Capitolo2

Capitolo 2

Applicazioni degli algoritmi genetici

alla progettazione strutturale

2.1. Premessa

In questo paragrafo saranno trattati alcuni esempi significativi di applicazioni degli

algoritmi genetici sempre nell'ambito dell'ingegneria, non riferiti però alle tecniche di

monitoraggio, ma in senso più ampio alla progettazione strutturale.

Anche se apparentemente tali applicazioni appaiono come una divagazione

dall’argomento principale di questo lavoro, è parso importante vedere come gli

algoritmi genetici si adattino ai problemi relativi alla localizzazione dei sensori del

danno, o agli attuatori di controllo, in quanto sono argomenti strettamente legati al

tema in esame e dei quali è interessante vederne le applicazioni.

2.2. Considerazioni preliminari

Nell'ultimo decennio, notevoli progressi sono stati raggiunti nella progettazione,

sviluppo e verifica di sistemi di controllo allo scopo di ridurre le vibrazioni strutturali

dovute ad azioni esterne quali vento e sisma.

Una soluzione frequentemente usata per dissipare parte dell'energia trasmessa alla

struttura dal terremoto è quella di disporre sistemi d’isolamento collocati alla base.

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Capitolo2

Tali dispositivi di controllo sono in grado di generare forze solo conseguentemente al

moto della struttura; l'energia totale del sistema non può quindi essere aumentata.

Il sistema di controllo è detto passivo perché non necessita di fonti di energia esterna.

In alternativa esistono sistemi di controllo semi-attivi ed attivi che richiedono energia

esterna per generare forze di controllo.

La distinzione tra sistema passivo ed attivo è illustrata nelle figure seguenti.

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Figura 2.1: Sistema di controllo passivo

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2.3. Nuovo metodo di controllo basato sugli algoritmi genetici tramite la ricostruzione dello spazio degli stati [14]

Algoritmo genetico proposto per il metodo di controllo

Per il controllo delle strutture civili è stato proposto [13] un nuovo metodo di

controllo basato sugli algoritmi genetici, con lo scopo di ridurre la risposta strutturale

causata da un’eccitazione sismica; tale metodo usa la tecnica di ricostruzione dello

spazio degli stati per ottenere l’intera matrice degli stati partendo da un ordine di

retroazione disponibile di ordine ridotto.

Uno dei più grandi vantaggi nell’utilizzo degli algoritmi genetici consiste nel poter

formulare la funzione di costo con una certa flessibilità nonché con una maggior

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Figura 2.2: Sistema di controllo attivo

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facilità; tale funzione, che è di tipo polinomiale, rappresenta inoltre la funzione di

output del sistema da ottimizzare.

La legge di controllo usata per l’algoritmo genetico proposto per il metodo di

controllo è espressa dalla seguente equazione:

])1[(),...,(),(,...,2, mtytymtututufu (2.1)

In questa equazione l’incremento del segnale di controllo u è una funzione del

vettore u degli stati di input di controllo e, del vettore y che rappresenta la risposta

misurata.

Metodo di ControlloValutazione del modello e condizioni di controllo

L’algoritmo genetico è stato valutato per un modello di scala di un edificio a tre piani

usante come sistema di controllo, un sistema a massa attiva.

I parametri delle equazioni scritte nello spazio degli stati, sono stati ottenuti tramite

esperimenti ed includono degli attuatori e dei sensori dinamici.

Vengono poste nel sistema dei vincoli di controllo per avere una simulazione

numerica più realistica.

Controllo basato su algoritmi genetici

Per controllare la reazione si è scelto di usare quattro sensori che misurano le

accelerazioni assolute dei tre piani dell’edificio che vengono indicate con: 1ax , 2ax ,

3ax e l’accelerazione assoluta della massa AMD = amx

Il vettore di reazione )(ty contiene i segnali provenienti dai quattro sensori appena

citati, rilevati ad un tempo t.

