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Analisi della varianza


L’analisi della varianza (ANOVA, ANalysis Of VAriance) è una tecnica dianalisi dei dati che consente di verificare ipotesi relative a differenze tra lemedie di due o più popolazioni.

L’analisi della varianza è una tecnica statistica di tipo parametrico:

• si assume che la variabile di interesse si distribuisca normalmente nellapopolazione e che i due campioni siano estratti in maniera casuale dallapopolazione;

• la numerosità campionaria è rilevante

• nel confronto tra più campioni le varianze devono essere omogenee.


È possibile classificare i diversi modelli di ANOVA in base al numero divariabili indipendenti e dipendenti:

• i modelli che prevedono una sola variabile indipendente vengono definitidisegni a una via ;

• i modelli che prevedono due o più variabili indipendenti vengono definitidisegni fattoriali ;

• i modelli che prevedono una sola variabile dipendente definisconoun’analisi della varianza univariata ;

• i modelli che prevedono due o più variabili dipendenti definiscono un’analisidella varianza multivariata (o MANOVA , Multivariate Analysis of Variance)

Analisi della varianza univariata: disegni “tra soggetti” ad un solo

fattore

Vengono definiti “tra soggetti”, oppure per gruppi indipendenti, i disegni in cuiad ogni trattamento o condizione sperimentale corrisponde un diversogruppo di soggetti. In ogni condizione ci sono soggetti diversi: un soggettoesposto ad una condizione non viene esposto a nessun’altra condizione.

A B

S1 S11

S2 S12

… …

S10 Sn

Il modello teorico dell’ANOVA

Nel modello teorico dell’ANOVA “tra i soggetti” il punteggio yij di un soggetto jnel gruppo i è così scomponibile:

y ij = µ + αi + εij

Dove:

µ è la media generale dei punteggi sul campione totale;

αi è l’effetto dovuto al trattamento (livello i della variabile indipendente), ed ècostante all’interno del trattamento;

εij è una componente “residua”, o di errore causale, specifica per ognisoggetto


La devianza rappresenta la somma dei quadrati degli scostamenti tra ognipunteggio e la media.

I diversi tipi di devianza:

• devianza totale (SST): è la somma dei quadrati (sum of squares) degliscarti (differenza tra i singoli punteggi e la media generale della variabile);

• devianza tra i gruppi (o between, SSB): è la somma dei quadrati degliscarti (differenza tra i punteggi medi di gruppo e la media generale), ovverola variabilità tra i diversi gruppi;

• devianza entro i gruppi (o within, SSW): è la somma dei quadrati degliscarti tra i punteggi di ogni soggetto e la relativa media di gruppo, ovvero allavariabilità dei soggetti all’interno di ogni gruppo.

SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA


Gradi di libertà (gdl) per ognuna delle componenti della variabilità:

• devianza totale (SST): , n–1 gdl (il gdl perso è quellodella media totale);

• devianza tra i gruppi (o between, SSB): , k–1 gdl (il gdlperso è quello della media totale);

• devianza entro i gruppi (o within, SSW): , n–k gdl (siperde un gdl per ogni media di gruppo).

Dividendo le devianze per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le varianze :

• Varianza totale (MST) = devianza totale / n–1;

• Varianza tra i gruppi (MSB) = devianza tra i gruppi / k–1;

• Varianza entro i gruppi (MSW) = devianza entro i gruppi / n–k.

GRADI DI LIBERTA’ E VARIANZE

2ij ..i j

( y y )−∑ ∑

2i ..i j

( y y )−∑ ∑

2ij i .i j

( y y )−∑ ∑


Il rapporto tra le varianze MSB / MSW segue la distribuzione F , quindi puòessere utilizzato per esaminare ipotesi sulla significatività della differenza trala variabilità dovuta al trattamento e quella residua

La F esamina le seguenti ipotesi:

H0: µ1 = µ2 = … = µk

H1: almeno due µ diverse

IL RAPPORTO «F»


Ci sono delle assunzioni che devono essere soddisfatte affinché i risultatidell’ANOVA possano essere interpretati in maniera affidabile:

• gli errori (εij) devono seguire la distribuzione normale ed avere mediauguale a 0;

• la varianza degli errori (σε) deve essere uguale in ogni gruppo (condizionedi omoschedasticità);

• gli errori (εij) devono essere indipendenti;

• gli effetti hanno una natura additiva: la variabile sperimentale «aggiunge»qualcosa alla condizione-base e lo fa in maniera «identica» per tutti isoggetti.

ASSUNZIONI

Analisi della varianza univariata:

disegni fattoriali

Vengono definiti fattoriali (o più vie) i disegni di analisi della varianza in cuivi sono due o più variabili indipendenti. Nei disegni fattoriali vengonoesaminati gli effetti di due o più variabili indipendenti sulla variabiledipendente.

Il più semplice disegno è il «2 x 2», dove abbiamo due fattori ciascuno deiquali ha due differenti livelli.

