Analisi e Modelli Matematici - UniTn · q=1; M=20 Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche...

Analisi e Modelli Matematici

Lezione 5

Marzo - Aprile 2014

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analiticheEquazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheRicerca di integrali generaliEquazioni del secondo ordine- Esempio

è la posizione all’istante t=0

Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m

t �→ x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l’equazione

mx��(t) = −k x(t) dove “k” è positivo ed è un coefficiente di elasticità.

q=1; M=20






L’equazione precedente viene abitualmente scritta come

x�� = −ω2x dove ω :=�

mk > 0

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analiticheEquazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheRicerca di integrali generali(Intermezzo)

Integrale generale di equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti


Studiamo equazioni del tipo

y�� + 2γ y� + δy = 0 γ, δ ∈ R

Cerchiamo soluzioni del tipo: y(t) = eλt λ ∈ R

Sostituendo nell’equazione si ottiene:

(λ2 + 2γλ+ δ)eλt = 0che è verificata per ogni t reale esattamente quando è una soluzione dell’equazione:

λ2 + 2γλ+ δ = 0

λ

Questa equazione algebrica si dice “equazione caratteristica” dell’equazione differenziale

q=1; M=20




Studiamo l’equazione differenziale: y�� + 2γ y� + δy = 0 γ, δ ∈ R

λ2 + 2γλ+ δ = 0

Se γ2 − δ > 0 l’equazione caratteristica ha le due soluzioni reali

λ1 = −γ −�γ2 − δ, λ2 = −γ +

�γ2 − δ

la cui equazione caratteristica è

e l’integrale generale dell’equazione differenziale è

y(t) := c1eλ1t + c2e

λ2t

q=1; M=20




Studiamo equazioni del tipo y�� + 2γ y� + δy = 0 γ, δ ∈ R

λ2 + 2γλ+ δ = 0

avremmo due soluzioni complesse coniugate.

con l’equazione caratteristica

Se γ2 − δ < 0

Si potrebbe procedere come prima utilizzando esponenziali complessi. Se vogliamo evitarlo, basta osservare che le due funzioni

y1(t) := e−γt sin(�δ − γ2 t), y2(t) := e−γt cos(

�δ − γ2 t)

sono entrambe soluzioni dell’equazione differenziale e quindi, ponendo

ω :=�

δ − γ2

l’integrale generale è

y(t) := e−γt(c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt))

q=1; M=20




Studiamo equazioni del tipo

y�� + 2γ y� + δy = 0 γ, δ ∈ R

λ2 + 2γλ+ δ = 0con l’equazione caratteristica

Infine se γ2 − δ = 0 cioè γ2 = δ

le funzioni

y1(t) := e−γt, y2(t) := t e−γt

sono soluzioni e l’integrale generale è

y(t) := e−γt(c1 + c2t)

q=1; M=20




Analogia con le successioni per ricorrenza del secondo ordine�s0 = α, s1 = β sono assegnati,

sn+1 = Asn +Bsn−1

verifica la condizione:sn := λn1 sn+1 = Asn +Bsn−1

esattamente quando è una soluzione dell’equazione caratteristicaλ1

λ2 −Aλ−B = 0

se sono soluzioni dell’equazione caratteristica allora tutte le successioni della forma

λ1, λ2

sn := c1λn1 + c2λ

n2

verificano la condizione: sn+1 = Asn +Bsn−1

verificano la condizione:

Le costanti possono essere determinate in modo che siano verificate le condizioni iniziali.

c1, c2,

q=1; M=20







x�� = −ω2x dove ω :=�

mk > 0

Le soluzioni sono della forma

t �→ x(t) := c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) per t ∈ R.

c1 = x(0)

c2 ω = x�(0)

posizione per t=0

velocità per t=0

q=1; M=20



Quindi l’unica soluzione del problema di Cauchy

x�� = −ω2x

x(0) = x0

x�(0) = v0

è la funzione t �→ x(t) := x0 cos(ωt) +v0ω sin(ωt)

q=1; M=20




x�� = −ω2x

x(0) = x0

x�(0) = v0

è la funzione t �→ x(t) := x0 cos(ωt) +v0ω sin(ωt) = A cos(ωt+ ω0)

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5

0.5

1.0

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5

0.5

1.0

A = 1, ω0 = 0 A = 1, ω0 = π/2

q=1; M=20




x�� = −ω2x

x(0) = x0

x�(0) = v0

è la funzione t �→ x(t) := x0 cos(ωt) +v0ω sin(ωt) = A cos(ωt+ ω0)

A =�x20 +

v20

ω2 è l’ ampiezza del moto

ω0 = arccos�x0A

�è la fase del moto. Nota che A>0 tranne che nel caso in cui P sia fermo nell’origine.

