AFFIDABILITA’ DEI SISTEMI E CONTROLLO …old · 2013-10-14 · ... Probabilità e Statistica per...

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a.a. 13/14 - probabilità 1

AFFIDABILITA’ DEI SISTEMI

E

CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA’

Elvira Di Nardo

[email protected]

www.unibas.it/utenti/dinardo/aff.1314html

RIC: Mer 10.30-12.30

Modalità di esame

Johnson J. (2007) Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze,

Pearson


Gli amministratori di una città potrebbero chiedersi se il livello di

piombo presente nell’acqua erogata sia entro i livelli di sicurezza.

Un ingegnere civile deve determinare la resistenza dei supporti per

i generatori di un gruppo elettrogeno.

CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA’

AFFIDABILITA’ DEI SISTEMI

Assegnato un certo dispositivo …, qual è la probabilità che all’istante

t sia ancora in funzione?

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Calcolo delle probabilità

(cenni)


3

Spazio campione 1 Si consideri l’esperimento casuale che consiste

nel lanciare tre volte una moneta e nell’osser-

vare le facce che si presentano.

T T T

TT

T T

TT

T

T

T

C

C

C

CC

CC

CC

C C C

1ω

2ω

3ω

4ω

5ω

6ω

7ω

8ω

{ }1 2 3 4 5 6 7 8, , , , , , ,S ω ω ω ω ω ω ω ω=

Altra rappresentazione di S

{ } { } { }, , ,S T C T C T C= × ×



nel lanciare tre monete uguali e nell’osservare

le facce che si presentano.

T T T

TT

T T

TT

T

T

T

C

C

C

CC

CC

CC

C C C

1ω

2ω

3ω

4ω

5ω

6ω

7ω

8ω

{ }1 2 5 8, , ,S ω ω ω ω=

{ } { }

{ } { }

, , , , , ,

, , , , ,

T T T T C CS

T T C C C C

=

T

T

T

T

T

T

C

C

C

CC

Ca.a. 13/14 - probabilità 6

T

4



nel lanciare un dado e nell’osservare le facce

che si presentano.


nel lanciare due dadi distinguibili e nell’osser-

vare le facce che si presentano.


5


'A la somma dei punteggi è 4'=

( ){ }, / 4A x y S x y= ∈ + =

Operazioni su eventi

A

S

Unione Intersezione

Complementazione


6

SPAZI CAMPIONI

FINITI O INFINITI?


Spazio campione 5Si consideri l’esperimento casuale che consiste

nel lanciare ripetutamente una moneta fino a

quando non si verifica testa.

T

CT

C

T

C

T

CT

CT

C

{ }1 1 2 1 2 3 1 2 3 4, , , ,...S T C T C C T C C C T=


7


Spazio campione 6Si consideri l’esperimento casuale che consiste

nel lanciare ripetutamente una moneta fino a

quando non si verifica testa.

T

CT

C

T

C

T

CT

CT

C

T

C

T

CT

C

1 2 3...TT T

1 2 3...T C T

1 2 3...TT C1 2 3...C C C

1 2 3...C T C Rappresentazione binaria

dei numeri nell’intervallo [0,1]


0 1

GENERATORI DI NUMERI CASUALI

Algoritmi per restituire un numero a ‘caso’ tra [0,1]?

GENERATORI DI NUMERI PSEUDO-CASUALI

Ricostruzione di una dinamica casuale (=aleatoria, stocastica) al

computer

8

Spazio campione 7 Si immagini di osservare la durata di una lampa-

dina elettrica prodotta da una certa azienda

{ }: 0S x x T= ≤ ≤

Consideriamo un intervallo diverso da [0,1]….

[0, ]T



1. Definizione classica

2. Definizione frequentista

3. Definizione soggettiva

casi favorevolip

casi possibili=

.num volte in cui si verifica Ap

num. prove eseguite=

p grado di fiducia nell'evento A=

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Esempio: Si consideri una scatola contenente 100 diodi. Qual è la

probabilità di estrarre un singolo (etichettato) diodo dalla scatola?


Si lancino due monete: qual è la probabilità che si verifichi al più una

testa? Qual è la probabilità che si verifichi almeno una testa? Qual è la

probabilità che non si verifichi alcuna testa?

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1E

2E

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,E E P E E P E P E= ∅ = +∩ ∪

1E

2E

3E

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 3 1 2 2 1 2 3

2 3

E E

E E P E E E P E P E P E

E E

= ∅

= ∅ ⇒ = + += ∅

∩∩ ∪ ∪∩


Cosa accade con 3 eventi?

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A B

( ) ( )( ) ( )P A B C P A P B P A B= + −∪ ∪ ∩

C

( )P C+

( )P A C− ∩ ( )P B C− ∩ ( )P A B C+ ∩ ∩


A B

C

2 1620

548 9

14

27

Delle 150 persone intervistate

in un’indagine sul trasporto

pubblico urbano,

(A)alcune vivono a più di 3 km

dal centro della città;

(B) alcune utilizzano la mac-

china per andare al lavoro;

(C) alcune passerebbero al

trasporto pubblico se fosse

disponibile.

( )

:

( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )C C

Calcolare

P A P B P C P A B C P A B P B A C∩ ∩ ∩ ∩ ∪

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Esempio: Se la probabilità che un sistema abbia un’alta affidabilità

è 0.81 e la probabilità che abbia sia un’alta affidabilità che un’alta

selettività è 0.18, qual è la probabilità che un sistema con alta affi-

dabilità abbia anche un’alta selettività?