Vantaggi dei disegni fattoriali:

• consentono lo studio dell’interazione. Cioè l’effetto congiunto delle VI sullaVD

• aumentano la potenza del test, cioè la probabilità di rilevare la presenza diun effetto, quindi la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando essa è falsa

• consentono una maggiore economia nel numero dei soggetti da esaminare,mantenendo la stessa potenza del test.


disegni fattoriali

Nei disegni fattoriali abbiamo due tipi di effetti: gli effetti principali e leinterazioni.

L’effetto principale rappresenta l’effetto medio di una variabile indipendentesulla variabile dipendente, indipendentemente dai valori delle altre variabiliindipendenti.

L’interazione rappresenta l’effetto di una variabile indipendente sullavariabile dipendente non è lo stesso per tutti i livelli delle altre variabiliindipendenti.

EFFETTI PRINCIPALI E INTERAZIONI


disegni fattoriali

Nei disegni fattoriali «tra i soggetti» tutti i fattori sono fattori betweensubjects, ovvero i soggetti vengono assegnati ad ognuna delle singole celle,quindi ogni soggetto è esposto solamente ad una particolare combinazionedelle condizioni sperimentali.

DISEGNI FATTORIALI «TRA SOGGETTI» (BETWEEN SUBJECTS )

A1 A2

B1

S1

S2

…

S6

S7

…

B2

S11

S12

…

S16

S17

…

Analisi della varianza univariata: disegni “entro i soggetti” ad un solo

fattore

I disegni entro i soggetti (o within subjects) sono disegni in cui si utilizzano glistessi soggetti nelle diverse condizioni sperimentali. Nel caso di disegni entroi soggetti l’analisi della varianza viene anche detta per prove (o misure)ripetute.

A B

S1 S1

S2 S2

… …

Sn Sn


fattore

SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA TOTALE

• devianza totale (SST): , [nk–1 gdl];

• devianza tra le prove (SSk): , [k–1 gdl];

• devianza entro i gruppi (o within, SSW): , [k(n–1) gdl]

• devianza tra i soggetti (SSS): , [n–1 gdl];

• devianza residua (SSres): SSW – SSs , [(n–1)(k–1) gdl];

2ij ..i j

( y y )−∑ ∑2

. j ..i j( y y )−∑ ∑

2ij . ji j

( y y )−∑ ∑2

i . ..i j( y y )−∑ ∑


fattore

Ci sono delle assunzioni che devono essere soddisfatte affinché i risultatipossano essere interpretati in maniera affidabile:

• gli errori (εij) devono essere indipendenti;

• gli errori (εij) devono seguire la distribuzione normale ed avere mediauguale a 0;

• la varianza delle differenze tra tutte le coppie delle misure ripetute deveessere uguale (sfericità o circolarità);

•gli effetti hanno una natura additiva: la variabile sperimentale «aggiunge»qualcosa alla condizione-base e lo fa in maniera «identica» per tutti isoggetti.

ASSUNZIONI

Analisi della varianza disegni fattoriali «Misti»

Nei disegni fattoriali «misti», almeno un fattore è tra i soggetti ed almeno unfattore è entro i soggetti.

I soggetti vengono esposti a tutte le condizioni sperimentali della variabileentro, e soltanto ad un livello della variabile tra.

A1 A2

B1

S1

S2

…

S1

S2

…

B2

S6

S7

…

S6

S7

…


- Le variabili -

La o le variabili dipendenti sono di tipo quantitativo (scala intervalli orapporto).

Le variabili indipendenti possono essere di due tipi:

• categoriale o qualitativo a loro volta distinte in variabili:

- tra soggetti o fattori beetween

- entro soggetti o fattori within

• quantitativo note anche come covariate .

Analisi della varianza Univariata

Il caso più semplice di analisi della varianza univariata è il t-test percampioni indipendenti. In quel caso l’obiettivo è quello di confrontare, peruna fissata variabile dipendente, le medie di due gruppi indipendenti disoggetti (fattore between a 2 livelli).

L’analisi della varianza univariata può essere vista come un’estensione delt-test per campioni indipendenti nei casi in cui:

- il fattore between ha più di due livelli (aov a una via);

- esiste più di un fattore between (aov a due o più vie, o aov fattoriale).

OBIETTIVO ANALISI DELLA VARIANZA UNIVARIATA BETWEEN


Si supponga di aver somministrato un test di logica ad un campione disoggetti provenienti da tre tipi differenti di scuole superiori (liceo classico,liceo scientifico, liceo artistico); e di voler valutare se esiste un effetto “scuoladi provenienza” sul numero di risposte corrette al test.

Il modello da adottare sarà quello di analisi della varianza ad una via con:

� variabile dipendente : il numero di risposte corrette al test

� variablie indipendente � un fattore beetween a 3 livelli : scuola diprovenienza (classico, scientifico, artistico)

ESEMPI DI APPLICAZIONE AOV AD UNA VIA


Riprendendo l’esempio precedente si supponga di disporre anche della classe di provenienza dei soggetti, e di voler valutare i seguenti aspetti:

• Complessivamente i soggetti rispondono in maniera diversa a seconda della scuola di provenienza?

