COPERTINA

Titolo: Anche in statistica ci sono gli alberi

Tematica affrontata: Dati e previsioni

Ordine di scuola: secondaria di primo ciclo I anno

Obiettivi:

Saper raccogliere dati e organizzarli in tabelle di frequenze.

Saper rappresentare graficamente i dati ed analizzare gli indici adeguati alle caratteristiche rilevate: moda; mediana; media aritmetica e campo di variazione.

Realizzare previsioni di probabilit in contesti semplici.

Tempo medio per svolgere l'attivit in classe: 6-8 ore

INTRODUZIONE

Lattivit si inserisce in ambito statistico multidisciplinare ed extra - scolastico.

Lattivit mira a sviluppare negli studenti la capacit di saper costruire una semplice ma efficace rappresentazione grafica, identificandone le caratteristiche informative e

la potenza rappresentativa.

Inizialmente, si affrontano situazioni didattiche centrate su curiosit ed interessi

relativi al vissuto degli alunni, poi, mediante situazioni problematiche pi generali, si guidano gli studenti a scoprire come lo strumento acquisito possa aiutare nella ricerca di informazioni utili a risolvere problemi della vita quotidiana e facilitare i

confronti tra distribuzioni statistiche diverse.

Lattivit approfondisce e consolida conoscenze legate alla statistica di base quali collettivo statistico, carattere, modalit, frequenza assoluta e relativa; mediana, moda, media aritmetica; conoscenze matematiche relative alla scrittura polinomiale dei numeri e conoscenze legate alla logica, in particolare riguardo al concetto chiave di

classificazione, fondamentale in molti ambiti disciplinari, specie quello delle scienze naturali. Sviluppa, inoltre, le capacit di analizzare e confrontare dati provenienti dal

quotidiano e consente altres di comprendere come la parte di calcolo in relazione ai dati la parte meno rilevante, mentre fondamentale la capacit di classificare, comparare tabelle, dare ordini di grandezza, arrotondare, stimare.

Lattivit introduce anche spunti di riflessione relativi alla costruzione (che avverr in anni successivi) del concetto di continuo e alle inevitabili approssimazioni necessarie

per la determinazione di una misura fisica. Lapproccio che si propone legato allEDA (Exploratory Data Analysis), approccio proposto da Tukey e altri (vedi bibliografia), ed un modo di affrontare lanalisi dei dati tramite una variet di tecniche (per lo pi grafiche) di cui quella iniziale la tecnica della rappresentazione ramo-foglia. Tale approccio finalizzato ad una

approfondita analisi dei dati di cui i primi passi vengono indicati di seguito.

1. Massimizzare la percezione e la comprensione di un insieme di dati. 2. Scoprirne la struttura soggiacente.

3. Estrarne le variabili principali. 4. Scoprirne le eventuali anomalie. 5.

DESCRIZIONE DELLATTIVIT

Si propongono agli studenti curiosit e problematiche legate al quotidiano e alla vita

reale, per le quali pu essere utile individuare una rappresentazione finalizzata alla identificazione di informazioni sulla distribuzione. Tali informazioni permetteranno di conoscere gli aspetti di un fenomeno, di effettuare una scelta, di prendere una

decisione. Lattivit sar svolta dagli studenti con la guida dellinsegnante ed in collaborazione con i compagni.

PRIMA SITUAZIONE PROBLEMATICA: Le nostre stature

Linsegnante propone agli allievi di analizzare la situazione attuale relativa alle loro stature per poi rappresentarle graficamente ed, eventualmente, poterle confrontare con dati riferiti a collettivi differenti.

Prima fase: Rilevazione delle misure

Linsegnante pone alcune domande che riguardano tutta la classe del tipo:

1. Qual la statura dellalunna/o pi alta/o?

2. Qual la statura dellalunna/o meno alta/o?

3. Quanti alunni hanno una statura compresa tra 141 e 150 centimetri?

4. Ci sono alunni pi alti di 180 centimetri?

5. Sono pi alte le femmine o i maschi?

6. .

Ad alcune di queste domande forse si potr rispondere (come nel caso in cui gli alunni

conoscano con sufficiente precisione la propria statura e sappiano anche chi il pi alto o il meno alto), ma, chiaramente, queste sono informazioni parziali e non

controllate e, comunque, non possibile dare risposte sicure a tutte le domande poste dallinsegnante.

Si propone quindi agli alunni di raccogliere le informazioni relative alla statura di

ognuno di loro.

Per attuare tale rilevazione, si potranno utilizzare i dati rilevati dal servizio medico-

scolastico, se il servizio esiste, e ha rilevato e messo a disposizione tali dati, oppure quelli rilevati dal docente di Scienze Motorie allinizio dellanno scolastico; in mancanza di queste informazioni, gli alunni devono procedere alla misurazione della statura di ognuno dei componenti della classe. Tutte le misure verranno prese con il medesimo strumento, gli studenti dovranno assumere tutti la medesima posizione e al momento

della misurazione si dovranno togliere le scarpe.

Linsegnante pu decidere, in base alla classe e alle scelte gi effettuate, di:

1. rilevare in modo organizzato i dati, considerando anche il carattere genere che potr essere utilizzato nelle fasi successive dellattivit. Si consiglia questa scelta nel caso in cui gli studenti abbiano gi compilato qualche matrice di dati,

oppure quando si scelga questa attivit per introdurla.

(Link a: Censimento a scuola - Guida per i docenti delle medie, pagg. 11 - 13

http://petra1.istat.it/censb/index.htm)

2. Rilevare le stature in modo volutamente pi disorganizzato e senza la modalit genere, focalizzando lattenzione pi sulla costruzione ramo-foglia che su quella della matrice.

Una volta deciso il modo di procedere, linsegnante presenta una delle due alternative illustrate nei successivi punti 1 e 2.

