INTERPRETAZIONE CINEMATICA DELLA DERIVATA

Consideriamo un punto mobile sopra una qualsiasi linea. Fissiamo su tale linea

un punto O, come origine degli archi, e un verso di percorrenza come verso positivo; in tal modo possiamo far corrispondere a ciascun punto P della curva la lunghezza s dell'arco OP, presa positiva o negativa a seconda che OP sia concorde o discorde con il verso fissato come positivo sulla curva. Si usa dire che s è l’ascissa

curvilinea del punto P e, se P si muove sulla curva al variare del tempo t, allora s sarà funzione di t e si scriverà s = s(t). L'ascissa curvilinea s prende anche il nome di spazio percorso a partire dall'istante iniziale, quando cioè il punto P si trovava in O. Consideriamo la figura seguente:

P è la posizione del punto mobile all'istante t e s = s(t) è lo spazio

percorso a tale istante; se dopo un intervallo di tempo Δt, cioè all'istante t + Δt, il punto mobile si troverà in Q, lo spazio percorso a quell'istante sarà s(t + Δt).

Osserviamo dunque che all'incremento Δt della variabile tempo corrisponde, per lo spazio, l'incremento

Δs = s(t + Δt) - s(t)

che rappresenta lo spazio percorso nel tempo Δt. Consideriamo ora il rapporto Δs/Δt tra lo spazio percorso e l'intervallo di

tempo impiegato a percorrerlo ( ) ( )

t

tstts

t

s

∆−∆+=

∆∆

che, come sappiamo dalla fisica, rappresenta la velocità mediavelocità mediavelocità mediavelocità media del punto mobile nel

tempo Δt. Ma tale rapporto è anche il rapporto incrementale della funzione spazio relativo all'istante generico t e all'incremento Δt.

Facciamo tendere a zero l'incremento Δt del tempo: sappiamo che, così facendo, la velocità media tende, in generale, a un limite v che rappresenta la velocità istantanea o velocità all'istante t. E sarà v funzione di t, v = v(t), perché v varierà al variare dell'istante generico t considerato.

O P

Q

t

t+∆t

D'altra parte, se Δt tende a zero, il rapporto incrementale, se ammette

limite, tende alla derivata della funzione s rispetto alla variabile t:

( )tst

st

'lim0

=∆∆

→∆

Si può così concludere che la velocità istantanea velocità istantanea velocità istantanea velocità istantanea èèèè la derivata la derivata la derivata la derivata ddddello spazio ello spazio ello spazio ello spazio

percorso rispetto al tempopercorso rispetto al tempopercorso rispetto al tempopercorso rispetto al tempo::::

'sv = o meglio )(')( tstv =

In fisica si preferisce scrivere:dt

dsv = .

»»»»»»» «««««««

Come abbiamo già osservato, la velocità istantanea è una funzione del tempo t e quindi nell'intervallo Δt di tempo subirà la variazione

)()( tvttvv −∆+=∆ .

Il rapporto incrementale t

v

∆∆

rappresenta l'accelerazione medial'accelerazione medial'accelerazione medial'accelerazione media del punto

mobile nel tempo Δt. Facciamo tendere Δt a zero: se il rapporto incrementale

( ) ( )t

tvttv

t

v

∆−∆+=

∆∆

tende a un limite finito a, se cioè la funzione v(t) è derivabile, tale limite, che è la derivata )(' tv , rappresenta l'accelerazione istantaneal'accelerazione istantaneal'accelerazione istantaneal'accelerazione istantanea e si avrà quindi

( ) ( ) ( )

dt

dva

dt

dvtv

t

tvttv

t

va

tt=→==

∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆'limlim

00

Ma, essendo sua volta )(')( tstv = , sarà )('')(' tstv = e quindi 2

2

)('')(dt

sdtsta ==

Concluderemo così che l'accelerazione istantanea èl'accelerazione istantanea èl'accelerazione istantanea èl'accelerazione istantanea è la derivata della velocità la derivata della velocità la derivata della velocità la derivata della velocità

rispetto al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso rispetto al rispetto al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso rispetto al rispetto al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso rispetto al rispetto al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso rispetto al

tempotempotempotempo....

Esempio:

Sia 132 3 +−= tts la legge oraria del moto di un punto mobile, con s misurato in metri e t in secondi. Dopo aver determinato velocità e accelerazione in un generico istante t, calcolare i metri percorsi dal mobile nel tempo che intercorre tra l'istante in cui la velocità è di 51 m/s e quello in cui l'accelerazione è di

84m/s2.

Si ha 36)(' 2 −== ttsv e ttva 12)(' == .

Si avrà

3513651 2 =→=−→= ttv

7841284 =→=→= tta

e quindi, essendo 666121686)7( =+−=s e 461954)3( =+−=s

lo spazio percorso in quei quattro secondi sarà

(666-46)m = 620m.

ALTRE APPLICAZIONI FISICHE

1. INTENSITÁ DI CORRENTE Sia q = q(t) la quantità di carica elettrica che nell'intervallo di tempo [ ]t;0

attraversa la sezione di un conduttore; diamo a t un incremento Δt e sia q(t + Δt) la quantità di carica che attraversa la stessa sezione nell'intervallo ( )tt ∆+;0 .

