Anno accademico 2010-2011 1 Algoritmi e complessità

Anno accademico 2010-2011Anno accademico 2010-2011

11

Algoritmi e complessitàAlgoritmi e complessità


22

SommarioSommario

• La complessitàLa complessità Complessità in tempo e spazioComplessità in tempo e spazio Complessità asintoticaComplessità asintotica

• Algoritmi e complessitàAlgoritmi e complessità Strutture dati: array, liste, alberi, tabelle hash Strutture dati: array, liste, alberi, tabelle hash Ricerca e ordinamentoRicerca e ordinamento

• La macchina di Turing e le classi di complessitàLa macchina di Turing e le classi di complessità• Ai limiti del calcolo: i problemi intrinsecamente Ai limiti del calcolo: i problemi intrinsecamente

difficilidifficili


33

La complessitàLa complessità


• L’analisi di complessità definisce le risorse L’analisi di complessità definisce le risorse teoricamente consumate da un algoritmoteoricamente consumate da un algoritmo Complessità temporaleComplessità temporale: tempo necessario

all’esecuzione del-l’algoritmo Complessità spazialeComplessità spaziale: memoria necessaria

all’esecuzione del-l’algoritmo• Poiché ad ogni algoritmo corrispondono più

implementazioni (più programmi), lo studio della complessità non definisce esattamente il tempo e la memoria usata: si concentra sulle proprietà che sono indipendenti dall’implementazione, for-nendo un’idea di quanto sia efficiente un algoritmo

44

La complessitàLa complessità


• Complessità temporaleComplessità temporale Si contano le istruzioni eseguite dall’algoritmo Poiché le istruzioni potrebbero essere di natura diversa,

si individuano quelle che incidono principalmente sul tempo di esecuzione

Le operazioni in virgola mobileLe operazioni in virgola mobile: le più lente da eseguire per una CPU; sono predominanti se il loro numero è paragonabile al numero delle altre istruzioni

Le istruzioni di controllo Le istruzioni di controllo (gli ifif) e le istruzioni più frequenti le istruzioni più frequenti (sono predominanti se sono in numero molto superiore rispetto alle altre istruzioni)

Le istruzioni di accesso alla memoria secondaria e alle Le istruzioni di accesso alla memoria secondaria e alle perifericheperiferiche: sono decine di migliaia di volte più lente delle : sono decine di migliaia di volte più lente delle istruzioni svolte nella memoria principaleistruzioni svolte nella memoria principale; se un’applicazione ne richiede molte, queste potrebbero essere predominanti (ad es., nei database, l’analisi di complessità è concentrata sugli accessi al disco) 55

Che cosa si misura? Che cosa si misura? 1 1


• Complessità spazialeComplessità spaziale

Si misurano le “posizioni” di memoria occupate dai dati necessari allo svolgimento dell’algoritmo

La complessità spaziale sarà misurata relativamente alla memoria principale se i dati dell’algoritmo possono essere allocati in memoria principale, in base all’occupazione di memoria secondaria quando le strutture dati dell’algoritmo sono troppo grandi per poter risiedere nella memoria centrale

66

Che cosa si misura? Che cosa si misura? 2 2


• Lo studio della complessità si concentra su i casi in cui il problema è grande:

non importa se un programma di contabilità impiega 1 o 100 millisecondi a calcolare il bilancio

cambia molto se il programma della segreteria impiega 1 o 10 secondi a trovare i dati di uno studente nell’archivio

• Complessità asintoticaComplessità asintotica Definisce le risorse usate da un algoritmo al crescere

della dimensione del problema affrontato

Ad esempio: come cambia il tempo di accesso ai dati quando cresce il numero degli studenti nell’archivio della segreteria

77

Complessità asintoticaComplessità asintotica


• Formalmente, si usa il concetto matematico di ordine ordine di grandezzadi grandezza sia n la dimensionedimensione del problema, cioè la dimensione

dell’input dell’algoritmo sia T(n) il tempotempo impiegato per l’esecuzione

dell’algoritmo quando l’ingresso ha dimensione n sia f(n) una qualsiasi funzione di n, ad esempio 3, n, n2,

n5, 2n Si dice che la complessità asintotica dell’algoritmo è è

dell’ordine di dell’ordine di ff((nn)) e si scrive OO ((ff((nn)))) se esiste una costante tale che TT((nn)) ff((nn))

• Osservazione importante:Osservazione importante: in base alla definizione data, algoritmi che differiscono solo per una costante moltiplicativa hanno lo stesso ordine di complessità

• Esempio:Esempio: due algoritmi che richiedono 4n e 7n operazioni sono entrambi OO ((nn))

88

Complessità temporale Complessità temporale asintotica asintotica 1 1


• Informalmente… L’ordine O (f(n)) fornisce una misura della complessità

tempo-rale di ogni programma che implementa l’algoritmo

• Esempio:Esempio: Calcolare la somma degli elementi di un array n: numero di elementi dell’array complessità: O (n)

99

Complessità temporale Complessità temporale asintotica asintotica 2 2


• Un algoritmo può richiedere un numero di operazioni diverse per ingressi di dimensione uguale:

Complessità mediaComplessità media: complessità valutata su tutti i possibili ingressi

Complessità nel caso peggioreComplessità nel caso peggiore: complessità dell’algoritmo per l’ingresso che richiede più operazioni

• Di solito, quando si parla di complessità, ci si riferisce alla complessità nel caso peggiore

1010

Complessità media e Complessità media e relativa al caso peggiorerelativa al caso peggiore


1111

Algoritmi e complessitàAlgoritmi e complessità


• ArrayArray n: numero degli elementi dell’array Ricerca/inserimento/cancellazione di un elemento

Complessità O (n)• Liste sempliciListe semplici

n: numero delle posizioni nella lista Ricerca/cancellazione di un elemento

Complessità O (n) Inserimento di un elemento all’inizio della lista (in testa)

Complessità O (1)

1212

Complessità asintotica: Complessità asintotica: array e listearray e liste


• Albero binarioAlbero binario, cioè tale che da ogni nodo si dipartono al più due archi, che soddisfa le seguenti proprietà: ogni nodo v contiene un elemento elem(v) cui è associata

una chiave chiave(v) presa da un dominio totalmente ordinato

le chiavi nel sottoalbero sinistro di v sono tutte chiave(v)

le chiavi nel sottoalbero destro di v sono tutte chiave(v)

1313

Complessità asintotica: Complessità asintotica: alberi binari di ricerca alberi binari di ricerca 1 1

Albero Albero binario di binario di ricercaricerca

Albero Albero binario binario nonnon di ricercadi ricerca


• Alberi binari di ricercaAlberi binari di ricerca n: numero dei nodi dell’albero Inserire, eliminare o ricercare un elemento in un albero

binario bilanciatoComplessità media pari all’altezza dell’albero: O (h) O (log2n)Complessità nel caso peggiore pari a O (n) (alberi molto sbilan-ciati e profondi)

6

3

1

8

4 7 9 1414

Complessità asintotica: Complessità asintotica: alberi binari di ricerca alberi binari di ricerca 2 2


• Si traccia un cammino nell’albero partendo dalla radice e, su ogni nodo, si usa la proprietà di ricerca per decidere se proseguire nel sottoalbero sinistro o destro

