Analisi e gestione del rischio

Lezione 16

Rischio di controparte in derivati

Derivati su mercati OTC

• Lo sviluppo del mercato del finanza strutturata e l’operatività dei fondi speculativi ha spostato il baricentro dell’operatività in prodotti derivati sul mercato OTC

• Il mercato OTC consente – la copertura più precisa dei rischi connessi alle

operazioni di finanza strutturata (es la copertura di prodotti esotici)

– la realizzazione più precisa di strategie speculative degli hedge fund

Valutazione di prodotti OTC

• La valutazione dei contratti OTC richiede di prendere in considerazione la possibilità che– La controparte fallisca prima della scadenza del

contratto.– Il contratto debba essere chiuso prima della

scadenza naturale del contratto– Le condizioni del merito di credito e di liquidità

del mercato possono cambiare nel corso del contratto

L’esempio più semplice

• Consideriamo un contratto lineare OTC, un forward, stipulato a tempo 0.

• Se analizziamo la posizione prendendo in considerazione solo il rischio di variazioni del sottostante la valutazione è immediata

CF(t) = P(t,T)EQ[S(T) –F(0)] = S(t) – P(t,T)F(0)

dove F(0) è il prezzo forward al tempo 0. • Si noti che il prodotto è lineare (delta = 1) ed il

portafoglio di replica è statico.

Il rischio di controparte

• Per semplicità assumiamo che la il default della controparte avvenga alla data di consegna T. Si noti che i tempi necessari per l’eventuale recupero del credito sono tipicamente superiori a quelli di un derivato, a favore della nostra ipotesi, che comunque verrà abbandonata.

• Assumiamo che se il valore del derivato alla data di scadenza è positivo per la controparte in default l’altra sia tenuta a onorare comunque il contratto, mentre se è negativo il credito della controparte ha lo stesso grado di seniority delle altre passività.

Posizioni lunghe e corte• La valutazione dell’impatto del rischio di controparte

richiede la distinzione del segno della posizione. Assumiamo che la controparte A sia lunga (acquisto del forward) e la controparte B sia corta (vendita).

• Nel caso in cui alla data di consegna sia S(T) > F(0) si dice che il contratto è in-the-money per la controparte lunga. In questo caso l’evento di credito rilevante è il default della controparte corta del contratto.

• Se si verifica invece S(T) < F(0) si dice che il contratto è in-the-money per la controparte corta, ed è questa a essere esposta al rischio di credito. In questo caso l’evento di credito rilevante è il default della controparte lunga del contratto.

Default e perdita

• Introduciamo due funzioni caratteristiche 1A e 1B. Ciascuna funzione assume valore 1 se la controparte riportata in pedice (A o B) è in stato di default al tempo T, e zero altrimenti.

• Definiamo RRA e RRB i tassi di recupero delle due controparti. Nello stesso modo definiamo le loss-given-default LgdA = 1 – RRA e LgdB = 1 – RRB.

Rischio di controparte (lunga)

• Il valore del pay-off del contratto forward deve tenere conto sia del segno del valore sia dell’evento di default della controparte rilevante.

• Dal punto di vista della controparte lunga

CFA(T) = max[S(T) – F(0),0](1 –1B) +

max[S(T) – F(0),0]RRB1B –

– max[F(0) –S(T),0] =

CF(T) – LgdB1Bmax[S(T) – F(0),0]

Rischio di controparte (corta)

• Anche per la controparte corta l’evento di default è rilevante solo nell’ipotesi in cui il valore del contratto finisca in-the-money.

• Dal punto di vista della controparte corta

CFB(T) = max[F(0) – S(T),0](1 –1A) +

max[F(0) – S(T),0]RRA1A – – max[S(T) – F(0),0] =

– CF(T) – LgdA1Amax[F(0) – S(T),0]

Il rischio di controparte

• Il rischio di controparte corrisponde a una posizione corta in opzioni.

• L’opzione è di tipo call per il rischio di controparte dal punto di vista della controparte lunga del contratto. E’ di tipo put dal punto di vista della controparte corta.

• N.B. L’esercizio dell’opzione dipende da– Il valore del sottostante alla data T– L’evento di default della controparte rilevante

Valutazione del contratto

• Il valore del prodotto dal punto di vista della controparte lunga sarà dato da

CFA(t) = S(t) – P(t,T)F(0) – EQ[P(t,T)LgdB1Bmax[S(T) – F(0),0]] =

• Dal punto di vista della controparte corta avremo invece

CFB(T) = – S(t) + P(t,T)F(0) – EQ[P(t,T)LgdA1Amax[F(0) – S(T),0]]

Fattori di rischio

• Il rischio di controparte è rappresentato da

EQ[P(t,T)Lgdi1imax[(S(T) – F(0)),0]]con i = A, B e = 1(–1) per opzioni call (put)

• Il rischio di controparte è composto da– Rischio di tasso.– Rischio di mercato del sottostante– Rischio di default della controparte – Rischio di recovery

• Tutti questi fattori di rischio possono essere correlati tra di loro.

