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ANALISIS MATEMATICO I (2016)

Clase 1

Actividad 1. Calculen

a)

(3

10+

4

15

)(2

3− 3

5

)b)

2

3

(6 − 3

2

)+ 1 c)

(3 +

1

4

)(1 − 4

5

)

d)112

18 − 1

9

e)2 − 3

412 − 1

3

f)25 + 1

2110 + 3

15

Actividad 2. Resuelvan las siguientes desigualdades. Expresen el conjunto solucion con la notacion deintervalo y representenlo en la recta real.

a) 3x+ 5 ≤ 5x− 2 b)b

2− 3 > 5 − 5b

3c)

a− 2

a+ 3> 0 d) 1 <

3

x

Actividad 3. Un granjero desea encerrar un area rectangular de 10m2 para organizar un cultivo.Respondan las siguientes preguntas:

1. ¿Cuanto debera medir el largo del rectangulo si el ancho mide 4m?¿Y si el largo mide 8m cuanto debera medir el ancho?

2. ¿Cual de los rectangulos mencionados en el punto anterior poseemenor perımetro?

3. ¿Es cierto que dado un numero x es posible obtener una region rec-tangular de area 10m2 de manera que el ancho mida x?

4. Llamemos P al perımetro del terreno y x a la longitud del ancho.Discutan la validez de la siguiente expresion. ¿Que debe aclarar paraque la expresion anterior sea correcta?

P = 2x+ 2

(10

x

)(1)

5. Si x = 124m ¿Cuanto indica la expresion anterior que debe valer P?

6. Den las dimensiones de 2 rectangulos con un area de 10m2, uno deellos con un perımetro de 10m y el otro con un perımetro de 8m.

7. La tabla de la derecha nos mostrara el comportamiento del perımetrocuando varıa la longitud de la base del terreno para ciertos valoresde x. Completar la tabla para los valores de x indicados.

8. Si el granjero quiere que ademas de tener un area de 10m2 elperımetro del terreno cercado sea el menor posible, ¿Cuales seranlas dimensiones del terreno?

x P

0

1

2

3

4

5

6

x P

3,1

3,15

3,16

3,17

3,18

3,2

3,3

1

Actividad 4. Vamos a investigar como depende el tamano de los angulos interiores de un polıgonoregular de la cantidad de lados.

1. En el caso del triangulo y del cuadrado, indiquen la cantidad de ladosdel polıgono regular y el tamano de los angulos interiores.

2. Para el pengagono regular sugerimos subdividirlo en triangulos como seindica en la figura y recordar que la suma de los angulos interiores (enradianes) de un triangulo cualquiera es π.

3. ¿Como calcularıan el tamano de un angulo interior de un polıgono regularde n lados? ¿Pueden determinar una formula?

4. Confeccionen una tabla tomando A como la medida del angulo interiory n la cantidad de lados.

Actividad 5.1. Encuentren las ecuaciones de las rectas que

cumplen las siguientes condiciones:

(a) r1 : Pasa por el punto P = (1, 2) y tienependiente m = −2.

(b) r2 : Pasa por los puntos

Q = (0, 2) R = (−1,−1)

2. Grafiquen las rectas anteriores.

3. Encuentren la interseccion de las rectas.

4. Indiquen en el grafico los valores de x para loscuales la recta r1 esta por encima de la recta r2.

5. Determinen, en forma analıtica, los valores de xpara los cuales la recta r2 esta por encima de larecta r1.

Actividad 6.1. Encuentren las ecuaciones de las rectas que

cumplen las siguientes condiciones:

(a) r1 : Pasa por el punto P = (5, 1) y tienependiente m = 1.

(b) r2 : Pasa por los puntos

Q = (0, 0) R = (3, 3)

2. Grafiquen las rectas anteriores.

3. Encuentren la interseccion de las rectas.

4. Indiquen en el grafico los valores de x para loscuales la recta r1 esta por encima de la recta r2.

5. Determinen, en forma analıtica, los valores de xpara los cuales la recta r2 esta por encima de larecta r1.

2


Clase 1. Continuacion

Actividad 1. Resuelvan las siguientes situaciones problematicas:

a) En un parque de diversiones existen dos planes de pago que varıan segun la cantidad de entradas quese compren para los diversos juegos.

