Analisi Dei Segnali Dinamici_Manfrida Contini

Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001

Universit degli Studi di Firenze

Dipartimento di Energetica Sergio Stecco

Via Santa Marta 3, 50139

CORSO DI FORMAZIONE E AGGIORNAMENTO

SULLANALISI DEI SEGNALI DINAMICI

Giampaolo Manfrida

&

Daniele Contini

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

-1.25

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

seno 250Hz

seno 250Hz in ritardo di periodo

tempo (s)

-0.006 -0.004 -0.002 0.000 0.002 0.004 0.006-1.25

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25 CORRELAZIONE INCROCIATA

tempo (s)


2

Indice

Indice delle principali figure ............................................................................................................. 3

Introduzione ....................................................................................................................................... 5

I dati sperimentali .............................................................................................................................. 6

Le serie temporali ............................................................................................................................... 7

Acquisizione dei dati ........................................................................................................................ 11

Trasduttori .................................................................................................................................... 12

Condizionamento del segnale....................................................................................................... 13

Convertitori analogico-digitali (ADC) ........................................................................................ 14

Multiplexer .................................................................................................................................... 14

Sistemi di acquisizione dati .......................................................................................................... 15

Linee di trasmissione .................................................................................................................... 18

Quantizzazione .............................................................................................................................. 20

Aliasing .............................................................................................................................................. 22

Probabilit ........................................................................................................................................ 25

Funzione densit di probabilit ................................................................................................... 25

Definizione e calcolo dei momenti statistici ................................................................................... 32

La distribuzione Gaussiana ............................................................................................................. 34

Distribuzioni Binomiale e di Poisson .............................................................................................. 36

Funzione di densit di probabilit congiunta ................................................................................ 37

Il test del chi-quadrato per una distribuzione ............................................................................... 39

Esclusione dei dati ............................................................................................................................ 44

Deviazione standard della media e del valore RMS ...................................................................... 45

Media pesata ..................................................................................................................................... 47

Tecnica del fit ai minimi quadrati .................................................................................................. 49

Detrending ........................................................................................................................................ 52

Smoothing ......................................................................................................................................... 53

Media di insieme............................................................................................................................... 55

Teoria di Fourier ........................................................................................................................... 56

Trasformata di Fourier discreta (DFT) e Trasformata di Fourier Veloce (FFT) ................... 60

Applicazione di finestre al campione .......................................................................................... 62

Funzione di autocorrelazione .......................................................................................................... 65

Densit spettrale di potenza ............................................................................................................ 70

Analisi RPM...................................................................................................................................... 79

Unit di misura e scala in decibel ................................................................................................... 80

Analisi in bande di ottava ................................................................................................................ 81

Segmentazione e overlap ................................................................................................................. 83

Errore statistico nella stima dello spettro di potenza ................................................................... 86

Analisi bicanale o incrociata ........................................................................................................... 88

Funzione Correlazione Incrociata ............................................................................................... 88

Funzione Densit Spettrale Incrociata ........................................................................................... 93

Funzione di coerenza ....................................................................................................................... 95

Sistemi lineari a singolo input e singolo output ............................................................................. 97

Filtri analogici e digitali ................................................................................................................. 100

Filtri digitali non recursivi ......................................................................................................... 103

Filtri digitali recursivi ................................................................................................................ 104

Cepstrum ......................................................................................................................................... 108

Riferimenti bibliografici ................................................................................................................ 109


3

Indice delle principali figure

Fig. 1) Esempio di segnale analogico variabile nel tempo .................................................................. 7

Fig. 2) Esempio di campionamento digitale di un segnale di uscita di un trasduttore con frequenza

di campionamento variabile. ......................................................................................................... 9

Fig. 3) Esempio di distribuzione di tempi di arrivo di un segnale ottenuto con la tecnica LDV e

delleffetto del ricampionamento sullo spettro di potenza del segnale. ...................................... 11 Fig. 4)Esempio di risposta lineare (trasduttore di pressione) e non-lineare (anemometro a filo

caldo). .......................................................................................................................................... 13

Fig. 5) Illustrazione della quantizzazione .......................................................................................... 21

Fig. 6) Illustrazione del fenomeno dellaliasing ................................................................................ 23 Fig. 7) Esempio che mostra leffetto dellaliasing su di uno spettro di potenza ............................... 24

Fig. 8) Schema esplicativo della definizione della funzione di densit di probabilit (PDF). .......... 26

Fig. 9) Esempio di istogrammi di densit di probabilit. .................................................................. 28

Fig. 10) La funzione x(t) una sinusoide alla frequenza di 100 Hz. ................................................. 29

Fig. 11) La funzione x(t) la sovrapposizione di una sinusoide alla frequenza di 100 Hz e di un

rumore bianco di ampiezza massima pari al 25% dellampiezza della sinusoide. ..................... 29 Fig. 12) Esempio di distribuzione di velocit in un flusso daria turbolento allinterno dello strato

limite. ........................................................................................................................................... 30

Fig. 13) Esempi di densit di probabilit .......................................................................................... 31

Fig. 14) Esempio di distribuzioni gaussiane. ..................................................................................... 35

Fig. 15) Schema esemplificativo della definizione di densit di probabilit congiunta. ................... 37

Fig. 16) Tipico esempio di probabilit congiunta di tipo gaussiano ................................................. 38

Fig. 17) Tabella della fuunzione erf(t) ............................................................................................... 41

Fig. 18) Tabella di esempio per esclusione dati ................................................................................ 42

Fig. 19) Tabella della probabilit per il chi-quadrato ridotto .......................................................... 43

Fig. 20) Esempio di detrending lineare ............................................................................................. 52

Fig. 21) Esempio di detrending lineare a due pendenze. ................................................................... 53

Fig. 22) Esempio di applicazione dello smoothing su di un segnale sinusoidale con rumore di

natura random. ............................................................................................................................ 54

Fig. 23) Esempio di utilizzo di medie di insieme..55

Fig. 24) Accelerazione periodica ma non armonica di un pistone in un motore a combustione

interna. ........................................................................................................................................ 56

Fig. 25) Le prime due componenti armoniche del segnale di accelerazione del pistone di un motore

a combustione interna. ................................................................................................................ 58

Fig. 26) Le prime due componenti armoniche del segnale di accelerazione del pistone di un motore

a combustione interna. ................................................................................................................ 58

Fig. 27) Esempi di sviluppo nelle prime armoniche di Fourier di segnali periodici di interesse

applicativo. .................................................................................................................................. 59

Fig. 28) Fattore di velocit per il calcolo della trasformata di Fourier. .......................................... 61

Fig. 28) Esempio di Finestre utilizzate come peso nellanalisi di campioni digitali nel dominio delle frequenze. .................................................................................................................................... 62

Fig. 29) Effetto delle varie finestre sul modulo della DFT di un segnale armonico. Dallalto in

basso: il segnale, leffetto della finestra rettangolare, finestra triangolare, finestra di Hanning.

..................................................................................................................................................... 64

Fig. 30) Schema di interpretazione per il significato della funzione di autocorrelazione ................ 65

Fig. 31) Esempi di funzioni di autocorrelazione..67

Fig. 32) Esempio di calcolo del coefficiente di autocorrelazione per un segnale sinusoidale e per lo

stesso segnale a cui sovrapposto un rumore bianco di ampiezza pari a quella del segnale. ... 68

Fig. 33) Esempio di C() per un segnale random. ............................................................................. 68


4

Fig. 34) Esempi di calcolo di C() per le fluttuazioni di velocit di un flusso daria turbolento. ..... 69 Fig. 35) Illustrazione della circolarit di Rc. .................................................................................... 73

Fig. 36) Eliminazione della circolarit sul calcolo della funzione di autocorrelazione per via

spettrale. ...................................................................................................................................... 73

Fig. 37) Il segnale dato da una combinazione di due sinusoidi di ampiezza diversa e a due

frequenze diverse: x t t t( ) sen( ) sen( ) 2 2 100 2 1000 ........................................................... 74

Fig. 38) Il segnale dato da una combinazione di due sinusoidi di ampiezza diversa e a due

frequenze diverse: x t t t( ) sen( ) sen( ) 2 2 100 2 1000 +segnale random di ampiezza 20. .... 74

Fig. 39) Esempio di spettro di potenza delle fluttuazioni di velocit di un flusso turbolento. .......... 74

Fig. 40) Esempio di spettro di potenza delle vibrazioni di un pannello di una galleria del vento

rilevate con un accelerometro. .................................................................................................... 75

Fig. 41) Esempi di spettri di potenza ................................................................................................. 76

Fig. 42) Confronto fra spettro in banda stretta ed in bande di ottava. ............................................. 83

Fig. 43) Illustrazione dei livelli di confidenza della valutazione dello spettro di potenza attraverso

la DFT di un segnale di velocit di una corrente aeriforme in moto turbolento. ....................... 87

Fig. 44) Valutazione della cross-correlazione per due segnali sinusoidali shiftati nel tempo. .... 89

Fig. 45) Esempio di analisi bicanale per segnali random ................................................................. 90

Fig. 46) Illustrazione delle relazioni di input-output. (a) spettro di potenza. (b) cross-spettro ........ 99

Fig. 47) Risposta in frequenza del filtro RC passa-alto. ................................................................. 102

Fig. 48) Esempio di applicazione di un filtro passabanda .............................................................. 106

Fig. 49) Esempio di applicazione di filtri per selezionare il segnale .............................................. 107

Fig. 50) Esempio di utilizzo del cepstrum sia reale che complesso ................................................. 108


5

Introduzione

Il presente corso sviluppa unintroduzione allanalisi dei segnali sperimentali includendo sia

lanalisi nel dominio del tempo che lanalisi nel dominio delle frequenze di segnali singoli e di

coppie di segnali fra loro correlati (analisi incrociata o bicanale). La prima parte riguarda la

descrizione dei segnali ed il loro campionamento nella forma digitale fino ad ottenere le serie di dati

(time hystories del segnale). Si introduce la densit di probabilit sia sul segnale singolo che la

densit di probabilit congiunta su due segnali, trattando in particolare dettaglio la distribuzione

normale degli errori (distribuzione gaussiana). In termini di analisi statistica si descrivono i

momenti statistici ed il metodo di calcolo di tali momenti insieme con la loro interpretazione fisica.

