0 < t 0}.Determinare interno, esterno, frontiera, chiusura e derivato di S rispetto alla

topologia Euclidea di R2.

Esercizio 50 In R consideriamo il sottoinsieme

S = { nn+ 1

, n = 0, 1, . . . }.

Dimostrare che S = S {1} nella topologia Euclidea, mentre S = R nellatopologia cofinita.

Esercizio 51 Sia X uno spazio topologico. Un intorno di un punto x X e` uninsieme N che contiene un aperto U contenente x (x U N). Ovviamenteogni aperto e` un intorno di ogni suo punto. Si dimostri il viceversa e cioe` che se

U X e` un intorno di ogni suo punto allora U e` aperto.

Esercizio 52 Sia x un punto di uno spazio topologico (X, T ) e N (x) linsiemecostituito da tutti gli intorni di x, che chiameremo il sistema di intorni di x

rispetto a T . Dimostrare che valgono le seguenti proprieta`:

a) se N1 e N2 appartengono a N (x) allora N1 N2 N (x);

b) se N N (x) e X M N , allora M N (x).

Esercizio 53 Sia X un insieme non vuoto; supponiamo che per ogni x X siaassegnata una famiglia N (x) di sottoinsiemi di X con le seguenti proprieta`:

a) N (x) 6= e ogni N N (x) contiene x;

b) se N1 e N2 appartengono a N (x) allora N1 N2 N (x);

c) se N N (x) e X M N , allora M N (x)

50

d) se N N (x), esiste M N (x) tale che M N ed M N (y) per ogniy M .

Dimostrare che esiste una ed una sola topologia T su X tale che per ogni x XN (x) sia il sistema di intorni di x rispetto a T .Esercizio 54 Sia X un insieme non vuoto. Un operatore di chiusura su X e`

unapplicazione C : P(X) P(X) tale che: C() = ,

C(C(S)) = C(S), S P(X),

C(A B) = C(A) C(B), A,B P(X).Dimostrare che se C e` un operatore di chiusura su X e se T denota la famiglia ditutti i sottoinsiemi C di X tali che C(X \ C) = X \ C, allora T e` una topologia.Dimostrare inoltre che per ogni sottoinsieme S di X si ha:

C(S) = S

nella topologia T .Esercizio 55 Sia X un insieme non vuoto. Un operatore di interno su X e`

unapplicazione I : P(X) P(X) tale che: I(X) = X ,

S I(S), S P(X),

I(I(S)) = I(S), S P(X),

I(A B) = I(A) I(B), A,B P(X).Dimostrare che se I e` un operatore di interno su X e se T denota la famigliadi tutti i sottoinsiemi A di X tali che I(A) = A, allora T e` una topologia.Dimostrare inoltre che per ogni sottoinsieme S di X si ha:

I(S) = Int(S)nella topologia T .

51

Esercizio 56 Mostrare con un esempio che gli operatori di interno e di chiusura

non commutano.

52

Capitolo 4

Basi

In generale lavorare con tutti gli aperti di una topologia T puo` essere complicato .Descriveremo in questo capitolo alcune sottofamiglie piu` semplici ma significative

di insiemi aperti che vanno sotto il nome di basi della topologia T .


Sia T una topologia sullinsieme non vuoto X. Una base di T e` una famiglia Bdi aperti B T tale che ogni aperto di X sia unione di elementi di B, cioe` perogni A T esiste Bj B, j J tale che A = jJBj. Equivalentemente B Te` una base di T se per ogni A T e per ogni punto x A esiste Bx B taleche x Bx A. Le due definizioni sono equivalenti. Infatti se x e` un puntodi un aperto A T siccome per ipotesi A = jJBj allora x deve appartenerea Bj0 A per un qualche j0 J ; viceversa dato A T se per ogni x Aesiste Bx B, x Bx, allora A puo` esprimersi come unione di elementi di B,A = xABx.

