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Cenni di teoria dei segnali

Si definisce energia di un segnale reale la quantita:

Ex= +

x2(t)dt (1)

di un segnale complesso:

Ex=

+

|x(t)|2dt= +

|X(f)|2df (2)dove ovviamente Ex 0, (i segnali periodici non hanno energia finita).Per i segnali a energia finita vale il teorema di Parseval:

Ex = +

x2(t)dt= +

|X(f)|2df (3)Esiste quindi una relazione tra lenergia del segnale e il modulo della sua trasformata di

Fourier. Il teorema di Parseval puo essere utile per il calcolo dellenergia di un segnale, in

quanto il calcolo dellintegrale in f puo risultare piu semplice rispetto a quello in t.

Dimostrazione teorema di Parseval {non richiesta}

Dato x(t) si ha che:

X(f) = F{x(t)} = +

x(t)ei2f tdt (4)

x(t) = F1{X(f)} = +

X(f)ei2f tdf (5)

F{x(t)

}=X(

f) (6)

dove x(t) e il complesso coniugato dix(t). La dimostrazione del teorema segue come:

Ex=

+

|x(t)|2dt= +

x(t) x(t)dt= +

x(t)

+

X(f)ei2f tdf

dt=

=

+

x(t)

+

X(f)ei2f tdf

dt=

+

+

x(t)ei2f tdt

X(f)df=

= +

X(f)X(f)df= +

|X(f)|2df

1

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La funzioneS(f) = |X(f)|2 si definisce densita spettrale di energia e possiede le due seguentiproprieta:

1) lintegrale della densita spettrale di energia su una data banda fornisce lenergia delle

componenti frequenziali del segnale x(t) contenute in tale banda (ossia supponendo di ap-

plicare un filtro ideale passa banda al segnale x(t) e poi di calcolare lenergia del segnale

residuo questa sarebbe uguale allintegrale della densita spettrale di energia sulla banda);

2) lintegrale della densita spettrale di energia daa + e lenergia del segnale.Talvolta la banda a 3 dB (per esempio dei filtri) e difficile da calcolare per i segnali in

quanto i loro spettri risultano irregolari. In questo caso si adotta un criterio energetico

stabilendo come larghezza di banda la meta dellintervallo in cui e contenuta circa il 99%

dellenergia. Un segnale (passa-basso) avra banda B se:

BB

S(f)df= 0.99E (7)

Segnali periodici

Un segnale periodico x(t + T) =x(t) puo essere espresso come:

x(t) =

n=0

cnn(t) (8)

dove n() sono opportune funzioni base ecncoefficienti di espansione. Funzioni base ortog-onali riducono lintegrale dellerrore quadratico ISE (integral of square error)

ISE =

t1+Tt1

(x(t) x(t))2dt (9)

e

x(t) =N

n=0

cnn(t) (10)

La scelta di funzioni base sinusoidali porta alla serie di Fourier. Utilizzando la notazione

esponenziale complessa si ha:

2

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x(t) =+

n=

cnein0t (11)

dove risulta

cn = 1

T

t1+Tt1

x(t)ein0tdt (12)

e 0= 2f0,f0 = 1/T.

La potenza media di un generico segnale si definisce come:

Px= limT01

T0

+T0/2T0/2

|x(t)|2dt (13)

Un segnale avente energia finita, avra potenza media nulla. Lenergia di un segnale periodico

e illimitata mentre la potenza e finita. Per un segnale periodico di periodo T vale:

Px = limT01

T0

+T0/2T0/2

|x(t)|2dt= 1T

T0

|x(t)|2dt (14)

Il teorema di Parseval per segnali periodici afferma che:

Px= 1

T

T0

|x(t)|2dt=+

k=|cn|2 (15)

Dimostrazione teorema di Parseval segnali periodici (non richiesta)

x(t) =+

n=

cnei2nf0t (16)

Px= 1

T

T

0 |x(t)

|2dt=

1

T

T

0 |

+

cnei2nf0t

|2dt=

= 1

T

T0

+

cnei2nf0t

+

cnei2nf0t

dt=

1

T

T0

+

cnc

ndt=+

|cn|2

In analogia a quanto indicato per segnali a energia finita, per un segnale periodico possiamo

definire lo spettro di densita di potenza come:

G(f) =

n=|cn|2(f nf0) (17)

3

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le dimensioni diG(f) sono in W/Hz e come la trasformata di Fourier di un segnale periodico

anche la densita spettrale di potenza e a righe! Si ricorda che la trasformata di Fourier di

un segnale periodico x(t) e una sequenza di impulsi alle frequenze f=n/T. Per la densita

spettrale di potenza valgono due proprieta analoghe a quelle viste per lo densita spettrale

di energia:

1) lintegrale dello spettro di densita di potenza su una data banda fornisce la potenza

delle armoniche del segnale periodico contenute proprio in tale banda;

2) il suo integrale daa + e pari alla potenza media del segnale.

