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a.s. 2015/2016

PROGETTO CLIL “CONTENT LANGUAGE INTEGRATED LEARNING”

“apprendimento integrato di contenuti e linguaggio”

Delibera n.11 adottata dal Collegio dei Docenti nella seduta dell’11/09/2015, verbale n.2.

LEARNING AND TEACHING MATHS

WITH CLIL METHOD

GRUPPO DI PROGETTO

- Prof. Ruocco Raffaele (DNL: Matematica)

- Prof.ssa Mercogliano Gilda (DNL: Matematica)

- Prof.ssa Sposato Sofia (L2: Inglese)

Il Dirigente Scolastico Prof.ssa Adriana Maria Loredana MIRO

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE “Antonio Pacinotti”- 84018 SCAFATI Via don Angelo Pagano, 1 TEL. 081850759 FAX 0818563843

Codice Istituto: SATF04000D e-mail: satf04000d@istruzione.it Elettronica ed Elettrotecnica- Meccanica, Meccatronica ed Energia – Informatica e Telecomunicazioni

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INDEX

1.- Introduzione……………………………….…....….….pag. 3

2.- Obiettivi generali………...………………………...…..pag. 3

3.- Tempi, attività, compiti….………………………...…..pag. 4

4.- Metodologie……………..……………….……….…....pag. 7

5.- Tempistica, orari, contenuti………………………..…..pag. 7

6.- Risultati attesi……………………………………....…..pag. 8

7.- List of symbols…………………………………………pag. 9

8.- Lesson plan around competences : indefinite integral

Knowledge, skills and attidudes for learning

to solve a maths problem ………………………………...pag. 11

8.1.- The main objective of lessons…………………….….pag.11

8.2.- Learning outcomes at the end of the lessons………...pag.11

8.3.- Activating prior knowledge………………………….pag.11

8.4.- Vocabulary needed and key words…………….…….pag.11

8.5.- Cross curricular links…………………..…………….pag.12 8.6.- Verification of skills…………………………….……pag.12

9.- Previous calls: differential calculus…………………….pag.12

10.- Indefinite integral……………………………………...pag.15

10.1.- Notation……………………………………………..pag.16

10.2.- Sign………………………………………………….pag.16

10.3.- Other notation……………………………………….pag.16

11.- General rules…………………………………………..pag.16

12.- The constant “c”………………………………………pag.17

13.- Examples……………………………………………...pag.17

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1.- INTRODUZIONE

Caratteristiche dei destinatari

In esecuzione della Delibera n.11 adottata dal Collegio dei Docenti nella seduta dell’11/09/2015, di

cui al verbale n.2, il gruppo di lavoro appositamente costituito, ha redatto la presente ipotesi

progettuale da sottoporre all’attenzione dei singoli Consigli di Classe delle Classi V, al fine di

inserirla nella programmazione annuale, anche integrandola rispetto alle materie di indirizzo della

specializzazione dei singoli corsi o delle ulteriori divere esigenze interdisciplinari evidenziate

dall’Organo Collegiale competente.

Il progetto costituisce una occasione formativa significativa per studenti dell’ultimo anno dell’ITI A.

Pacinotti di Scafati, periodo delicato per la maturazione delle scelte future e non ultimo per lo

sviluppo di competenze utili nel percorso successivo a quello scolastico.

E' auspicabile che il livello linguistico dei destinatari non sia inferiore al B1 certificato, in quanto

nell'approccio metodologico CLIL l’apprendimento/insegnamento della materia non linguistica

viene fatto con e attraverso una lingua straniera, non in una lingua straniera.

Trattandosi di un progetto “innovativo” rispetto alla sua prima applicazione, la sua attuazione avverrà

nel rispetto delle indicazioni recate dalla Nota MIURAOODGOS prot. n. 4969 del 25 luglio 2014, per

la parte relativa agli ITI, precisandosi che, non esistendo ancora nell’organico della scuola, docenti

dotati dei requisiti richiesti sia sul fronte linguistico che sul fronte metodologico, per l’insegnamento

di una disciplina non linguistica in lingua inglese (DNL), e trattandosi di un avvio graduale

dell’attività articolata anche con moduli parziali, essa può essere sperimentata anche dai docenti

comunque impegnati nei percorsi di formazione per acquisire il livello B2, ma che abbiano anche

acquisito competenze metodologiche in ambito CLIL a seguito di un apposito corso riconosciuto dalle

Autorità.