• Complessivamente i soggetti rispondo in maniera diversa a seconda della classe frequentata?

• Esiste un interazione tra il tipo di scuola di provenienza e la classe frequentata? (le differenze tra i tipi di scuola sono costanti per ogni livello di classe frequentata? )

Il modello da adattare ai dati sarà di analisi della varianza 3x5 con:

� variabile dipendente : il numero di risposte corrette;

� un fattore between a 3 livelli : “scuola di provenienza” (classico, scientifico, artistico);

� un fattore between a 5 livelli : “classe” (Ia, IIa, IIIa, IVa, Va)

ESEMPI DI APPLICAZIONE AOV FATTORIALE


• Le osservazioni seguono una distribuzione normale sulla variabile dipendente in ciascun gruppo.

• Le varianze dei gruppi sono uguali (omogenietà della varianza).

• Le osservazioni sono indipendenti.

ASSUNZIONI

Analisi della varianza Univariata ad una via

LA FORMULAZIONE DEL PROBLEMA

Nota: K è il numero di livelli del fattore between

L’APPROCCIO STATISTICO

H0 µ1 = µ2 = µ3 = ….. = µk

H1almeno una media è diversa dalle altre


LA SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA

Nota: N è il numero di oservazioni K è il numero di livelli del fattore between


Devianza totale(N-1)

Devianza tra i gruppi(k-1)

Devianza entro i gruppi(N-k)


IL RAPPORTO: (VARIANZA TRA SOGG.) / (VARIANZA ENTRO SOGG.)

Dividendo le devianze (SS) per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le varianze (MS). Sotto H0 il rapporto tra le varianze ha una distribuzione nota:

Se la probabilità associata (p-value) al valore di F osservato è minore di un valore critico fissato a priori (ad esempio 0.05), si rifiuta H0.

In questo caso si può conludere che il fattore between, ha un effetto statisticamente significativo sulla variabile dipendente.


( , )TraTra EntroOss

Entro

MSF df df

MSF = ≈


Se l’analisi della varianza è risultata significativa, si potrebbe essere interessati a capire quali tra le medie dei livelli del fattore between differiscono tra loro.

La tentazione potrebbe essere quella di applicare una serie di t-test per confrontare tutte le medie tra loro.

L’ANALISI POST-HOC

ERROREERRORE


Infatti, aumentando il numero di test effettuati, aumenta la probabilità di errore di I° tipo: se testiamo un’ipotesi nulla che in effetti è vera, utilizzando α come valore critico, la probabilità di ottenere un risultato non significativo (corretto) è 1-α; se testiamo 2 ipotesi indipendenti la probabilità che nessuno dei 2 test sia significativo è data, per un teorema del calcolo delle probabilità, dal prodotto delle probabilità (1-α)*(1-α); più generalmente se testiamo K ipotesi indipendenti la probabilità che i test siano congiuntamente non significativi è data da (1-α)K; ne consegue che la probabilità di avere almeno un test significativo sarà 1-(1-α)K.

Esemplificando, se vengono testate 20 ipotesi indipendenti al livello di significatività α = 0,05, la probabilità che nessuna sia significativa è 0,9520 = 0,36. La probabilità che almeno una sia significativa per errore sarà 1-(1-0,05)20 = 0,64, ben superiore al valore nominale prescelto del 5%.



Per “mantenere sotto controllo” la probabilità di errore globale esistono delle tecniche dette di “analisi post-hoc ” che mirano a correggere la probabilità di errore dei singoli confronti tra le medie, in modo da ottenere dei risultati statisticamente corretti.



1. Identificazione della variabile dipendente e del fattore between (o dei fattori between).

2. Definizione del modello di analisi.

3. Analisi descrittiva dei dati.

4. Verifica delle assunzioni teoriche.

5. Adattamento del modello ai dati.

6. Verifica della significatività degli effetti.

7. Eventuale analisi post-hoc

I PASSI FONDAMENTALI

Analisi della varianza Univariata ad una via in

SPSS

1. Selezionare il menù “Analizza”.

2. Selezionare l’opzione “Confronta Medie”.

3. Selezionare l’opzione “Anova Univariata”.

4. Selezionare la variabili dipendente e il fattore between.

5. Selezionare l’opzione “opzioni” per statistiche descrittive e test dell’omogeneità delle varianza fra i gruppi.

6. Nel caso di analisi post-hoc, selezionare l’opzione “Post-Hoc” e la/le tecnica/che di analisi post-hoc desiderata/e.

7. Cliccare OK!

Analisi della varianza Univariata fattoriale in

SPSS


2. Selezionare l’opzione “Modello Lineare Generalizzato”.

3. Selezionare l’opzione “Univariata”.

4. Selezionare la variabile dipendente, i fattori between e le eventuali variabili indipendenti covariate.



7. Cliccare OK!


Si supponga di aver somministrato un test sulla memoria ad un campione di soggetti appartenenti a tre fasce d’età (20-29 anni, 30-49 anni, 50 anni e oltre).