Un modello semplice

• Per focalizzare l’attenzione sugli effetti del rischio di controparte assumiamo che– Il tasso d’interesse sia dato o indipendente dagli

altri fattori di rischio (quali modifiche richiederebbe il modello per abbandonare questa ipotesi?)

– Il rischio di default della controparte sia indipendente dagli altri fattori di rischio.

Valutazione

• Il valore del rischio di controparte è

P(t,T)EQ[Lgdi1i] EQ[max[(S(T) – F(0)),0]]• Notiamo che nel caso di un titolo zero-coupon-bond emesso da

i, abbiamo

Di = P(t,T) – P(t,T)EQ[Lgdi1i],o anche

Di = P(t,T) – P(t,T)ELi,

con ELi = EQ[Lgdi1i] la perdita attesa (expected loss).• Nel caso di indipendenza tra il mercato sottostante ed il rischio

di default della controparte abbiamo

[P(t,T) –Di] EQ[max[(S(T) – F(0)),0]]

Effetti del rischio di controparte (1)

• Il primo effetto del rischio di controparte è quello di introdurre un secondo fattore di rischio.

• Il valore del contratto finanziario può cambiare a causa di variazioni del profilo di rischio della controparte, riflessa nel credit spread di mercato o nella expected loss.

Il rischio di credito: approccio strutturale

• Nel modello strutturale il rischio di credito è rappresentato da una posizione corta in un’opzione put. Otteniamo quindi

V(t)(-r(T-t))/ Bd

tT

tTdd

tT

tTdd

dN

dNdNEL

V

V

V

V

exp

2//1ln

2//1ln

d

11

2

2

2

1

2

12

Il rischio di credito: i modelli in forma ridotta

• Alternativamente, la probabilità di default può essere rappresentata in termini di intensità di default nell’approccio in forma ridotta (o intensity based).

• In questo caso probabilità di default di una controparte è data da

DP = (1 – exp(–(T–t))e quindi

EL = Lgd(1 – exp(–(T–t))

Informazione sul rischio di credito

• La probabilità di default può essere calibrata usando– Dati storici (tassi di default e matrici di

transizione)– Informazione implicita nei prezzi azionari – Informazione implicita negli asset swap.– Informazione implicita nei credit spread– Informazione implicita nei CDS

Effetti del rischio di controparte (2)

• Un effetto rilevante del rischio di controparte è quello di trasformare un qualsiasi prodotto lineare in uno non lineare.

• La componente di non linearità modifica il profilo di rischio del prodotto finanziario anche rispetto al rischio di mercato del sottostante.

• In altri termini, anche assumendo che il merito rischio della controparte resti lo stesso, il valore del contratto risponde in maniera diversa ad aumenti e diminuzioni del sottostante.

Greek letters

• La sensitività del contratto derivato a variazioni infinitesime del prezzo di mercato non è più quella di un titolo lineare. Abbiamo infatti

A = 1 – ELBN()B = – 1 + ELAN(– )

con

=(ln(S(t)/F(0))+(r + ½ 2)(T – t))/[(T – t)1/2 ]

Effetti del rischio di controparte (3)

• Non solo il rischio di controparte introduce non linearità in prodotti lineari: poiché si tratta di posizioni corte in opzioni, il tipo di non linearità introdotta è particolarmente rischiosa.

• A parità di merito di credito della controparte e di valore di mercato del sottostante, il valore del contratto può essere ridotto da un aumento della volatilità del mercato (effetto vega)

• Il rischio di controparte aumenta per variazioni di dimensioni rilevanti del sottostante sia al rialzo che al ribasso (effetto gamma).