Segue poi unintroduzione alle tecniche di analisi dei dati nel dominio del tempo e delle frequenze

con particolare riferimento allo spettro di potenza, alla funzione di autocorrelazione ed allanalisi

bicanale di una coppia di segnali (cross-spettro e cross-correlazione). Queste metodologie di analisi

di largo impiego nelle indagini a carattere tecnologico e scientifico sono descritte enfatizzando le

applicazioni e la loro interpretazione fisica.

Sono inoltre descritte le catene di acquisizione dati di tipo digitale e si analizzano i vari problemi

connessi con la digitalizzazione (aliasing ed errore di quantizzazione); viene introdotta la tecnica

della regressione lineare basata sul metodo dei minimi quadrati ed il test del chi-quadrato per una

distribuzione di probabilit. In questo ambito anche introdotto il detrending dei dati e lo

smoothing.

I vari argomenti sono trattati in modo da fornire le basi matematiche generalmente utilizzate

nellanalisi dei segnali e vengono messe in particolare evidenza le metodologie atte a evidenziare le

particolari caratteristiche di un segnale cos come le moderne metodologie di approccio al problema

della coerenza dei segnali e alle tecniche di segmentazione, overlap e finestrature ampiamente

utilizzate nella costruzione degli spettri di potenza.

Una sezione finale dedicata alla descrizione dei filtri digitali, alla loro caratterizzazione e

costruzione mettendo in particolare evidenza le potenzialit che il filtraggio digitale offre

nellinterpretazione e nella manipolazione dei dati sperimentali.

I vari argomenti sono corredati da esempi applicativi sviluppati in ambiente MATLAB, che sono

parte integrante del corso, che servono per evidenziare linterpretazione fisica di alcune grandezze

tipicamente legate allanalisi dei segnali e per chiarire ed illustrare le potenzialit applicative delle

varie metodologie proposte.


6

I dati sperimentali

Un dato sperimentale rappresenta il risultato di una misura di una certa grandezza fisica e

contribuisce quindi alla rappresentazione di un particolare fenomeno fisico che pu essere

deterministico o non deterministico (random). I dati deterministici sono quelli che seguono una

particolare legge matematica, esistono numerosi fenomeni di questo tipo, ad esempio il moto di un

corpo di massa m ancorato ad una molla di costante elastica k. Esempi di fenomeni casuali possono

essere il moto delle onde in un mare in tempesta od il segnale elettrico generato da un generatore di

rumore. Affinch il fenomeno si possa definire deterministico deve essere oggetto di ripetute

indagini sperimentali il cui risultato sia praticamente lo stesso. Il praticamente necessita di una

spiegazione anche perch nellindagine sperimentale entrano in gioco due livelli di valutazione:

1) linsieme dellindagine sperimentale, ad esempio la realizzazione di una stessa misura in diverse

condizioni di equilibrio,

2) la misura fatta in una data condizione di equilibrio che pu ad esempio essere ripetuta numerose

volte per verificarne lattendibilit.

Pu verificarsi che il fenomeno sia ragionevolmente deterministico su larga scala, ovvero si

verifica la ripetibilit dellesperimento ma la singola misura ripetuta in condizioni stazionarie non

fornisce mai una risposta deterministica in quanto i dati fluttuano in maniera casuale (random)

intorno ad un certo valor medio.

In linea di principio possiamo quindi considerare come segnale una serie di misure ripetute

successivamente nel tempo di una certa grandezza fisica i cui valori possono cambiare nel tempo in

base a leggi deterministiche o random a seconda che si stia misurando levoluzione di un fenomeno

fisico oppure un valore stazionario con sovraimpresso un rumore.

Per quanto ogni misura sperimentale sia affetta da errori dovuti alla limitata accuratezza dei

trasduttori e/o della catena di misura in questo corso trascureremo gli errori sperimentali e

considereremo le variabilit del segnale come derivanti dalla sua stessa evoluzione o dalla presenza

di rumore elettronico dovuto alla catena di acquisizione.


7

Le serie temporali

Prima di entrare nei dettagli relativi allanalisi dei dati bene sottolineare le caratteristiche generali

delle serie temporali di dati e la metodologia di acquisizione dei medesimi. Generalmente il segnale

da analizzare un segnale elettrico che rappresenta luscita di un opportuno trasduttore. Il

trasduttore fornisce un segnale elettrico (in corrente o in tensione) che varia, spesso, ma non sempre,

linearmente, con la grandezza fisica da misurare. Il segnale di uscita del trasduttore quindi di tipo

analogico e rappresenta una funzione continua del tempo:

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (s)

Uscita

tra

sd

utto

re (

V)

Limite superiore

Limite inferiore

Fig. 1) Esempio di segnale analogico variabile nel tempo

Il segnale y pu assumere qualunque valore, in maniera continua, nei limiti di funzionamento del

trasduttore stesso ed quindi un numero reale. Questo tipo di segnale si dice analogico. Il segnale

analogico pu essere registrato direttamente (senza alcuna conversione) su supporti di tipo

magnetico tramite opportuni registratori o messo in grafico, ad esempio, con il sistema della carta

che scorre sotto un apposito pennino (tipo sismografo). Si pu inoltre processare direttamente il

segnale analogico eseguendo operazioni sul segnale sia semplici (moltiplicazioni ed addizioni) sia

complesse (derivazioni, integrazioni) sfruttando circuiti elettronici basati sia su reti passive che su

amplificatori operazionali opportunamente reazionati (circuiti derivatori e circuiti integratori). In

questo modo possibile condizionare e processare direttamente il segnale analogico senza cambiare

la sua natura elettrica.

Lalternativa al segnale analogico consiste nella digitalizzazione del segnale stesso e quindi nel

campionamento delluscita del trasduttore a certi istanti ti convertendo il segnale analogico

allistante ti in un numero (da qui la dizione digitale) con un numero di cifre congruente con il

numero di bit a disposizione del convertitore analogico-digitale (CAD o ADC). Il funzionamento e

la precisione ottenibile dai sistemi ADC saranno argomenti discussi in seguito. Per il momento si

suppone che lADC sia scelto in maniera tale da svolgere adeguatamente il suo compito in termini

di precisione e velocit di campionamento. Il risultato quindi quello di ottenere un campione di N

dati che costituisce una serie temporale (detta anche time hystory)

Ni0con)t(yy ii

rappresentativa del segnale in uscita dal trasduttore e, in ultima analisi, rappresentativa della

grandezza fisica in esame tramite la calibrazione del trasduttore stesso.

y=y(t)


8

Bisogna sottolineare che spesso si lavora direttamente sullanalisi del segnale di uscita campionato

dal trasduttore, tuttavia questo lecito e corretto solo nel caso in cui la risposta del trasduttore di

pura proporzionalit diretta con la grandezza fisica in osservazione. Questo vero per molti

trasduttori, ad esempio trasduttori di pressione, misuratori laser di distanza ecc. Tuttavia per altri

trasduttori, ad esempio misure di velocit di correnti aeriformi con tubi di Pitot in cui la relazione

fra la velocit del fluido e la pressione dinamica effettivamente misurata di tipo quadratico o per

misure di velocit con anemometri a filo caldo in cui la relazione fra velocit e tensione del

trasduttore una potenza si avr una legge di calibrazione che permette di passare dalla uscita

elettrica del trasduttore x(t) alla grandezza fisica in esame y(t) del tipo:

x(t)=C(y(t))

In questi casi, per analizzare e processare la grandezza fisica, necessario applicare dapprima la

funzione C perch questo porta a delle distorsione sia nei momenti statistici che negli spettri di

potenza del segnale.

Da questo momento in avanti considereremo comunque di lavorare sulla grandezza fisica e di avere

quindi un campione di dati xi che rappresenta levoluzione temporale della grandezza fisica in

esame campionata a diversi istanti di tempo ti a partire da un riferimento temporale noto.

