Santo stefano rotondo santo sepolcro- relazione geometrica armonica
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D.S. nov.99ANALISI ARMONICA
MISURE ELETTRICHE
ANALISI ARMONICA
1
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIAFacoltà di Medicina e Chirurgia
Misure elettriche ed elettroniche
Oscillazioni e fenomeni periodici
Il periodo Tè il tempo necessario a compiere un ciclo completo in un moto periodico
La frequenza f è il numero di oscillazioni completeper unità di tempo.
f = 1/T[f] = [T-1] e si misura in Hz (hertz) = 1 ciclo/secondo
ECG
Moto circolare uniforme
Nel moto circolare uniformela velocità angolare media coincide con la velocità angolare istantanea
Traiettoria circolare con velocità scalare costante
legge oraria s(t) = r α(t)
∆α /∆t = cost.
e poiché descrive archi ugualiin tempi uguali …
la velocità angolare è costante: ω = ωm = ∆α / ∆t
legge oraria s(t) = r (ωt)
V = 2πr / Tω= 2π / T
V = r ω
xα
P
v
r
P0
Moto armonico semplice
Una molla esercita sulla massa una forza di richiamo (legge di Hooke)la cui intensità è proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio
F = -kx
Oscillazioni elastiche
Moto armonico semplice
La massa continua a oscillare …
Moto armonico semplice
X = A cos[ (2π/T) t]
A = ampiezza di oscillazioneT = periodo della oscillazione
x(t) = x(t +T)
Confronto traMoto circolare uniforme e Moto armonico semplice
θ = ωt x(t) = A cos[ (ω) t]ω =2π/T = 2πf
v = Aω v = - Aω sinωt
vmax = Aω
acp = Aω2 a = - Aω2 cosωt
a = - ω2 x
detta pulsaziones(t) = Aωt
Conservazione della energia nel moto oscillatorio:anche la forza elastica è una forza conservativa…
e in un sistema ideale …Etotale = K + U = ½ mv2 + ½ kx2
E = Umax = ½ kA2
Nel moto armonico semplice l’energia è proporzionaleal quadrato dell’ampiezza della oscillazione
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ANALISI DI FOURIER 1
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Sia f(t) una generica funzione periodica
ωωωω = 2π νπ νπ νπ νT = 1νννν
Secondo il teorema di Fourier, si può scrivere:
f(t) = f(t+T) = Ao + A1 sen(ωωωωt) + B1 cos(ωωωωt) +
+ A2 sen(2ωωωωt) + B2 cos(2ωωωωt) +
+ A3 sen(3ωωωωt) + B3 cos(3ωωωωt) +
+ ........... +………….
+ Ai sen(iωωωωt) + Bi cos(iωωωωt) + ...... =
⇒sono definibili un periodo e una pulsazione
(“sviluppo in serie di Fourier”)
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ANALISI DI FOURIER 2
∑∑∑∑=n = 0
n = ∞∞∞∞(An sen(nωωωωt) + Bncos(nωωωωt) )f(t) = f(t+T)
An , Bn = coefficienti numerici da determinare (positivi o negativi)
nωωωω = frequenza armonica n-esima
An , Bn = ampiezze n-esime
lo sviluppo viene troncato quando la funzione periodica di partenza è riprodotta con sufficiente accuratezza
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ANALISI DI FOURIER 3
calcolo dei coefficienti:(eseguito tramite calcolatore)
Ao = 1T
f(t) dt⌠⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡⌡
T
0
Ai = 2T
f(t) cos (iωωωωt) dt dove i = 1, 2, 3, ...⌠⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡⌡
T
0
Bi = f(t) sen (iωωωωt) dt⌠⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡⌡
T
0
2T
dove i = 1, 2, 3, ...