1515

Alberi binari di ricerca: Alberi binari di ricerca: RicercaRicerca


• A partire dalla radice, confronta la chiave k con chiave(v) In caso di coincidenza, l’elemento da inserire è già

presente nell’albero (che non deve contenere duplicati) Altrimenti, si prosegue ricorsivamente nel sottoalbero

sinistro o destro in base al risultato del confronto fino a trovare un nodo foglia o un nodo dotato di un solo figlio relativamente al quale l’elemento con chiave k possa opportunamente occupare il posto del figlio mancante

1616

Alberi binari di ricerca: Alberi binari di ricerca: InserimentoInserimento


• Sia u il nodo contenente l’elemento da cancellare: Se u è una foglia, viene direttamente rimosso Se u è un nodo dotato di un solo figlio w, il sottoalbero

con radice w va ad occupare il posto di u

1717

Alberi binari di ricerca: Alberi binari di ricerca: Cancellazione Cancellazione 1 1


Se u ha due figli, deve essere sostituito dal suo predecessore v (che ha un solo figlio e) che deve essere fisicamente rimosso

1818



1919



• ProblemaProblema

Memorizzare in maniera opportuna un insieme di dati tipicamente sotto forma di record in modo da poter reperire un qualsiasi elemento dell’insieme con un numero “piccolo” di tentativi

Cosa significa “piccolo” ?

Indipendente (o quasi) dalla dimensione della tabella su cui si effettua la ricerca, quindi con una complessità in tempo pari ad O (1)

2020

Complessità asintotica: Complessità asintotica: tabelle hashtabelle hash


• h: K → {0, 1, 2, …, m1}• K: insieme dei valori distinti che possono essere

assunti dalle chiavi dei record • m: dimensione del vettore in cui si intende

memorizzare la tabella• Ipotesi:Ipotesi: K sottoinsieme dei numeri naturaliPossibile funzione di accesso:

h(k) k MOD m, kK Valore della funzione sempre compreso fra 0 e m1

2121

Funzioni hash Funzioni hash 1 1


• Se K non è un sottoinsieme dei numeri naturali Esempio:Esempio: insieme di stringhe alfanumeriche Problema:Problema: la funzione hash si applica a numeri

• Per utilizzarla in corrispondenza di una chiave non numerica occorre associare alla chiave un valore numerico

Necessità di definire funzioni hash generali Associazione di un valore numerico ad una chiave di

qualunque tipo Applicazione della funzione hash a tale valore Esempio: Esempio: si utilizza la somma dei codici ASCII dei

caratteri che costituiscono la stringa• Comunque… metodo non adatto a reperire sottoinsiemi

di dati con chiave che soddisfi una data relazione2222

Funzioni hash Funzioni hash 2 2


• Associazione, da parte di una trasformazione, della stessa posizione a chiavi distinte

• SinonimiSinonimi k1 k2, ma h(k1) h(k2)• Esempio: Esempio: [10,12,20,23,27,30,31,39,42,44,45,49,53,57,60]

h(chiave) (chiave MOD 15) Posizione 0 ← 30, 45, 60 Posizione 8 ← 23, 53 Posizione 12 ← 12, 27, 42, 57

• Ciascuna posizione dell’array può contenere al più un elemento; occorre… Ridurre al massimo le collisioni Gestirle quando si verificano

2323

Collisioni Collisioni 1 1


• Funzioni di hashing perfetto hashing perfetto (che evitano i duplicati) sono difficili da trovare, anche per tabelle grandi

• Esempio:Esempio: paradosso del compleanno paradosso del compleanno Dato un gruppo di 23 persone, ci sono più del 50% di probabilità che due di esse siano nate nello stesso giorno dell’anno In altre parole, se scegliamo una funzione aleatoria (a

valori casuali) che trasforma 23 chiavi in un indirizzo di una tabella di 365 elementi, la probabilità che due chiavi NON collidano è solo 0.4927 (meno della metà)

• Individuare una funzione di accesso che porti ad un numero ridotto di collisioni è un problema complesso

2424



• Tuttavia… numero di collisioni ridotto drasticamente se accettiamo uno spreco del 25% di memoria

• Esempio: Esempio: array di 19 elementi (indicizzati da 0 a 18) Posizione 0 ← 57 Posizione 8 ← 27 Posizione 1 ← 20, 39 Posizione 10 ← 10 Posizione 3 ← 60 Posizione 11 ← 30, 49 Posizione 4 ← 23, 42 Posizione 12 ← 12, 31 Posizione 6 ← 44 Posizione 15 ← 53 Posizione 7 ← 45

• Collisioni non eliminate del tutto 18

17

16

5315

14

13

12, 3112

30, 4911

1010

9

278

457

446

5

23, 424

603

2

20, 391

570

18

17

16

5315

14

13

12, 3112

30, 4911

1010

9

278

457

446

5

23, 424

603

2

20, 391

570

h(chiave) (chiave MOD 19)

2525



• Diminuire il fattore di carico n/m, con n numero degli oggetti da inserire ed m dimensione della tabella, garantisce un minor numero di collisioni

Lo spazio utilizzato è proporzionale ad m, non al numero n di elementi: può esserci grande spreco di memoria!

• Inoltre… per ridurre la probabilità di collisioni, una buona funzione hash dovrebbe essere in grado di distribuire in modo uniforme le chiavi nello spazio degli indici della tabella

• Ipotesi:Ipotesi: la funzione hash gode della proprietà di uniformità sempliceuniformità semplice

2626



• Sia P(k) la probabilità che la chiave k sia presente nell’insieme delle chiavi da allocare e sia:

la probabilità che la cella i sia occupata• Una funzione hash h gode della proprietà di

uniformità semplice se:

2727



• Esempio:Esempio: Se U è l’insieme dei numeri reali in [0,1] e ogni chiave in U ha la stessa probabilità di essere scelta, allora si può dimostrare che la funzione hash:

soddisfa la proprietà di uniformità semplice

2828



• Uso di liste concatenate liste concatenate destinate alla memorizzazione degli elementi che, in inserimento, hanno portato ad una collisione; gli elementi sono contenuti in liste esterne alla tabella: t[i] punta alla lista degli elementi tali che h(k)i

• Indirizzamento apertoIndirizzamento aperto: tutti gli elementi sono contenuti nella tabella; se una cella è occupata, se ne cerca un’altra libera

2929

Gestione delle collisioniGestione delle collisioni


• Ricerca di un elemento di chiave k

Si calcola h(k): se si verifica una collisione allora si accede alla lista associata alla posizione h(k) e la si scandisce

3030

Liste concatenate Liste concatenate 1 1


• Il costo dell’operazione di ricerca realizzata in modo lineare relativamente alle liste di elementi in collisione si mantiene pressoché indipendente da n (numero degli elementi contenuti nella tabella)

• Inserimento/cancellazione costano O (1)

3131

Liste concatenate Liste concatenate 2 2


• Supponiamo di voler inserire un elemento con chiave k e che la sua posizione “naturale” h(k) sia già occupata

• L’indirizzamento aperto consiste nell’occupare un’altra cella, anche se potrebbe spettare di diritto ad una chiave diversa