q=1; M=20



Esercizio: scrivere c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

A cos(ωt+ ω0)

come

t �→ x(t) := x0 cos(ωt) +v0ω sin(ωt)

= A cos(ωt+ ω0)

�1 1 2 3 4 5 6

�2

�1

1

2

�1 1 2 3 4 5 6

�2

�1

1

2

q=1; M=20



Vibrazioni meccaniche con una forza esterna periodica

�y�� + ω2y = sin(δt)

y(0) = y�(0) = 0ω2 �= δ2

La soluzione è

t �→ y(t) :=1

ω2 − δ2�− δ

ωsinωt+ sin δt

�

Se ω = 1, δ = 1.4

50 100 150 200

�2

�1

1

2

q=1; M=20



Vibrazioni meccaniche con una forza esterna periodica �y�� + ω2y = sin(δt)

y(0) = y�(0) = 0ω2 �= δ2

La soluzione è t �→ y(t) :=1

ω2 − δ2�− δ

ωsinωt+ sin δt

�

Se ω = 1, δ = 1.1

50 100 150 200

�10

�5

5

10

q=1; M=20



ω = 1, δ = 1.150 100 150 200

�10

�5

5

10

ω = 1, δ = 1.05

100 200 300 400

�20

�10

10

20

q=1; M=20



Vibrazioni meccaniche libere di un punto P di massa m con resistenza viscosa



La forma delle soluzioni dipende dalla grandezza reciproca dei coefficienti

mx��(t) = −k x(t)− βx�(t)

x�� + 2γx� + ω2x = 0 dove ω :=�

mk > 0 e γ = 1

2βm

q=1; M=20



x�� + 2γx� + ω2x = 0 γ > 0

L’equazione caratteristica è

λ2 + 2γλ+ ω2 = 0

che ha le soluzioni

λ1 = −γ −�

γ2 − ω2 λ2 = −γ +�γ2 − ω2

reali o complessi

q=1; M=20



(debole smorzamento)

Continuano ad esserci oscillazioni però smorzate.

0 < γ < ω

Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono:

λ1 = −γ − i�

ω2 − γ2 λ2 = −γ + i�ω2 − γ2

Ponendo per semplicità ν =�

ω2 − γ2

l’integrale generale è

x(t) := e−γt(c1 cos(νt) + c2 sin(νt))

oppure, in altra forma,

x(t) := Ae−γt cos(νt+ α)

q=1; M=20



(debole smorzamento)0 < γ < ω

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5

0.5

1.0

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5

0.5

1.0

ω = 2, γ = 0.2 ω = 2, γ = 0.8

Esempi di soluzioni sono

q=1; M=20



Se supponiamo γ > ω (forte smorzamento)

sono entrambe reali e negative.λ1, λ2

L’integrale generale dell’equazione differenziale è:

x(t) := c1eλ1t + c2e

λ2t

per arbitrarie costanti reali c1 e c2.

allora

Tutte le soluzioni hanno limite zero per t tendente a +∞

Non ci sono andamenti oscillatori.

q=1; M=20



γ > ω (forte smorzamento)

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Esempi di soluzioni sono:

x(0) = 1, x�(0) = 1 x(0) = 1, x�(0) = −1

q=1; M=20



γ > ω (forte smorzamento)

Le soluzioni possono anche cambiare segno:

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5

0.5

1.0

1.5

x(0) = 1, x�(0) = −5

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analiticheEquazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheRicerca di integrali generaliIsocrona di Leibniz


Nel numero di Settembre 1687 della rivista Nouvelles de la République des lettres Leibniz pone il seguente problema: “trovare una curva y(x) tale che, quando un corpo scivola lungo questa curva, la sua velocità verticale dy/dt sia in ogni istante uguale ad una costante assegnata -b”

0.1 0.2 0.3 0.4

�30

�25

�20

�15

�10

�5−b

−b

−b

q=1; M=20



La soluzione viene data un mese più tardi dal “Vir Celeberrimus Christianus Hugenius” , ma senza dimostrazione. Leibniz pubblica una “dimostrazione” nel 1689 che lascia insoddisfatti i contemporanei. Invece una dimostrazione che usa il “moderno” calcolo differenziale è pubblicata da Jacob Bernoulli (1690).

Galileo aveva scoperto che se un corpo cade, a partire dall’origine, la sua velocità quando raggiunge un quota y<0 è

v =�

−2gy

dove “g” è l’accelerazione di gravità ed è una costante.