1. La rilevazione delle stature avverr per ordine alfabetico secondo il registro di

classe e i dati ottenuti potranno essere rappresentati nel quaderno cos (Per semplicit si ipotizza che la classe sia la IA):

Tabella 1

Statura espressa in centimetri secondo il genere

degli alunni della classe Ia A rilevata il .. Numero

dordine alunna/o

Genere

Statura in cm Femmina Maschio

1 F 143

2 M 147

3 M 156

4 F 144

5 F 133

6 F 150

7 M 139

8 F 144

9 M 144

10 F 141

11 F 136

12 M 152

13 F 157

14 M 163

15 F 151

16 F 159

17 F 153

18 M 148

19 F 137

20 M 159

21 F 160

22 M 149

23 M 168

24 M 140

25 M 161

26 F 145

27 F 146

28 M 132

29 F 134

2. I ragazzi registrano alla lavagna o su un cartellone e poi sul proprio quaderno le stature rilevate secondo lordine alfabetico:

Tabella 2

Statura espressa in centimetri degli alunni della classe Ia A rilevata il ..

143 147 156 144 133 150 139 144 144 141

136 152 157 163 151 159 153 148 137 159

160 149 168 140 161 145 146 132 134

Seconda fase: Il cartellone con il diagramma ramo-foglia

Qualunque sia la scelta operativa effettuata, linsegnante consegna ad ogni alunno un foglio A4 che viene piegato a met lungo il lato pi lungo e poi riaperto. Gli alunni hanno cos un foglio unico suddiviso in due parti.

Linsegnante invita ogni alunno a scrivere sul foglio la misura della propria statura avendo cura di porre nella prima parte del foglio le decine e nella seconda lunit.

Ad esempio, per una statura di 143 cm:

decine unit

14

3

E per una di 156 cm

decine unit

15

6

E cos via

Nota per linsegnante

Questa pu essere una buona occasione per riprendere in classe il significato del valore posizionale delle cifre e la capacit di leggere un numero in unit, decine,

centinaia semplici; unit, decine, centinaia di migliaia, etc..

Linsegnante predispone un cartellone, invita ogni alunno a tagliare lungo la piegatura il proprio foglio, ad apporre la parte in cui sono rappresentate le decine a sinistra della riga, sovrapponendola sulle decine corrispondenti, e a posizionare la met con le unit

a destra della linea separatrice, sulla stessa riga dove si sono poste le decine, giustapponendo le parti luna di seguito allaltra.

Linsegnante propone di chiamare ramo la colonna intitolata alle decine specificando che prima si deve leggere il ramo al quale poi si aggiunge la foglia per avere

linformazione completa relativa alla statura di ogni singolo alunno. Inoltre, nella posizione del ramo la met dei fogli degli studenti che riportano le stesse decine vengono sovrapposti ingrossandosi proprio come un ramo (che pi spesso di una

foglia).

Le prime due stature verranno cos rappresentate e il cartellone comincer ad avere il

seguente aspetto:

Ramo

decine dei centimetri

Foglia

unit dei centimetri

13

14 3

15 6

16

Quando ogni alunno avr posto le due parti del foglio relative alla propria statura,

inserendo a sinistra del cartellone le decine corrispondenti alla sua altezza e, a destra, quelle delle le unit, si dovrebbe ottenere un cartellone simile al seguente:

Ramo Foglia

13 3 9 6 7 2 4

14 3 6 4 4 4 1 8 9 0 5 7

15 6 0 2 7 1 9 3 9

16 3 0 8 1

Il numero delle foglie dovr corrispondere al numero delle stature rilevate (numero

degli alunni della classe). Ogni ramo si presenta pi grosso delle foglie e dovr avere sovrapposti tanti mezzi fogli quanti sono quelli presenti sul proprio ramo (il ramo 13

dovr avere 6 fogli sovrapposti, il 14 ne dovr avere 11, ecc); si potr cos anche controllare la correttezza del lavoro eseguito (il numero di parti che corrisponde ad ogni ramo deve essere uguale al numero delle foglie che si trovano in

corrispondenza).

Linsegnante chiede agli alunni di fare delle osservazioni sulla rappresentazione ottenuta e domanda se, osservando il cartellone, sia ora possibile rispondere in modo corretto alle domande poste inizialmente.

Le risposte saranno sicuramente positive, ma qualche alunno potr osservare che

conoscere la statura pi alta non ancora immediato perch si devono leggere tutte le foglie dellultimo ramo in basso per identificarla.

Si pu allora proporre di ricopiare il tabellone sul quaderno e successivamente di ordinare le foglie in ordine crescente in modo da non avere ambiguit di lettura.

Figura a1

Ramo Foglia

13 2 3 4 6 7 9

14 0 1 3 4 4 4 5 6 7 8 9

15 0 1 2 3 6 7 9 9

16 0 1 3 8

Si suggerisce di far scrivere agli studenti sul quaderno che, ad esempio,

si legge 132 centimetri.

Terza fase: Lettura dei dati e loro analisi

Si invita ciascun alunno a leggere la propria altezza in modo da prendere confidenza con questa rappresentazione.

Si chiede, poi:

1. Quanti sono i rami?

2. A cosa corrisponde ogni ramo?

3. Cosa si deve fare per leggere un dato? se si vuole ritrovare la propria statura, come si deve procedere per individuarla?

4. C una statura pi frequente (che si presenta il maggior numero di volte)? In caso affermativo, qual ?

5. Qual la decina con pi foglie? Cosa significa?

6. Qual quella con meno foglie? Cosa significa?

7. Tra quali valori variano le stature della nostra classe?

8. Tra quali decine variano le nostre stature?

9. Quanti alunni sono alti meno di 140 centimetri?

10.Quanti alunni sono pi alti di 160 centimetri?

11.Quanti alunni hanno statura pari a 160 centimetri?

12.Quanti alunni sono alti da 140 a 159 centimetri?

13.Ci sono alunni pi alti di 180 centimetri?

