Analisinonlineariconilprogrammaagli...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TREDipartimento di Ingegneria

Corso di Laurea inIngegneria Civile per la Protezione dai Rischi Naturali

Anno Accademico 2014/2015

Relazione di fine tirocinio

Analisi non lineari con il programma aglielementi finiti Abaqus

StudenteSaverio Vittori

RelatoreProf. Fabio Brancaleoni

TutorStefano Gabriele

Indice

Introduzione v

1 Non linearità dei materiali 11.1 Un modello per il c.a.: concrete damaged plasticity . . . . . . . . . 1

1.1.1 Definizioni di teoria della plasticità . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Superficie di snervamento e potenziale plastico nel CDP . . 21.1.4 Comportamento uniassiale a trazione del calcestruzzo . . . 51.1.5 Comportamento uniassiale a compressione del calcestruzzo . 61.1.6 Inserimento delle barre di armatura . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7 Regolarizzazione viscoplastica . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Casi studio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 CS1: singolo elemento shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 CS2: Muro in c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Non linearità di contatto 192.1 Legami costituitivi delle molle non lineari . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Comportamento dinamico di molle non lineari . . . . . . . . . . . . 22

3 Integrazione al passo delle equazioni del moto 273.1 Metodo di integrazione di Eulero-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Procedure di Newmark e Hilber-Huges-Taylor . . . . . . . . . . . . 29

Bibliografia 31

iii

Introduzione

Uno degli obiettivi della mia tesi di laurea è la valutazione della sicurezza sismicadi viadotti esistenti con travata in c.a.p. Per raggiungere tale scopo devo costruireun modello agli elementi finiti che riesca a cogliere:

• il comportamento non lineare dei materiali, al fine di modellare le cerniereplastiche che si formano alla base ed in testa alle pile del viadotto;

• le non linearità di contatto derivanti dal martellamento degli impalcati.

L’attività correlata alla tesi di laurea ha avuto come obiettivo l’apprendimentodel programma di analisi agli elementi finiti Abaqus, scelto per la realizzazionedel modello. Nella prima parte del tirocinio ho svolto una ricerca sui modelliimplementati in Abaqus per simulare il comportamento del calcestruzzo armato.Tra le varie possibilità ho scelto il concrete damaged plasticity. Questo modellomateriale tiene conto della plasticità, della riduzione di rigidezza in seguito alcrescere di parametri di danno ed è particolarmente idoneo per problemi in cuiil carico inverte frequentemente il segno. Per acquisire confidenza con il softwareho realizzato due casi studio elementari i cui risultati sono presentati in questoelaborato.

Successivamente ho identificato gli elementi idonei alla modellazione del mar-tellamento tra gli impalcati del viadotto. Gli elementi gapuni e spring (molleelastiche non lineari) presenti nelle librerie di Abaqus si sono rivelati adatti alloscopo. Analogamente a quanto svolto precedentemente ho testato l’affidabilità ditali elementi attraverso l’analisi del loro comportamento in due casi semplici.

L’attività è stata svolta dal 29 giugno 2015 al 27 luglio 2015 sotto la supervi-sione dell’ing. Stefano Gabriele e del prof. Fabio Brancaleoni.

v

Capitolo 1

Non linearità dei materiali

Il calcestruzzo è un materiale che presenta due principali meccanismi di rottura: lafessurazione a trazione e lo schiacciamento a compressione. Il suo comportamentodipende significativamente dallo stato tensionale agente. A titolo di esempio, lostesso elemento di calcestruzzo, soggetto ad uno stato di tensione biassiale, rag-giunge resistenze fino al venti per cento maggiori del caso in cui fosse soggettoa compressione uniassiale; e la sua resistenza, quando è soggetto a compressionetriassiale uniforme, raggiunge valori teoricamente illimitati. Il criterio di snerva-mento (e resistenza) è rappresentato da una superficie nello spazio tridimensionaledelle tensioni principali. Uno punto interno alla superficie di snervamento pro-duce deformazioni di tipo elastico. Una volta che viene attraversata la superficiedi snervamento si possono verificare due fenomeni: l’accumulo di deformazioniplastiche in assenza di incrementi di tensione (plasticità perfetta), o la rottura.

L’acciaio è un materiale che presenta un comportamento meccanico pres-soché uguale a trazione e a compressione, nonché una significativa capacità dideformazione in campo plastico.

1.1 Un modello per il c.a.: concrete damaged plasticity

Nel presente lavoro si è adottato il modello concrete damaged plasticity (succes-sivamente indicato con CDP) implementato in Abaqus. Tale modello permettedi cogliere sia il comportamento plastico del calcestruzzo sia la riduzione di rigi-dezza causata dall’accumularsi del danno. Solo la plasticità del materiale è stataconsiderata nei casi studio, lasciando a futuri sviluppi l’inserimento nel modellodelle variazioni di rigidezza legate al danneggiamento. Nei paragrafi successivisi accenna brevemente alle ipotesi su cui si basa il modello e si mostra il valoreassegnato ai parametri che lo caratterizzano. Si consiglia la lettura del theorymanual e dell’analysis manual della documentazione di Abaqus [5] per i dettagli.

1.1.1 Definizioni di teoria della plasticità

Elementi necessari per la definizione del comportamento plastico di un materialesono la superficie di snervamento, la legge di incrudimento e la legge di flusso.

La superficie di snervamento è descritta da un’equazione F che associa adogni punto dello spazio delle tensioni principali la condizione di snervamento.

1

1 Non linearità dei materiali

I punti interni a tale superficie rappresentano degli stati tensionali che dannoluogo a deformazioni elastiche. I punti su di essa invece danno luogo adeformazioni plastiche. Per la condizione di consistenza gli stati tensionaliammissibili sono tutti contenuti all’interno, o giacciono, sulla superficie disnervamento.

La legge di incrudimento governa l’evoluzione della superficie di snervamento.La dipendenza di tale superficie dalla deformazione plastica si traduce in uncambio di forma e dimensioni della stessa.

La legge di flusso esprime la relazione esistente tra superficie di snervamento ela direzione del vettore delle deformazioni plastiche. Le evidenze sperimen-tali dimostrano che la direzione del vettore di deformazione è indipendentedall’incremento di tensione, ma è funzione dello stato tensionale “comples-sivo”. Il criterio o legge di flusso stabilisce che il vettore di deformazioneè sempre ortogonale al potenziale plastico G. Tale legge di normalità per-mette di stabilire il rapporto esistente tra le componenti della deformazioneplastica. La legge di flusso si definisce associata se il potenziale plastico Ge la superficie di snervamento F coincidono, altrimenti si dice che la leggedi flusso non è associata.