Lutilizzo del segnale analogico potrebbe sembrare la scelta pi naturale per le analisi dei dati,

tuttavia attualmente le procedure di digitalizzazione possono essere fatte con strumenti elettronici

facilmente reperibili e con costi contenuti inoltre si ha la possibilit di conservare grandi quantit di

dati in comuni PC. Inoltre il segnale analogico, per sua stessa natura, soggetto a degrado e molto

sensibile a sporcamenti dovuti al rumore sia in fase di elaborazione ed analisi che in fase di pura

conservazione su supporti magnetici. I campioni di dati digitali sono invece essenzialmente

incorruttibili nel senso che non sono soggetti a sporcamente dovuti al rumore elettrico degli

strumenti di conservazione ed analisi. Ecco quindi come, dal punto di vista pratico, le serie di dati

digitali sono alla lunga preferibili e sono di gran lunga le pi utilizzate in ambito tecnico e

scientifico.

Il teorema del campionamento afferma che per avere una corretta descrizione di un segnale

armonico alla frequenza fs si deve campionare il segnale analogico ad una frequenza di

campionamento almeno doppia: fc=2fs.

Questo significa che per descrivere correttamente il contenuto in frequenza di una sinusoide occorre

avere almeno due misure per ogni periodo della sinusoide stessa. In pratica se si campiona un

segnale qualunque x(t) trasformandolo in una serie di dati digitalizzati campionando ad una

frequenza costante fc si descrive correttamente i contenuti in frequenza del segnale originale x(t)

fino alla frequenza cosiddetta di Nyquist fN=fc/2. Qualunque componente del segnale ad una

frequenza maggiore della frequenza di Nyquist subir il fenomeno dellaliasing (descritto in

seguito). Diventa quindi necessario utilizzare un filtro passa basso durante il campionamento che

elimini, o comunque riduca fortemente, le componenti del segnale a frequenze maggiori di fN. Si

sottolinea fin da ora che il filtro da utilizzare in questo caso deve essere un filtro di tipo analogico

che agisce prima del campionamento stesso in quanto un segnale che stato campionato

erroneamente e che ha subito laliasing non pi correggibile con tecniche di filtraggio digitali. In

altre parole una volta avvenuto il fenomeno dellaliasing irreversibile.

Il campionare correttamente un segnale non implica soltanto lutilizzo di una corretta frequenza di

campionamento, come prima descritto, ma anche il registrare un campione di dati che sia, da un

punto di vista temporale, sufficientemente lungo per descrivere correttamente i fenomeni in esame.


9

Infatti un segnale deve essere campionato per un tempo pari ad almeno un periodo relativo

alla pi lenta oscillazione presente nel segnale stesso.

Questo vuole dire che se si deve valutare correttamente una oscillazione si deve avere un

campionamento almeno lungo quanto un periodo delloscillazione stessa e quindi evitando di

campionare solamente in una fase di transitorio.

Nella pratica spesso non sufficiente campionare per un solo periodo una oscillazione in quanto

pu essere utile, e talvolta necessario, avere a disposizione un campionamento su pi periodi

completi di una oscillazione per aumentare la convalida statistica dei risultati ottenuti durante

lanalisi (in particolare per quanto riguarda lanalisi nel dominio delle frequenze). Inoltre lavere a

disposizione un campione contenente un certo numero di periodi di oscillazione utile per mettere

in atto le procedure di segmentazione del campione nella determinazione degli spettri di potenza.

Come regola di massima si tende ad acquisire campioni abbastanza lunghi da contenere

almeno 10 periodi della pi lenta oscillazione presente nel segnale.

Ad esempio se si deve registrare, per la successiva analisi, un segnale in cui sono presenti rilevanti

contributi di oscillazione in un intervallo di frequenze compreso fra 1Hz e 10000 Hz si deve

campionare ad una frequenza minima fc=20000 Hz acquisendo cio almeno 20000 dati al secondo.

Inoltre essendo pari ad 1 s il pi lungo dei periodi di oscillazione si dovrebbe acquisire il segnale

per almeno 10s e questo porta a dovere registrare un campione di 200000 dati.

Fig. 2) Esempio di campionamento digitale di un segnale di uscita di un trasduttore con frequenza

di campionamento variabile.

Un segnale di uscita da un trasduttore solitamente campionato ad una certa frequenza di

campionamento fissa fc, il che vuole dire che i vari intervalli di tempo fra due istanti successivi di

campionamento sono costanti:

kdivaloreogniperf

1tetancosttt

ck1k

Questo tipo di campionamento, il pi comune, estremamente utile per lanalisi del segnale in

quanto permette di passare facilmente da formule integrali a formule basate su sommatorie e questo

facilita molto il calcolo dei momenti statistici nellanalisi nel dominio del tempo ed anche i calcoli


10

nel dominio delle frequenze relativi alla determinazione degli spettri di potenza e delle varie

trasformate.

Tuttavia si deve tenere presente che esistono delle eccezioni a questa procedura, come quella

mostrata nel campionamento esemplificato nella figura precedente. Una prima eccezione viene

dallanalisi di segnali legati a rotazioni con velocit di rotazione non costanti (motori in fase di

accelerazione o decelerazione) per i quali pu essere utile utilizzare un metodo di campionamento a

frequenza variabile per le interpretazioni degli spettri di potenza del segnale con il metodo

dellanalisi RPM che sar descritto in seguito. Altri esempi tipici sono quelli relativi allanalisi di

serie temporali lente (ad es. le misure della qualit dellaria in una rete di monitoraggio, situazione

nella quale capita spesso che si verifichi lindisponibilit temporanea di un analizzatore per

problemi di manutenzione o di collegamento). Altre eccezioni si presentano per quei metodi di

misura che utilizzano, per loro natura, un campionamento a frequenza non costante. Un esempio il

metodo di Velocimetria Laser-Doppler (LDV) utilizzato per la misura istantanea della velocit di

una corrente fluida. Questa tecnica ottica permette la misura della velocit istantanea locale di

particelle sospese nel flusso (inseminante) e, quindi, non disturba il flusso. Ambienti ostili, come ad

esempio apparati di combustione, precludono luso di sonde meccaniche; per questi risulta ideale la

caratteristica di non intrusivit della tecnica LDV. Resta comunque da osservare che questa tecnica

anemometrica fornisce serie temporali non omogenee per quanto riguarda il campionamento.

Questo deriva dallimprevedibilit della frequenza di passaggio delle particelle di inseminante

allinterno del volume sonda. I dati acquisiti con questa tecnica non possono essere elaborati

immediatamente utilizzando procedure che tipicamente vengono usate per serie temporali a

campionamento costante (ad esempio FFT per la valutazione dello spettro di potenza). Si

puntualizza quindi che si rende necessario un ricampionamento del segnale oppure un

condizionamento dellacquisizione.

Il metodo pi semplice per ricampionare le serie temporali il cosiddetto Sample and Hold

digitale (ovvero uninterpolazione polinomiale di ordine zero che, tra laltro, pu essere eseguita

direttamente in fase di acquisizione, disponendo dellattrezzatura adatta; il metodo non si deve

confondere con i dispositivi S&H analogici, di cui si parler nel seguito, che hanno in comune

soltanto il principio di congelamento temporaneo della misura precedente).

Da osservare che la tecnica del Sample and Hold digitale porta comunque ad una distorsione delle

caratteristiche spettrali del segnale. Infatti lo spettro di potenza della serie ricampionata differisce da

quello vero a causa dei seguenti effetti:

* Step Noise che deriva dalla natura a gradini del segnale ricampionato. Leffetto

decresce con laumentare della densit delle particelle;

* Effetto di Filter. Le fluttuazioni della componente di velocit ad alta frequenza vengono

soppresse poich il segnale viene mantenuto costante nellintervallo di tempo tra larrivo delle

particelle. Da notare che anche lo Step Noise viene filtrato.

Il ricampionamento, in definitiva, definisce da un lato il limite di risposta alle alte frequenze e

dallaltro modifica il profilo dello spettro alle basse frequenze. In figura riportato un esempio della

distribuzione dei tempi di campionamento del segnale con la tecnica LDV e delleffetto del

ricampionamento su di uno spettro di potenza costante.


11

0.00 0.01 0.02 0.03 0.040

200

400

600

800

Fre

qu

en

cy C

oun

t

Interarrival Time (s)

Fig. 3) Esempio di distribuzione di tempi di arrivo di un segnale ottenuto con la tecnica LDV e

delleffetto del ricampionamento sullo spettro di potenza del segnale.

La tecnica del ricampionamento viene qui ricordata anche in vista di possibili applicazioni di

annullamento dello sfasamento per lanalisi di sistemi bicanale privi di S&H analogico in ingresso.