ogni armonica richiede due coefficienti
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ANALISI DI FOURIER 5
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in alternativa si può anche scrivere:
f(t) = Co + C1 sen(ωωωωt + φφφφ1) + C2 sen(2ωωωωt + φφφφ2) +
Ci sen(iωωωωt + φφφφi) + .... =+ C3 sen(3ωωωωt + φφφφ3) + .... +
∑∑∑∑=n = 0
n = ∞∞∞∞Cn sen(nωωωωt + φφφφn)
Cn , φφφφn = coefficienti da determinare
nωωωω = frequenza armonica n-esimaCn = ampiezza n-esima
φφφφn = fase n-esima
(positivi o negativi)
Cn = An + Bn
2 2tg φφφφn =
An
Bn• Si dimostra che:
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ANALISI DI FOURIER 6
Conseguenze:un fenomeno ondulatorio qualsiasi f(t) è dato dalla
sovrapposizione di onde semplici come le funzioni seno e coseno:
f(t) ∑∑∑∑=n = 0
n = ∞∞∞∞Cn sen(nωωωωt+φφφφn)
le caratteristiche dei fenomeni ondulatori semplicisono estese a fenomeni ondulatori complessi
esempio : Et ∝∝∝∝ A2 Et ∝∝∝∝ C2n
idem per tutti i fenomeni da propagazione e da interferenza
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100
150
50
o 1 (s) t
Q(t)
portata media
2
Q(t) reale
periodo T
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Esempio 1: portata Q = Q(t) del sangue in aorta
(cm3s–1)
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ANALISI DI FOURIER 8
Esempio 1: portata Q = Q(t) del sangue in aorta
tempo(in secondi)1 2o
50
–50
(cm3s–1)
Q
1ª armonica
1 2 t(s)o
50
2ª armonica(cm3s–1)
3ª armonica1 2 t(s)o
1t(s)2o 4ª armonica
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ANALISI DI FOURIER 9
Esempio 1: portata Q = Q(t) del sangue in aorta
100
150
50
o 1 (s) t
Q1ª + 2ª + 3ª + 4ª armonica1ª + 2ª + 3ª + 4ª armonica
portata media
2periodo T
(cm3s–1)Q(t) reale
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ANALISI DI FOURIER 10
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Esempio 2: onda quadra
f(t) = senωωωωt + sen3ωωωωt + sen5ωωωωt + ....4ππππ
13
15
o nωωωω1 2 3 4 5 6 7 8 9
to
f(t)
A
n
1
1/31/5
0 01/7 1/9
0 0
f(t)1ª + 2ª + 3ª armonica
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1ANALISI E.E.G.
13
ElettroEncefaloGrafia
soggetto normale occhi chiusi
soggetto normale occhi aperti
1 s
1 s
E.E.G. : segnale non periodico !
soluzione :
il segnale è considerato periodico dopo un intervallo di tempo ∆t sufficientemente lungo
analisi di Fourier
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2ANALISI E.E.G.
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esempio: sia ∆t = 20 secondi
per l’armonica fondamentale: ν = 120 s
= 0.05 Hz
per trovare il numero massimo di armoniche nmax:
∆t più piccolo in cui si hanno variazioni di segnale:
∆t ≈ 0.01 s ν ≈ 100 Hz νmax = 200 Hz
(x2 per sicurezza)
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3ANALISI E.E.G.
essendo νmax = 200 Hz
⇒nmax = 200 Hz0.05 Hz
= 4000 ⇒
4000 ampiezze Ai e 4000 ampiezze Bi
4000 ampiezze Ci e 4000 fasi φi
oppure
banda passante = ν risolta dallo strumento (≈ 1 Hz)
unità di misura in ordinata dello spettro di potenza:
, proporzionale all’energia associata a ogni Hz di frequenzaµV2
Hz
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4ANALISI E.E.G.
5 10 15 20 25 30 35
15
20
25
105
30
Hzo
Soggetto normale a occhi chiusi
νννν
µVHz
2
V
5 10 15 20 25 30 35
5
10
V
νννν
Hzo
soggetto normale a occhi aperti
µVHz
2