Gli alunni potranno rispondere in gruppo a queste domande e potranno cos sperimentare il livello informativo della rappresentazione ottenuta, cio le informazioni che possono dedurre dalla rappresentazione

Per rispondere alla domanda 4, gli studenti, dopo aver osservato il grafico, in base ai dati dellesempio riportato, dovranno concludere che esiste una statura pi frequente, 144 centimetri, e linsegnante potr far osservare loro che tale statura la moda della distribuzione dei dati poich la modalit della statura pi frequente. Si pu

anche fare osservare agli alunni che le stature sono molto diverse le une dalle altre: considerare come rappresentativa di tutte le stature laltezza di 144 centimetri fornisce poche informazioni a chi non conosce tutta la distribuzione. La risposta alla

domanda successiva (numero 5) aiuta a trovare la classe modale: cio consente di affermare che , essendo la decina con pi foglie la 14, le stature pi frequenti si

trovano tra i 140 e i 149 centimetri estremi compresi.

La risposta alla domanda 7 permette di introdurre o consolidare la nozione di intervallo (o campo) di variazione; quella alla numero 8 fornisce linformazione sintetizzata alle decine.

13 2

Si pu poi suggerire agli studenti di elaborare altri valori sintetici rappresentativi dellinsieme dei dati in oggetto, come la mediana, ossia la modalit che occupa la posizione centrale nella distribuzione ordinata. Avendo ordinato in modo non decrescente tutti dati e sapendo che in tutto sono 29, si pu chiedere agli alunni di trovare la statura che occupa la posizione centrale.

I ragazzi sono abituati a mettersi in fila anche in ordine di statura (soprattutto in palestra) e sanno che il quindicesimo alunno al centro in quanto ha 14 alunni alla

sua destra e 14 alla sua sinistra, ovvero davanti e dietro. Contando le foglie, si trova la quindicesima statura identificata in rosso in Figura a2: si individua, quindi, la mediana corrispondente alla foglia 7 del ramo 14, cio alla statura di 147 centimetri.

Ci vuol anche dire che in questa classe 14 alunni sono pi bassi di 147 centimetri e 14 sono pi alti.

Figura a2

Ramo Foglia

13 2 3 4 6 7 9

14 0 1 3 4 4 4 5 6 7 8 9

15 0 1 2 3 6 7 9 9

16 0 1 3 8

Linsegnante invita gli alunni a riconsiderare la scelta dei rami. Dalla discussione pu emergere che il raggruppamento in decine non il pi adatto per dare informazioni accurate e che si possono costruire rami di grandezza inferiore, ad esempio,

possibile raggruppare i dati in cinquine; si deve concordare sul fatto che la prima cinquina contiene foglie con unit da 0 a 4; la seconda da 5 a 9 e che ogni secondo

ramo in cui si suddiviso il ramo iniziale viene indicato convenzionalmente con un asterisco.

La rappresentazione diventa cos:

Figura a3

Ramo Foglia

13 2 3 4

13* 6 7 9

14 0 1 3 4 4 4

14* 5 6 7 8 9

15 0 1 2 3

15* 6 7 9 9

16 0 1 3

16* 8

Rispetto alla Figura a3, linsegnante pone le seguenti domande:

1 Qual il ramo modale? Si tratta del ramo 14, sul quale si trovano ora le stature da 140 a 144 centimetri.

2 Il campo (o intervallo) di variazione uguale o diverso da quello individuato in precedenza?

Ovviamente gli alunni osservano che lintervallo di variazione non muta.

3. La mediana cambia? Anche qui gli alunni notano che resta la medesima perch la posizione centrale resta la stessa anche se la foglia appartiene ad un ramo diverso da

quello della rappresentazione per decine.

Questa attivit consolida negli alunni la capacit di osservare un insieme di dati, di

analizzarne le caratteristiche e di scoprire analogie e differenze tra rappresentazioni con intervalli di diversa ampiezza.

Quarta fase: Confronto dei dati.

Linsegnante pone la seguente domanda:

Gli alunni della nostra classe (I A) sono pi alti di quelli della I B?

Per poter rispondere a questa domanda, occorre disporre dei dati relativi agli alunni della classe I B. Si supponga, ad esempio, di aver rilevato i dati di Tabella 3.

Tabella 3

Statura espressa in centimetri secondo il genere degli alunni della classe Ia B rilevata il ..

Numero dordine alunna/o

Genere Statura in cm

Femmina Maschio

1 M 148

2 M 169

3 F 144

4 M 153

5 F 131

6 F 150

7 M 149

8 M 149

9 F 148

10 M 151

11 F 148

12 M 159

13 F 158

14 M 165

15 F 152

16 F 159

17 F 153

18 M 158

19 F 146

20 M 159

21 M 160

22 M 152

23 M 162

24 F 140

25 M 169

26 F 145

27 F 147

Gli alunni sono invitati a rappresentare direttamente i dati sul quaderno con un grafico ramo-foglia, scegliendo come ramo le decine di centimetri. Si ottiene cos la

rappresentazione seguente:

Figura b1

Ramo Foglia

13 1

14 8 4 9 9 8 8 6 7 0 5

15 3 0 1 9 8 2 9 3 8 9 2

16 9 5 0 2 9

Prima di passare al confronto tra due grafici di Figura a1 e di Figura b1, si possono ordinare le foglie dei grafici e rispondere a domande uguali o simili a quelle poste per

la prima rilevazione. In tal modo si consolida anche la modalit di ricavare informazioni dal grafico stesso.