Sappiamo che il rapporto

( ) ( )

t

tqttq

t

q

∆−∆+=

∆∆

(1)

tra la quantità di elettricità che passa nella sezione del conduttore

nell'intervallo di tempo Δt e Δt stesso indica l'intensità media della corrente elettrica in quel conduttore relativamente all'intervallo di tempo ( )ttt ∆+; .

Inoltre sappiamo che, se

( ) ( )

t

tqttqt ∆

−∆+→∆ 0

lim (2)

esiste ed è finito, esso dà il valore dell'intensità della corrente all'istante t:

( ) ( )t

tqttqti

t ∆−∆+=

→∆ 0lim)(

Ma tale rapporto altro non è che il rapporto incrementale della funzione q(t) e il limite (2) è quindi, se esiste, la derivata della funzione q(t). Si conclude così che è

dt

dqtqti == )(')(

2. TENSIONE E CORRENTE AI CAPI DI UN CONDENSATORE Si consideri un condensatore di capacità C supponiamo che C, dipendendo solo

dalle caratteristiche fisiche del condensatore, sia costante al variare del tempo;

sappiamo che

Q = C·V (3)

è la relazione tra la quantità di carica Q(t), in funzione del tempo, presente sulle armature del condensatore e la tensione V(t) ai capi del condensatore stesso. Consideriamo il rapporto incrementale della funzione Q(t) relativamente

all'intervallo di tempo Δt:

( ) ( )

t

tQttQ

t

Q

∆−∆+=

∆∆

(4)

esso esprime un'indicazione della variazione della quantità di carica sulle

armature del condensatore, relativa all'intervallo di tempo Δt, cioè esprime

l'intensità media della corrente di carica o di scarica del condensatore

relativamente allo stesso intervallo di tempo. Facendo tendere Δt a zero, il

limite della (4) rappresenterà l'intensità istantanea della corrente di carica o di

scarica:

( ) ( )

)(limlim00

tit

tQttQ

t

Qtt

=∆

−∆+=∆∆

→∆→∆. (5)

Consideriamo ora la grandezza C·V che figura del secondo membro della (3) e valutiamo il rapporto tra l'incremento che essa subisce delle intervallo di tempo

Δt e l'incremento Δt stesso, tenendo presente che C è costante nel tempo:

( ) ( )t

tVCttVC

t

VC

∆⋅−∆+⋅=

∆⋅∆ )(

da cui ( ) ( )[ ]

t

VC

t

tVttVC

t

VC

∆∆⋅=

∆−∆+⋅=

∆⋅∆ )(

Passiamo ora al limite per Δt che tende a zero, ottenendo

dt

dVC

t

VC

t

VCtt

⋅=∆∆⋅=

∆⋅∆

→∆→∆ 00lim

)(lim (6)

Per la (3), possiamo dedurre che i secondi membri della (5) e della (6) devono

essere uguali e otteniamo così

dt

dVCti ⋅=)(

cioè )(')( tVCti ⋅=

che è la relazione esistente tra l'intensità i della corrente di carica o di

scarica di un condensatore di capacità C e la tensione V di ai capi della stessa.

3. FORZA E ELETTROMOTRICE INDOTTA Ricordiamo dalla fisica che, dato un circuito elettrico chiuso di superficie S,

se a esso è concatenato un flusso Φ del campo di induzione magnetica B, variabile con il tempo t secondo una relazione Φ=Φ(t), nel circuito si produce una f.e.m. (forza elettromotrice) media, Em, definita da

( ) ( )t

tttEm ∆

Φ−∆+Φ−=

e una f.e.m. (forza elettromotrice) istantanea

( ) ( )tedt

tde 'Φ−=→Φ−=

È evidente che quest'ultima formula, che dà il valore di e, si ottiene dalla precedente, che dà il valore di Em, passando al limite per Δt tendente a zero

Esempio

Consideriamo una spia di superficie S immersa in un campo uniforme di

induzione magnetica B , libera di ruotare attorno a un asse perpendicolare alle

linee di forza e sia α l'angolo formato dal versore n , normale alla spira, con il

vettore campo B . Se la velocità angolare ω di rotazione della spira è costante,

al tempo t si ha α = ωt ed il flusso del campo B concatenato con la spira,

all'istante t, è espresso da ( ) tBSt ωcos=Φ

Il valore della forza elettromotrice indotta nella spira all'istante t è dato da ( )

tBSdt

tde ωsin=Φ−=

ed è quindi una f.e.m. ad andamento sinusoidale.

4. FORZA ELETTROMOTRICE AUTOINDOTTA In generale è possibile associare ad ogni circuito elettrico una grandezza L,

detta coefficiente di autoinduzione o induttanza, che lega i valori istantanei del

flusso Φ(t), concatenato con il circuito, con quello della corrente i(t), che attraversa il circuito, secondo la relazione

Φ(t)= L·i(t) (7)

Se nell'intervallo di tempo ( )ttt ∆+; la corrente subisce la variazione

)()( tittii −∆+=∆ , si produce una corrispondente variazione del flusso che, per la

(7) e supponendo L costante del tempo, è:

[ ] iLtittiLtiLttiLttt ∆⋅=−∆+⋅=⋅−∆+⋅=Φ−∆+Φ=∆Φ )()()()()()( .

Nel circuito si genera quindi una forza elettromagnetica autoindotta che

all'istante t è data da

dt

diL

t

iL

t

iL

te

ttt−=

∆∆−=

∆∆−=

∆∆Φ−=

→∆→∆→∆ 000limlimlim