1.1.2 Definizioni

La tensione effettiva è definita come

σ̄ = D0 : (ε− εpl)

L’equazione della superficie di snervamento e quella del potenziale plasti-co fanno uso di due invarianti delle tensioni (effettive) che sono la pressioneidrostatica

p̄ =1

3trace(σ̄)

e la tensione equivalente di Mises

q̄ =

√3

2(S : S)

dove S è la parte deviatorica del tensore delle tensioni effettive

S = σ̄ + p̄I

1.1.3 Superficie di snervamento e potenziale plastico nel CDP

Una delle ipotesi spesso accettate per il comportamento del calcestruzzo è quelladi Drucker-Prager (1952). Questa afferma che la rottura del materiale è legataall’energia di deformazione distorcente e che la superficie di snervamento assumela forma di un cono nello spazio delle tensioni con asse coincidente con l’asseidrostatico (Figura 1.1).

Il vantaggio nell’uso di questo criterio è la forma smussata della superficie,particolarmente idonea nelle applicazioni numeriche. Lo svantaggio è l’incapacità

2


Figura 1.1: Superficie di snervamento

di rappresentare fedelmente il reale comportamento del calcestruzzo [2]. Nel CDPsi utilizza un’evoluzione della funzione di Drucker-Prager elaborata da Lubliner[4] e successivamente modificata da Lee e Fenves [3]. L’equazione della superficiedi snervamento è:

F =1

1 − α(q̄ − 3α p̄+ β(ε̃pl)

⟨ˆ̄σmax

⟩− γ⟨− ˆ̄σmax

⟩) − σ̄c(ε̃

plc ) = 0

α =(σb0/σc0) − 1

2(σb0/σc0) − 1con 0 < α < 0.5

β =σ̄c(ε̃

plc )

σ̄t(ε̃plt )

(1 − α) − (1 + α)

γ =3(1 −Kc)

2kc − 1

ˆ̄σmax è la tensione principale massima effettiva;

ε̃plt e ε̃plc rappresentano rispettivamente le deformazioni plastiche equivalenti ditrazione e compressione.

σ̄t(ε̃plt ) e σ̄c(ε̃

plc ) sono rispettivamente la tensione effettiva corrispondente alla

deformazione plastica di trazione e compressione;

In figura 1.2 si mostra la forma che assume la superficie di snervamento peruno stato di tensione piano.

Il potenziale plastico è definito dalla funzione iperbolica di Drucker-Prager.

G =√

(εσto tanψ)2 + q̄2 − p̄ tanψ

σt0 è la tensione di trazione uniassiale di rottura definita nel comportamentouniassiale a trazione del calcestruzzo;

ψ ed il parametro ε sono il dilatation angle e eccentricity, definiti nel dettaglionei paragrafi successivi.

3


Figura 1.2: Superficie di snervamento per uno stato di tensione piano

Secondo le modifiche apportate dagli autori, la sezione trasversale della super-ficie di snervamento nel piano deviatorico1 non è una circonferenza ma una curvagovernata dal parametro Kc come mostrato in figura 1.3. Dal punto di vista fisicoil parametro Kc può essere interpretato come il rapporto tra la distanza tra l’as-se idrostatico e rispettivamente la generatrice delle trazioni e la generatrice dellecompressioni. Il CDP consiglia di assumere Kc = 2/3.

Analogamente la forma della superficie di snervamento, in un piano contenentel’asse idrostatico, non è una retta ma un’iperbole (fig 1.4). Il parametro cheesprime tale variazione di forma si definisce eccentricity ε. Nel CDP si raccomandadi porre ε = 0.1. Quando ε = 0 la superficie nel piano meridiano2 p − q diventauna linea retta ricadendo nella formulazione di Drucker-Prager.

Un altro parametro che descrive il comportamento del materiale è il puntoin cui il calcestruzzo raggiunge la rottura sotto uno stato di tensione piano dicompressione. σb0/σc0 è il rapporto tra la resistenza in uno stato tensionale piano ela resistenza in uno stato tensionale uniassiale. Il CDP consiglia di porre σb0/σc0 =1.16

L’ultimo parametro che definisce il comportamento del calcestruzzo confinatoè il dilatation angle ψ. Esso è definito come l’angolo di inclinazione della superficiedi snervamento rispetto all’asse idrostatico in un piano meridiano. Fisicamente,l’angolo ψ, è un angolo di attrito. Valori consigliati per il calcestruzzo sonoψ = 36◦÷40◦. I restanti parametri che servono per calibrare il modello sono fornitiin termini di curve tensione-deformazione per uno stato di tensione uniassiale acompressione e a trazione, spesso ricavabili da prove sperimentali.

1Il piano deviatorico è il piano ortogonale all’asse idrostatico.2Il piano meridiano di un cono è definito come il piano contenente l’asse di rotazione del

solido. In questo contesto l’asse di rotazione coincide con l’asse idrostatico.

4


Figura 1.3: Superficie di snervamento nel piano deviatorico

Figura 1.4: Superficie di snervamento nel piano meridiano

Per concludere si mostrano in tabella 1.1 i valori dei parametri adottati inquesto lavoro.

Parametro Valore

Dilatation angle ψ 36Eccentricity ε 0.1

σb0/σc0 1.16Kc 2/3

Parametro di viscosità 0

Tabella 1.1: Parametri di defaultassunti nel CDP

1.1.4 Comportamento uniassiale a trazione del calcestruzzo

La curva tensioni-deformazioni di un elemento di calcestruzzo sottoposto ad uncarico uniassiale di trazione, segue un andamento lineare elastico fino al raggiungi-mento della tensione di rottura. La tensione di rottura corrisponde alla condizione

5


di incipiente fessurazione del calcestruzzo. Oltre tale limite il fenomeno della fes-surazione, osservato su scala macroscopica, è rappresentato da una progressivariduzione della resistenza al crescere della deformazione (tension-stiffening). In-fatti il calcestruzzo non si comporta come un materiale fragile ma presenta unacapacità resistente dovuta a fenomeni quali la coesione tra l’armatura e il calce-struzzo o l’ingranamento degli inerti. Nel presente modello si è scelto adottareun comportamento elasto plastico con incrudimento positivo.I valori di resistenzascelti sono più bassi delle usuali resistenze a trazione del calcestruzzo. Il vantaggiodi questa scelta si manifesta in un una maggiore facilità di convergenza e riduzionedei tempi di analisi.