Acquisizione dei dati

Lacquisizione di dati pu avvenire tramite una catena di tipo ANALOGICO:

Fenomenofisico

Trasduttore Condizionatore disegnale

ProcessingLinea ditrasmissione

Taperecorder

oppure tramite una catena di tipo DIGITALE:

Fenomenofisico

Trasduttore Condizionatore disegnale

Linea ditrasmissione

ADC

Software

Analisyshardware

PC

Pu esserci pi di uno stadio di condizionamento del segnale e possono inoltre essere presenti

strumenti atti a codificare il segnale prima della trasmissione e a decodificarlo in ricezione (es.

trasmissioni via radio).


12

In passato le registrazioni ed elaborazioni dei dati erano fatte quasi esclusivamente con catene di

misura completamente analogiche; questo presentava alcuni vantaggi, relativamente alle possibilit

offerte dallelettronica del tempo, in quanto le misure non erano affette dagli errori tipici della

digitalizzazione (es.: aliasing ed errori di quantizzazione). Era inoltre possibile eseguire delle

elaborazioni in tempo reale sui dati utilizzando catene elettroniche analogiche basate su

amplificatori operazionali opportunamente reazionati.

E importante rendersi conto che sia nelle catene analogiche che in quelle digitali, alcuni problemi

di possibile perdita di informazione presente nei dati originari sono comuni: nella fattispecie, si fa

riferimento alla risposta in frequenza (sia per le alte frequenze, con limiti spesso costituiti dalla

risposta in frequenza del singolo componente della catena; che per le basse frequenze, con limiti

determinati dalla lunghezza temporale del campione), al rapporto segnale/rumore (che ad esempio,

nel campo analogico, comporta la limitazione di sistemi con catene di retroazione, e la preferenza di

strumenti con ingresso-uscita diretti e componentistica di alta qualit), alla deriva termica (sia dello

zero od offset che del guadagno) ed ai fenomeni di non linearit ed isteresi. Vale inoltre la pena

ricordare che, per molti sensori, il limite della risposta alle alte frequenze strettamente correlato

alle dimensioni del sensore, in quanto esiste un legame fisico tra risoluzione spaziale e risoluzione

temporale della misura, fortemente dipendente dalla velocit.

Lo sviluppo dellelettronica ha permesso di produrre dei convertitori analogico/digitale (ADC)

molto veloci e degli elaboratori che, con costo relativamente basso, permettono una gestione rapida

ed efficiente di grandi quantit di dati. Questo, aggiunto alle caratteristiche tipiche dei segnali

digitali (maggiore insensibilit al rumore nella trasmissione dei dati, capacit di archiviazione

compatta e con minore degrado nel tempo) ha portato alla diffusione su larga scala delle catene di

acquisizione, elaborazione ed archiviazione dei dati basate su segnali digitali. E a questo tipo di

catene di misura ed elaborazione che si fa quindi riferimento nel seguito.

Trasduttori

I trasduttori sono dei sensori sensibili al fenomeno fisico che vogliamo investigare e di solito

producono un segnale elettrico, generalmente una corrente o una tensione, relazionato in maniera

nota alla grandezza da misurare. Tipici esempi sono:

trasduttori di pressione

trasduttori di forza (celle di carico, bialce) e coppia (torsiometri)

trasduttori di spostamento, velocit ed accelerazione

trasduttori di deformazione

trasduttori di temperatura (termocoppie, termometri a resistenza)

trasduttori di velocit (tubi di Pitot, sonde aerodinamiche, anemometri a filo caldo)

trasduttori di variabili fisico/chimiche (es. pH, concentrazioni, ....)

Un dato importante dei trasduttori la linearit (cfr. Figure seguenti). Un trasduttore lineare

presenta sostanzialmente un guadagno costante su tutta la gamma di utilizzo; ci oltre a

semplificare le procedure di calibrazione, in quanto sufficiente un numero limitato di punti di

verifica (teoricamente due) presenta anche vantaggi nellanalisi dei sistemi dinamici. Infatti, se il

valore della fluttuazione (rms) risulta una frazione importante del valore medio, la non linearit si

riflette in una distorsione del segnale (in sostanza, il trasduttore risponde in maniera diversa a

fluttuazioni negative e positive attorno al valore medio).

La linearizzazione delluscita spesso effettuata per via digitale risolve solo parzialmente

il problema: infatti, ad es. per le curve con effetto di saturazione (frequenti in molti principi di


13

misura) la sensibilit del trasduttore si attenua procedendo verso la parte alta della gamma di

utilizzo. Poich la sensibilit della catena di misura (analogica o digitale) costante, lerrore di

misura in queste condizioni risulta pi rilevante. In tali situazioni non linearit della catena di

misura - risulta molto utile lapplicazione della teoria della propagazione dellincertezza, in quanto

in tal modo almeno possibile associare ad ogni misura una fascia precisa di incertezza, che ne

descrive laffidabilit.

TRASDUTTORE DI PRESSIONE ANEMOMETRO A FILO CALDO

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

1400 1 2 3 4 5

0

20

40

60

80

100

120

140

Pre

ssio

ne (

mm

H2

O)

Tensione (V)

2 4 6 8 10 12

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

2 4 6 8 10 12

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

Tensio

ne a

nem

om

etr

o (

V)

Velocit di riferimento (m/s)

Fig. 4)Esempio di risposta lineare (trasduttore di pressione) e non-lineare (anemometro a filo

caldo).

Condizionamento del segnale

I segnali in uscita dai trasduttori devono spesso essere condizionati prima di venire

acquisiti. Tale operazione, nella catena di acquisizione, pu avvenire attraverso uno o pi stadi sia

prima che dopo la digitalizzazione e sia prima che dopo la trasmissione dal luogo di misura a quello

di storage.

Tipiche operazioni di Signal Conditioning sono:

Amplificazione Attenuazione

Bufferizzazione Linearizzazione

Filtraggi (ad esempio i passa basso anti-aliasing)

Preparazione dei dati per la trasmissione


14

Convertitori analogico-digitali (ADC)

Tali strumenti sono utilizzati per convertire un livello analogico di tensione in un numero

proporzionale alla tensione da misurare. Possono essere ottimizzati per la conversione di tensioni

continue prediligendo caratteristiche quali la precisione, la stabilit e la linearit. La velocit di

conversione diviene invece importante quando si deve convertire, ad alta frequenza di

campionamento, un segnale rapidamente variabile.

ADC a conversione tensione-frequenza

Luscita di questo convertitore proporzionale al rapporto fra la tensione da misurare ed

una di riferimento. La sua taratura dipende dai valori di resistori e capacit e, di

conseguenza, la sua accuratezza dipende dalla stabilit dei componenti utilizzati.

ADC a pendenza duale (o doppia rampa)

Particolarmente adatto allimpiego nei multimetri digitali date le sue caratteristiche di

precisione e lindipendenza della sua taratura dalla stabilit dei componenti.

ADC ad approssimazioni successive (o a pesiera)

Convertitore particolarmente veloce che necessita di unaccurata messa a punto. La sua

precisione dipende dalla stabilit dei componenti.

le principali caratteristiche di un ADC che devono essere prese in considerazione per deciderne

luso in una certa catena di misura sono:

Linearit (differenziale ed integrale)

Stabilit

Range (R)

Guadagno (G)

Numero di bits (N)

Tempo di campionamento

Risoluzione data da:

Multiplexer

Il multiplexer una matrice di interruttori (spesso switch CMOS a stato solido) che permette

di gestire molti canali analogici di input con una sola linea analogica di output.

S/H

S/H

S/H

MUX ADC

Ad esempio, lLa risoluzione di un ADC a 16 bits utilizzato

con guadagno 1 nel range tra -5 e +5 Volts sar:

V 152.6V12

1

1

10ris

16

Il range dinamico RD in dB sul rapporto fra il massimo ed

il minimo segnale risolvibile sar quindi dato da:

dB3.9010*6.152

5log20RD

610

12GR

risN


15

La commutazione dei canali risente inevitabilmente di effetti di disturbo dai canali adiacenti; questo

tipo di disturbo pi sensibile nella commutazione a stato solido, che risulta peraltro molto veloce

non essendovi parti in movimento. Per applicazioni che richiedono unelevata immunit al disturbo

da canali adiacenti (ad esempio per la commutazione di segnali di bassissimo livello, quali quelli

provenienti da termocoppie od estensimetri, che richiedono a volte la misura di tensioni con

sensibilit inferiore a 0,1 V) si ricorre ancora oggi alla commutazione meccanica, mediante rel

magnetici (Reed) che hanno per una velocit di commutazione ed una vita limitate (max 3000

commutazioni/s).

Il multiplexing una comune tecnica che pu essere utilizzata per aumentare il numero di canali che

un ADC pu gestire. Per ottenere la contemporaneit del campionamento, auspicabile completare

la commutazione con dei dispositivi (Sample and Hold) capaci di congelare la tensione presente

su ogni canale ad un certo istante (determinato da un opportuno segnale di sincronizzazione o

Trigger): lADC converte il primo canale, si sposta al successivo e lo converte e cos via. La

tecnica del multiplexing, quando utilizzata per aumentare il numero di canali di una scheda di

acquisizione ne diminuisce quindi la frequenza massima di acquisizione:

fa sc Frequenza massima di acquisizione su di un singolo canale.

fa Frequenza effettiva di acquisizione massima. Nc Numero di canali

La presenza di dispositivi S/H su ogni canale garantisce comunque la simultaneit del

campionamento ed elimina i fenomeni di sfasamento temporale tra i canali, pur non aumentando la

velocit del campionamento (per farlo, necessario adottare dispositivi ADC separati,

possibilmente sincronizzati da uno stesso trigger).