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)(ty ={ 1ax 2ax 3ax amx } (2.2)

La dimensione dello spazio degli stati dei quattro sensori di reazione ricostruito, sarà

pari a 4n con n-1 piani.

Tn ntytytytY )]1[(),...,(),()(4 (2.3)

L’algoritmo proposto usa i precedenti valori dei segnali di controllo come valori di

retroazione, la quale ha lo scopo di far sì che il segnale di controllo non devi troppo

da quello di riferimento.

Parametri dell'algoritmo genetico

Per ottimizzare il guadagno in retroazione viene usato un semplice algoritmo

genetico.

Dieci bit sono usati per rappresentare il guadagno come un numero reale, ed ogni

stringa è assunta con una lunghezza pari a 23 bit; inizialmente si è partiti con una

popolazione di 50 elementi e si è arrivati fino a 1000 generazioni.

Gli operatori genetici usati sono: reazione proporzionale, riproduzione casuale, due

punti di cross-over al tasso di 0.8 e mutazione al tasso di 0.003.

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Risultati Numerici

In questo esperimento sono state svolte simulazioni numeriche tramite algoritmi

genetici per un sistema; precisamente sono stati sviluppati due casi di controllo i

quali hanno uguale architettura e sono stati sviluppati con gli stessi parametri di

algoritmi genetici, di reazione e di funzione.

Tuttavia, uno è stato sviluppato senza rumore di sensore mentre il secondo, considera

tale effetto ed ottimizza il guadagno in retroazione per rendere ancora più stabile il

controllo.

Il controllo svolto tramite gli AG, in entrambi i casi, riduce la risposta della struttura

e soddisfa i criteri di stabilità e robustezza richiesti per la risoluzione del problema.

Conclusioni

Il nuovo metodo di controllo che qui è stato proposto, per effettuare una ricostruzione

dello spazio degli stati, serve per valutare gli stati stessi del sistema; essi vengono

valutati attraverso l’osservazione dei tempi di risposta della struttura oggetto di

studio.

I vantaggi di questo metodo risiedono principalmente nella sua semplicità e

flessibilità.

Si è dimostrato che il nuovo metodo di controllo, esegue una riduzione della risposta

del sistema di gran lunga superiore rispetto al normale campione di controllo ottimo.

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2.4. Considerazioni sull’efficienza del controllo attivo tramite gli algoritmi genetici[18]

Introduzione

Negli ultimi anni si sono svolti parecchi studi sul controllo delle vibrazioni di edifici

alti e sui piloni di sospensione dei ponti, in quanto tali infrastrutture possono essere

sottoposte a forze di eccitazione irregolari come il vento o il terremoto.

In questo studio, l’analisi del controllo delle vibrazioni ed i relativi esperimenti,

vengono effettuati su un modello di edificio a tre piani usando sia la teoria del

controllo ottimo, sia la teoria del controllo fuzzy; in particolar modo vengono trattate

l’applicabilità del sistema di algoritmi genetici alla teoria di controllo fuzzy e

l’efficacia di entrambe le teorie di controllo sulle vibrazioni libere o forzate di un

sistema.

Procedimento analiticoModello di struttura e analisi della risposta dinamica

Per questo studio si assume un modello di edificio a tre piani, a tre gradi di libertà e

con sistema a masse concentrate.

Le frequenze naturali e gli smorzamenti costanti sono stati misurati con test di

vibrazione sul modello dell’edificio; le caratteristiche di vibrazione della struttura

sono riportate in Tabella 2.1 e le proprietà strutturali usate per l’analisi sono descritte

nella Tabella 2.2.