1.1.5 Comportamento uniassiale a compressione del calcestruzzo

La curva tensione-deformazione per uno stato uniassiale di compressione può es-sere definita sulla base di risultati sperimentali o ricavata da formule analitichein funzione della resistenza a compressione media valutata (o attesa se si parladi nuove costruzioni). La definizione di tale curva prevede l’individuazione di unramo elastico (corrispondente alla condizione di materiale non danneggiato) e diun ramo plastico. Nel presente lavoro si è scelto un comportamento elasto-plasticoperfetto, accettando di non riprodurre con estrema fedeltà il comportamento realedel materiale.

1.1.6 Inserimento delle barre di armatura

Negli elementi shell, utilizzati nel presente lavoro, è possibile definire degli stratidi armatura che con comportamento uniassiale nella direzione assegnata. Il com-portamento del metallo costituente le armature è elasto-plastico incrudente. Lamesh delle armature è la medesima del calcestruzzo che le ospita. Con questoapproccio, il comportamento del calcestruzzo è indipendente da quello delle ar-mature. Gli effetti locali di aderenza tra acciaio e calcestruzzo sono consideratiapprossimativamente introducendo un effetto irrigidente del calcestruzzo (tensionstiffening), volto a cogliere il trasferimento di carico dal calcestruzzo non ancorafessurato alle barre di armatura.

Per ogni layer è necessario definire i seguenti parametri:

• l’area A della sezione di ogni barra;

• il passo s delle barre nel piano della shell;

• la posizione degli strati nello spessore della shell (misurata a partire dallasuperficie media della shell);

• il materiale costituente le barre;

• l’orientazione delle barre;

L’area della barra ed il passo vengono utilizzati per calcolare lo spessore dellayer di armatura t = A/s.

6

1.2 Casi studio

1.1.7 Regolarizzazione viscoplastica

I modelli dei materiali che tengono conto della perdita di forza (softening) e deldegrado della rigidezza spesso presentano problemi di convergenza nei program-mi di analisi con metodo implicito, come Abaqus/Standard. Il CDP può essereregolarizzato usando la viscoplasticità, permettendo alle tensioni di superare lo-calmente la superficie di snervamento. Nel CDP il parametro che tiene contodi tale effetto è chiamato parametro di viscosità. Generalmente è un parametroche assume valori molto piccoli e deve essere settato in modo che il rapporto tral’intervallo temporale e tale parametro tenda ad infinito. Questa è infatti la con-dizione limite per cui i risultati non risentono della regolarizzazione. Nel presentelavoro non si è fatto uso della regolarizzazione viscoplastica.

1.2 Casi studio

Al fine di familiarizzare con il programma di analisi agli elementi finiti Abaqussi è scelto di analizzare dei casi molto semplici. I vantaggi di lavorare con mo-delli semplici sono sia il numero ridotto di elementi (conseguentemente un bassonumero di output), sia la possibilità di prevedere il risultato e quindi poter te-stare l’affidabilità del modello. Il primo caso studio, successivamente chiamatoCS1, riguarda un solo elemento shell. Gli obiettivi di questo caso studio sono:verificare il rispetto dei legami costitutivi dei materiali per diverse condizioni dicarico e al contorno; analizzare l’influenza della presenza dell’armatura; indagarele problematiche legate alla convergenza. Il secondo caso studio, successivamen-te chiamato CS2, riguarda un muro in c.a. Oltre agli obiettivi sopra elencati siindagano le problematiche inerenti la scelta della dimensione e del numero deglielementi costituenti la mesh.

1.2.1 CS1: singolo elemento shell

Il presente caso studio riguarda un elemento shell di dimensioni 1m x 1m x 1m.L’elemento scelto dalla libreria di Abaqus è il tipo S4, dove S indica che è unelemento shell e quattro il numero di nodi.

In figura 1.5 si mostra l’elemento studiato, la numerazione dei nodi, il sistemadi riferimento adottato per la lettura degli output (1 è la direzione orizzontale,2 è la direzione verticale), e la sua deformata quando soggetto ad un carico dicompressione.

Materiali

L’elemento è in calcestruzzo armato. Per quanto concerne il settaggio dei para-metri che definiscono la plasticità del calcestruzzo si faccia riferimento al punto1.1.3. I legami tensione-deformazione, per stati di tensione uni-assiali, sia delcalcestruzzo sia dell’acciaio sono quelli presentati in figura 1.6.

La tensione di snervamento del calcestruzzo a compressione è εccy = 0.986 ·10−03, cui corrisponde una tensione di snervamento σccy = 30.21 MPa. La defor-mazione ultima a compressione vale εccu = 3.5 · 10−03 e la tensione corrispondenteè la stessa di snervamento in quanto non è presente incrudimento. A trazio-ne la deformazione di snervamento e l’associata tensione sono rispettivamente

7


Figura 1.5: Deformata dell’elemento S4 sotto un carico di compressione. Inleggenda con S22 si intende la tensione verticale nel calcestruzzo.

εtcy = 0.07733 · 10−03 e σtcu = 80 kPa. Mentre a rottura valgono εtcu = 0.1 eσtcu = 88 kPa. Il modulo elastico del calcestruzzo è Ec = 30653 MPa.

L’acciaio presenta lo stesso comportamento a trazione e compressione. Ledeformazioni di snervamento ed ultima, e le rispettive tensioni sono εsy = 2.033 ·10−03, εsu = 0.1, σsy = 80 kPa, εsu = 0.1, σsy = 88 kPa. Il modulo elasticodell’acciaio è Es = 206000 MPa.

(a) Legame costitutivo del calcestruzzo. (b) Legame costitutivo dell’acciaio.

Figura 1.6: Legami tensione-deformazione dei materiali

Armature

L’armatura verticale gioca un ruolo importante quando l’elemento è soggetto atrazione. Essendo infatti la resistenza a trazione del calcestruzzo praticamen-te assente, la capacità a trazione dell’elemento dipende fondamentalmente dalquantitativo di armatura verticale.

