Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi

Janna Nardi Floriana Paternoster

Sezione Mathesis Pesaro

Consegna 1

1 2 3 4

• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) .• Articolando il modello n.1 quale e quante figure interne si formano?

Perché?• Articolando i modelli n.2, n.3, n.4 quali e quante figure interne si

formano? Perché?• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le

mediane dalla figura esterna?

Consegna 2

1 2 3 4

• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) .• Considerate il modello n.3, articolandolo quali e quante figure

interne si formano e perché?• Considerate i modelli n.2 e n.4, articolandoli quali e quante figure

interne si formano e perché?• Ora sai giustificare perché articolando il modello n.1 la figura

interna è sempre un parallelogramma?• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le

mediane dalla figura esterna?

una interessante proprietàunendo consecutivamente i punti medi dei lati di un qualsiasi quadrilatero anche concavo, si ottiene sempre un parallelogramma.

Prendiamo in considerazione i triangoli ACD e PSD.Essi hanno un angolo in comune e i lati che lo comprendono in proporzione, infatti, poiché P ed S sono punti medi, DP/DA = DS/DC = 1/2 (Teorema di Talete), pertanto sono simili per il secondo criterio. Segue che PS//AC. Per lo stesso motivo anche QR//AC e dunque QR//PS. Da cui si deduce che i segmenti PQ e SR, essendo paralleli a DB, lo sono anche tra loro (proprietà transitiva). La dimostrazione vale anche per le coppie di triangoli DBC-SRC e ABD-AQP.

A

B

CD

Q

R

S

P

Il rapporto di similitudine fra le coppie di triangoli prese in esame è sempre 1/2, pertanto i lati del parallelogramma inscritto sono sempre la metà delle diagonali di quello circoscritto.

Il parallelismo tra lati del parallelogramma e diagonali del quadrilatero esterno fa si che se quest’ultimo ha le diagonali perpendicolari, le sue mediane sono congruenti perché il quadrilatero interno è un rettangolo.

Se il quadrilatero esterno ha le diagonali congruenti le sue mediane sono perpendicolari perché il quadrilatero interno è inevitabilmente un rombo.

Se si verificano entrambe le condizioni di cui sopra il parallelogramma interno è un quadrato.

Le mediane si bisecano in tutti i quadrilateri

Sono congruenti in quelli a diagonali perpendicolari

Sono perpendicolari in quelli a diagonali congruenti

Le Mediane nei quadrilateriLe Mediane nei quadrilateri

perpendicolari

congruenti

non perpendicolari

non congruenti perpendicolari

congruenti

non perpendicolari

non congruenti

MedianeMedianeDiagonaliDiagonali

"se le diagonali sono perpendicolari allora le mediane sono congruenti", "se le mediane sono congruenti allora le diagonali sono perpendicolari"che si possono riunire nella doppia implicazione:"le diagonali sono perpendicolari se e solo se le mediane sono congruenti".Analoghe considerazioni portano a formulare la seguente doppia implicazione"le diagonali sono congruenti se e solo se le mediane sono perpendicolari".

Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella deformazione, il poligono esterno conserva solo le diagonali come assi di simmetria, quindi quello interno solo le mediane.

La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna i lati ma non gli angoli.

Parallelogramma inscritto nel romboParallelogramma inscritto nel rombo

Quando il quadrilatero esterno è un quadrato, lo è anche quello interno. In tutte le altre posizioni il poligono esterno è un rombo, quello interno un rettangolo.

La figura interna è sempre un rettangolo poiché i suoi lati sono paralleli alle diagonali del rombo che sono sempre perpendicolari.

Definizione di quadrato e rombo con le medianeDefinizione di quadrato e rombo con le mediane

Le mediane: •Si bisecano• Sono congruenti• Non modificano la loro misura• Sono parallele ai lati • Nel quadrato sono perpendicolari• Nel quadrato sono assi di simmetria

Def. Rombo: ?

Def. Quadrato: ?

Def. Rombo: quadrilatero a mediane congruenti e che si bisecano

Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e che si bisecano.Sono definizioni corrette?

Def. Rombo: quadrilatero a mediane congruenti e a diagonali che si bisecano. quadrilatero a mediane congruenti e parallele ai lati. Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e a diagonali che si bisecano. quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e parallele ai lati.

Controesempi

Def. Rombo: parallelogramma a mediane congruenti.

Def. Quadrato: parallelogramma a mediane congruenti e perpendicolari.

Def. Quadrato: rombo a mediane perpendicolari.

Quando il quadrilatero esterno è un rettangolo, quello interno è un rombo. In tutte le altre posizioni sia il poligono esterno che quello interno sono parallelogrammi.

Parallelogramma inscritto nel parallelogrammaParallelogramma inscritto nel parallelogramma

Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella deformazione, il poligono interno perde le diagonali come assi di simmetria, quello esterno le mediane.

La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna lati ed angoli.

Le mediane:• Si bisecano• Non sono congruenti• Non modificano la loro misura• Sono parallele ai lati• Nel rettangolo sono perpendicolari• Nel rettangolo sono assi di simmetria

Def. Rettangolo: ?

Def. parallelogramma: ?

Definizione di rettangolo e parallelogramma con le medianeDefinizione di rettangolo e parallelogramma con le mediane

Def. Rettangolo: ? Quadrilatero a mediane perpendicolari che si bisecano

Def. parallelogramma: ? Quadrilatero a mediane che si bisecano

Sono definizioni corrette?

Def. Rettangolo: Quadrilatero a mediane perpendicolari e diagonali che si bisecano. Quadrilatero a mediane perpendicolari e parallele ai lati

Def. parallelogramma: Quadrilatero a mediane parallele ai lati

Controesempio

Def. Rettangolo: parallelogramma a mediane perpendicolari.

Modelli per medianeModelli per mediane

Diagonali congruenti e non perpendicolari con inscritto il rombo

Diagonali non congruenti e perpendicolari con inscritto il rettangolo

Al modello a diagonali scanalate si può sovrapporre il parallelogramma inscritto realizzato in cartoncino, con i lati uguali alla metà delle diagonali e gli angoli della stessa misura di quelli formati dall’intersezione delle diagonali stesse. Modificando il punto di intersezione delle diagonali, conservandone la reciproca posizione, si può controllare, sovrapponendo al modello il parallelogramma in cartoncino, che quest’ultimo è sempre quello inscritto nel quadrilatero di partenza.

Mentre il quadrilatero esterno subisce deformazioni di tipo proiettivo, quello interno trasla.

Articolando le diagonali quali trasformazioni subisce il parallelogramma inscritto?Cosa hanno in comune i parallelogrammi che si ottengono?

In un modello con diagonali non scanalate e fissate in un punto è possibile collegare con fermacampioni i lati del parallelogramma inscritto nel punto medio di ciascuno dei quattro bracci delle diagonali.

C:\Program Files (x86)\Cabri II Plus\Cabri II Plus.exe