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1º Modo 2º Modo 3º Modow (rad/sec) 8.943 26.026 37.997

f (Hz) 1.423 40242 6.047T (sec) 0.703 0.241 0.165z (%) 0.360 0.250 ----

Tabella 2.1 : Caratteristiche di vibrazione

Posizione Piano Massa ( Kg ) Costante di Rigidezza

( Kg/cm2 )Terzo piano 24.5 9248.0

Secondo piano 21.5 9248.0Primo piano 19.2 9248.0

Tabella 2.2 : Proprietà strutturali

Teoria del controllo ottimo

Il sistema di controllo e la teoria di controllo ottimo sono espressi dalle seguenti due

equazioni:

Xs = AXs + BUs (2.4)

Ys = DXs (2.5)

dove:

Xs : Vettore di stato;

A: Matrice di sistema;

Ys:Vettore di output;

Us:Vettore di controllo;

B: Matrice di controllo;

D: Matrice di output.

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L’equazione (2.4) è l’equazione di stato, mentre l’equazione (2.5) è l’equazione di

output.

Lo spostamento e la velocità sono rappresentati nell’equazione (2.4) dal vettore Xs; il

vettore di controllo Us esprime il controllo come il prodotto del vettore di stato Xs per

il vettore Fs di feedback, come è riportato nell’equazione (2.6).

Il vettore Fs è determinato come il minimo valore della funzione Jd dell’equazione

(2.7).

Us = - Fs · Xs (2.6)

Jd = 0)(0

sd

tssd

t

ts URUXQX (2.7)

La matrice dQ e la matrice Rd dell’equazione (4.7) rappresentano rispettivamente

matrice di peso del vettore di stato Xs e del vettore di controllo Us.

Applicazione dell’Algoritmo Genetico

In questo studio lo spazio delle soluzioni è rappresentato da |amax| e |umax| nelle

funzioni associative delle parti antecedenti al controllo fuzzy.

La funzione di evoluzione che esprime la condizione di energia della struttura e del

dispositivo di controllo è data dall’equazione (2.8).

JGA =

1000

1

1000

1

1000

1

||i

iiii

tii

i

ti XUMXXKXX

(2.8)

In questa equazione, il primo termine rappresenta l’energia elastica, il secondo

l’energia cinetica ed il terzo rappresenta il lavoro di controllo della forza.

Il metodo di stima è ottenuto comparando il valore di JGA di ogni gene, dopo dieci

secondi dall’avvio del controllo.

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Il processo di analisi seguito in questo studio è il seguente: due punti di crossover, il

numero minimo di popolazione primaria è 15, la percentuale di crossover è 70 % e la

percentuale di mutazione è il 30%.

Se tutti i geni sono fatti con cromosomi uguali, le operazioni svolte con gli AG sono

a convergenza analitica.

Risultati Analitici

Le risposte nel tempo sono ottenute utilizzando sia la tecnica di controllo fuzzy, sia

la tecnica del controllo ottimale; i tre casi di controllo sono riportati nella seguente

tabella 2.3 dove è espressa la posizione d’azione della forza di controllo.

Punti di Controllo Vibrazioni Libere Vibrazioni Forzate

Piano Superiore1° modo2° modo3° modo

Kusiro-oki earthquake

(Chioda-oohashi)

Piano Intermedio1° modo2° modo3° modo

Kusiro-oki earthquake

(Chioda-oohashi)

Piano Inferiore1° modo2° modo3° modo

Kusiro-okie arthquake

(Chioda-oohashi)

Tabella 2.3 : Casi analitici

La seguente tabella è stata ottenuta imponendo uno spostamento iniziale e azionando

il controllo attivo durante le vibrazioni libere.

Il valore di | amax | e | umax | sono entrambi riportati nella tabella 2.4, sia per il Caso 1

che per il Caso 2.

umax (cm / sec ) amax ( cm / sec2 )Caso 1 Caso 2 Caso 1 Caso 2

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1° modo 0.64 0.91 217.1 13.62° modo 0.29 1.00 435.5 15.03° modo 0.38 0.65 140.5 14.3

Tabella 2.4: Massimo valore della funzione associativa

Come si può notare osservando la tabella, i valori di | amax | del Caso 1 sono molto

diversi se comparati a quelli del Caso 2.