En el primer plan se pagan $50 al comienzo y luego $10, 99 por cada juego.

En el segundo plan se pagan $25 al comienzo y luego $13, 99 por cada juego.

¿Cuantos juegos es necesario jugar para que el primer plan resulte menos caro que el segundo plan?

b) Las instrucciones en un paquete de una pelıcula indican que la caja debe conservarse a una temperaturaentre 41◦F y 30◦F .

Conociendo la relacion entre ◦C (grados centıgrados) y ◦F (grados en Fahrenheit)

9[◦C] − 5[◦F ] + 160 = 0

¿Cual es el rango de temperaturas permitido para el paquete en grados centıgrados?

c) Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar una combi para que loslleve al concierto es de $900, lo cual se deben repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Por otrolado, los organizadores del concierto ofrecen un descuento en las entradas para aquellas personas queasistan en grupo en combi (para ahorrar problemas de estacionamiento). El descuento que ofrecen esde $9 del valor de la entrada de cada persona, por cada persona que pertenezca al grupo. Considerandoque la entrada al concierto cuesta normalmente $500 y que las combis no pueden llevar mas de 50personas.

¿Cuantos estudiantes deben ir en el grupo para que el costo individual no supere los $115?

Actividad 2. Determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Demuestren aquellasque sean verdaderas; o den algun contraejemplo para aquellas que sean falsas.

a) Si a es un numero real entonces a2 > 0. b) Si x es negativo entonces x < 2.

c) Si a > 1 entonces a < a2. d) Si x > 1 e y > 2 entonces x+ y > 3.

e) Si x < 5 e y < 6 entonces xy < 30. f) Si x > 0 entonces x < x2.

g) Si a es un numero real entonces −a es negativo. h) Si 0 < x entonces −x es negativo.

i) Si x < y < −2 entonces1

y<

1

x. j) Si 0 < a < 1 entonces a2 < a.

k) Si x ≤ 5 entonces x− 2 ≤ −7.l) Si a < b < 0 y c < d < 0 entonces ac > bd.

1

Actividad 3. ¿Por que no se puede dividir por cero entre los numeros reales? Hay varias maneras deconvencerse; propongan y describan alguna de ellas.

Actividad 4. Recuerden la actividad 4 de la clase 1. Tomando como n la cantidad de lados del polıgonoregular y α como la medida del angulo interior del polıgono.

a) ¿Que ecuacion pudieron determinar relacionando n y α?

b) ¿n puede ser cualquier numero? ¿Que condiciones debe cumplir?

c) Sin tener en cuenta el contexto, la formula anterior permite valores fraccionarios. Reemplazandon = 5

2 , ¿que valor tomara α?

d) Intenten dibujar un polıgono cuyos angulos interiores sea el valor de α calculado usando como guıa elesquema de abajo.

e) Lo mismo pero considerando n = 83 .

2


Clase 2

Actividad 1. Determinen en cada caso si una de las variables puede expresarse en funcion de la otra.Redacten una explicacion para cada respuesta.

a) x2 + y2 = 4 b)

R M0 01 02 31 24 -1

c) 5p+ 3q = 4 d)

e) f) x2 + 3y = 12 g)

P Q-1 81 82 30 1

h)

Actividad 2. Hallen el dominio natural de las siguientes funciones.

a) f(u) =√

4− 7u b) g(x) =1

x2 + 3xc) r(θ) = 3

√θ − 2

θ + 3

d) m(x) =x3 − 7x

1− 3x

e) h(y) =1√y − 5

+1

y − 8f) u(θ) =

√θ − 2√θ + 3

− 5

Actividad 3. Un avion tarda 120 minutos en ir desde Buenos Aires hasta Mendoza en un viaje sinescalas. El siguiente grafico describe en forma aproximada (por ejemplo, no se consideran los lapsos deaceleracion y desaceleracion) la altura en metros del avion en funcion del tiempo durante el viaje:

A partir del grafico, respondan:

a) ¿Cual fue la altura maxima que alcanzo el avion? ¿Cuantotiempo volo a esa altura?

b) ¿Cuanto tardo en llegar a la altura maxima?

c) ¿A que altura se encontraba a los 60 minutos de partir? ¿Ya los 100 minutos de partir?

d) ¿Cuanto tiempo estuvo a mas de 3000 m de altura?

e) ¿En que momentos subio? ¿En que momentos bajo?

f) ¿Cuantas veces volo a altura constante?

g) Hallen la expresion de la funcion h(t) usando el siguienteesquema. Indiquen, ademas, su dominio e imagen.

1

h(t) =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . si 0 ≤ t ≤ 20

2000 si . . . . . . ≤ t ≤ . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . si . . . . . . ≤ t ≤ . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . si . . . . . . ≤ t ≤ . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . si 80 ≤ t ≤ 100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . si . . . . . . ≤ t ≤ . . . . . .

Actividad 4. Asocien cada ecuacion con la descripcion correspondiente.

a) Recta con pendiente −1 que pasa por el punto P (1, 3)

b) Recta perpendicular a la recta y = 4x+ 8

c) Recta que pasa por origen

d) Recta que pasa por los puntos (1, 4) y (−2,−1)

i)y

18= 2x

ii) y =5

3x+

7

3

iii) y − 3 = −(x− 1)

iv) y = −1

4x− 3

Actividad 5. Grafiquen en papel las siguientes funciones e indiquen su dominio e imagen.

a) f(x) =

2x+ 3 si x > 2

−x− 2 si x ≤ 2b) f(x) =

x si x ≤ 0

−x si x > 0

c) f(x) =

x si x ≤ 0

0 si 0 < x ≤ 1

x− 1 si x > 1

d) f(x) =

−x+ 2 si −3 < x ≤ 2

x− 2 si 2 < x ≤ 5

Con el objetivo de incorporar paultatinamente el uso de Geogebra en el curso les proponemos las siguientesactividades.

Actividad 6. Con respecto a la Actividad 2.

1. Realicen las graficas de las funciones usando el Geogebra.

2. Identifiquen en las graficas el dominio obtenido y comparen con sus respuestas encontradas analıticamente.

3. Determinen la imagen de las funciones segun las graficas obtenidas.

Actividad 7. Con respecto a la Actividad 4.Verifiquen sus respuestas graficando las rectas en Geogebra y comparando las ecuaciones obtenidas.

2


Clase 3

Actividad 1.

Evaluen las siguientes funciones en los siguientes valores: 0, −3,√

2, −3

2

f(x) = |x| g(x) = |−x| h(x) = x+|x| w(x) = x−|x|

Actividad 2. Utilizando el valor absoluto expresen algebraicamente las siguienes proposiciones.

a) Los numeros b y c distan en 4 unidades.

b) La distancia de x a -3 es mayor o igual a 1.

c) La distancia desde m hasta −1 es mas grande que la distancia de m a 0.

d) La distancia de x a 1 dividido la distancia de x a -1 es constante.

e) La distancia de x al 3 es menor que la distancia de 0 a y.

Actividad 3. Encuentren los valores de x que son solucion de las siguientes ecuaciones. Interpreten lassoluciones usando distancias.

a) |2x− 1| = 8 b)

∣∣∣∣12 − x

∣∣∣∣ =3

2c) |x + 3| = |x− 2|

Actividad 4. Encuentren los valores de x que son solucion de las siguientes desigualdades. Interpretenlas soluciones usando distancias.

a) |x| < 5 b) |x| ≥ 8 c) |x− 5|+ 3 ≤ 9 d) 3− |x− 1| > 13

4

Actividad 5. Muestren que si a, b, c son tres numeros reales tales que |a| ≤ 4, |b| ≤ 1

2y |c| > 2 entonces

a) |ab| ≤ 2 b) a2 ≤ 20 c) |b + a| ≤ 9

2d) |3 + b| ≥ 2 e)

∣∣∣ac

∣∣∣ < 2

Actividad 6. Para cada una de las siguientes funciones

f(x) = |x− 5| − 6 h(x) = |3x− 5|+ |2x + 1|

a) Determinen su dominio.

b) Encuentren los puntos de la grafica donde se corta con los ejes coordenados.

c) Reescriban las funciones como funciones a trozos.

d) Realicen las graficas.