Px =

G(f)df (18)

La densita spettrale di potenza e anche definita come limite del rapporto tra la densitaspettrale di energia del segnale troncato allinterno della finestra temporale (T /2, T /2)e lampiezza della finestra temporale T:

G(f) = limT|XT(f)|2

T (19)

Densita spettrale e funzione di autocorrelazione di un segnale (non richiesta)

Si definisce funzione di autocorrelazione:

Rx() =

+

x(t)x(t+ )dt (20)

Dalla relazione di Parseval si ottiene:

Rx() =

+

X(f)X(f)ei2f df=

+

|X(f)|2ei2f df (21)

dove si e fatto uso delle proprieta di traslazione nel tempo e da cui segue che:

F{Rx()} = |X(f)|2 (22)

Per un segnale a energia finita, la densita spettrale di energia|X(f)|2 e la trasformata diFourier della funzione di autocorrelazione

|X(f)|2 = +

Rxx()ei2f d (23)

4

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teorema di Wiener-Khinchin. Risulta semplice osservare che Rx(0) e lenergia del segnale:

Rx(0) =

+

|x(t)|2dt= Ex (24)

Per un segnale a potenza finita (esempio segnale periodico) si definisce funzione di auto-correlazione:

Rxx() = 1

T

+

x(t+ )x(t)dt (25)

e la densita spettrale di potenza e la trasformata di Fourier della funzione di autocorre-

lazione. Per esempio, un rumore bianco che ha densita spettrale di potenza costante su

tutto lintervallo delle frequenze (il rumore bianco rappresenta solo un caso teorico) e un

segnale con funzione di autocorrelazione zero eccetto R(0) in cui cioe si manifesta una di

Dirac.

Esempio impulso rettangolare: supponiamo di avere un impulso rettangolarex(t) tale per

cui x(t) = 0, t T /2. La funzione diautocorrelazione risulta Rx() = 0, T; Rx() = A2(1 ||/T), || < T. Ladensita spettrale di energia risulta:

Sx(f) =A22sin2(f )

(f )2 (26)

La funzione di autocorrelazione di unonda quadra a media non nulla introduce una delta

in f= 0 nella densita spettrale di potenza.

I. TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

Premessa: trasformata di Fourier di un treno di impulsi.

Supponiamo di avere un segnale a treno di impulsi del tipo:

x(t) =+

n=

(t nT) (27)

per cui risulta cn = 1/Te quindi

5

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x(t) = 1

T

+n=

ein0t (28)

La trasformata continua del segnale a treno di impulsi risulta:

TCF{+

n=

(t nT)} = +

1

T

n=

ein0t

eitdt=

1

T

n=

+

ei(n0)tdt (29)

ed essendo TCF1=(f) = (f) per la proprieta di dualita della trasformata di Fourier eperche e una funzione pari, si ha:

TCF{+

n=

(t nT)} = 1T

n=

(f nf0) (30)

La dimostrazione della proprieta di dualita della TCF x(t) X(f) allora X(t) x(f)segue da:

x(t) =

+

X(f)ei2f tdf (31)

e

x(t) = +

X(f)ei2f t

df (32)

posto f=y si ha:

x(t) = +

X(y)ei2ytdf (33)

posto ancora t= f e y=t risulta infine

x(f) = +

X(t)ei2f tdt (34)

Supponiamo ora di avere un segnale x(t) e di campionarlo con un treno di impulsi c(t) per

cui vale xc(t) =x(t)c(t). La TCF del segnale campionato risulta:

TCF{xc(t)} =X(f) C(f) =X(f) 1T

+n=

(f nf0) = 1T

+n=

X(f nf0) (35)

ossia lo spettro del segnale campionato e la ripetizione dello spettro del segnale continuo.

6

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Enunciato del teorema del campionamento

Un segnale a banda rigorosamente limitataB e univocamente determinato dai suoi campioni

prelevati con frequenza f0 = 1/T 2B. Lipotesi di un segnale a banda rigorosamentelimitata e ideale e inevitabilmente ci sara aliasing. Il parametro che determina quanto

aliasing possa essere tollerato e rappresentato dalla risoluzione del sistema. Per evitare il

fenomeno dellaliasing, e necessario usare un filtro di anti-aliasing che rimuova le componenti

(volute o non volute) del segnale x(t) che si trovano a frequenze superiori alla frequenza di

Nyquist.

7

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Cenni su convertitori A/D

Un convertitore A/D e un sistema elettrico che riceve in ingresso una tensione analogica

Vie un segnale di clock e fornisce in uscitaNsegnali digitali corrispondenti al valore binario

diViin risposta a ogni impulso di clock. Al numero binario in uscita si associa con relazione

biunivoca una tensione di uscita Vu. Dato che un numero con N cifre con base B puo

assumereBN valori, luscita di un convertitore A/D a Nbit puo assumere 2N valori. Sullasse

delle ascisse (analog input) si hanno 2N intervalli a cui si associano i 2N valori. Lampiezza

dellintervallo e pari a 1 LSB (Least Significant Bit) = Vifs/2N .

risoluzione: la risoluzione R rappresenta la variazione della tensione dingresso associata

a una variazione del bit meno significativo del codice binario. R= LSB/Vfs = 1/2N e puo

essere definita attraverso:

1) numero di bit N;

2) differenza di potenziale tra due livelli adiacenti Vq = 1 LSB;

3) digit (numero di cifre decimali delluscita)

Esempio a): convertitore a 12 bit, intervallo10 V1) 12;

2) Vq = 1 LSB=4.88 mV;

3) 312 digit

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FIG. 1: Caratteristica ideale di un ADC - N= 3 bit relativa alla relazione caratteristica (36).