In tale circostanza, il progetto, a carattere pluridisciplinare, riassume in se i risultati della

collaborazione e cooperazione espressi dal Consiglio di classe, organizzati in sinergia tra docenti di

disciplina non linguistica, ed il docente di lingua straniera, non essendo presente né previsto il

conversatore di lingua straniera ed eventuali assistenti linguistici. Resta inteso che gli aspetti formali

correlati alla valutazione rimangono nella sfera di competenza del docente della DNL.

2.- OBIETTIVI GENERALI DELLA METODOLOGIA CLIL APPLICATA ALLA

MATEMATICA

Le sfide che l’attuale società pone ai giovani che si affacciano al mondo del lavoro o al mondo

universitario sono molteplici, sia in termini di competenze richieste che di versatilità e creatività. La

conoscenza ad ottimi livelli di una seconda lingua straniera, in particolare dell’inglese, è una richiesta

imprescindibile per un cittadino del XXI secolo. Diventando infatti sempre più numerosi, anche in

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Italia, i corsi di laurea che utilizzano la lingua inglese come lingua veicolare, il corso in questione,

anche se a carattere sperimentale, in quanto rappresenta la prima iniziativa del genere che si vuole

attuare, ma può costituire il primo step verso il processo di internazionalizzazione delle competenze,

sempre più richiesto alle nuove generazioni.

Il contesto del CLIL inoltre, si basa sulle indicazioni espresse dai decisori europei in ambito educativo e

culturale. Gli esperti hanno individuato l’esigenza che i piani nazionali di ogni Paese membro diano

coerenza e orientamento agli interventi intesi a promuovere il plurilinguismo. In quest’ottica l’ITI

“A. Pacinotti”, già da alcuni anni, è sede di esami per il Trinity College of London, che consente agli

studenti l’acquisizione di un attestato europeo per competenze internazionali nella lingua Inglese.

Il presente progetto si prefigge l'obiettivo di far acquisire agli studenti contenuti specifici di una

disciplina non linguistica come la MATEMATICA, facente parte dell’Area Generale comune di

ciascun indirizzo del corso degli studi, con il contestuale potenziamento dell’uso della lingua

straniera, peculiare di una metodologia CLIL.

Si è scelta questa DNL, per i seguenti motivi:

E’ una ‘scienza esatta’ priva di ambiguità terminologiche;

I Simboli ed i grafici che la caratterizzano hanno un forte impatto visivo;

E’ articolata su strutture grammaticali e lessicali ben precise;

Gli aspetti operativi ne facilitano la veicolazione;

La tecnica del Problem-solving è molto appropriata a tale linguaggio

Per tali motivazioni essa richiede

Un’attenta lettura e pronuncia dei simboli/operazioni;

Definizioni esatte e precise;

Carico cognitivo abbastanza levato

Un Livello contenutistico disciplinare che deve essere collimato con Livello della LS (frasi

ipotetiche, imperativi)

In generale, con la metodologia CLIL l’approccio linguistico incontra minori resistenze grazie a

elementi quali: il ricorso a simulazioni e a contesti accattivanti, l’introduzione di elementi integrati nel

processo cognitivo, la possibilità di confrontarsi e applicare immediatamente le informazioni ottenute,

il ricorso a situazioni che rispecchiano interessanti temi disciplinari, il ruolo attivo e autonomo dello

studente, l’applicazione del problem solving, l’utilizzo di risorse metacognitive anche per

imparare a valorizzare, rielaborare e canalizzare in modo critico e logico le funzioni

linguistiche. In sintesi, l’obiettivo principale del progetto CLIL è quello di sollecitare curiosità e

approfondimenti attraverso un approccio trasversale e creativo; dal sapere al saper fare; dalle

nozioni alle azioni; dalle conoscenze alle competenze.

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Infine, la metodologia CLIL risulta efficace per il potenziamento dell’apprendimento, perché induce

gli alunni ad essere più competenti negli argomenti della DNL proprio in quanto devono sforzarsi di

spiegarli al meglio nella lingua straniera.

3.- IDENTIFICAZIONE DEGLI OBIETTIVI TEMPI – ATTIVITA’ – COMPITI

L’applicazione della metodologia programmata rivolta in via sperimentale ad una o più classi V del

percorso scolastico, dettagliatamente prevede le seguenti attività:

Identificazione della classe, livello linguistico in LS degli studenti, prerequisiti linguistici e

disciplinari, livello motivazionale-condizioni socio-affettive.