1


Clase 4

Actividad 1. Un gallinero tiene forma rectangular con un perımetro de 30 metros.

a) Si uno de los lados del gallinero mide 6 metros ¿cuanto miden el otro lado y el valor de su area?

b) Si el area del gallinero es de 44 metros cuadrados ¿cuanto miden sus lados?

c) ¿Puede uno de los lados del gallinero medir 18 metros?

d) Expresen el area A del gallinero en funcion de la longitud de uno de sus lados b e indiquen su dominio.

e) Determinen raıces, vertice y eje de simetrıa de la funcion A. Realicen su grafica.

Actividad 2. Encuentren las funciones cuadraticas que verifican las condiciones indicadas. En los incisosa, b, c y d realicen las graficas correspondientes.

a) El vertice de la grafica esta en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.

b) La grafica contiene el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo que es −5.

c) La grafica contiene los puntos (0,3), (1,4) y (-2,13).

d) La grafica contiene el origen y en x = 2 alcanza su valor maximo.

e) f)

Actividad 3. Determinen el o los valores de k tales que

1. y = x2 + 7x + k tiene una sola interseccion con el eje x,

2. y = x2 − 2kx + k2 − 3k + 2 pasa por el origen.

Pueden utilizar los deslizadores de Geogebra para comprobar las respuestas anteriores.

Actividad 4. Encuentren los puntos de la recta y = 2x + 1 que distan en 2 unidades del origen.

Actividad 5. Grafiquen las siguientes funciones e indiquen su dominio e imagen:

a) f(x) =

−x2 − 2x + 2 si x < 0

x + 2 si x ≥ 0b) f(x) =

3 si x ≤ −2

x2 − 1 si −2 ≤ x ≤ 2

3 si x > 2

c) f(x) = |2x2 − 3|

Actividad 6. Hallen, en forma analıtica, la interseccion entre las graficas de los siguientes pares defunciones. Pueden graficar en el Geogebra y comprobar las intersecciones encontradas.

a)

f(x) = 2x2

g(x) = 3x + 9b)

f(x) =

5

2x2 − x

g(x) =3

2x2 − x + 2

c)

f(x) = x2 + 6x + 9

g(x) = −1

2x2 − 1

d)

f(x) = x2 + 2x− 2

g(x) = 2x− x2 − 2

1


Clase 5

Actividad 1. Encuentren el centro y el radio de lassiguientes circunferencias. Grafiquen.

a) x2 + y2 − 4x− 6y − 1 = 11

b) x2 + y2 − 3x− 9 = 0

Actividad 2. En cada caso, encuentren una ecuacionde la o las circunferencias que

a) Pasan por el punto (2, 1) y su centro es (3,−3).

b) Pasan por los puntos (2, 1) y (3,−3) y su centro estasobre la recta x + 2y = 1

Actividad 3. Determinen los elementos de las elipses (centro, eje focal, distancia focal, vertices y focos).Luego grafıquenlas.

a)x2

12+

y2

9= 1 b) 3x2 + 6y2 + 2x = 12 c)

Actividad 4. Determinen los elementos de las hiperbolas (centro, asıntotas, vertices, eje focal y focos).Luego grafıquenlas.

a)x2

4− y2

9= 1 b) c) y2 − x2 + 5y = 1

Actividad 5. Determinen los elementos de las parabolas (vertice, eje focal, foco). Luego grafıquenlas.

a) 3x− y2 = 9 b) x + x2 + 5y = 1

Actividad 6. Hagan un bosquejo para cada posibilidad que exista de interseccion entre las curvas.