L’armatura orizzontale governa il fenomeno del confinamento. Quando l’ele-mento viene compresso, per effetto Poisson, si dilata lateralmente. Le armatureorizzontale entrano in trazione e trasferiscono il carico al calcestruzzo, compri-mendolo. La percentuale di armatura orizzontale influisce quindi sulla resistenza

8

1.2 Casi studio

ultima a compressione. Grandi quantitativi di armatura orizzontale generano for-ze di confinamento importanti e quindi stati tensionali biassiali che permettonodi eccedere il limite di resistenza a compressione uniassiale fino ad un fattore 1.16(si veda il significato fisico del parametro σb0/σc0 in 1.1.3).

Tabella 1.2: Percentuali di armatura indagate nelle analisi

Nome caso indagato AsV /s AsH/scm2/m cm2/m

a 100 0b 100 20c 100 100

In tabella 1.2 sono elencati i diversi casi studiati. Con AsV /s si intende ilquantitativo geometrico di armatura verticale e con AsH/s quello orizzontale.

Condizioni al contorno e condizioni di carico

La faccia inferiore dell’elemento è incastrata alla base. La faccia superiore ècaricata uniformemente a compressione o trazione. L’entità del carico è di 33MPaa compressione e 4.2MPa a trazione. Il carico è stato assegnato staticamente.

Analisi dei risultati

In tabella 1.3 sono mostrati gli output dati dal programma e il loro significato.

Tabella 1.3: Elenco e spiegazione degli output

Grandezza Spiegazione

EE11 Deformazione elastica in direzione 1EE22 Deformazione elastica in direzione 2PE11 Deformazione plastica in direzione 1PE22 Deformazione plastica in direzione 2Etot

11 Deformazione totale in direzione 1Etot

22 Deformazione totale in direzione 2S11 Tensione in direzione 1S22 Tensione in direzione 2

I risultati vengono presentati in forma tabellare (vedi tabella 1.4). I sei casiindagati sono identificati da un codice del tipo S4-INC-a-comp, in cui: S4 indicail tipo di elemento usato; INC indica la condizione al contorno, in questo caso unincastro alla base; le lettere a, b, c indicano il quantitativo di armatura secondola convenzione della tabella 1.2; comp o traz indicano la condizione di caricorispettivamente di compressione o trazione.

Dall’analisi dei risultati si evince che:

1. le deformazioni elastiche sono in rapporto 1/5, risultato in accordo con ilvalore assegnato al coefficiente di Poisson (0.2).

9


2. Le deformazioni totali (elastiche più plastiche) nell’acciaio e nel calcestruzzosono uguali. La congruenza è rispettata.

3. L’elemento entra in campo plastico. Lo evidenziano i valori non nulli assuntida PE11 e PE22.

4. La condizione al contorno (incastro) genera un effetto di confinamento delcalcestruzzo. Tale fenomeno è evidente sia dalle deformate dell’elemento (siveda la figura 1.7) sia dalla nascita di tensioni orizzontali nel calcestruzzo.Tali tensioni sono di compressione qualora l’elemento vanga schiacciato e ditrazione se tirato.

5. La presenza delle armature orizzontali genera anch’essa un effetto di confi-namento. Dal confronto tra il caso S4-a-INC-comp e il caso S4-b-INC-compemerge che l’inserimento delle barre di armatura orizzontali comporta: unariduzione della dilatazione orizzontale e dell’abbassamento verticale del mu-ro; un aumento delle tensioni orizzontali di compressione nel calcestruzzo;la nascita di tensioni di trazione nelle armature orizzontali. L’effetto è tan-to più marcato quanta più armatura orizzontale è presente. Si noti peròche non si verifica proporzionalità tra quantitativo di armatura orizzontalepresente ed effetto di confinamento. Infatti un aumentato di 5 volte dellaquantità di acciaio orizzontale non ha creato una compressione di 5 voltepiù grande nel calcestruzzo, ma solo di 2 volte. Questo perché aumentandol’acciaio viene limitata anche l’espansione laterale e quindi la forza che l’ar-matura è in grado di restituire è minore, di fatto il tasso di lavoro dell’acciaiodiminuisce.

10

1.2 Casi studio

Tab

ella

1.4:

Risultatide

ll’an

alisi

Caso

EE

11

PE

11

Eto

t11

EE

22

PE

22

Eto

t22

S11

S22

S4-INC-a-com

pCalcestruzzo

1.93·1

0−04

3.11·1

0−04

5.04·1

0−04

−9.88·1

0−04

−3.19·1

0−04

−1.31·1

0−03

−1.38·1

0+05

−3.03·1

0+07

Acciaio

0.00·1

0+00

0.00·1

0+00

0.00·1

0+00

−1.31·1

0−03

0.00·1

0+00

−1.31·1

0−03

0.00·1

0+00

−2.69·1

0+08

S4-INC-a-traz

Calcestruzzo

2.02·1

0−07

−8.13·1

0−05

−8.11·1

0−05

2.47·1

0−06

2.00·1

0−03

2.00·1

0−03

2.22·1

0+04

8.02·1

0+04

Acciaio

0.00·1

0+00

0.00·1

0+00

0.00·1

0+00

2.00·1

0−03

0.00·1

0+00

2.00·1

0−03

0.00·1

0+00

4.12·1

0+08

S4-INC-b-com

pCalcestruzzo

1.89·1

0−04

2.53·1

0−04

4.41·1

0−04

−9.91·1

0−04

−2.61·1

0−04

−1.25·1

0−03

−3.03·1

0+05

−3.04·1

0+07

Acciaio

4.41·1

0−04

0.00·1

0+00

4.41·1

0−04

−1.25·1

0−03

0.00·1

0+00

−1.25·1

0−03

9.09·1

0+07

−2.58·1

0+08

S4-INC-b-traz

Calcestruzzo

2.17·1

0−07

−3.33·1

0−05

−3.31·1

0−05

2.47·1

0−06

2.00·1

0−03

2.00·1

0−03

2.27·1

0+04

8.02·1

0+04

Acciaio

−3.31·1

0+00

0.00·1

0+00

−3.31·1

0+00

2.00·1

0−03

0.00·1

0+00

2.00·1

0−03

−6.81·1

0+06

4.12·1

0+08

S4-INC-c-com

pCalcestruzzo

1.78·1

0−04

1.18·1

0−04

2.96·1

0−04

−9.97·1

0−04

−1.24·1

0−04

−1.12·1

0−03

−6.90·1

0+05

−3.07·1

0+07

Acciaio

2.96·1

0−04

0.00·1

0+00

2.96·1

0−04

−1.12·1

0−03

0.00·1

0+00

−1.12·1

0−03

6.10·1

0+07

−2.31·1

0+08

S4-INC-c-traz

Calcestruzzo

2.17·1

0−07

−9.94·1

0−06

−9.73·1

0−06

2.47·1

0−06

2.00·1

0−03

2.00·1

0−03

2.27·1

0+04

8.02·1

0+04

Acciaio

−9.73·1

0−06

0.00·1

0+00

−9.73·1

0−06

2.00·1

0−03

0.00·1

0+00

2.00·1

0−03

−2.00·1

0+06

4.12·1

0+08

11


(a)D

eformata

S4-INC

-a-comp.

