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D.S. nov.99ANALISI ARMONICA

MISURE ELETTRICHE

ANALISI ARMONICA

1

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIAFacoltà di Medicina e Chirurgia

Misure elettriche ed elettroniche

Oscillazioni e fenomeni periodici

Il periodo Tè il tempo necessario a compiere un ciclo completo in un moto periodico

La frequenza f è il numero di oscillazioni completeper unità di tempo.

f = 1/T[f] = [T-1] e si misura in Hz (hertz) = 1 ciclo/secondo

ECG

Moto circolare uniforme

Nel moto circolare uniformela velocità angolare media coincide con la velocità angolare istantanea

Traiettoria circolare con velocità scalare costante

legge oraria s(t) = r α(t)

∆α /∆t = cost.

e poiché descrive archi ugualiin tempi uguali …

la velocità angolare è costante: ω = ωm = ∆α / ∆t

legge oraria s(t) = r (ωt)

V = 2πr / Tω= 2π / T

V = r ω

xα

P

v

r

P0

Moto armonico semplice

Una molla esercita sulla massa una forza di richiamo (legge di Hooke)la cui intensità è proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio

F = -kx

Oscillazioni elastiche


La massa continua a oscillare …


X = A cos[ (2π/T) t]

A = ampiezza di oscillazioneT = periodo della oscillazione

x(t) = x(t +T)

Confronto traMoto circolare uniforme e Moto armonico semplice

θ = ωt x(t) = A cos[ (ω) t]ω =2π/T = 2πf

v = Aω v = - Aω sinωt

vmax = Aω

acp = Aω2 a = - Aω2 cosωt

a = - ω2 x

detta pulsaziones(t) = Aωt

Conservazione della energia nel moto oscillatorio:anche la forza elastica è una forza conservativa…

e in un sistema ideale …Etotale = K + U = ½ mv2 + ½ kx2

E = Umax = ½ kA2

Nel moto armonico semplice l’energia è proporzionaleal quadrato dell’ampiezza della oscillazione


ANALISI DI FOURIER 1

2

Sia f(t) una generica funzione periodica

ωωωω = 2π νπ νπ νπ νT = 1νννν

Secondo il teorema di Fourier, si può scrivere:

f(t) = f(t+T) = Ao + A1 sen(ωωωωt) + B1 cos(ωωωωt) +

+ A2 sen(2ωωωωt) + B2 cos(2ωωωωt) +

+ A3 sen(3ωωωωt) + B3 cos(3ωωωωt) +

+ ........... +………….

+ Ai sen(iωωωωt) + Bi cos(iωωωωt) + ...... =

⇒sono definibili un periodo e una pulsazione

(“sviluppo in serie di Fourier”)

D.S. nov.99ANALISI ARMONICA 3


∑∑∑∑=n = 0

n = ∞∞∞∞(An sen(nωωωωt) + Bncos(nωωωωt) )f(t) = f(t+T)

An , Bn = coefficienti numerici da determinare (positivi o negativi)

nωωωω = frequenza armonica n-esima

An , Bn = ampiezze n-esime

lo sviluppo viene troncato quando la funzione periodica di partenza è riprodotta con sufficiente accuratezza



calcolo dei coefficienti:(eseguito tramite calcolatore)

Ao = 1T

f(t) dt⌠⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡⌡

T

0

Ai = 2T

f(t) cos (iωωωωt) dt dove i = 1, 2, 3, ...⌠⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡⌡

T

0

Bi = f(t) sen (iωωωωt) dt⌠⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡⌡

T

0

2T

dove i = 1, 2, 3, ...

ogni armonica richiede due coefficienti



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in alternativa si può anche scrivere:

f(t) = Co + C1 sen(ωωωωt + φφφφ1) + C2 sen(2ωωωωt + φφφφ2) +

Ci sen(iωωωωt + φφφφi) + .... =+ C3 sen(3ωωωωt + φφφφ3) + .... +

∑∑∑∑=n = 0

n = ∞∞∞∞Cn sen(nωωωωt + φφφφn)

Cn , φφφφn = coefficienti da determinare

nωωωω = frequenza armonica n-esimaCn = ampiezza n-esima

φφφφn = fase n-esima

(positivi o negativi)

Cn = An + Bn

2 2tg φφφφn =

An

Bn• Si dimostra che:



Conseguenze:un fenomeno ondulatorio qualsiasi f(t) è dato dalla

sovrapposizione di onde semplici come le funzioni seno e coseno:

f(t) ∑∑∑∑=n = 0

n = ∞∞∞∞Cn sen(nωωωωt+φφφφn)

le caratteristiche dei fenomeni ondulatori semplicisono estese a fenomeni ondulatori complessi

esempio : Et ∝∝∝∝ A2 Et ∝∝∝∝ C2n

idem per tutti i fenomeni da propagazione e da interferenza


100

150

50

o 1 (s) t

Q(t)

portata media

2

Q(t) reale

periodo T


Esempio 1: portata Q = Q(t) del sangue in aorta

(cm3s–1)




tempo(in secondi)1 2o

50

–50

(cm3s–1)

Q

1ª armonica

1 2 t(s)o

50

2ª armonica(cm3s–1)

3ª armonica1 2 t(s)o

1t(s)2o 4ª armonica




100

150

50

o 1 (s) t

Q1ª + 2ª + 3ª + 4ª armonica1ª + 2ª + 3ª + 4ª armonica

portata media

2periodo T

(cm3s–1)Q(t) reale



11

Esempio 2: onda quadra

f(t) = senωωωωt + sen3ωωωωt + sen5ωωωωt + ....4ππππ

13

15

o nωωωω1 2 3 4 5 6 7 8 9

to

f(t)

A

n

1

1/31/5

0 01/7 1/9

0 0

f(t)1ª + 2ª + 3ª armonica


1ANALISI E.E.G.

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ElettroEncefaloGrafia

soggetto normale occhi chiusi

soggetto normale occhi aperti

1 s

1 s

E.E.G. : segnale non periodico !

soluzione :

il segnale è considerato periodico dopo un intervallo di tempo ∆t sufficientemente lungo

analisi di Fourier


2ANALISI E.E.G.

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esempio: sia ∆t = 20 secondi

per l’armonica fondamentale: ν = 120 s

= 0.05 Hz

per trovare il numero massimo di armoniche nmax:

∆t più piccolo in cui si hanno variazioni di segnale:

∆t ≈ 0.01 s ν ≈ 100 Hz νmax = 200 Hz

(x2 per sicurezza)


3ANALISI E.E.G.

essendo νmax = 200 Hz

⇒nmax = 200 Hz0.05 Hz

= 4000 ⇒

4000 ampiezze Ai e 4000 ampiezze Bi

4000 ampiezze Ci e 4000 fasi φi

oppure

banda passante = ν risolta dallo strumento (≈ 1 Hz)

unità di misura in ordinata dello spettro di potenza:

, proporzionale all’energia associata a ogni Hz di frequenzaµV2

Hz


4ANALISI E.E.G.

5 10 15 20 25 30 35

15

20

25

105

30

Hzo

Soggetto normale a occhi chiusi

νννν

µVHz

2

V

5 10 15 20 25 30 35

5

10

V

νννν

Hzo

soggetto normale a occhi aperti

µVHz

2

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