1. ¿Cuantos puntos de interseccion pueden tener dos circunferencias distintas?

2. ¿Cuantos puntos de interseccion pueden tener una circunferencia y una parabola?

3. ¿Cuantos puntos de interseccion pueden tener una recta y una hiperbola?

1


Clase 6

Actividad 1. Describan en palabras como se transforma la grafica de la funcion f en los siguientes casossegun las traslaciones, dilataciones, reflexiones.

a) f(x) + 4 b) f(x+ 4) c) f(x− 1)− 4 d) f

(x+

1

2

)+ π

e) 2f(x) f)1

4f(x) g) f(3x) h) f

(x2

)i) 2f(x− 2) + 2 j) f(3x)− 1

Actividad 2. En los siguientes casos, determinen una formula para g(x) a partir de la funcion f(x).

a) b) c)

g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . .

d) e) f)

g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . .

Actividad 3. A continuacion les presentamos las graficas de estas cinco funciones:f1(x) = x f2(x) = x2 f3(x) = x3 f4(x) = |x| f5(x) = x2 − 2x

a) Indiquen si las funciones son pares, impares, ambas o ninguna de las dos cosas. Justifiquen grafica yanalıticamente.

b) Usando traslaciones, dilataciones y/o reflexiones apropiadas, propongan las graficas de las siguientesfunciones.

g1(x) = x+ 3 g2(x) = (x− 4)2 g3(x) = −x3 g4(x) =

∣∣∣∣x+1

3

∣∣∣∣− 1

1

Actividad 4. Dada la funcion g(x) =−x+ 4

x− 2

a) Determinen el dominio natural de g.

b) Verifiquen que−x+ 4

x− 2= −1 +

2

x− 2.

c) Grafiquen la funcion g.

d) Determinen en base a la grafica realizada para que valores de x se satisfacen las siguientes condiciones:

i) g(x) = 0 ii) g(x) > 0 iii) g(x) > −1

e) Determinen el dominio natural de las siguientes funciones homograficas y, usando un procedimientosimilar al inciso b, grafıquenlas:

i) h(x) =x− 2

x− 5ii) g(x) =

2x− 1

x+ 1iii) r(x) =

3x

2x− 1

Actividad 5. Determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Demuestren aquellasque sean verdaderas y den algun contraejemplo para aquellas que sean falsas.

a) h(x) =2

x− 1es una funcion par.

b) La grafica de g(x) = 4− x2 es simetrica con respecto al eje y.

c) f(x) = x3 − x es una funcion impar.

Actividad 6. Propongan, en cada caso, la expresion de una funcion que satisfaga las condicionesindicadas.

a) h es una funcion polinomial par, negativa y tal que h(−3) = −9.

b) g es una funcion racional con dominio natural IR− { 12}, que toma valores positivos para los x >1

2y

negativos para x <1

2y tal que g(0) = −1

4.

Actividad 7. Considerar las funciones g1, g2, g3 y g4 de la actividad 3.

1. Realicen las graficas de

|g1(x)| |g2(x)| |g3(x)| |g4(x)|

2. Realicen las graficas de

g1(|x|) g3(|x|)

2


Clase 7

Actividad 1. Calculen los siguientes valores usando la infor-macion de las graficas. Den una explicacion para los casos que nose pueden calcular.

a) f(g(2)) b) g(f(0)) c) (f ◦ g)(0)

d) (g ◦ f)(6) e) (g ◦ g)(−2) f) (f ◦ f)(4)

Actividad 2.

a) Realicen las graficas de las siguientes funciones.

f(x) =

x si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2g(x) =

1

xsi x < 0

−2x si x ≥ 0

b) Calculen los siguientes valores o bien expliquen por que no estan definidos.

i) f(3

2) ii) g(−1

3) iii) (f ◦ g)(−3) iv) (g ◦ f)(

3

2) v) g(g(−

√3))