Si vuole valutare se l’età ha un effetto sulla memoria.

Nota: i dati sono contenuti nel file “memoria.sav”

ESEMPIO PRATICO (I)


Per valutare l’effetto dell’età sulla memoria si adotterà un modello di analisi della varianza univariata ad una via con:

• variabili dipendente : il numero di risposte corrette al test

• un fattore tra soggetti a 3 livelli : Età (20-29 anni, 30-49 anni, 50 e oltre)

IL MODELLO DI ANALISI


ANALISI DESCRITTIVA DEI DATI


VERIFICA DELL’IPOTESI DI NORMALITA’


VERIFICA DELL’IPOTESI DI OMOGENEITA’ DELLE VARIANZE

Test di omogeneità delle varianze

numero di rispote corrette

1.407 2 42 .256

Statisticadi Levene df1 df2 Sig.

Osservando il valore di significatività del test di Levene si puòconcludere che le varianze dei tre gruppi di soggetti sono omogenee.


I RISULTATI DELL’ANALISI DELLA VARIANZA

ANOVA univariata

numero di rispote corrette

1086.711 2 543.356 4.481 .017

5093.200 42 121.267

6179.911 44

Fra gruppi

Entro gruppi

Totale

Somma deiquadrati df

Media deiquadrati F Sig.

Osservando il valore di significatività (p-value) del test F si puòconcludere che l’età ha un effetto significativo sulla memoria.


I RISULTATI DEL POST-HOC

Confronti multipli

Variabile dipendente: numero di rispote corrette

Bonferroni

3.26667 4.02106 1.000 -6.7605 13.2938

11.66667* 4.02106 .018 1.6395 21.6938

-3.26667 4.02106 1.000 -13.2938 6.7605

8.40000 4.02106 .128 -1.6272 18.4272

-11.66667* 4.02106 .018 -21.6938 -1.6395

-8.40000 4.02106 .128 -18.4272 1.6272

(J) età30-49 anni

50 anni e oltre

20-29 anni

50 anni e oltre

20-29 anni

30-49 anni

(I) età20-29 anni

30-49 anni

50 anni e oltre

Differenza framedie (I-J) Errore std. Sig.

Limiteinferiore

Limitesuperiore

Intervallo di confidenza95%

La differenza tra le medie è significativa al livello .05.*.

Dall’analisi post-hoc con il metodo di Bonferroni emerge che l’unicadifferenza significativa è quella tra la prima e la terza fascia d’età.


L’analisi ha riscontrato un effetto significativo dell’età sulla capacità di memoria dei soggetti (F2,42=4,481 ; p<0.05).

In particolare si può notare, in seguito all’applicazione dell’analisi post-hoc con il metodo di Bonferroni, che i soggetti può giovani manifestano una capacità di memoria significativamente maggiore di quella dei soggetti più anziani (p=0.018).

CONCLUSIONI

Analisi della varianza Univariata fattoriale

Si supponga di voler studiare gli effetti del fumo da sigaretta su alcuni tipi di prestazione. A tale scopo è stato selezionato un campione i cui soggetti sono stati suddivisi in tre gruppi rispetto al fumo: non fumatori (NS), fumatori ma non prima-durante la prova (DS), fumatori attivi prima-durante la prova (AS). In maniera casuale all’interno di ciascun gruppo un terzo dei soggetti ha fatto un compito di pattern recognition, un terzo un compito di tipo cognitivo e un terzo una simulazione di guida con un video game. In ogni caso la variabile dipendente è il numero di errori commessi.

Le domande di ricerca riguardano la valutazione dell’effetto del fumo , dell’effetto del tipo di compito , e dell’eventuale interazione tra fumo e compito sulle perfomance dei soggetti .

Nota: i dati sono contenuti nel file “smoking.sav”

ESEMPIO PRATICO (II)


Per rispondere alle domande di ricerca si adotterà un modello di analisi della varianza univariata fattoriale 3×3 con:

• variabili dipendente : il numero di errori commessi

• un fattore tra soggetti a 3 livelli : Fumo (Non Fumatori, Fumatori ma non prima e durante la prova, Fumatori prima e durante la prova)

• un fattore tra soggetti a 3 livelli : Compito (Pattern Recognition, Cognitivo, Simulazione di Guida)



RISULTATI DELL’ANALISI DELLA VARIANZA

Osservando i risultati dell’analisi della varianza si può affermare che:

• il fumo complessivamente non ha un effetto significativo sulla performance

• il tipo di compito ha un effetto significativo sulla performace

• esiste un effetto significativo dell’interazione fumo-tipo di compito sulla performance


pattern recognition cogn itive task driv ing simula tion

task

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

med

ie m

argi

nal

i atte

se

smokegrNo Smoker

Delay Smoker

Active Smoker

INTERPRETAZIONE GRAFICA DEI RISULTATI


L’analisi ha riscontrato un effetto significativo del tipo di compito (F2,81=73.865 ; p<0.05) e un effetto significativo dell’interazione fumo-tipo di compito (F4,81=3.261 ; p<0.05) sulle performance dei soggetti. L’effetto principale del fattore fumo non è invece risultato significativo.