Di solito, per le schede di acquisizione, viene indicato il massimo rate di acquisizione (samples/s)

che risulta indipendente dal numero di canali e non la frequenza di acquisizione massima. E in

genere possibile espandere le potenzialit di una scheda con un multiplexer esterno di basso costo,

in genere sprovvisto di S/H in ingresso. In tal caso comunque possibile apportare correzioni alle

serie temporali (interpolazione dei dati) per eliminare lo sfasamento, che risulterebbe (anche se

soltanto alle frequenze pi elevate) nelle analisi multicanale (ad es. correlazioni e spettri incrociati).

La tecnica del multiplexing pu essere estesa in cascata per ogni singolo canale, moltiplicando gli

ingressi: ad esempio, per una scheda National Instr. NI-AT-MIO-16H-9 i 16 canali principali

possono diventare fino a 256 con luso di un sub-multiplexer AMUX-64T.

Sistemi di acquisizione dati

Poco dopo lintroduzione dei PC IBM cominciarono ad apparire sul mercato delle schede dedicate

allacquisizione di dati (DAQ boards) direttamente collegabili al PC. Tali schede trattavano input

analogici e/o digitali ma non esisteva un protocollo di comunicazione standard con il PC ed il

guadagno dellADC era fisso o modificabile solo via hardware. Con il passare del tempo le schede

DAQ sono diventate pi potenti e sofisticate ed attualmente ci sono degli standard che ogni scheda,

indipendentemente dal costruttore, in grado di rispettare.

f

f

Naa sc

c


16

Specifiche tecniche di schede I/O multifunzione

16 canali SE (8 DE), Input ed output sia analogico che digitale. ADC a 12 o pi bits, dotazione di chips di memoria integrati nella scheda. Comunicazione Direct Memory Access (DMA). Range e guadagno modificabile via software. Possibilit di espansione modulare.

La presenza sulla stessa scheda di ingressi ed uscite digitali, oltre che analogici, spesso un

vantaggio per consentire il collegamento a trasduttori digitali (contatori, encoders, etc.) e/o

loperativit di interruttori, rel etc. spesso necessari per le applicazioni di controllo in sistemi di

misura intelligenti (ad esempio per la movimentazione di sonde, per il controllo di motori ed

attuatori, etc.). Per questo motivo le schede I/O multifunzione sono una scelta economica ed

efficace in molte applicazioni.

La modalit di collegamento dei segnali analogici pu essere single-ended (tutti i segnali riferiti ad

una massa comune di strumentazione), o double-ended o differenziale (ogni canale indipendente).

La seconda soluzione garantisce come si vedr una maggiore immunit ai disturbi conseguenti alla

trasmissione di rumore tra i canali, ma porta rispetto alla single-ended al dimezzamento del numero

di ingressi.

ESEMPI DI SCHEDE I/O MULTIFUNZIONE

ADC 16 Bits Veloce

100 kS/s sampling rate

16 canali single-ended o 8 differenziali

Range selezionabile via software: 0-10 V, 10 V

Guadagno 1, 2, 5, 10, 20, 50, and 100

Possibilit di pre e post-triggering

AT-MIO-16X

ADC 12 Bits Veloce

500 kS/s sampling rate

64 canali single-ended o 32 differenziali

Two 12-bit analog outputs

Range selezionabile via software: da 0-100 mV

a 0-10 V

Guadagno 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, and 100

8 canali I/O digitali

AT-MIO-64E-3


17

In alternativa alle schede di acquisizione interna, una scelta frequente sono le unit esterne di

acquisizione dati, controllate con collegamento IEEE 488, oppure seriale o SCSI. Queste unit

comprendono S&H, multiplexer, convertitore ADC, e memorie componibili ad accesso veloce, e

possono alleggerire sensibilmente il compito di gestione dellelaboratore.

A livello di costo superiore si trova la strumentazione

componibile VXI, con prestazioni simili ma con unelevata

flessibilit e relativa uniformit di comandi di

programmazione, anche tra diverse marche produttrici. Le

schede VXI sono componibili entro un apposito rack

collegabile al computer con diverse tipologie e di interfaccia,

a seconda delle necessit sulla velocit di trasmissione dei

dati

Molto pratici per la portabilit sul campo e per limmediatezza di restituzione delle elaborazioni,

sono gli analizzatori di spettro, anchessi collegabili ai computers ma con elevate capacit di

calcolo, favorite dallutilizzo di processori dedicati allalgoritmo FFT. Questi strumenti sono in

genere molto meno flessibili per quanto riguarda la capacit di trattare campioni molto lunghi

(memoria non componibile). Ormai simili a questi per prestazioni sono i moderni oscilloscopi

digitali, che offrono per spesso la componibilit dei banchi di memoria veloce.


18

Linee di trasmissione

La trasmissione di dati dallo strumento o dallunit remota di acquisizione al sistema in cui avviene

limmagazzinamento e lelaborazione pu rendersi necessaria ed avviene tramite la propagazione di

un segnale elettrico. Pu essere usata una trasmissione attraverso: Conduttore: ha il vantaggio di non dover interporre apparecchiature specifiche per

linvio la ricezione dei dati. Tuttavia sono presenti fenomeni di dispersione e di disturbo

(dannosi soprattutto ai segnali analogici) che ne limitano luso a lunghezze limitate,

llilimitatcontenute; altrimenti devono essere presenti degli stadi di filtraggio e rigenerazione del segnale.

Spazio: trasmissione via radio. Necessita di attrezzatura dedite alla modulazione e linvio

del segnale nonch alla demodulazione per la ricezione. Diventa necessaria per

trasmissioni a grandissima distanza (ad esempio trasmissione via satellite).

Fibra ottica: il segnale viene immesso nelle linee a fibre ottiche sfruttando

particolari apparecchiature di conversione. Il principale vantaggio che

possibile inviare su di una sola linea molti segnali a frequenza leggermente

diversa.

In generale nella trasmissione di un segnale elettrico si introduce del rumore indesiderato. Questo

effetto maggiore nei segnali analogici che vengono perci continuativamente degradati. Nella

trasmissione dei segnali analogici per misure industriali, molto diffusa la trasmissione in corrente,

con trasduttori che forniscono uscita tra 4 e 20 mA (corrispondenti a zero e fondo scala). La

trasmissione in corrente consente di verificare agevolmente linterruzione delle linee, e riduce

sensibilmente il problema dellattenuazione del segnale a seguito della caduta di tensione per effetto

della resistenza delle linee di trasmissione. Comunque, anche in tali condizioni e con cavi schermati

sconsigliata la trasmissione al di l dei 200 m.

I segnali digitali sono invece relativamente immuni al rumore, nel senso che hanno unelevata soglia

di tolleranza. Infatti basta discriminare se il valore di un bit basso (0-0.8 V TTL) o alto (2.5-5 V

TTL), quindi pu essere utile digitalizzare il segnale prima della trasmissione. Inoltre per i segnali

digitali sono stati sviluppati dei sistemi di controllo sulla trasmissione dei dati che mettono al riparo

da un gran numero di errori di trasmissione (ad es. il controllo della parit) mentre non stato

sviluppato nessun metodo di controllo per la trasmissione dei dati analogici.

Per cercare di ottenere la massima accuratezza nelle misure necessario, in generale, limitare il

livello di rumore. Questo pu, entro certi limiti, essere fatto limitando limmissione diretta di

rumore per accoppiamenti conduttivi e limitando gli accoppiamenti sia induttivi che capacitivi.

In particolare:

Minimizzare linduttanza dei fili di collegamento.

Minimizzare gli effetti dei ground-loops (utilizzando connessioni differenziali o double-

ended).

Limitare le antenne.

Mantenere, quando possibile, le reti bilanciate da un punto di vista dellimpedenza

circuitale.


19

Alla connessione elettrica che porta il segnale dal trasduttore alla scheda di acquisizione (o

comunque allADC) deve essere rivolta particolare cura. Ci sono sostanzialmente 3 metodi,

lutilizzo dei quali deve essere determinato in base allintensit del segnale ed alla strumentazione

disponibile.

(1) Connessione single-ended, in cui un terminale di input riferito a terra. Possono insorgere dei

ground-loops ed perci adeguata quando il segnale da misurare relativamente intenso.

(2) Connessione double-ended, evita i ground-loops ed adeguata per misurare piccole differenze di

tensione.

(3) Connessione tramite isolatore, permette di connettere strumenti riferiti a terre fra cui

intercorrono anche centinaia di Volts di differenza di potenziale senza che questo influisca sul

segnale.

Le principali differenze riguardano la distinzione tra linea di ritorno del segnale e linea di terra (che

riguarda la sicurezza).