• Si cerca la cella vuota (se c’è) scandendo le celle secondo una sequenza di indici, per esempio utilizzando una tecnica di scansione lineare scansione lineare

t(k,i) (h(k)i) mod m, per 0imPer i1 la ricerca parte dalla cella indicizzata e procede a scandire le successive (ad una ad una) fino alla prima cella libera

3232

Indirizzamento aperto Indirizzamento aperto 1 1


• La scansione lineare provoca effetti di agglomerazione, cioè lunghi gruppi di celle consecutive occupate, che rallentano la scansione

3333



• L’hashing doppio hashing doppio riduce il problema delle agglomerazioni e produce funzioni hash che sono “quasi” semplicemente uniformi:

t(k,i) h1(k)i h2(k) mod mper 0im, con h1 e h2 funzioni hash distinteL’idea sottesa all’hashing doppio è quella di partire da un valore hash ed esaminare le posizioni successive saltando di una quantità pari a multipli di un valore determinato da una altra funzione hashIn questo modo la prima posizione esaminata è h1(k)

mentre le successive sono distanziate di h2(k)

3434



• Esempio: Esempio: m=13 h1(k)=k mod 13 h2(k)=1 + (k mod 11)Si consideri l’inserimento della chiave 14 nella seguente

tabella:

h1(14) = 14 mod 13 = 1

h2(14) = 1+(14 mod 11) = 1+3 = 4

t(14,i) = (h1(k)+ih2(k)) mod m = (1+i4) mod m

3535

Hashing doppio Hashing doppio 1 1


i=0 1° posizione esaminata t(14,0) = 1i=1 2° posizione esaminata t(14,1) = 1+4 = 5i=2 3° posizione esaminata t(14,2) = 1+42 = 9

3636



• Si deve porre attenzione a far sì che h2(k) sia primo

rispetto alla dimensione della tabella m• ..infatti, se m e h2(k) hanno un massimo comune divisore

d, allora si esaminerebbero solo m/d elementi della tabella (invece di m)

• Esempio:Esempio: m10 e h2(k)2, partendo da 0 si ha la sequenza 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8…

• Per garantire che h2(k) sia primo rispetto a m si può: prendere m=2p e scegliere h2(k) in modo che produca

sempre un numero dispari prendere m primo e scegliere h2(k) in modo che produca

sempre un intero positivo minore di m3737



• Sia dato un programma che prende in ingresso i partecipanti ad una competizione e genera (ad esempio per stamparle) tutte le possibili classifiche finali

n: numero di partecipanti

Complessità: O (n!)

• Si osservi che n! è un numero molto grande anche per n relativamente piccoli

20! 2.432.902.008.176.640.0002.41018

3838

Complessità asintotica fattorialeComplessità asintotica fattoriale


• Sia dato un programma che ha come ingresso due array aa, bb e cerca tutte le coppie (ii,jj) tali che a[i]a[i]b[j]b[j] n: dimensione di aa m: dimensione di bb Complessità: O (nm)void search(int a[], int b[], int alength, int blength)

{ … for(i0;ialength;i){ for(j0;jblength;j){ if(a[i]b[j])

printf(“Trovata corrispondenza: a[%d]b[%d]%d”,i,j,a[i]); } }}

3939

Complessità asintotica Complessità asintotica polinomialepolinomiale


• In base alla loro complessità temporale asintotica, gli algoritmi sono tipicamente divisi in classi Algoritmi a complessità costantecomplessità costante OO ((11)) o linearelineare OO ((nn))

Molto veloci, “scalabili” Algoritmi a complessità polinomiale complessità polinomiale OO ((nnaa)) per un qualche

valore aUsabili se l’esponente a è piccolo

Algoritmi a complessità esponenziale complessità esponenziale OO ((aann)) per un qualche valore a (1) Usabili solo per n molto piccoli

4040

Algoritmi facili e difficiliAlgoritmi facili e difficili


• Fondamentale:Fondamentale: perché gli algoritmi a complessità esponen-ziale sono considerati quasi inusabili?

Perché richiedono talmente tante operazioni che probabilmente anche i calcolatori futuri non saranno in grado di eseguire in tempi ragionevoli le loro possibili implementazioni (programmi) per dati in ingresso ad alta dimensionalità

4141

Algoritmi a complessità Algoritmi a complessità esponenzialeesponenziale


• Si consideri il programma che genera tutte le classifiche finali di una competizione con n partecipanti, complessità O (n!) (è esponenziale, perché n!nsqrt(n))

Con 20 concorrenti le classifiche sono 20! 2.41018

Un computer che generi 1 miliardo di classifiche al secondo, circa 31016 l’anno, impiegherebbe circa 79 anni per generare tutte le classifiche richieste

Tendenzialmente, i computer diverranno sempre più veloci e fra dieci anni forse saranno abbastanza veloci da realizzare in un mese quello per cui adesso occorrono 79 anni ma…

…comunque, fra dieci anni per risolvere il problema con 21 partecipanti occorreranno ancora 21 mesi e per 25 partecipanti circa 531300 anni!! 4242

EsempioEsempio


• Per “cercare” un elemento in un vettore ordinatoordinato esiste un metodo detto ricerca binaria ricerca binaria o dicotomicadicotomica

Si confronta il valore valval da ricercare con l’elemento centrale del vettore A[length/2]A[length/2]

Se valval è minore dell’elemento mediano, si ripete la ricerca sulla metà sinistra del vettore, altrimenti si ricerca nella metà destra

4343

La ricerca dicotomica La ricerca dicotomica 1 1


• Esempio:Esempio: ricerca del numero 23

0 27

30

34

35

23

20

16

13

98542

Si confronta 23 con 13

Ci si concentra sulla metà destra (da ind. 8 a ind. 14): si confronta 23 con 27

0 27

30

34

35

23

20

16

13

98542

0 27

30

34

35

23

20

16

13

98542

0 27

30

34

35

23

20

16

13

98542

Ci si concentra sulla metà sinistra (da ind. 8 a ind. 10): si confronta 23 con 20

Ci si concentra sulla metà destra (da ind. 9 a ind. 9): trovato!!

4444



int search(int val, int A[], int from, int to){ int center(fromto)/2;

if (from to) return 1; if (fromto) {

if (A[from]val) {return from;} return 1;} // si esegue solo se A[from]!val

//si esegue solo se (fromto) if (valA[center]){ return search(val,A,from,center1); } if (valA[center]){ return search(val,A,center1,to); } return center;

}

4545



• La ricerca dicotomica divide il vettore in due ad ogni passo:

dopo p passi la dimensione del vettore è n/2p

nel caso peggiore, la ricerca si ferma quando n/2p è 1, cioè quando plog2n

• Quindi la ricerca dicotomica è O (log2n)

4646

Complessità della ricerca Complessità della ricerca dicotomica dicotomica


• Il Mergesort Mergesort è un algoritmo basato sul paradigma del divide et imperadivide et impera

• Una strategia divide et imperadivide et impera consiste nel suddividere un problema in sottoproblemi, nel risolvere i sottoproblemi, e nel ricomporre le soluzioni parziali per ottenere la soluzione del problema originale

• Il Mergesort è composto da due fasi:

una fase di divisione del vettore da ordinare in sottovettori

una fase di ricomposizione dei risultati (merge)

4747

Mergesort Mergesort 1 1


• Idea:Idea: Dato un vettore da ordinare, lo si divide in due sottovettori di ugual dimensione, si ordinano i sottovettori e poi si “fondono” insieme

6 5743821

6 821 5743

1 862 3 754

1 8765432

FusioneFusione

OrdinamentoOrdinamento OrdinamentoOrdinamento

DivisioneDivisione

4848

Mergesort Mergesort 2 2


• Come si ordinano i due sottovettori ?