(b)D

eformata

S4-INC

-b-comp.

(c)D

eformata

S4-INC

-c-comp.

(d)D

eformata

S4-INC

-a-traz.

(e)D

eformata

S4-INC

-b-traz.

(f)D

eformata

S4-INC

-c-traz.

Figura

1.7:Deform

atadell’elem

entonei

varicasi

studioanalizzati.

Alfine

direndere

piùleggibili

lefigure

sièadottato

unfattore

discala

paria100.

Nelle

leggendesono

evidenziatiivaloridellospostam

entodeinodi3

e4.

12

1.2 Casi studio

1.2.2 CS2: Muro in c.a.

Nel CS1 si è verificata l’attendibilità del concrete damaged plasticity. Ora inquesto caso studio si sposta l’attenzione verso una situazione più realistica e dimaggiore interesse ai fini della modellazione del viadotto oggetto della tesi dilaurea. Il muro analizzato in questa sezione vuole essere rappresentativo di unadelle pareti in c.a. della pila con sezione rettangolare cava del viadotto che sidesidera modellare. Obiettivi del caso studio sono: la scelta della dimensionedegli elementi costituenti la mesh; l’individuazione dei parametri che influisconosulla convergenza dell’analisi: l’elaborazione di strategie per facilitarla.

Oggetto del caso studio è un muro in calcestruzzo armato alto 10m, largo 5me spesso 1m. Il muro è costituito da elementi shell S4. Si ipotizza che il muro siaincastrato in un plinto di fondazione. Per tenere conto, in modo approssimato,della deformabilità del plinto si è scelto di assegnare un comportamento elasticoallo strato alla base del muro. Lo strato elastico ha un’estensione di 2m dalla base.In figura 1.8 si mostra l’elemento studiato, la numerazione dei nodi, il sistema diriferimento adottato per la lettura degli output (1 è la direzione orizzontale, 2è la direzione verticale), e la sua deformata quando soggetto ad un carico dicompressione.

Figura 1.8: Numerazione dei nodi, degli elementi e sistema di riferimentoadottato nel muro oggetto dello studio.

Definizione della mesh

Per definire la dimensione degli elementi costituenti la mesh si è proceduto pertentativi. Tre casi sono stati indagati (figura 1.9): nel primo caso il muro è statosuddiviso in elementi di dimensioni 1m x 1m; nel secondo in elementi di dimensioni

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(a) Mesh 1m x 1m. (b) Mesh 0.5m x 0.5m.

(c) Mesh 0.25m x 0.25m.

Figura 1.9: Andamento delle tensioni verticali per diverse mesh.

0.5m x 0.5m; ed infine nel terzo caso in elementi 0.25m x 0.25m. In tutti è tre imodelli i materiali sono elastici. La condizione di carico analizzata è una pressionein testa al muro di 33 MPa. Sono stati monitorati: lo spostamento dei nodi intesta al muro; le tensioni alla base del muro; i valori delle tensioni orizzontali S11massime.

Analizzando i risultati ottenuti si evince che:

1. il valore dello spostamento verticale dei nodi in sommità al muro è U2 =1.006 · 10−02 ·m per tutte e tre le mesh.

2. Le tensioni in corrispondenza dei vincoli risentono del grado di infittimentodella mesh. Infatti al diminuire della dimensione degli elementi le reazionivincolari puntuali sono divise su aree via via più piccole, causando picchidelle tensioni. Questo effetto è evidente passando dal modello con elementi

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1.2 Casi studio

1m x 1m a quello 0.25m x0.25m. Risulta quindi poco opportuna la sceltadi elementi 0.25m x 0.25m.

3. I valori delle tensioni orizzontali massime che si sviluppano nei tre modellisono 152 KPa per il modello con la mesh 1m x 1m, 118 KPa per il modellocon la mesh 0.5m x 0.5 m e 111 KPa per il modello con la mesh 0.25m x0.25 m. I valori massimi si registrano tutti in corrispondenza del centro delmuro.

Alla luce di quanto osservato si è scelta una mesh di 0.5m x 0.5m.

Materiali

Per quanto concerne i materiali si può fare riferimento al punto 1.2.1, in cuivengono descritti i legami costitutivi dell’acciaio e del calcestruzzo adottati inquesta simulazione.

Armature

I quantitativi di armatura orizzontale adottati sono riportati in tabella 1.5. Diparticolare interesse è il caso b, corrispondente ad un quantitativo basso di arma-tura, rappresentativo della percentuale geometrica delle pile del viadotto oggettodella tesi (hanno staffe φ12/30, corrispondenti a 7.536 · cm2/m). Il caso c inveceè rappresentativo di una staffatura moderna.

Tabella 1.5: Percentuali di armatura indagate nelle analisi

Nome caso indagato AsV /s AsH/scm2/m cm2/m

a 100 0b 100 8c 100 20

Condizioni al contorno e di carico

La faccia inferiore del muro è incastrata alla base. La faccia superiore è caricatauniformemente a compressione o trazione. L’entità del carico è di 35 ·MPa acompressione e 5 · MPa a trazione. La pressione o la trazione agiscono sullafaccia superiore del muro, di dimensioni 5m x 1m.

Analisi dei risultati

I casi indagati sono identificati da un codice del tipo Wall-INC-a-comp, in cui:Wall indica che le analisi sono condotte sul modello del muro precedentementedescritto; INC o FREE indica la condizione al contorno, incastro o dilatazionelaterale libera alla base; le lettere a, b, c indicano il quantitativo di armaturasecondo la convenzione della tabella 1.5; comp indica la condizione di carico cuiè soggetto il muro.

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Si ponga l’attenzione sul caso Wall-FREE-a-comp: muro libero di dilatarsilateralmente, privo di armatura orizzontale, soggetto a compressione.