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Esempio: Il supervisore di un gruppo di 20 operai edili vuole conoscere

l’opinione di 2 di essi (scelti a caso) a proposito di certe nuove norme

di sicurezza. Se 12 operai sono a favore delle nuove norme e gli altri 8

sono invece contrari, qual è la probabilità che entrambi gli operai scelti

dal supervisore siano contrari alle nuove norme di sicurezza?


Cosa accade se dopo l’estrazione la pallina viene rimessa nell’urna?

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Eventi corrispondenti a parti non correlate di un esperimento si

possono considerare indipendenti

Qual è la probabilità di ottenere (T,T) nel lancio due volte di una

moneta non truccata?

Indipendenza stocastica Indipendenza statistica

Se P(C)=0.65, P(D)=0.40 ( ) 0.26e P C D =∩ gli eventi C e D sono

indipendenti?

A B

Ogni sottosistema ha probabilità di

funzionare pari a 0.95. Qual è la pro-

babilità che funzioni tutto il sistema?


Esercizio: Molte industrie devono manipolare le acque di scarico che i

loro impianti riversano nei fiumi e nei corsi di acqua. In alcuni stati la

legge stabilisce dei valori di qualità dell’acqua che stanno al di sotto del

limite di rilevamento L per l’attuale metodo di misurazione.

Per legge le acque di scarico stanno entro i parametri di qualità imposti

se ogni campione testato si trova al di sotto del limite di misurazione L,

altrimenti saranno dichiarate non conformi rispetto ai limiti di qualità.

Supponiamo che l’acqua sia non contaminata, ma che la variabilità dell’

analisi chimica ammetta comunque una possibilità dell’1% che la misu-

razione effettuata sul campione ecceda il limite L.

(a) Determinare la probabilità che nessuno dei due test effettuati su cam-

pioni - entrambi non contaminati – fallisca la conformità.

(b) Se ogni settimana per due anni si effettua un test, e i campioni sono

tutti esenti da contaminazione, determinare la probabilità che nessuno dei

campioni fallisca la conformità.

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Perché servono tutte le tipologie di intersezione?

Esempio 1: Sia A l’evento “il primo lancio fornisce testa” nel lancio di

una moneta due volte. Sia B l’evento “il secondo lancio fornisce croce”

e sia C l’evento “l’esito dei due lanci è lo stesso”. Determinare se A, B e

C sono indipendenti.

Esempio 2: Sia A l’evento “al più una testa” nel lancio di una moneta

tre volte. Sia B l’evento

e sia C l’evento “l’ultimo esito è croce” Determinare se A, B e C sono

indipendenti.

{ }( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )T T T T C C T T C C C T


( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2 1 2 1

1 1 2 2 2 1 1

Se gli eventi , , , non sono indipendenti stocasticamente

allora si ha

n

n n n

n n

E E E

P E E E P E E E E

P E E E E P E E P E

−

− −

= ×

…

⋯ ⋯

⋯ ⋯

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩

Esempio: Riprendiamo l’esempio dell’estrazione dall’urna senza

reinserimento e supponiamo di fare una terza estrazione. Determinare

la probabilità di estrarre 3 palline rosse.

Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa?

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Esercizio: Un’azienda produce memory card con una difettosità dichiarata pari a p.

Nella catena di produzione della memory sono stati rilevati due dispositivi che potreb-

bero essere equamente la causa della difettosità: il dispositivo A e il dispositivo B .

Il primo ha una difettosità dichiarata dello 0.01% e il secondo dello 0.02%. Calcolare p.


Esempio: Una azienda produttrice di cambi ha tre fornitori. L’azienda A

che fornisce il 65% dei pezzi, il 25% dei pezzi proviene dall’azienda B e

il restante 10% dall’azienda C. Sapendo che i tre fornitori producono

cambi con una difettosità dichiarata del 5%, 10% e 25%, determinare la

probabilità che scelto un cambio dall’azienda questa sia difettoso.

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….Avendo selezionato un cambio, ed avendo riscontrato che questo

risulta essere difettoso, determinare quale tra la 3 aziende è la causa più

probabile della difettosità riscontrata.


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Esercizi di riepilogo

1. In un campione di 446 macchine fermate a un posto di blocco, solo 67

guidatori avevano la cintura di sicurezza allacciata. “Stimare” la probabilità

che un guidatore fermato su quella stessa strada, abbia la cintura allacciata.

2. Verificare se la seguente assegnazione di probabilità è in accordo con l’ipote-

si che i tre eventi A,B e C siano mutuamente esclusivi: P(A)=0.3, P(B)=0.4 e

P(C)=0.34.

3. L’esplosione di un serbatoio di gas liquido durante la manutenzione potrebbe

essere accaduta per un problema di carica elettrostatica, per un malfunziona-

mento del sistema elettrico, per una fiamma libera venuta in contatto col rive-

stimento o per un atto doloso (sabotaggio industriale). La consulenza di alcuni

ingegneri, che avevano analizzato i rischi connessi, ha portato a pensare che

tale esplosione sarebbe accaduta con probabilità 0.25 come risultato di una

carica elettrostatica e rispettivamente di 0.20, 0.40 e 0.75 per le altre tre cause.

Gli stessi consulenti hanno effettuato delle stime “soggettive” per le probabili-

tà a priori che si verifichi una di queste quattro cause. Esse sono rispettivamente

0.30, 0.40, 0.15 e 0.15. Qual è la causa più probabile dell’esplosione?

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