Le caratteristiche di funzionamento del convertitore sono garantite in un intervallo di valori

[Vinmin, Vinmax] detto dinamica di ingresso del convertitore.

errore di quantizzazione: lerrore di quantizzazione e il massimo scostamento di

Vu da Vin. La caratteristica ideale di trasferimento Vu = Vu(Vin) e descritta dalla

(36) per lesempio considerato con convertitore a N = 3 bit, lerrore di quantizzazione

Vq = 1 LSB = 1V. Per ridurre lerrore di quantizzazione conviene scegliere la seguente

relazione:

Vu= 1LSBN1k=0

bk2k + 0.5 LSB (37)

Le funzioni caratteristiche relative alle (36) e (37) sono riportate in Fig. 1 e Fig. 2, sempre

per un convertitore a 3 bit.

9

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FIG. 2: Caratteristica ideale di un ADC - N= 3 bit relativa alla relazione caratteristica (37).

FIG. 3: Errore di quantizzazione relativo alla caratteristica ideale di Fig.2.

A. Figure di merito - parametri statici

accuratezza: laccuratezza e lerrore totale con cui il convertitore A/D puo convertire

una tensione nota includendo gli effetti di errore di quantizzazione, offset, guadagno e non-

linearita. Tecnicamente, laccuratezza dovrebbe essere tracciabile a standard noti e tiene

conto di tutti gli errori statici.

risoluzione: definita in precedenza, rientra tra i parametri statici.

dinamica: la dinamica di un convertitore A/D e definita come rapporto tra il massimo

valore del segnale che puo essere fornito in ingresso e il valore del LSB. Matematicamente

DR = 20log102N = 6.02N.

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FIG. 4: Caratteristica di un ADC - N= 3 bit con errori di offset e guadagno.

errore di offset: lerrore di offset e la deviazione nel comportamento del convertitore

A/D allo zero. La prima transizione di tensione dovrebbe essere a 0.5LSB sopra il livello di

zero analogico. Lerrore di offset e la deviazione della transizione di tensione reale da quella

ideale. Loffset viene corretto tramite calibrazione.

errore di guadagno: lerrore di guadagno e la deviazione di pendenza della linea che

passa per gli estremi della caratteristica del convertitore a zero e a fondo scala rispetto a

quella della caratteristica ideale di 2N/Vif s codici-per-volt. Come per loffset, lerrore di

guadagno viene compensato tramite calibrazione.

In Fig. 4 si mostrano gli errori di offset e guadagno (confrontare con Fig. 2).

nonlinearita differenziale: la nonlinearita differenziale (DNL) e la deviazione della

larghezza di transizione del codice dalla larghezza ideale di 1 LSB. Puo essere positiva o

negativa. Se tutte le larghezze dei codici sono 1 LSB la DNL e zero ovunque. Alcuni

datasheet riportano soltanto la massima DNL.

nonlinearita integrale: la nonlinearita integrale e la distanza dei centri dei codici nella

caratteristica del convertitore dalla caratteristica ideale. Se tutti i centri dei codici sono sulla

caratteristica ideale la INL e zero ovunque. Alcuni datasheet riportano soltanto il valore

massimo di INL

Nota: ci sono due possibili modi di definire la INL sulla base di come si definisce la linea

ideale. INL puo essere definita come massima distanza da una retta di best fitting invece

che dalla caratteristica ideale. Nella Fig. 5 la linea ideale (tratteggiata) mostra un INL di 1

LSB, mentre rispetto alla linea di best fitting (punteggiata) la INL e la meta. Mentre questa

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FIG. 5: Caratteristica di un ADC - N= 3 bit con errori di DNL e INL.

seconda definizione sottostima leffetto della INL sullaccuratezza totale, probabilmente de-

scrive meglio la linearita del convertitore in alternata.

B. Risoluzione e rumore di quantizzazione

Lerrore di quantizzazione dovuto a una risoluzione finita N del convertitore limita il

rapporto segnale rumore SNR (Signal-to-Noise Ratio). In generale si ha una differenza trail centro del codice e la reale tensione di ingresso dovuto alla quantizzazione. Assumendo

che questo errore sia scorrelato e distribuito uniformemente, posto 1LSB = Vq = Vifs/2N

si puo calcolare il rumore di quantizzazione nella forma:

E{2} = 1Vq

+0.5Vq0.5Vq

2d= Vq

3

3

+0.5Vq0.5Vq

=V2ifs

12 (38)

Il valore efficace di un segnale avente ampiezza picco picco Vfs risulta:

Vrms = Vfs

2

2(39)

da cui segue che:

SNR = 20log10

Vrms

V2q/12

= 20log10

Vrms

V2f s/12/4N

= 20log10(2N1.5) = 6.02N+1.76dB

(40)

12

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Numero effettivo di bit Varie sorgenti di errore negli ADC causano una dimuzione del

SNR misurato rispetto al valore teorico dovuto alla quantizzazione. Questi errori sono

dovuti a DNL e INL, salto di codici (missing code), sorgenti di rumore interne allADC. In

aggiunta gli errori sono funzione della velocita di variazione del segnale di ingresso quindi

aumentano con il crescere della frequenza dellinput. Nella pratica lADC non puo effettuare

una conversione istantanea. Il valore dingresso deve necessariamente rimanere costante

durante tutto il tempo in cui il convertitore esegue la conversione. Il SNR diventa allora

S/N+D oppure SINAD o SNDR (Signal-to-Noise-and-Distortion Ratio).

Usando il SINAD misurato il numero effettivo di bit ENOB (Effective Number Of Bit)

risulta:

ENOB =SINAD 1.76dB

6.02 (41)

Esempio

E dato un convertitore A/D con frequenza di campionamento 10 MHz e risoluzione 12 bit

su un intervallo10 V.

1 LSB =Vfs2N

= 20

212 =

10

2N1 4.88 mV (42)

s2adc=V2fs

12 4N =V2fs

12 412 2 106V2 (43)

Si suppone di avere un rumore sovrapposto generato internamente allADC s2d= 8 106V2per cui

s2tot = s2adc+ s

2d= 10 106 (44)

possiamo allora calcolare il numero effettivo di bit nel seguente modo:

SINAD = 10log10

V2rmss2tot

= 10log10

50

10 106 66.99dB (45)

da cui ancora secondo la (41):

Neff=66.99 1.76

6.02 10.8bit (46)

Il conto poteva essere fatto anche impostando lequazione nel seguente modo:

13

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Nef f= log4V2rmss2tot

0.2925 = log4V2fss2tot

1.7925 (47)

Si ricorda che vale la relazione:

logu(a) = log10(a)

log10(u) (48)

II. FILTRO ANTIALIASING

Dato un segnale x(t) per cui:

x(t)

X(f) (49)

xc(t) =x(t)c(t) X(f) C(f) = 1T

+n=

X(f nf0) (50)

il risultato appare come in Fig. 6. La condizione di Nyquist impone fc = 1/T 2Baltrimenti si ha aliasing come mostrato in Fig. 7.

FIG. 6: Spettro del segnale e spettro del segnale campionato. f0 e la frequenza di campionamento.

Supponendo di aver rispettato la condizione di Nyquist, si ottiene la ricostruzione del

segnale (in frequenza) a partire dal segnale campionato applicando un filtro H(f) come in

Fig. 8. Vale la relazioneX(f) = Xc(f)H(f) e B < fp < fc B, dove fp e la larghezza dibanda del filtro H(f). H(f) e quindi un filtro che elimina tutte le repliche spettrali tranne

quelle in banda base.

Per le proprieta di dualita della trasformata di Fourier si ha che H(f) nel tempo assume

unespressione del tipo:

14

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FIG. 7: Spettro del segnale e spettro del segnale campionato con aliasing (fc< 2B).

FIG. 8: Ricostruzione del segnale (in frequenza) introducendo un filtro H(f).

h(t) =F1(H(f)) = sinc

t

T

=

sint/T

t/T (51)

e

15

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FIG. 9: Campionamento Sample & Hold.

x(t) =xc(t) h(t) =

+n=

x(nT)(t nT) sinc(t/T) =

+n=

x(nT)sinc

t nT

T

(52)

Il segnale e ricostruito come somma di segnali cardinali.

In realta la situazione e un po piu complicata in quanto il segnale campionato consiste

di impulsi di ampiezza e durata finita, il filtro di ricostruzione non e ideale e il segnale da

campionare non e a banda rigorosamente limitata. Alluscita del campionatore si avra un

segnale:

x1(t) =+

n=

xnrect

t nT

T

(53)

ossia, x1(t) = xc(t) h1(t) dove h1(t) = rect(t/T) e dovuto al campionamento sample &hold. Quanto sopra e rappresentato in Fig. 9.

Occorre quindi un opportuno filtro di ricostruzione finale per ricostruire correttamente

il segnale x(t) dal segnale campionato con sample & hold. Il circuito di sample & hold e

schematizzato nel suo principio di funzionamento in Fig. 10

dove nel S/H ce un buffer (amplificatore a guadagno unitario) dingresso con alta

impedenza di ingresso, in modo che la sorgente non sia caricata (non ci sia assorbimento

di corrente) e un buffer duscita, anchesso ad alta impedenza di ingresso, che presenta in

uscita la tensione del condensatore senza farlo scaricare. La velocita di campionamento e

16

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FIG. 10: Circuito di Sample & Hold.

legata alla frequenza massima di clock. Di solito dipende dalla risoluzione e risulta maggiore

per basse risoluzioni. (8 bit 108 sample/sec; 24 bit 105 sample/sec). In un periododi clock il convertitore deve campionare, effettuare la conversione, presentare in uscita una

configurazione stabile di bit, essere pronto ad accettare un nuovo campione.