1. L’analisi non riesce a convergere e si interrompe per un valore del caricopari a 0.9212 volte il carico assegnato (p = 35 ·MPa), corrispondente aduna pressione in testa al muro p = 32.2414 ·MPa. Poiché non si registranodeformazioni plastiche significative, i materiali sono ancora in campo elasticoe vale il criterio di omogenizzazione. Essendo il rapporto tra i moduli elasticin = Es/Ec = 6.72, e la percentuale geometrica di armatura ρs = 0.1%Ac,l’area omogenizzata èAhom = Ac(1+nρs) = 5.336·m2. Il massimo carico chepuò portare il muro è quindi dato da pmax = fcAhom/Ac = 32.2414 ·MPa,in accordo con il valore restituito dal programma. La tensione nelle barredi acciaio è σs = nσc = 203 ·MPa. Anche quest’ultimo valore è conformeagli output del programma.

2. Si osserva che non nascono tensioni orizzontali. Di fatto la dilatazione latera-le è permessa in quanto sono assenti vincoli alla base e armature orizzontaliche la potrebbero impedire.

Si fissi l’attenzione sul caso Wall-FREE-b-comp: muro libero di dilatarsi late-ralmente, con percentuale di armatura orizzontale antica, soggetto a compressione.

1. L’analisi non converge e si interrompe per un valore del carico pari a 0.9503volte il carico assegnato (p = 35·MPa), corrispondente ad una compressionein testa al muro p = 33.26 ·MPa. Il muro è in grado di portare un caricosuperiore al caso Wall-FREE-a-comp grazie al confinamento generato dallapresenza delle armature orizzontali.

2. Nascono infatti delle tensioni orizzontali di compressione nel calcestruz-zo e di trazione nelle barre di acciaio orizzontali dovute al fenomeno delconfinamento.

Si concentri ora l’attenzione sul caso Wall-FREE-c-comp: muro libero di di-latarsi lateralmente, con percentuale di armatura orizzontale moderna, soggettoa compressione.

1. L’analisi non convergere e si interrompe per un valore del carico pari a 0.9988volte il carico assegnato (p = 35·MPa), corrispondente ad una compressionein testa al muro p = 34.958 ·MPa. La presenza dell’armatura orizzontalestabilizza il modello permettendo ai materiali di entrare significativamentein campo plastico (deformazioni plastiche dell’ordine di 5 · 10−03).

2. Il programma restituisce messaggi di allerta perché l’algoritmo risolutivo delproblema plastico non riesce a trovare la convergenza nei limiti di tolleranzarichiesti. I risultati ottenuti devono essere letti e interpretati con cautela,specialmente per valori del carico elevati.

Quando la condizione al bordo cambia e si impediscono le dilatazioni lateralisi ottiene un effetto di confinamento dovuto alla presenza del vincolo. Si registrainoltre l’incapacità di girare le analisi fino agli stessi valori di carico del caso nonvincolato. Si elencano di seguito i valori di carico per cui le analisi si fermano enon riescono a raggiungere la convergenza.

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1.2 Casi studio

1. In Wall-INC-a-comp si nota che l’analisi non convergere e si interrompe perun valore del carico pari a 0.6223 volte il carico assegnato (p = 35 ·MPa),corrispondente ad una compressione in testa al muro p = 21.78 · MPa.L’inserimento dell’ulteriore vincolo alla base non permette il raggiungimentodella resistenza a compressione del calcestruzzo. Si è notato che l’aumentodel quantitativo di armatura orizzontale e/o della resistenza a trazione delcalcestruzzo permettono il procedere dell’analisi anche per valori superioridi carico in testa. Pertanto la causa per cui l’analisi non riesce a giungere aconvergenza è da ricercare nelle tensioni di trazioni che nascono nel muro.

2. In Wall-INC-b-comp l’analisi non converge e si interrompe per un valore delcarico pari a 0.8468 volte il carico assegnato (p = 35 ·MPa), corrispondentead una compressione in testa al muro p = 29.638 ·MPa.

3. In Wall-INC-c-comp il muro è in grado di portare tutto il carico assegnato(p = 35 ·MPa).

Infine si analizzi il caso Wall-FREE-a-traz : muro libero di dilatarsi lateral-mente, privo di armatura orizzontale, soggetto a trazione.

1. L’analisi non converge e si interrompe un valore del carico pari a 0.9392volte il carico assegnato (p = −5 ·MPa), corrispondente ad una trazione intesta al muro p = −4.696 ·MPa. Se si trascurasse il calcestruzzo il caricomassimo che il muro potrebbe portare è pari a pmax = σsuρsAc−4.61·MPa,valore prossimo a quello restituito dal programma. L’errore è dovuto ad avertrascurato la resistenza a trazione del calcestruzzo.

2. La deformazione elastica del calcestruzzo è EEc22 = 2.6 · 10−06 conforme

con il legame costitutivo. La deformazione plastica del calcestruzzo PEc22 =

0.1, la rispettiva tensione Sc22 = 88 · kPa e la tensione nell’acciaio Ss

22 =460.9·MPa evidenziano la capacità del modello di cogliere il fenomeno dellafessurazione: calcestruzzo non reagente a trazione oltre il limite fissato edacciaio che assorbe tutto il carico a trazione.

Si osserva che la presenza di armatura orizzontale non influisce sul comporta-mento del muro sia che le condizioni al contorno permettano la dilatazione late-rale, sia che la impediscano. Inoltre dal confronto tra il caso Wall-FREE-a-traz eWall-INC-a-traz non emergono sostanziali differenze.

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Capitolo 2

Non linearità di contatto

Al fine di valutare il comportamento dinamico del viadotto Tevere IV è necessarioindividuare un modo per modellare i giunti tra gli impalcati. Il viadotto è a travateappoggiate con soletta discontinua pertanto gli impalcati possono martellare, adesempio, se un moto in controfase di due pile contigue si attiva. Inoltre unodegli interventi di miglioramento della risposta simsica che si desidera progettareconsiste nell’inserimento di un fine corsa in calcestruzzo armato in testa ad ognipila. La presenza del fine corsa impedisce la perdita di appoggio dell’impalcato,in quanto urta il ritegno. In entrambe le situazioni sopra evdienziate nascono nonlinearità di contatto.

Per modellare questo fenomeno del martellamento si è optato per l’utilizzo dielementi spring elastici non lineari, presenti nelle librerie di Abaqus e si SAP2000.Questo tipo di elementi sono definiti in funzione dei due nodi alle loro estremità,della direzione in cui restituiscono la forza, e dall’andamento della forza restituitain funzione dello spostamento relativo tra i nodi.