Osservazione 9 (la base non e` unica) Sia B una base per una topologia T suun insieme non vuoto X. Allora ogni famiglia di aperti C T tale che B C e`ancora una base per T . Infatti C e` una famiglia di aperti e ogni A T si puo`scrivere come A = jJBj con Bj B C.

53

Proposizione 10 (unicita` della topologia una volta scelta una base) Sia X un

insieme non vuoto e siano T e T due topologie su X. Se B e` una base sia perT che per T , allora T = T .

Dimostrazione: Possiamo limitarci a dimostrare che T < T (infatti la relazio-ne T < T seguira` scambiando il ruolo delle due topologie). Sia quindi A T .Siccome B e` una base per T , A = jBj, Bj B. Ma B T T cioe` i Bj sonoaperti per T e quindi (per la Top2 che definisce la topologia T ) la loro unioneA = jBj T .

Esempio 37 (base per uno spazio metrico) Sia (X, d) uno spazio metrico. La

famiglia di tutti i dischi aperti e` una base per la topologia Td indotta dalla metricad.

Esempio 38 (basi per la topologia Euclidea) Le seguenti famiglie sono basi per

la topologia Euclidea su Rn

Bn = {Br(x), x Rn, r > 0} le n-palle aperte;

Rn = {Rr(x), x Rn, r > 0} gli n-rombi aperti;

Qn = {Qr(x), x Rn, r > 0} gli n-cubi aperti.

Esempio 39 (base per la topologia discreta) Sia (X, Tdis) uno spazio topologicocon la topologia discreta. Allora B = {{x}}xX e` una base per la topologia Tdis.Osserviamo inoltre che se C e` una base per Tdis allora B C.

Esempio 40 (base per la topologia indotta) Sia S un sottoinsieme di uno spazio

topologico (X, T ) con la topologia indotta TS (cfr. Esempio 30). Sia B una baseper la topologia T . Allora

S = {S B,B B}

e` una base per la topologia TS.

54

4.2 Topologie generate da basi

Cerchiamo adesso di rispondere alla seguente importante domanda: data una

famiglia di sottoinsiemi B di un insieme non vuoto X, esiste una topologia T suX che ha B come base?Chiaramente se una tale topologia esistesse alloraX essendo un aperto deve essere

unione di elementi di B, X = BBB, cioe` B e` un ricoprimento di X. Inoltre seB1, B2 B allora B1 B2 sarebbe un aperto e quindi unione di elementi di B. Ineffetti sono questi due ingredienti che ci permettono di rispondere alla domanda

precedente.

Proposizione 11 Sia B una famiglia di sottoinsiemi di un insieme non vuotoX tali che:

B e` ricoprimento di X;

dati comunque B1, B2 B allora B1 B2 e` unione di elementi di B.

Allora esiste un unica topologia TB su X che ha B come base. Inoltre TB =< B >,ossia TB e` la topologia generata da B (cfr. Esempio 21).

Dimostrazione: Definiamo TB P(X) come

A TB A = jBj, Bj B.

A parole gli elementi di TB sono quei sottoinsiemi di X che si possono scriverecome unione di elementi di B. Se dimostriamo che questa e` effettivamente unatopologia, ovviamente B sara` una base per TB e per la Proposizione 10, TB e`univocamente determinata. Osserviamo che il vuoto appartiene a TB come unionedella famiglia vuota di elementi di B (cfr. Osservazione 6), mentre X TB peril fatto che B e` un ricoprimento di X. Per dimostrare la Top2, sia {Aj}jJ unafamiglia di sottoinsiemi di TB. Per definizione di TB, Aj = kKBjk con Bjk B.Quindi

jJAj = jJ(kKBjk) = jJ,kKBjk,

55

ossia jJAj si scrive come unione di elementi di B e quindi appartiene a TB. Perdimostrare la Top3, siano A1 = lLB1l, B1l B, A2 = kKB2k, B2l B dueelementi di TB allora

A1 A2 = (lLB1l) (kKB2k) = lL,kK(B1l B2k).