L’input dell’onda del terremoto usata per l’analisi delle vibrazioni è la forte scossa di

terremoto di Kushiro-oki che si è registrata il 15 gennaio 1993.

In questo studio si considera che gli effetti del controllo siano pressoché uguali sia

con il controllo fuzzy che con la teoria di controllo ottimale (per il 1° modo).

La caratteristica di uscita massima della forza di controllo di output, nel caso di

controllo ottimale, è di circa 2 sec; dopo 2 sec. la forza di controllo decresce

rapidamente e le frequenze maggiori sono legate ai cambiamenti delle caratteristiche

di output .

In entrambi i Casi 1 e 2 del controllo fuzzy, il tempo di uscita delle forze massime di

controllo è di circa 4 sec. e tale controllo diminuisce molto più lentamente del

controllo di tipo ottimale, per questo motivo quindi si considerano le differenze di

quantità espresse da entrambe le teorie di controllo.

La forza di controllo del Caso 2, rappresenta l’output una volta che lo spostamento è

terminato.

L’effetto del controllo nel Caso 1 in cui viene applicato l’algoritmo genetico è

nettamente migliore se comparato con il Caso 2; si può quindi affermare che si ha

un’effettiva ottimizzazione delle funzioni di associazione utilizzando gli AG nel

controllo fuzzy.

I risultati analitici per vibrazioni forzate eccitate da onde di terremoto, sono

rappresentati in Fig.2.3.

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Figura 2.3:Risposta delle vibrazioni forzate.

I valori massimi di risposta degli spostamenti sono abbastanza simili sia per la teoria

di controllo fuzzy che per la teoria di controllo ottimo; i valori massimi di

spostamento sono ridotti circa del 60 % per entrambe le teorie.

Se confrontiamo tutte le differenze che possono esserci fra le due teorie di controllo,

la performance del controllo ottimo è superiore rispetto a quella fuzzy in un range di

10-20 sec.

L’output della forza di controllo è influenzato solamente nella sua risposta dallo

spostamento.

Nel controllo fuzzy i parametri usati sono accelerazione e spostamento e, anche se la

risposta di spostamento diminuisce sensibilmente, la forza di controllo reagisce

sensitivamente alla risposta di accelerazione.

Esperimenti del controllo di vibrazioniProcedure Sperimentali

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Gli esperimenti sul controllo di vibrazioni vengono svolti utilizzando un modello di

edificio a tre piani, per entrambe le teorie di controllo.

A tal fine si dispongono su ogni piano i sensori di accelerazione (Fig. 2.4),

La risposta dinamica d'accelerazione è misurata da un sensore per ogni livello e il

segnale d’accelerazione è amplificato da una forza dinamica.

La fazzificazione delle variabili di stato, la valutazione del modo predominante e la

forza di controllo, sono calcolate contemporaneamente dal computer.

I risultati sperimentali dell’accelerazione, ottenuti per ogni caso esaminato in questo

studio, sono rappresentati in Fig.2.5.

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Figura 2.4: Sistema di controllo

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ConclusioniLa regolazione della funzione di associazione con l’esperienza umana è difficile, ma

tuttavia si considera che gli algoritmi genetici hanno una buona applicabilità per

l’installazione delle funzioni associative richieste per l’esecuzione del controllo

fuzzy.

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Figura 2.5: Risultati sperimentali

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2.5. Algoritmi genetici per determinare gli assestamenti fra le connessioni di un asse semi-rigido [16]

Introduzione

Tradizionalmente per sistemi strutturali piani di controventamento, si adottano

connessioni flessibili ma, quando la struttura non è più assimilabile ad un modello

piano, si devono adottare connessioni rigide [16].