Actividad 3. Dadas f(x) = ax− 2 y g(x) =x− 3

2x− 1, hallen el valor de a para el que (g ◦ f)(2) = 0

Actividad 4. En cada caso, indiquen el dominio natural de las funciones f y g. Luego determinen laexpresion de las nuevas funciones solicitadas con sus respectivos dominios.

a) f(x) = x + 5 y g(x) = x2 − 3 (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) =

b) f(x) =1

x− 4y g(x) = x2 (f ◦ g)(x) = (f ◦ f)(x) =

c) f(x) = x− 1 y g(x) =1

x + 1(g ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) =

Actividad 5. Escriban las siguientes funciones como composicion de dos funciones mas simples.

a) h(x) = (x2 − 1)2 b) h(x) =√

x2 − 1 c) h(x) =3

2 + x2

1


Clase 8

Actividad 1. Calculen los valores indicados segun la informacion de la grafica. Den una explicacion enlos casos que no existan.

a) f(−1) b) limx→−1+

f(x) c) limx→−1−

f(x)

d) limx→−1

f(x) e) f(2) f) limx→2

f(x)

g) f(4) h) limx→4

f(x) i) f(6)

j) limx→6

f(x) k) f(7) l) limx→7+

f(x)

m) limx→7−

f(x) n) limx→7

f(x)

Actividad 2. En cada caso, realicen la grafica de una funcion que cumpla las condiciones indicadas

a) Dom(f) = IR− {2} f(0) = 1 limx→0

f(x) = 2 limx→2

f(x) = −3

b) Dom(f) = [−3, 1] limx→−2−

f(x) 6= limx→−2+

f(x) f(−2) = 0

c) Dom(f) = [0, 4) limx→4−

f(x) = 3 No existe el limx→0+

f(x)

Actividad 3. A partir de la informacion suministrada en cada inciso calculen los lımites solicitadosindicando las propiedades utilizadas.

a) Si limx→4

f(x) = −1 y limx→4

g(x) = 5, calculen limx→4

(f(x)− 2

5g(x)

).

b) Si limx→x0

f(x) = 5 y limx→x0

g(x) = −2, calculen limx→x0

f(x)g(x)− 2

f(x)− g(x).

c) Si limx→1

f(x)

x2= 7, calculen lim

x→1

f(x)

x

Actividad 4. Estudien si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Las afirmaciones queconsideren verdaderas deben ser demostradas usando las propiedades de los lımites; y para las afirmacionesque consideren falsas se deben buscar contraejemplos adecuados.

a) Si limx→a

f(x) existe y limx→a

(f(x) + g(x)) existe entonces limx→a

g(x) existe.

b) Si limx→a

f(x) no existe y limx→a

g(x) existe entonces limx→a

(f(x) + g(x)) no existe.

c) Si limx→a


g(x) existe y es distinto de cero entonces limx→a

f(x).g(x) no existe.

d) Si limx→a


g(x) no existe entonces limx→a

(f(x) + g(x)) no existe.

e) Si limx→a

f(x) = L y limx→a

g(x) = L entonces limx→a

f(x)

g(x)= 1.

1

f) Si limx→a

((f(x))2

= L2 entonces limx→a

f(x) = L.

g) Si f(x) < 0 para todo x ∈ (0, 1) y limx→1−

f(x) = L entonces L < 0.

Actividad 5. Consideren las siguientes funciones:

D(x) =

{1 si x es racional0 si x es irracional

[x] = el mayor numero entero m tal que m ≤ x

a) Estudien en cada caso la existencia o no de los lımites:

i) limx→0

D(x) ii) limx→1

D(x) iii) limx→√2D(x)

iv) limx→0−

[x] v) limx→0+

[x] vi) limx→0

[x] vii) limx→1

[x] viii) limx→ 1

2

[x]

b) Hagan un boceto de la grafica de D(x).

c) ¿Cual de las siguientes graficas se corresponde con la grafica de la funcion [x]?

i) ii) iii)

d) ¿Cual podrıa ser una formula, usando [x] para las funciones que se correspondan con las dos graficassobrantes anteriores?