Quindi se s(t)=(x(t),y(t)) rappresenta la traiettoria del punto in caduta

��ds

dt

��2

= −2gy(t)

q=1; M=20



Cioè ��ds

dt

��2

=

�dx

dt

�2

+

�dy

dt

�2

= −2gy(t)

utilizzando la condizione

�dy

dt

�2

= b2

si ottiene

e quindi

�dx

dt

�2

+

�dy

dt

�2

=

�dx

dy

dy

dt

�2

+

�dy

dt

�2

= b2��

dx

dy

�2

+ 1

�= −2gy(t)

�dx

dy

�2

= −1− 2gy(x)

b2

q=1; M=20



otteniamo infine

ed equivalentemente

dx

dy= −

�−1− 2gy(x)

b2

dy

dx= − 1�

−1− 2gb2 y(x)

Si tratta di una equazione a variabili separabili. Procedendo come al solito:

−� �

−1− 2g

b2y dy =

�dx

b2

3g

�−1− 2g

b2y(x)

�3/2

= x+ c

q=1; M=20



con la condizione iniziale y(0) = − b2

2g

si ottiene c=0. Infine esplicitando y(x):

y(x) = − b2

2g

�1 +

�3g

b2

�2/3

x2/3

�

y(0) = − b2

2g

“Solutio sit linea paraboloeides quadrato cubica...” (Leibniz)

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analiticheEquazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheRicerca di integrali generaliLa Trattrice


“Il famoso medico parigino Claude Perrault, altrettanto famoso per i suoi studi di meccanica e di architettura ... e membro dell’Accademia Reale Francese delle Scienze, propose questo problema a me e a molti altri prima di me, ammettendo chiaramente di non essere stato in grado di risolverlo...”

Leibniz (1693)

Per quale curva la lunghezza del segmento di tangente, compreso fra la curva e l’asse delle ascisse, è costante?

q=1; M=20



0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y(x)

x x− y(x)

y�(x)

a

a = 1

y(x)2 +

�y(x)

y�(x)

�2

= a2

q=1; M=20



y(x)2 +

�y(x)

y�(x)

�2

= a2

y�(x) = − y(x)�a2 − y(x)2

Abbiamo scelto il segno meno compatibilmente con il disegno precedente. E’ ancora un’equazione a variabili separabili, quindi

−�a2 − y2

ydy = dx

−� �

a2 − y2

ydy = x+ c

q=1; M=20



−� �

a2 − y2

ydy = x+ c

La primitiva si calcola esplicitamente con la sostituzione

�a2 − y2 = v, a2 − y2 = v2, −ydy = vdv

e si ottiene

�v2

a2 − v2dv = x+ c

−v +a

2log |a+ v

a− v| = x+ c

che si integra con la tecnica dei “fratti semplici” (introdotta da Johann Bernoulli nel 1702) ottenendo

q=1; M=20



−� �

a2 − y2

ydy = x+ c

Quindi da

si ottiene

−�a2 − y2 + a log(

a+�a2 − y2

y) = x+ c

e con la condizione y(0)=a si ha c=0

x = −�

a2 − y2 + a log(a+

�a2 − y2

y)

q=1; M=20



x = −�

a2 − y2 + a log(a+

�a2 − y2

y)

�2 �1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analiticheEquazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheRicerca di integrali generaliLa CATENARIA


Nel 1690 Jakob Bernoulli pose esplicitamente il problema di trovare la curva che rappresenta la forma di un cavo pesante, flessibile e inestendibile, appeso liberamente a due punti fissi. Questa curva è chiamata da Leibniz “Catenaria”.

Il problema era stato trattato da Leonardo da Vinci nel XV secolo. Galileo nel 1638 aveva affermato che la forma assunta fosse simile a quella di una parabola “la catenella cammina quasi ad unguem sopra la parabola”. Nel 1646 Christiaan Huygens (16 anni) aveva mostrato, in una lettera a Padre Mersenne, con ragionamenti fisici, che la catenaria non poteva essere una parabola.

Christiaan HuygensL’Aia 1629-L’Aia 1695

La catenaria in un manoscritto di Huygens

q=1; M=20



Negli <<Acta Eruditorum>> del giugno 1691, Leibniz, Huygens, Johann Bernoulli pubblicano, indipendentemente, le loro soluzioni.

“...Gli sforzi di mio fratello non ebbero successo; per parte mia fui più fortunato, perché trovai il modo di risolverlo ... E’ vero che mi costò tanto sforzo da rubarmi il riposo per una intera notte... il mattino successivo corsi da mio fratello che stava lottando contro questo nodo gordiano pensando, come Galileo, che la catenaria fosse una parabola. Alt. Alt, gli dico...”