Quando si considerano le connessioni dell'asse minore della colonna, esse sono per lo

più connessioni flessibili, ma se non è permesso il controventamento diagonale, le

connessioni diventano rigide ed in questo caso la possibilità che il raggio dell'asse

minore delle connessioni con la colonna siano rigide, è fortemente improbabile.

Le connessioni considerate in questo esempio sono state realizzate su un elemento di

irrigidimento trasversale saldato sull'armatura della colonna; si è usato un semplice

modello meccanico per valutare le connessioni strutturali [12].

In questo modello, ogni componente contribuisce all'irrigidimento globale delle

connessioni.

Scopo principale di questo testo, è di presentare una formula semplice in grado di

valutare gli assestamenti di una colonna soggetta a carichi fuori piano.

Programma Sperimentale

Gli esperimenti effettuati [17], comprendono una serie di tre test eseguiti sulla

colonna di asse minore, usando una trave caricata a sbalzo.

Per ogni test, sono stati misurati lo snervamento dell'acciaio, lo stato pensionale

ultimo per la trave e le deformazioni risultanti.

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Nel primo test, a causa della flessibilità dell'armatura piana, si sono riscontrate grandi

deformazioni; il carico massimo applicato è stato di 25,3 KN.

Considerazioni sugli Algoritmi Genetici

Genetic Programming è un metodo di programma evolutivo, sviluppato

originariamente da John Koza [15].

Tale metodo si basa su due concetti:

I. Ogni programma per computer è composto da singoli elementi, siano essi

matematici, logici od operatori di funzione, utilizzabili con un processo di

apprendimento di intelligenza artificiale.

II. Applicando operatori genetici e processi di selezione competitivi, un sistema

di intelligenza artificiale può creare programmi accurati e raggiungere

obiettivi specifici, pur non essendo esplicitamente programmato per quella

funzione.

Per il caso in esame, l'input dei dati è rappresentato dallo spessore dell'armatura della

colonna (tw) e dalla sua profondità (d); l'obiettivo è quello di associare una erta

rigidezza all'armatura della colonna soggetta all'uscita dei carichi assiali (k14).

Il software usato in questo esperimento è Evolver 4.0 [11], il quale ha dei parametri

con la seguente configurazione:

1. Metodo di soluzione: raggruppa le due parti iniziali del cromosoma ed ordina le

ultime due.

2. Punto di crossover: 0,65.

3. Punto di mutazione: 0.008.

La differenza tra il valore teorico e il valore generato con gli AG, è stata calcolata

con un sistema aritmetico di calcolo dell'errore percentuale di tutti i dati in ingresso,

come riporta la seguente equazione:

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MAPE %10011

n

TeoricoGATeorico

n

I dati di input, i valori teorici dei k14 , i risultati ottenuti con gli algoritmi genetici e

gli errori percentuali, sono riportati in Tabella 1.

tw (mm) d (mm) K14 teorico (m) K14GA (m) Errore (%)

6.3

8.0

10.0

6.3

8.0

10.0

6.3

8.0

10.0

300

300

300

600

600

600

800

800

800

0.01769

0.03109

0.05425

0.00810

0.01286

0.02810

0.00381

0.00667

0.01476

0.01769

0.03290

0.05419

0.00642

0.01218

0.02166

0.00424

0.00812

0.01477

0.00

5.83

0.12

20.76

5.27

22.89

11.17

21.74

0.07

MAPE 9.76

Tabella 2.5: Dati di input e risultati degli algoritmi genetici

ConclusioniNegli ultimi anni è aumentato l'uso delle strutture di controventamento e per

rappresentarne il comportamento in maniera ottimale, sono stati proposti diversi

modelli adattabili principalmente all'asse semi-rigido maggiore delle connessioni; per

l'asse minore le conoscenze sono ancora limitate.

L'uso della programmazione genetica nelle valutazioni strutturali dell'ingegneria

civile, ha avuto un notevole incremento grazie ai risultati affidabili ottenuti con i

giunti semi-rigidi.

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