Figura b2

Ramo Foglia

13 1

14 0 4 5 6 7 8 8 8 9 9

15 0 1 2 2 3 3 8 8 9 9 9

16 0 2 5 9 9

La ricerca della statura pi frequente porta allindividuazione di due mode: 148 centimetri e 159 centimetri, ambedue con frequenza 3. Si individuano, poi, la classe

modale, che in questo insieme di dati il ramo 15 e include le altezze comprese tra 150 e 159 centimetri; il campo (o intervallo) di variazione, che in questa distribuzione 38 centimetri (ricavato dalla differenza fra il valore massimo, 169 cm,

e il valore minimo, 131 cm); la mediana, che in questo caso, essendo 27 gli elementi del collettivo, corrisponde alla 14esima posizione, ossia alla foglia 2 del ramo 15: 152

centimetri.

Le informazioni ricavate dal grafico della figura 2b, consentono gi di fare confronti con la rilevazione precedente, ma, per facilitare anche visivamente questa

comparazione, linsegnante propone agli alunni di affiancare i due grafici lasciando al centro i rami; in tal modo, analogie e differenze delle due distribuzioni sono

immediatamente percepibili:

Figura c

In questo esempio, si nota subito che i rami sono gli stessi per le due classi. In altre distribuzioni i rami potrebbero non coincidere: se in una sola delle due classi

presente un alunno pi alto di 169 cm o pi basso di 130 cm, nella parte comune comparir la decina 17 o la 12 cui sar collegata per una sola foglia o sul ramo

destro o sul ramo sinistro.

Limmagine visiva ci informa immediatamente che la I B ha allievi complessivamente pi alti. Se poi si confronta questa immagine con i valori mediani e con le classi modali

delle rispettive distribuzioni (gi trovate), tale informazione risulta confermata.

Se linsegnate vuole approfittare per ricordare anche la media aritmetica (dopo aver verificato che sia gi stata trattata nella scuola primaria) pu chiedere agli alunni di calcolarla rispetto a ciascuna delle due distribuzioni e di confrontarle.

Linsegnante, per approfondire la conoscenza delle distribuzioni delle due classi, tenendo presente che era stato rilevato anche il genere, propone di costruire, per ogni

rilevazione, un grafico ramo-foglia; in particolare, nel caso della I A, si devono

Foglie della I B Ramo Foglie della I A

1 13 2 3 4 6 7 9

9 9 8 8 8 7 6 5 4 0 14 0 1 3 4 4 4 5 7 7 8 9

9 9 9 8 8 3 3 2 2 1 0 15 0 1 2 3 6 7 9 9

9 9 5 2 0 16 0 1 3 8

rappresentare i dati della tabella 1 e, quindi, nel grafico si riportano a destra i valori delle 16 femmine e a sinistra quello dei 13 maschi:

Figura d1

Rispetto alla propria classe, le due distribuzioni per genere appaiono diverse anche se,

essendo la numerosit differente, ovvio che il numero delle foglie dei maschi inferiore al numero delle foglie delle femmine.

Linsegnante chiede agli studenti di confrontare i due grafici e di verbalizzare le loro considerazioni. Dalla discussione in intergruppo, dovrebbe emergere che la decina minore (13) ha pi foglie (4) tra le femmine; il contrario accade per la decina

maggiore (16) che per i maschi ne ha 3 ed una sola per le femmine.

Per analizzare al meglio le due rappresentazioni , come sempre, opportuno ordinare le foglie.

Fig d2

Foglie dei maschi della I A Ramo Foglie delle femmine della I A

2 9 13 3 6 7 4

0 9 8 4 7 14 3 4 4 1 5 7

9 2 6 15 0 7 1 9 3

8 1 3 16 0

Foglie dei maschi della I A Ramo Foglie delle femmine della I A

9 2 13 3 4 6 7

9 8 7 4 0 14 1 3 4 4 5 7

9 6 2 15 0 1 3 7 9

8 3 1 16 0

Si pu procedere al confronto fra i generi.

Si trova il campo (o intervallo) di variazione: per le femmine 27 centimetri, per i

maschi 36 centimetri; inoltre, si pu notare che la variabilit tra le stature dei maschi maggiore di quella delle femmine.

Gli alunni dovrebbero osservare che non esiste la moda nella distribuzione dei maschi

(ogni valore presente al pi una volta), mentre per le femmine sempre 144 centimetri.

Le classi modali sono le stesse per i maschi e per le femmine e corrispondono in entrambi i casi alla classe 140 - 149 centimetri.

La mediana dei maschi corrisponde al settimo valore [essendo 13 il numero dei

maschi, il posto della mediana si ricava dal calcolo (13+1):2=7] e corrisponde alla foglia 9 del ramo 14, cio a 149 centimetri. Per le femmine, che sono 16, i valori

mediani sono due: quelli corrispondenti allottava e alla nona posizione. La mediana quindi compresa tra 144 e 145 centimetri, sicch, per convenzione, la si pone uguale

al centro fra i due, ossia 144,5 centimetri.

Anche questo indice conferma che, nel collettivo considerato, mediamente, i maschi sono pi alti delle femmine. Linsegnante chiede agli alunni qual la percentuale di maschi con statura maggiore di 144,5 e di fare il confronto con la corrispondente percentuale delle femmine.

Quinta fase: Dallalbero allistogramma: confronto tra rappresentazioni

Linsegnante riprende il tabellone iniziale che, nelle fasi precedenti, rimane sempre appeso ad una parete dellaula, e lo ruota di 90 gradi.

Nota per linsegnante Se linsegnante ritiene che nella sua classe lattenzione su una stessa rilevazione stia scemando, fa costruire un grafico ramo-foglia su dati ricavati da una qualsiasi altra rilevazione e procede poi come indicato nellesempio.

Il cartellone cos ruotato appare agli alunni simile al gi noto grafico a colonne

Linsegnante, poi, propone di riportare sul quaderno la rappresentazione ruotata, invitando gli alunni a non lasciare quadretti tra le decine indicate e a scrivere i numeri secondo la lettura orizzontale.