Si può quindi concludere che;

• il fumo complessivamente non incide sulla performace;

• il tipo di compito complessivamente ha influenza sulla performance;

• esiste un effetto interattivo “fumo-tipo di compito” sulle performance (le differenze di performance tra i tre gruppi di fumatori non sono costanti nei tre diversi tipi di compito).

CONCLUSIONI

Analisi della varianza Multivariata

(MANOVA)

L’obiettivo dell’analisi della varianza multivariata è quello di studiare gli effetti di uno o più fattori tra soggetti su un insieme di variabili dipendenti .

(Mentre nell’Anova Univariata la variabile dipendente è una, nella Manova le variabili dipendenti sono più di una)

Esempio: Si vuole studiare se i maschi differiscono complessivamente dalle femmine sui punteggi totali di tre questionari che rilevano tre diversi aspetti dell’ansia.

In questo caso si adotterà un disegno di analisi della varianza multivariata (Manova) con:

- 3 variabili dipendenti (i 3 aspetti dell’ansia);

- 1 fattore tra soggetti (sesso).

L’OBIETTIVO DELL’ANALISI DELLA VARIANZA MULTIVARIAT A

Analisi della varianza Multivariata

(MANOVA)

• Le osservazioni seguono una distribuzione normale multivariata sulle variabili dipendenti in ciascun gruppo.

• Le matrici di covarianza sulle variabili dipendenti di ciascun gruppo sono uguali.


ASSUNZIONI NELL’ANALISI DELLA VARIANZA MULTIVARIATA

Analisi della varianza Multivariata (MANOVA) in

SPSS


2. Selezionare l’opzione “Modello lineare generalizzato”.

3. Selezionare l’opzione “Multivariato”.

4. Selezionare le variabili dipendenti, i fattori between e le eventuali covariate in modo appropriato.



7. Cliccare OK!

Per capire se un nuovo approccio didattico nell’insegnamento del clarinetto è efficace, si vogliono confrontare due gruppi di alunni delle scuole elementari:

- Gruppo Sperimentale (alunni che hanno seguito le lezioni con il metodo innovativo);

- Gruppo di Controllo (alunni che hanno seguito le lezioni con il metodo tradizionale).

I dati raccolti riguardano le perfomance degli alunni valutate sui seguenti 6 aspetti: interpretazione, tono, ritmo, intonazione, tempo, articolazione. (Ambrose, 1985)

Nota: i dati sono contenuti nel file “clarinetto.sav”

ESEMPIO PRATICO (III)


SPSS

Per valutare l’efficacia del nuovo approccio si adotterà un modello di analisi della varianza multivariata (MANOVA) con:

• sei variabili dipendenti : Interpretazione, Tono, Ritmo, Intonazione, Tempo, Articolazione;

• un fattore tra soggetti a 2 livelli : Gruppo (Sperimentale vs. Controllo).



SPSS



SPSS

Confronto tra il Gruppo Sperimentale e il Gruppo di Controllo

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

interpretazione tono ritmo intonazione tempo articolazio ne

aspetti valutati

med

ia d

ei p

unte

ggi

sperimentale

controllo

RISULTATI DELLA MANOVA


SPSS

Test multivariatib

.991 278.492a 6.000 16.000 .000

.009 278.492a 6.000 16.000 .000

104.434 278.492a 6.000 16.000 .000

104.434 278.492a 6.000 16.000 .000

.584 3.749a 6.000 16.000 .016

.416 3.749a 6.000 16.000 .0161.406 3.749a 6.000 16.000 .0161.406 3.749a 6.000 16.000 .016

Traccia di Pillai

Lambda di Wilks

Traccia di Hotelling

Radice di Roy

Traccia di Pillai

Lambda di Wilks

Traccia di Hotelling

Radice di Roy

EffettoIntercetta

gruppo

Valore F Ipotesi df

Gradi dilibertà

dell'errore Sig.

Statistica esattaa.

Disegno: Intercept+gruppob.

Il fattore gruppo

ha un effetto

significativo

Il Gruppo Sperimentale differisce significativamente dal Gruppo di Controllo sui 6 aspetti valutati (F6,16= 3.749 ; p<0.05).

Si può quindi concludere che il nuovo approccio didattico è efficace.

CONCLUSIONI


SPSS

Analisi della varianza a misure ripetute

Il caso più semplice di analisi della varianza a misure ripetute è il t-test per dati appaiati . In quel caso i soggetti vengono misurati due volte, ad esempio prima e dopo un trattamento, e si vuole verificare l’effetto del trattamento (fattore within ).