Se i segnali non sono a banda rigorosamente limitata occorre inserire prima del cam-

pionatore un filtro antialiasing (di solito filtro passa-basso) per evitare la sovrapposizione

in banda base di componenti spettrali con frequenza f fc/2.Supponiamo che il segnale da campionare abbia spettro contenuto nella prima zona di

Nyquist. Si ricorda che la frequenza di Nyquist fc/2 e la meta della frequenza di campi-

onamento fc. Senza un filtro antialiasing in ingresso al campionatore ideale, componenti di

frequenza (sia di segnale sia di rumore) che cadono fuori dalla banda di Nyquist potranno

essere piegate indietro nella prima zona di Nyquist. Occorre quindi un filtro antialiasing.

Assumendo che la frequenza piu alta di interesse sia fa il filtro antialiasing deve passare

segnali dalla DC a fa mentre deve attenuare componenti con frequenza maggiore di fa. La

banda di transizione del filtro antialiasing e determinata dalla frequenza di tagliofa dalla

frequenza di stop band fc fa e dalla attenuazione di stop band, (D - dynamic range). Ifiltri risulteranno piu complessi tanto piu ripido il fronte di transizione dalla banda piena

alla banda scura (minori frequenze di campionamento) o potranno essere piu rilassati quanto

maggiore la frequenza di campionamento e quindi la banda di transizione a disposizione. In

Fig. 11, si riporta in alto lo spettro del segnale continuo e in mezzo lo spettro del segnale

campionato avendo ripetuto per semplicita di rappresentazione una sola volta lo spettro del

17

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FIG. 11: Effetto del filtro antialiasing sulla ricostruzione del segnale in banda di interesse.

segnale continuo. In particolare, si vede leffetto di aliasing in banda base e come sia ridotta

la effettiva dinamica. Aggiungendo un filtro antialiasing si ottiene lo spettro riportato nel

grafico in basso della figura e si vede come leffetto di aliasing sia ridotto con un conseguente

aumento della dinamica effettiva.

Supponiamo di voler convertire un segnale la cui banda e pari a 5 kHz utilizzando un

convertitore A/D con risoluzione corrispondente a 8 bit campionando alla frequenza di 15

KHz. Stabilire la pendenza del filtro antialiasing:

La banda di transizione risulta fc fa fa = (155)5 = 5 kHz. La risoluzionerelativa di un convertitore a 8 bit risulta pari a48 dB, per cui il filtro deve avere unafrequenza di taglio a 5 kHz e deve avere un range dinamico di circa 48 dB in 5 kHz ossia di

circa 100 dB/decade quindi un filtro del quinto ordine.

Dimensionare correttamente il filtro antialiasing richiede una conoscenza delle carat-

teristiche spettrali del segnale cos come richiede di conoscere la dinamica del sistema.

Supponiamo un segnale con contenuto in frequenza fino a fa = 35 kHz campionato a 100 k

sample/s. Si assuma che il segnale abbia un andamento in frequenza fondo scala fino a 35

kHz e poi risulti attenuato di 30 dB a 65 kHz (fs fa). La dinamica del sistema e limitataa 30 dB (bassa risoluzione) a 35 kHz per via delle componenti di aliasing. Se si richiede una

18

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dinamica maggiore, quindi una risoluzione maggiore occorre inserire un filtro antialiasing

per fornire una maggiore attenuazione a 65 kHz. Supponiamo di volere un dynamic range

DR di 74 dB (corrispondenti a 12 bit) a 35 kHz, allora lattenuazione del filtro antialiasing

deve valere 0 dB a 35 kHz e 44 dB (44 = 74

30) dB a 65 kHz. Questa attenuazione deve

avvenire in circa unottava (65 kHz e pressoche il doppio di 35 kHz) per cui occorre un

filtro del settimo ordine (ogni polo fornisce circa 6 dB di attenuazione per ottava).

A. Errore di leakage (non richiesta)

Lalgoritmo di FFT opera su una storia temporale di lunghezza finita (N punti) per

calcolare la trasformata di Fourier. Poiche il risultato della FFT e un segnale periodico per

definizione (di periodo T), i record sono di fatto replicati su tutto lasse temporale, daa +. Supponiamo di avere un ingresso sinusoidale e di campionare un numero intero diperiodi. Lo spettro presenta una sola riga in corrispondenza della frequenza corretta del

segnale. Altrimenti seTc=Ts ovvero se la lunghezza della storia temporale considerata noncontiene un numero intero di periodi del segnale, il cambio di dominio da tempo a frequenze

avviene in maniera errata. Lerrore che si commette nel dominio delle frequenze viene detto

errore di leakage. Campionando un numero non intero di periodi, lo spettro presenta piu

righe (linformazione si ripartisce su una banda di frequenze anziche su una sola riga), e

sottostima lampiezza della componente armonica.