I ragazzi avranno cos sul loro quaderno la rappresentazione seguente:

foglie

9

8

7

7 9

5 9

9 4 7

7 4 6

6 4 3 8

4 3 2 3

3 1 1 1

2 0 0 0

ramo 13 14 15 16

A questo punto, linsegnante fa rappresentare il grafico precedente, suggerendo di eliminare i valori inseriti in ogni foglia. Si ottiene cos il seguente grafico a colonne accostate:

Stature

130

-

139

140

-

149

150

-

159

160

-

169

Linsegnante fa notare che, a differenza dei grafici a colonne usati per rappresentare caratteri qualitativi, qui le modalit del carattere sono numeriche e sono rappresentate mediante un intervallo di valori; precisa che si tratta di un istogramma con classi di ampiezza costante e che, leggendo il grafico, si trova il numero di alunni

che hanno statura compresa in un certo intervallo, ma non si conosce pi quali sono le stature di ciascuno degli studenti che appartengono a quellintervallo.

[Per Indire link a . Dai dati ai grafici e.ritorno] Linsegnante riprende le 13 domande poste allinizio della terza fase e chiede agli alunni se osservando questa rappresentazione sarebbe stato possibile rispondere ad esse. Dovrebbe emergere che non pi possibile rispondere alle domande 3, 4, 7, 11.

[Per Indire link a . SchedaDifficoltAlberiStatistica]

SECONDA SITUAZIONE PROBLEMATICA: I nostri giorni di nascita

Per passare da unattivit che rappresenta una realt, come la precedente, ad una attivit che inizi la razionalizzazione di un percorso previsionale razionale, si pu

proporre la costruzione del grafico ramo-foglia relativo al proprio giorno di nascita.

Difatti, in questa situazione, il diagramma ramo-foglia si rivela un utile strumento per aiutare gli alunni a compiere un percorso che li porta a prevedere con razionalit i

possibili esiti di un evento.

Linsegnante propone agli allievi di analizzare la distribuzione nella classe dei diversi giorni di nascita, ponendo la domanda stimolo: E possibile che in classe ci siano pi studenti che compiono gli anni nello stesso giorno, anche se in mesi diversi?

Alla risposta affermativa degli alunni, linsegnante propone loro di rilevare il giorno di nascita di ciascuno e di raccogliere i dati in un diagramma ramo-foglia.

Prima fase: Un albero un po particolare

Prima di rilevare i dati, linsegnante discute con gli allievi relativamente a quali rami prendere in considerazione. Anche qui la proposta decina risulter la pi opportuna. Linsegnante domanda: Quali sono le decine possibili relative al giorno di nascita? Per favorire la risposta, chiede a qualche alunno il suo giorno di nascita e lo invita ad

individuare il ramo corrispondente. Se, ad esempio, tre studenti sono nati nei giorni 12, 4, 27 si preciser che:

1|2 ha ramo 1;

|4 ha ramo 0 non avendo alcuna decina e quindi si pu scrivere 0|4 come si fa spesso nella scrittura delle date;

(qualche alunno potrebbe scrivere 4 a sinistra della barra ma tramite discussione di classe si noter come questo sia un ramo impossibile);

2|7 ha ramo 2.

Gli alunni possono ora rispondere alla domanda posta inizialmente relativa al numero di rami che pu avere lalbero del giorno di nascita: si conviene che i rami possibili con il nostro calendario sono al massimo quattro: 0;1;2;3 che corrispondono, rispettivamente, alla prima decade del mese, alla seconda, alla terza e alla quarta. Si

chiede ora agli alunni di fare unipotesi sulla numerosit delle foglie che prevedibilmente si troveranno su ogni singolo ramo. Anche qui, dopo una breve discussione di classe, gli alunni giungono allipotesi che la quarta decina sar quasi

sicuramente il ramo pi spoglio in quanto si possono trovare solo i giorni 30 (e solo in 11 mesi!) e il 31 (solo in 7 mesi) e quindi possibile che si presentino solo foglie 0 e

1.

Generalmente, difficile invece che, prima di rilevare i dati o di esaminare analiticamente il calendario, emerga che le decadi precedenti (0, 1, 2) non hanno lo

stesso numero di giorni tendendo a prevedere una diversa numerosit nella distribuzione delle foglie nei vari rami.

Per non appesantire lattivit con la produzione di una nuova matrice dei dati, linsegnante pu riproporre agli alunni di scrivere nel consueto foglio A4 il proprio giorno di nascita con la decina a sinistra e lunit a destra e apporlo come gi fatto per la statura su un nuovo cartellone che, questa volta, verr predisposto dagli alunni stessi. In alternativa, si pu far raccogliere i dati alla lavagna arrivando ad una tabella

come nel seguente esempio:

Tabella 4

Giorno di nascita degli alunni della classe Ia A rilevata il ..

11 29 08 01 14 15 22 06 27 19

20 12 15 16 07 22 28 14 30 03

26 07 23 28 19 09 11 27 25

Gli alunni costruiscono dapprima il grafico ramo-foglia con le foglie ancora disordinate

per poi ordinarle e pervenire alla seguente rappresentazione:

Ramo Foglia

0 1 3 6 7 7 8 9

1 1 1 2 4 4 5 5 5 6 7 9 9

2 0 2 2 3 6 7 8 8 9

3 0

Gli alunni, suddivisi in piccoli gruppi, raccolgono le osservazioni sul grafico ottenuto

cercando di rispondere alle domande inizialmente poste e anche di verificare le ipotesi formulate.

Seconda fase: Perch particolare il nostro albero?

Le osservazioni relative alla particolarit dellalbero sono:

Di sicuro, non ha mai pi di 4 rami costituiti dalle decine.

Lultimo ramo sempre il pi povero.

E gli altri rami?

Link a matematica 2001 IV elementare

Per rispondere a questultima domanda, linsegnante propone di contare su un calendario (365 giorni) i giorni di nascita possibili nelle varie decadi del mese.