Quando un segnale viene acquisito e memorizzato da una catena di tipo digitale si hanno

indubbiamente dei vantaggi per quanto riguarda la flessibilit dei dati per le elaborazioni numeriche

e la trasmissione dei dati. Tuttavia anche in questo caso si va incontro ad alcuni problemi che sono

tipici dellacquisizione digitale e che non hanno corrispondenza nellacquisizione con catene

analogiche. I due principali inconvenienti sono:

Lerrore di quantizzazione

Il fenomeno dellaliasing

Possono insorgere altre fonti di incertezza imputabili principalmente al convertitore analogico-

digitale; tipicamente il segnale acquisito non sar una rappresentazione istantanea della tensione in

ingresso ma rappresenter piuttosto una sorta di media fatta sul tempo necessario allADC ad

effettuare la conversione (aperture error). Tale errore pu essere drasticamente ridotto utilizzando

un Sample&Hold in ingresso ed un ADC veloce. IL fenomeno del Jitter riguarda le fluttuazioni

casuali dellintervallo di tempo fra un campionamento ed il successivo. Fenomeni di non linearit

possono derivare dallerrore di linearit dellADC che in alcuni casi pu portare alla presenza di

codici mancanti. Questo tipo di inconvenienti sono in genere ridotti fino ad essere trascurabili grazie

allelevata qualit dei convertitori analogico-digitali utilizzati nelle moderne catene di misura.

Lerrore di quantizzazione ed il fenomeno dellaliasing sono invece strettamente connessi con la

digitalizzazione di un segnale analogico e meritano di essere analizzati pi a fondo.


20

Quantizzazione

A causa del fatto che la conversione di una tensione analogica in un numero binario deve essere

fatta con un numero finito di bits (usualmente 12 o 16) si introduce unincertezza sul valore finale.

Non importa quanto fine sia la scala, una scelta fra due codici numerici successivi deve sempre

essere fatta come illustrata in figura.

Se la quantizzazione del valore V0 di tensione in ingresso fatta correttamente sar scelto il codice

il cui livello il pi vicino possibile a V0 (in questo caso il codice n-esimo). Ad ogni valore di

tensione convertito dallADC potr quindi essere assegnato un errore di quantizzazione valutabile a

priori in V / 2 . Infatti V / 2 la massima variazione di tensione in ingresso che pu non

provocare variazioni sulluscita dellADC. Il valore di V viene ad essere determinato dal range R

delle tensioni in ingresso convertibili dallADC e dal suo numero n di bits dalla seguente relazione:

12

RV

n

Ad esempio consideriamo di avere una scheda di acquisizione con un range R=10V (cio un ADC

che converte tensioni comprese fra -5 e +5V) la risoluzione V sar data da:

n=10 bits n=12 bits n=16 bits

V mV 9 7. V mV 2 4. V mV 015.

Nelle figure seguenti illustrato il problema dellerrore di quantizzazione sul campionamento di

una sinusoide fatta con ADC a diverso numero di bits e con diverso guadagno.

V

V0 Tensione in

ingresso

n+1-esimo livello

n-esimo livello

V


21

Fig. 5) Illustrazione della quantizzazione

Dal punto di vista statistico questo errore da ritenersi di tipo casuale ma con una distribuzione di

probabilit non gaussiana. Infatti supponiamo di avere in uscita il codice n-esimo che corrisponda

ad una tensione media in ingresso di Vn, la distribuzione p(V) di probabilit delle tensioni in

ingresso corrispondente a questa uscita dellADC data da:

p VV

per V V V V V

p V altrimenti

n n( ) / /

( )

12 2

0

1/ V

V Vn / 2 V Vn / 2

V

p(V)


22

il valore medio della tensione in ingresso ovviamente dato da Vn mentre la sua deviazione

standard data da:

1 1

12 120 29

2

2

21 2

2

2

2 1 2

2 1 2

Vp V V V dV

Vx dx

V VV

nV V

V V

V

V

n

n

( )( )

.

/

//

/

/ /

/

Questa deviazione standard, pur esprimendo significativamente lincertezza dovuta allerrore di

quantizzazione, non ha lusuale significativo che possibile associarvi nel caso di distribuzioni

gaussiane.

Aliasing

Il campionamento dei dati caratterizzato da un intervallo di tempo (di solito costante) che

intercorre tra un rilievo ed il successivo. La frequenza di acquisizione fa data da 1/ . Il teorema del

campionamento di Nyquist ci dice che per avere una corretta descrizione del segnale nel dominio

delle frequenze necessario campionare ad una frequenza almeno doppia rispetto alla massima

frequenza del segnale. Alternativamente possiamo dire che con una frequenza di acquisizione pari

ad fa si descrive correttamente il segnale fino alla frequenza massima fn=fa/2. fn detta frequenza di

Nyquist o di folding.

Per ogni frequenza f nellintervallo compreso fra zero e la frequenza di folding si ha aliasing

con le frequenze date da:

2kf fn con k un numero intero.

Ad esempio, se si campiona alla frequenza di 200Hz avremo una frequenza di Nyquist di 100Hz; un

segnale a 30Hz presenter effetti di alias alle frequenze di 170, 230, 370, 430Hz e cos via.

Il fenomeno dellaliasing se presente in una serie di dati impedisce di valutarne

correttamente i contributi in frequenza e quindi lo spettro della densit di potenza. Da un punto di

vista della densit spettrale di potenza il fenomeno dellaliasing fa s che i contributi, nel segnale, a


23

frequenze maggiori di fn vengano riportati nello spettro a frequenze minori di quella di folding come

si vede in figura.

Fig. 6) Illustrazione del fenomeno dellaliasing

Questo fenomeno pu essere eliminato, od almeno ridotto fino ad essere trascurabile, tramite un

filtraggio analogico, effettuato quindi prima della digitalizzazione, con un filtro passa-basso che

riduca notevolmente i contributi a frequenza maggiore di quella di folding.

Come esempio pratico del fenomeno di aliasing si consideri unonda triangolare con frequenza

fondamentale di 26.6 kHz campionata a 1000 kHz, 500kHz e 200 kHz. Londa triangolare presenta,

oltre alla frequenza principale, tutte le armoniche di ordine dispari con ampiezza progressivamente

calante ( e nessuna delle pari). Lanalisi spettrale in termini di spettro di potenza riportata nella

figura seguente. Nel primo caso (in alto, 1000 kHz) si rilevano chiaramente le prime 17 armoniche;

nel secondo caso (figura intermedia, 500 kHz) si osservano solo le prime nove armoniche, mentre

quelle di ordine superiore hanno subito alias e sono spostate verso le basse frequenze; nellultimo

caso (in basso, 200 kHz) si rilevano soltanto le prime tre armoniche e gli altri picchi rilevabili sono

risultato di alias.


24

Fig. 7) Esempio che mostra leffetto dellaliasing su di uno spettro di potenza


25

Probabilit

La probabilit una grandezza statistica legata alla frequenza con cui si osserva un certo

evento in unanalisi che comprende un gran numero di eventi simili.

Ad esempio lanciando una moneta per un numero N limitato di volte avremo come risultato un

certo numero NT di teste ed un certo numero NC di croci con NT+NC=N, tuttavia il numero di teste

ottenuto sar in generale diverso da quello delle croci e ripetendo lesperimento otterremmo

verosimilmente valori di versi per NT e NC. Se il numero di tentativi N viene fatto crescere i valori

di NT e di NC si stabilizzeranno intorno al valore NT=NC=N/2. Per cui nel limite di N tendente

allinfinito la frequenza delle croci sar uguale a quella delle teste e la probabilit a priori di ottenere

uno qualunque dei due risultati sar uguale a 1/2. Nello stesso modo la probabilit di ottenere un

certo numero lanciando un dado pari ad 1/6.

La probabilit di ottenere un certo evento sempre compresa fra zero (assoluta certezza che

levento non si manifesta) ed uno (assoluta certezza del manifestarsi dellevento). Per una variabile

aleatoria la somma delle probabilit relative a ciascuno dei possibili valori che pu assumere

uguale ad uno. La probabilit che avvengano due o pi eventi indipendenti data dal prodotto delle

singole probabilit relative a ciascun evento.

Ad esempio lanciando due dadi la probabilit di ottenere due tre data dal prodotto della probabilit

di ottenere un 3 sul primo dado (1/6) e la probabilit di ottenere un tre sul secondo dado (1/6) ed

quindi uguale a 1/36 essendo i due eventi indipendenti. La probabilit di ottenere 4 dalla somma dei

valori ottenuti sui due dadi la si calcola tenendo presente che il quattro pu essere ottenuto con tre

diverse combinazioni: 1 sul primo dado e tre sul secondo, uno sul secondo dado e tre sul primo

oppure con due 2. Ognuna di queste combinazioni esclude laltra e gli eventi sono perci

dipendenti. La probabilit di ogni combinazione pari a 1/36 mentre quella complessiva la somma

delle tre probabilit ed quindi pari a 3/36=1/12.