L’analisi della varianza a misure ripetute può essere vista come un’estensione del test-t per dati appaiati nei casi in cui:

- il fattore within ha più di due livelli ;

- esiste più di un fattore within .

L’OBIETTIVO DELL’ANALISI DELLA VARIANZA A MISURE RI PETUTE


Valutazione dell’effetto del tempo .

Esempio: valutare se esistono variazioni dell’umore materno nel primo anno post-gravidanza.

Valutazione dell’effetto di più trattamenti .

Esempio: Valutare come incidono la lunghezza e la tipologia di un testo sulla comprensione.

ESEMPI DI APPLICAZIONE DELL’AOV A MISURE RIPETUTE


Controllo della variabilità entro soggetto

Le differenze tra Gruppo Sperimentale e Gruppo di controllo possono dipendere sia dall’effetto del trattamento sia dalla diversa composizione dei due gruppi. In un disegno a misure ripetute invece i soggetti fungono da “controllo di se stessi ” .

Minor numerosità campionaria richiesta rispetto all ’analisi della varianza between .

Se in un disegno di analisi della varianza between per valutare l’effetto di 3 diversi trattamenti sono richiesti 45 soggetti (15 per trattamento), in un disegno a misure ripetute ne bastano 15 !

Nota: non sempre si può utilizzare un disegno a misure ripetute (ad. esempio: valutazione dell’effetto genere)

I VANTAGGI DELL’AOV A MISURE RIPETUTE



• Le osservazioni seguono una distribuzione normale multivariata sui livelli del fattore entro soggetti.

• Le osservazioni soddisfano l’ipotesi di sfericità.

Nota: Le prime due assunzioni sono richieste anche per l’analisi della varianza multivariata (MANOVA), mentre l’ipotesi di sfericità non lo è.

ASSUNZIONI NELL’ANALISI DELLA VARIANZA A MISURE RIP ETUTE


• L’ipotesi di sfericità implica che la matrice di covarianza sulle misure ripetute rispetti una forma particolare (varianze e covarianze pressoché costanti).

• In poche parole, l’idea è che le varianze delle differenze tra le misure ripetute devono essere pressoché uguali.

CHE COSA IMPLICA L’IPOTESI DI SFERICITA’?


Esempio: Si supponga di voler valutare la variazione di peso nel tempo in bambini neonati. Il peso dei neonati viene misurato ogni giorno per un periodo critico di 3 giorni.

Il modello da adattare potrebbe essere quello di un’AOV a misure ripetute con v.d. il peso dei bambini e fattore entro soggetti il tempo (3 livelli pari ai 3 giorni).

Osservando i dati si nota che:

- in media i bambini sono aumentati di 100 grammi tra il giorno 1 e 2 e di 150 grammi tra il giorno 2 e 3.

- la varianza degli aumenti tra il giorno 1 e 2 è di 20, mentre quella tra il giorno 2 e 3 è di 100.

In questo caso l’ipotesi di sfericità che presuppone che la varianza degli aumenti tra i giorni 1 e 2 e quella tra i giorni 2 e 3 ( e anche quella tra 1 e 3) siano uguali non è soddisfatta .

Il modello di AOV a misure ripetute potrebbe produrre una stima distorta della significatività dell’effetto del tempo.

CHE COSA IMPLICA L’IPOTESI DI SFERICITA’?


VALUTAZIONE DELL’IPOTESI DI SFERICITA’

Per valutare se i dati soddisfano l’ipotesi di sfericità si può utilizzare il test di Mauchly

Il test di Mauchly è significativo (p<0.05) ?

I dati non soddisfano l’ipotesi di sfericità.Per ottenere una stima non distorta deglieffetti si deve ricorrere a dei criteri dicorrezione (ad es. Greenhouse-Geisser)

I dati soddisfano l’assunzione di sfercità.La stima degli effetti non è distorta.

SìNo

Analisi della varianza a misure ripetute in SPSS



3. Selezionare l’opzione “Misure Ripetute”.

4. Nella finestra “Definisci Fattori” inserire i nomi dei fattori within ed il rispettivo numero di livelli. Cliccare “Definisci”.

5. Inserire le variabili within in modo appropriato rispetto le definizioni dei fattori fatte al punto 4.

6. Cliccare OK!

Si supponga di voler studiare l’effetto di 4 diversi tipi di vino sui tempi di reazione ad una particolare prova di abilità.

Nella conduzione dell’esperimento un tempo sufficiente viene fatto trascorrere tra una prova e l’altra, in modo da minimizzare gli effetti della “somministrazione” di un tipo di vino sui tempi di reazione legati alla “successiva somministrazione” (Winer, 1971).

Nota: i dati sono contenuti nel file “vini.sav”

ESEMPIO PRATICO (IV)


Per valutare se il tipo di vino ha un effetto sui tempi di reazione dei soggetti si adotterà un modello di analisi della varianza a misure ripetute con:

- variabile dipendente : il Tempo di Reazione dei soggetti;

- un fattore entro-soggetti a 4 livelli : Tipo di Vino (Chianti, Merlot, Prosecco, Zibibbo).