Applicando ricorsivamentericorsivamente la divisione fino a quando il vettore contiene un solo elemento: in tal caso l’ordinamento è banale

6 5743821

DivisioneDivisione6 821 5743

6 1 2 8 3 4 7 5

3 4 7 56 1 2 84949

Mergesort: la divisione ricorsivaMergesort: la divisione ricorsiva


• I sottovettori ordinati verranno poi ricorsivamente fusi

1 8765432

FusioneFusione1 862 7543

1 6 2 8 3 4 5 7

3 4 7 56 1 2 8

5050

Mergesort: la fusione ricorsiva Mergesort: la fusione ricorsiva 11


• La fusione viene realizzata utilizzando due indici che scorrono i due sottovettori da fondere:

1. Ad ogni passo si confrontano i due elementi indicati dagli indici i e j, A[i], A[j]

2. Si copia l’elemento minore in un vettore d’appoggio e si incrementa l’indice corrispondente

3. Si torna al passo 1. fino a quando i due vettori non sono stati completamente visitati

1 2 6 8

3 4 5 7i

j

1 32 4 5 6 7 8

k

5151

Mergesort: la fusione ricorsiva Mergesort: la fusione ricorsiva 22


• Il Mergesort ha complessità O (nlog2n) sia nel caso medio che nel caso pessimo

• Mergesort è un algoritmo ottimoottimo! La sua complessità asintotica è la migliore possibile

• Comunque… …esistono algoritmi che per alcuni ingressi fanno meglio

di nlog2n (ad es., Bubblesort su vettori ordinati) …esistono altri algoritmi con complessità nlog2n anche

nel caso pessimo HeapsortHeapsort

5252

Complessità del MergesortComplessità del Mergesort


• QuicksortQuicksort, come Mergesort, è un algoritmo divide et divide et imperaimpera

• IdeaIdea

Si divide il vettore A in due sottovettori, che contengono rispettivamente tutti gli elementi minori e maggiori di (per esempio) A[0], cioè il primo elemento del vettore detto pernoperno

Si ripete ricorsivamente la divisione…

5353

Quicksort Quicksort 1 1


3 12 5786

3 5786412

1 32

Si ripartisce il vettore rispetto ad A[1] Si ripartisce il vettore rispetto ad A[1] 4 4

Si divide rispetto a 3Si divide rispetto a 3

1 2

8765

Si divide rispetto a 6Si divide rispetto a 6

5 87

4 5783612

5454

Quicksort Quicksort 2 2


• Come si divide il vettore? Si usano due indici i, j che

scorrono il vettore da sinistra e da destra, rispettivamente

L’indice i scorre fino a quando A[i]A[1]

L’indice j scorre fino a quando A[j]A[1]

Si effettua lo scambio fra A[i] e A[j] e quindi si procede come sopra

4 5713682

i j

Si scorrono Si scorrono ii, , j j confrontando con 4confrontando con 4

4 5713682

i j

Si scambiano gli elementiSi scambiano gli elementi

4 5783612

i j

Si scorrono Si scorrono ii, , jj confrontando con 4 confrontando con 4

5555

Quicksort: l’operazione perno Quicksort: l’operazione perno 1 1


Alla fine si scambia il perno con l’elemento in posizione j

4 5783612

i j

Si scambiano gli elementiSi scambiano gli elementi

4 5786312

Si scambia A[Si scambia A[jj] con il perno] con il perno

j

3 5786412

5656

Quicksort: l’operazione perno Quicksort: l’operazione perno 2 2


void perno(int A[], int from, int to)

{

int ifrom1, jto; while(ij){ while(A[i]A[from]) i; while(A[j]A[from]) j; if(ij) scambia(A,i,j);

}

scambia(A,from,j);}

5757

ImplementazioneImplementazione


• Il Quicksort ha complessità media O (nlog2 n)

• Il caso pessimo si verifica quando il perno finisce in fondo o in testa al vettore

In tal caso, Quicksort ha complessità pari ad O (n2)

5858

Complessità del QuicksortComplessità del Quicksort


• Mergesort ha il vantaggio di avere sempre complessità pari a O (nlog n)

• Quicksort ha il vantaggio di non richiedere un vettore di appoggio: ordina il vettore “in loco” (minore complessità spaziale)

• In media, Quicksort si comporta “bene” e, per questo motivo, in pratica spesso è preferito a Mergesort

5959

Mergesort vs QuicksortMergesort vs Quicksort


• Ospita gli elementi dell’insieme A di cardinalità n, su cui è definita una relazione d’ordine totale “”

• Lo heapheap (mucchio) è un albero binario Proprietà 1Proprietà 1

L’albero è quasi perfettamente bilanciato: è completo fino al livello k1, cioè contiene il numero massimo di nodi, 2k1, mentre al livello k contiene un numero di nodi (foglie) compreso tra 1 e 2k; i nodi a livello massimo sono tutti addossati a sinistra

Proprietà 2Proprietà 2Ogni nodo contiene un elemento dell’elemento contenuto nel padre

6060

Heap Heap 1 1


• Noto il valore di n, la forma del-l’albero è fissata dalla Proprietà 1Proprietà 1

• L’allocazione degli elementi nei nodi può variare, nel rispetto della Proprietà 2Proprietà 2

• L’elemento massimo dell’insieme è allocato nella radice

• I sottoalberi di ciascun nodo sono ancora heap

• Lo heap può essere allocato in un array

2338

18

2217

510

2812

63

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

63 3823

12

28

17

22

10 5 18

6161

Heap Heap 2 2


• Con l’allocazione lineare…

A[1] è l’elemento contenuto nella radice dello heap

Per ogni A[i], gli elementi corrispondenti ai figli sinistro e destro, se esistono, sono memorizzati in A[2i] e A[2i1]

Se 2i n e/o 2i1 n il figlio sinistro e/o destro di A[i] non esiste nell’albero

A[2i]A[i] e A[2i1]A[i], quando tali elementi sono definiti

6262

Heap Heap 3 3


• Lo heap trova la sua applicazione più elegante nel metodo di ordinamento noto come Heapsort Heapsort

Si estrae l’elemento massimo dallo heap (quello nella radice, o in prima posizione nella rappresentazione lineare)

Si ricostruisce lo heap

…fino a quando non ci sono più elementi nello heap (ovvero gli elementi del vettore sono ordinati)

6363

Heapsort Heapsort 1 1


• Come si ricostruisce lo heap, dopo l’estrazione della radice?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

63 3823

12

28

17

22

10 5 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18 3823

12

28

17

22

10 5 63

2338

18

2217

510

2812

63

2338

2217

510

2812

18

Continua…Continua… 6464



Si considera il massimo fra i due figli della radice e, se max{A[2],A[3]}A[1], si effettua lo scambio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1818 3823