Funzione densit di probabilit

Quando si lavora con un insieme di dati che rappresenta una funzione continua, ad esempio

la tensione in uscita da un trasduttore registrata in funzione del tempo, non si pu pi parlare di

probabilit a priori di ottenere un preciso valore per la tensione letta sul trasduttore. Il concetto di

probabilit deve quindi essere sostituito con quello di densit di probabilit. Consideriamo una

time history x(t), la probabilit che x(t) assuma un valore allinterno di un definito range fra x e

x+dx pu essere calcolata come:

P(x,x+dx)= Tx/T dove Tx il tempo totale in cui la x(t) cade nel range predefinito durante

lintervallo di tempo di osservazione T.

Questa funzione approssimer la probabilit quando T tende allinfinito.


26

La densit di probabilit (o probability density function PDF) p(x) sar perci ottenuta nel limite

come:

p xdx

Tx

Tdx T( ) lim lim

0

1

In questo modo la probabilit che x(t) assuma un valore allinterno di un definito range fra x e x+dx

pu essere valutata tramite la densit di probabilit come:

P(x,x+dx)=p(x)dx

Fig. 8) Schema esplicativo della definizione della funzione di densit di probabilit (PDF).

In pratica si lavora spesso con catene di misura digitali con frequenza di campionamento

fissa, e quindi con serie temporali omogeneamente distribuite nel tempo. Il calcolo della densit di

probabilit viene quindi svolto in maniera discreta, ovvero costruendo listogramma di probabilit

ottenibile contando il numero di dati n(x,x+dx) presente in ogni intervallo considerato e dividendo

per il numero totale N di dati a disposizione e per lampiezza dellintervallo:

N

)dxx,x(nlim

dx

1lim)x(p

N0dx

La funzione densit di probabilit normalizzata in maniera tale che valga la seguente relazione:

1dx)x(p


27

Nella costruzione della densit di probabilit in termini discreti su di un campione di N dati si

procede passando attraverso listogramma di probabilit. La procedura matematica consiste nel

dividere lintervallo di valori di misura del segnale x(t) fra xminimo e xmassimo in k intervalli

(generalmente uguali) di ampiezza x=xj+1-xj centrati intorno al valore xj. Si conteggia il numero di

misure nj contenute in ogni intervallo xj e la densit di probabilit ottenuta come una serie discreta

di valori pj=p(xj):

xN

n)x(pp

jjj

Nella costruzione dellistogramma di probabilit quindi necessario un compromesso fra il numero

di intervalli k (e quindi dellampiezza dellintervallo) rispetto al numero totale di dati disponibili nel

campione. Il compromesso deve ottimizzare laffidabilit del risultato per pj. Infatti se il numero di

intervalli k troppo piccolo si rischia di avere una risoluzione povera (x troppo elevato) e quindi

insufficiente a descrivere il dettaglio della densit di probabilit mentre se il numero k di intervalli

troppo elevato allora i conteggi nj in ogni intervallo possono essere troppo pochi per avere una

sufficiente convalida statistica e la PDF cos costruita avr della ampie fasce di errore statistico

dovuto semplicemente al conteggio. Ad esempio se lampiezza di un intervallo troppo piccola ed

tale che si abbia una probabilit di avere una misura in tale intervallo pari a 1/10000 allora ci si

aspetta di avere un unico conteggio su di un campione di 10000 dati con un errore relativo di

conteggio pari al 100%.

Lerrore statistico di conteggio infatti valutabile attraverso le propriet della distribuzione

binomiale (descritta nel seguito). Per un intervallo in cui si rilevano n conteggi con n


28

Fig. 9) Esempio di istogrammi di densit di probabilit.

Nelle figure che seguono sono riportati alcuni esempi di funzione densit di probabilit. In figura 10

stato scelto il caso di una funzione sinusoidale di ampiezza unitaria, mentre in figura 11 stato

considerato il caso della stessa funzione sinusoidale a cui sovrapposto un rumore bianco (cio un

rumore con spettro di potenza costante al variare della frequenza) di banda relativamente stretta (il

massimo al 25% dellampiezza della sinusoide).

Nella figura 9 (13) sono riportati gli

istogrammi che rappresentano la densit di

probabilit per un rumore a distribuzione

gaussiana per tre diverse ampiezze delle barre

degli istogrammi. Si pu notare che

nellultimo caso in cui si sono considerati 40

intervalli la curva continua passante per il

centro delle barre dellistrogramma da una

buona rappresentazione della densit di

probabilit.


29

Fig. 10) La funzione x(t) una sinusoide alla frequenza di 100 Hz.

Fig. 11) La funzione x(t) la sovrapposizione di una sinusoide alla frequenza di 100 Hz e di un

rumore bianco di ampiezza massima pari al 25% dellampiezza della sinusoide.

Da questi esempi gi possibile rendersi conto di come calcolare un istogramma sufficientemente

dettagliato da rappresentare una funzione di densit di probabilit e di come un segnale sinusoidale

viene influenzato dalla sovrapposizione di un rumore bianco. In figura 12 invece riportato un

esempio di densit di probabilit riguardante le fluttuazioni di velocit in un moto di aria turbolento

allinterno dello strato limite rilevato in galleria del vento. Il campione di dati (lungo 65536

elementi), parzialmente mostrato in figura 12, stato ottenuto con una sonda anemometrica a filo

caldo ed una catena di acquisizione digitale settata per una frequenza di acquisizione pari a 2000

Hz. Il valore medio della velocit era di 8.5 m/s e lintensit di turbolenza era il 13.56 %.


30

Fig. 12) Esempio di distribuzione di velocit in un flusso daria turbolento allinterno dello strato

limite.

La funzione densit di probabilit p(x) permette di valutare la probabilit complessiva di ottenere un

valore di x compreso in un certo intervallo come:

P x x x p x dxx

x

( ) ( )1 21

2

e la probabilit cumulativa di ottenere un valore minore od uguale ad x come:

P x p x dxx

( ' ) ( )'

.


31

Fig. 13) Esempi di densit di probabilit


32

Definizione e calcolo dei momenti statistici

Dato un segnale x(t) si definisce momento statistico di ordine m la seguente espressione:

dx)x(pxx mm

se il segnale opportunamente campionato attraverso una serie discreta di dati xi si pu passare

dalla formulazione integrale a quella discreta tramite una sommatoria:

k

1jj

mj

m )x(pxx

Ovviamente i momenti statistici cos definiti possono essere espressi tramite medie temporali in

forma integrale sia su campioni di lunghezza infinita che su campioni limitati nel tempo:

T

0

m

T

m dt)t(xT

1limx

T

0

mm dt)t(xT

1x

dove T il periodo sul quale la funzione x(t) stata registrato. Da un punto di vista puramente

matematico il valore di T dovrebbe tendere allinfinito. Dal punto di vista pratico il valore di T deve

essere sufficientemente lungo da essere multiplo del periodo massimo caratteristico del segnale. Il

numero di multipli da considerare, e quindi il valore di T, dipende peraltro dal momento statistico

che si intende calcolare, e dallaccuratezza della stima richiesta.

Il momento statistico del primo ordine non altro che la media del segnale:

N

1i

T

0T

xN1

XxdtT

1limX

Oltre alla media importante definire alcune grandezze di largo utilizzo nellanalisi dei segnali nel

dominio del tempo. In particolare il momento statistico del secondo ordine consente di calcolare la

deviazione standard e la varianza 2 di un campione di dati che sono definiti in termini integrali

come:

dx)x(pxx

dx)x(pxx

22

2

Per una serie di dati xi campionati ad intervalli di tempo regolari si pu utilizzare la formulazione in

termini di sommatorie come:


33

N

1i

2i

2

N

1i

2i

xxN

1

xxN

1

E da notare che spesso la standard deviation e la varianza sono definite non rispetto al numero N di

dati nel campione ma rispetto agli intervalli di campionamento (N-1) e la definizione di cui sopra

viene modificata con un N-1 al denominatore al posto di N. Questa distinzione irrilevante per

campioni lunghi in cui N>>1 ma pu portare a piccole discrepanze nel caso in cui si elaborino

campioni con pochi dati, come nel caso della valutazione di errori sperimentali nella fase di

calibrazione di uno strumento. La varianza del campione legata al momento statistico del secondo

ordine rispetto alla media e fornisce indicazioni sulla larghezza della PDF e quindi sullo

sparpagliamento dei dati intorno alla media nel campione in esame.

La Skewness fa riferimento al momento statistico del terzo ordine rispetto alla media ed

utilizzata come un indice di asimmetria della PDF del segnale in analisi:

dx)x(pxx

1S

3

3

In termini di sommatoria su di una serie di dati campionati a frequenza costante si ha:

N

1i

3i3

xxN

1S

La Kurtosis fa invece riferimento al momento statistico del quarto ordine rispetto alla media e

viene utilizzata per avere un indice della ripidit della PDF stessa. Cio per avere una indicazione

riguardante lestensione delle code della PDF intorno al suo valore di massimo.

dx)x(pxx

1K

4

4

In forma di sommatoria su di una serie di dati campionata a frequenza costante si ha:

N

1i

4i4

xxN

1K

E da notare che se il segnale x(t) rappresenta una grandezza fisica dimensionale allora la standard

deviation e la varianza sono grandezze dimensionali mentre la skewness e la kurtosis per come

sono definite - sono quantit adimensionali, essendo normalizzate tramite il cubo e la quarta potenza

della deviazione standard.