Per ipotesi B1l B2k e` un elemento di B e quindi anche A1 A2 si esprime comeunione di elementi di B. Per dimostrare lultima asserzione dobbiamo dimostrareche TB = BT T = B. Essendo TB una topologia che include B si ha evi-dentemente BT T < TB. Dimostriamo che TB < BT T . Sia A TB alloraA = jBj, Bj B. Ma Bj B appartiene a ogni T che contiene B e quin-di A = jBj appartiene a ogni T che contiene B perche tali T sono topologie.Conseguentemente A = jBj appartiene allintersezione di tutte le topologie checontengono B ossia A = jBj < BT T .

Esempio 41 (le topologie js e jd) La famiglia degli intervalli della forma (a, b] R, a < b e` una base per una topologia js su R. Infatti soddisfa le condizioni dellaProposizione 11. Osserviamo che gli elementi di js della forma (a, b] non sono

aperti della topologia euclidea E . Quindi js 6= E . Daltra parte ogni intervallo(a, b) puo` scriversi come

(a, b) = m> 1ba

(a, b 1m],

e quindi js e` strettamente piu` fine della topologia euclidea su R, E < js.

Osserviamo inoltre che non solo gli insiemi (a, b] sono aperti in js ma anche

i loro complementari R \ (a, b] sono aperti in js, quindi gli insiemi (a, b] sonocontemporaneamente aperti e chiusi in (R, js). Infatti

R \ (a, b] = (, a] (b,+)

Il primo insieme appartiene a js in quanto (, a] = nZ,n

Analogamente la famiglia degli intervalli della forma [a, b) R, a < b soddisfa lecondizioni della Proposizione 11 e quindi e` una base per una topologia jd su R.Come per la topologia js, la topologia jd e` piu` fine di E .Le topologie js e jd non sono confrontabili. Infatti lunione di intervalli della

forma [a, b) (risp (a, b]) e` uguale a R, agli intervalli della forma (a, b) oppure dellaforma [a,+) (risp. (, b])). Quindi gli aperti della forma (a, b] js (risp.[a, b) jd ) non si possono ottenere come unione di aperti di jd (risp. come unionedi aperti di js) e quindi le due topologie non sono confrontabili.

4.3 Esercizi

Esercizio 57 Si dimostri che una topologia T su un insieme non vuoto X e` finita(cioe` e` costituita da un numero finito di aperti) se e solo se T ha una base finita.

Esercizio 58 Si dimostri che la famiglia {Qr(x) \ {x}|x Rn, r > 0} e` una baseper la topologia Euclidea di Rn.

Esercizio 59 Dimostrare che la famiglia di insiemi

B = {(, a]| a R}

e` una base per una topologia T su R piu` fine della topologia is, dove is e` latopologia dellEsempio 32.


B = {[a, b]| a < b, a, b R}

non e` una base per alcuna topologia su R. Descrivere inoltre la topologia TBgenerata da B.


B = {(, 1), (a, b)| 0 < a < b, a, b R}

57

e` una base per una topologia TB su R. Dimostrare che TB e` meno fine dellatopologia euclidea E su R. Per quali valori di a linsieme (, a) e` un aperto diTB? Quale e` la topologia che si ottiene se la condizione 0 < a < b viene sostituitacon la condizione a < b?

Esercizio 62 Sia B una famiglia di sottoinsiemi di un insieme non vuotoX total-mente ordinata dallinclusione insiemistica. Si dimostri che se B e` un ricoprimentodi X allora e` una base per una topologia su X.

