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ne

Nel momento in cui il semaforo volge al verde , un’auto parte con accelerazione costante a=2.2 m/s2. Nello stesso istante un autocarro che sopravviene alla velocità costante di 9.5 m/s sorpassa l’auto.a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion?b) Quale sarà la velocità dell’auto in quel momento?

a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion?Iniziamo a contare il tempo a partire dal momento in cui il semaforo diventa verde (t=0s).Introduciamo un asse di riferimento lungo la strada rettilinea. Fissiamo l’origine nel punto in cui è ferma l’automobile in attesa del verde.Orientiamo l’asse nel verso del moto del camion e dell’automobile.

Con queste scelte le condizioni iniziali sono:

AutoxAo=0 mvAox=0 m/saAox=2.2 m/s2

CamionxCo=0 mvCox=9.5 m/saCox=0 m/s2

xA (t) =12aA xot2

vAx(t) =aAxotxC(t)=vCxotvCx(t)=vCxo

Le rispettive leggi orarie diventano:

O xA C

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ne

Ci sarà il risorpasso dell’auto quando le posizioni dell’auto e del camion saranno nuovamente uguali.

xA (t) =xC (t) ⇒ 12 aAxot2 =vCxot

Calcoliamo l’istante di tempo quando questa situazione si verifica:

12 aAxot2 =vCxot ⇒ 1

2aAxot2 −vCxot=012 aAxot2 −vCxot =0 ⇒ t 1

2aA xot −vCxo( )=0⇓

t1 =0 t2 =2vCxoaA xo

t1 corrisponde all’istante in cui il camion sorpassa l’auto ferma, anche in quel caso infatti le posizioni dei due veicoli coincidevano.L’istante del risorpasso sarà t2. t2 =2×9.5ms

2.2ms2

=8.64s

La velocità dell’auto in quell’istante sarà:

vAx(t) =aAxot =2.2ms2 ×8.64s=19.01ms

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La posizione in cui avviene il risorpasso, la possiamo calcolare con una delle due leggi orarie:

xA (t) =12aA xot2xC(t) xC (t) =1

22.2ms28.642s2 =82.1m

xC(t)=vCxot xC(t)=9.5ms8.64s=82.1m

La velocità dell’auto in quell’istante sarà:

vAx(t) =aAxot =2.2ms2 ×8.64s=19.01ms

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Dall’ugello della doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari. La quarta goccia si stacca nel momento in cui la prima arriva la suolo. Trovare le posizioni della seconda e terza goccia in quell’istante.

• Ogni quanto tempo cade una goccia?– Nel tempo impiegato da una goccia a percorre i 2 metri di dislivello ne sono

cadute 3 (sono trascorsi 3 intervalli).– E’ essenziale capire quanto tempo una goccia impiega a percorrere i 2 metri

tra l’ugello e il fondo.• Studiamo il moto di una goccia:

– il moto è uniformemente accelerato, accelerazione di gravità.– Facciamo partire il cronometro nell’istante in cui la goccia si stacca

dall’ugello.– Fissiamo un asse di riferimento verticale, orientato verso l’alto, con

l’origine sul fondo.– Con questa scelte le condizioni iniziali sono:

• xo=2m• vxo=0m/s

• axo=-g=-9.81m/s2 l’accelerazione di gravità è diretta verso il basso

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• La legge oraria della goccia sarà:

x(t) =xo −12gt2

vx(t) =−gtL’istante tf in cui la goccia tocca il fondo si può calcolare imponendo che la posizione in quell’istante sia nulla:

x(tf )=xo −12gtf2 =0 ⇒ tf =± 2xo

g =± 2×2m9.81m

s2=.63s

La durata del moto della goccia è dato da tf -ti

Poiché ti è uguale a zero la durata è tf =.63sL’intervallo tra una goccia e la successiva è un terzo di questo valore t=.21sPer sapere dove si trovano le gocce due e tre nel momento in cui la prima tocca il fondo, basterà calcolare dove si trovava la goccia 1 dopo un t e dopo due t.

x(Δt) =xo −12 gΔt2 =2m−1

2 9.81×.212 =1.78mx(2Δt) =xo −1

2 g 2Δt( )2 =2m−12 9.81×.422 =1.13m

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Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il contatto.

• La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il basso• Poiché rimbalza verso l’alto, riparte dal suolo con una velocità diretta

verso l’alto.• C’è stata quindi una variazione di velocità. C’è stata una accelerazione! • Fissiamo l’asse y di riferimento diretto l’alto, coincidente con la verticale

passante per il punto di impatto, con l’origine nel punto di impatto.

amy =vyf −vyiΔt

Occorre calcolare la velocità finale e quella iniziale sull’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo.La velocità iniziale è quella con cui arriva al suolo dopo la caduta di 4 mLa velocità finale è quella con cui riparte dal suolo.