Per la prima decina (prima decade del mese), gli alunni osservano che non esiste il giorno 0 del mese e che quindi i giorni possibili sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cio in tutto 9; inoltre, questi giorni sono presenti in tutti i 12 mesi dellanno; quindi, il totale dei giorni possibili per la prima decade 12 9 108 giorni per anno.

Si passa poi al conteggio della seconda decade; i giorni sono:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, in tutto 10 e sono presenti in tutti i mesi quindi

il totale dei giorni possibili nella seconda decade 12 10 120 giorni per anno.

Per contare i giorni dellanno della terza decade, si deve porre maggiore attenzione:

i giorni 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 sono presenti in tutti i mesi e in tutti gli

anni, quindi, sono 9 x 12 108 giorni.

Il giorno 29 presente in undici mesi (escluso febbraio , nel caso in cui lanno non bisestile).

Quindi, 1 11 = 11 giorni

Quindi, il totale dei giorni possibili nella terza decade 108 + 11 = 119 giorni per anno.

Si passa poi alla quarta decade: costituita solo dal 30 e dal 31:

il 30 si presenta 11 volte ed il 31 solo 7, in tutto 18 giorni possibili nella quarta decade per anno.

Gli alunni potranno adesso confrontare numericamente le possibilit di essere nati in una decade od in unaltra e sar abbastanza immediato osservare, come gi si era ipotizzato, che molto meno frequente una data di nascita nellultima decade, ossia nei giorni 30 o addirittura 31, ma sar molto interessante, perch inaspettata dai pi, la scoperta che anche il ramo della prima decade ha qualche fogliolina in meno di

quello della decade successiva che quella con pi fronde. La seconda e la terza decade invece hanno quasi la stessa numerosit, cio lo stesso numero di foglie.

Sicch, la possibilit che un alunno sia nato in una certa decade non uguale in tutte le decadi, ma cambia da decade a decade. Se si chiede ad un alunno qualsiasi in quale decade nato, pi verosimile che risponda nella seconda decade o nella quarta?

Ancora, pi verosimile che la sua risposta sia nella seconda o nella terza decade? E cos via.

Linsegnante osserva che nella classe gli alunni sono 29 e chiede loro se, nellinsieme dei 29 alunni, i giorni di nascita si dispongono fra le decadi come nel calendario. Gli alunni, suddivisi in piccoli gruppi, discutono e scrivono la loro risposta che ,

successivamente, in intergruppo verr socializzata e vagliata. Nella gestione del

commento finale, linsegnante dovrebbe far emergere che nella classe vi una buona rispondenza fra la frequenza rilevata in ogni decade e quella osservata nel calendario.

Se la classe lo consente, si potr anche fare osservare che la rilevazione della classe una realizzazione, un campione, di quello che ci si poteva aspettare rispetto al modello teorico rappresentato dal calendario.

Nota per linsegnante: il numero teorico di nati in ciascuna decade (valore atteso), tenuto conto che gli alunni sono 29 : per la prima decade 8,58; per la seconda

decade 9,54; per la terza decade 9,45; per la quarta decade 1,43.

Per verificare ulteriormente lipotesi che le decadi di nascita di un gruppo di persone abbia la stessa distribuzione delle decadi del calendario, si potr rilevare il giorno di

nascita di ciascuno dei componenti del nucleo familiare di ogni alunno (anche non conviventi come i nonni o zii): ogni alunno registra i giorni di nascita dei familiari di

cui conosce il compleanno e cos la rilevazione diventa molto pi numerosa, permettendo di confermare le ipotesi formulate, permettendo, cio, di verificare se i

dati raccolti convalidano lipotesi formulata. In tal caso, dovrebbe essere possibile fare osservare che pi grande il gruppo di persone di cui si conosce il giorno del mese di nascita, pi la distribuzione si avvicina a quella ipotizzata e cio conferma che i giorni

di nascita della popolazione si distribuiscono fra le decadi come i giorni del calendario

[Per Indire link a . SchedaDifficoltAlberiStatistica]

Elementi di prove di verifica

[Per Indire link a . SchedaDifficoltAlberiStatistica]

1. Il seguente grafico ramo foglia rappresenta il numero dei libri dati in prestito dalla biblioteca scolastica in ciascuno degli ultimi 12 mesi:

Ramo

decine di libri

Foglia

Unit di libri

1 3 5 8

2 2 6 8

3 6 9

4 1 3 4 7

1) Quanti sono in tutto i libri dati in prestito dalla biblioteca?

2) Quanti in ogni mese?

3) Questo grafico ti pu fornire linformazione di quale il mese dellanno in cui sono

stati dati in prestito pi libri?

4) Qual il numero medio di libri dato in prestito ogni mese?

5) Qual stato il numero minimo di libri dati in prestito? E il numero massimo? 2. La bisnonna Alberta festeggia i suoi 95 anni e alla sua festa partecipano i 5 figli/ie,

con i rispettivi coniugi, i 9 nipoti (di cui 4 con i coniugi) e 7 bisnipoti. Inoltre, partecipano anche 15 tra figli/ie del fratello della bisnonna, i loro figli e nipotini. In

tutto alla festa partecipano 46 persone. Il nipote Bruno, conoscendo le et di tutti i presenti, costruisce il seguente grafico

ramo foglia. Figura 1

Et dei partecipanti festa della bisnonna Alberta in anni compiuti

Ramo: Decine

di anni

Foglia. Unit di anni

0 0 1 1 2 3 3 5 6 8 9 9

1 3

2 8 9

3 0 2 6 7 7 7 8 8 9

4 0 1 1 2 5

5 3 5 6

6 1 3 4 5 6 7 7 8 8 8 9

7 0 1 2

8

9 5

Ricava tutte le informazioni possibili dal grafico e fai le osservazioni relative.

Esiste una moda?

Esiste una classe (ramo) modale?

Esiste qualche valore anomalo? In caso affermativo, qual ?

Puoi formulare delle congetture sullet dei bisnipoti?