Gamma e Vega• L’effetto di variazioni di dimensioni rilevanti

del sottostante è dato da

– n()/ [S(t)(T – t)1/2]

• L’effetto di variazioni della volatilità è dato da

– S(t)n()/ [(T – t)1/2 ]

=(ln(S(t)/F(0))+(r – ½ 2)(T – t))/[(T – t)1/2 ]

Un esempio

• Anagrafica contratto forward– Valore nozionale 1 milione– Volatilità 20%– Tempo di delivery 1 anno

• Anagrafica della controparte– Loss given default (Lgd): 100%– Probabilità di default a 1 anno: 5%

• Valore del rischio di controparte all’origine per posizione sia lunga che corta: 3983

Rischio di controparte (posizione lunga)

-500000

-400000

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

400000

500000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Delta del contratto forwardPosizione lunga

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1

1,01

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Rischio di contropartePosizione lunga

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Rischio di controparte(Posizione corta)

-500000

-400000

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

400000

500000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Delta del contratto forwardPosizione corta

-1,01

-1

-0,99

-0,98

-0,97

-0,96

-0,95

-0,94

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Rischio di controparte(Posizione corta)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Rischio di controparte e volatilitàPosizione lunga

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,1

0,2

0,3

0,4

Rischio di controparte e volatilitàPosizione corta

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,1

0,2

0,3

0,4

Default prima della scadenza

• Modifichiamo adesso l’analisi assumendo che il default si verifichi prima della scadenza, per esempio al tempo .

• Il valore della perdita per posizioni lunghemax[S() – P( ,T)F(0), 0 ]

e per le posizioni cortemax[P( ,T)F(0) – S(), 0 ]

• Il valore dell’esposizione al rischio di controparte è dato da una sequenza di opzioni che verrano moltiplicate per la densità di probabilità di default corrispondente a tempo .

Un algoritmo di valutazione del rischio di controparte

• Ripartiamo il tempo di vita del contratto forward in una griglia di date {t1,t2,…tn}

• Denotiamo Gj(ti) la probabilità di sopravvivenza della controparte j = A, B oltre il tempo ti.

• Calcoliamo

[GB(ti -1) – GB(ti) ]Call(S(ti), ti; P(ti ,T)F(0), ti )

[GA(ti -1) – GA(ti) ] Put(S(ti), ti; P(ti ,T)F(0), ti )rispettivamente per posizioni lunghe o corte

• Sommiamo i valori così ottenuti da per i che va da 1 a n.

0,0000%

0,0001%

0,0002%

0,0003%

0,0004%

0,0005%

0,0006%

0,0007%

Daily Weekly Quarterly Semestral Yearly

Rischio di controparte in contratti swap

• In un contratto swap entrambe le gambe del contratto sono esposte al rischio di controparte.

• Nell’evento di default di una delle due parti l’altra subisce la perdita del valore netto di due flussi di pagamenti, se positivo.

• Si noti che il valore netto del contratto è positivo se il valore del tasso swap al tempo del default è maggiore di quello all’origine, quando il contratto ha valore zero per convenzione.

L’esposizione al rischio di controparte

• Assumiamo che lo scadenzario del contratto swap sia {t1, t2,…, tn} e che il default della controparte che riceve fisso (B) si verifichi tra il tempo tj-1 e tj. In questo caso la perdita per la controparte che paga fisso è pari a

dove sr è il tasso swap al tempo tj e k è il tasso swap originario.

• Si noti che il pay-off è quello di una swaption payer.

1-n

ji1B 0,,max,Lgd kttsrttP nji

L’esposizione al rischio di controparte

• Assumiamo che lo scadenzario del contratto swap sia {t1, t2,…, tn} e che il default della controparte che paga fisso (A) si verifichi tra il tempo tj-1 e tj. In questo caso la perdita per la controparte che riceve fisso è pari a

dove sr è il tasso swap al tempo tj e k è il tasso swap originario.

• Si noti che il pay-off è quello di una swaption receiver.

1-n

ji1A 0,,max,Lgd nji ttsrkttP

Rischio di credito (gamba fissa)Vulnerable Call Swaptions: Financial Institution Paying Fixed

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Independence

Perfect positive dependence

Swap credit risk: BaaFixed-Payer

Correl. 5years 10years 15years 20years 25years 30yearsRho

0 0,0259% 0,0686% 0,0935% 0,1141% 0,1385% 0,1678%0,25 0,0536% 0,1448% 0,2178% 0,2574% 0,3056% 0,3658%

0,5 0,0813% 0,2210% 0,3420% 0,4007% 0,4726% 0,5637%0,75 0,1090% 0,2971% 0,4663% 0,5440% 0,6397% 0,7617%

1 0,1367% 0,3733% 0,5905% 0,6873% 0,8068% 0,9597%

Fixed-ReceiverCorrel. 5years 10years 15years 20years 25years 30yearsRho

0 0,0040% 0,0150% 0,0355% 0,0429% 0,0491% 0,0556%0,25 0,0030% 0,0113% 0,0266% 0,0322% 0,0368% 0,0417%

0,5 0,0020% 0,0075% 0,0177% 0,0215% 0,0245% 0,0278%0,75 0,0010% 0,0038% 0,0089% 0,0107% 0,0123% 0,0139%

1 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000%