12

28

17

22

10 5 63

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

38 1188

23

12

28

17

22

10 5 63

2338

2217

510

2812

18

2318

2217

510

2812

38

Si scambia A[1] con A[2]Si scambia A[1] con A[2]

6565


Continua…Continua…


Si considera il massimo fra i due figli di A[2] e, se max{A[4],A[5]}A[2], si effettua lo scambio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

38 1818 23 1228

17

22 10 5 63

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

38 28 23 12 1188

17 22 10 5 63

2318

2217

510

2812

38

2328

2217

510

1812

38

Si scambia A[2] con A[5]Si scambia A[2] con A[5]

6666


Continua…Continua…


Si estrae A[1] che è l’elemento più grande… e si ricomincia il procedimento di ricostruzione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

38 2823

12 1818 17 22

10

5 63

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

55 28 23 12 18 17 22 1038

63

2328

2217

510

1812

38

2328

2217

10

1812

5

6767



• Poiché ogni estrazione e ricostituzione dello heap richiede tempo O (log2n'), se n′ è il numero di elementi attualmente contenuti nello heap… Heapsort ha complessità O (nlog2n)

• L’algoritmo di ordinamento può essere realizzato facilmente sulla “rappresentazione sequenziale” dello heap

6868



void heapsort(int a[], int left, int right) { int k, temp, sizerightleft1, *paleft1;

/* si costruisce lo heap */ for (ksize2; k1; k) heap(p, k, size); /* si scambia l’elemento più grande con quello finale * e si ricostruisce lo heap */ while (size1) {

temp p[1]; p[1] p[size]; p[size] temp; heap(p, 1, size);

} exit(0);}

6969



/* Costruzione topdown di uno heap */#define LESS(A,B)((A)(B))

void heap(int a[], int k, int size) { int j, temp; while(2ksize) {

j 2k; if (jsize && LESS(a[j],a[j1])) j; if (!LESS(a[k],a[j]))

break; temp a[k]; a[k] a[j]; a[j] temp; k j;

}}

7070



7171

Ancora sulla complessitàAncora sulla complessità


• Anche per i problemi si parla di complessità• Tipicamente non si riesce a definire univocamente la

complessità di un problema, perché... ...lo stesso problema può essere risolto con algoritmi

diversi che hanno diversa complessità …anche se si riesce a stabilire qual è il miglior algoritmo

per la risoluzione di un dato problema, tale stima ha comunque un valore non assoluto, ma limitato nel tempo, in quanto non è dato prevedere se in futuro potrà esistere un metodo risolutivo migliore

• Per questi motivi, si parla solo di limite inferiore limite inferiore e superioresuperiore alla complessità di un problema

7272

Problemi e algoritmiProblemi e algoritmi


• In alcuni casi è possibile dimostrare che nessun algoritmo che risolve un dato problema può/potrà impiegare meno risorse di un certo limite inferiore

• Esempi banaliEsempi banali Nessun algoritmo che genera tutte le classifiche

possibili per n concorrenti può farlo in meno di n! operazioni (il limite inferiore alla complessità è O (n!))

Nessun algoritmo può effettuare la somma fra vettori ndimensionali in meno di n operazioni (il limite inferiore alla complessità è O (n))

• Esempio non banaleEsempio non banale Nessun algoritmo può ordinare un vettore di n elementi

in meno di nlog2n operazioni, nel caso peggiore7373

Complessità di un problemaComplessità di un problema


• Un algoritmo si dice ottimoottimo, quando ha complessità pari al limite inferiore

• EsempiEsempi Mergesort e Heapsort sono ottimi Si consideri il problema di sommare gli elementi di un

vettore: un algoritmo che scorre tutti gli elementi e li somma uno ad uno richiede O (n) operazioni: tale algoritmo è ottimo perché la sua complessità corrisponde con quella minima

Si consideri il problema di inserire un elemento in un albero binario di ricerca, bilanciato, che contiene n elementi:

Abbiamo visto una soluzione algoritmica che impone O (log2n)

operazioni log2n è un limite superiore per tale problemaSi può dimostrare che tale complessità corrisponde con il limite inferiore e che l’algoritmo proposto è ottimo

7474

Algoritmi ottimiAlgoritmi ottimi


• Dubbi: Dubbi: La complessità è indipendente dal computer su cui “gira” il

programma? Ad esempio, se si inventasse un calcolatore in grado di

generare contemporaneamente tutte le classifiche di n concorrenti, allora quel problema non avrebbe più complessità n!

Oppure… potrebbe esistere in futuro un computer in grado di ordinare un vettore di qualsiasi lunghezza per mezzo di una sola istruzione

• Nessuno conosce la risposta ma, fino ad ora, nessuno è riuscito a progettare un computer con queste capacità: tutti i calcolatori conosciuti sono equivalenti, in termini di capacità di calcolo, ad un computer semplicissimo la macchina di Turingmacchina di Turing

7575

Algoritmi e computerAlgoritmi e computer


• Alan Turing (19121954) è considerato uno dei padri dell’informatica

• Nel 1936 propose l’idea di una macchina immaginaria che fosse capace di eseguire ogni tipo di calcolo su numeri e simboli (nell’articolo On computable numbers On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblemwith an application to the Entscheidungsproblem)

Il problema della decisione problema della decisione era stato proposto da David Hilbert nel suo programma di fondazione formalista della matematica

• La macchina di Turing è una macchina formale, cioè un sistema formale che può descriversi come un meccanismo ideale, ma in linea di principio realizzabile concretamente

7676

La macchina di Turing La macchina di Turing 1 1


• È una macchina a statimacchina a stati, può cioè trovarsi in stati ben determinati, opera su stringhe in base a regole precise e costituisce un modello di calcolo

• È retta da regole molto semplici, ovvero la sua modalità operativa può essere descritta mediante meccanismi elementari

• Si “presume” abbia il massimo potere computazionale e si dimostra che è equivalente, ovvero in grado di effettuare le stesse elaborazioni, ai modelli di calcolo di più ampia portata (formali e implementati)

7777



• Per le sue caratteristiche, la macchina di Turing è un efficace strumento teorico che viene largamente usato nella teoria della calcolabilità teoria della calcolabilità e nello studio della complessità degli algoritmicomplessità degli algoritmi

• Inoltre, per definire in modo formalmente preciso la nozione di algoritmo, oggi si sceglie preferenzialmente di ricondurlo al concetto di elaborazione effettuabile da una macchina di Turing

• Esistono varie versioni (computazionalmente equivalenti) della macchina di Turing, quella più simile ai nostri calcolatori è quella cosiddetta a a registri registri (o counter machinecounter machine, MinskyLambek, 1961)

7878



• È costituita da un insieme di registri di lavoro R1, R2, R3,… e di registri di ingresso I1, I2, I3,… Ogni registro contiene un intero non negativo

• I programmi sono costituiti da tre semplici tipi di istruzioni: incremento: Rincremento: Rii

Il registro i viene incrementato di 1

decremento: Rdecremento: Rii Il registro i viene decrementato di 1; se il registro ha già valore 0, l’istruzione non ha effetto

salto condizionato: IF Rsalto condizionato: IF Rii GOTO L1GOTO L1

Se il registro i contiene un valore mag-giore di 0, si salta all’istruzione L1

IF I1 GOTO ciclo

I3

IF I3 GOTO fine

ciclo: I2

I1

IF I1 GOTO ciclo

fine:

Programma che somma i Programma che somma i contenuti di Icontenuti di I11 e I e I2 2 in Iin I22

7979

La macchina di Turing a registriLa macchina di Turing a registri


• La tesi di Churchtesi di ChurchTuring Turing afferma che:

Ogni problema intuitivamente calcolabile (risolubile) Ogni problema intuitivamente calcolabile (risolubile) da un qualsiasi elaboratore è calcolabile da una da un qualsiasi elaboratore è calcolabile da una macchina di Turing, purché dotata di memoria (e macchina di Turing, purché dotata di memoria (e tempo di elaborazione) sufficientetempo di elaborazione) sufficiente

• Nessuno è mai riuscito a confutare la tesi di ChurchTuring

• La maggior parte dei ricercatori ritiene che sia vera

8080

La tesi di ChurchLa tesi di ChurchTuringTuring


• Supponiamo che esista un programma halthalt in grado di risolvere il problema della terminazione halt(P,I) restituisce:

true se P con ingresso I terminafalse se P con ingresso I non termina

• Consideriamo il programma Q• Cosa succede se si applica Q a Q ?

Q(Q) termina o no ?• Se Q(Q) termina allora halt(Q,Q) dovrebbe essere

vero… ma allora Q(Q) non dovrebbe terminare• Se Q(Q) non termina allora halt(Q,Q) dovrebbe essere

falso … ma allora Q(Q) dovrebbe terminare• Quindi il programma Quindi il programma halthalt non esiste!! non esiste!!

void Q(Program P){ while (halt(P,P)) {}}

8181

Il problema della terminazioneIl problema della terminazione


• Esistono problemi molto difficili… problemi non calcolabili con una macchina di Turing e se la tesi di ChurchTuring è vera con nessun calcolatore!!

• EsempiEsempi

Problema della terminazioneProblema della terminazione

Dato un programma e un suo ingresso, dire se il programma terminerà (o entrerà in un ciclo indefinito)

Problema di PostProblema di Post

Dato un programma e due stati (uno stato è definito da un certo valore delle variabili), dire se a partire dal primo stato si potrà raggiungere il secondo

8282

Problemi impossibiliProblemi impossibili


• Nella macchina non deterministica, i programmi includono anche altre istruzioni

scelta casuale: FORK scelta casuale: FORK

prende in ingresso un insieme di istruzioni e ne esegue una a caso

istruzione di accettazione: ACCEPTistruzione di accettazione: ACCEPT

quando viene eseguita, il programma termina correttamente

• Un problema è risolubile se esiste un programma e una scelta casuale per cui il programma termina con ACCEPT e fornisce la risposta desiderata

8383

La macchina di Turing La macchina di Turing non deterministica non deterministica 1 1


R4

FORK{ R1,

R1 }

FORK{ R2,

R2 }

IF R1 GOTO cont

IF R4 GOTO no

cont: IF R2 GOTO ok

IF R4 GOTO no

ok: ACCEPT

no:8484


• Esempio:Esempio: Programma che assegna a caso valori in {0, 1} a R1 e R2 e termina solo se R1R21


• La macchina non deterministica “non calcola più di quella deterministica” Si può dimostrare che tutto ciò che è calcolabile sulla

macchina di Turing non deterministica è calcolabile anche sulla macchina deterministica

• La macchina non deterministica è però più efficiente di quella deterministica

• Il non determinismo può essere pensato infatti come una forma di parallelismo: FORKFORK è un’istruzione che genera più programmi paralleli

• Il parallelismo permette di risolvere i problemi velocemente: ad esempio, si può cercare un elemento in un vettore guardando contemporaneamente a tutti i suoi elementi 8585



• I problemi decisionali problemi decisionali richiedono solo una risposta binaria (sì/no), correlata in genere all’esistenza di una soluzione (es., problema della terminazione)

• Nella teoria della complessità, i problemi decisionali si dividono in due classi P P problemi risolubili in tempo polinomiale sulla problemi risolubili in tempo polinomiale sulla

macchina di Turing deterministicamacchina di Turing deterministica NP NP problemi risolubili in tempo polinomiale sulla problemi risolubili in tempo polinomiale sulla

macchina di Turing non deterministicamacchina di Turing non deterministicaIncludono sia i problemi “facili”, sia anche la quasi totalità dei problemi che si incontrano nelle situazioni pratiche

• Ovviamente vale POvviamente vale PNP, ma non è noto se PNP, ma non è noto se PNPNP

8686

Problemi P ed NPProblemi P ed NP


• Problema decisionale della soddisfattibilitàProblema decisionale della soddisfattibilità:: Data una forma normale congiuntiva F(x1,x2,…,xn) stabilire se esiste un assegnamento di valori delle variabili booleane x1,x2,…,xn che soddisfi F

Qualunque problema della classe NP si riduce, in tempo polinomiale, al problema della soddisfattibilità PS

PS è il “più difficile” fra i problemi di NP

8787

Problemi NP-completi Problemi NP-completi 1 1


• Un problema P è detto NPNPcompleto completo se PNP e PS si

riduce a P

• I problemi NPcompleti sono tutti equivalenti fra loro:

Sarebbe sufficiente trovare un algoritmo polinomiale per uno solo di essi ed avremmo trovato un algoritmo polinomiale per risolvere tutti i problemi

Inoltre, tutti i problemi in NP sarebbero risolubili in tempo polinomiale sulla macchina di Turing deterministica, cioè avremmo dimostrato che NPP!

8888

Problemi NP-completi Problemi NP-completi 2 2


• Problema decisionale del commesso viaggiatoreProblema decisionale del commesso viaggiatoreDato un insieme di n città con le relative distanze, trovare, se esiste, un cammino di lunghezza k che, partendo da una città, le visiti tutte tornando in quella di partenza

• Un problema NPNParduo arduo (non decisionale) Programmazione lineare interaProgrammazione lineare intera

Data una matrice A e due vettori b, c, calcolare un vettore di interi x che soddisfi Axb e minimizzi f(x)cx

Problemi di programmazione lineareProblemi di programmazione linearedefinire l’orario dei treni e degli autobusdefinire l’orario delle lezioni…

8989

Problemi NP-completi: esempiProblemi NP-completi: esempi


• Attualmente si pensa che NPP …ma nessuno è ancora riuscito a dimostrarlo

• Si pensa anche che la tesi di ChurchTuring sia vera: ovviamente questo non si può dimostrare ma è,

eventualmente, solo confutabile• Talvolta, problemi con complessità proibitiva sono

utili: Ad esempio, gli algoritmi crittografici sono basati sul

fatto che “decrittare” una chiave è molto complesso e richiederebbe un tempo troppo lungo

Se la tesi di ChurchTuring non fosse vera o se PNP, tali metodi non sarebbero più efficaci

9090

PPNP e tesi di ChurchNP e tesi di ChurchTuringTuring


9191

Ai limiti del calcolo:Ai limiti del calcolo:I problemi intrinsecamente I problemi intrinsecamente difficilidifficili


• Il problema del commesso viaggiatore problema del commesso viaggiatore è uno dei più celebri tra i problemi di «soddisfacimento di vincoli» non calcolabili

• Una sua versione piuttosto diffusa è la seguente: ÈÈ possibile stimare il percorso più breve possibile stimare il percorso più breve per un commesso viaggiatore che deve per un commesso viaggiatore che deve fare visita ai suoi clienti in tutte le città fare visita ai suoi clienti in tutte le città indicate sulla mappa? indicate sulla mappa?