Gestione delle ore a disposizione per le lezioni e pianificazione

Identificazione obiettivi linguistici, disciplinari, ma soprattutto trasversali

Articolazione delle attività /compiti con ruoli

Ausili didattici e materiali

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La tabella che segue riporta, per ciascuna di esse si riporta la relativa articolazione:

DOCENTI COINVOLTI 1) PROF. (MATEMATICA):___________________________ 2) PROF. (INGLESE):_______________________________

CLASSE V Sez._____(qualunque indirizzo) N° DI ORE

1 ore di introduzione agli obiettivi del percorso, all’argomento, al lessico da parte dell’insegnante d’inglese (compresenza)

3 ore per l’attività didattica (compresenza)

1 ora per la verifica scritta finale

LIVELLO LINGUISTICO Allievi: B1 (CEF)

ARTICOLAZIONE DELL’ATTIVITA‘

PRIMA ORA DI COMPRESENZA Presentazione del percorso: obiettivi, materiali, articolazione

Ricognizione gnerale sui prerequisiti: What’s a derivative? What’s an indefinite intregral? Do you know its symbol and what does it mean? Examples of indefinite integral caculus

SECONDA ORA DI COMPRESENZA Comprensione di lettura: testo tratto da Wikipedia con domande di

comprensione e esercizi sul lessico specifico.

Ripasso del glossario della matematica

Homework: creazione di una mappa mentale con i termini specifici TERZA ORA DI COMPRESENZA

Calcolo degli integrali immediati (I parte)

QUARTA ORA DI COMPRESENZA Calcolo degli integrali immediati (II parte)

QUINTA ORA DI COMPRESENZA Verifica scritta finale sul calcolo degli integrali immediati

OBIETTIVI DISCIPLINARI E LINGUISTICI

Obiettivi disciplinari Saper individuare il simbolo dell’integrale indefinito e le sue parti;

Calcolare gli integrali indefiniti immediati;

Capacità di ascoltare e comprendere spiegazioni scientifiche in lingua inglese;

Conoscere la struttura linguistica, il lessico e forme testuali tipiche del linguaggio della matematica.

Obiettivi linguistici Promuovere l’apprendimento di competenze linguistiche che pongono

l’accento sulla comunicazione

Acquisire il lessico specifico della disciplina in lingua straniera

Sviluppare le abilità comunicative in un contesto di apprendimento autentico

Obiettivi trasversali Stimolare un apprendimento integrato in cui la lingua straniera è veicolo di

contenuti diversi dalla lingua stessa

Promuovere lo sviluppo delle strategie di apprendimento e l’autonomia dello studente (meta cognizione)

Promuovere un approccio ‘flessibile’ all’apprendimento sia nei confronti dei contenuti disciplinari specifici sia della lingua straniera

Promuovere la motivazione all’apprendimento delle due materie

PREREQUISITI Disciplinari: Calcolo Linguistici: Imperativo; Periodo ipotetico di tipo 0 e 1; abilità ricettive e produttive Trasversali: Saper prendere appunti; saper lavorare in coppia/a gruppi; saper integrare informazioni verbali e visive.

MATERIALE Fotocopie, dispense, materiali in rete SUPPORTI Lavagna, PC, LIM, cartelloni COMPRESENZA Sì

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4.- METODOLOGIE

Sulla scorta della scelta della metodologia CLIL come scelta didattica per l’insegnamento e

l’apprendimento della DNL, si prefigurano l'utilizzo di tecniche e attività anche non frontali, che

coinvolgano il discente in prima persona e soprattutto nel confronto con i propri pari.

In dettaglio le metodologie privilegiate saranno le seguenti:

Cooperative Learning

Didattica laboratoriale

Peer education

Simulazione/Role playing

Problem solving

Il tutto sarà adeguatamente strutturato mediante strategie (before-during-after) che consentano in una

prima fase l'acquisizione del lessico specifico mediante attività su glossari e keywords (before), per

passare alla comprensione di testi articolati e videolezioni (during) e per concludere con la produzione

personale di un contenuto specifico in lingua veicolare inglese da parte degli studenti (after).

5.- TEMPISTICA – ORARI - CONTENUTI

Le indicazioni Ministeriali fissano come obiettivo verso cui tendere, quello di insegnare con modalità

CLIL orientativamente il 50% del monte ore della DNL veicolata in lingua straniera.