E sullet dei figli?

3. In una clinica sono stati registrati i seguenti pesi alla nascita di 60 bambini espressi in chilogrammi:

2,4 2,8 3,3 2,6 3,0 1,8 3,5 4,0 2,8 4,1 1,6 4,3

3,9 2,4 3,0 2,3 4,1 2,7 4,2 3,4 2,8 3,7 3,8 2,6

4,4 3,6 2,0 3,6 3,6 3,3 3,4 2,6 2,8 1,8 3,4 3,1

2,9 3,6 3,2 3,9 3,6 3,2 3,2 3,3 2,9 2,8 3,2 3,2

2,9 4,1 4,7 3,2 2,8 3,1 3,8 3,5 2,9 3,1 2,5 2,7

Costruite in gruppo un grafico ramo foglia discutendo, prima di eseguirlo, su quale sia lampiezza pi opportuna per i rami. Dopo aver osservato attentamente il grafico ottenuto, rispondete alle seguenti domande:

1. Qual stato il bimbo/a nato/a con il peso minore? E quello con il peso

maggiore? 2. Esiste una moda dei pesi? In caso affermativo, qual ?

3. Esiste una classe modale ( un ramo modale)? In caso affermativo, qual ? 4. Individuate la mediana dei pesi. Quale significato si pu attribuire alla mediana

in questa situazione?

5. Calcolate la media aritmetica. 6. Trovate il campo di variazione.

7. Quali osservazioni potete fare su questo insieme di dati?

[Per Indire: mettere link Soluzioni Elementi di prove di verifica]

INDICAZIONI METODOLOGICHE

La modalit didattica proposta punta molto sul coinvolgimento attivo degli allievi, nel

gruppo classe o nei piccoli gruppi, che consente un apprendimento pi interiorizzato e motivato. Sar sempre molto importante attuare una discussione tra gli alunni ed una

eventuale conversazione clinica1 (rilevazioni delle conoscenze spontanee degli alunni) relativa al vissuto degli alunni rispetto alle rappresentazioni grafiche che

1 Damiano E., (a cura di) Insegnare con i concetti (Un modello didattico tra scienza e insegnamento), SEI,

Torino, 1994.

favoriscono il confronto delle idee e rendono pi efficace la comunicazione allinterno del gruppo classe.

I lavori di gruppo si rivelano funzionali alla cooperazione e alla collaborazione tra gli studenti.

(Per Indire Link per Conversazione clinica a: http://www.indire.it/socrates/content/index.php?action=read_rivista&id=5442)

Per gli alunni particolarmente deboli si consiglia di proporre un particolare lavoro in coppie, il Pair check, che prevede la rielaborazione in coppie e, nel momento di difficolt o non accordo, il coinvolgimento di unaltra coppia. Nel Pair check, linsegnante ha funzione di supervisore dei vari confronti fra coppie.

(Per Indire: Link per Pair check www.apprendimentocooperativo.it/img/mesiti_ud3_bio1.doc)

Tra le modalit di recupero, dopo una verifica, si consiglia di avvalersi del Peer Tutoring con coppie non omogenee e in ciascuna delle quali ci sia un possibile tutor in grado di condurre il compagno ad un opportuno modo di procedere.

(Per Indire per Peer Tutoring Link a:meta-schede GRIMeD)

In ogni caso, si ritiene fondamentale lattivit di guida e mediazione dellinsegnante tra i materiali proposti e i soggetti in formazione.

SPUNTI PER ALTRE ATTIVITA CON GLI STUDENTI

SITUAZIONE PROBLEMATICA: Lo scontrino del supermercato

Linsegnante propone di approfondire la rappresentazione ramo-foglia trattando situazioni diverse e propone, ad esempio, il seguente scontrino della spesa effettuata

un certo giorno presso un supermercato. Lindicazione dei beni acquistati e del supermercato dove avvenuto lacquisto stata eliminata per evitare forme di pubblicit occulta, mentre il totale dello scontrino stato volutamente eliminato per evitare fraintendimenti negli alunni.

Linsegnante chiede agli alunni, divisi in gruppi, di proporre i rami e le foglie opportune.

In questa situazione, rispetto alle precedenti, non ci sono decine ma unit, decimi e centesimi: come fare per rappresentare questi prezzi?

Le proposte che nascono dagli allievi possono essere le seguenti:

considerare unit e decimi come rami e i centesimi come foglie oppure

considerare come rami le unit di euro e come foglie (ora a due cifre) i decimi e

centesimi.

La prima proposta chiaramente poco adatta ai dati in possesso, infatti, in questo caso, per ogni dato si avrebbe un ramo con una sola foglia: la percezione visiva non

muta rispetto allo scontrino e quindi questa procedura inutilmente complicata; la seconda proposta pu invece essere presa in considerazione, ottenendo cosi la

seguente rappresentazione gi ordinata per foglia:

Ramo (unita di

euro)

Foglia ( centesimi di euro )

0 83 85 99 99

1 02 26 39 59 59 75 78 90 98

2 55 94

3

4 49 60

Osservando la rappresentazione ottenuta, gli alunni possono rispondere alle seguenti domande:

Qual stato il prezzo minimo pagato?

Quale quello massimo?

C un prezzo pi frequente?

Quanti oggetti costavano meno di 2 euro?

Quanto si speso, in media, per ogni articolo?