IL MODELLO DI ANLISI




Confronto dei tempi di reazione medi ottenuti per t ipo di vino

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

chianti merlot prosecco zibibbo

tipo di vino

med

ia d

ei te

mpi

di r

eazi

one

CONTROLLO DELL’IPOTESI DI SFERICITA’


Test di sfericità di Mauchly b

Misura: MEASURE_1

.186 4.572 5 .495 .605 1.000 .333Effetto entro soggettitipo_v

W di Mauchly

Approssimazione

chi-quadrato df Sig.Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt

Limiteinferiore

Epsilon a

Verifica l'ipotesi nulla per la quale la matrice di covarianza dell'errore della variabile dipendente trasformata ortonormalizzataè proporzionale a una matrice identità.

È possibile utilizzarlo per regolare i gradi di libertà per i test di significatività mediati. I test corretti vengonovisualizzati nella tabella dei test sugli effetti entro soggetti.

a.

Disegno: Intercept Disegno entro soggetti: tipo_v

b.

L’ipotesi di sfericità è soddisfatta.

RISULTATI DELL’ANALISI DELLA VARIANZA A MISURE RIPE TUTE


Test degli effetti entro soggetti

Misura: MEASURE_1

698.200 3 232.733 24.759 .000698.200 1.815 384.763 24.759 .001

698.200 3.000 232.733 24.759 .000

698.200 1.000 698.200 24.759 .008

112.800 12 9.400

112.800 7.258 15.540

112.800 12.000 9.400

112.800 4.000 28.200

Assumendo la sfericità

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Limite inferiore

Assumendo la sfericità

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Limite inferiore

Sorgentetipo_v

Errore(tipo_v)

Somma deiquadratiTipo III df

Media deiquadrati F Sig.

Il fattore within Tipo di Vino ha un effetto statisticamente significativo.

Il fattore Tipo di Vino ha un effetto statisticamente significativo sui tempi di reazione dei soggetti (F3,12= 24.759 ; p<0.05).

Si può quindi concludere che a seconda del tipo di vino somministrato i tempi di reazione dei soggetti variano.

CONCLUSIONI


Analisi della varianza con

Disegno Misto

Un modello analisi della varianza con disegno misto è un modello che comprende sia fattori between che fattori within .

COSA SI INTENDE PER “ANALISI DELLA VARIANZA CON DISE GNO MISTO?”


Disegno Misto

Si supponga di voler misurare l’effetto di tre diversi trattamenti somministrati ad un campione comprendente maschi e femmine.

La situazione può essere così rappresentata:

ESEMPIO DI UN PROBLEMA RISOLVIBILE ATTRAVERSO UN AO V CON DISEGNO MISTO

TRATTAMENTI

A B C

MaschiFemmine


Disegno Misto

Esiste un effetto trattamento?

Complessivamente i soggetti rispondono in maniera diversa a seconda del trattamento?

Esiste un effetto genere?

Complessivamente i maschi rispondono in maniera diversa rispetto alle femmine?

Esistono dei legami tra il tipo di trattamento e il genere dei soggetti?

Le differenze tra i maschi e le femmine sono costanti o variano a seconda del tipo di trattamento?

LE DOMANDE DI RICERCA

Effetto principale

del fattore within

Effetto principale

del fattore

between

Interazione tra

fattore within e

between


Disegno Misto

Il modello da adattare ai dati sarà un modello di analisi della varianza a disegno misto 3×2 con:

• variabile dipendente : le risposte dei soggetti

• un fattore within a 3 livelli : trattamento (A, B, C)

• un fattore between a 2 livelli : sesso (Maschi vs. Femmine)


Analisi della varianza con Disegno Misto in SPSS



3. Selezionare l’opzione “Misure Ripetute”.

4. Nella finestra “Definisci Fattori” inserire i nomi dei fattori within ed il rispettivo numero di livelli. Cliccare “Definisci”.

5. Inserire le variabili within in modo appropriato rispetto le definizioni dei fattori fatte al punto 4.

6. Selezionare i fattori between e le eventuali covariate.

7. Cliccare OK!

A due gruppi, uno sottoposto a una condizione stressante (gruppo sperimentale ) ed uno sottoposto ad una condizione neutra (gruppo di controllo ), vengono letti tre brani di crescente difficoltà.

Dopo la lettura di ciascun brano vengono poste ai soggetti 10 domande di comprensione del testo e viene rilevato il numero di risposte corrette .

Si vogliono studiare i seguenti aspetti:

• la difficoltà dei brani ha un effetto sul numero di risposte corrette?

• il gruppo sottoposto ad una condizione di stress risponde complessivamente in maniera diversa rispetto al gruppo di controllo?

• esiste un’interazione tra la difficoltà dei brani ed il livello di stress (le differenze tra i due gruppi sono costanti per i tre livelli di difficoltà dei brani)?