Nei paragrafi successivi si studia il comportamento degli elementi sopra citaticonfrontando i risultati ottenuti implementando lo stesso modello nei due sofwaredi calcolo.

2.1 Legami costituitivi delle molle non lineari

In questa sezione si desidera testare il funzionamento degli elementi spring nonlineari. Si consideri lo schema in figura 2.1. Una molla lineare elastica (AB),con rigidezza k = 500 · N/m, è vincolata nel suo estremo sinistro A. Il nododell’estremità destra B è libero di muoversi. I nodi B e C sono collegati da unamolla non lineare elastica (gap) che si attiva solo quando lo spostamento relativosupera 0.2 · m e restituisce una forza proporzionale allo spostamento relativosecondo la rigidezza knonlin = 5000 ·N/m. La forza massima che può restituire lamolla non lineare è di 5000 ·N , se tale limite viene superato si deforma solamente(idealmente l’elemento si è rotto). Il gap è un vincolo monolatero, non resitea trazione. Le rigidezze sono in rapporto 1:10. Lo spostamento del nodo C èimpedito. Le due molle sono disposte in serie, pertanto le forze che scambianosono le stesse mentre gli spostamenti dipendono dalla rigidezza complessiva delsistema.

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2 Non linearità di contatto

Figura 2.1: Schema del modello.

Si imponga uno spostamento al nodo B che segue la legge mostrata in figura2.2 (a). Nello stesso grafico è riportato lo spostamento relativo dei due nodi dellamolla lineare e della molla non lineare. Le risposte in termini di reazioni vincolariche nascono nei nodi A e C, e delle forze nelle molle sono presentate nella figura2.2 (b).

Conclusioni

1. Lo spostamento relativo della molla lineare, definito come ∆ulin = (uA −uB), presenta lo stesso andamento dello spostamento del nodo B con il segnoopposto.

2. Lo spostamento relativo della molla non lineare, definito come ∆unonlin =(uB − uC), presenta lo stesso andamento dello spostamento del nodo B, ledue curve coincidono.

3. La forza elastica nella molla lineare è definita come Fel,lin = k∆ulin, conspostamento in A nullo. Le elongazioni della molla producono quindi forzeelastiche negative. Viceversa per le compressioni.

4. La reazione vincolare nel nodo A risulta negativa per spostamenti del nodoB positivi e viceversa.

5. La forza elastica nella molla non lineare è definita come Fel,nonlin = f(∆unonlin),con spostamento in C nullo. Per valori di ∆unonlin > 0.2m ·m (condizone incui il gap è chiuso) la molla riponde con una forza elastica positiva pari allarigidezza knonlin per lo spostamento. Per ∆unonlin < 0.2m ·m(condizionein cui il gap è aperto) la risposta in forza è nulla.

Tale modello è stato implementato sia in Abaqus sia in SAP2000 ed i risultatiottenuti con i due programmi coincidono.

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2.1 Legami costituitivi delle molle non lineari

(a) Spostamenti.

(b) Forze.

Figura 2.2: Storie temporali di forze e spostamenti.

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2.2 Comportamento dinamico di molle non lineari

Si consideri sempre il modello in figura 2.1 trascurando per il momento la mollanon lineare e aggiungendo una massa m = 10 ·kg nel nodo B. La massa è soggettaad una forzante esterna la cui entità varia con legge sinusoidale di ampiezza A =500 ·N e pulsazione ω = 30 ·rad/s. Successivamente si inserisce il gap tra i nodi Be C. L’apertura del gap è di 0.2 ·m e le rigidezze indagate sono ka = 50000 ·N/m,kb = 500000·N/m e kc = 5000000·N/m, rispettivamente due, tre e quattro ordinidi grandezza più grandi della rigidezza dell’elemento collegato al gap. Come sinoterà in seguito il rapporto tra le rigidezze è il discriminante del comportamentocomplessivo del giunto.

La storia temporale dello spostamento del nodo B, è mostrata in figura 2.3,mentre nelle figure 2.4 e 2.5 si mostra la storia temporale della reazione vincolarenei nodi A e C, uguali alle forze interne agli elementi spring a meno del segno.Per ogni rapporto di rigidezza indagata sono mostrati i risultati ottenuti dai dueprogrammi di calcolo.

Conclusioni

Si fissi l’attenzione sulle storie temporali dello spostamento e delle reazioni. Alcrescere della rigidezza dell’elemento non lineare si nota che:

1. la compenetrazione della massa nel gap tende a ridursi da circa 5 · cm perrapporto di rigidezze 1:100 fino a meno di 1 · cm per rapporto 1:10000;

2. il massimo spostamento al rientro dell’urto non varia significativamente(rimane sempre dell’ordine degli 80 · cm);

3. analogamente la risposta della molla lineare, dipendente dall’entità dellospostamento di cui sopra, non presenta range di variazione importanti (vale0.15 ÷ 0.40 · kN);

4. la risposta massima della molla non lineare tende a crescere sensibilmente,da 3 · kN per un rapporto di rigidezze 1:100 fino a 18 · kN per un rapporto1:10000.

Per quanto riguarda i risultati ottenuti con i due programmi di calcolo sinota una buona corrispondenza per un rapporto tra le rigidezze pari a 1:100. Alcrescere della rigidezza dell’elemento non lineare i risultati si discostano sia intermini di entità delle reazioni (Abaqus restituisce reazioni vincolari fino a 1.5volte più grandi rispetto a SAP2000, per il rapporto di rigidezze di 1:10000), siadi periodo delle oscillazioni (Abaqus calcola periodi più brevi per il rapporto dirigidezze di 1:10000). Per tutti e tre i rapporti di rigidezza indagati si osserva unabuona corrispondenza dei risultati nella prima oscillazione. Durante le oscillazionisuccessive le risposte iniziano a divergere.

Per concludere si osserva chiaramente che la presenza di un vincolo monola-tero non lineare comporta una variazione consistente della risposta del sistema intermini di entità di spostamenti, di periodo di oscillazione del sistema e di entitàdelle forze trasmesse.

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(a) Rapporto tra le rigidezza 1:100.

(b) Rapporto tra le rigidezza 1:1000.

(c) Rapporto tra le rigidezza 1:10000.

Figura 2.3: Storie temporali dello spostamento del nodo B.