Esercizio 63 Sia B la famiglia di tutti i rettangoli semi aperti in R2, cioe` dellaforma

{(x, y)| a x < b, c y < d, a, b, c, d R}.Si dimostri che:

1. B e` una base per una topologia T su R2;

2. la topologia indotta da T sulle retta S = {x+y = 0} e` la topologia discretasu S;

3. la toplogia indotta da T sulla retta S = {x y = 0} non e` la topologiadiscreta su R.

Esercizio 64 Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico. Dimostrare che

S e` denso in X se e solo se esiste una base B per la topologia di X tale che Sintersechi ogni aperto non vuoto appartenente a B.

58

Capitolo 5

Numerabilita`, proprieta` di

separazione e successioni

5.1 Numerabilita`

Sia x un punto di uno spazio topologico (X, T ). Una famiglia Bx di sottoinsiemiaperti contenenti x e` detta base locale in x se per ogni aperto A contenente x

esiste Bx Bx tale che x Bx A.

Osservazione 10 (Basi e basi locali) Sia B una base per una topologia T su Xe sia x X. Allora gli elementi della base B che contengono x ossia

Bx = {B B| x B}

formano una base locale nel punto x. Viceversa se per ogni punto x e` assegnata

una base locale Bx, alloraB = xXBx

e` una base della topologia di X.

Uno spazio topologico (X, T ) e` detto uno spazio N1 o primo numerabile se soddi-sfa la seguente condizione (chiamata il primo assioma di numerabilita`): per ogni

x X esiste una base locale numerabile per la topologia T .

59

Uno spazio topologico (X, T ) e` detto uno spazio N2 o secondo numerabile sesoddisfa la seguente condizione (chiamata il secondo assioma di numerabilita`):

per ogni x X esiste una base numerabile per la topologia T .Uno spazio topologico (X, T ) e` detto uno spazio N3 o terzo numerabile se soddisfala seguente condizione (chiamata il t erzo assioma di numerabilita`): esiste un

sottoisieme S X denso e numerabile.

Osservazione 11 Solitamente uno spazio N3 e` detto separabile. Non useremo

questa terminologia che e` (a mio modesto avviso) alquanto fuorviante visto che

esistono in topologia altri importanti assiomi di separabilita` dei quali parleremo

nel prossimo paragrafo.

Esempio 42 (esistono spazi che non sono N1) Lo spazio topologico (R, Tcof )dove Tcof e` la topologia cofinita (Esempio 31) non e` N1. Supponiamo infatti che(R, Tcof ) sia primo numerabile. Allora 1 R possiede una base locale numerabileB1 = {Bn| n N}. Siccome Bn e` aperto R \ Bn e` chiuso e quindi finito. Percio`A = nN(R \ Bn) e` un unione numerabile di insiemi finiti e quindi numerabile.Ma R non e` numerabile; quindi esiste p R, p 6= 1 tale che p R \ A. Quindiper la legge di De Morgan:

p R \ A = nNBn.

Quindi p appartiene a Bn per ogni n. Daltra parte R \ {p} e` aperto e contiene1 in quanto 1 6= p. Dato che B1 e` una base locale intorno a 1 esiste un Bn0 B1tale che 1 Bn0 R \ {p}. Quindi p / Bn0 . Ma cio` contraddice lasserzionesecondo cui p Bn per ogni n N. Quindi e` falsa lipotesi che (R, Tcof ) sia primonumerabile.

Esempio 43 (ogni spazio metrico e` N1) Sia (X, d) uno spazio metrico. Per ogni

x X la famiglia dei dischi aperti Bx = {Dr(x), r R} definisce una base localein x. In effetti ogni spazio metrico e` N1 infatti la famiglia D 1

n(x) costitutisce una

base locale numerabile per ogni x X.

60

Esempio 44 (esistono spaziN1 che non sono metrizzabili) Un qualunque insieme

con almeno due elementi con la topologia banale e` uno spazio N1 (in effetti anche

N2) ma non e` metrizzabile in quanto due elementi distinti non possono essere

separati da nessuna coppia di aperti.