Johann Bernoulli (lettera a Pierre de Montmort del 1718)

q=1; M=20



�1.0 �0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

A

V

La pendenza in A è proporzionale alla massa M della catena nel tratto VA, la quale a sua volta è proporzionale ala lunghezza dello stesso tratto di catena

c y�(x) =

� x

0

�1 + y�(t)2dt

q=1; M=20



c y�(x) =

� x

0

�1 + y�(t)2dt

c y��(x) =�

1 + y�(x)2

Sostituendo y’(x)=p(x)

c p� =�

1 + p2

che è a variabili separabili

c1�

1 + p2dp = dx

q=1; M=20



c1�

1 + p2dp = dx

c

�1�

1 + p2dp =

�dx

c sinh−1(p) = x+ c1

p(x) = y�(x) = sinh(x

c+

c1c)

se poniamo la condizione y’(0)=0 otteniamo c1=0

y�(x) = sinh(x

c)

q=1; M=20



se poniamo la doppia condizione y’(0)=0 e y(0)=1 otteniamo c1=c2=0

y�(x) = sinh(x

c+

c1c)

y(x) = c cosh(x

c+

c1c) + c2

y(x) = c cosh(x

c)

q=1; M=20



�1.0 �0.5 0.5 1.0

�3

�2

�1

1

2

3

4

Tre catenarie di diversa lunghezza con gli stessi estremi: (-1,4) e (1,4)

q=1; M=20



Confronto fra la catenaria (in rosso) e la parabola (in azzurro) con gli stessi estremi e lo stesso vertice.

�1.0 �0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

q=1; M=20



Confronto fra la catenaria (in rosso) e la parabola (in azzurro) con gli stessi estremi e lo stesso vertice. La differenza diventa più marcata quando le pendenze sono maggiori.

�1.0 �0.5 0.5 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

�1.0 �0.5 0.5 1.0

1

2

3

4

5

6

q=1; M=20



Cattedrale di St Paul (Londra)Sir Christopher Wren

Gateway Arch a St.Luis (1968)Eero Saarinen- Hannskarl Bandel

Iraq- Ctesiphon IV sec A.C.

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analiticheEquazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheRicerca di integrali generaliLa BRACHISTOCRONA


Negli <<Acta Eruditorum>> del 1696 Johann Bernoulli propose, come sfida agli altri matematici, il problema in seguito diventato famoso come problema della brachistocrona.

“Dati due punti A e B in un piano verticale, determinare il cammino AMB lungo il quale una particella M che parte da A ed è soggetta unicamente al proprio peso raggiunge B nel tempo minore.”

Joh. Bernoulli

Il problema era già stato affrontato da Galileo nel 1638. Galileo aveva dimostrato, correttamente, che il segmento congiungente A e B non era la traiettoria ottimale, ma aveva poi concluso, in modo errato, che la traiettoria ottimale fosse un arco di circonferenza.

Johann BernoulliBasilea 1667- Basilea 1748

Newton, Leibniz, de L’Hospital, Johann Bernoulli e Jacob Bernoulli trovarono tutti la soluzione esatta. Tutte furono pubblicate nel numero di maggio di <<Acta Eruditorum>> del 1697.Con sorpresa, scoprirono che la curva soluzione era un arco di cicloide.

q=1; M=20



Johann Bernoulli usa il “Principio di Fermat”, secondo il quale il percorso di massima velocità media (e minimo tempo di percorrenza) per un corpo che parte da A e raggiunge B e deve attraversare due regioni nelle quali si muove con velocità differenti

A

B

velocita v1

velocita v2

v1 < v2

è caratterizzato dalla condizione seguente

Le tecniche di soluzione utilizzate sono differenti.

q=1; M=20



“Principio di Fermat”

A

Bvelocita v2

velocita v1

α1

α2

v1sinα1

=v2

sinα2

q=1; M=20



Considerando lo spazio diviso in tanti strati orizzontali in ciascuno dei quali la velocità di caduta è costante e uguale a , poiché y(x)<0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

�3.0

�2.5

�2.0

�1.5

�1.0

�0.5

dx

dyds

v =�

−2gy

α

Johann Bernoulli osserva che il principio di Fermat implica la condizione:

v

sinα= costante

inoltre, poiché

sinα =dx

ds=

1�1 + (dy/dx)2

o t t i e n e l ’ e q u a z i o n e differenziale

q=1; M=20



Che può essere riscritta come

�−2gy

�1 + (y�)2 = K

y� = −

�2gy +K2

−2gy

La scelta del segno della radice è motivata dal fatto che y’(x)<0.

−�

−2gy

2gy +K2dy = dx

e ponendo si ottiene:δ =K2

2g

q=1; M=20



integrando si ottiene

Imponendo la condizione che il moto abbia inizio dall’origine, cioè y(0)=0 si ottiene c=0. La soluzione assume i valori −δ ≤ y(x) ≤ 0

q=1; M=20



con M=4, otteniamo il grafico

1 2 3 4 5 6

�4

�3

�2

�1

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