E opportuno notare che per il calcolo dei momenti statistici, soprattutto per gli ordini m elevati,

occorre un segnale campionato per un tempo sufficientemente lungo. Infatti il primo momento

statistico (la media del segnale) dipende dalle code della PDF in maniera lineare ed quindi

principalmente influenzata dai valori x(t) per cui la PDF massima. Il secondo momento statistico

invece fortemente legato alla larghezza della funzione di densit di probabilit e quindi le code


34

della PDF assumono importanza sempre maggiore nel calcolo dei momenti al crescere del valore di

m. Per un calcolo accurato ed affidabile dei momenti statistici di ordine elevato occorre avere una

PDF che ben descritta nelle sue code e quindi necessario avere un segnale campionato per

tempi pi lunghi.

Per il calcolo effettivo dei momenti statistici, avendo a disposizione un campione di N dati

campionato ad intervalli di tempo costanti si possono utilizzare almeno tre principali metodologie:

1) Utilizzare semplicemente dei cicli for-next analizzando la serie temporale in un

programma di calcolo (BASIC, FORTRAN, C,....)

2) Utilizzare le capacit di vettorizzazione di ambienti di lavoro matematici (tipo MATLAB)

per evitare i cicli e lavorare direttamente sul vettore di dati xi nella sua interezza

3) Calcolare prima la PDF del campione e valutare poi i momenti statistici attraverso di essa

tramite le loro definizioni.

I metodi 2) e 3) sono comunque pi efficienti del metodo 1) anche per campioni con un numero di

dati relativamente basso. Tuttavia se il numero di dati nel campione elevato pu essere

conveniente dal punto di vista dellefficienza del calcolo passare attraverso la PDF ed adottare il

metodo 3). Nella tabella seguente riportato un esempio di calcolo dei primi 4 momenti statistici su

di un segnale random con distribuzione gaussiana. Si pu notare che gi per campioni con 32768

dati il metodo 3) diventa pi conveniente. Infatti il calcolo necessario alla valutazione

dellistogramma di probabilit diventa inferiore a quello necessario alla gestione ed analisi di vettori

di grandi dimensioni.

Numero di dati Tempo di calcolo

con cicli for (s)

Tempo di calcolo con

vettorizzazione (s)

Tempo di calcolo

tramite PDF (s)

16384 0.83 0.05 0.05

32768 1.76 0.11 0.05

65536 3.51 0.22 0.06

131072 6.98 0.44 0.16

262144 13.84 0.88 0.28

Esempio di velocit di calcolo su dei campioni di dati a distribuzione gaussiana. I primi quattro momenti

statistici sono stati valutati in ambiente MATLAB con un processore PENTIUM III a 600 MHz.

La distribuzione Gaussiana

Esistono molte distribuzioni di probabilit di notevole importanza nella descrizione di particolari

fenomeni fisici. Ad esempio la distribuzione di Maxwell-Boltzmann che descrive la distribuzione

delle velocit degli atomi del gas perfetto allequilibrio termodinamico, oppure la distribuzione di

Poisson che descrive la probabilit di decadimento di un nucleo radioattivo. In fisica quantistica

sono importanti le distribuzioni di Fermi e di Bose-Einstein. Per tutte queste distribuzioni si

rimanda ai testi specialistici. Nel seguito si tratta in dettaglio la distribuzione gaussiana, quella

binomiale e quella di Poisson, che giocano un ruolo di rilievo nellanalisi dellincertezza

sperimentale.


35

La distribuzione gaussiana (normalizzata) data dallespressione:

g x e

x x

( )

*

1

2

2

22

e la normalizzazione tale che: g x dx( )

1 come deve essere per una distribuzione di probabilit. La funzione g(x) centrata sul valore x* ed simmetrica. Questo implica che il valore medio di

x proprio pari a x*, infatti

x xg x dx x( ) * . Il parametro detto parametro di larghezza della gaussiana; nella figura successiva sono riportate tre gaussiane centrate sul valore x*=5 e con

tre diversi parametri di larghezza (0.5, 0.3 e 0.2).

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.20 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

g(X

)

X Fig. 14) Esempio di distribuzioni gaussiane.

Questa distribuzione particolarmente importante nellanalisi statistica dellincertezza sperimentale

in quanto la misura multi-campionamento di una grandezza fisica soggetta a molte piccole fonti di

errori casuali indipendenti produce un set di dati la cui distribuzione di probabilit , nel caso limite

di infinite misure, gaussiana. Tale gaussiana centrata sul valore medio dei dati

x N xii

N1

1

(N

il numero di misure) ed ha un parametro di larghezza pari alla standard deviation del campione di

dati:

1 2

1N

x xii

N

( ) . Tale valore pu generalmente essere assunto come incertezza statistica

sulla misura della variabile x. La probabilit che una variabile x distribuita normalmente (cio che

segue la distribuzione gaussiana) assuma un valore compreso entro t standard deviation dal valore

medio e data dalla funzione normale dellerrore (erf) definita come:


36

erf t P x t x x t g x dxx t

x t

( ) ( ) ( )

Ad esempio la probabilit che di misurare un valore di x entro una standard deviation dal valore

medio pari ad erf(1)=68.27%. Quindi assumere una standard deviation come incertezza statistica

ha un limite di confidenza del 68.27%, in quanto effettuando unulteriore singola misura di x si ha il

68.27% di probabilit che il valore misurato cada nellintervallo x-x+

Limportanza della distribuzione gaussiana deriva anche dal teorema del limite centrale che

afferma che la distribuzione gaussiana la distribuzione limite, sotto condizioni abbastanza

generali, della somma di molte variabili random e indipendenti che agiscono

contemporaneamente anche se le distribuzioni delle singole variabili non sono gaussiane.

Distribuzioni Binomiale e di Poisson La distribuzione binomiale importante e largamente utilizzata per descrivere le statistiche dei

conteggi (ad esempio per lo studio del decadimento nucleare) e descrive la probabilit di avere n

eventi che si considerano accaduti su N prove. Denotando con p la probabilit di avere un successo

su di un singolo tentativo, la distribuzione binomiale data da:

nNnp,N )p1(p

)!nN(!n

!N)n(B)proveNinsuccessin(P

Il valore medio (o di aspettazione) su N prove, che rappresenta il valore atteso di successi e la sua

standard deviation, che rappresenta lincertezza sul valore di aspettazione, sono dati da:

)p1(NpNpn

Nei casi in cui la probabilit p molto piccola (p


37

Funzione di densit di probabilit congiunta

La funzione p(x,y) detta densit di probabilit congiunta (joint probability density) descrive la

probabilit che, dati due segnali x(t) e y(t) e fissati due piccoli intervalli (al limite infinitesimi) dx e

dy, si verifichi contemporaneamente levento x e levento y. Si risponde cio alla domanda di quale

la probabilit che il segnale x(t) sia compreso in un intervallo intorno ad x e contemporaneamente

y(t) sia compreso in un piccolo intervallo intorno ad y. Con riferimento alla figura successiva la

definizione matematica della funzione p(x,y) :

T

T

yx

1)y,x(p

xy

T0y0x

limlim

Fig 15) Schema esemplificativo della definizione di densit di probabilit congiunta.

La funzione densit di probabilit congiunta normalizzata in maniera tale che:

1dd),(p


38

La funzione densit di probabilit congiunta quindi una funzione di due variabili e pu

graficamente rappresentarsi con una superficie. Nella figura successiva riportato un esempio della

funzione per una densit di probabilit congiunta di tipo gaussiano.

Fig. 16) Esempio di probabilit congiunta di tipo gaussiano

Analogamente al caso della funzione di densit di probabilit per un singolo segnale possibile

definire le probabilit cumulative tramite integrali definiti della funzione di densit di probabilit

congiunta. In particolare la probabilit P(X,Y) che il segnale x(t) abbia un qualunque valore

inferiore o uguale a X e contemporaneamente il segnale y abbia un qualunque valore inferiore o

uguale a Y data dallintegrale

X Y

dd),(p)Y,X(P

Nel caso in cui i segnali x(t) e y(t) rappresentino fenomeni fisici del tutto scorrelati e quindi

indipendenti (e soltanto in questo caso) si ha:

p(x,y)=p(x)p(y)

e quindi la densit di probabilit congiunta si riduce al prodotto delle densit di probabilit dei

singoli segnali.

La funzione densit di probabilit congiunta utile per le analisi di segnali che hanno fra loro forti

correlazioni, come, ad esempio, luscita e lingresso di un circuito elettronico oppure per stimare il

comportamento di strutture soggette ad interferenza. Ad esempio si pu utilizzare per la stima della

probabilit che avvenga una collisione fra strutture elastiche adiacenti soggette alla solle

Analisi Dei Segnali Dinamici_Manfrida Contini

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