In dipendenza del carattere sperimentale del progetto e dell’assenza di risorse umane dotate dei

requisiti prescritti, la proposta prevede di impegnare un numero di ore pari 5 per ciascuno dei due

docenti in compresenza, corrispondente ad un’ora di lezione CLIL almeno a cadenza bisettimanale.

Nello spirito delle indicazioni Ministeriali, si ritiene auspicabile un’articolazione flessibile dell’orario

settimanale delle lezioni, che possa prevedere per la stessa classe, la compresenza del docente della

DNL con quello della disciplina linguistica (Inglese), anche all’interno di un laboratorio attrezzato,

non necessariamente di Inglese.

Tale circostanza risulta quanto mai applicabile, già a partire dal corrente a.s., in riferimento

all’organico di potenziamento che confluirà in quello dell’Autonomia Scolastico alla fine della fase C

del piano assunzionale straordinario previsto dalla Legge n.107/2015 in fase di attuazione, in

applicazione dei comma 7 e 85 della medesima, in relazione al campo di potenziamento linguistico

n.2, obiettivo formativo di cui alla lettera “a” del comma 7 sulla valorizzazione e potenziamento delle

competenze linguistiche, con particolare riferimento all’italiano nonché alla lingua inglese…anche

mediante l’utilizzo della metodologia Content Language Integrated Learning - CLIL.

E’ auspicabile, quindi, che la ripartizione regionale di tali risorse umane aggiuntive, assegni almeno

uno docente della lingua Inglese, in modo che possa “affiancare” quello di Matematica, anche in

compresenza, e coinvolgere nella sperimentazione quante più classi è possibile del V anno.

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Gli argomenti, compatibilmente con la durata dell’attività, saranno mirati alla costruzione e alla

validazione di modelli in diversi ambiti di Matematica o direttamente ad essi riconducibili, quali

l’analisi differenziale (Differential Calculus: limits, derivatives, integrals, study of function), attività

interattive (attività in autoapprendimento e autovalutazione: Jigsaw, scramble text, associations),

attività reticolari (risorse e approfondimenti tematici web-based, webQuest).

6.- RISULTATI ATTESI

In un approccio CLIL gli studenti usano la lingua per imparare i contenuti. Il focus è sul significato,

così la lingua non è considerata come un insieme di regole e di abilità a sé stanti e da studiare in

quanto tali, bensì come una risorsa per creare significati in un contesto comunicativo.

Di conseguenza mentre in un corso tradizionale di lingua straniera la domanda che ci si pone rispetto

ai risultati è: “Qual è il livello di abilità raggiunto dallo studente nell’usare le abilità linguistiche? Le

forme sono grammaticalmente corrette?”, nel CLIL la domanda che ci si pone è: “Lo studente è

capace di usare le forme adeguate ad esprimere significati in un contesto comunicativo? In quale

misura e con quale livello di autonomia?”.

In quest'ottica i risultati attesi saranno su più livelli: linguistico e linguistico-specifico della disciplina

scientifica.

In sintesi:

miglioramento dei livelli di competenza della lingua inglese secondo le principali abilità

(comprensione orale, espressione orale, comprensione scritta ed espressione scritta);

acquisizione di capacità di comprensione del lessico specifico della Matematica;

capacità di esprimere concetti di Matematica attraverso la lingua inglese.

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LIST OF SYMBOLS ALGEBRA SYMBOLS

Symbol Operation Name/meaning/definition Example = comparison equal 3=3 (three equals three) ≠ “ Is not equal 4≠5 (four is not equal five)

˜ “ Is approximately equal 1.2 ˜1.199 (1.2 is approximately equal 1.999)

> “ Is greater than 2>1 (two is greater than one) ≥ “ Is greater than or equal to x≥y+1 (x is greater or equal to y

plus one) < “ Is less than 5<10 (five is less than ten) ≤ “ Is less than or equal z≤y-4 (z is less than or equals y

minus four) + addition plus 5+2=7 (five plus two equals

seven) ¯ subtraction minus 10-4=6 (ten minus four equals

six) x or • moltiplication times or by 5x6=30 (five times six equals

thirty or five by six equals thirty)

÷ or / division divided by or on or over 10/5 = 2 (ten divided five equals two or ten on five equals two or ten over two equals two

푎푏

division fraction (one half); (one tenth); (two on three)

√푏 radical symbol square root

√4 = ±2 (Square root of four is equals plus or minus two)