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• Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità)

• Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono:– yo= 4.00m

– voy=0m/s

– aoy=-g=-9.81m/s2

• La legge oraria vale:• L’istante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che

y(tf)=0 (va preso l’istante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che la palla è partita)

y(t) =yo −12gt2

vy(t) =−gt

y(tf )=yo −12gtf2 =0 ⇒ tf =± 2yo

g =± 2×4m9.81m

s2=.903s

• La velocità in quell’istante sarà: vy(t) =−gtf =−9.81ms2 ×.903s=−8.85ms

• Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da utilizzare nella formula dell’accelerazione media.

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ne

• Per calcolare la velocità finale da usare nella formula dell’accelerazione media dobbiamo studiare il moto di risalita.

• Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità)

• Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il cronometro nel momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni iniziali valgono:– yo= 0.00m

– voy=? da determinare

– aoy=-g=-9.81m/s2

• La legge oraria vale:

y(t) =voyt −12gt2

vy(t) =voy −gt

y =voyt +−12 gt2 =voy −vy −voy

g⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ +−12 g −vy −voy

g⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ 2

=

• Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima: t =−vy −voyg

y =−voyvyg +voy

2

g −12 gvy

2

g2 −12gvoy

2

g2 +gvoyvyg2 =1

2voy

2

g −12vy

2

g• Da cui: vy

2 −voy2 =−2gy

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• Abbiamo ottenuto l’espressione della velocità in funzione dalla posizione

• Possiamo ricavare voy:

vy2 −voy

2 =−2gy

• Il modulo della velocità a parità di posizione è lo stesso sia nel moto di risalita che in quello di discesa.

• Quando la coordinata y è 2m, il punto più in alto della traiettoria, la velocità è nulla: −voy

2 =−2gymax

voy = 2gymax= 2×9.81ms2 ×2m = 39.24m2

s2 =6.26ms

• Ciò che abbiamo trovato è la velocità finale relativa all’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo.

• L’accelerazione media in questo intervallo di tempo vale dunque:

amy =vyf −vyiΔt =6.26ms − −8.85ms( )

12×10−3s =1256ms2

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Accelerazione in funzione della posizione

• In alcuni casi l’accelerazione è nota in funzione della posizione del punto materiale ax(x).

– Quindi non si conosce direttamente ax (t), ma la dipendenza dal tempo è nota solo attraverso la legge oraria x(t), ax (x(t)).

dvx(t)dt =ax(x)

• L a definizione di accelerazione ci dice che in ogni intervallo infinitesimo dt, il rapporto tra la variazione di velocità dvx e l’intervallo di tempo dt è proprio uguale all’accelerazione.

• Indichiamo con dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto materiale nell’intervallo di tempo dt– Se il corpo non è fermo, dx sarà in generale piccolo (infinitesimo) ma

diverso da zero.– Possiamo allora moltiplicare entrambi i membri dell’equazione

precedente per dx

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Accelerazione in funzione della posizione

• Otteniamo che in ogni intervallo infinitesimo dt vale la seguente uguaglianza: dvx

dt dx=ax(x)dx

• Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi in cui abbiamo suddiviso l’intervallo di osservazione del moto, otteniamo:

• Osservando che dx/dt è la velocità vx, si ottiene:

dvxdxdt =vxdvx =ax(x)dx vxdvx =ax(x)dx

vxdvxi

f∫ = ax(x)dxi

f∫• Integriamo il primo membro:

vxdvxi

f∫La variabile di integrazione è vx La funzione integranda è f(vx)= vx

La primitiva F(vx)= v2x/2

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Accelerazione in funzione della posizione

• Pertanto:

• Naturalmente per integrare il secondo membro doppiamo conoscere l’espressione di ax(x).

• Esaminiamo il caso in cui l’accelerazione ax(x) è costante, ax(x)= axo.

• In conclusione otteniamo: vxf2 −vxi

2 =2 ax(x)dxi

f∫

• Chiamando, come al solito, vxi=vxo, xi=xo, xf=x(t) e vxf=vx(t)

vxdvxi

f∫ = vx2

2⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ i

f

=vxf2

2 −vxi2

2

vxf2 −vxi

2 =2 axodxi

f∫ =2axo dxi

f∫ =2axo x[ ]if =2axo(xf −xi )

vx2(t) −vxo

2 =2axo(x(t)−xo)• Che ci da l’espressione di v in funzione di x• Da confrontare con quanto abbiamo già trovato nel moto di caduta dei gravi.

vx2 −vxo

2 =2axo(x−xo)

vy2 −voy

2 =−2gy