Supponiamo di costruire una sinusoide del tipo:

x= [0 : 1e 6 : 1]y= sin(24x)

effettuiamo la FFT di y e troveremo la corrispondente riga di spettro. Supponiamo

ora di campionare con un Tc non sottomultiplo intero di Ts. Definiamo quindi un vettore

y1=y(1 : 3e5). Effettuiamo ancora la FFT di y1 e noteremo un possibile errore di leakage.

Sia dato un segnale periodico di periodoTs= 10 ms. Lo spettro e costituito oltre che dalla

fondamentale dalla 3, 7 e 11 armonica. Determinare la minima frequenza di campionamento

perche non si verifichino errori di aliasing e di leakage.

Tc deve essere un sottomultiplo intero del periodo del segnale e deve valere il teorema del

campionamento. Quindi ne deriva per non avere la sovrapposizione della riga legata alla 11

armonica che Tc =Ts/(2N+ 1) = 434.78s da cui fc= 2300 Hz.

19

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Esempio 1

La potenza dellerrore di quantizzazione vale rq = V2/12. Cerchiamo di capire qualitati-

vamente quale e la densita spettrale di potenza dellerrore di quantizzazione. Supponiamo

un input sinusoidale che sfrutti tutta la dinamica di ingresso del convertitore, lerrore ha

componenti significative ad alta frequenza a seguito delle transizioni brusche. Supponiamo

di campionare a frequenza di Nyquist fs e di ripiegare lo spettro dieq in un intervallo com-

preso trafs/2, +fs/2. Quindi si e portato in banda di Nyquist peggiorando il SNR. Siassuma per semplicita che lo spettro risultante sia costante in questo intervallo per cui:

G(f) = rqfs

=V2

12fs(54)

Supponiamo di campionare ora a frequenza piu altafc > fs(oversampling) per cui lo spettro

dellerrore risulta ora ripiegato nellintervallo fc/2, +fc/2 (supposto ancora che sia costanteallinterno). Ne segue che:

G(f) = rqfc

=V2

12fc(55)

Se si effettua un filtraggio numerico tagliando via le frequenze maggiori di fs/2 si tagliano

anche le componenti del rumore di quantizzazione a frequenza f > fs/2. Ne risulta che:

rqo =fsG(f) =V2

12

fsfc

(56)

quindi rqo = r2q fs/fc e il SNR aumenta. Da questo deriva che nel caso di un quantizzatore

con sovracampionamento si ha un aumento del SNR rispetto a un convertitore normale pari

a 3 dB per ogni raddoppio della frequenza di campionamento.

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Esempio 2

Sia dato un segnale con densita spettrale di potenza G(f) = 1 V2/Hz nella banda 10 Hz

- 100 Hz. A questo segnale si sovrappone un rumore bianco a banda limitata con densita

spettrale di potenzaG(f) = 0.001 V2 nella banda 0 Hz - 1 MHz. Determinare il SNR in dB.

Il quadrato del valore efficace del segnale e del rumore sono dati da:

V2srms =G(f)fs= 1(100 10) = 90 V2 (57)

V2rrms = G(f)fr = 0.001 106 = 103 V2 (58)

Il SNR in dB risulta:

SN R= 10log1090

103 = 10.46 dB (59)

a) Determinare il tipo di filtro da utilizzare (filtro ideale) e la banda passante per ottenere

un SNR pari a 40 dB.

Non possibile a meno di non filtrare componenti anche in banda base.

b) Determinare il tipo di filtro da utilizzare (filtro ideale) e la banda passante per ottenere

un SNR pari a 30 dB.

Per ottenere un SNR pari a 30 dB occorre inserire un filtro passa banda, con frequenze di

taglio 10 Hz - 100 Hz. Il valore efficace del rumore diventa cos:

V2brms =G(f)fS= 0.001 90 = 0.09 (60)

e quindi SNR = 10log101000 = 30 dB come richiesto.

c) Determinare il tipo di filtro da utilizzare (filtro ideale) e la banda passante per ottenere

un SNR pari a 20 dB.

Vcrms = 0.9 affinche il SNR sia 20 dB. Da questo segue che il filtro ideale deve avere

fmax fmin= 900 Hz, per esempio quindi avere frequenze di taglio 10 Hz - 910 Hz.

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Esempio 3

Un convertitore AD ha una frequenza di campionamento pari a 10 MHz e una risoluzione

di 12 bit su un campo di ingresso10 V. Indicare il limite teorico della banda del sistemadi misura.

fc= 10 MHzla massima frequenza misurabile risulta fm= 5 MHz.Determinare la risoluzione del sistema di misura sia nella misura di tensione sia nella

misura del tempo. Il LSB (least significant bit) o bit meno significativo risulta 1 LSB =

Vfs/2N = 20/212 4.88 mV. Il bit meno significativo determina la risoluzione del sistema

di misura identificato nel solo convertitore A/D. La risoluzione nel dominio del tempo e

limitata dalla frequenza di campionamento tris 1/fc = 1/(10 106) = 100 ns. Calcolareil numero effettivo di bit supponendo di applicare in ingresso un segnale sinusoidale il cui

valore di picco e Vp = 10 V con un rumore (noise) sovrapposto caratterizzato da avere

rn = 8 106 V2 scorrelato al rumore di quantizzazione. Il valore quadratico medio delrumore di quantizzazione risulta:

r2q =V2fs

12 4N =LSB2

12 =

202

12 412 2 106 V2 (61)

essendo LSB = Vfs/2N. Da questo segue che il valore quadratico medio del rumore totale

risulta:

r2tot=r2q+ r

2n = 2 106 + 8 106 = 10 106 V2 (62)