Esempio 45 (Rn e` N2) R con la topologia Euclidea e` N2. Infatti gli aperti dellaforma (x, x+) con x, Q sono una base numerabile per R. Piu` in generaleRn e` N2 (cfr. Corollario 3).

Esempio 46 (ogni spazio N2 e` N1) Sia X uno spazio topologico N2 e sia B unabase numerabile per X. Dato x X, gli elementi della base B che contengono xossia

Bx = {B B| x B}formano una base locale numerabile intorno al punto x (cfr. Osservazione 10).

Esempio 47 (esistono spazi N1 che non sono N2) La retta R con la topologiadiscreta e` N1 (perche e` uno spazio metrico) ma non e` N2. Infatti una qualunque

base di (R, Tdis) dovrebbe contenere gli insiemi {x}, x R e non sarebbe quindinumerabile in quanto la cardinalita` di una tale base sarebbe maggiore di quella

dei reali.

Esempio 48 (esistono spazi metrizzabili che non sono N3) Sia (R, Tdis) dove Tdisdenota la topologia discreta. (R, Tdis) e` uno spazio metrico ma non N3. Infattiogni sottoinsieme di questo spazio e` contemporaneamente aperto e chiuso. Quindi

lunico sottoinsieme denso in (R, Tdis) e` R stesso che non e` numerabile.

Proposizione 12 (N2 N3) Sia X uno spazio N2. Allora X e` N3.

Dimostrazione: Sia B = {Bn | n N} una base numerabile di X. In ogniaperto non vuoto Bn B scegliamo un punto xBn e sia

S = {xBn| Bn B}.

Allora, per costruzione, S e` un insieme numerabile che interseca ogni elemento

della base B. DallEsercizio 64 segue che S = X e quindi X e` N3.

61

Esempio 49 (esistono spazi N3 che non sono N2) Sia jd la topologia su R dellE-sempio 41. Allora Q e` denso in (R, jd). Siccome Q e` numerabile segue che (R, jd)e` N3. Daltra parte (R, jd) non e` N2. Sia infatti B una base qualunque per jd.Mostreremo che B non e` numerabile. Infatti per ogni x R deve esistere Ax Btale che x Ax [x,+) in quanto questultimo e` un aperto per jd. Consideria-mo lapplicazione f : R B che a x R associa f(x) = Ax. Questapplicazionee` iniettiva in quanto se x 6= y allora Ax 6= Ay. Conseguentemente la cardinalita`di B sara` maggiore o uguale a quella dei reali che non sono numerabili. Quindila base B non puo` essere numerabile.

Proposizione 13 (N3 + metrizzabile N2) Sia X uno spazio topologico N3 emetrizzabile allora X e` secondo numerabile.

Dimostrazione: La condizione N3 implica che esiste un sottoinsieme S denso e

numerabile di X. Sia

B = {Dq(x)| x S, q > 0, q Q}

la famiglia dei dichi aperti di centro punti di S e raggio razionale. Ovviamente

B e` numerabile (in quanto Q e S sono numerabili). Se dimostriamo che B e` unabase seguira` che X e` secondo numerabile. Per fare questo e` sufficiente far vedere

che per ogni y X e ogni aperto U , y U , esiste un elemento della base che siinterpone tra y e U , cioe` esiste un numero q Q e x S tale che

y Dq(x) U.

Fissiamo un tale y e un tale aperto U . Siccome U e aperto esiste r > 0 (r R)tale che Dr(y) U e siccome S e` denso esiste un x D r

3(y) S (per la (c) della

Proposizione 9 del Capitolo 3). Allora se q Q tale che r3< q < 2r

3:

d(y, x) 0 (ricordiamo che dato S X, d(x, S) denotalestremo inferiore delle distanze d(x, s) al variare di s S). Analogamente

65

Appunti Corso Topologia

Documents

Transcript of Appunti Corso Topologia