• A prima vista, sembra facile, ma all’aumen-tare del numero delle città, il problema diventa esponenzialmente più difficile, mettendo nei guai anche i più potenti computer

9292

Il problema del commesso Il problema del commesso viaggiatoreviaggiatore


• Ma dove sta scritto che tutti i problemi si devono risolvere facilmente e che la loro soluzione deve essere calcolabile in modo efficiente?

• Eppure lascia perplessi il fatto che alcuni calcoli siano tanto più complessi di altri…

• L’esempio classico è quello della moltiplicazionemoltiplicazione e della scomposizione in fattoriscomposizione in fattori

Se vengono dati due numeri primi grandi moltiplicarli è semplice…

…ma cercare, una volta dato il prodotto, di ritrovare i due fattori sconosciuti è un problema molto difficile

…fino al punto che una delle tecniche crittografiche più diffuse (RSA) si basa sulla difficoltà di risoluzione di questo «problema inverso»

9393

I problemi difficili I problemi difficili 1 1


• E dunque, dove sono i problemi difficili? In matematica, in informatica, in fisica Il tema comune che lega strettamente queste tre

discipline è infatti la presenza di problemi con transizioni improvvise da un tipo di comportamento ad un altro

9494

I problemi difficili I problemi difficili 2 2


• Il filo matematico comincia negli anni ‘60 con lo studio dei grafi aleatori, iniziato da Paul Erdós e Alfred Rényi

• Un grafografo è una struttura matematica astratta: un insieme di verticivertici e archiarchi, disegnato in genere come uno schema di punti (i vertici) e linee che li uniscono (gli archi)

• Per disegnare un grafo aleatorio si inizia distribuendo n vertici sul foglio, sce-gliendo casualmente, per ogni coppia e con probabilità p, se tracciare o no un arco che connetta i due vertici

9595

In matematica… In matematica… 1 1

Costruzione di un grafo Costruzione di un grafo aleatorioaleatorio


• Quando p è vicino a 0, gli spigoli sono pochi e il grafo è composto di molti piccoli pezzi, o componenti connesse, separate le une dalle altre

• Al crescere di p, il grafo comincia a essere dominato da una singola componente connessa «gigante», che comprende la maggior parte dei vertici

• L’esistenza di questa componente gigante non è certo una sorpresa, ma il modo in cui essa si sviluppa non è ovvio: La componente non evolve gradualmente al crescere di p, bensì

emerge all’improvviso quando viene superata una certa soglia La soglia è definita in termini di un parametro che chiameremo

: il rapporto fra numero dei lati e numero dei vertici La componente gigante nasce quando è circa 1/2

9696

In matematica… In matematica… 2 2


• In campo informatico un simile fenomeno di soglia attirò molta attenzione nei primi anni ‘90

• In questo caso la soglia determina la probabilità che certi problemi computazionali abbiano soluzione

• Uno di questi problemi, che deriva dalla teoria dei grafi, è il problema della kcolorazione, che richiede di dipingere ogni vertice di un grafo con uno di k colori, con la regola che due vertici adiacenti non possano avere lo stesso colore

• Trovare una colorazione corretta diventa sempre più difficile al crescere di , perché più sono i lati più sono anche i vincoli imposti su ogni vertice 9797

In informatica… In informatica… 1 1

Problema di 3-colorazioneProblema di 3-colorazione


• Di nuovo, la soglia è netta: al di sotto di un certo valore del rapporto quasi tutti i grafi sono kcolorabili, mentre al di sopra di questa soglia non lo è quasi nessuno

• Inoltre, la soglia non solo influisce sull’esistenza di soluzioni, ma anche sulla difficoltà di trovarne: lo sforzo computazionale necessario per decidere se un grafo è kcolorabile ha un picco significativo vicino al valore critico di

• Il problema della colorazione dei grafi è strettamente correlato al problema della colorazione delle carte geografiche politiche, nelle quali regioni adiacenti devono avere colori distinti

Se i nodi del grafo rappresentano regioni, collegate da un arco se adiacenti… il gioco è fatto ed il grafo è un RAG, per «Region Adjacency Graph»

9898

In informatica… In informatica… 2 2


• Anche i fisici sanno qualcosa dei problemi di soglia: li chiamano transizioni di fasetransizioni di fase

• Ma i cambiamenti di stato osservati nei grafi aleatori sono veramente analoghi ad eventi fisici come il congelamento dell’acqua e la comparsa della magnetizzazione nel ferro? O la somiglianza è una semplice coincidenza?

• Per qualche tempo l’argomento è stato controverso, ma ora è chiaro che i fenomeni di soglia nei grafi e in altre strutture matematiche sono autentiche transizioni di fase e, quindi, gli strumenti e le tecniche della fisica statistica sono adattissimi a studiarli

Il problema della kcolorazione è in corrispondenza esatta con un modello di sistema magnetico nella fisica dello stato solido

9999

In fisica… In fisica…


• La 3 colorazione è un problema complesso, ma non impossibile

• La domanda «Questo grafo è 3-colorabile?» ha sempre risposta, almeno in linea di principio: visto che a ogni vertice può essere assegnato un colore qualunque e che ci sono n vertici, ci devono essere esattamente 3n modi di colorare il grafo

100100

Il problema della 3-colorazione Il problema della 3-colorazione 11


• Per decidere se uno specifico grafo è 3-colorabile, basta prendere in esame, una per una, tutte le possibilità Se si trova un’assegnazione di colori che soddisfa il

vincolo, cioè in cui nessun arco congiunge vertici dello stesso colore, allora la risposta alla domanda è sì

Se si esauriscono tutte le possibilità senza trovare una colorazione appropriata, si può essere certi che non esiste

• Questo algoritmo è semplice e sicuro, ma anche inutile, perché enumerare 3n colorazioni è al di là di ciò che si può fare in pratica per qualsiasi n maggiore di 15 o 20

101101



• Procedure più sofisticate possono garantire una ricerca esatta ed esaustiva pur riducendo il numero di operazioni a meno di 1,5n è un miglioramento significativo, ma si tratta sempre di una funzione esponenziale che innalza il limite a n50 Per grafi grandi, con migliaia di vertici, tutti i metodi

brute forcebrute force non offrono speranze• D’altro canto, se si potesse in qualche modo

“sbirciare” la soluzione di un problema di 3-colorazione su molti vertici, se ne potrebbe controllare la correttezza facendo assai meno fatica: tutto quello che si dovrebbe fare sarebbe verificare che i vertici alle estremità di ciascun lato abbiano colori diversi

102102



• Il numero di lati in un grafo non può essere maggiore di n2, che è una funzione polinomiale anziché esponenziale, e quindi cresce molto più lentamente

• I problemi con risposte che sono difficili da trovare ma facili da verificare sono (nondeterministic polynomialnondeterministic polynomial) NP NP e, a meno di un miracolo, non si avranno mai algoritmi in tempo polinomiale per risolverli