Ora dalla relazione (61) risolvendo rispetto a N si ottiene: N = log4(V2

fs/rq) 1.7925.In riferimento a un segnale di ingresso sinusoidale con valore efficace V = Vf s/2

2 si ha:

N = log4(V2

fs/rq) 0.2925. Per valutare il numero effettivo di bit basta sostituire a rq ilvalore dirtot per cui essendo il valore efficace del segnale di ingresso V = 5

2:

N= log4(V2/rtot) 0.2925 = log4(50/(10 106)) 0.2925 = 10.8 bit (63)

Allo stesso risultato si perviene applicando la formula: N = (SNRdB 1.76)/6.02. Sos-tituendo si ha infatti:

SINADdB= 20log10V

rtot= 2.236 103 (64)

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N=(SINAD)dB 1.76

6.02 = 10.8 bit (65)

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Esempio 4

Il valore quadratico medio di rumore in un convertitore A/D con Vfs = 20 V e pari a

r2 = 4 105 V2. Determinare la risoluzione in termini di numero effettivo di bit.Risposta:

N= (10log10V2F S8r2

1.76)/6.02 = 9.83 (66)

N= log4V2F Sr2 1.7925) = 9.83 (67)

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Esempio 5

Un convertitore a 10 bit campiona a 50 kHz un segnale con frequenza massima di 15 kHz.

Dimensionare il filtro antialiasing per ottenere un rumore di aliasing pari al rumore di

quantizzazione. Quale e il numero effettivo di bit (ENOB) considerando soltanto gli errori

di quantizzazione e di aliasing?

Il SNR valutato tenendo conto del solo rumore di quantizzazione risulta:

SNR 6N+ 1.76 dB = 61.76 dB (68)

Il livello di segnale fuori banda riportato in banda base dal campionamento dipende dalle

caratteristiche spettrali del segnale stesso e dalla pendenza del filtro antialiasing. Il caso

peggiore si presenta quando il segnale di ingresso ha densita spettrale costante almeno fino

alla frequenza di campionamento, perche tutta lattenuazione per segnali fuori banda deve

essere introdotta dal filtro antialiasing di ingresso.

Lattenuazione di un filtro dipende, a una certa distanza dalla frequenza di taglio, dal

numero di poli (in prossimita della frequenza di taglio dipende dal tipo di funzione ap-

prossimante; in questo esercizio terremo conto solo del comportamento asintotico). Con

questa approssimazione, un filtro con p poli presenta, tra le frequenze f1 e f2 = kf1, una

attenuazione Zcalcolabile come:

Z=p 20log10(k) dB (69)

da cui si puo ricavare il numero di poli necessario per avere unattenuazione Ztra le frequenze

f1 e f2.

Nel nostro caso la stop band e data da f2 f1 = 35 kHz, k = 2.33 e il SNR richiestodeve essere pari a circa 62 dB per cui la nostra attenuazione Z

62 dB. Il numero di poli

del filtro si ricava facilmente come:

p= Z

20log10(k)=

62

20log10(2.33)= 8.4 (70)

Possiamo scegliere un filtro antialiasing con frequenza di taglio a 15 kHz e con 9 poli.

Il numero effettivo puo esser calcolato attraverso i seguenti passaggi:

SNR = 1062/20 = 1258.92 (71)

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da cui essendo il rumore di quantizzazione uguale a quello di aliasing (i rumori sono scorre-

lati) si ottiene:

SINAD = SNR/2 = 629.46 (72)

per cui il numero effettivo di bit risulta infine:

N=20log10(SINAD) 1.76

6.02 = 9 dB (73)

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Filtri

Un filtro e un circuito selettivo in frequenza che lascia passare i segnali in una certa

banda e attenua i segnali al di fuori di tale banda. I filtri passivi utilizzano esclusivamente

componenti passivi (resistenze, condensatori e induttanze), mentre i filtri attivi utilizzano

oltre ai componenti passivi gli amplificatori operazionali.

Alcuni vantaggi dei filtri attivi sono il guadagno, lassenza di effetto di carico, il costo e

dimensioni, gli effetti ridotti delle capacita parassite, lintegrazione.

Tra gli svantaggi dei filtri attivi si trovano: deriva (sensibilita alle variazioni delle caratter-

istiche dei componenti attivi, dovute alle modifiche delle condizioni ambientali), richiedono

una sorgente di alimentazione, introducono distorsioni (possono trattare segnali con una di-

namica fissata, superando tale limite introducono distorsioni), il rumore (utilizzano resistori

ed elementi attivi che introducono rumore). In genere i vantaggi nellutilizzo dei filtri attivi

superano gli svantaggi nelle applicazioni elettroniche.