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Figura 2.4: Storie temporali della reazione vincolare del nodo A.

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Figura 2.5: Storie temporali della reazione vincolare del nodo A.

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Capitolo 3

Integrazione al passo delleequazioni del moto

La risposta di un sistema dinamico può essere determinata in diversi modi. Imetodi analitici mirano a risolvere direttamente l’equazione differenziale di con-servazione della quantità di moto. Le usuali tecniche consistono nel considerarela forzante esterna come una sequenza di impulsi di durata infinitesima. La rispo-sta del sistema è valutata come la somma della risposta ad ogni singolo impulso.Il limite di tale metodo è appunto l’assunzione del principio di sovrapposizionedegli effetti, valido solo in un regime di piccole deformazioni. I sistemi reali so-no governati da equazioni in cui le caratteristiche meccaniche, quali rigidezza esmorzamento, variano in funzione della risposta. Ed in particolare se si desideranostudiare fenomeni in cui l’entità delle forze esterne è tale da causare deformazionie tassi di deformazione importanti (come un evento sismico) è opportuno abban-donare l’ipotesi di linearità delle equazioni del moto in quanto poco fedele allarealtà.

I metodi di integrazione al passo presentano un approccio al problema di tiponumerico, che permette di inserire nell’analisi gli effetti della non linearità delleequazioni del moto. Essi prevedono che l’intervallo temporale in cui si desideravalutare la risposta del sistema sia suddiviso in passi. All’interno di ogni passosi assume che l’accelerazione abbia una legge di variazione nota e che la forzanteesterna al sistema sia costante. Tanto più la lunghezza h del passo è ridotta tantopiù il grado di approssimazione diminuisce. Se la legge di variazione dell’acce-lerazione è fissata, quelle della velocità e dello spostamento sono ricavabili perintegrazione. Ultimo ingrediente è il principio di conservazione della quantità dimoto. L’idea alla base di tali metodi è di costruire la risposta del sistema passodopo passo: i campi di spostamento, velocità e accelerazione nell’istante finale delpasso t1 sono calcolati in funzione della risposta nell’istante iniziale t0.

Il presente capitolo, senza pretese di completezza, ha l’obiettivo di accennarealle procedure che vengono usualmente adottate per integrare al passo le equazionedel moto e mettere in evidenza le motivazioni per cui tali metodi sono indicatiper la soluzione di problemi non lineari.

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3 Integrazione al passo delle equazioni del moto

Figura 3.1: Leggi di variazione di accelerazione, velocità e spostamento in unpasso temporale.

3.1 Metodo di integrazione di Eulero-Gauss

Si consideri un sistema ad un grado di libertà (SDOF). Il principio di conservazionedella quantità di moto è descritto dall’equazione:

ma+ cv + kd = p (3.1)

La procedura di Eulero Gauss, descritta nel dettaglio in [1], permette di deter-minare la risposta all’istante finale del passo t1 conoscendo spostamento e velocitànell’istante iniziale del passo t0. Si suppone infatti che all’istante iniziale di ognipasso la velocità e lo spostamento sono noti: all’istante t = 0 sono note le con-dizioni iniziali, mentre nei passi intermedi la velocità e lo spostamento vengonocalcolati in funzione della risposta nel passo precedente. Si ipotizza che l’accele-razione all’interno del passo sia costante e pari al valore medio tra l’accelerazioneall’istante iniziale a0 e finale a1. Fissata la legge di variazione dell’accelerazione,integrando si determinano la velocità e lo spostamento (si veda figura 3.1).

L’accelerazione all’istante iniziale a0 viene valutata imponendo la conservazio-ne della quantità di moto all’istante t0, come mostrato nell’equazione (3.2).

a0 =1

m(p0 − cv0 − kd0) (3.2)

Per determinare l’accelerazione nell’istante finale del passo a1 è necessarioiterare: partendo da un valore di primo tentativo di a1 si determinano v1 e d1 con leequazioni in figura 3.1, entrando con questi valori nell’equazione di conservazionedella quantità di moto 3.1 si aggiorna il valore dell’accelerazione a1 e si itera

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3.2 Procedure di Newmark e Hilber-Huges-Taylor

fintanto che i due valori di accelerazione non differiscano più di una tolleranzafissata.

3.2 Procedure di Newmark e Hilber-Huges-Taylor

La procedura di Eulero Gauss è stata successivamente affinata da Newmark e al-tri. Nel presente lavoro si utilizza il metodo di Hilber-Huges-Taylor. Le differenzerispetto ad Eulero Gauss si evidenziano nelle leggi con cui variano accelerazio-ne, velocità e spostamenti nel passo temporale. Tali leggi sono mostrate nelleequazioni 3.3

v1 = v0 + (1 − γ)ha0 + γha1 (3.3)

d1 = d0 + hv0 + (1/2 − β)h2a0 + βh2a1 (3.4)

dove β = (1 − α)2/4 è un fattore che pesa differentemente l’accelerazione ini-ziale e finale nella formula della velocità; γ = 1/2 − α svolge un ruolo analogonella formulazione dello spostamento. Il parametro γ è responsabile dello smor-zamento artificiale indotto dall’utilizzo di un metodo numerico. Alcuni autori [1]hanno visto che lo smorzamento artificiale massimo si ottiene ponendo α = −1/3e h = 0.4T , dove T è il periodo indagato. Non si ha smorzamento artificialeponendo γ = 0.5 e β = 0.25. Nel presente lavoro si sono adottati i seguenti valoriper i parametri: α = −0.55, β = 0.275665, γ = 0.55.

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Bibliografia

[1] Ray W. Clough e Penzien Joseph. Dynamics of Structures. Berkeley: Com-puters & Structures, Inc., 2003.

[2] P. Kmiecik e M. Kaminski. Modelling of reinforced concrete structures andcomposite structures with concrete strength degradation taken into considera-tion. Wrocław, Poland: Wrocław University of Technology, Archives of civile mechanical engineering, 2011.

[3] J. Lee e G. L. Fenves. «Plastic-Damage Model for Cyclic Loading of ConcreteStructures». In: Journal of Engineering Mechanics 124.8 (1998), pp. 892–900.

[4] J. Lubliner et al. «A Plastic-Damage Model for Concrete». In: InternationalJournal of Solids and Structures 25 (1989), pp. 299–329.

[5] Simulia. Abaqus 6.13 Finite Element Analysis System. Dessault Systèmes,2013.

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Analisinonlineariconilprogrammaagli...

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