√푛 radical symbol nth root √27=3 (third root of twentyseven is equal three

푎 Power (a is the base, n is the exponent or power or

index

nth power 2 = 2x2x2=8 (two the power three equals eight or two at third or two at cube) 82 = 8x8= 64 (eight squared)

( ) Parentheses or round brackets

calculate expression inside first 2 • (3+5) = 2 • (8) 1= 6

[ ] square brackets or box brackets

calculate expression inside first in order

3• [(1+2) • (1+5)] = 3• [(3) • (6) ] = 3• [18 ] = 54

{ } braces or curly brackets calculate expression inside first in order

f (x) function of x maps values of x to f(x) f (x) = 3x+5

(f∘g) function composition (f ∘g) (x) = f (g(x)) f (x)=3x, g(x)=x-1 ⇒ (f(g(x)) = 3(x-1)

(a,b) open interval (a,b) = {x | a < x < b} x ∈ (2,6) [a,b] closed interval [a,b] = {x | a ≤ x ≤ b} x ∈ [5,10] ∆ delta change / difference ∆t = t1 - t0 ∆ discriminant Δ = b2 - 4ac Solve quadratic equation

solution

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CALCULUS & ANALYSIS SYMBOLS Symbol Operation Name/meaning/definition Example lim →

푓(푥) limit limit value of a function lim→

(4푥 − 1)= 7

ε epsilon represents a very small number, near zero

ε → 0

e e is a constant called Euler's number

e = lim (1+1/x)x x→∞

e= 2.718281828...

y ' derivative First derivative: y ' = lim ∆푓(푥) /∆x

∆x→0

(3x3)' = 9x2

y '' 2nd derivative derivative of derivative (3x3)'' = 18x y(n) nth derivative n times derivation (3x3)(3) = 18

derivative derivative - Leibniz's notation d(3x3)/dx = 9x2

2nd derivative derivative of derivative d2(3x3)/dx2 = 18x

nth derivative n times derivation

푥푖 sigma summation - sum of all values in

range of series ∑ xi= x1+x2+...+xn

F(x)

If F(x) is a derivable function and F’(x) is his derivative, such that: F’(x) = f(x) , it will be too: [F(x)+c)]= f(x)

So, F(x) is f(x) anti-derivative; there are endless

anti -derivative for each f(x)

f(x) = 3x F(x) =3 x2

F(x) =3 x2+2

푓(푥)푑푥

Indefinite integral Rapresents the most general

f(x) anti-derivative

푓(푥)푑푥 = 퐹(푥) + 푐 c is any real constant

f(x) is called the integrand function, x is called the integration variable and the

“c” is called the constant of integration.

∫(푥 + 1)푑푥 =

푥2 + 푥 + 푐

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8.- LESSON PLAN AROUND COMPETENCES

TITLE: INDEFINITE INTEGRAL Knowledge, skills and attidudes for learning to solve a maths problem

8.1.- THE MAIN OBJECTIVE OF LESSONS

Students will learn to solve the indefinite integral from a given simple polynomial rational

function, as the following: f(x) = axn + bxm + k, where:

- n, m are integer numbers;

- a, b, k are real numbers.

8.2.- LEARNING OUTCOMES AT THE END OF THE LESSONS

a) To understand that the indefinite integral explains the relationship between two different functions;

b) To be able to differentiate the answers changing the value of costant “c”;

c) To be aware to draw graph of the indefinite integral changing the value of “c”.

8.3.- ACTIVATING PRIOR KNOWLEDGE

- The rules of functions rational polynomial differentiation;

- Drawing the graph of a function on the Cartesian plane x-y;

- Function anti derivative calculus.

8.4.- VOCABULARY NEEDED AND KEY WORDS

a) To simplify any mathematical expressions, it needs to apply BODMAS rule.

It represents the order in which operations should be done, and it’s composed of the initials of the

following words in bold font:

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- Brackets ( );

- Other (ord Order), e.g. square root , or powers such as x2 ;

- Divide ;

- Multiply ;

- Add ;

- Subtract -

b) Differential calculus: finding derivatives of simply functions;

c) f(x) anti derivative: remember if f(x) is a linear function, than F(x) will be a quadratic function; if

f(x) is a constant, than F(x) will be a linear function, etc..

d) Indefinite integral: Represents the most general f(x) anti-derivative .