A questo punto, linsegnante pu lasciare largomento per riprenderlo in altre unit didattiche (Si veda: Dai dati ai grafici e ... ritorno; Luomo di Vitruvio )

[Per Indire: mettere link a Dai dati ai grafici e ... ritorno e a Luomo di Vitruvio]

INDICAZIONI METODOLOGICHE

La modalit didattica proposta punta molto sul coinvolgimento attivo degli allievi, nel gruppo classe o nei piccoli gruppi, che consente un apprendimento pi interiorizzato e

motivato. Sar sempre molto importante attuare una discussione tra gli alunni ed una

eventuale conversazione clinica2 (rilevazioni delle conoscenze spontanee degli alunni) relativa al vissuto degli alunni rispetto alle rappresentazioni grafiche che favoriscono il confronto delle idee e rendono pi efficace la comunicazione allinterno del gruppo classe. I lavori di gruppo si rivelano funzionali alla cooperazione e alla collaborazione tra gli

studenti. (Per Indire Link per Conversazione clinica a:

http://www.indire.it/socrates/content/index.php?action=read_rivista&id=5442)

Per gli alunni particolarmente deboli si consiglia di proporre un particolare lavoro in coppie, il Pair check, che prevede la rielaborazione in coppie e, nel momento di difficolt o non accordo, il coinvolgimento di unaltra coppia. Nel Pair check, linsegnante ha funzione di supervisore dei vari confronti fra coppie.

(Per Indire: Link per Pair check

www.apprendimentocooperativo.it/img/mesiti_ud3_bio1.doc) Tra le modalit di recupero, dopo una verifica, si consiglia di avvalersi del Peer

Tutoring con coppie non omogenee e in ciascuna delle quali ci sia un possibile tutor in grado di condurre il compagno ad un opportuno modo di procedere.

(Per Indire per Peer Tutoring Link a:meta-schede GRIMeD)

In ogni caso, si ritiene fondamentale lattivit di guida e mediazione dellinsegnante tra i materiali proposti e i soggetti in formazione.

2 Damiano E., (a cura di) Insegnare con i concetti (Un modello didattico tra scienza e insegnamento), SEI,

Torino, 1994.

Bibliografia

AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per attivit e prove di verifica ( scuola elementare e scuola media)

OCSE (a cura di), PISA 2003 Valutazione dei quindicenni, Roma, Armando Armando,

2004. Brunelli L. e altri, Unindagine in classe per apprendere la statistica, Induzioni, 21, 2000, pp. 3-110.

Lombardo E., Rossi C., Dati statistici in diversi contesti, Induzioni, 26, 2003, pp. 73-90.

Lombardo E., Zuliani A., Statistica per esempi, Firenze, La Nuova Italia, 1988.

Ottaviani M. G., Strumenti per lanalisi dei dati, Induzioni, 23, 2001, pp. 33-81.

Pereira Mendoza L., A. Dunkels, Diagrammi ramo foglia nella scuola elementare, ristampato in Induzioni, 36, 2008.

Perelli DArgenzio M.P., La statistica nella societ e nella scuola, Linsegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol.28 n.5, pp. 429-450; vol 30 n.3 pp.251-

270; n.5, pp.591-602; vol 31 n.3,pp. 251-270. Perelli M.P., Moncecchi G., Didattica per concetti e insegnamento della statistica,

Induzioni, n.29, 2004, pp. 33-50.

John W. Tukey. "Analisi esplorativa dei dati". Addison-Wesley , Reading, MA. 1977 Cleveland, William (1985), Elements of Graphing Data, Wadsworth.

Cleveland, William and Marylyn McGill, Editors (1988), Dynamic Graphics for

Statistics, Wadsworth. Cleveland, William (1993), Visualizing Data, Hobart Press.

AA.VV-Stem and leaf-Plots. Mathematics Teacher 78 (October1985):528-31

Sitografia Attiva al 31/05/2010

AAVV, Matematica 2001 http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm

AA. VV., Didattica http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Didattica/didattica.html

AA. VV., Matematica 2003.

http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2003/matematica2003.html Karl Wuensch's Statistics Lessons exploratory data analysis (EDA)

http://core.ecu.edu/psyc/wuenschk/StatsLessons.htm

NetMBA Internet center for management and business Adm,Inc http://www.netmba.com/statistics/plot/stem/ ALEA - Aco Local Estatstica Aplicada http://www.alea.pt/html/nocoes/html/cap3_1_i.html

Invalsi Ocse Pisa 2006 http://www.invalsi.it/invalsi/ric.php?page=ocsepisa06

Statistica con Excel dellIstat http://www.istat.it/servizi/studenti/binariodie/CorsoExcel/main.htm

Censimento a scuola - Guida per i docenti delle medie

http://petra1.istat.it/censb/index.htm Istat - I principali tipi di grafici

http://www.istat.it/servizi/studenti/valoredati/Cap4/Cap4_4_3.htm

Siamo vincoli o sparpagliati?

http://repository.indire.it/repository/working/export/4070/index.htm Dai dati ai grafici e... ritorno http://forum.indire.it/repository/working/export/4057/index.htm

I grafici questi sconosciuti 1 http://repository.indire.it/repository/working/export/3131/index.htm I grafici questi sconosciuti 2 http://repository.indire.it/repository/working/export/3131/8475.htm

La manipolazione, la conversazione clinica e la mappa concettuale http://www.indire.it/socrates/content/index.php?action=read_rivista&id=5442

Proposta di attivit per il corsista

(da condividere e discutere in rete)

Leggere lattivit, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti: individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli

sinteticamente per scritto. Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilit e conoscenze.

Sperimentare lunit proposta: fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolger l'attivit;

esplicitare gli adattamenti necessari; formulare il progetto didattico relativo; preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilit relative

alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI).

Scrivere un diario di bordo inteso come narrazione e documentazione del processo di sperimentazione vissuta in classe: linsegnante pu elaborare un diario con lesposizione dellesperimento svolto, dei tempi effettivi di svolgimento dellunit didattica; di come gli studenti hanno reagito alla proposta didattica, delle difficolt

incontrate in particolare quelle relative al processo di costruzione di significato e di procedura di soluzione e di quali procedure sono state attivate per superare le difficolt. Nel diario di bordo linsegnante espliciter anche i compiti dati agli studenti e le modalit con le quali gli studenti stessi sono stati responsabilizzati all'apprendimento.