e) Determinen los valores de a para los cuales existe el limx→a

h(x) de la funcion h(x) =

x si x es racional

0 si x es irracional

2


Clase 9

Actividad 1. Calculen los siguientes lımites. En los casos que los lımites existan se deben mencionar laspropiedades utilizadas para calcularlos. En los casos que los lımites no existan se debe explicar por que.

a) lımx→0

|x|x

b) lımx→3+

2x− 6

|2x− 6|c) lım

x→3−

2x− 6

|2x− 6|

d) lımx→2−

(x+ 1)|x+ 2|x+ 2

e) lımx→2

(x+ 1)x2 + x− 6

x2 − 4f) lım

w→−5−3w

2w + 10

g) lımt→0

(t2

5− 1

t

)h) lım

u→0

5u3 + 8u2

3u4 − 16u2i) lım

x→π

x− πx2 − π2

’

j) lımx→a

x2 − a2

x− ak) lım

x→2

x3 − 8

x− 2l) lım

r→−3

2

r + 2

Actividad 2.

a) Si 6− 2x2 ≤ f(x) ≤ 6− x2 ≤ para −1 ≤ x ≤ 1, encuentren el valor de lımx→0

f(x).

b) Muestren que para |x| ≤ 1 se cumple

0 ≤√x4 + 3 ≤ 2

y luego calculen lımx→0

x√x4 + 3.

c) Sabiendo que −x2 ≤ f(x) ≤ 1 + x2, ¿que se puede afirmar respecto a lımx→0

f(x)?

Actividad 3. Dada la funcion

f(x) =

1 si x < 0

x3 − 2x2

xsi 0 < x < 3

7 si x = 3

x2 − 9

x− 3si x > 3

a) Indiquen su dominio natural y luego grafıquenla.

b) Calculen analıticamente los siguientes lımites y corroboren los resultados con la grafica propuesta.

(i) lımx→0+

f(x) (ii) lımx→0−

f(x) (iii) lımx→3+

f(x) (iv) lımx→3−

f(x)

(v) lımx→ 1

2

+f(x) (vi) lım

x→0f(x) (vii) lım

x→3f(x) (viii) lım

x→4f(x)

1


Clase 10

Actividad 1. Consideren la funcion f(x) =

1

x+ 2si x ≥ −1

x2 + 1 si x < −1

a) Indiquen el dominio natural de la funcion.

b) Realicen su grafica

c) Estudien la continuidad analıtica y graficamente de f(x) en el punto x = −1.

Actividad 2. Dadas las funciones

a) f(x) =x2 − x− 6

x− 3b) g(x) =

x2 − x− 6

x− 3si x 6= 3

3 si x = 3

c) h(x) =

x2 − x− 6

x− 3si x 6= 3

5 si x = 3

Determinen sus dominios naturales, realicen sus graficas y analicen la continuidad en forma analıtica enx = 3.

Actividad 3. En cada caso, den un ejemplo de una funcion que cumpla las condiciones indicadas.

a) Sea continua en el intervalo [a, b].

b) Sea continua en el intervalo [a, b] excepto en x = x0 con x0 ∈ (a, b).

c) lımx→x0

+f(x) = f(x0) y lım

x→x0−f(x) 6= f(x0).

d) Esta definida en x = x0 y existe lımx→x0

f(x) pero no coincide con f(x0).

e) No esta definida en x = x0 y existe lımx→x0

f(x).

f) Sea discontinua en el intervalo [a, b] pero |f | sea continua en [a, b].

Actividad 4. Calculen los siguientes lımites argumentando adecuadamente sobre la continuidad de lasfunciones involucradas.

a) lımx→1

4x3 − 2x+ 6 b) lımx→0

√x5 + 3 + 5 c) lım

x→π

√x+ 5

x− 1

Actividad 5. Para cada funcion, indiquen el mayor conjunto de valores de x en que son continuas.Determinen y clasifiquen sus discontinuidades: evitable o no evitable (tipo salto o asintotico).

a) f(x) =2− xx− 3

b) h(x) =x2 − 1

x− 1c) r(x) =

x2 − 1

|x− 1|

d) t(x) =x2 + x+ 1

x2 − xe) j(x) =

π3√

5− 2xf) w(x) =

4x2√x2 + 1− 1

1

Actividad 6. Grafiquen f(x) =x2 − 4

|x− 2|.