Da un punto di vista circuitale un filtro e un doppio bipolo con una sua funzione di

trasferimento H(s).

Le caratteristiche di un filtro ideale sono:

risposta in ampiezza costante in banda passante e nulla al di fuori, nella banda oscura;

fase lineare in banda passante;

transizione brusca dalla banda passante a quella oscura.

Supponiamo di avere un segnale somma di tre sinusoidi a frequenza diversa:

x(t) =A1sin(2f1t) + A2sin(2f2t) + A3sin(2f3t) (74)

con f1 < f2 < f3. Supponiamo che la sinusoide con frequenzaf3 non sia desiderata e quindi

debba essere filtrata. Ne segue che utilizzeremo un filtro ideale, per esempio passa basso

con frequenza di taglio ft < f3. Lutilizzo del suddetto filtro garantisce che il segnale non

voluto non sia piu presente, ma occorre vedere se garantisce effettivamente la ricostruzione

del segnale voluto.

Possiamo accettare come modifiche che il segnale nel suo insieme sia modificato in

ampiezza senza alterazione di forma o traslato nel tempo. Pertanto luscita del filtro deve

valere:

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xf(t) =kx(t ) (75)

dove x(t) = A1sin(2f1t) + A2sin(2f2t). Usando la risposta in frequenza del filtro ideale

segue che:

xf(t) =A1sin(2f1t + (f1)) + A2sin(2f2t + (f2)) (76)

dove se (f1) =2 f1 e (f2) =2 f2 come nel caso del filtro ideale allora la ri-costruzione del segnale voluto e corretta, altrimenti no.

Si capisce che non e possibile realizzare un filtro ideale con un circuito a parametri dissi-

pativi concentrati. Omettendo la dimostrazione si verifica che la risposta in ampiezza deve

essere una funzione continua di , pertanto non si puo avere una transizione brusca. Inoltre

la risposta in ampiezza non puo essere zero in un intervallo di frequenze di ampiezza non

nullo. Si possono quindi realizzare filtri approssimanti i filtri ideali. Di solito le specifiche del

filtro sulla risposta in ampiezza e fase dovrebbero essere assegnate non indipendentemente.

Tra i filtri piu comuni si hanno:

filtri di Butterworth caratterizzati dallavere risposta in ampiezza massimamente piatta

in banda passante e banda oscura, la cui funzione densita spettrale di energia risulta del

tipo:

A2() = k2

1 + (/)2n (77)

dove e la frequenza di taglio del filtro. I filtri di Butterworth hanno le limitazioni di non

essere a fase lineare e di richiedere un ordine elevato per garantire una regione di transizione

sufficientemente ripida. Un filtro di Butterworth e completamente determinato una volta

noti lampiezza alla pulsazione = 0, la pulsazione di taglio a 3 dB, e lordine del filtro.

Si ha infatti:

G(2) = k2

1 + (/)2n (78)

per cui

G(s2) = k2

1 + (s2/2)n (79)

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FIG. 12: Reti a scala che realizzano filtri di Butterworth del primo ordine H(s) = 1/(s + 1).

FIG. 13: Reti a scala che realizzano filtri di Butterworth del secondo ordine.

da cui appare che il filtro di Butterworth non ha zeri al finito e che i poli sono le radici a

parte reale minore di zero dellequazione:

s22n

+ 1 = 0 (80)

Esempi di reti a scala che realizzano filtri di Butterworth del primo e secondo ordine sono

riportati in Fig. 12 e Fig. 13.

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Esempio filtri 1

Determinare la funzione di trasferimento del circuito di Fig. 14 e descrivere la tipologia di

filtro. R1=R2 = 10 k, R3 = 4.7 k,C1= 220 nF.

Il primo stadio e un buffer per cui il segnale in ingresso viene riportato in uscita. Il

morsetto + del secondo amplificatore e a massa per cui vale:

VoutR2

= Vin

R1+ 1/(iC1) (81)

da cui la fdt vale:

G(s) =

R2

R1+ 1/(sC1)

=

sC1R1

1 + sC1R1=

s 2.2 103

1 + s 2.2 103

(82)

La frequenza di taglio vale ft= 1/(2R1C1) = 72.3 Hz

FIG. 14: Filtro attivo.

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Esempio filtri 2

Progettare un filtro attivo passa basso del primo ordine avente resistenza di ingresso

Rin= 10 k, guadagno in continua G(0) = 1 e frequenza di taglio ft = 10 kHz.

Un filtro attivo del primo ordine e rappresentato in Fig. 15.

La fdt vale:

parallelo{R2, 1/sC2}: Zp= R2/(1 + sC2R2)

G(s) = R2R1

1

1 + sC2R2(83)

Dovendo essere Rin = 10 k segue che R1 = 10 k, G(0) = 1 implica R2 = 10 k e

ft= 10 kHz porta a t= 2ft = 62.8 rad/s da cuiC2= 1/(tR2) = 1.6 nF.

Mettere in forma di Bode e tracciare i relativi diagrammi

FIG. 15: Filtro attivo del primo ordine.

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