• Avendo appurato le credenziali della 3-colorazione come problema ufficialmente difficile, possiamo rivelare che la maggior parte dei problemi di 3-colorazione su grafi aleatori è in realtà piuttosto semplice

103103



• Dato un grafo tipico, si hanno buone probabilità di trovare rapidamente una 3-colorazione o di dimostrare che non esiste

• Questa curiosa situazione non è veramente paradossale: la classificazione della 3-colorazione come problema NP si basa sull’analisi del «caso peggiore»

• Esistono infatti molti algoritmi che hanno, nella maggior parte dei casi, un tempo di elaborazione rapido, a patto di accettare un occasionale fallimento

104104



• Una strategia diffusa per algoritmi che colorano grafi è il backtracking (letteralmente: «tornare sui propri passi») ed assomiglia al modo in cui la maggior parte delle persone affronterebbe il problema se dovesse cercare di colorare il grafo a mano: si inizia assegnando un colore arbitrario a un vertice

arbitrario poi si passa ai vertici vicini, assegnando loro colori che

non causino un conflitto proseguendo così si può arrivare a un vertice per cui

non c’è un colore lecito; a questo punto si torna sui propri passi annullando alcune scelte precedenti, e si riprova

105105



• Per mostrare che un grafo non può essere 3-colorato occorre un altro tipo di algoritmo

• L’approccio fondamentale consiste nel cercare un sottoin-sieme di vertici che, anche se fosse isolato dal resto del grafo, non potrebbe essere 3-colorato Per esempio, una criccacricca costituita da quattro vertici

ognuno dei quali sia collegato con tutti gli altri ha questa proprietà

Se si trova anche solo una di queste strutture, la questione è risolta per l’intero grafo

106106



• Algoritmi come questi sono molto diversi dai metodi di ricerca esaustiva

• La semplice enumerazione di tutte le 3n colorazioni può essere inammissibilmente lenta, ma almeno è prevedibile

• Ciò non è vero per il backtracking e per altri algoritmi inesatti o incompleti; le loro prestazioni variano notevolmente a seconda della natura del grafo

107107



• In particolare, questi algoritmi sono sensibili al valore di il rapporto tra il numero di lati e il numero di vertici che è di nuovo il parametro che controlla la transizione tra fasi colorabili e non colorabili• Molto al di sotto del valore critico di , dove gli spigoli sono radi,

c’è un numero tale di modi di colorare il grafo che qualsiasi strategia ragionevole ha buone probabilità di trovarne uno

• All’estremo opposto, molto al di sopra della soglia, i grafi sono densamente interconnessi, ed è facile trovare un sottografo che renda impossibile la 3-colorazione

• La regione problematica è situata tra questi estremi, vicino alla soglia; in questa zona intermedia possono esserci pochissime colorazioni o nessuna: distinguere tra queste due situazioni può rendere necessario controllare quasi ogni possibile assegnazione di colori

108108



• Il valore critico di è circa 2.35• In altre parole, se un grafo aleatorio con n vertici ha

meno di 2.35n archi, può essere quasi sicuramente 3-colorato; se ne ha di più, una 3-colorazione è improbabile

• Inoltre si sa che la transizione tra questi due regimi è netta: è una vera discontinuità, un salto improvviso anziché un passaggio graduale

• Per esprimere più formalmente questa idea si dice che l’ampiezza della regione di transizione tende a l’ampiezza della regione di transizione tende a zero quando zero quando nn tende all’infinito tende all’infinito

109109

Dove sono le soluzioni? Dove sono le soluzioni? 1 1


• La nettezza della transizione di fase può essere considerata una notizia incoraggiante Se gli algoritmi per decidere la colorabilità si impantanano

solo nella regione di transizione, e se essa è tanto ristretta da essere quasi trascurabile, allora la probabilità di incontrare un grafo difficile da classificare è proporzionalmente piccola

• Tuttavia, la nettezza della transizione è garantita solo per grafi infinitamente grandi; se n è finito, gli angoli della curva di transizione sono arrotondati

• Inoltre, sebbene la fase non colorabile non inizi fino ad 2.35, gli esperimenti hanno mostrato che gli algoritmi cominciano a rallentare un po’ prima, a valori di attorno a 2.2

110110



• Per capire la causa, giova visualizzare tutte le possibili 3-colorazioni di un grafo distese su una curva: l’altezza della curva in ogni punto rappresenta il numero di conflitti nella colorazione corrispondente

• Così le colorazioni perfette (quelle senza conflitti) si trovano tutte al livello del mare, mentre le colorazioni peggiori creano picchi o altipiani ad alta quota

• Naturalmente la topografia di questo paesaggio dipende dal particolare grafo che stiamo esaminando

111111



• Si consideri come evolve la superficie via via che cresce gradualmente Per piccoli valori di ci sono ampi bacini e vallate, che

rappresentano i molti modi di colorare perfettamente il grafo

Per grandi valori di il paesaggio è alpino, e anche il punto più basso è molto al di sopra del livello del mare, denotando una completa assenza di colorazioni perfette

Il valore di transizione ≈ 2.35 segna il momento in cui scompaiono le ultime aree estese che si trovano al livello del mare

112112



• Che cosa avviene nello «spazio delle soluzioni» per 2.2? Si è scoperto che questo è il momento in cui un’ampia distesa di

terreno a livello zero si frammenta in piccoli bacini isolati Al di sotto di 2.2, quasi tutte le colorazioni perfette formano

un’unica gigantesca regione connessa (fatta di tante soluzioni vicine)

Al di sopra di 2.2, ogni bacino rappresenta un insieme isolato di soluzioni

Le colorazioni che si trovano in bacini separati sono sostanzialmente diverse e per trasformarne una in un’altra si dovrebbe scalare una catena montuosa formata da colorazioni che presentano un alto numero di conflitti

È improbabile che gli algoritmi che funzionano conducendo una ricerca locale riescano a valicare queste catene montuose, e quindi rimangono confinati a lungo nel primo bacino in cui capitano

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• Al crescere di α sopra 2.2, il numero di colorazioni perfette all’interno di ogni bacino decresce fino a zero e quindi gli algoritmi possono non riuscire a trovare una soluzione anche se esistono ancora molte colorazioni valide in altre parti della superficie delle soluzioni

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Grafi identici con 100 nodi e 218 archi (poco al di sotto Grafi identici con 100 nodi e 218 archi (poco al di sotto della soglia di trattabilità). La disposizione circolare dei della soglia di trattabilità). La disposizione circolare dei vertici, a destra nella figura, rende più facile verificare vertici, a destra nella figura, rende più facile verificare che nessuno spigolo connette vertici dello stesso coloreche nessuno spigolo connette vertici dello stesso colore


• Alcuni problemi richiedono un tempo di calcolo semplicemente troppo lungo, nei casi peggiori addirittura esponenziale

• Ma forse risposte rapide e semplici a problemi computazionalmente complessi non sono qualcosa che abbiamo il diritto di aspettarci in questo mondo…

• …e forse non è un «baco», è una caratteristica voluta: impedisce che l’universo si esaurisca troppo rapidamente

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Quanti problemi difficili!Quanti problemi difficili!Che fare? Che fare?

Anno accademico 2010-2011 1 Algoritmi e complessità

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