¿Existe lımx→2

f(x)? ¿Puede definirse f(2) para que f sea continua en x = 2?

Actividad 7. Consideren la funcion f(x) =

√x+ 1− 1

xdefinida para x ∈ (−1, 0) ∪ (0,+∞).

a) Determinen el lımite de f(x) cuando x tiende a 0.

b) ¿Como debe definirse f(x) en x = 0 para que resulte continua en x = 0?

Actividad 8. Determinen el valor de c para el cual la funcion f es continua en IR.

f(x) =

x+ 3 si x ≤ 2

c.x+ 6 si x > 2

Actividad 9. Encuentren los valores de b y c para los cuales la funcion f resulta continua en IR.

f(x) =

x+ 1 si 1 < x < 3

x2 + b.x+ c si |x− 2| ≥ 1

Actividad 10. ¿Para cuales de las siguientes funciones f existe una funcion F de continua dominio IRtal que F (x) = f(x) para todo x del dominio natural de f?

a) f(x) =x2 − 4

x+ 2b) f(x) =

|x|x

c) f(x) = 0 definida para x ∈ IQ.

2


Anexo Clase 10

Algunas cuestiones sobre continuidad

A continuacion les mostramos dos de las definiciones de continuidad de una funcion en un punto quevan a encontrar en la literatura. Comparen con la definicion dada por el profesor de su comision y tenganpresente la misma al momento de realizar las diferentes actividades.

Definicion 1:Decimos que una funcion f es continua en x0 si f(x0) esta definida, existe el lımite lım

x→x0

f(x) y

coincide con f(x0).Si una funcion no es continua en x0 entonces es discontinua en ese punto.

Una funcion es continua en un intervalo I= (a,b) si es continua en todos los puntos de I.Una funcion definida en un intervalo [a,b] es continua si es continua en (a, b), lım

x→a+f(x) = f(a) y

lımx→b−

f(x) = f(b).

Decimos que f es una funcion continua si f es continua en todo punto de su dominio.

Definicion 2:Dado x0 un punto en el dominio de una funcion f , decimos que f es continua en x0 si

lımx→x0

f(x) = f(x0).

Si x0 es punto del dominio de f donde no se cumple lo anterior, decimos que f tiene una discontinuidaden x0.

Una funcion es continua en un intervalo I = (a, b) si es continua en todos los puntos de I.Una funcion definida en un intervalo [a, b] es continua si es continua en (a, b), lım

x→a+f(x) = f(a) y

lımx→b−

f(x) = f(b).

Decimos que f es una funcion continua si f es continua en todo punto de su dominio.

Cual es la diferencia entre las dos definiciones? En que conjunto coinciden las dos?

Tipos de discontinuidad

Si f es discontinua en x0 podemos estudiar que tipo de discontinuidad tiene la funcion en el puntodado.

Si existe lımx→x0

f(x) la discontinuidad se llama evitable. Si no existe lımx→x0

f(x) se llama discontinuidad

no evitable o esencial.Las discontinuidades no evitables que estudiaremos son

Tipo salto: Si lımx→x+

0

f(x) y lımx→x−

0

f(x) existen y son distintos.

Tipo asintotica: Si lımx→x+

0

f(x) = ±∞ o lımx→x−

0

f(x) = ±∞.

Otra forma de clasificar la discontinuidad de una funcion en x0 es la siguiente.

Evitable: Si el lımite lımx→x0

f(x) existe.

De salto o de primera especie : Si los lımites laterales lımx→x+

0

f(x) y lımx→x−

0

f(x) existen pero no coinciden.

De segunda especie: cuando la discontinuidad no es evitable ni de primera especie, por ejemplo, lasdiscontinuidades de tipo asintotico, pero hay otras.

1

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