Nota: i dati sono contenuti nel file “stress.sav”

ESEMPIO PRATICO (V)


Il modello da applicare sarà un modello di analisi della varianza a disegno misto 3×2 con:

• variabile dipendente : il numero di risposte corrette

• un fattore within a 3 livelli : difficoltà del brano (1,2,3)

• un fattore between a 2 livelli : gruppo (sperimentale vs. controllo)

IL MODELLO DI ANLISI


CONTROLLO DELL’IPOTESI DI SFERICITA’


Test di sfericità di Mauchly b

Misura: MEASURE_1

.673 6.733 2 .035Effetto entro soggettidifficol

W di Mauchly

Approssimazione

chi-quadrato df Sig. La sfericità non è soddisfatta. Bisognerà adottare un criterio correttivo.

RISULTATI DELL’ANALISI DELLA VARIANZA CON DISEGNO M ISTO


Effettosiginificativo delfattore within.

Effettosiginificativodell’interazionetra il fattore withine quello between

RISULTATI DELL’ANALISI DELLA VARIANZA CON DISEGNO M ISTO


Effetto significativo del fattore between.

INTERPRETAZIONE GRAFICA DEI RISULTATI


L’analisi condotta ha messo in evidenza i seguenti aspetti:

• emerge un effetto significativo del fattore within “difficoltà” (F1.507,27.129=20.028 ; p<0.05);

• emerge un effetto significativo del fattore between “gruppo” (F1.507,27.129=5.861 ; p<0.05);

• emerge un effetto significativo dell’interazione tra il fattore within e il fattore within (F1,18=9.227 ; p<0.05).

Si può quindi concludere che:

• la difficoltà del brano influenza il numero di risposte corrette;

• i due gruppi differiscono sulla base del numero di riposte corrette;

• le differenze tra i due gruppi non sono costanti per i tre livelli di difficoltà dei brani; in particolare si può notare che nella condizione “alta difficoltà” dei brani, la differenza tra i due gruppi è molto maggiore rispetto a quelle che si registrano nelle condizioni “media e bassa difficoltà”.

CONCLUSIONI


Se le assunzioni per l’analisi della varianza non sono soddisfatte, cioè ad esempio:

• la variabile dipendente non è quantitativa ma è su scala ordinale;

• la variabile dipendente non è distribuita normalmente;

• la numerosità campionaria è ridotta.

E’ POSSIBILE ADOTTARE UN APPROCCIO NON PARAMETRICO

COSA FARE QUANDO LE ASSUNZIONI PER L’ANALISI DELLA VARIANZA NON SONO SODDISFATTE?


Le tecniche non-parametriche, che si basano sui ranghi e non sui valori originali come le tecniche parametriche, presentano i seguenti principali vantaggi:

� sono “distribution-free”, cioè indipendenti dalla distribuzione campionaria della variabile dipendente;

� sono particolarmente indicate nei casi di ridotta numerosità campionaria.

I vantaggi dell’approccio Non-parametrico

Alternative Non-parametriche all’analisi della varianza con fattore

between

NUMERO DI LIVELLI DEL

FATTORE BETWEEN

ANALISIPARAMETRICA

ANALISINON-

PARAMETRICA

duetest t per campioni

indipendenti

testdi Mann-Whitney

due o più di due

analisi della varianza ad un fattore between

testdi Kruskal-Wallis

Alternative Non-parametriche all’analisi della varianza a misure

ripetute con fattore within


FATTORE WITHIN

ANALISIPARAMETRICA

ANALISINON-

PARAMETRICA

duetest t per campioni appaiati

testdi Wilcoxon

due o più di due

analisi della varianza a

misure ripetute

testdi Friedman

Alternative Non-parametriche all’analisi della varianza a misure ripetute con fattore within

(variabile dipendente dicotomica)


FATTORE WITHIN

ANALISIPARAMETRICA

ANALISINON-

PARAMETRICA

due -test

di McNemar

due o più di due

-test

di Cochran

L’approccio Non-parametrico in SPSS


2. Selezionare l’opzione “Test non parametrici”.

3. Selezionare l’opzione che si intende utilizzare.

4. Selezionare le variabili di interesse in modo appropriato.

5. Cliccare OK!

“Mi conviene usare le tecniche parametriche o quelle non

parametriche?”

Quando le assunzioni per l’analisi della varianza sono soddisfatte, l’approccio parametrico è più “potente” (migliore) di quello non-parametrico.

Nel caso in cui le assunzioni per l’analisi della varianza sono dubbie, è conveniente utilizzare sia l’approccio parametrico che quello non-parametrico e confrontare i risultati.

Per approfondimenti

Per approfondire le tecniche di Analisi della Varianza si consigliano i seguenti testi:

“Using Multivariate Statistics” (5th edition) – Barbar a G. Tabachnick & Linda S. Fidell, 2007 – Pearson Education

“Applied Multivariate Statistics For The Social Scie nces, Fourth Edition” – James P. Stevens, 2002 – LEA, Publishers

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