8.5.- CROSS CURRICULAR LINKS

The main links with other disciplines are as follows:

Mechanics and mechatronics: relationship between hourly equation and equation of speed v(t) = s’(t),

where s(t) is the v(t) anti derivative;

Electrical engineering and electronics: the law of electric current is the first derivative of the law of

variation of the electric charge i(t) = q’(t), where q(t) is the i(t) anti derivative;

8.6.- VERIFICATION OF SKILLS

- Evaluate different types of given indefinite integral.

9.- PREVIOUS CALLS: Differential calculus

The central idea of differential calculus is the notion of derivative, and differentiation is the process of

finding derivatives.

The derivative originated from a problem in geometry: the problem of finding the tangent line at a

point of a curve.

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Although the derivative was originally formulated to study the problem of tangents, it was soon found

that it also provides a way to calculate speed and, more generally, the rate of change of a function.

Geometric interpretation of the derivative

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Formal definition of the derivative

Derivatives of elementary functions

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Rules for differentiation

10.- INDEFINITE INTEGRAL

We wish to perform the opposite process to differentiation. This is called "antidifferentiation" and we will call it "integration".

Example 1

If we know that

y’ =3x2

and we need to know the function this derivative came from, then we "undo" the differentiation process. (The student should think: "What would I have to differentiate to get this result?")

y =x3 is ONE antiderivative of y’ =3x2

There are infinitely many other antiderivatives which would also work, for example:

y = x3+4

y = x3+π

y = x3+27.3

In general, we say y = x3+c is the indefinite integral of 3x2. The number c is called the constant of integration.

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Note: Most math text books use the letter “k” for the constant of integration, for questions involving electrical engineering, because c is normally used for capacitance and it could be confused.

10.1- Notation for the Indefinite Integral

We write: ∫3x2dx = x3+c, and say in words:

"The integral of 3x2 with respect to x equals x3 + c."

10.2.- The Integral Sign

The ∫ sign is an elongated "S", standing for "sum". (In old German, and English, "s" was often written using this elongated shape.) Later we will see that the integral is the sum of the areas of infinitesimally thin rectangles.

∑ is the symbol for "sum". It can be used for finite or infinite sums.

∫ is the symbol for the sum of an infinite number of infinitely small areas (or other variables).

This "long s" notation was introduced by Leibniz when he developed the concept of integration.

10.3.- Other Notation for Integrals

Sometimes we write a capital letter to signify integration. For example, we write F(x) to mean the integral of f(x).

So we have:

F(x)= ∫푓(푥)푑푥

Example 2

Find: ∫(x2−5)dx

Answer:

The antiderivative of x2 is , and the antiderivative of 5 is 5x, so we can write:

∫(x2−5)dx = 3 − 5x + c

11.- GENERAL RULES OF INTEGRATION

A. Integral of a Constant

∫k dx = kx + c

(k and c are constants.)

The integral of a constant is the same constant times x (as coefficient), plus a constant (as any real number).

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Example 3

∫4 dx =4x + c

B. Integral of a Power of x

∫xndx= +c (This is true as long as n ≠ −1)

So:

For the integral of a power of x, add 1 to the power and divide by the new number.

Example 4

∫x5dx = + c

12.- The Constant of Integration “c”

Don't forget the "+ c" (or, alternatively, "+ k"). This constant of integration is vital in applications of the indefinite integral.

Example 5

Integrate ∫8x6 dx

We have:

8x6dx

8 is a constant, so it can go out the front:

8∫x6dx

Next, do the integration step by adding 1 to the index and dividing by the new number:

8 =8

And of course, we must not forget the constant.

So the final answer is:

∫8x6dx = 8 + c

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Example 6

Integrate dy = (5x2−4x+3)dx

This is already in differential form, so we can just add the integral signs:

∫dy = ∫(5x2−4x+3)dx

On the left hand side, we simply have:

∫dy = ∫(1)dy = y (We are integrating the constant 1 with respect to y.)

On the right hand side, we integrate each of the terms, one at a time:

∫(5x2−4x+3)dx = 5 - 4 + 3x + c

So putting it all together, we have the solution:

y = 5 - 4 + 3x + c

Example 7

∫7x6dx = 7 + c = 7x7 + c

Example 8

Integrate ∫(3x2+ √푥 - ^

)dx=

Our first step in this question is to re-write the exponents so it is easier to integrate:

=∫(3x2+ 푥 − ^ )dx = x3+ /

/ − + c = x3 +

/

/+c